Exponentielles Wachstum und Zerfall - Mathematik-Nachhilfe online

BEISPIELAUFGABEN ZUM ONLINE-KURSMATHEMATIK-ÜBUNGEN - EXPONENTIELLES WACHSTUM UNDZERFALL

Dieser Kurs beinhaltet:

* Art eines Wachstums bestimmen* Wachstumsfaktor aus dem Kontext heraus lesen* Graphen eines Wachstums erkennen* Funktionsgleichung eines exponentiellen Wachstums bestimmen* Funktionswert eines exponentiellen Wachstums berechnen* Wachstumsfaktor ermitteln* Startwert bestimmen* Zeitpunkt für einen bestimmten Funktionswert berechnen* Wachstumsfaktor bei gegebener Halbwertszeit / Verdopplungszeit bestimmen* Halbwertszeit / Verdopplungszeit ermitteln

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Exponentielles Wachstum und

Zerfall" bei unterricht.de

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Kurs: Exponentielles Wachstum und Zerfall

Frage

Nachstehende Tabelle zeigt die Einwohnerzahl einer Kleinstadt in den letzten 6 Jahren.

Entscheide anhand der Tabelle um welche Art Wachstum es sich bei diesem Sachverhalthandelt.

Antwortmoglichkeiten

A: exponentielle Abnahme

B: lineare Zunahme

C: exponentielle Zunahme

D: lineare Abnahme

Losung

Wachst oder fallt eine Große konstant in gleichen Schritten um den gleichen Wert, so spricht manvon linearem Wachstum oder Zerfall.

Wachst oder fallt eine Große konstant in gleichen Schritten um den gleichen Faktor, sospricht man von exponentiellem Wachstum oder Zerfall.

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Untersuche, ob die Anzahl der Einwohner pro Jahr durch das Addieren eines konstanten Werts oderdas Multiplizieren eines konstanten Faktors geschieht.

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte ergibt stets 87. Die Einwohnerzahl nimmt also jedesJahr um den Wert 87 zu.

Da die Einwohnerzahl mit jedem Jahr um den Wert 87 großer wird, handelt es sich um eine lineareZunahme.



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Frage

Die Rohre einer Panflote werden kurzer, je hoher der erklingende Ton sein soll. Bei einer chroma-tischen Panflote ist ein Rohr immer um 5, 6% kurzer als das vorhergehende. Das langste Rohr hatfur den Ton C eine Lange von 32, 58cm .

Welche Funktion beschreibt die Lange der Rohre in Abhangigkeit ihrer Position in der Pan-flote?


A: f (x ) = 32, 58 · 0, 944x

B: f (x ) = 32, 58− 5, 6x

C: f (x ) = 32, 58 · 1, 056x

D: f (x ) = 32, 58 · 0, 56x

Losung

Das langste Rohr hat eine Lange von 32, 58cm . Der Startwert betragt demnach 32, 58.

Wenn die Rohre mit jedem Schritt um 5, 6% kurzer werden, dann betragt die Lange eines Rohresimmer 94, 4% des vorhergehenden. Die Lange nimmt mit jedem Schritt um den Wachstumsfaktor0, 944 ab.

Die Lange der Rohre wird beschrieben durch die Funktion f (x ) = 32, 58 · 0, 944x



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Frage

Origamipapier ist mit etwa 75µm (= 0, 075mm ) dunner als normales Schreibpapier.Welche Dicke erreicht man, wenn man das Papier 12 mal faltet?


A: ≈ 6, 7mm

B: ≈ 0, 81m

C: = 0, 9mm

D: ≈ 0, 3m

Losung

Die Dicke des einfachen Origamipapiers betragt 0, 075mm . Der Startwert betragt demnach 0, 075.

Bei jedem mal Falten verdoppelt sich die Dicke des entstandenen Objekts. Die Dicke nimmt mitjedem Schritt um den Wachstumsfaktor 2 zu.

Die erreichte Dicke wird beschrieben durch die Funktion f (x ) = 0, 075 · 2x .

Dicke nach 12 maligem Falten bestimmen:

f (12) = 0, 075 · 212 = 307, 2mm ≈ 0, 3m



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Frage

Eine Kaninchenpopulation von 1000 Tieren verdoppelt sich innerhalb von 8 Monaten.

Welcher Graph beschreibt diesen Sachverhalt?


A:

B:

C:



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D:

Losung

Die Anzahl der Kaninchen nimmt in gleichen Schritten konstant um den gleichen Faktor zu. Eshandelt sich also um eine exponentielle Zunahme.

Die Individuenzahl verdoppelt sich alle 8 Monate. Die Verdopplungszeit betragt somit 8.



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Dieser Graph beschreibt eine exponentielle Zunahme mit der Verdopplungszeit 8:



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Frage

Die Masse des radioaktiven Isotops Iod 131 hat sich innerhalb eines Monats auf 6, 25% desursprunglichen Wertes reduziert.

Bestimme die Halbwertszeit T von Iod 131 in Monaten.


A: T = 0, 25

B: T = 0, 125

C: T ≈ 0, 68

D: T ≈ 0, 443

Losung

Die Halbwertszeit beschreibt die Zeitspanne, nach welcher der Funktionswert auf die Halfte desursprunglichen Wertes abgefallen ist.

Die Funktionsgleichung, die diesen Sachverhalt beschreibt hat die Form f (x ) = m · 0, 0625x .

Ist f (0) = m die zu Beginn vorliegende Masse des Iodisotops, so ist die Masse nach T Monaten auf

f (T ) =1

2· f (0) =

1

2·m abgefallen.

Bedingung fur die Halbwertszeit einsetzen:

1

2· f (0) = f (T )

1

2·m = m · 0, 0625T



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Nach T auflosen:

1

2·m = m · 0, 0625T | : m

1

2= 0, 0625T |log0,0625

T = log0,06251

2= 0, 25

Die Halbwertszeit von Iod 131 betragt 0, 25 Monate.



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Frage

Die Mitgliederzahl eines Vereins ist in den letzten 10 Jahren jahrlich um 7% gefallen. Heute sind esnur noch 68.

Bestimme die Anzahl der Vereinsmitglieder vor 10 Jahren.


A: 141

B: 117

C: 134

D: 73

Losung

Wenn die Anzahl der Mitglieder jahrlich um 7% fallt, dann betragt die Mitgliederzahl immer 93%des Vorjahres. Der Wert nimmt jedes Jahr um den Wachstumsfaktor 0, 93 ab.

Die Funktionsgleichung, die diesen Sachverhalt beschreibt hat die Form f (x ) = b · 0, 93x .

Gegebene Werte einsetzen um den Startwert b zu bestimmen:

f (10) = 68

b · 0, 9310 = 68

Nach b auflosen:

b =68

0, 9310≈ 140, 5

Es waren 141 Vereinsmitglieder.

(Hier muss auf die nachste ganze Zahl aufgerundet werden, da es sich hier um eine Anzahlhandelt.)



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Frage

Die Lautstarke eines Gerausches wird in der Einheit Dezibel (db ) gemessen. Steigt der Dezibelwertum 1db , so wachst die Lautstarke um einen bestimmten Faktor a .

Berechne den Wachstumsfaktor a der Dezibelskala, wenn eine Erhohung um 10db einer Ver-dopplung des Gerauschpegels entspricht.


A: a ≈ 1, 067

B: a = 0, 1

C: a ≈ 1, 32

D: a ≈ 0, 933

E: a ≈ 1, 07

Losung

Die Verdopplungsrate (da hier die Lautstarke betrachtet wird, macht der Begriff Verdopplungszeitkeinen Sinn) beschreibt die Anzahl an Schritten, nach welchen der Funktionswert auf das doppeltedes ursprunglichen Wertes angestiegen ist.

Die Funktionsgleichung, die diesen Sachverhalt beschreibt hat die Form f (x ) = b · ax

Ist f (0) = b die Lautstarke eines vorliegenden Gerausches, so ist die Lautstarke eines um 10dblauteren Gerausches auf f (10) = 2 · f (0) = 2 · b angestiegen.

Bedingung fur die Verdopplungsrate einsetzen:

2 · f (0) = f (10)

2 · b = b · a 10



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Nach a auflosen:

2 · b = b · a 10 | : b

2 = a 10

a =10√

2 ≈ 1, 07



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Frage

Einige afrikanische Lander haben eine sehr hohe Geburtenrate. Die Bevolkerung in diesen Landernwachst jahrlich um bis zu 2, 5%.

Bestimme den Wachstumsfaktor a der Exponentialfunktion, die diesen Sachverhalt darstellt.


A: a = 2, 5

B: a = 0, 975

C: a = 1, 025

D: a = 0, 25

E: a = 0, 75

Losung

Der Wachstumsfaktor ist der Faktor, um den die Funktionswerte pro Schritt anwachsen oder abfallen.

Wenn sich die Bevolkerung jahrlich um 2, 5% erhoht, dann betragt die Anzahl der Einwohner immer102, 5% des Vorjahres.

Die Bevolkerungszahl nimmt jedes Jahr um den Faktor a = 1, 025 zu.



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Frage

Zwischen den Jahren 1810 und 1850 nahm die Einwohnerzahl Munchens exponentiell zu. Wahrend1810 die Einwohnerzahl 40450 betrug, war diese 40 Jahre spater bei 96396.

Bestimme den Wachstumsfaktor a, um den die Einwohnerzahl pro Jahr zunahm.


A: a ≈ 0, 035

B: a ≈ 1, 022

C: a ≈ 2, 19

D: a ≈ 0, 97

E: a ≈ 1, 035

Losung

1810 wurden 40450 Einwohner gezahlt. Der Startwert betragt demnach 40450.

Die Funktionsgleichung, die diesen Sachverhalt beschreibt hat die Form f (x ) = 40450 · ax .

Gegebene Werte einsetzen um den Wachstumsfaktor a zu bestimmen:

96396 = 40450 · a 40

Nach a auflosen:

a 40 =96396

40450

a =40

√96396

40450≈ 1, 022



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Frage

In einem Versuch wird die antibakterielle Wirkung einer Thymianolmischung getestet. Auf einembestimmten Nahrboden bedeckt eine Testkultur von Bakterien nach einiger Zeit eine Flache von5cm 2. Versetzt man zu Beginn des Wachstums den Nahrboden mit der Thymianolmischung, soverringert sich die Flache pro zugegebenem Tropfen um 60%.

Wieviele Tropfen sind mindestens notig um die von Bakterien bedeckte Flache auf maximal1mm 2 zu reduzieren?


A: 7

B: 19

C: 2

D: 13

Losung

Die erreichte Flache auf dem reinen Nahboden ist mit 5cm 2 gegeben. Der Startwert betragt demnach5.

Wenn sich die Flache am Ende des Versuchs pro Tropfen Thymianolmischung um 60% verringert,dann betragt die Flache immer 40% des Wertes, den die Flache bei einer um 1 geringeren Tropfenzahlerreicht. Die Flache nimmt pro Tropfen um den Wachstumsfaktor 0, 4 ab.

Die Flache wird beschrieben durch die Funktion f (x ) = 5 · 0, 4x .

Gegebene Werte einsetzen um die Tropfenzahl x zu bestimmen:

f (x ) = 0, 01 (1mm 2 = 0, 01cm 2)

5 · 0, 4x = 0, 01



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Nach x auflosen:

0, 4x =0, 01

5|log0,4

x = log0,40, 01

5≈ 6, 78

Es sind mindestens 7 Tropfen notig um die Flache auf maximal 1mm 2 zu reduzieren.

(Hier muss auf die nachste ganze Zahl aufgerundet werden, da man nur ganze Tropfen inden Nahrboden geben kann)



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