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Experimentos com Estados Emaranhados de Fótons
Paulo Henrique Souto RibeiroInstituto de Física - UFRJ
Universidade Federal de Sergipe Aracaju
Julho, 2009
Grupo de Óptica Quântica – IF/UFRJExperimentais:Prof. Paulo Henrique Souto Ribeiro Prof. Stephen Patrick Walborn
Teóricos:Prof. Luiz DavidovichProf. Nicim ZaguryProf. Ruynet Matos FilhoProf. Fabricio Toscano
Estudantes de Doutorado: Adriana Auyuanet Larrieu, Adriano H. de Oliveira Aragão, Alejo Salles, Alessandro Saboya Lima e Silva, Bruno de Moura Escher , Bruno GouvêiaTaketani, Daniel Schneider Tasca, Gabriel Aguilar, Gabriela BarretoLemos, Osvaldo Jimènez Farias, Rafael Chaves, Rafael Morais Gomes.
Parte I
-Simultaneidade em conversão paramétrica descendente-Comportamento não clássico: violação de uma desigualdade clássica-Consequências da simultaneidade: estado de um fóton localizado,o interferômetro de Hong-Ou-Mandel e a medida do tempo de tunelamente do fóton
Parte II
-Coerência espacial e coerência parcial-Interferência de fenda dupla com fótons gêmeos-A transferência do espectro angular-Consequências das correlações espaciais: comprimento de onda de deBroglie e o anti-agrupamento espacial
-Prova de não-separabilidade e detecção de emaranhamento devariáveis contínuas
Parte III
-Emaranhamento na Polarização: geração e detecção-Violação da desigualdade de Bell e Medida do emaranhamento-Criptografia Quântica
Programa:
Parte I
-Simultaneidade em conversão paramétrica descendente-Comportamento não clássico: violação de uma desigualdade clássica-Consequencias da simultaneidade: estado de um fóton localizado,o interferômetro de Hong-Ou-Mandel e a medida do tempo de tunelamente do fóton
Parte II
-Coerência espacial e coerência parcial-Interferência de fenda dupla com fótons gêmeos-A transferência do espectro angular-Consequências das correlações espaciais: comprimento de onda de deBroglie e o anti-agrupamento espacial-Prova de não-separabilidade e detecção de emaranhamento devariáveis contínuas
Parte III
-Emaranhamento na Polarização: geração e detecção-Violação da desigualdade de Bell e Medida do emaranhamento-Criptografia Quântica
Programa:
Conversão Parametrica Descendente
Emissão espontânea
TwinPhotons
p i sω ω ω= +h h h
p i sk k k= +r r r
Emissão estimulada
Conversão paramétrica descendente:estadoquântico
Seguindo L.J. Wang – PhD thesis – Rochester - 1992
Evolução temporal
Operador de evolução temporal
Integral temporal
( ) ( ) ( ), , ,ˆ ˆ( ) ( )s i s i s iI t t E t E t tτ ψ τ τ ψ− ++ = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )i s s s i i i i s sC t t t E t E t E t E t tτ τ ψ τ τ τ τ ψ− − + ++ + = + + + +
Cálculo de valores esperados
( ) ( ) ( ).1 ˆ, i k r t
k kk
E r t l a e ωε ω −+ =Ω∑
r r
r rr
) r
Operador campo elétrico
Intensidade
Coincidências
Simultaneidade na conversão paramétricadescendente
( ) ( )( )01 2( ) 1 1i si t t
i s P i s i st c vac c d d v e ω ωψ ω ω ω ω ω ω+ −= + +∫
( ) ( ) ( )i tE t c d a e ω ττ ω ω ++ + = ∫) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
, ( ) ( )
( )
τ τ ψ τ τ τ τ ψ
τ τ ψ
− − + +
+ +
+ + = + + + +
= + +
) ) ) )
) )i s s s i i i i s s
i i s s
C t t t E t E t E t E t t
E t E t t
Estado quântico simplificado
Operador campo elétrico: onda plana, quase monocromático
Coincidências
Simultaneidade na conversão paramétricadescendente: abordagem simplificada
( )
( ) ( ) ( )0 02
,
0 0i i s s
i s
i t t t i t t ti s P i s i s
C t t
d d v e eω τ ω τ
τ τ
η ω ω ω ω ω ω− + + − + +
+ + =
= +∫
( ) ( ) ( )2
, i sii s i sC t t d e ω τ ττ τ η ω η δ τ τ−+ + = = −∫
( )( ) ( )
( ) ( )( )
1 2
1 2
0
2
1 2,
1 1
ω τ ω τω ω
ω ω
ω ωτ τ η
ω ω ω ω ω ω
+ +
+ −
×+ + =
× +
∫ ∫∫
) )i s
i s
i t i t
i s i t ti s P i s i s
d a e d a eC t t
d d v e
( )Feixe de bombeamentocomo onda plana
( )0ω ω δ ω ω ω→ + → − −P i s i sv
Simultaneidade na conversão paramétricadescendente: abordagem simplificada
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 σ = 370ps
even
ts (
norm
aliz
ed)
time delay (ns)
Detecção em Coincidências
( )
( ) ( ) ( )0 02
( )
,
( 0) 0i i s si s
i s
i t t t i t t ti s P i s i s
C t t
d d v f e ef ω τ ω τ
τ τ
η ω ω ω ω ω ωω ω − + + − + +
+ + =
= +∫
( ) ( ) ( )22 2
( ), ω τ ττ τ η ω ηω τ τ−+ = = −+ ∫ i sis si iC t t d ef F
( )( ) ( )
( ) ( )( )
1 2
1 2
0
2
1 221,
( )
1 1
( )ω τ ω τω ω
ω ω
ω ωτ τ η
ω
ω ω
ω ω ω ω ω
+ +
+ −
×+ + =
× +
∫ ∫∫
) )i s
i s
i t i t
i s i t ti s P i s i s
d a e d a eC
f
d
ft t
d v e
Feixe de bombeamentocomo onda plana
( ) ( )0ω ω δ ω ω ω→ + → − −P i s i sv
Simultaneidade na conversão paramétricadescendente: abordagem simplificada
+ filtros na detecção
-15 -10 -5 0 5 10 15
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
σ = 2.7 x 1013 rad/s
tran
smitan
ce(%
)
frequency x1013(rad/s)-200 -100 0 100 200
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Filtro de interferência típico => Δλ = 10nm e usando λ = 700nm
σ = 116 x 10-15 s
amplit
ude
time(fs)
2 ( )ωf ( )tF
12
32(Gaussiano 3.8 10 /) rad scf πω ω λλ
ω→ →Δ = Δ ×→Δ =
12 32.7 10 1/ 116 168( ) '2 '2
ω πω ωω
Δ→Δ = = → Δ Δ = →Δ = =
Δ× <<rad s fsf t f t ps
Simultaneidade na conversão paramétricadescendente: abordagem simplificada
+ filtros na detecção
Violação de uma desigualdade clássica:desigualdade de
Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz
Em matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schuarz, é uma desigualdade muito útil que aparece emvários contextos diferentes, tais como em álgebra linear aplicando-se a vetores, em análise aplicando-se a series infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.
A desigualdade garante que, para quaisquer dois vetores x e y de um espaçovectorial com produto interno, se tem
com igualdade se, e só se, x e y são linearmente dependentes. Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecidapor Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta porHermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").
≤ ⋅2
, , ,x y x x y y
1 1 2
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
b ta ira
b ta ira
= +
= +
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 21 1 2 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
= + +
= + + −
Divisor de feixe Relações entrada-saída
Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo
( ) ( )= + +
= + + −1 1 1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
( ) ( )= + +
= + + −2 2 2 1 2 1
2 21 2 2 1 2 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
1 1 2
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
b ta ira
b ta ira
= +
= +
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 21 1 2 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
= + +
= + + −
Divisor de feixe Relações entrada-saída
Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo
( ) ( )= + +
= + + −1 1 1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
( ) ( )= + +
= + + −2 2 2 1 2 1
2 21 2 2 1 2 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
1 1 2
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
b ta ira
b ta ira
= +
= +
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 21 1 2 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
= + +
= + + −
Divisor de feixe Relações entrada-saída
Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo
( ) ( )= + +
= + + −1 1 1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
( ) ( )= + +
= + + −2 2 2 1 2 1
2 21 2 2 1 2 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
1 1 2
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
b ta ira
b ta ira
= +
= +
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 21 1 2 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
= + +
= + + −
Divisor de feixe Relações entrada-saída
Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo
( ) ( )= + +
= + + −1 1 1 2 1 2
2 22 1 1 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
( ) ( )= + +
= + + −2 2 2 1 2 1
2 21 2 2 1 2 2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
b b ta ira ta ira
irt a a irt a a t a a r a a
=r t
( )ω δτ
ωδτ τ τ
− Δ∝ −Δ →
= −
2.
Taxadecoincidencias
1
i s
C e( )ωf
.c δτ
( )ωf
2cσω
=Δ
Interferômetro de Hong, Ou and Mandel