EXÁMENES SELECTIVIDAD ESTADÍSTICA

EXÁMENES SELECTIVIDAD ESTADÍSTICA 2000/2019 RICARDO TRUJILLO PÉREZ

1

1. A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha determinado el intervalo de confianza al 99% (42,58) para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad. Determinar: a) La estimación puntual que daríamos para el gasto medio mensual por familia en electricidad en esa ciudad. b) ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 3 euros? Justifica las respuestas.

Junio/00

a. La estimación puntual para la media del gasto familiar en electricidad es la media muestral, que podemos calcular por el intervalo de confianza

+−=

nzx

nzxI

22

, .

Como es un intervalo centrado en x , su valor será el punto central del intervalo (42,58), es

decir, x = 502

5842=

+ €.

b. La amplitud del intervalo de confianza

+−=

nzx

nzxI

22

, es n

z

2

·2 . Pero

como sabemos que dicho intervalo es (42,58), tenemos que:

nz

2

·2 =58-42

2

·2

100·16

z

= = 0559,31576,2·2

160= .

Por otra parte, el error máximo es n

zE

=2

y éste debe ser menor que 3 €, tenemos

que:

6666,263

576,2·0559,313

0559,31·576,2

2

=== nnn

zE

10755,7116666,26 2 = n . Es decir, a partir de 712 familias.

2. El personal de cierta empresa es de 1500 trabajadores. Con objeto de estimar el porcentaje de trabajadores que estarían dispuestos a utilizar un servicio de comedor en la empresa, se seleccionó a través de muestreo estratificado aleatorio con afijación proporcional una muestra de tamaño 300 (se consideró tres estratos: personal directivo, personal administrativo y personal obrero). Sabiendo que en la muestra había 5 directivos y 25 administrativos, y que manifestaron su intención de utilizar el servicio de comedor 3 directivos y 90 obreros de la muestra obtenida, determinar:


2

a) El número de directivos, administrativos y obreros que hay en esa empresa. b) El porcentaje estimado de obreros favorables a la utilización del servicio de comedor junto con su error máximo con una confianza del 95% Justifica las respuestas.

Septiembre/00

a. Como el muestreo es aleatorio estratificado proporcional, tenemos que:

25300

150051500

5

300=

== d

dpersonas de la empresa son directivos.

125300

1500251500

25

300=

== a

apersonas de la empresa son administrativos.

1350300

15002701500

270

300=

== o

opersonas de la empresa son obreros.

b. Como la estimación es puntual utilizamos la distribución muestral de proporciones.

Sabemos que 333,0270

90===

Pp , ya que el tamaño de la muestra es n=270 (nº de

obreros de la muestra) y los que son favorables a la utilización del servicio son 90 obreros. Es decir, el 33,3%. Por otra parte, sabemos que el error viene dado por

E=( )n

ppz

−

1

2

. Como 05,0= , las tablas nos dicen que 2

z =1,96 y por lo tanto:

E=( )n

ppz

−

1

2

=1,96270

667,0333,0 =0,0562.

3. A partir de los datos recogidos sobre una muestra aleatoria de 121 pequeñas y medianas empresas de una región se ha calculado, para el año 2000, un beneficio medio de 89 millones

de euros con una cuasivarianza de 30.25 euros 2 . Contestar justificando las respuestas: a) ¿Podríamos rechazar (con un nivel de significación del 0.001) la afirmación de que los beneficios medios en la pequeña y mediana empresa de dicha región son de 90 millones de euros? b) ¿Qué ocurriría para el nivel de significación 0.05? Justifica las respuestas.

Junio/01

a. El test que debemos utilizar en el primer apartado es

=

90:

90:1

1

0

H

HTEST y la

región de aceptación en este caso es:


3

+−= sS zzR ·,

2

0

2

0 =

+−

121

25,30·291,390,

121

25,30291,390 = ( )6455'91,3545'88 , ya

que si =0,0012

z =3,291 y n

S

= y ( raiz cuadrada de la cuasivarianza )

Como la media de la muestra es 89 millones de euros y está en la región de aceptación no debemos rechazar la hipótesis.

OBSERVACIÓN: En realidad el test sería

=

€10·90:

€10·90:1

6

1

6

0

H

HTEST ya que la media y

desviación deben estar en las mismas unidades. La región de aceptación sería:

=R

+−

121

25,30·291,310·90,

121

25,30291,310·90 66 = ( )65'001.000.90,35'998.999.89 y por lo tanto la

media muestral no estaría en la región de aceptación ( cosa lógica pues el valor de es muy

pequeño comparado con el valor de contraste) y habría que rechazar 0H . Lo mismo ocurriría

en el apartado b. Creo que debe haber un error en el enunciado con las unidades ya que si

tomamos las que nos dan, se ve claramente que hay que rechazar la hipótesis 0H .

b. Si el nivel de significación es ahora =0,052

z =1,96 y la región de aceptación sería en

este caso:

+−= sS zzR ·,

2

0

2

0 =

+−

121

25,30·96,190,

121

25,3096,190 = ( )38'90,02'89

En este caso la media de la muestra (89 millones de euros) no está en la región de aceptación y

por lo tanto, si debemos rechazar la hipótesis €.90:0 millH = .

4. A partir de la información proporcionada por una muestra aleatoria de 500 familias de una región se ha determinado el intervalo de confianza (0.18,0.24) al nivel 95% para la proporción de familias en la región que disponen de ordenador en casa. Determinar, justificando las respuestas: a) La estimación puntual que daríamos, a partir de la información recogida, para la proporción de familias en la región que disponen de ordenador en casa. b) El número mínimo de familias que tendríamos que seleccionar con objeto de conseguir, con una confianza del 95%, que el error máximo en la estimación de dicha proporción sea inferior a 0.01

Septiembre/01

a. La estimación puntual para la proporción de estudiantes es la proporción de la muestra ( p ), que podemos calcular por el intervalo de confianza


4

b. ( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

. Como es un intervalo centrado en p , su

valor será el punto central del intervalo (0’18,0’24), es decir, p = 21,02

24'018'0=

+21%

c. Sabemos que el error viene dado por E=( )n

ppz

−

1

2

. Como 05,0= , las tablas nos

dicen que 2

z =1,96 y por lo tanto:

E=( )n

ppz

−

1

2

=1,96n

79,021,0

nE

79,0·21,096,1 22 =

2

2 79,021,096,1

En

= =

2

63732,0

E. Por otra parte, como 2,6373

01,0

63732,063732,001,0

22==

EnE . Así pues, la

muestra debe ser de, al menos, 6374 familias.

5. En una población de estudiantes de bachillerato se quiere estimar la proporción de estudiantes que tienen posibilidad de conectarse a Internet desde su domicilio. Se selecciona al azar una muestra de más de 300 estudiantes de dicha población y a partir de la información obtenida con ellos, se determina el intervalo de confianza (0.22,0.28) para dicha proporción con una confianza del 99%. Teniendo en cuenta esta información contestar justificando las respuestas: a) ¿Qué estimación puntual daríamos para la proporción de estudiantes de esa población que pueden conectarse a Internet desde su domicilio? b) ¿Qué número mínimo de estudiantes tendríamos que seleccionar al azar con objeto de conseguir, con una confianza del 99%, un error máximo en al estimación de dicha proporción menor que 0.05?

Junio/02


( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22



28'022'0=

+


5

b. Sabemos que el error viene dado por E=( )n

ppz

−

1

2


dicen que 2

z =2,576 y por lo tanto

E=( )n

ppz

−

1

2

=2,576n

75,025,0

nE

75,0·25,0576,2 22 =

2

2 75,025,0576,2

En

= =

2

244,1

E. Por otra parte, como 6,497

05,0

244,1244,105,0

22==

EnE . Así pues, la muestra

debe ser de, al menos, 498 individuos.

6. El gerente de una empresa selecciona aleatoriamente entre sus trabajadores una muestra de 169 y anota el número de horas de trabajo que cada uno de ellos ha perdido por causas de accidentes laborales en el año. A partir de la información obtenida determina, en esos 169 trabajadores, un número medio de horas perdidas por

accidentes laborales en el año de 36,5 horas, sabiendo que ( ) 5,159705,36

2169

1

=−=i

ix ,

donde ix representa el número de horas perdidas por el i-ésimo trabajador,

i=1,2,…….,169.

a. ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 1%, la hipótesis de que el número medio de horas perdidas a causa de accidentes laborales en esa empresa fue de 35 horas en el año.

b. ¿Y para un nivel de significación del 5%? SEPTIEMBRE 2002

a. Como el test que debemos utilizar en el primer apartado es del tipo

=

01

00

:

:1

H

HTEST y la región de aceptación en este caso es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

0 . Como n

S

= y n

n

n

−

1, necesitamos hallar

n (desviación típica de la muestra):

( )2169

1

1692 5,36

=

−=i

ix /169= 5,94169

5,15970= . Así pues: 72,95,94169 == y

749,0169

72,9168

169

=

==n

S

75,0 . También se podría calcular como:

75,9168

5,15970

1

)()(

·11

ˆ 1

2

1

2

==−

−

=

−

−=

−=

==

n

xx

n

xx

n

n

n

n

n

i

i

n

i

i

nn y

75,0169

75,9===

nS


6

Para un nivel de significación del 1% ( )01,0= tenemos que 2

z =2,576 (tablas). Por lo tanto, la

región de aceptación de 0H del

=

35:

35:1

1

0

H

HTEST será

( )75,0·576,235,75,0576,235 +−=R = ( )932'36,068'33 . Como la media de la muestra es 36,5 y está

en la región de aceptación, aceptamos la hipótesis 0H .

b. En el segundo apartado es igual pero con ( )05,0= . En este caso las tablas nos dicen que

2

z =1,96 y la región de aceptación será: ( )75,0·96,135,75,096,135 +−=R = ( )47'36,53'33 .

Como la media de la muestra es 36,5 y no está dentro de la región de aceptación,

debemos rechazar la hipótesis 0H .

7. En una población de 3000 alumnos de bachillerato se quiere estimar la proporción de alumnos favorables a la apertura de un servicio de asistencia al estudiante. Se selecciona para ello, a través de muestreo estratificado aleatorio con afijación proporcional, una muestra de 600 alumnos de dicha población. Los estratos son las cuatro modalidades de Bachillerato (Artes, Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, Humanidades y Ciencias Sociales y Tecnología). Sabiendo que en la población hay 300 alumnos de Arte, 1200 de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y 400 de Tecnología, y que recogida la información un total de 450 alumnos se han mostrado favorables a la apertura de dicho servicio, determinar: a) El número de alumnos seleccionados en cada uno de los cuatro estratos. b) La proporción estimada de alumnos en esa población que no son favorables a la apertura del servicio. c) El error máximo cometido en la estimación anterior con una confianza del 95%. Justificar las respuestas.

Junio/03

a. Como el muestreo es aleatorio estratificado proporcional:

a

600

300

3000= 60

3000

300·600==a alumnos de arte o 0,2·300=60.

cn

600

1200

3000= 240

3000

1200·600==cn alumnos de ciencias de la naturaleza

h

600

1100

3000= 220

3000

1100·600==h alumnos de humanidades

t

600

400

3000= 80

3000

400·600==t alumnos de tecnología


7



150===

Pp , ya que el tamaño de la muestra es n=600 y los que no

son favorables a la apertura del servicio son 600-450=150. Es decir, el 25%.


ppz

−

1

2


dicen que 2

z =1,96 y por lo tanto E=( )n

ppz

−

1

2

=1,96 0346,0600

75,025,0=

8. En una ciudad, en la que viven 5000 familias, se desea estimar el gasto medio semanal por familia en alimentación. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 200 familias a las que se les pregunta por su gasto semanal en alimentación. A partir de la información

recogida se obtiene un gasto medio semanal de 85 euros, siendo la cuasivarianza de 81 € 2 . Determina:

a) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 euros el gasto medio semanal en alimentación para una familia de esa ciudad.

b) El número de familias que tendríamos que seleccionar para conseguir, con una confianza del 99%, un error máximo inferior a 0.5 euros en la estimación del gasto medio semanal en alimentación para una familia en esa ciudad.

Septiembre/03

a. Sabemos que el error máximo cometido es SzE =2

, donde n

S

= y

nnn

n

−=

1ˆ

( raiz cuadrada de la cuasivarianza ). Para =0,01 obtenemos que 2

z =2,576 y por tanto

SzE =2

= 639,1200

81576,2 =

b. Como el error máximo es n

zE

=2

y éste debe ser menor que 0,5, tenemos que:


8

368,465,0

576,2·95,0

81·576,2

2

=== nnn

zE

99,2149368,46 2 = n . Es decir, a partir

de 2150 familias.

9. En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de esa población se

ha calculado una estatura media de 159 cm y una cuasivarianza de 169 cm 2 .

a. Determina el error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimáramos en 159 cm la estatura media de esa población.

b. ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que la estatura media de esa población es de 160 cm?

JUNIO 2004

a. Sabemos que el error máximo cometido es SzE =2

, donde n

S

= y n

n

n

−

1(

raiz cuadrada de la cuasivarianza ). Para =0,01 obtenemos que 2

z =2,576 y por tanto

SzE =2

= 7208,381

169576,2 =

b. El test que debemos utilizar en el segundo apartado es

=

160:

160:1

1

0

H

HTEST y la

región de aceptación en este caso es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

0 =

+−

81

169·96,1160,

81

16996,1160 ( )831'162,168'157=

ya que si =0,052

z =1,96. Como la media de la muestra es 159 cm y está en la región

de aceptación no debemos rechazar la hipótesis cmH 160:0 = .

10. En cierta empresa hay 2100 empleados de los cuales 100 son directivos, 320 son administrativos, 420 son técnicos y el resto es personal obrero. El gerente desea estimar la proporción de empleados que están a favor de realizar ciertos cambios en el horario de


9

trabajo. Para ello, selecciona a través de muestreo estratificado aleatorio con afijación proporcional, una muestra de 210 empleados considerando como estratos las diferentes clases de personal (directivo, administrativo, técnico y obrero). Tras realizar la correspondiente consulta a las personas seleccionadas, obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de todas ellas. Sabiendo que 4 directivos, 12 administrativos, 7 técnicos y 26 obreros le responden que no están a favor de realizar dichos cambios, determinar: a) El número de directivos, administrativos, técnicos y obreros que hay en la muestra seleccionada. b) La estimación que daríamos para la proporción de empleados de esa empresa que están a favor de realizar los cambios. c) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95%, con la estimación anterior. Justificar las respuestas.

Septiembre/04

a. Como el muestreo es aleatorio estratificado proporcional:

d

210

100

2100= 10

2100

100·210==d directivos

a

210

320

2100= 32

2100

320·210==a administrativos

t

210

420

2100= 42

2100

420·210==t técnicos

o

210

1260

2100= 126

2100

1260·210==o obreros



161===

Pp , ya que el tamaño de la muestra es n=210 y los que

están a favor de los cambios son 210-(4+12+7+26)=161. Es decir, el 76,6%.


ppz

−

1

2


dicen que 2


ppz

−

1

2

=1,96 0572,0210

234,0766,0=

11. En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.


10

a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados? b) ¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad? Justificar las respuestas.

Junio/05

a. Como la población está formada por grupos bien diferenciados y queremos que todos los grupos queden representados proporcionalmente, utilizaremos un muestreo aleatorio estratificado proporcional.

b. Atendiendo a un criterio de proporcionalidad, los tamaños de las submuestras deberán ser:

p

180

150

900= 30

900

180·150==p personas del departamento de personal

v

180

450

900= 90

900

180·450==v personas del departamento de ventas

c

180

200

900= 40

900

180·200==c personas del departamento de contabilidad

a

180

100

900= 20

900

180·100==a personas del departamento de atención al cliente

12. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20% de ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas, se pide: a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas ciudad en su vivienda? b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95%?. Justificar las respuestas.

Septiembre/05


11

a. Como la estimación es puntual utilizamos la distribución muestral de proporciones.

Sabemos que 3,0250

75===

Pp , ya que el tamaño de la muestra es n=250 (20% de 1250).

Es decir, el 30%.


ppz

−

1

2


dicen que 2


ppz

−

1

2

=1,96 0568,0250

7,03,0=

13. En una ciudad se seleccionó al azar una muestra de 225 familias. A cada familia seleccionada se le preguntó si tenía contratado algún seguro de incendios. Se obtuvo como resultado que 75 familias tenían contratado dicho seguro. A partir de esa información determinar, justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 95% para la proporción de familias de esa ciudad que tienen contratado algún seguro de incendios. b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95%, si damos como estimación de dicha proporción el cociente 75/225.

Junio/06

a. Sabemos que el intervalo de confianza es ( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 05,0,333,0225

75=== p y, por lo tanto

2

z =1,96, tenemos que:

394'0,271'0225

667,0333,096,1333,0,

225

667,0333,096,1333,005,0 =

+

−=I


ppz

−

1

2

=

225

667,0333,096,1 =0,0615.


12

14. En el juzgado de cierta ciudad se presentaron en el año 2005 un total de 5500 denuncias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 5% de ellas. Entre las denuncias seleccionadas se determinó que 55 habían sido producidas por violencia doméstica. Determinar, justificando la respuesta: a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de denuncias por violencia doméstica en esa ciudad en el año 2005. b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 99%.

Septiembre/06


Sabemos que 2,0275

55===


Es decir, el 20%.


ppz

−

1

2


dicen que 2


ppz

−

1

2

= 0621,0275

8,02,0576,2 =

15. A una muestra aleatoria de 300 estudiantes de Bachillerato de determinada provincia se les preguntó si utilizaban habitualmente la bicicleta para acudir a su Instituto. Sabiendo que se obtuvo 90 respuestas afirmativas, determinar justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 95% para el porcentaje de estudiantes de bachillerato de esa provincia que utilizan habitualmente la bicicleta para acudir a su Instituto. b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95%, si estimamos que dicho porcentaje es del 30%.

Junio/07


−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 05,0,3,0300


2


352'0,248'0300

7,03,096,13,0,

300

7,03,096,13,005,0 =

+

−=I


13


ppz

−

1

2

=

300

7,03,096,1 =0,0518.

16. En una población de 2000 conductores se seleccionó una muestra aleatoria de 200. A los conductores seleccionados se les preguntó si llevaban en sus vehículos cadenas para utilizar en caso de que hubiese nieve en las carreteras. A partir de la información recogida se obtuvo el siguiente intervalo de confianza al 95% para la proporción de conductores de esa población que llevaban en sus vehículos cadenas para la nieve: (0.145 , 0.255). Determinar, justificando la respuesta: a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores de esa población que llevan en su vehículo cadenas para la nieve. b) El error máximo que estaríamos cometiendo, con una confianza del 95%, con dicha estimación puntual.

Septiembre/07


( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22



255'0145'0=

+, es

decir, el 20%.


ppz

−

1

2


dicen que 2


ppz

−

1

2

=1,96200

8,02,0 055,0= E . También

lo podemos calcular hallando la mitad de la longitud del intervalo de confianza:

055,02

110,0

2

145,0255,0==

−.

17. En un periódico de difusión nacional se han publicado en el año 2007 un total de 2500 ofertas de trabajo para licenciados. En una muestra de un 10% de ellas se han contabilizado 50 ofertas de trabajo para licenciados en Matemáticas. Determinar, justificando la respuesta:


14

a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de ofertas de trabajo para licenciados en Matemáticas publicadas en dicho periódico en 2007. b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación con un nivel de confianza del 95%.

Junio/08


Sabemos que 2,0250

50===


Es decir, el 20%.


ppz

−

1

2


dicen que 2


ppz

−

1

2

= 0496,0250

8,02,096,1 =

18. En una población humana se ha comprobado que la estatura se comporta según un modelo Normal de probabilidad. A partir de una muestra de 289 personas seleccionadas aleatoriamente en dicha población se ha calculado una estatura media de 164 centímetros y una varianza de 64 centímetros cuadrados. ¿Estaríamos en lo cierto si afirmamos, con un nivel de significación de un 5%, que la estatura media en esa población es distinta de 165 centímetros? Justificar la respuesta.

Septiembre/08

El test que debemos utilizar es

=

cmH

cmHTEST

165:

165:1

1

0

y la región de aceptación de

0H es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

17

8·96,1165,

17

896,1165 =

( )9224'165,0776'164 , ya que si =0,052

z =1,96 y además cmyn n 8289 == . Como la media

de la muestra es 164 cm y no está en la región de aceptación de 0H , debemos aceptar la

hipótesis cmH 165:1 . Si tomamos como la cuasidesviación típica

( nn

n ·

1ˆ

−= 8·

288

289= ) en lugar de la desviación típica muestral ( cmn 8= ), tenemos que

=0R

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

17

8·

288

289165,

17

8·

288

28996,1165 = ( )9240'165,0760'164 que

proporcionaría la misma conclusión final.


15

19. Se ha comprobado que el peso (en kilogramos) de los recién nacidos en cierta población se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 64 recién nacidos en esa población se ha determinado un peso medio de 3,1 kilogramos y una varianza de 0,81 kilogramos cuadrados. ¿Podríamos rechazar la hipótesis con un nivel de significación del 1%, de que el peso medio de un recién nacido en esa población es de 3 kilogramos? Justificar la respuesta.

Junio/09


=

KgsH

KgsHTEST

3:

3:1

1

0

y la región de aceptación de 0H

es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

8

9,0·576,23,

8

9,0576,23 =

( )2898'3,7102'2 , ya que si =0,012

z =2,576 y además Kgsyn n 9,064 == . Como la media de

la muestra es 3,1 Kgs y está en la región de aceptación de 0H , debemos aceptar la hipótesis

KgsH 3:0 = y no podríamos rechazarla . Si tomamos como la cuasidesviación típica

( nn

n ·

1ˆ

−= 9,0·

63

64= ) en lugar de la desviación típica muestral ( Kgsn 9,0= ), tenemos que

=0R

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

8

9,0·

63

643,

8

9,0·

63

64576,23 = ( )2921'3,7079'2 que

proporcionaría la misma conclusión final. 20. Se ha comprobado que el peso (en gramos) de las truchas de cierta piscifactoría se distribuye según un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra aleatoria de 50 truchas de dicha piscifactoría se ha determinado:

000.21)210(,500.10 250

1

50

1 =−= == iiii xx , siendo ix el peso de la i-ésima trucha, i=1, 2, ….., 50.

¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que el peso medio de las truchas de esa piscifactoría es de 200 gramos? Justificar la respuesta.

Septiembre/09

Necesitamos hallar n (desviación típica de la muestra)

( )250

1

502 210

=

−=i

ix /50=420. Así pues: .4939,2050 gr= y 8983,250

4939,20===

nS

.


=

grH

grHTEST

200:

200:1

1

0


0H es


16

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

50

4939,20·96,1200,

50

4939,2096,1200 = ( )6806'205,3194'194 , ya que si =0,05

2

z =1,96 y

además gryn n 4939,2050 == . Como la media de la muestra es 210 gr y no está en la región

de aceptación de 0H , debemos rechazar la hipótesis grH 200:0 = . Si tomamos como la

cuasidesviación típica ( nn

n ·

1ˆ

−= 4939,20·

49

50= =20,7020) en lugar de la desviación típica

muestral ( grn 4939,20= ), tenemos que

=0R

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

50

7020,20·96,1200,

50

7020,2096,1200 =

( )7382,205,2617'194 que proporcionaría la misma conclusión final.

21. En una amplia población constituida por pequeñas y medianas empresas españolas se selecciona una muestra aleatoria de 180 empresas. Sabiendo que en la muestra seleccionada hay 9 empresas extremeñas, determinar justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de empresas extremeñas en esa población b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 5%.

General / Junio/10


−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 01,0,05,0180


2


0918'0,00815'0180

95,005,0576,205,0,

180

95,005,0576,205,005,0 =

+

−=I


ppz

−

1

2

=

180

95,005,0576,2 =0,0418.

22. De los 1600 controles de alcoholemia realizados en 2008 por la Dirección General de Tráfico en una provincia, se seleccionaron 530 controles a través de muestreo estratificado aleatorio. Para dicha selección se formaron dos estratos, un estrato en el que se incluyeron los controles realizados a conductores menores de 30 años y otro en el que se incluyeron los controles realizados a conductores con edad superior o igual a 30 años. El número de conductores en cada estrato se calculó atendiendo a razones de proporcionalidad.


17

a) Determinar el número de controles en la muestra seleccionada que provienen de cada estrato sabiendo que de los 1600 controles realizados 7800 correspondieron a conductores menores de 30 años. b) Estimar el porcentaje de controles con índice de alcoholemia superior al permitido en la población de conductores menores de 30 años de esa provincia sabiendo que en la muestra seleccionada se detectaron 78 controles con un índice de alcoholemia superior al permitido en los conductores menores de 30 años. Justificar las respuestas

Específica / Junio/10

a. Atendiendo a un criterio de proporcionalidad, los tamaños de las submuestras deberán ser:

53010600

7800 x= 390=x controles a menores de 30 años.

53010600

2800 x= 140=x controles a mayores de 30 años.


Sabemos que 2,0390

78===

Pp , ya que el tamaño de la submuestra es n=390. Es decir,

el 20%. 23. Se ha comprobado en repetidos estudios que el número de pulsaciones en reposo de ciertos deportistas sigue una distribución normal. En una muestra de 50 de esos deportistas, se obtiene una media de 47 pulsaciones por minuto y una cuasi-desviación típica de 7 pulsaciones por minuto. ¿Se puede rechazar a un nivel de significación de 0.01 que el número medio de pulsaciones por minuto es 45? Justificar la respuesta.

General / Septiembre/10


=

mpH

mpHTEST

/45:

/45:1

1

0


0H es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

50

7·576,245,

50

7576,245 =

( )5501'47,4499,42 , ya que si =0,012

z =2,576 y además mpyn /750 == . Como la media

de la muestra es 47 p/m y está en la región de aceptación de 0H , debemos aceptar la hipótesis

mpH /45:0 = y no rechazarla.


18

24. En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes encuestados tienen reproductor en formato MP3. Determinar, justificando la respuesta: a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor de música en formato MP3. b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90%

Específica / Septiembre/10



3700===

Pp , ya que el tamaño de la muestra es n=4000. Es decir,

el 92,5%.


ppz

−

1

2

=

4000

075,0925,0645,1 =0,00685.

25. En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en secundaria utilizan Internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de E.S.O., 1360 en 2º de E.S.O., 1280 en 3º de E.S.O. y 940 en 4º de E.S.O. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación proporcional. a) ¿Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra? b) Si en 4º de E.S.O. contestan afirmativamente 120 alumnos ¿Cuál es la estimación de la proporción de alumnos que utiliza Internet en ese curso? c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior. Justificar las respuestas.

Junio/11


6724480

900 x= 135=x alumnos de 1º ESO

6724480


6724480


6724480



19



120===

Pp , ya que el tamaño de la submuestra es n=141. Es

decir, el 85’11%.


ppz

−

1

2

=

141

1489,08511,096,1 =0,0587.

26. Una biblioteca desea estimar el porcentaje de libros infantiles que posee. La biblioteca está compuesta de 4 salas (Norte, Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros, respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra del 5% de los libros con afijación proporcional. a) ¿Cuántos libros, de cada una de las salas hay en la muestra? b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, ¿Cuál es la estimación de la proporción de libros infantiles en esa sala? c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior. Justificar las respuestas

Septiembre/11


76215240

2500 x= 125=x libros sala Norte.

76215240

2740 x= 137=x libros sala Sur.

76215240

4000 x= 200=x libros sala Este.

76215240

69000 x= 345=x libros sala Oeste.



30===

Pp , ya que el tamaño de la submuestra es n=137. Es

decir, el 21’90%.


ppz

−

1

2

=

137

7811,02189,0645,1 =0,0581.


20

27. Una muestra de 2000 familias es seleccionada aleatoriamente en cierta ciudad. Se comprueba que 300 de ellas disponen de acceso a Internet desde su domicilio. Determinar, justificando la respuesta: a) El intervalo de confianza al 99% para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de acceso a Internet desde su domicilio. b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos que dicho porcentaje es un 15%.

Junio/12


−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 01,0,15,02000


2


1706'0,1294'02000

85,015,0576,215'0,

2000

85,015,0576,215,005,0 =

+

−=I


ppz

−

1

2

=

2000

85,015,0576,2 =0,0206.

28. En un estudio realizado por un laboratorio, sobre una muestra de 500 cigarrillos, se ha

obtenido que ( ) 5000500

1

==i

ix , donde ix representa el número de de miligramos de nicotina

del i-ésimo cigarrillo , i=1,2,…….,500. Se sabe, además, que el número de miligramos de nicotina por cigarrillo sigue una distribución normal con varianza 16. Con un nivel de confianza del 90%, ¿podríamos rechazar la hipótesis propuesta por el fabricante, de que el número medio de miligramos de nicotina en un cigarrillo es 9? Justificar la respuesta

Septiembre/12


=

mgH

mgHTEST

9:

9:1

1

0

y la región de aceptación de 0H

es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

500

4·645,19,

500

4645,19 =

( )2943'9,7057,8 , ya que si =0,12

z =1,645 y además mgyn 4500 == . Como la media de la

muestra es ( ) 10500/500

1

===i

ixx mg y no está en la región de aceptación de 0H , debemos

rechazar la hipótesis mgH 9:0 = .


21

29. Una compañía de zapatillas ha sacado un nuevo modelo. En su publicidad indican que los atletas de medio fondo pueden disminuir el tiempo de sus marcas en 4 segundos. Se realizan pruebas a 100 atletas y se observa que el tiempo medio de disminución fue de 3.5 segundos. Se sabe que la distribución de ese tiempo es normal con desviación típica 4 segundos. Con un nivel de confianza del 95%, ¿podríamos aceptar que la hipótesis de la compañía es cierta? Justificar la respuesta.

Junio/13


=

segH

segHTEST

4:

4:1

1

0


0H

es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

100

4·96,14,

100

496,14 =

( )784'4,216'3 , ya que si =0,052

z =1,96 y además segyn 4100 == . Como la media de la

muestra es 5,3=x seg y está en la región de aceptación de 0H , debemos aceptar la hipótesis

segH 4:0 = .

30. El cociente intelectual de una persona se obtiene tras la repetición de diferentes tests. Se sabe que los resultados de dichos tests se distribuyen según una normal con desviación

típica 10 y media desconocida . Se le realizan a una persona 9 tests obteniendo los

siguientes resultados: 105, 106, 109, 115, 100, 117, 116, 114, 108. a) Calcular el intervalo de confianza al 95%

b) Al 95% de confianza ¿se puede rechazar la hipótesis de que es 120?

Justificar las respuestas Septiembre/13

a. Sabemos que el intervalo de confianza es:

+−=

nzx

nzxI

22

, =

+−

9

10·96,1110,

9

1096,1110 = ( )5333'116,4667'103 , ya que si

=0,052

z =1,96 y además 10,9 == n y la media de la muestra es

( ) 1109/9909/9

1

====i

ixx .


22

b. El test que debemos utilizar es

=

120:

120:1

1

0

H

HTEST y la región de aceptación de

0H

es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

9

10·96,1120,

9

1096,1120 =

( )5333'126,4667'113 , ya que si =0,052

z =1,96 y además 109 == yn . Como la media de

la muestra es 110=x y no está en la región de aceptación de 0H , debemos rechazar la

hipótesis 120:0 =H .

31. Una compañía aérea tiene contratada una empresa para la recuperación de los equipajes perdidos de sus pasajeros. Para comprobar la eficiencia de la empresa, la compañía desea saber la proporción de equipajes recuperados. Para ello realiza una encuesta a 122 pasajeros que perdieron el equipaje. De eltos, 103 lo recuperaron.

(a) ¡.Cuál es la estimación de la proporción de equipajes recuperados?

(b) Obtener el intervalo de confianza al 99% para la estimación puntual anterior.

Justificar In respuesta

JUNIO 14

Sabemos que el intervalo de confianza es ( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

. Como

01,0,8443,0122


2


9289'0,7597'0122

1557,08443,0576,28443'0,

122

1557,08443,0576,28443,001,0 =

+

−=I

32. En un país en vías de desarrollo se quiere estimar la proporción de mujeres en su poblacíón. El país se compone de 4 regiones (A, B, C y D) con 1 millón, 2 millones, 2.5 millones y 7 millones de habitantes respectivamente. Se selecciona una muestra aleatoria estratificada del 1 % de la población con afijación proporcional.

(a) ¿Cuántos habitantes, de cada una de las regiones, hay en la muestra?


23

(b) Si en la muestra de la región A hay 5100 mujeres, ¿cuál es la estimación de la proporción de mujeres en esa región?

(c) Obtener el intervalo de confianza al 90 % para la estimación puntual anterior.

Justificar las respuestas JULIO 14


(Tamaño de la muestra: 1% de 12,5 millones=125.000 personas)

125,05,12

1 x= 000.1001,0 →=x personas en la región A

125,05,12

2 x= 000.2002,0 →=x personas en la región B

125,05,12

5,2 x= 000.25025,0 →=x personas en la región C

125,05,12

7 x= 000.7007,0 →=x personas en la región D



5100===

Pp , ya que el tamaño de la submuestra es n=10.000. Es

decir, el 51%.

c. Sabemos que el intervalo de confianza es ( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 1,0,51,0 == p y, por lo tanto 2


5182'0,5018'010000

49,051,0645,151'0,

10000

49,051,0645,151,01,0 =

+

−=I

33. Una compañía produce bolsas de golosinas y en el envase indica que pesan 454 g. Una clase de alumnos desea comprobar si es cierto. Seleccionan al azar 50 bolsas y obtienen una media de 451.22 g. Se sabe que el peso de las bolsas se distribuye según una distribución

normal con varianza 70 2g . Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la

hipótesis de que las bolsas pesan 454 g? Justificar la respuesta.


24

JUNIO 15


=

grH

grHTEST

454:

454:1

1

0


0H es

+−= sS zzR ·,

2

0

2

00 =

+−

nz

nz

·,

2

0

2

0 =

+−

50

70·96,1454,

50

7096,1454 =

( )32'456,68'451 , ya que si =0,052

z =1,96 y además gryn 7050 == . Como la media de la

muestra es 22,451=x gr y no está en la región de aceptación de 0H , debemos rechazar la

hipótesis grH 454:0 = .

34. Se realizó un estudio para determinar la resistencia a la rotura de dos tipos de vigas. Para una muestra aleatoria formada por 30 vigas de hormigón la resistencia media muestral fue de 29.8 unidades. También se obtuvo una muestra aleatoria de 30 vigas de acero obteniendo una resistencia media muestral de 32.7 unidades. Se supone que las distribuciones de la resistencia a la rotura de los dos tipos de viga son normales con varianza 16. Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que los dos tipos de viga tienen la misma resistencia a la rotura? Justificar la respuesta.

JULIO 15


=

211

210

:

:1

H

HTEST

−

=−

0:

0:

211

210

H

H, cuya región de

aceptación 0H es:

+++−=

2

2

2

1

2

1

22

2

2

1

2

1

2

0 0,0nn

znn

zR

=

++−

30

16

30

16·96,1,

30

16

30

1696,1 =

( )024'2,024'2− . Como la diferencia de las medias de la muestra es 9.27.328.2921 −=−=− xx

unidades y no está en la región de aceptación de 0H , debemos rechazar la hipótesis

210 : =H (que los dos tipos de viga tienen la misma resistencia a la rotura).

35. Se seleccionó una muestra de deportistas de alto nivel en cierto país. Se les preguntó si la competición les producía problemas de ansiedad. Los datos recogidos fueron los siguientes:

Sí, Sí, No, Sí, No, No, Sí, Sí, No, No, No, Sí, No, No, Sí, No, Sí, No, No, No. Determinar justificando las respuestas:


25

(a) Una estimación del porcentaje de deportistas de alto nivel de ese país con problemas de ansiedad ante la competición. (b) Un intervalo de confianza (al 99 %) para el porcentaje de deportistas de alto nivel de ese país con problemas de ansiedad ante la competición. (c) El error máximo cometido con la estimación dada en el apartado (a) con un 99% de confianza.

JUNIO 2016 (OP. B)


Sabemos que 8

0,420

Pp = = = , ya que el tamaño de la muestra es n=20. Es decir, el 40%.

b. Sabemos que el intervalo de confianza es ( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

.

Como 0,4 , 0,01p = = y, por lo tanto 2

z =2,576 , tenemos que:

0,01

0,4 0,6 0,4 0,60,4 2,576 ,0 '4 2,576 0'1178 , 0 '6822

20 20I

= − + =


ppz

−

1

2

. Como 0,01 = , las tablas nos dicen

que 2


ppz

−

1

2

=2,5760,4 0,6

20

0,2822E = . También lo

podemos calcular hallando la mitad de la longitud del intervalo de confianza: 0,6822 0,1178 0,5644

0,28222 2

−= = .

36. El porcentaje de peso que se pierde tras la realización de un programa de ejercicios sigue una distribución Normal con desviación típica 0.5, tanto en hombres como en mujeres. Un grupo de hombres y otro de mujeres de cierta región realizaron dicho programa de ejercicios. Se recogió la siguiente información sobre el porcentaje de peso perdido:

Hombres 3.1 3.9 3.7 4.0 4.1 4.2 4.0 3.8 3.9 4.1 Mujeres 3.0 3.8 2.5 4,1 3.7 3.6 3.3 4.0 3. 7 2.9

Se pide justificando las respuestas: (a) Una estimación del porcentaje medio de peso que se pierde en mujeres. (b) ¿Se podría concluir, para 0,05 = , que el porcentaje medio de peso que se pierde es

diferente en hombres y en mujeres?

JULIO 2016 (OP. B)

a. Como la estimación es puntual utilizamos la distribución muestral de medias. Sabemos

que ( )10

2

1

/10 34,6 /10 3,46iXi

x x=

= = = = , ya que el tamaño de la muestra es n=10.


26

b. El test que debemos utilizar es

=

211

210

:

:1

H

HTEST

−

=−

0:

0:

211

210

H

H, cuya

región de aceptación 0H es:

+++−=

2

2

2

1

2

1

22

2

2

1

2

1

2

0 0,0nn

znn

zR

=0,25 0,25 0,25 0,25

1,96 ,1,96·10 10 10 10

− + +

=

( )0'4383, 0 '4383− . Como la diferencia de las medias de la muestra es

( )10

1 2 1

1

3,88 3,46 0,42 ( /10 38,8 /10 3,88)i

i

x x x x=

− = − = = = = unidades y si está en la

región de aceptación de 0H , debemos rechazar la hipótesis 1 1 2:H (que el

porcentaje medio de peso que se pierde es diferente en hombres y en mujeres)

37. Una empresa de franquicias ha observado que durante el último año los beneficios han disminuido. Sospecha que hay mala gestión de las tiendas. Realiza un estudio para

comprobarlo y de 95 tiendas muestreadas, 28 de ellas tienen mala gestión. (a) Calcular el intervalo de confianza al 95 % de la proporción de tiendas mal gestionadas.

(2.5 PUNTOS) (b) Si la empresa, quiere que la longitud del intervalo sea 0.1, ¿cuántas tiendas debería

muestrear? (1 PUNTO)

JUNIO 2017 (OP. B)


Sabemos que 28

0,294795

Pp = = = , ya que el tamaño de la muestra es n=95. Es decir, el

29,47%. Por otra parte, sabemos que el intervalo de confianza es

( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

. Como 0,2947 , 0,05p = = y, por lo tanto

2


0,05

0,2947 0,7053 0,2947 0,70530,2947 1,96 ,0 '2947 1,96 0'2030 , 0 '3864

95 95I

= − + =


27

b. La longitud del intervalo de confianza es: ( )

2

1 0,2947 0,70532· 2·1,96· 0,1

p pz

n n

− = = .

Despejamos n de la ecuación y obtenemos:

2

2·1,96· 0,2947·0,7053319,39

0,1n

= =

. A partir de

320 tiendas de muestra la longitud del intervalo será inferior a 0,1.

38. Para realizar el control de calidad en la fabricación de protectores de pantallas de dispositivos móviles se utiliza el intervalo de confianza al 99 % del grosor de los mismos. Se sabe que la distribución del grosor es una normal de desviación típica conocida de 0.1 mm. Una empresa quiere crear su intervalo de confianza y muestrea diez protectores con los siguientes grosores (en mm): 0.50 0.43 0.37 0.27 0.60 0.32 0.31 0.27 0.40 0.36

a. Calcular el intervalo de confianza al 99 % del grosor medio de los protectores. (2.5 PUNTOS)

b. Para que el intervalo de confianza sea útil, su longitud debe ser 0.1. ¿Cuántos protectores necesita muestrear la empresa para obtener esa precisión'?

(1 PUNTO)

JULIO 2017 (OP. A)

a. La estimación puntual para la media del grosor de los protectores de pantalla es la media

muestral, ( )10

1

/10 3,83 /10 0,383iXi

x x=

= = = = . El intervalo de confianza es:

0,01

2 2

0,1 0,1, 0,383 2,576 ,0,383 2,576

10 10I x z x z I

n n

= − + = = − +

Así que: 0,01 (0'3015, 0'4645)I =

b. La longitud del intervalo de confianza es: 2

0,12· 2·2,576· 0,1z

n n

= = . Despejamos n de la

ecuación y obtenemos: ( )2

2·2,576 26,54n = = . A partir de 27 protectores de muestra la longitud

del intervalo será inferior a 0,1.


28

39. Una región agrícola se dedica a la producción de tomates. Durante este año se ha utilizado un nuevo abono y se quiere estimar la cantidad de tomate producido por hectárea. Se han muestreado 37 zonas y la producción media ha sido de 78 tm por hectárea. Se sabe que el número de tm por hectárea sigue una distribución normal con desviación típica 2. (a) Calcular el intervalo de confianza al 95%. (2.5 puntos) (b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestra! para que el intervalo tenga una longitud de 0.5? (1 punto)

Justificar la respuesta

JUNIO 2018 (OP. A)

a. El intervalo de confianza para la media viene dado por:

+−=

nzx

nzxI

22

, = 0,05

2 278 1,96 ,78 1,96 77'36,78'64

37 37I

= − + =

b. La longitud del intervalo de confianza anterior es: 2

22· 2·1'96· 0,5z

n n

= = . Despejamos n

de la ecuación y obtenemos:

22·1'96·2

245,860,5

n

= =

. A partir de 246 zonas de muestra la

longitud del intervalo será inferior a 0,5.

40. En una ciudad se desea estimar la proporción do hogares que reciclan sus envases de plástico. La ciudad está dividida en cuatro barrios (A, B, C y D) con 800, 2000, 1200 y 1000 hogares respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado con afijación proporcional una muestra de 400 hogares. (a) ¿Cuántos hogares de cada uno de los barrios se incluirán en la muestra? (0.5 puntos) (b) Si en el barrio B, 64 hogares de la muestra reciclan, ¿cuál es la estimación de hogares que reciclan en ese barrio? (0.5 puntos) (c) Proporcionar un intervalo de confianza al 95 % para la estimación puntual anterior. (2.5 puntos)

Justificar las respuestas.

JULIO 2018 (OP. B)

a. Atendiendo al criterio de proporcionalidad, los tamaños de las submuestras deberán ser:

(Tamaño de la muestra: 400 hogares)


29

800

5000 400

x= 64x = hogares en el barrio A

2000

5000 400

x= 160x = hogares en el barrio B

1200

5000 400

x= 96x = hogares en el barrio C

1000

5000 400

x= 80x = hogares en el barrio D


Sabemos que 64

0,4160

Pp = = = , ya que el tamaño de la submuestra es n=160. Es

decir, el 40%.

c. Sabemos que el intervalo de confianza para la proporción es

( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

. Como 0,4 , 0,05p = = y, por lo tanto

2


0,05

0,4 0,6 0,4 0,60'4 1,96 ,0'4 1,96 0'3241 , 0'4759

160 160I

= − + =

41. El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono sigue una distribución normal con desviación típica 24 horas. Se pregunta a 100 clientes por el tiempo invertido en la portabilidad, obteniéndose una media de 36 horas. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcular el intervalo de confianza al 95 % para la media de tiempo que tarda dicha compañía en hacer efectiva la portabilidad. (2.5 puntos)

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para que el intervalo tenga una longitud de 5? (1 punto)

JUNIO 2019 (OP. B)

a) El intervalo de confianza para la media viene dado por:

+−=

nzx

nzxI

22

, = 0,05

24 2436 1,96 ,36 1,96 31'296,40'704

100 100I

= − + =


30

b) La longitud del intervalo de confianza anterior es: 2

242· 2·1'96· 5z

n n

= = . Despejamos n de la

ecuación y obtenemos:

22·1'96·24

354,0425

n

= =

. A partir de 355 clientes de muestra la

longitud del intervalo será inferior a 5.

42. Se realiza un estudio sobre el tiempo de reacción de los conductores ante un imprevisto. Se considera una población de 10.000 conductores, de los cuales, 5.000 tienen una antigüedad superior a 10 años, 3000 tienen una antigüedad entre 3 y 10 años y el resto tienen una antigüedad inferior a 3 años. Se selecciona una muestra de 500 conductores mediante muestreo estratificado con afijación proporcional. Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿Cuántos conductores de cada uno de los estratos mencionados anteriormente se incluirán en la muestra? (1 punto)

b) En los conductores con una antigüedad de menos de tres años que resultan elegidos en la muestra, se observa que el tiempo medio de reacción es de 1.2 segundos. Supuesta que dicha variable tiene distribución normal con desviación típica 0,3 segundos, proporcionar un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo medio de reacción de estos conductores. (2.5 puntos)

JULIO 2019 (OP. A)

a) Atendiendo al criterio de proporcionalidad, los tamaños de las submuestras deberán ser:

5.000

10.000 500

x= 250x = conductores tienen una antigüedad superior a 10 años

3.000

10.000 500

x= 150x = conductores tienen una antigüedad entre 3 y 10 años

2.000

10.000 500

x= 100x = conductores tienen una antigüedad inferior a 3 años

b) El intervalo de confianza para la media viene dado por:

+−=

nzx

nzxI

22

, = 0,05

0'3 0'31'2 1,96 ,1'2 1,96 1'1412,1'2588

100 100I

= − + =


31

43. El peso de los libros de texto es una variable que sigue una distribución normal con una desviación típica de 72 gramos. Se toma una muestra de 36 libros, siendo su peso medio de 800 gramos. Calcular, justificando la respuesta, el intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de los libros de texto.

JUNIO 2020 EJ 9

Sabemos que el intervalo de confianza para la media viene dado por:

+−=

nzx

nzxI

22

, = 0,05

72 72800 1,96 ,800 1,96 776'48,823'52

36 36I

= − + =

44. Se pretende realizar un estudio sobre la renta mensual de las familias. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica de 400 euros. Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 95 % para la media de dicha variable, ¿cuántas familias tenemos que seleccionar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de 160 euros? Justificar la respuesta.

JUNIO 2020 EJ 10


+−=

nzx

nzxI

22

, . Por lo tanto, la longitud del intervalo de confianza anterior es:

2

4002· 2·1'96· 160z

n n

= = .


22·1'96·400

96,04160

n

= =

. Luego a partir de 97 familias de

muestra la longitud del intervalo será inferior a 160 €.


32

45. Una marca de dulces realiza un control de calidad de sus productos, considerando el diámetro (en cm) de las galletas que produce. Dicha variable sigue una distribución normal con una desviación típica 2 cm. Se eligen al azar 100 de las galletas producidas en la fábrica, obteniéndose un diámetro medio de 8 cm. Calcular, justificando la respuesta, el intervalo de confianza al 95 % para el diámetro medio de las galletas producidas por dicha marca.

SEPTIEMBRE 2020 EJ 9


+−=

nzx

nzxI

22

, = 0,05

2 28 1,96 ,8 1,96 7 '608,8'392

100 100I

= − + =

46. Se realiza un estudio sobre el precio del pan en distintas tiendas, variable que se supone con distribución normal de desviación típica 20 céntimos. Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 95 % para la media de dicha variable, ¿cuántas tiendas tenemos que visitar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de 10 céntimos? Justificar la respuesta.

SEPTIEMBRE 2020 EJ 10


+−=

nzx

nzxI

22

, . Por lo tanto, la longitud del intervalo de confianza anterior es:

2

202· 2·1'96· 10z

n n

= = .


22·1'96·20

61,465610

n

= =

. Luego a partir de 62 tiendas de

muestra la longitud del intervalo será inferior a 10 céntimos.


33

RESUMEN FORMULAS NOTABLES

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE

MEDIAS

Sus parámetros son

=

=

nX

X

A medida que n aumenta, X se aproxima a una

distribución normal ),(n

NX

.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE

PROPORCIONES

Sus parámetros son ( )

−=

=

n

pp

p

P

P

1

A medida que n aumenta (n30), P se aproxima a

una normal. P( )

−

n

pppN

1, .

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA

+−=

nzx

nzxI

22

,

Siendo x la media de la muestra, n el tamaño de la

muestra, la desviación típica y 2

z el valor crítico

tal que −= 1)(22

zZzp con )1,0(NZ como

tipificación de ),(n

NX

.

En el caso que sea desconocida y suponiendo

30n , se puede aproximar por nnn

n

−=

1ˆ ,

siendo n la desviación típica asociada a la muestra.

A n2̂ se le denomina cuasivarianza. También

podemos aproximar por la desviación típica muestral

n .

INTERVALO DE CONFIANZA DE

PROPORCIÓN

( ) ( )

−+

−−=

n

ppzp

n

ppzpI

1,

1

22

Siendo p la proporción de la muestra, n su tamaño y

2

z el valor crítico tal que −= 1)(22

zZzp con

)1,0(NZ como tipificación de p .

ERROR DE ESTIMACIÓN

nzE

=2

, siendo 2

z el valor crítico antes

mencionado y la desviación típica. En el caso que

sea desconocida y suponiendo 30n , se puede

aproximar como en el caso anterior.


E= ( )n

ppz

−

1

2

, siendo p la proporción de la

muestra, n su tamaño y 2

z el valor crítico, es decir, tal

que −= 1)(22

zZzp con )1,0(NZ como

tipificación de p .


34

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

++−+−−=

2

2

2

1

2

1

2

21

2

2

2

1

2

1

2

21 ,nn

zxxnn

zxxI

Siendo 21 xyx las medias de la muestra, 21 nyn el tamaño de las muestras, 21 y las

desviaciones típicas poblacionales y 2


zZzp con

)1,0(NZ como tipificación de ),(2

2

2

1

2

12121

nnNXX

+−−

En el caso que sea desconocida y suponiendo 30n , se puede aproximar por

nnn

n

−=

1ˆ , siendo n la desviación típica asociada a la muestra. A n

2̂ se le denomina

cuasivarianza. También podemos aproximar por la desviación típica muestral n .


+=

2

2

2

1

2

1

2nn

zE

, siendo 2

z el valor crítico antes mencionado y la desviación típica. En

el caso que sea desconocida y suponiendo 30n , se puede aproximar como en el caso anterior.


35

TEST DE HIPÓTESIS I

=

211

210

:

:1

H

HTEST

−

=−

0:

0:

211

210

H

H

REGIÓN DE ACEPTACIÓN

+++−=

2

2

2

1

2

1

22

2

2

1

2

1

2

0 0,0nn

znn

zR

Siendo 21 nyn el tamaño de las muestras, 21 y las desviaciones típicas

poblacionales y 2


zZzp con

)1,0(NZ como tipificación de ),(2

2

2

1

2

12121

nnNXX

+−−

TEST DE HIPÓTESIS I

=

01

00

:

:1

H

HTEST

REGIÓN DE ACEPTACIÓN

+−= sS zzR ·,

2

0

2

0

Siendo 0 el valor del parámetro

poblacional en el test correspondiente, S

la desviación típica del estimador y 2

z el

valor crítico, es decir, tal que

−=− 1)(22

zZzp , con

)1,0(0 NS

ZS

−

=

la tipificación del

estimador.

TEST DE HIPÓTESIS II

TEST 2

01

00

:

:

H

H

REGIÓN DE ACEPTACIÓN ( )SzR +−= 0,

Siendo 0 el valor del

parámetro poblacional en el

test correspondiente, S la

desviación típica del estimador

y z el valor crítico, es decir,

tal que −= 1)( zZp , con

)1,0(0 NS

ZS

−

=

la

tipificación del estimador.

TEST DE HIPÓTESIS III

01

00

:

:3

H

HTEST

REGIÓN DE ACEPTACIÓN ( )+−= ,0 SzR

Siendo 0 el valor del

parámetro poblacional en el

test correspondiente, S la

desviación típica del

estimador y z el valor

crítico,es decir, tal que

−= 1)( zZp , con

)1,0(0 NS

ZS

−

=

la

tipificación del estimador.

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EXÁMENES SELECTIVIDAD ESTADÍSTICA