Exerc­cios de exames e provas oficiais - .Exerc­cios de exames e provas oficiais 1. Na figura, est representada, num referencial ... matemtica A – 12 ano,

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    derivadas

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    Exerccios de exames e provas oficiais

    1. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo f,

    polinomial do terceiro grau.

    Tal como a figura sugere, a funo f tem um

    mximo relativo para 2x e tem um mnimo

    relativo para 2x .

    A origem do referencial ponto de inflexo do

    grfico de f.

    Sejam 'f e ''f a primeira e segunda derivadas

    da funo f, respetivamente.

    Qual o conjunto soluo da condio

    ' '' 0f x f x ?

    (A) 2,0 2, (B) , 2 0,2

    (C) ,0 2, (D) , 2 0,

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2017

    2. Pretende-se eliminar um poluente diludo na gua de um tanque de um viveiro. Para tal, escoada gua por um orifcio na base do tanque e, em simultneo, vertida no tanque gua

    no poluda, de tal modo que a quantidade total de gua no tanque se mantm.

    Admita que a massa, p, de poluente, medida em gramas, t horas aps o incio do processo, ,

    para um certo nmero real positivo k, dada por

    120 ktp t e 0t

    Utilizando exclusivamente mtodos analticos, utilizando a calculadora para eventuais

    clculos numricos, admita que 0,27k .

    Determine a taxa mdia de variao da funo p no intervalo 0,3 e interprete o resultado obtido no contexto da situao descrita.

    Apresente o valor da taxa mdia de variao arredondado s unidades.

    Se, em clculos intermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, duas casas

    decimais.

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2017

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    3. De uma funo f, de domnio , com derivada finita em todos os pontos do seu domnio,

    sabe-se que

    2

    2

    2lim 4

    2x

    x x

    f x f

    .

    Qual o valor ' 2f ?

    (A) 1

    2 (B)

    1

    4 (C)

    1

    2 (D)

    1

    4

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2017

    4. Seja f uma funo de domnio .

    A tabela de variao de sinal da funo ''f , segunda derivada de f, a seguinte.

    x 10 0 10

    ''f 0 + 0 0 +

    Seja g a funo definida por 5g x f x .

    Em qual dos intervalos seguintes o grfico de g tem concavidade voltada para baixo?

    (A) 15, 5 (B) 0,10 (C) 5,5 (D) 5,15

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2017

    5. Considere a funo f, de domnio , definida por ln x

    f xx

    .

    Para um certo nmero real k, a funo g, de domnio

    , definida por k

    g x f xx

    ,

    tem um extremo relativo para 1x .

    Utilizando exclusivamente mtodos analticos, determine esse nmero k.

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2017

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    6. Na figura ao lado, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f.

    Sabe-se que o nico ponto de inflexo do grfico de f

    tem abcissa 0.

    Seja ''f a segunda derivada da funo f.

    Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

    (A) '' 1 '' 2 0f f (B) '' 2 '' 1 0f f

    (C) '' 1 '' 2 0f f (D) '' 1 '' 2 0f f

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2017

    7. Seja :f uma funo tal que ' 0f x , para qualquer nmero real positivo x.

    Considere, num referencial o.n. xOy:

    um ponto P, de abcissa a, pertencente ao grfico de f;

    a reta r, tangente ao grfico de f no ponto P;

    o ponto Q, ponto de interseco da reta r com o eixo Ox.

    Sabe-se que OP PQ

    Determine o valor de

    'f a

    f aa

    .

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2017

    8. Seja f a funo, de domnio 3

    ,2

    , definida por

    8.1.

    21 3cos 04 2

    ln 0x

    x x se xf x

    e x se x

    Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, estude a funo f quanto ao

    sentido das concavidades e quanto existncia de pontos de inflexo do seu grfico, no

    intervalo 3

    ,02

    Na sua resposta, indique:

    - o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para baixo.

    - o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para cima

    - a(s) abcissa(s) do(s) de inflexo do grfico de f

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    8.2. Na figura esto representados:

    parte do grfico da funo f

    um ponto A, pertencente ao grfico de f, de abcissa a

    a reta t, tangente ao grfico da funo f no ponto A

    Sabe-se que:

    0,1a

    a reta t tem declive igual a 1,1

    Determine, recorrendo calculadora grfica, a abcissa do

    ponto A

    Na sua resposta, indique:

    - equacione o problema

    - reproduza, num referencial, o(s) grfico(s) da(s) funo(es) que visualizar na calculadora, que lhe

    permite(m) resolver a equao

    - apresente a abcissa do ponto A arredondada s centsimas

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2016

    9. Seja f a funo, de domnio ,2

    , definida por

    2 sin

    0cos 2

    x ln 0

    xse x

    f x x

    x se x

    9.1. Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, estude a funo f quanto

    monotonia e quanto existncia de extremos relativos, no intervalo ,02

    .

    9.2. Seja r a reta tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa 1

    2

    Alm do ponto de tangncia, a reta r interseta o grfico de f em mais dois pontos, A e B,

    cujas abcissas pertencem ao intervalo ,02

    (considere que o ponto A o de menor

    abcissa)

    Determine analiticamente a equao reduzida da reta r e, utilizando a calculadora grfica,

    obtenha as abcissas dos pontos A e B.

    Apresente essas abcissas arredondadas s centsimas.

    Na sua resposta, reproduza, num referencial, o grfico da funo ou os grficos das funes

    que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema.

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    10. Seja f uma funo, de domnio , cuja derivada, 'f , de domnio , dada por

    2' 1xf x e x x

    Resolva os itens seguintes, recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.

    10.1. Sejam p e q dois nmeros reais tais que

    1

    1lim

    1x

    f x fp

    x

    e

    1q

    p

    Determine o valor de q e interprete geometricamente esse valor.

    10.2. Estude a funo f quanto ao sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia de pontos de inflexo.

    Na sua resposta, apresente:

    - o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para baixo.

    - o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para cima

    - a(s) abcissa(s) do(s) de inflexo do grfico de f

    matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2016

    11. Na figura abaixo, est representada, num referencial o.n. xOy, parte do grfico de uma funo polinomial f.

    Em qual das quatro opes seguintes pode estar representada parte do grfico da funo "f

    , segunda derivada da funo f?

    (A)

    (B)

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    (C)

    (D)

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2015

    12. Seja f uma funo de domnio

    Sabe-se que ' 2 6f ( 'f designa a derivada de f)

    Qual o valor de

    22

    2lim

    2x

    f x f

    x x

    ?

    (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2015

    13. Admita que, ao longo dos sculos XIX, XX e XXI, o nmero de habitantes, N, em milhes, de uma certa regio do globo dado aproximadamente por

    0,25

    200 0

    1 50 tN t

    e

    em que t o tempo medido em dcadas e em que o instante 0t corresponde ao final do

    ano 1800.

    Determine a taxa mdia de variao da funo N no intervalo 10,20 .

    Apresente o resultado arredondado s unidades.

    Interprete o resultado, no contexto da situao descrita.

    matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2015

    14. Seja f a funo, de domnio 0

    , definida por 2 1 xf x x e .

    Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, estude a funo f quanto

    monotonia e quanto existncia de extremos relativos.

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    15. Seja f a funo, de domnio , definida por

    1 3

    ln 3 ln 3

    xxe se xf x

    x x se x

    Recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora, determine a equao reduzida

    da reta tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa 4.

    matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2015

    16. Seja :f uma funo tal que:

    f tem derivada finita em todos os pontos do seu domnio;

    ' 0 0f ;

    " 0f x , para qualquer ,0x .

    Nenhum dos grficos a seguir apresentados o grfico da funo f

    Elabore uma composio na qual apresente, para cada um dos grficos, uma razo pela qual

    esse grfico no pod