Un exercice de calcul de déterminant

Victor RANNAUD

Révision du 27 Février 2012

Voici un exercice de calcul de déterminant n − n posé par mon professeur de Mathématiques en

2e année de Classe Préparatoire aux Grandes Ecoles (CPGE), section Physique-Chimie, au Lycée

Chaptal, M. Thierry Dugardin. La résolution de ce problème requiert des bases d’algèbre linéaire et

de calcul de déterminant de taille quelconque. L’énoncé de l’exercice était le suivant :

Soient q ∈ C∗ et n ∈ N∗. Soit une matrice M ∈ Mn(C), Mn(C) étant l’algèbre desmatrices carrées de taille n à coefficients complexes.

On définit les coefficients de la matrice M comme suit :

∀ (i, j) ∈ [1..n]2 , M [i, j] = q(i−j)2 .

Calculer le déterminant de cette matrice.

Indication On pourra chercher à multiplier M par une matrice dont le déterminant secalcule simplement pour obtenir une matrice de Vandermonde, dont on peut calculerle déterminant.

Remarque : l’indication ci-dessus ne faisait pas partie de l’énoncé d’origine ; elle fait écho à la

méthode que j’ai trouvée pour résoudre l’exercice.

Pour toute question ou remarque à propos de cet exercice, vous pouvez me contacter viamon compte Scribd.

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