1

ตอนท 1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห

1.1 ระยะหางระหวางจด 2 จดใดๆ กรณท 1 หาก x1 = x2 , d = | y1 – y2 | หรอ y1 = y2 , d = | x1 – x2 |

กรณท 2 หาก x1 ≠ x2 และ y1 ≠ y2

d = 2)2y1(y2)2x1(x −+−

1. จงหาระยะหางระหวางจด 2 จดตอไปน 1. P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , –5) 2. P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7) 3. P1 (4 , –1) , P2 (7 , –3) 4. P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1) ตอบ 1) 9 2) 3 3) 13 4) 5 วธทา 2. ถาระยะหางระหวางจด (2 , 3) และ ( k , 0 ) เปน 5 หนวย จงหาคา k ( 6,–2 ) วธทา

(x2 , y2)

•

•

d (x1 , y1)

คณตศาสตร บทท 1 เรขาคณตว เคราะห

2

3. จด (–4 , 3) อยหางจากแกน y เปนระยะกหนวย (4) วธทา 4. รปวงกลมวงหนงมจดศนยกลางทจด (4 , –3) และมแกน X เปนเสนสมผส จงหาจดสมผส

และรศมวงกลม [ (4,0) , 3 ] วธทา 5. จงหาคา y ถา (4 , y) อยหางจากจด (–5 , 2) และ (13 ,–6) เปนระยะเทากน (–2) วธทา

3

1.2 จดกงกลางระหวางจด 2 จดใด ๆ

6. จงหาจดกงกลางระหวางจด (–4 , 6) และ (5 , –2) ( )2 ,21

วธทา 7. จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ จงหาพกดของจด P ถา

(1) M มพกดเปน (1 , 2) และ Q มพกดเปน (3 , 4) (–1 , 0) (2) M มพกดเปน (5 , 6) และ Q มพกดเปน (15 ,–4) (–5 , 16) วธทา

(x2 , y2)

•

•

(x1 , y1) •

)y, x( = )22y1y

,22x1x

(++

4

8. ให A(2 , 7) , B(–5 , 6) เปนจดปลายของสวนของเสนตรง จงหาพกดของจดบนสวนของ เสนตรงน ซงอยหางจาก A เทากบ 4

3 ของระยะทางระหวาง A และ B (–3.25 , 6.25)

วธทา

1.3 จดแบงระหวางจด 2 จด ดวยอตราสวนใดๆ

9. จงหาพกดของจดแบงระหวางจด ( 5 , 3 ) และ ( 1 , 2 ) ซงแบงระยะทางระหวางจด 2 จด เปนอตราสวน 2 : 3 ( 5

13,517 )

วธทา

(x2 , y2)

•

•

(x1 , y1) •

)y, x( = )1m2m 2y1m1y2m

,1m2m 2x1m1x2m

( ++

++

m1

m2

5

10. จงหาจดทอยหางจากจด (3 , 5) เปน 2 เทาของระยะหางจากจด (2 , 4) และจดนอยบน เสนเชอมจดทงสอง ( 3

13,37 )

วธทา

1.4 การหาพนทรปหลายเหลยม ตวอยาง จดยอดของ ΔABC คอจด A(5 , 7) , B(8 ,3) และ C (2 , 2) จงหาพนท Δ น วธทา

จาก พนท Δ = 21 2 5 8 2

2 7 3 2

= 21 | 72 – 45 |

พนท Δ = 13.5 ตารางหนวย

11. จงหาพนทรป Δ ทมจดยอดเปน (4 , 5) , (4 , –3) , (–5 , –3) (36) วธทา

+16 +15 +14 = 45

+6 +56 +10 = 72

6

12. จงหาพนทรป ทมจดยอดเปน (–4 , 3) , (4 , 5) , (8 , 11) , (–8 , 7) (60)

วธทา

1.5 การหาจดตดเสนมธยฐาน

ตวอยางท 4. จดยอดของ ΔABC คอจด A(5 , 7) , B(8 ,3) และ C (2 , 2) จงหาจดตดกนของ

เสนมธยฐานของ Δ รปน วธทา หาจดตดมธยฐานจาก

)y,x( = )33y2y1y

,33x2x1x

( ++++

= )32 3 7,3

2 8 5( ++++

)y,x( = (5 , 4)

13. จดยอดของ ΔABC คอจด A (5 , 7) , B (8 , 3) และ C (2 , 2) จดตดกนของเสนมธยฐาน ของ Δ รปนจะอยหางจากจดกาเนดเทาไร ( 41 )

วธทา

7

ตอนท 2 เสนตรง

2.1 การหาความชนเสนตรง เราสามารถหาความชนของเสนตรงใด ๆ ไดจาก

m = 1x2x 1y2y

−−

เมอ m คอ ความชนเสนตรง

หรอ m = tanθ

เมอ θ คอ มมทเสนตรงเอยงกระทากบแกน + x ในทศทวนเขมนาฬกา

14. จงหาความชนของเสนตรงทผานจดตอไปน 1. (0 , 0) , (2 , 6) 2. (3 , 4) , (6 , –5) 3. (3 , 5) , (4 , 5) 4. (4 , 6) , (4 , 7)

วธทา ( 1. 3 2. –3 3. 0 4. หาคาไมได )

15. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปนมม 60o จะมความชนเทาไร ( 3 ) วธทา 16. ให P1 (5 , 1) และ P2 (8 , k) เสนตรงทผานจดทงสองมความชน 3

4 จงหาคา k (5)

วธทา

8

2.2 เสนขนาน และ เสนตงฉาก 1) เสนตรงทขนานกน จะมความชนเทากนเสมอ 2) หากเสนตรง 2 เสน ตงฉากกน เมอนาความชน ของเสนตรงทงสองมาคณกนจะได

ผลคณเปน –1 เสมอ 5(– 5

1 ) = –1

–8 ( 81 ) = –1

(– QP )( P

Q ) = –1

17. เสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทมความชนตอไปน จะมความชนเทาใด 1. 4 2. 4

3 3. 65 4. 4

1 5. km

ตอบ 1] 41− 2] 3

4− 3] 56− 4] − 4 5] mk−

18. เสนตรงทผานจด (K ,7) และ (–3 , –2) ขนานกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4) จงหาคา K (0)

วธทา 19. เสนตรงผานจด (K ,7) และ (–3 , –2) ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (1 , –4)

จงหาคา K (–30 ) วธทา

9

2.3 มมระหวางเสนตรง 2 เสนตดกน

หาไดจากสมการ

tan θ = 2m . 1m 1

2m 1m+−

เมอ θ คอ มมทวดจากเสนตรงความชน m2 วดทวนเขมนาฬกาถงเสนตรงท มความชน m1

20. เสนตรงสองเสนซงมความชน m1 = 3 , m2 = 1 / 3 จงหามมทวดจากเสนตรง ความชน m2 ถงเสนตรงความชน m1 (30o)

วธทา 21. เสนตรง L1 มความชน –1 เสนตรง L2 มความชน 0 จงหามมทวดจากเสนตรง L1 ไป

ถงเสนตรง L2 (45o) วธทา

m1

m2

θ

10

2.4 สมการเสนตรง สมการเสนตรง คอ สมการทเมอนาไปเขยนกราฟ แลวจะไดกราฟเปนรปเสนตรง สมการเสนตรง แบบท 1

x = a เมอ a คอ จานวนจรงใด ๆ สมบต 1) ตดแกน x ณ. จดท x เปน a 2) เสนตรงนจะขนานแกน y

สมการเสนตรง แบบท 2 y = b

เมอ b คอ จานวนจรงใด ๆ สมบต 1) ตดแกน y ณ. จดท y เปน b

2) เสนตรงนจะขนานแกน x

22. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. x = 8 2. x = –5 3. x = 0 วธทา 23. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทกาหนดใหตอไปน 1. ขนานกบแกน y และอยทางซายแกน y เปนระยะ 2 หนวย ( x = –2 ) 2. ขนานกบแกน y และอยหางจากจด (–2 , 0) เปนระยะ 5 หนวย ( x = 3 หรอ x = –7)

วธทา

11

24. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 1. y = 8 2. y = –5 3. y = 0 วธทา 25. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทกาหนดใหตอไปน 1. ขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 7 หนวย ( y = 7 ) 2. ขนานกบแกน x และอยหางจากจด (0 , 3) เปนระยะ 4 หนวย ( y = 7 หรอ y = –1) วธทา

สมการเสนตรง แบบท 3 y – y1 = m (x – x1)

เมอ m คอ ความชนเสนตรง (x1 , y1) คอ จดทเสนตรงนนผาน

26. จงหาความชน และจดผานอยางนอย 1 จด ของเสนตรงตอไปน 1. (y – 6) = 4 (x –8) 2. (y + 7) = 4 x 3. 4 (y + 5) = 8 (x + 9) ตอบ 1] 4 , (6,8) 2] 4 , (–7,0) 3] 2 , (–5,–9)

วธทา

12

27. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3 , 1) และมความชน 21 ( x–2y–1 = 0 )

วธทา 28. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (–1 , 2) และ (3 , 4) ( x–2y+5 = 0 ) วธทา 29. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , 0) และขนานกบเสนตรงซงผาน

จด (1 , 2) และ (3 , 4) [ x–y+1 = 0 ] วธทา 30. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 ,–4) และตงฉากกบเสนตรงซงผาน

จด (–1 , 3) และ (–2 ,–2) [ x+5y+21 = 0 ] วธทา

13

31. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงเมอกาหนดความชนเปน 23 และระยะตดแกน y

เปน –5 ( 3x–2y–10 = 0 ) วธทา

สมการเสนตรง แบบท 4 y = m x + C

เมอ m คอ ความชนเสนตรง ; C คอ ระยะตดแกน y

ตวอยาง จงหาความชน ระยะตดแกน y และจดตดแกน y ของเสนตรงทมสมการเปน 2 y = 6 x – 16 วธทา จาก 2 y = 6 x – 16

22y = 2

6x – 216

y = 3 x – 8

เทยบกบ y = m x + C จะไดวา m = 3 , C = –8

ดงนน ความชนเสนตรงคอ 3 ระยะตดแกน y คอ – 8 และจดตดแกน y คอ จด ( 0 , –8 )

14

32. จากสมการเสนตรงตอไปน เสนตรงมความชนเทาไร พรอมทงบอกจดตดแกน y ดวย

1. y = 4 x + 6 2. y = 23 x – 4 3. 4 y = 8 x – 4

ตอบ 1. 4 , (0 , 6) 2. 3/2 , ( 0 , –4 ) 3. 2 , ( 0 , –2 ) วธทา 33. จงแสดงวาเสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบเสนตรง y = 3

2 x + 1

วธทา 34. จงแสดงวาเสนตรง 2x + y = 8 ตงฉากกบเสนตรง y = 2

1 x – 5

วธทา

สมการเสนตรง แบบท 5

Ax + By + C = 0

เมอ ความชน (m) = – BA

ตวอยาง 3x + 4y – 12 = 0

ความช = – 4

A = 3 B = 4 C = –12

15

35. จงบอกความชนของเสนตรงตอไปนพรอมทงบอกจดตดแกน x และ y 1. 2x – 3y = 6 2. x – 4y = 8 3. x = 4 4. 2y + 4 = 0

ตอบ 1. 2/3 , (3,0) , (0,–2) 2. 1/4 , (8,0) , (0,–2) 3. หาไมได , (4,0) , ไมม 4. 0 , ไมม , (0 , –2)

วธทา

16

36. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (7 , 5 ) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 ( x+2y–17=0 )

วธทา 37. จงหาสมการของเสนตรงทผานจด (3 , 2) และตงฉากกบเสนตรง x + 2 y + 12 = 0 วธทา

17

38. จงหาจดตดของเสนตรง x + y – 2 = 0 และ 2x – 3y + 1 = 0 ( 1 , 1 )

วธทา 39. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง x – 7y – 11 = 0 และผานจดทเสนตรง

x – 7y – 11 = 0 ตดกบเสนตรง 3x + 5y – 7 = 0 [ 7x + y + 23 = 0 ] วธทา

18

2.5 ระยะหางระหวางจดถงเสนตรง

สตรการหาระยะระหวางจดถงเสนตรง (d)

2B2AC1By1Ax

d+

++=

40. จงหาระยะระหวางเสนตรง 6x – 8y + 4 = 0 กบจด ( 2 ,–3 ) ( 4 ) วธทา

41. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x – 4y + 7 = 0 และอยหางจากจด (5 ,–2) เปน

ระยะ 4 หนวย

( 3x–4y–3 = 0 , 3x–4y– 43 = 0 )

วธทา

• (x1, y1)

d

Ax + By + C = 0

19

42. จงหาสมการของเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 และอยหางจากจด (8 , 8) เปนระยะ 2 หนวย

[ 4x–3y+2 = 0 , 4x–3y–18 = 0 ]

วธทา

43. จงหาสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 12 y = 5 x – 7 และอยหางจากจด ( –1 , 2 )

เปนระยะทาง 3 หนวย [ 12x+5y+41 = 0 , 12x+5y–37 = 0 ] วธทา

2.6 สตรการหาระยะระหวางเสนคขนาน ( d )

d = 2B2A2C1C +

−

44. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 3x + 4y – 7 = 0 , 3x + 4y + 3 = 0 ( 2 ) วธทา

20

45. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 3x– 4y –7 = 0 , 6x – 8y + 16 = 0 (3 ) วธทา 46. ถาเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนง ซง

อยหางกน 8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน [ 12x–5y+42 = 0 , 12x–5y–62 = 0 ] วธทา

⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔

ตอนท 3 วงกลม

สมการวงกลมรปมาตรฐาน (x – h )2 + ( y – k )2 = r2

เมอ (h, k) เปนจดศนยกลางวงกลม และ r เปนรศมวงกลม

47. จากความสมพนธทใหกราฟเปนวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม

1. { (x , y) | ( x – 3)2 + (y – 4)2 = 49} [ (3 , 4) , 7 ]

2. { (x , y) | x2 + (y + 5)2 = 6} [ (0 , –5) , 6 ] วธทา

21

สมการของวงกลมในรปทวไป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

เมอ จดศนยกลางวงกลมจะเปนจด ) 2E , 2

D ( −−

รศมวงกลม = r = F4 2E2D21 −+

48. จากความสมพนธทใหกราฟเปนวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม

1. {( x, y) | x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 } [ (3 , –2) , 4 ]

2. {( x , y) | x2 + y2 + 4y = 0} [ (0 , –2) , 2 ]

3. {( x , y) | 4x2 + 4y2 + 24x = 32y } [ (–3 , 4) ,5 ] วธทา

22

49. จงหาสมการเสนสมผสกบวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y –12 = 0 ทจด (6 , 2) ( 3x+4y–26=0) วธทา 50. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท ( 2 , –1 ) และ รศมเทากบ 3 วธทา ( x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0)

23

51. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด (5 , –1) และเสนรอบวงยาว 14π หนวย วธทา ( x2 + y2 – 10x + 2y – 23 = 0)

52. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (3 , 4) และสมผสกบเสนตรง 2x – y + 5 = 0 วธทา (5x2 + 5y2 – 30x – 40y + 76 = 0)

24

53. จงหาจดตดของวงกลม x2 + y2 – x – 3y = 0 และเสนตรง x + y = 1 { (1,0) , (–1,2) } วธทา

⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔

ตอนท 4 พาราโบลา

กรณท 1 (x – h)2 = 4 c (y

– k)

@

กรณนเสนโคงนอนควาหรอหงาย

แกนพา

ราขนานแกน y ไดเรกตรกซขนานแกน x

@ ถา c เปนบวกเสนโคงหงาย

ถา c เปนลบเสนโคงคว า

@

จดยอด (A) = (h , k) @

จดโฟกส (F) = (h , k + c) @

สมการของเสนไดเรกตรกซคอ

y = k – c @

ลาตสเรกตมยาว = | 4 c |

แกนสมมาตร

ไดเรกตรกซ

F = ( h , k+c)

A = ( h , k)

y = k – c

Y

X

24

25

54. จงวาดรปคราวๆ ของพาราโบลาทสมการเปน (x – h)2 = 4 c (y – k) สมการพาราโบลา

กรณท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h)

@ กรณนเสนโคงนอนตะแคง แกนพารา ขนานแกน x ไดเรกตรกซขนานแกน y

@ ถา c เปนบวกเสนโคงเปดขวา ถา c เปนลบเสนโคงเปดซาย @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h + c , k ) @ สมการของเสนไดเรกตรกซคอ

x = h – c @ ลาตสเรกตมยาว = | 4 c |

55. จงวาดรปคราวๆ ของพาราโบลาทสมการเปน (y – k) 2 = 4 c (x – h)

แกนสมมาตร

ไดเรกตรกซ

F = ( h+c , k) A = ( h , k)

x = h – c

Y

X

25

26

56. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการของพาราตอไปน 1. ( x – 7 )2 = 12 ( y – 5 ) { (7,5) , (7,8) , y = 2 } 2. y2 = 6 ( x + 4 ) { (–4,0) , (–2.5,0) , x = –5.5 } 3. x2 = 8 y { (0,0) , (0 ,2) , y = –2 }

วธทา

27

57. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการของพาราตอไปน 1. y2 – 6y – 4x – 3 = 0 { (–3,3) , (–2,3) , x= –4 } 2. 2x2 – 12x – 16y + 66 = 0 { (3,3) , (3,5) , y =1 } 3. 3x2 – 12x – y + 12 = 0 { (2,0) , (2 , 12

1 ) , y = – 121 }

วธทา

28

58(มช 35) พาราโบลา y = 42x + x + A มกราฟผานจด (2 , 0) จดโฟกสของพาราโบลาน

คอ........................................................ (-2 , -3) วธทา 59(En 38)

ขอใดตอไปนเปนสมการของเสนตรงทผานจด (1 , 6) และผานจดโฟกสของพารา

โบลา y2 – 4y – 4x = 8

1. 3x – 4y + 21 = 0

2. 4x – 3y + 14 = 0

3. 7x + 2y – 19 = 0

4. 2x + 7y – 44 = 0

(ขอ 2)

วธทา

29

ขนตอนการหาสมการพาราโบลา 1) เขยนกราฟดคราวๆ แลวเลอกสมการพารา โดย

ถากราฟตะแคงเลอกกรณ 1 ถาคว าหงายเลอกกรณ 2 2) ตองหาจดยอด (h , k) และคา c ระวงวา ถากราฟควา หรอ ตะแคงเปดซาย c จะมคาเปนลบ

ถากราฟหงาย หรอ ตะแคงเปดขวา c จะมคาเปนบวก 3) แทนคา h , k , c ลงไปในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป

60. จากสงทกาหนดใหตอไปน จงหาสมการของพาราโบลา 1. จดยอด (3, 4) และโฟกส (1, 4) ( y2 + 8x – 8y – 8 = 0 )

2. ไดเรกตรก คอเสนตรง y = –4 และโฟกสอยทจด (2 , –2 ) ( x2 – 4x – 4y – 8 = 0 ) วธทา

30

61(En 36) สมการพาราโบลา ซงมเสนตรง y = 5 เปนเสนไดเรคตรกซ และมโฟกสอยทจด ศนยกลางของวงกลม x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 คอขอตอไปน

1. x2 – 6x + 12y – 15 = 0 2. x2 – 6x – 12y + 33 = 0 3. x2 – 6x + 12y + 21 = 0 4. x2 – 6x – 12y – 3 = 0 (ขอ 1) วธทา 62(มช 39)

จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม x2 – 4x+ y2+2y+4 = 0

และโฟกสอยทจด (2 , 1)

1. x2 – 4x + 8y + 12 = 0

2. x2 + 2x – 8y + 17 = 0

3. x2 + 2x + 8y – 15 = 0

4. x2 – 4x – 8y – 4 = 0

(ขอ 4)

วธทา

31

ตอนท 5 วงร สมการวงร

กรณท 1 สมการหลก คอ 1 2b2) k y ( 2a

2) h x ( =−+−

@ แกนเอกขนานแกน x แกนโทขนานแกน y @ จดศนยกลาง = (h , k)

@ จดยอด A = (h + a , k) และ A/ = (h – a , k) @ จดโฟกส F = (h + c , k ) และ F/ = (h – c , k)

@ ความยาวของแกนเอก = 2a @ ความยาวของแกนโท = 2b

@ ผลบวกคงตว = 2a

63. จงวาดรปคราวๆ ของวงรทสมการเปน 1 2b2) k y ( 2a

2) h x ( =−+−

แกนเอก

แกนโท

C=( h , k ) * * F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k )

32

กรณท 2 สมการหลก คอ 1 2b2) h x ( 2a

2) k y ( =−+−

@ แกนเอกขนานแกน y แกนโทขนานแกน x @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k–a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k–c) @ ความยาวของแกนเอก = 2 a

@ ความยาวของแกนโท = 2 b @ ผลบวกคงตว = 2 a

64. จงวาดรปคราวๆ ของวงรทสมการเปน 1 2b2) h x ( 2a

2) k y ( =−+−

F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a )

แกนเอก

แกนโทC=( h , k )

*

*

33

เกยวกบวงรทงสองกรณ

1. a2 > b2 2. c2 = a2 – b2

เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส 3. ความเยองศนยกลาง (e) = ac

3.1 0 < e < 1 3.2 ถา e มคามาก วงรจะมความรมาก ถา e มคานอย วงรจะมความรนอย คอ เกอบกลม

65. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง

1. 1 = 21025) (y + 28

23) (x −− 2. 1162) 7 y (

252x =++

วธทา

e = 0.95

e = 0.1

34

66. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง 1. 9x2 + y2 – 18x – 6y + 9 = 0 2. 4x2 + 9y2 – 48x – 72y + 144 = 0

วธทา

35

ขนตอนการหาสมการวงร วาดรปคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงร

ตองหาจดศนยกลาง ( h , k) และหาคา a , b นาคา h , k , a , b แทนลงในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป

67. จงหาสมการวงรตอไปน 1. โฟกสหนง (–8 , 1) แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0 , 1) (x2+17y2–34y–51 = 0) 2. โฟกสอยท (0 , 2 ) และ ( 0 , –2 ) ผลบวกคงตวเทากบ 6 ( 5y2+9x2–45 = 0) วธทา

36

68. จงหาสมการวงรทมจดยอดเปน (–5 , 0) และ (5 , 0) และโฟกสหนง (2 , 0) วธทา (21x2+25y2–525 = 0) 69. จงหาสมการวงรซงกราฟตดแกน x ทจด (–4 , 0) และ (4 , 0) และตดแกน y ทจด (0 , 2)

และ (0 , –2) (x2+4y2 –16 = 0) วธทา

37

ตอนท 6 ไฮเปอรโบลา สมการไฮเปอรโบลา

กรณท 1 สมการหลกคอ 12b2) k y (

2a2) h x ( =−−−

@ แกนตามขวางขนานแกน x แกนสงยคขนานแกน y @ จดศนยกลาง = (h , k)

@ จดยอด A = ( h + a , k) และ A′ = ( h – a , k)

@ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F′ = ( h – c , k) @ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a @ ความยาวของแกนสงยค = 2b @ ผลตางคงตว = 2a

@ สมการเสนกากบหาจาก y = ± ab x

70. จงวาดรปคราวๆ ของไฮเปอรโบลาทสมการเปน 12b2) k y (

2a2) h x ( =−−−

Y

X

เสนกากบ

เสนกากบ

C=( h , k )

F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k ) * *

แกนสงยค

แกนตามขวาง

38

กรณท 2 สมการหลกคอ 12b2) h x (

2a2) k y ( =−−−

@ แกนตามขวางขนานแกน y แกนสงยคขนานแกน x @ จดศนยกลาง = (h , k)

@ จดยอด A = (h , k + a) และ A/ = (h , k – a ) @ จดโฟกส F = (h , k + c) และ F/ = (h , k – c )

@ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a @ ความยาวของแกนสงยค = 2b

@ ผลตางคงตว = 2a

@ สมการเสนกากบหาจาก y = ± ba x

เงอนไขของสมการไฮเปอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2

เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส

แกนตามขวาง

X

Y

แกนสงยค

เสนกากบ เสนกากบ

* F/=( h , k–c

* F=( h , k+c )

A/=( h , k–a )

C=( h , k )

A=( h , k–a )

39

71. จงวาดรปคราวๆ ของไฮเปอรโบลาทสมการเปน 12b2) h x (

2a2) k y ( =−−−

72. จากสมการไฮเปอรโบลาน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง

ความยาวแกนสงยค และ ผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง

1. 1 = 2102) 5 (y

2823) (x −−− 2. 1 = 16

2) 7 x (252y +−

วธทา

40

73. จากสมการไฮเปอรโบลาน จงบอกจดศนยกลาง ความยาวแกนตามขวาง แกนสงยค จด ยอด จดโฟกส และ ผลตางคงตว 1. y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59 2. 2x2 – 3y2 – 20x – 24y – 4 = 0

วธทา

41

ขนตอนการหาสมการไฮเปอรโบลา วาดรปคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงร

ตองหาจดศนยกลาง (h , k) และหาคา a , b นาคา h , k , a , b แทนลงในสมการหลกทใช แลวทาสมการใหอยในรปทวไป

74. จงหาสมการไฮเปอรโบลาในแตละขอตอไปน 1. จดศนยกลาง (–7, 0) โฟกสหนงอยทจดกาเนดแกนตามขวางยาว 6 หนวย

2. จดศนยกลางอยบนเสนตรง y = 4 จดยอดหนงคอ (0 , 2) และโฟกสหนงคอ (0 , 1) วธทา

42

75(En 38) ไฮเพอรโบลาทมจดยอดท (3 , 2) และ (3 , –4) โฟกสท (3 , –6) มสมการตรงกบ ขอใดตอไปน

1 9

23 x 16

21 +y 1. =

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 9

23x 16

21 y 2. =

+−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 16

23 +x 9

21 y 3. =−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 16

23 x 9

21 +y 4. =

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(ขอ 4)

วธทา 76. จงหาสมการเสนสมผสกราฟวงกลม x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ทจด (6 , 0) วธทา ( 4x + 3y – 24 = 0)

43

77. จงหาสมการเสนตรงทสมผสกราฟพาราโบลา y = x2 – 3x – 4 ทจด (2 , –6) วธทา ( y = x – 8 )

78. จงหาสมการของเสนสมผสกราฟวงร 252y +

92x = 1 ทจด ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 3 , 5

12

วธทา (60x + 27y – 225 = 0 )

44

79. จงหาสมการของเสนสมผสกราฟไฮเปอรโบลา 92x –

162y = 1 ทจด ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

316 , 5

วธทา ( 5x + 3y – 9 = 0 )

หลกการพจารณา

รปกราฟจากสมการ

จากสมการในรป Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

เมอ A และ C ไมเปนศนยพรอมกน

(1) ถา A ⋅ C = 0 เปนสมการพาราโบลา

(2)

ถา A = C เมอ A ≠ 0 และ C ≠ 0 เปนรปวงกลม

(3)

ถา A ≠ C และ AC > 0 เปนรปวงร

(4) ถา A ≠ C และ AC < 0 เปนรปไฮเปอรโบลา

80. จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด

1. 25x2 + 16y2 – 100x + 96y – 156 = 0

(วงร)

2. 4x2 + 4y2 – 4x + 1 = 0

(วงกลม)

3. y2 + 2x – 6y + 9 = 0

(พาราโบลา)

4. 22x2 + 7y2 +

6

=

0

(วงร)

5. 2x2 – 4y2 +

6

=

0

(ไฮเปอร)

6. 3y2 – 6x2 – 6x + 7y + 9 = 0

(ไฮเปอร)

45

วธทา 81. จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด 9y2 – x2 + 6x + 18y = 0 ( เสนตรง 2 เสน ) วธทา

⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔