E s c o l a B á s i c a 2 , 3 / S d e V i l a N o v a d e C E R V E I R A

Act iv idade de Invest igação

Ano de Escolaridade: 11º Tema 1: Geometria Analítica

1997 -1ª Fase, 1ª Chamada

1. Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura junta. A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy. [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (0; -5; 0). O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4; 3; 0). A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz. O ponto D pertence à recta e à circunferência que limita a base superior do cilindro.

a) Justifica que a recta AC é perpendicular a AB.b) Escreve uma equação vectorial da recta r.c) Justifica que é um vector perpendicular ao plano ABD. Determina uma equação desse plano.d) Designando por a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostra que o volume

do cilindro é dado por , com .

1997 – 1ª Fase, 2ª Chamada

2. Considera, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada. O vértice V da pirâmide pertence ao semi-eixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida no plano xOy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas (2; 2; 0).

a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostra que o vértice tem de coordenada (0; 0; 6).b) Mostra que o plano QRV pode ser definido pela equação 3y + z = 6.c) Determina uma condição que defina a recta que passe pela origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV.d) Justifica que a intersecção da aresta [QV] com o plano de equação z = 3 é o ponto M (1; 1; 3). Determina área da secção produzida na pirâmide por esse plano.

1997 – 2ª Fase

3. Considera o prisma representado num referencial o.n. Oxyz. Sabe-se que:

os pontos A; B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial;

os pontos D; E; F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano z = 12;

o ponto C tem coordenadas (0; 4; 0).

a) Mostre que o ponto B tem coordenadas e aproveita este resultado para

justificar que o ponto G em coordenadas . (o lado do hexágono regular é igual ao raio da circunferência circunscrita ao hexágono)b) Mostra que a recta DG pode ser definida por .c) Determina a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] do prisma.

1998 -1ª Fase, 1ª Chamada

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial; o vértice N pertence ao semi-eixo positivo Ox; o vértice P pertence ao semi-eixo positivo Oy; o vértice S pertence ao semi-eixo positivo Oz; a altura da pirâmide é igual ao comprimento da aresta do cubo; o vértice V tem coordenadas (3; 3; 12).

a) Justifica que .b) Determina a intersecção da recta que contém a aresta [UV] com o plano de equação x = 4.c) Considera um ponto A pertencente à aresta [UQ]. Um plano que contenha o ponto A e que seja paralelo ao plano xOy divide o sólido representado na figura em duas partes. Determina a cota do ponto A de modo que sejam iguais os volumes dessas partes.