Ex Polig Reg 2o Medio

MATEMÁTICA – REVISÃO Figuras Planas

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Exercícios sobre Figuras Planas 01... Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um pentágono regular inscrito. 02... Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm. Determinar o perímetro do outro hexágono. 03... Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos: a) triângulo equilátero b) quadrado c) hexágono regular d) octógono regular e) Eneágono regular f) Decágono regular g) Icoságono regular 04... O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência? 05... Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se o apótema do primeiro mede? 06... Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto mede o raio e o apótema do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e 3,5 cm? 07... Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine: a) a medida do lado do quadrado: b) a medida do apótema do quadrado: c) o perímetro (P) do quadrado: d) a área (S) do quadrado: 08... Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm.

cm 34



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09... Um triángulo equilátero está inscrito numa circunferência de raio 60√3 � � . Determine: a) a medida do lado do triângulo b) a medida do apótema do triângulo 10... Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência: a) quadrado b) hexágono regular c) triángulo equilátero 11... Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa circunferência. 12... Sabendo que o apótema de um triângulo equilátero incrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine: a) o comprimento do raio b) a medida do lado do triângulo, fazendo √3 1,73 13... O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 15√3 � � . a) Qual é a medida do raio dessa circunferência? b) Qual é a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência? 14... Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio. 15... Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18.84 cm de comprimento? 16... Qual é o comprimento x de um arco de 60° numa circunferência que tem cm de raio?



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17... Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta. Com base nesse dado, responda: a) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla? b) No último domingo. Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deram cada roda? c) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da casa de Carla fica o clube? 18... Calcule o comprimento da circunferência quando: a) o raio mede 7 cm b) o raio mede 2,5 cm c) o diâmetro mede 3 cm 19... O comprimento de uma circunferência é de 31, 40 cm. Quanto mede o seu raio? 20... O pneu de um veículo, com 80 cm de diâmetro, ao dar uma volta completa percorre, aproximadamente, uma distância de quantos metros? 21... Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km sobre uma pista circular de raio 200m. Qual o número aproximado de voltas que ele deve percorrer? 22... Calcule a área de um círculo cujo raio mede 8 cm. 23... Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 20 cm. 24... Em um restaurante, uma família pediu uma pizza grande, de 43cm de diâmetro, e outra família pediu duas médias, de 30 cm de diâmetro. Qual família comeu mais pizza?



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25... A área de um círculo é de p10 cm². Quanto mede a sua circunferência? 26... Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a: a) r = 5 cm b) r = 3,5 cm c) r = 3k cm d) r = a/2 cm 27... Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 28... Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros. 29... Calcular a área dos círculos conhecendo-se o raio ou o diâmetro de cada um.

a) R = 3cm b) D = 9cm c) R =

30... Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm. 31... Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos? 32... Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm? 33... Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

cm 23



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34... Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência. 35... Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. 36... Dado um hexágono regular com área .. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. 37... As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do círculo inscrito neste losango? 38... Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus. 39... Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

cm² 3 48k²



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40... Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao lado. Calcular a área desta região. 41... Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo. 42... Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado. 43... Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.



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44... Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos? 45... Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB. 46... Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior. 47... Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.



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48... O diâmetro de urna circunferência é de 70cm e usando p = 3,14, determine:

a) O raio da circunferência b) O comprimento c) A área

49... Uma moeda tem 3 cm de diâmetro. Ao rolar sobre uma superfície plana, a moeda deu 38 voltas. Em linha reta, quantos centímetros a moeda percorreu? Use p = 3,14

50... Duas pessoas partem do mesmo ponto A, conforme a figura. Uma delas percorre o contorno do quadrado e a outra percorre o contorno da circunferência, voltando ambas para o ponto A. Qual delas vai percorrer uma distância maior? Use p = 3,14

51... Na figura, o triângulo ABC está inscrito numa circunferencia de centro "O". Sabendo que AB = 4cm e AC = 2√5 � � , determine a medida do comprimento da circunferência.



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52... A figura mostra o trajeto percorrido por um ciclista para ir do ponto A ao ponto D. Sabendo que AB=BC=CD=9km, determine quantos quilômetros esse ciclista percorreu ao realizar o trajeto.

53... Qual é o comprimento "x" de um arco de 120° em uma circunferência que tem 60cm de raio? 54... Uma pessoa sai do ponto “A” e chega no ponto “B”, seguindo o arco AB indicado na figura. Usando K=3, quantos metros essa pessoa percorre fazendo esse percurso?



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55... Qual a medida dos ângulos indicados? 56... Qual a medida dos ângulos indicados? 57... Qual a medida dos ângulos indicados? 58... Qual a medida dos ângulos indicados? 59... Qual a medida dos ângulos indicados?



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60... Considere as retas paralelas “m” e “n” (em símbolos: m//n). Calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado.

61... Considerando r // s. Determine as medidas dos ângulos representados pelas incógnitas x e y.



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62... (Mack - SP) Na figura, se MN//AC. então a medida do ângulo alfa é igual a: 63... (Fuvest - SP) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x. em graus, é:



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64... (FGV - SP) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r//u. Sendo assim, o valor de (2x + 3y) é igual a: 65… (UNESP) Considere 3 retas coplanares paralelas r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura: Determine x e y. 66... (MACK) Na figura, AB á paralelo a CD O valor de x é (a) 30° (b) 45° (c) 50° (d) 65° (e) 75° 67... (FUVES) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo X é (a) 30° (b) 40° (c) 50° (d) 60° (e) 70°



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68... O número de diagonais de um hexágono, é: a) a b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 69... Qual é o polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais? 70... (PUC-PR) A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é: a) 1080° b) 540° c) 360° d) 180° e) 720° 71... Cada ángulo interno de um decágono regular mede: a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150° 72... Qual o polígono regular cujo ángulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono 73... (PUC-SP) O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é: a) 80° b) 170° c) 162° d) 135° e) 81° 74... (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440° tem exatamente: a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais



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75... (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3. 76... (PUC-SP) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono 77... (FAAP-SP) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de RS 0,25 é: a) 60° b) 45° c) 36° d) 83° e) 51c 78... (MACK-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 79... A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160°. O número de diagonais desse polígono que não passam pelo centro é: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 80... Qual o número de diagonais de um polígono convexo, em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quíntuplo da soma das medidas dos ângulos externos?



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81... (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os demais ângulos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 82... (ITA-SP) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 83... (ITA-SP) Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I - Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II - Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III - Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. a) todas as afirmações são verdadeiras b) apenas I e II são verdadeiras c) apenas I é verdadeira d) apenas III é verdadeira e) apenas II e III são verdadeiras 84... Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede, em graus? 85... (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E é:



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Respostas Resposta do Exercício 01 Resposta do Exercício 02 Resposta do Exercício 03

Resposta do Exercício 04 Resposta do Exercício 05



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Resposta do Exercício 06 Resposta do Exercício 07 Resposta do Exercício 08 Resposta do Exercício 09 Resposta do Exercício 10 Resposta do Exercício 11 Resposta do Exercício 12 Resposta do Exercício 13 Resposta do Exercício 14



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Resposta do Exercício 15

Resposta do Exercício 16 Resposta do Exercício 17 Resposta do Exercício 18 a)

rC ××= p2 C = 2 . 3,14 . 7 C = 43, 96 cm

b) c)




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2rA ×= p

A = 3,14 . 8²

A = 200,96 cm² Resposta do Exercício 23 Resposta do Exercício 24 Resposta do Exercício 25 Resposta do Exercício 26 a) raio = 5 cm, comprimento = 10p cm b) raio = 7/2 cm, comprimento = 7p cm c) raio = 3k cm, comprimento = 6kp cm d) raio = a/2 cm, comprimento = ap cm Resposta do Exercício 27 96p metros Resposta do Exercício 28 5,5 p metros



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Resposta do Exercício 29 Resposta do Exercício 30 Resposta do Exercício 31 A razão é 4:9 Resposta do Exercício 32

Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então, h = a + r.

18² = h² + 9² h=R[324-81]=R[243]=9 R[3] Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r² 81+243-2×9 R[3]×r=0 r=18/R[3] Área do círculo = pr²=108 p cm² Resposta do Exercício 33 Largura 6 3√2 metros Resposta do Exercício 34

A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo (região rosa). Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do triângulo, então h=a+r. Assim: 6²=h²+3²

2

2

22

222

cm )39 - (12 Triângulo do Área - Círculo do

cm 392

33.62h6. Triângulo do

cm 12.r Círculo do 3

60.3.3.2279

)(33327936

p

pp

=

===

==

=

=-+

-+=

==-=

Área

Área

ÁreaR

r

r

rhrh

222 cm 64)36100()(R Área ppp =-=-= r



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Resposta do Exercício 35 O círculo inscrito ao hexágono tem raio igual ao seu apótema (a). O círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio (r). Sejam A1 e A2 as áreas dos círculos inscrito e circunscrito respectivamente, a razão entre estas áreas é dada por: A1/A2=pi a²/pi r²=a²/r². A área do hexágono é dada por: A=3×a×L=48 R[3] Assim o apótema é dado por a=48R[3]/3L. Mas o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, deste modo, a=½×L×R[3]=48R[3]/3L=½×L×R[3] L²=(2/3)48 L=4 R[2] cm No hexágono regular L=r. Logo, a razão entre as áreas é: A1/A2=a²/r²=((1/2).r.R[3]/r)²=(R[3]/2)²=3/4 Resposta do Exercício 36 A razão entre as áreas = 3/4. Resposta do Exercício 37 Área = 11,84 p cm² Resposta do Exercício 38

Seja A a área e P o perímetro do setor circular, então

A=m(AB)×pi×r²/360=60×pi×12²/360=24 pi cm²

P=m(AB)×2pi×r/360+2r=60×2pi×12/360+24=(4pi+24)cm


(a) A área do setor circular é dado por

Área do setor=m(A)×pi×r²/360=120×pi×6²/360=12pi cm²

(b) A área do segmento é dada pela área do setor menos a área do triângulo

Área do triângulo=6 R[3] 3/2=9 R[3] cm²

Área do segmento=(12 pi - 9 R[3]) cm²



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A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares.

Se 2a é a medida do lado do triângulo, então;

Área do triângulo=(2a)²R[3]/4=a²R[3] u.a.

Área do setor circular=60.pi.(a)²/360=pi.a²/6 u.a.

Área desejada=a²R[3] - 3.pi.a²/6=a²(R[3] - pi/2) u.a.


Sejam a e b os catetos e c a hipotenusa do triângulo.

Sejam Sa, Sb e Sc os semicírculos de raios a/2, b/2 e c/2 respectivamente e seja T o triângulo.

Soma das áreas brancas=área(Sc)-área(T)

Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-Soma das áreas brancas.

Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-área(Sc)+área(T)

Área(Sc)=pi.(c/2)²/2=pi(a²+b²)/8

Área(T)=a.b/2

Soma das áreas brancas=pi(a²+b²)/8-a.b/2

Área(Sa)=pi(a/2)²/2=pi.a²/8

Área(Sb)=pi(b/2)²/2=pi.b²/8

Áreas das lúnulas = pi(a²+b²)/8-(pi(a²+b²)/8-a.b/2)=a.b/2

A soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.



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A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm²

Área quadrado=(10)²=100 cm²

A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, assim

Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm²

Resposta do Exercício 43 Área = 27 - 4,5 pi cm2 Resposta do Exercício 44

Devemos obter a medida do segmento AB e as medidas dos ângulos BED e ADE. Dessa forma: DE=12+4=16cm e CE=12-4=8cm. Como m(AB)=m(DC) e o triângulo retângulo DCE tem ângulo reto em C, temos que:

(DC)²=(DE)²-(CE)²

m(OC)=R[256-64]=8 R[3]

ângulo(BO'O)=arccos(8/16)=arccos(1/2)=60o

ângulo(BO'O)+ângulo(AOO')=180o

ângulo(AOO')=180o-60o=120o

½medida da correia=m(EA)+AB+m(BF)

m(EA)=½pi(4)²-m(AG)=½pi.16-120pi.4²/360=8pi-8/3.pi 16/3 pi

m(BF)=½pi.12²-m(BF)=½pi.144-60pi.12²/360=72pi-24pi=48 pi

Medida da correia=2(16pi/3+8R[3]+48pi)=(128pi+16R[3])cm



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Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos

(CO')² = (OO')² - (OC)²

(CO')² = (13)² - 5² = 144

CO' = 12

Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm.

Resposta do Exercício 46 Área = pi r²/4 unidades quadradas


(a) O lado do quadado mede L e o raio da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é r=L/2. (b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado L;

r²=2(L/2)²=L²/2

r=L R[2]/2




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Resposta do Exercício 50 Resposta do Exercício 51 Resposta do Exercício 52 Resposta do Exercício 53



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Resposta do Exercício 54 66 67

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