1

Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje

prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.

Izbor je napravljen prema:

1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole),

Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo;

2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),

Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika

Sarajevo,

te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu. Izbor je napravljen u kratkom vremenu koje je proteklo od prvog prijemnog ispita u julu ove 2007. godine, u ljetnoj pauzi u avgustu, tako da su mogući propusti. Molim buduće studente, koji uoče billo kakve propuste ili imaju korisne sugestije kako da se poboljša ovaj tekst, da me na to upozore. Prof. Dr. Behdžet Mesihović Sarajevo 31. avgust 2007. Katedra za matematiku, programiranje,... Građevinski fakultet, Univerziteta u Sarajevu, e-mail: behdzet_mesihovic@gf.unsa.ba

2

SADRŽAJ

Razlomci... 3

Algebarski izrazi... 9

Kvadratne jednačine... 15

Jednačine sa apsolutnim vrijednostima... 17

Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima... 19

Logaritamske jednačine i nejednačine... 20

Primjena sličnosti... 22

Površina ravnih figura... 23

Trigonometrija... 25

I Svođenje na prvi kvadrant... 25

II Trigonometrijske funkcije složenih uglova...26

III Trigonometrijske jednačine... 28

PRIMJERI PRIJEMNOG ISPITA NA RAZNIM FAKULTETIMA... 31

Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu (sa rezultatima), 2003g,... 31

Fakultet za saobraćaj i komunikacije u Sarajevu 09. 07. 2007, Grupa A i B,...33

Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Sarajevu (02. 07. 2007), Grupa A i B,...35

Građevinski fakultet u Sarajevo 02.07.2007,(sa rješenjimaq)... 37

Malo statistike sa prijemnog ispita na GF u Sarajevo 02.07.2007.,... 40

TESTIRAJTE SE ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE!... 41

PROGRAMI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE,... 47

3

Razlomci:

Izračunati vrijednosti numeričkih izraza

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

PRIMJEDBA:Ovdje je mješoviti broj 2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + = ≠ ⋅

4

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

5

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

6

32.

34.

36.

7

Rješenja

1.

5.

9.

12.

13.

14.

17.

20.

23.

26.

29.

31.

32.

8

33.

34.

9

Algebarski izrazi

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

10

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

11

19.

20.

12

Riješenja

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.

13

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

14

18.

15

Kvadratne jednačine

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

16

Rješenja kvadratnih jednačina

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

17

Jednačine sa apsolutnim vrijednostima

1.

2.

3.

4. Rješenja jednačina

1.

2.

3.

18

4.

19

Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima

1.

3.

Rješenja

1.

2.

3.

20

Logaritamske jednačine i nejednačine

1.

2.

3.

4.

6.

21

Rješenja logaritamske jednačine i nejednačine

1.

2.

3.

4.

5.

6.

22

Primjena slićnosti

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Rješenja

1.

3.

4.

6.

23

Površina ravnih figura

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

24

Riješenja

1.

4.

5. 7. 8. 9. 10.

11.

12.

14.

25

Trigonometrija

Rješenja

26

27

Rješenja

28

III Trigonometrijske jednačine

29

Rješenja

30

------------------------------

31

PRIMJER PRIJEMNOG ISPITA

Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu, 2003

32

33

Fakultet za saobraćaj i komunikacije, Univerziteta u Sarajevu

Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa A

Broj zad. Tekst zadatka

1.

Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina

2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k+ + + + − =

ima dva rješenja oba negativna.

2.

Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:

a) 2 3 5

2x

x+

<− ; b) 3 5 1.x x− > −

3.

Ako je ( ) 2 (1 )f x f x x− − = , riješite trigonometrijsku jednačinu

2 4

(sin cos ) .6

f x x−

+ =

4.

U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački 1B , a stranicu CA u tački 1C . Izračunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu poluprečnika ρ kružnice K upisane tom trouglu; b) površinu 1P novonastalog trougla 1 1.AB C

Napomena: - Svaki od zadataka 1. - 4. se vrednuje na isti način - po maksimalno 10 bodova.

Broj bodova po zadacima Šifra kandidata 1 2 3 4

Ukupan broj bodova

34

Fakultet za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu

Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007)

Grupa B Broj zad. Tekst zadatka

1.

Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina

2( 1) 2 ( 1) 1 0k x k x k+ + + + − =

ima dva rješenja različitog znaka.

2.

Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:

a) 2 3 5

2x

x+

>− ; b) 3 5 1.x x− < −

3.

Ako je (1 ) 2 ( ) 1 ,f x f x x− − = − riješite trigonometrijsku jednačinu

2 4

(sin cos ) .6

f x x−

− =

4.

U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački 1B , a stranicu CA u tački 1C . Izračunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim 1O novonastalog trougla 1 1.AB C

Napomena:

- Svaki od zadataka 1. - 4. se vrednuje na isti način - po maksimalno 10

bodova.

Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraćaj

i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 2007/2008. godine

Broj bodova po zadacima Šifra kandidata 1 2 3 4

Ukupan broj bodova

35

Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa A Broj zad.

Tekst zadatka

1.

a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x)2 5 4.x x= − + Nakon toga

riješiti svaku od nejednadžbi:

2 5 4 0x x− + < ,

2 5 4 0x x− + ≤ , 2 5 4 0x x− + > , 2 5 4 0x x− + ≥ .

b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da

jednadžba2 2 ( 2) 2 1 0kx k x k− + + + = ima dva realna i različita rješenja koja

pripadaju intervalu (0,5).

2. Riješiti sistem jednadžbi: 2 2

2 2

10 10 10

log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) log 2.

x yx y x y

+ + =

− − + =

⎧⎨⎩

3.

Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove:

12 5

8 3

z

i z

−=

− , 4

18

z

z

−=

− , gdje je i imaginarna jedinica.

4. Izračunati sve vrijednosti izraza sin cos

tgα β

α+

ako je 3i sin5

α β π α+ = = .

5. U trokut čije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati obim novonastalog trokuta.

Napomene:

- Svi zadaci se vrednuju na isti način - po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi

Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS.

Broj bodova po zadacima Ime i prezime kandidata

1 2 3 4 5

Ukupan broj

bodova

36

Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Grupa B

roj zad. Tekst zadatka

1.

a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x)2 4 3.x x= − + Nakon

toga riješiti svaku od nejednadžbi:

2 4 3 0x x− + < ,

2 4 3 0x x− + ≤ , 2 4 3 0x x− + > , 2 4 3 0x x− + ≥ .

b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba 2 ( 1) 1 0kx k x k+ − + + = ima dva realna i različita rješenja od kojih tačno

jedno pripada intervalu (0, 1).

2.

Riješiti sistem jednadžbi:

2 210 10

2 2 2

log ( ) 1 log 130log ( ) log ( ) 4log 2.

x yx y x y

+ + =

− − + =

⎧⎨⎩

3.

Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove:

8 3

12 5

z i

z

−=

− , 8

14

z

z

−=

− , gdje je i imaginarna jedinica.

4. Izračunati sve vrijednosti izraza tgsin +cos

αα β

ako je 3i cos5

α β π α+ = = .

5. U trokut čije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati površinu novonastalog trokuta

Napomene:

- Svi zadaci se vrednuju na isti način - po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi

Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Sarajevu, školske 2007/2008. godine

Broj bodova po zadacima Ime i prezime kandidata

1 2 3 4 5

Ukupan broj

bodova

37

GRAĐEVINSKI FAKULTET, Sarajevo 02-07-2007.

ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE.

Svaki zadatak ima četeri ponuđena odgovora: a, b, c, d. OBAVEZNO :

1. riješite postavljeni zadatak, a zatim 2. zaokružiti SAMO tačan rezultat.

SMATRA SE DA NISTE RIJEŠILI TAJ ZADATAK, ako:

(i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata (a, b, c, d), (ii) ne zaokružite nijedan od odgovora (a, b, c, d), (iii) samo zaokružite tačan rezultat a da niste zapisali rješenje. (iv)

1. ZADATAK Nejednačina: ( ) 2m 1 x 2mx m 0− + + ≤ važi za sve realne x, ako je:

a) 0 m 1≤ ≤ b) m 0≤ c) m 1≤ d) m 1≥

2. ZADATAK

Neka se na horizontalnom terenu iz tačke A toranj visok 30m vidi pod uglom od 6π

. Da bi se iz iste

tačke toranj vidio pod uglom od 3π

trebao bi biti visok:

a) 60m b) 75m c) 90m d) 60 2

3.ZADATAK Ako je je hipotenuza c = 4, a za mjerne brojeve oštrih uglova vrijedi α : β = 1 : 3, tada je površina pravouglog trougla:

a) ( )2 2 2 1− ; b) 2 3 ; c) 5 1+ ; d) 2 2 .

4.ZADATAK Osnovica ravnokrakog trougla je a = 5, a krak b = 10. Tada je poluprečnik opisanog kruga oko trougla:

a) 3 5 ; b) 4 15

3 ; c) ( )2 3 1+ ; d) 3 14

2

5. ZADATAK Izraz:

( ) ( )13 3

2 2 22 2

x y 2y xy: x y 2 4 8 16 1 2x y x y x y

−⎛ ⎞+− + − + + + + −⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠

ima vrijednost:

a) 4; b) xy + 3; c) 2; d) xy+4.

5. ZADATAK

Ako je: 63 7cos 2 , 0, i cos , 0, ,65 2 2130

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞α = − α ∈ β = β ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 4 5 6 ∑

38

tada je α + β jednako:

a) 450; b) 900 ; c) 600 ; d) 1350.

Korisne formule:

( )

1 cos2 1 cos2cos , sin ,2 2

cos x y cos x cos y sin x sin y

+ θ − θθ = ± θ = ±

+ = −.

U pravouglom trouglu čije su katete a i b, a hipotenuza c: sinα = ac , cosα =

bc

RJEŠENJA

1.Zadatak

Kvadratni trinom f(x) = ax2 +2bx + c ne mijenja znak ako je diskriminanta D = b2 – ac ≤ 0, tj.

( ) ( ) ( )

( ) ( )x R ( f x 0 D 0 a > 0 )

(f x 0 D 0 a < 0 )

∀ ∈ ≥ ⇔ ≤ ∧

≤ ⇔ ≤ ∧

Dakle,

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2( x R m 1 x 2mx m 0) D m m 1 m m 0 m 1 0

m 0.

∀ ∈ − + + ≤ ⇔ = − − = ≤ ∧ − <

⇔ ≤

Drugi način (S. Dolarević): ( )( )( )

22

2xx R m 1 x 2mx m 0 m m 0.

x 1∀ ∈ − + + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

+

2.Zadatak

Neka je x = CA i tražena visina tornja H = CB, tada je: x = hctg300 =30 3 , H = xtg600= 30 3 3 = 30.3= 90 m.

3.Zadatak

Iz α : β = 1 : 3, izlazi β = 3α , tako da iz osobine zbira oštrih uglova u pravouglom trouglu α + β = 900, izlazi 4α=900, tj. 2α=450.

C ∠CAB1=300, ∠CAB=600

C

∠CAB1=300, ∠CAB=600

A C

∠CAB1=300, ∠CAB=600

A

h

39

Katete pravougli trougao ABC su (nacrtati sliku) : a = csinα, b = c cosα , te je površina tog trougla

1P2

= ab =12 csinα c cosα =

21 c sin 24

α = 21 24 2 24 2

= .

4.Zadatak

Iz pravouglog trougla BDS ( čiji su vrhovi (nacrtati sliku): B vrh na osnovici a =BC ravnokrakog trougla ABC, D je podnožje visine h = AD, povučene iz vrha A na osnovicu BC, dok je S centar opisanog

kruga oko ravnokrakog trougla ABC), čije su katete 12 a i h – r , a hipotenuza r, izlazi

h = AD =2

2 a 5 15b2 2

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( r je poluprečnik kruga opisanog oko trougla ABC )

r2 = (h - r)2 + 2a

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, tj. 2hr = h2 + ( )2

2a b2

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Dakle r = 2b 4 15

2h 3= .

5.Zadatak

Kako je:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 23 32 2

2 2

2 2 2 2 2

x y x xy z 2y x y xyx y 2y xy 1A : x y .x y x y x yx y x y x y x y x y

x xy z xy 2y x y 1,x y x y x y x y x y x y

+ − + − −+= − + − = +

+ + +− − + − +

− + − −= + = =

− + − + − +

( ) ( ) ( )12 2 1 2 1B 2 4 8 16 1 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 3,

2 2tako da je I = A+B=4.

−⎛ ⎞ − −= + + + − = + + + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

6.Zadatak

Za oštre uglove α i β izlazi(ispred korjena uzet znak plus zato što je α oštar ugao):

1 cos2 1 63 1cos 1 ,2 2 65 65

1 cos2 1 63 8sin , 12 2 65 65

⎛ ⎞+ α ⎟⎜α = = − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞− α ⎟⎜α = = + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

,

2

2 7 9sin 1 cos 1 .130 130

β = − β = − =

Zato je: ( ) 1 7 8 9 7 72 2cos cos cos sin sin265 130 65 130 65 2

−α + β = α β− α β = − = =−

tj. ( )0135 iz 0, i 0, slijedi 0, .2 2

⎛ π π ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + β = α ∈ β ∈ α + β ∈ π⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

40

MALO STATISTIKE

- Uspješnost rješavanja pojedinih zadataka (tj. broj kandidata koji su riješili pojedine zadatke):

Zadatak br.

1. 2. 3. 4. 5. 6. Nijedan zad.

Rijšilo kand.

18 25 6 13 35 6 80

--%(0d 141)

12.75 17.73 4.25 9.21 24.82 4.25 56.74

- Uspješnost kandidata po ukupnom broju rješenih zadataka: Rješili ukupno

zadataka 0 1 2 3 4 5 6

kandiddata 80 33 16 10 2 0 0

% (od 141 kand.)

56.74 23.40 11.35 7.09 1.42 .00 .00

Gornje tabele sve kažu o nevjerovatno lošem predznanju kandidata:

• najlakši zadatak br. 5 (operacije sa razlomcima : elementarna algebra i aritmetika) riješilo je 35 (slovima „tridesetpet“, tj. samo 25% od 141 kandidata ),

• nepoznavanje trigonometrije je još gore (zadaci 2, 3, 6 ).

Navodim nekoliko “ rariteta” iz radova kandidata koji se ne vide iz priloženih tabela:

1. formule za površinu trougla koje se koriste u 3. zadatku. :

( )c c b b a bP , P a 2b, P , P

2 2 3+ α + β − ⋅ +

= = + = = ,

2. „Pitagorina formula za pravougli trougao c2 = b2 – a2, gdje je c hipotenuza i a, b su katete pravouglog trougla;

3. u 2. zadatku jedan kandidat koristi proporciju H: h = α : β, te je tražena visina tornja 0

060H h 30 60;30

α= = =

β

4. „biseri“ iz aritmetike vezani za 5. zadatak: 2 4 8 16 2 4 8 16 30+ + + = + + + = , tj. treba

da je tačno x y x y+ = + , ili „analogan rezultat“: 1 2 3 4 102 2 2 2 22 2 2 2 2+ + + = ...

41

Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!

Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka!

Ime: Prezime:

1. Vrednost izraza

2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je:

3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duľina osnovice AB=10, a duľina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duľina sve tri visine trougla ABC je:

42

4. Ako je , onda vrednost izraza pripada intervalu:

5. Za svako realno x razlomak je jednak:

6. Sfera S1 poluprečnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 poluprečnika je opisana oko

te kocke. Zbir je:

7. Vrednost izraza je:

43

-1

nijedan od ponuđenih

1

i

-i

8. Ako je i , onda je :

9

19

7

8

4

9. Zbir svih rešenja jednačine je:

10. Proizvod svih rešenja jednačine je:

12

24

2

6

0

11. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veće osnovice trapeza je:

44

1:3

1:5

1:4

1:6

1:2

12. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednačine

negativna je podskup skupa:

13. Jednačina na segmentu :

ima tačno 1 rešenje

ima više od 4 rešenja

ima tačno 2 rešenja

nema rešenja

ima 4 rešenja

14. Broj rešenja jednačine je:

3

1

0

2

bar 4

15. Zapremina paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je:

45

16. Rastojanje između tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu

je:

17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem , ima jedinstveno rešenje je:

2

-3

-2

1

3

18. Ako je i , tada je jednak:

46

19. Osoba A trči stalnom brzinom po kruľnoj putanji i obiđe je za 40 sekundi. Osoba B trči u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiđe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiđe putanju?

55

25

12

24

27.5

20. Broj presečnih tačaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj tački tog sedmougla je:

21

28

42

45

35

47

Programi za prijemni ispit iz Matematike 1. Osnovne logičke operacije. Pojam funkcije. 2. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi. 3. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih

jednačina i nejednačina. 4. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih

jednačina. 5. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine. 6. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i

eksponencijalne jednačine i nejednačine. 7. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena

trigonometrije na trougao i mnogougao. 8. Kompleksni brojevi. 9. Analitička geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola i parabola). 10. Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, četvorougla i kruga). 11. Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa,

zarubljena kupa, sfera i delovi sfere). 12. Binomna formula. Aritmetička i geometrijska progresija. 13. Pojam granične vrednosti. Izvod i primjena izvoda.