Euklidov Algoritam i Verižni Razlomci

8/17/2019 Euklidov Algoritam i Verižni Razlomci

1/33

Euklidov algoritam i verižni razlomci

Amira Midžić


2/33

Sadržaj


3/33

Uvod – Euklidov algoritam

• algoritam za određivanje najvećeg zajedničkog

djelioca dva prirodna broja

• prvi put opisan u Euklidovim Elementima

• najstariji numerički algoritam koji se još

uvijek aktivno koristi

•

ima veoma široku primjenu


4/33

O Euklidu – život i rad

• jedan od najvećih grčkih matematičara staroga

vijeka

• rođen oko 33! pr! "r!# umro oko $%&! pr! "r!


5/33

• o njegovu životu poznato malo pouzdanih

povijesnih činjenica

• matematičku izobrazbu vjerojatno stekao u

Ateni kod 'latonovih učenika

• živio# radio i djelovao u Aleksandriji

• tu je osnovao matematičku školu ( kulturno

središte helenizma


6/33

• nedostatak biogra)skih in)ormacija *+ možda

nije bio povijesna osoba,

• ta hipoteza nije dobro prihvaćena


7/33

“Nema kraljevskog puta do geometrije.”

-Euklid


8/33

O Euklidu - najznačajnija djela

• Elementi .geometrija kao znanost o prostoru/

• Data .o uvjetima zadavanja nekog

matematičkog objekta/

• Optika .s teorijom perspektive/


9/33

Elementi

• do 01! stoljeća osnovni udžbenik geometrije

• više od & izdanja na mnogim jezicima


10/33

• sadržana dotadašnja saznanja u geometriji#

teoriji brojeva i algebri

• dokazana 22 teorema na besprijekoran način

• knjige4

– od 5! do 65! ( planimetrija

–

od 655! do 7! - aritmetika i teorija brojeva ugeometrijskom obliku

– od 75! do 7555! - stereometrija


11/33

• poslije 8iblije u ljudskoj povijesti najviše

proučavano i tiskano djelo

• uzor znanstvenog rada u svijetu znanosti i

izvan okvira problema geometrije

• dedukcijski pristup

• dokaz da razvoj logične i stroge geometrije

ovisi o osnovama


12/33

Algoritam

• 'rincip4 najveći zajednički djelilac dva broja

ne mijenja se ako se veći broj zamijeni s

njegovom razlikom s manjim brojem


13/33

• 9eka su b ≠ 0 i a cijeli brojevi!

• a je djeljiv s b# odnosno b dijeli a# ako postoji

cijeli broj q takav da je a = bq.

• :o zapisujemo s b|a.

• "ažemo da je b djelilac od a# a da je a

višekratnik .sadržilac/ od b!


14/33

• 9eka su a# b i d ≠ 0 cijeli brojevi!

• Ako d|a i d|b# tada za svaka dva cijela broja m

i n vrijedi 4

d|(ma nb!


15/33

• ;a bilo koji prirodan broj b i cijeli broj a

postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r takvi da

je

a = bq r # 0 " r # b

• q se zove količnik

• r se naziva ostatak


16/33

• 8roj d nazivamo zajednički djelilac cijelih

brojeva a i b ako d|a i d|b

• Ako je barem jedan od brojeva a i b različit od

nule *+ postoji konačno mnogo zajedničkih

djelilaca od a i b!

• 9ajveći ( najveći zajednički djelilac - .a# b/#

M.a# b/# 9;


17/33

• Ako su i prirodni brojevi# i i > prirodni brojevi takvi da je ? * ?? @ ?#

# onda vrijedi4 / * /!< (, (,


18/33

• ova zamjena većeg broja s njegovom razlikom

s manjim brojem smanjuje veći od dva broja

• ponavljanje ovog procesa daje parove sve

manjih brojeva# sve dok jedan od njih ne bude

nula

• "ad se to desi# drugi broj# onaj koji nije nula#

je najveći zajednički djelilac zadanih brojeva


19/33

Euklidov algoritam

• 9iz jednakosti4

• 9;


20/33

• Primjer. 9aći najveći zajednički djelilac

brojeva $3&& i 01$!

23*0$

3@30$*31

0$@031*&0

31@3&0*01$ &0@0$01$*$3&&


21/33

•


22/33

Euklidov algoritam prikazan animacijom


23/33

'rimjena Euklidovog algoritma

• skraćivanje razlomaka do najprostijeg oblika

• izvođenje dijeljenja u modularnoj aritmetici

•

dio kriptogra)skih protokola za zaštituinternetskih komunikacija

• u metodama za razbijanje ovih kriptogra)skih

sistema

• rješavanje dio)antskih jednadžbi


24/33

• rješavanje sustava linearnih kongruencija

prema "ineskom teoremu o ostacima

• stvaranje verižnih razlomaka

• za nalaženje racionalnih aproksimacija realnim

brojevima

• dokazivanje teorema u brojevnoj teoriji


25/33

Binearne dio)antske jednadžbe

• polinomne jednadžbe s racionalnim

koe)icijentima kojima se traže cjelobrojna

rješenja

• Binearna dio)antska jednadžba @ * # ? C ima cjelobrojno rješenje ako i samo ako

najveći zajednički djelitelj ?.?# ?/ brojeva ?(((((((((((

i ? dijeli broj ?!


26/33

Verižni razlomci

• 6erižni razlomak izraz je oblika4

gdje su an# bn proizvoljni izrazi!


27/33

• Dednostavan verižni razlomak onaj je kojem su

svi bn jednaki 0# izraz oblika4

• ni se mogu pisati u obliku Fa#!!#!a#aGHan$0


28/33

• verižni razlomci - jedan od načina

predstavljanja racionalnih brojeva

• posebno značajni u teoriji brojeva

• počeci verižnih razlomaka - vrijeme nastanka

Euklidovog algoritma

• moderna teorija verižnih razlomaka - Ia)aelo

8ombelli i 'ietro >ataldi


29/33

• zapišemo niz jednakosti u Euklidovom

algoritmu ovako4


30/33

•


31/33

• Primjer. 'retvoriti broj u verižni razlomak!2$1%

30*3

0@23*03

3@303*2$

03@$2$*1%


32/33

• Jvaki realni broj može se napisati u obliku

verižnog razlomka

• Iazvoj iracionalnih brojeva u verižni razlomak

ne bazira se na Euklidovom algoritmu!

• Iazvoj u verižni razlomak realnog broja K je

konačan ako i samo ako je K racionalan broj!


33/33

Zaključak

• Euklidov algoritam jedan je od najstarijih

algoritama u povijesti!

• 'rvi put je naveden i dokazan u djelu Elementi

• ;asniva se na principu da se najveći

zajednički djelilac dva broja ne mijenja ako se

veći broj zamijeni s njegovom razlikom s

manjim brojem

• 5ma veoma široku primjenu

Documents

Euklidov Algoritam i Verižni Razlomci