Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

Poór MárkMatematikus MSC

Kurepa fák

Szakdolgozat

Témavezető: Komjáth Péteregyetemi tanár

Számítógéptudományi Tanszék

Budapest, 2016.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 4

2. Alapfogalmak, definíciók 42.1. Halmazelméleti alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Forszolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Szükséges feltétel Kurepa-fa nem létezésének konzisztenciájához 133.1. Az erős káró feltétel mellett mindig létezik Kurepa fa . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Definiálható halmazok, konstruálható világ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Erősen elérhetetlen számosság létezésének konzisztenciája, mint szükséges feltétel . 18

4. Modell, melyben Kurepa fáknak előre meghatározott számosságú ága lehet 234.1. Előkészületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Az alapmodell bővítésének konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Köszönetnyilvánítás

Szeretném megköszönni témavezetőmnek Komjáth Péternek a téma figyelmembe ajánlását, a rend-szeres konzultációkat, és a dolgozat alapos átnézését, valamint az értékes észrevételeket, tanácsokat.

3

1. Bevezetés

Ðuro Kurepa jugoszláv matematikus használta először ω1-magas minden szintjén megszámlálhatófa fogalmát, melynek több, mint ω1 kofinális ága van. Megmutatható, hogy egy ilyen fa létezéseekvivalens a következő kombinatorikus állítással:

∃F ⊆ P(ω1) : |F| ≥ ω2∧

(∀α < ω1) : |{F ∩ α : F ∈ F}| < ω1

A Kurepa hipotézis (KH) szerint létezik ilyen fa. Kurepa maga hamisnak sejtette ezt a felte-vést. Később Solovay mutatta meg, hogy Gödel konstruálható világában (L-ben) igaz, így KHkonzisztens a matematika szokásos ZFC axiómarendszerével. Majd Silver eredménye volt, hogyegy erősen elérhetetlen számosság létezését feltéve ZFC konzisztens ¬KH-val, azaz Kurepa fanemlétezésével, pontosabban:

CON(ZFC + „létezik erősen elérhetetlen számosság”)→ CON(ZFC + ¬KH)

Valójában CON(ZFC+¬KH) és CON(ZFC+ „létezik erősen elérhetetlen számosság”) ekvikon-zisztensek: Ha nem létezik Kurepa fa, akkor ω2 L-ben erősen elérhetetlen.Ismert volt, hogy tetszőleges α ≥ 2-ra konzisztens, hogy létezik Kurepa fa, mely ágainak számossá-ga ℵα. Dolgozatomban számosságsorozatok egy nagy osztályáról mutatom be, hogy létezik olyanmodell, melyben a megadott sorozat lesz a

{κ : létezik Kurepa fa κ ággal} halmaz

A dolgozat további részében ismertetem CON(ZFC+¬KH)-hoz az erősen elérhetetlen számosságkonzisztenciájának szükségességének [1]-ben felvázolt bizonyítását.

2. Alapfogalmak, definíciók

2.1. Halmazelméleti alapfogalmak

A következő fogalmak, hiányzó bizonyítások megtalálhatók [3], vagy [5] könyvek valamelyikében.Végig feltesszük a halmazelmélet szokásos ZFC axiómarendszerét. Tranzitív halmaz alatt azonx halmazokat értjük, melyre x ⊇ ∪x. Rendszám minden esetben Neumann-rendszámot jelent,azaz pontosan azon x halmazok rendszámok, melyekre 〈x,∈〉 jólrendezett halmaz (valójában aregularitási axióma miatt elég a rendezettséget föltennünk). A rendszámok osztályát mostantól ONjelöli. Rendszám, illetve tetszőleges halmaz számosságán a legkisebb rendszámot értjük, amellyelbijekció létesíthető.

1. Definíció. Legyen ϕ formula a halmazelmélet nyelvén (csak egyetlen reláció, az ∈ létezik).Ekkor M osztály, (vagy halmaz) esetén ϕM alatt annak relativizáltját értjük, azaz csak M -beliparamétereket helyettesíthetünk, illetve minden „∃x” és „∀y” helyére „∃x ∈ M”-et illetve „∀y ∈M”-et helyettesítünk. Nyilvánvalóan a1, a2, . . . , an ∈M esetén

ϕM (a1, a2, . . . , an) ⇐⇒ 〈M,∈〉 |= ϕ(a1, a2, . . . , an)

Például tranizitív osztályokra, halmazokra a regularitási axióma miatt, ha a rendszámokat ∈-relációval rendezett halmazoknak definiáljuk, akkor a „rendszám” abszolút fogalom. Így pedig,ha a jólrendezés alatt azt értjük, hogy létezik izomorfizmus valamilyen rendszámmal, akkor ez isabszolút fogalom.

4

2. Definíció. Legyen a B résztruktúrája a A t = 〈F,R, τ〉 típusú struktúrának. Ekkor azt mond-juk, hogy B elemi része A -nak (jel.: B ≺ A ), ha minden ϕ(x1, x2, . . . , xn) t típus jeleit felhasználóelsőrendű formulára és b1, b2, . . . , bn ∈ B-re:

B |= ϕ(b1, b2, . . . , bn) ⇐⇒ A |= ϕ(b1, b2, . . . , bn)

1. Állítás. (Tarski-Vaught kritérium) Legyen a B résztruktúrája a A t = 〈F,R, τ〉 nyelvű struk-túrának. Ekkor

B ≺ A

m[minden ϕ(x, y1, y2, . . . , yn) formulára és b1, b2, . . . , bn ∈ B-re

A |= ∃x ϕ(x, b1, b2, . . . , bn) ⇐⇒ ∃b ∈ B : A |= ϕ(b, b1, b2, . . . , bn)

]3. Definíció. Ha α rendszám, akkor cf(α) jelöli a legkisebb rendszámot, melyre létezik cf(α)típusú kofinális részhalmaza α-nak.

4. Definíció. Ha egy κ számosság nem rákövetkező (a nála kisebbek között nincs legnagyobb),és cf(κ) = κ (azaz reguláris), akkor κ-t elérhetetlen számosságnak nevezzük. Ha κ erős limesztulajdonságú, azaz

λ < κ→ |2λ| < κ

akkor κ erősen elérhetetlen.

1. Lemma. (Mostowski suvasztási lemmája) Legyen Az M osztályon (vagy halmazon) definiálvaaz E jólfundált kétváltozós reláció (azaz bármely H ⊆M halmazon létezik x ∈ H E-minimális:

(∀H)(∃x ∈ H) @y ∈ H : yEx

Továbbá teljesüljön, hogy x ∈M esetén {y ∈M : yEx} halmaz, és

(∀z, y ∈M) {x : xEy} = {x : xEz} ⇐⇒ z = y

(a) Ekkor létezik N tranzitív osztály (halmaz), és π 1−1-értelmű hozzárendelés M -ből N -re, amelyizomorfizmus (M,E) és (N,∈) között:

(x, y ∈M) : xEy ←→ π(x) ∈ π(y)

(b) Az N tranzitív osztály és a π izomorfizmus egyértelmű, ebből adódóan ha M maga is tranzitív,E =∈, akkor π csak az identitás lehet.

2. Lemma. (Tükrözési elv) Legyen ϕ(x1, x2, . . . xn) formula a halmazelmélet nyelvén, H halmaz.Ekkor létezik H ′ ⊇ H halmaz, hogy a ϕ formula abszolút H ′-n:

(∀a1, a2 . . . an ∈ H ′) : ϕ(a1, a2, . . . , an)H′←→ ϕ(a1, a2, . . . , an)

5. Definíció. (Halmazelméleti) fa alatt az olyan 〈T,≺〉 párokat értjük, ahol ≺ részbenrendezésT -n, és minden t ∈ T elemre teljesül, hogy a

T�t = {u ∈ T : u � t}

halmaz jólrendezett a ≺ relációval.Minden t ∈ T -re definiálható a h(t) = tp(T�t) rendszám.

5

Ezután a T fa α-adik szintje aTα = {t ∈ T : h(t) = α}

halmaz.

6. Definíció. Egy T fa magassága, h(T ) az a legkisebb α rendszám, melyre Tα = ∅.

3. Lemma. Legyen T egy ω1-magas fa, azaz ω1 a legkisebb rendszám melyre Tω1 = ∅, továbbá|Tα| < ω1 minden α-ra. Ekkor B(T ) ≤ 2ω1 .

Bizonyítás. Minden szinten legfeljebb megszámlálható választásunk van, így ωω1 ≤ ωω11 = 2ω1

triviális felső korlát.Továbbá, ha csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora számosságú Kurepa fák léteznek, felte-hető, hogy minden T fa 2<ω1-nek (lefelé zárt, azaz T 3 t : α → 2, β < α esetén t|β ∈ T ) részfája:

4. Lemma. Ha T Kurepa fa akkor létezik T ′ ⊆ 2<ω1 lefelé zárt Kurepa részfa, melyre

|B(T )| = |B(T ′)|

Bizonyítás. Transzfinit rekurzióval konstruálható egy olyan 〈να : α < ω1〉 (να < ω1) szigorúannövekvő sorozat, és egy T ′ ⊆ 2<ω1 fa, melyre létezik 〈gα : α < ω1〉 sorozat, ahol minden gα : Tα →T ′να bijekció, sőt a gα-kből összeálló ⋃

α<ω1

gα : T →⋃α<ω1

T ′να

izomorfizmus T és T ′-nek az⋃α<ω1

T ′να részfája között:Ha β < α-kra gα-k és να-k már adottak, tehát adott a következő izomorfizmus is:⋃

β<α

gβ : T<α →⋃β<α

T ′νβ

akkor, mivel tudjuk, hogy T minden szinten megszámlálható, és Tα T<α-beli kofinális ágainak felsőkorlátjaiból fog állni, (és nyilvánvalóan minden ágnak legfeljebb megszámlálható sok felső korlátjalehet), így az indukciós lépés:

(i) Ha most α limesz, akkor T ′-nek a σ = sup{νβ : β < α}-adik szinjén minden T ′<σ-beliágának legfeljebb egy felső korlátja lehet (mert minden ág {f |β : β < σ} alakú valamilyenf : σ → 2 függvényre). Így viszont legfeljebb a σ + ω-adik szinten mindnek tudunk akárω-sok leszármazottat is garantálni.

(ii) Ha α = β+1, akkor már az α-adik szinten minden ágnak lehet két rákövetkezője, és ugyanígymegint να ≤ νβ + ω elérhető.

2.2. Forszolás

Ebben a részben a forszolás alapfogalmait tekintjük át, felépítésben [1]-hez hasonlóan, ahol a hiány-zó bizonyítások mind megtalálhatók. Minden (a halmazelmélet nyelvén vett) Φ formulahalmazraa CON(ZFC + Σ) → CON(ZFC + ΣΦ) bizonyítása a következőképp fog zajlani: Először emlé-keztetünk arra, hogy ez egy metaelméletbeli állítás, mely szerint, ha a ZFC+Σ formulahalmazbólformálisan nem vezethető le ellentmondás (minden levezetés véges, így tehát feltehető, hogy végesrészéről van szó), akkor ZFC + Σ + Φ-ből sem vezethető le ellentmondás. Egészen pontosan azt

6

bizonyítjuk, hogy ZFC+Σ+Φ egy tetszőleges Ψ véges részét rögzítjük, akkor tudunk találni végessok formulát ZFC + Σ-ból (legyen ez Γ) és utóbbihoz egy M megszámlálható tranzitív modelltvenni, (azaz 〈M,∈〉 |= Γ), hogy M -ből aztán le tudjunk gyártani egy megszámlálható, tranzitívM ′ halmazt, hogy 〈M ′,∈〉 |= Ψ, és ha Ψ-ből levezethető lenne ellentmondás, akkor ezzel az egészfolyamattal ZFC + Σ-ból vezettünk le ellentmondást: ha már egyszer lerögzítettük Ψ-t, akkor Mmegkonstruálása (a tükrözési elv segítségével) majd a megfelelő M ′ létezésének igazolása már egyformális matematikai levezetés ZFC + Σ-ból (pontosabban annak véges részéből), vagyis csak Ψrögzítéséig tartott a metamatematikai része az okoskodásnak. Mivel véges hosszú levezetés vezetel M -től M ′-ig, mely közben tehát véges sok ZFC+ Σ-beli formuláról használjuk fel, hogy teljesül〈M,∈〉-ban, ezért gondolhatunk úgy is M -re, mintha ZFC + Σ-nek lenne modellje: Ha egyszertudjuk, hogy melyik véges sok formulának kell M -ben igaznak lennie, akkor „visszaugorhatunk” abizonyítás elejére.

7. Definíció. Egy P ∈M halmazt kényszerképzetnek nevezünk, ha P = 〈P,≤〉 alakú, ahol

• ≤ részbenrendezés P -n,

• minden p ∈ P -re létezik p1, p2 ≤ p, melyeknek viszont nincs közös alsó korlájuk

• létezik 1P ∈ P legnagyobb elem

Néhány további konvenció:

• Mostantól a P kényszerképzetet esetén „H ⊆ P” jelölés alatt azt fogjuk érteni, hogy H ⊆ P ,vagyis a kényszerképzetet azonosítjuk az alaphalmazával.

• p ≤ q esetén azt mondjuk, hogy p kiterjeszti q-t.

• Ha a p, q elemeknek létezik közös kiterjesztésük, akkor azt mondjuk, hogy kompatibilisek.Amennyiben nem kompatibilisek, a következő jelölés is használatos: p⊥q

• Páronként nem kompatibilis elemeket tartalmazó részhalmazt pedig antiláncnak nevezünk.

8. Definíció. Egy D ⊆ P halmazt sűrűnek mondunk, ha minden p ∈ P-re létezik d ∈ D, d ≤ p.

9. Definíció. Ha adott egy P ∈ M kényszerképzet, akkor egy G ⊆ P részhalmaz M − P-generikusfilter, ha teljesülnek rá a következők:

• fölszálló, azaz p ∈ G, p ≤ q esetén q ∈ G

• p, q ∈ G esetén létezik r ≤ p, q, r ∈ G közös kierjesztés

• Minden D ∈M sűrű részhalmazra D ∩G 6= ∅

Egy kényszerképzet rögzítése után, M -en kívülről felsorolhatjuk a Di ∈ M sűrű halmazokat, éskonstruálhatunk egy (di)i∈N sorozatot, melyre di ∈ Di, és di ≤ di−1 ≤ di−2 ≤ · · · ≤ d0. Ekkora G = {p ∈ P | ∃di ≤ p} halmaz könnyen láthatóan generikus. Az is egyszerű következményea definícióknak, hogy generikus filter nem eleme M -nek: Legyen ugyanis G ∈ M filter. Ekkorminden p ∈ G-hez vehetünk p1, p2 ≤ p nem kompatibilis elemeket, a filterségből adódóan legalábbaz egyik (mondjuk p1) nem eleme G-nek. Így a P\G sűrű halmaz elemeM -nek, G mégsem metszi.

10. Definíció. p ∈ P esetén a Dp ⊆ P halmaz sűrű p alatt, amennyiben minden q ≤ p-re létezikr ≤ q, r ∈ Dp

7

2. Állítás. Ha a G M − P-generikus filterre p ∈ G, és Dp ∈M sűrű p alatt, akkor Dp ∩G 6= ∅

Bizonyítás. Vegyük a {q ∈ P | q⊥p} ∪Dp ∈ M sűrű halmazt, amit tehát el kell metszenie G-nek,viszont G nem tartalmazhat inkompatibilis elemeket.

11. Definíció. Adott M és P esetén ∅ ∈ M P-név (jel.: ∅ ∈ MP), továbbá minden H ∈ M

P-nevekből álló halmazra a H × P bármely S ∈ M részhalmaza P-név (S ∈ MP). Ha adott egyG ⊆ P M −P-generikus filter, akkor rangra vonatkozó indukcióval kibonthatók ezek a nevek: legyenσ ∈MP

val(σ,G) = σG = {τG | 〈τ, p〉 ∈ σ valamilyen p ∈ G-re}

A σ ∈MP névre a {τ : ∃p ∈ P : 〈τ, p〉 ∈ σ} projekciót dom(σ)-nak is nevezzük.

12. Definíció. Az M [G] bővítés álljon a következő elemekből:

M [G] = {σG | σ ∈MP}

Belátható, hogy M [G] ⊇M , tranzitív, valamint tetszőleges ϕ ∈ ZFC-re találhatunk ϕ′1, ϕ′2, . . . , ϕ′nformulákat ZFC-ből, hogy

〈M,∈〉 |= ϕ′1 ∧ ϕ′2 ∧ · · · ∧ ϕ′n

esetén〈M [G],∈〉 |= ϕ

13. Definíció. Formulák összetettségére, és a paraméter nevek rangjára vonatkozó indukcióvaldefiniálható a p ϕ(τ1, τ2, . . . , τn) („p forszolja ϕ-t”, τi ∈MP) kijelentés:

• p τ1 = τ2 pontosan akkor, ha

(a) minden 〈π1, r1〉 ∈ τ1 esetén a

{q ≤ p | q ≤ r1 → (∃〈π2, r2〉 ∈ τ2 :) (q ≤ s2 ∧ q π1 = π2}

halmaz sűrű p alatt

(b) és minden 〈π2, r2〉 ∈ τ2 esetén a

{q ≤ p | q ≤ s2 → (∃〈π1, r1〉 ∈ τ1 :) (q ≤ s1 ∧ q π1 = π2}

• p τ ∈ σ pontosan akkor, ha

{q ≤ p : (∃〈π, s〉 ∈ σ) : q ≤ s ∧ q τ = π}

halmaz sűrű p alatt

• p ϕ(τ1, τ2, . . . , τn) ∧ ψ(τ1, τ2, . . . , τn) pontosan akkor, ha

p ϕ(τ1, τ2, . . . , τn) és p ψ(τ1, τ2, . . . , τn)

• p ¬ϕ(τ1, τ2, . . . , τn) pontosan akkor, ha nem létezik q ≤ p, melyre

q ϕ(τ1, τ2, . . . , τn)

8

• p ∃xϕ(x, τ1, τ2, . . . , τn) akkor és csak akkor, ha

{q ≤ p : (∃σ ∈MP)q ϕ(σ, τ1, τ2, . . . , τn)}

halmaz sűrű p alatt

A definíciókból világos, hogy az, hogy egy elem forszol-e egy állítást, eldönthető M -ben.

5. Lemma. Tetszőleges p ∈ P-re és ϕ(x1, x2, . . . , xn) formulára, τ1, τ2, . . . , τn ∈ MP nevekre p ϕ(τ1, τ2, . . . , τn) akkor és csak akkor, ha minden G ⊆ P M − P-generikus filterre

p ∈ G → M [G] |= ϕ((τ1)G, (τ2)G, . . . , (τn)G)

6. Lemma. G ⊆ P filter pontosan akkor M − P-generikus, ha minden A ∈ M P-beli maximálisantiláncba belemetsz.

3. Állítás. P ω1-zárt kényszerképzet, T ∈M ω1-magas fa, ∀γ esetén |Tγ | = ω. Ekkor, ha p ∈ P-reés a b P-névre teljesül, hogy:

p b ∈ B(T ) \ B(T )M

AkkorM |= (∀p′ ≤ p) ∃δ < ω1, t1 6= t2 ∈ Tδ, p1, p2 ≤ p′ : pi ti ∈ b (i = 1, 2)

Bizonyítás. Legyen p′ ≤ p rögzített. Ha p′ meghatározná b ∩ Tα-t minden α < ω1-re, akkor ezaz ág benne lenne M -ben. Tehát léteznie kell olyan kiterjesztéseknek (legyen p1 és p2), amelyekmeghatározzák egy-egy x, y ∈ T nem összehasonlítható elemét b-nek. Ekkor a legkisebb szint, aholx és y megelőzői különböznek jó lesz δ-nak.

4. Állítás. P ω1-zárt kényszerképzet, G ⊆ P M − P -generikus, T ∈ M ω1-magas fa, ∀γ esetén|Tγ | = ω. Ekkor M [G] ∩ B(T ) = M ∩ B(T ), vagyis a forszolás nem ad hozzá új ágat.

Bizonyítás. Legyen rögzítve p ∈ P és b ∈M P-név, hogy

p b ∈ B(T ) \ B(T )M

Az előző lemmát alkalmazva, építhetünk p0 = p alatt egy (ps)s∈2<ω teljes bináris fát P elemeiből,és egy 0 = δ0 < δ1 < δ2 < · · · < δn < · · · < ω1 rendszámsorozatot, hogy

• s ∈ 2<ω, i ∈ {0, 1} esetén psai ≤ ps

• és minden s ∈ 2<ω esetén létezzen olyan δ|s| < δs < ω1, t0 6= t1 ∈ Tδ, hogy

psa0 b 3 t0

éspsa1 b 3 t1

• sup{δs | |s| = n} = δn+1

Ha ps-ek |s| ≤ n-re már meg vannak, akkor minden n hosszú s-re az előző lemma garantálja, hogylétezzen p

sai (i ∈ {0, 1}), és ha az előző lemma δn-nél kisebb δ-t adna, akkor pi-ket megfelelőenkiterjesztve azok meg fogják határozni b δn + 1-ik szinten lévő elemét.Ha legyártottuk ezt a sorozatot, akkor tetszőleges f ∈ (2ω)M -re pf -et a (pf |n)n∈ω egy olyan alsókorlátjának választhatjuk, amely (σ = sup{δn : n ∈ ω} jelöléssel) meghatározza b ∩ Tσ-t. Ígyf1 6= f2 ∈ (2ω)M esetén pf1 és pf2 már a fa δmin{k: f1(k) 6=f2(k)}-adik szintjén különböző elemekethatároznak meg b-ben, következésképp a σ-adikon is. Tehát |Tσ| ≥ |(2ω)M | ≥ ω1, ellentmondás.

9

7. Lemma. (Delta-rendszer lemma) Legyen κ számosság, Θ reguláris számosság, A halmaz me-lyekre

• ∀a ∈ A : |a| < κ

• ∀α < Θ : |α<κ| < Θ

• |A| ≥ Θ

Ekkor létezik B ⊆ A , melyre |B| = Θ és B ∆-rendszert alkot (azaz a H =⋂b∈B b jelöléssel a

{b \H : b ∈ B} páronként diszjunkt halmazokból áll.)

5. Állítás. Legyen p ∈ P ∈ M elemre, ϕ(x0, x1, . . . , xn) formulára és az x1, x2, . . . xn P-nevekreigaz, hogy

p ∃x ϕ(x, x1, x2, . . . , xn)

Ekkor létezik y P-név, melyrep ϕ(y, x1, x2, . . . , xn)

Bizonyítás. A „p ∃x ϕ(x, x1, x2, . . . , xn)” állítás definíciója szerint azon q elemek, melyekre

(∃x :) q ϕ(x, x1, x2, . . . , xn)

, sűrűek p alatt. Ezen q-k alkotta antiláncokból létezik maximális a Zorn lemma miatt, tekintsünkegy ilyen A maximális antiláncot, és válasszunk most minden ilyen q ∈ A elemhez egy megfelelőxq P-nevet (amire tehát q ϕ(xq, x1, x2, . . . , xn) ) Most pedig legyen minden σ ∈ ∪q∈Adom(xq),r ≤ q ∈ A párra

〈σ, r〉 ∈ x ⇐⇒ r σ ∈ xq

Mivel p ∈ G generikus, minden p alatt sűrű halmazba belemetsz, ami ekvivalens azzal, hogy minden{r ∈ P : r ≤ p}-beli maximális antiláncba belemetsz, így G ∩ A 6= ∅, tehát elég megmutatnunk,hogy ha q ∈ A, akkor

q x = xq

Legyen tehát q ∈ G, G M −P-generikus. Ha most y ∈ (xq)G, akkor y = zG, 〈z, r〉 ∈ xq alakú, aholr ∈ G. Ekkor létezik q-nak és r-nek közös kiterjesztése G-ben, legyen ez r′. Így viszont r′ z ∈ xq,tehát 〈z, r′〉 ∈ x, amiből zG ∈ xG.Fordítva, ha y = zG ∈ xG, akkor létezik r′ ∈ G, 〈z, r′〉 ∈ x, de mivel G filter, és A antilánc volt, r′

pedig valamilyen q′ ∈ A alatt volt a posetben, ezért r′ ≤ q lehet csak. Viszont ekkor x definíciójamiatt r′ z ∈ xq, tehát zG ∈ (xq)G.

8. Lemma. Legyen adott a P κ-zárt kényszerképzet. Ekkor ∀α < κ számosságra teljesül, hogy egyG M −P-generikus filterrel való forszoláskor nem keletkezik új α típusú sorozat M elemeiből, azaz

Mα ∩M [G] ⊆M

Speciálisan P(α)M = P(α)M [G]

Ennek következménye:

9. Lemma. Legyen adott a P kényszerképzet, κ számosság, G pedig M − P-generikus filter. aholMα ∩M [G] ⊆ M minden α < κ-ra. Ekkor minden α ≤ κ számosság számosság marad M [G]-benis.

10

Bizonyítás. Legyenek α < β ≤ κ számosságok M -ben, úgy, hogy β M [G]-ben már nem számosság,azaz létezik f : α → β bijekció M [G]-ben. De ekkor α-t β típusban rendeztük, amivel tehát újrészhalmazát kaptuk α × α-nak, ami már M -ben is bijekcióban állt α-val. Ez pedig ellentmondannak, hogy α-nak nem keletkezik új részhalmaza a bővítéssel

14. Definíció. Legyenek I és J rendszámokból álló halmazok, λ számosság. Ekkor jelölje Fn(I, J, λ)a parciális I → J függvények következő halmazát:

Fn(I, J, λ) = {f : f ⊆ I × J függvény , |f | < λ}

Ekkor Fn(I, J, λ) a tartalmazás megfordítottjával kényszerképzet.

Vegyük észre, hogy ha κ > λ számosságok, Fn(κ, 2, λ) ≈ Fn(κ× λ, 2, λ), amivel forszolva 2λ ≥ κ

elérhető.

10. Lemma. Az Fn(κ, 2, λ) kényszerképzet α < Θ ⇒ α<λ < Θ (és Θ ≥ ω) feltételek teljesüléseesetén Θ-centrált, azaz Θ-nagyságú halmazból kiválasztható Θ-sok úgy, hogy bármely 2 kompatibilis.

Bizonyítás. A ∆-rendszer lemma alkalmazása után 2 < Θ-t kihasználva kapjuk az állítást.

15. Definíció. Legyen I ⊆ κ, ahol κ rendszám, és λ számosság. Ekkor

Lv(I, λ) = {f : f ⊆ (I × λ)× κ függvény,|f | < λ, 〈α, β〉 ∈ dom(f)⇒ f(α, β) ∈ α}

A fordított tartalmazással ugyanígy kényszerképzetet kapunk.

Könnyen látható, hogy ha λ reguláris számosság, akkor Lv(κ, λ) λ-zárt, tehát a λ-nál kisebbszámosságok számosságok maradnak generikus bővítés után is. Másrészt, minden β < α < κ

eseténLβα = {l ∈ Lv(κ, λ) : β ∈ ran(lα)} ahol lα l megszorítása {α} × λ-ra

sűrű lesz, mert Lv(κ, λ) elemei λ-nál kisebb számosságú halmazon vannak értelmezve. Kapjuk,hogy a generikus bővítés után minden κ-nál kisebb rendszám számossága λ

11. Lemma. Legyen adott a P kényszerképzet, amely κ−cc, G pedigM−P-generikus filter. Ekkor,ha κ reguláris:

(i) a λ ≥ κ M -beli számosságok számosságok maradnakM [G]-ben is. Speciálisan minden λ ≥ κ+

számosság marad.

(ii) valamint minden λ ≥ κ reguláris számosság reguláris marad, ahogy minden cf(.) ≥ κ sorozatkofinalitása is megmarad.

Bizonyítás. (Csak az állítás első felét bizonyítjuk.)Tegyük fel, hogy α < λ számosságok M -ben, λ ≥ κ, és M [G]-ben α és λ azonos számosságúak,sőt α számosság marad. Legyen p ∈ M [G] ami forszolja, hogy azonos számosságúak. (MostantólM -ben dolgozunk:) Ekkor tehát létezik p′ ≤ p, f melyre

p′ f : α→ λ ráképezés

aminek következménye, hogy minden γ ∈ λ esetén

p′ ∃β < α f(β) = γ

11

amiből következik, hogy létezik pγ ≤ p′, és βγ < α, melyekre:

pγ f(βγ) = γ

Ekkor pedig λ regularitása miatt létezik β < α és D ⊆ λ, |D| = λ, hogy minden δ ∈ D eseténβδ = β. Kaptuk tehát, hogy a pδ (δ ∈ D) elemek egymásnak páronként ellentmondó állításokatforszolnak, azaz λ ≥ κ méretű antiláncot találtunk M -ben, ellentmondás.

12. Lemma. Legyen adott egy P kényszerképzet M -ben, G ⊆ P M − P-generikus filter. Ha egyA ∈M -re A ⊇ H ∈M [G] részhalmaza a bővítésben, amire p ∈ G olyan, hogy:

p H ⊆ A

akkor létezik egy (H)′ =⋃a∈A Ca × {a} (Ca ⊆ P antilánc) alakú P-név M -ben amire

p (H)′ = H

Ennek egyszerű következménye, hogy

13. Lemma. Ha P kényszerképzet, G M − P-generikus, és P κ− cc, továbbá η számosság, akkor

M [G] |= 2η ≤ ((|P|<κ)η)M

14. Lemma. Legyenek P és Q ∈M kényszeképzetek. Ekkor a P×Q is kényszerképzet a

〈p1, q1, 〉 ≤ 〈p2, q2〉 ⇐⇒ p1 ≤ p2 ∧ q1 ≤ q2

részbenrendezéssel. Továbbá igaz, hogy ha F ⊆ P×Q M − P×Q generikus, akkor G×H (G ⊆ P,H ⊆ Q filterek) alakú. Másrészt, minden F = G×H ⊆ P×Q alakú halmazra, ahol G és H filterekF pontosan akkor M−P×Q-generikus, ha G M−P-generikus, és H M [G]−Q-generikus. Továbbáekkor: M [G][H] = M [G×H]

16. Definíció. (kényszerképzetek általános iterációja) Legyen P ∈M kényszerképzet. A 〈Q, 1Q, R〉P-nevekből álló hármast kényszerképzet P-nevének hívjuk, ha

1P „Q az R ⊆ Q×Q relációval és az 1Q legnagyobb elemmel kényszerképzet”

Ekkor definiálhatjuk a P ∗Q kényszerképzetet:

• alaphalmaz:{〈p, τ〉 : p ∈ P, τ ∈ dom(Q), p τ ∈ Q}

• a részbenrendezés:

〈p1, q1〉 ≤ 〈p2, q2〉 ⇐⇒ p1 ≤ p2 ∧ p1 q1 ≤ q2

15. Lemma. Legyen az F ⊆ P ∗Q filter M − P ∗Q-generikus! Ekkor a

G = pr1(F ) = {p ∈ P : ∃π : 〈p, π〉 ∈ F}

halmaz M − P-generikus, és a

H = pr2(F ) = {πG : π ∈ dom(Q), ∃p : 〈p, π〉 ∈ F}

M [G]−QG-generikus, és M [G][H] = M [F ]

12

3. Szükséges feltétel Kurepa-fa nem létezésének konziszten-ciájához

3.1. Az erős káró feltétel mellett mindig létezik Kurepa fa

17. Definíció. Az X ⊆ ON rendszámokból álló halmaz zárt, ha minden 0 < α ∈ ON rendszámra,ha sup(X ∩ α) = α, akkor α ∈ X

18. Definíció. Legyen % limeszrendszám, cf(%) > ω. Ekkor a

{C : C ⊆ %, C kofinális és zárt }

halmazt a %-hoz tartozó club filternek nevezzük. (Nem nehéz belátni, hogy valóban filtert alkotnak.)

19. Definíció. ♦+ jelölje a következő kombinatorikus állítást:

∃ 〈Aα : α < ω1〉 Aα ⊆ P(α), |Aα| = ω

∀X ⊆ ω1 : ∃C club : ∀α ∈ C : A ∩ α ∈ Aα, C ∩ α ∈ Aα

1. Tétel. ♦+ esetén létezik Kurepa fa

Bizonyítás. Először is, ♦+-ból CH is következik: P(ω) ⊆⋃α∈ω1

Aα

16. Lemma. CH esetén létezik 2ω1 számosságú majdnem diszjunkt rendszer P(ω1)-ben (H ⊆P(κ) majdnem diszjunkt rendszer, ha minden H 6= I ∈ H-ra |H ∩ I| < κ)

Bizonyítás. Vegyük ω1 helyett alaphalmaznak a megszámlálható rendszámokon értelmezett 0− 1értékű függvényeket: 2<ω1 , CH miatt ez ω1 számosságú. Itt pedig minden f : ω1 → 2 függvénymeghatároz egy ágat: {f |α : α < ω1} különböző f 6= g függvények pedig már valamelyik β < ω1-edik koordinátán eltérnek, tehát

{f |α : α < ω1} ∩ {g|α : α < ω1} ⊆ {f |α : α ≤ β}

A tétel bizonyításának befejezéséhez ki kell mondanunk ♦+ egy következményét:

17. Lemma. ♦+ esetén létezik egy F ⊆ P(ω1) rendszer, melyre

(1) minden α < ω1-re: |{X ∩ α : X ∈ F}| ≤ ω

(2) minden A ⊆ ω1, |A| = ω1-re létezik X ∈ F : |X| = ω1 ∧X ⊆ A

Bizonyítás. Definiáljuk C ⊆ ω1, ξ ∈ ω1-re s(C, ξ)-t: s(C, ξ) = sup(C∩ξ+1), azaz C-beli ≤ ξ elemekszuprémuma, nyilván s(C, ξ) ∈ C), ha C zárt. Legyen az A,C ⊆ ω1 halmazokra X(A,C) ⊆ ω1 akövetkező:

X(A,C) = {α ∈ A : @γ ∈ A : s(C,α) ≤ γ < α}

Látható, hogy minden β ∈ C-re az A-beli ≥ β elemek legkisebbikét tartalmazni fogja X(A,C),így |A| = |C| = ω1 esetén |X(A,C)| = ω1, és persze A ⊇ X(A,C) mindig fennáll. Most pedigrögzítsünk egy 〈Aα : α < ω1〉 ♦+-sorozatot. F-et pedig a következő halmazrendszernek definiáljuk:minden A,C ⊆ ω1 párhoz legyen X(A,C) ∈ F , pontosan akkor, ha a következők teljesülnek:

• C club

13

• ∀α ∈ C: A ∩ α ∈ Aα

• ∀α ∈ C: C ∩ α ∈ Aα

Mivel 〈Aα : α < ω1〉 egy ♦+-sorozat volt, ezért F-re a kívánt feltételek közül a másodikX(A,C) ⊆ A és |A| = |C| = ω1 → |X(A,C)| = ω1 miatt teljesül. Az első, azaz, hogy min-den α megszámlálható rendszámra

|{X(A,C) ∩ α : X(A,C) ∈ F}| ≤ ω

a következő állítás egyszerű következménye lesz:

∀β < ω1 ∀X(A,C) |X(A,C) ∩ β| > 1 −→

∃α ≤ β : (X(A,C) ∩ α ∈ {X(I, J) : I, J ∈ Aα} ∧ |X(A,C) ∩ (β \ α)| ≤ 1)

Ha ugyanis X(A,C)∩β legalább 2-elemű, akkor x1 < x2 ∈ X(A,C)-ből az X(A,C) halmaz konst-rukciójából következően C ∩ (x1, x2] 6= ∅. Legyen tehát α = sup(C ∩ β). Ha α = β - amiből tehátβ ∈ C -, az A,C párra tett megszorításunk miatt, azaz A-hoz és a ♦+-sorozathoz választottuk aC-t, (A∩ β), (C ∩ β) ∈ Aβ . Ha pedig α < β lenne, akkor X(A,C)∩ [α, β) legfeljebb 1-elemű, csakA ∩ [α, β) legkisebb elemét tartalmazhatja. Ekkor pedig (A ∩ α), (C ∩ α) ∈ Aα (mivel α ∈ C)Most ennek az F családnak és egy G ⊆ P(ω1) majdnem diszjunkt rendszer felhasználásával konst-ruálunk egy Kurepa fát: Legyen minden G ∈ G -re XG ∈ F , melyre XG ⊆ G és |XG| = ω1, éslegyen K = {XG : G ∈ G }. A G rendszer majdnem diszjunktsága, és F családra tett másodikfeltevésünk miatt különböző G-khez különböző XG-t választottunk, vagyis |K | = 2ω1 . Most, mivelK ⊆ F , ezért a F-re vonatkozó első feltevésünk miatt minden α < ω1-re |{X ∩α : X ∈ K }| ≤ ω,így pedig az {χK |α : K ∈ K , α ∈ ω1} karakterisztikus függvényekből álló ω1-magas fánakminden szintje megszámlálható. Valamint χK minden K ∈ K -re kofinális ágat határoz meg.

�

3.2. Definiálható halmazok, konstruálható világ

A következőkben [1] felépítését fogjuk követni a konstruálható világ bevezetésében:Először definiálni fogjuk a definiálható halmaz fogalmát:

20. Definíció. Indukcióval definiálható minden n < ω (Neumann) rendszámra, és i, j < n-re akövetkező operációk:

• Proj(A,R, n) = {s ∈ AN : (∃t ∈ R) t|n = s}

• Diag∈(A,n, i, j) = {s ∈ AN : s(i) ∈ s(j)}

• Diag=(A,n, i, j) = {s ∈ AN : s(i) = s(j)}

• k szerint rekurzióval a Df ′(k,A, n) halmazok:

(a) Df ′(0, A, n) = {Diag∈(A,n, i, j) : i, j < n} ∪ {Diag=(A,n, i, j) : i, j < n}

(b) Df ′(k + 1, A, n) = Df ′(k,A, n) ∪ {An \ R : R ∈ Df ′(k,A, n)} ∪ {R ∩ S : R,S ∈Df ′(k,A, n)} ∪ {Proj(A,R, n) : R ∈ Df ′(k,A, n+ 1)}

• Df(A,n) =⋃{Df ′(k,A, n) : k ∈ ω}

14

Néhány fontos állítás:

6. Állítás. Legyen ϕ(x1, x2, . . . , xn) formula a halmazelmélet nyelvén. Ekkor

(∀A) : {s ∈ An |ϕA(s0, s1, . . . , sn−1)} ∈ Df(A,n)

m-re vonatkozó rekurzióval definiálhatjuk (megint párhuzamosan minden n-re) az En(m,A, n) ⊆Am halmazokat:

21. Definíció. • ha m = 2i · 3j, és i, j < n, akkor En(m,A, n) = Diag∈(A,n, i, j)

• ha m = 2i · 3j · 5, és i, j < n, akkor En(m,A, n) = Diag=(A,n, i, j)

• ha m = 2i · 3j · 52, akkor En(m,A, n) = An \ En(i, A, n)

• ha m = 2i · 3j · 53, akkor En(m,A, n) = En(i, A, n) ∩ En(j, A, n)

• ha m = 2i · 3j · 54, akkor En(m,A, n) = Proj(A,En(i, A, n+ 1), n)

• minden más m-re En(m,A, n) = ∅

7. Állítás. Minden n és A esetén Df(A,n) = {En(m,A, n) : m ∈ ω}

8. Állítás. A definiált Df és En függvények abszolútak ZF −P minden tranzitív modelljére, azaz

M |= ZF − P

és x,A, n ∈M esetén

M |= „x = Df(A,n)” ⇐⇒ (V |=)„x = Df(A,n)”

Hasonlóan En()-re.

9. Állítás. Legyen ϕ(x1, x2, . . . , xn) formula a halmazelmélet nyelvén. Ekkor létezik m, hogy

(∀A) : {s ∈ An : ϕA(s0, s1, . . . , sn−1)} = En(m,A, n)

22. Definíció. Legyen

D(A) = {X ⊆ A : ∃n ∈ ω ∃s ∈ An ∃R ∈ Df(A,n+ 1) : (X = {x ∈ A : sa 〈x〉 ∈ R})}

Így tulajdonképpen az A-n belül formulával definiálható részhalmazokat definiáltuk:

10. Állítás. Legyen ϕ(x0, x1, x2, . . . , y) formula a halmazelmélet nyelvén. Ekkor

∀A ∀v0, v1, . . . vn−1 ∈ A : {y ∈ A : ϕA(v0, v1, v2, . . . , vn−1, y)} ∈ D(A)

Most már definiálhatjuk a kostruálható világot:

23. Definíció. Transzfinit rekurzióval definiáljuk L(α)-t minden rendszámra:

• L(0) = 0

• L(α+ 1) = D(L(α))

• limesz α-ra: L(α) =⋃β<α L(β)

Most pedig legyen L =⋃α∈ON L(α)

15

Transzfinit indukcióval könnyen látható, hogy minden L(α) tranzitív és α < β esetén L(α) ⊆ L(β).

11. Állítás. (A Df függvény abszolútsága miatt) ZF−P minden tranzitív modelljére teljesül, hogyaz L(α) függvény is abszolút. Ebből következően, haM tranzitív valódi osztály modellje ZF−P -nek,akkor L = LM ⊆M

24. Definíció. o(M) = M ∩ON

Nyilván tranzitív M halmazokra o(M) ∈ ON és ez a legkisebb M -ben nem szereplő rendszám.

25. Definíció. A „V = L” állítást a következőképp definiáljuk:

∀x ∃α ∈ ON : x ∈ L(α)

12. Állítás.L |= „V = L”, ZFC, GCH

13. Állítás. Legyen κ reguláris számosság L-ben. Ekkor

L(κ) |= ZF − P + „V = L”

18. Lemma.

• Létezik egy ψ formula ZF − P -ből, melyre teljesül, hogy

∀M (M tranzitív ∧ ψM )→ (L(o(M)) = LM ⊆M)

• Létezik egy χ formula ZF − P+„V = L”-ből, melyre:

∀M (M tranzitív ∧ χM )→ (L(o(M)) = LM = M)

továbbá, ha M tranizitív valódi osztály, és χM , akkor M = L

26. Definíció. Legyen A halmaz. Definiáljuk az L(α,A) halmazokat:

• L(0, A) = tr cl(A) a tranzitív lezárt, azaz⋃n∈ω ∪nA

• L(α+ 1, A) = D(L(α,A))

• limesz α-ra:⋃β<α L(β,A)

Legyen L(A) =⋃α∈ON L(α,A)

Transzfinit indukcióval könnyen látható, hogy minden L(α,A) tranzitív.

19. Lemma. L-hez hasonlóan igazolható, hogy tetszőleges A halmazra

L(A) |= ZF

itt is teljesül, hogy ha κ > |tr cl(A)| reguláris számosság L(A)-ben, akkor

L(A, κ) |= ZF − P + „V = L(A)”

És a 18. lemma is átfogalmazható:

20. Lemma.

16

• Létezik egy ψ formula ZF − P+ „V = L(A)”-ból, melyre teljesül, hogy

∀M 3 A (M tranzitív ∧ ψM )→ (L(o(M), A) = L(A)M ⊆M)

• Létezik egyχ formula ZF − P+„V = L(A)”-ből, melyre:

∀M 3 A (M tranzitív ∧ χM )→ (L(o(M), A) = L(A)M = M)

továbbá, ha M 3 A tranzitív valódi osztály, és χM , akkor M = L(A)

21. Lemma. Tetszőleges A halmazra, ha L(A) tartalmazza tr cl(A)-nak egy jólrendezését, akkor

L(A) |= AC

(Nyilvánvalóan szükséges feltétel is egyben.)

Bizonyítás. Transzfinit rekurcióval fogjuk definiálni a Cα⊆ L(α,A) rendezéseket:Tegyük fel, hogy R ∈ L(A) jólrendezi A-t (feltehető, hogy A tranzitív). Legyen C0= R.Ha most α limesz, akkor Cα=

⋃β<α Cβ legyen.

Rákövetkező esethez a formulával definiálható En() függvényre is szükségünk lesz. (α = β + 1)Legyen Cnβ a (Cβ-ból adódó) lexikografikus rendezés L(β,A)n-n minden n < ω-ra:

Cnβ= {〈s, t〉 : (∃k < n) : s|k = t|k ∧ sk Cβ tk}

Amely tehát jólrendezés. Ez után pedig, L(α,A) \ L(β,A) ⊆ D(L(β,A)-t fogjuk gyakorlatilaglexikografikusan rendezni a formula En-beli legelső előfordulása, a paraméter hossza, majd a pa-raméterek Cnβ rendezése szerint: Legyen minden x ∈ L(α,A) \ L(β,A)-ra mx a legkisebb m < ω,hogy létezik n < ω, s ∈ L(β,A)n−1, hogy x = {y ∈ L(β,A) : s a 〈y〉 ∈ En(m,L(β,A), n)}Valamint legyen nx az a legkisebb n < ω, melyre létezik s ∈ L(β,A)n−1, hogy x = {y ∈L(β,A) : s a y ∈ En(mx, L(β,A), n)}, és ugyanígy legyen sx az a Cnx−1

β -minimális s, melyrex = {y ∈ L(β,A) : sa y ∈ En(mx, L(β,A), nx)}

Cα= Cβ ∪{〈x, y〉 : x ∈ L(β,A), y ∈ L(α,A) \ L(β,A)}

∪{〈x, y〉 ∈ (L(α,A) \ L(β,A))2 : (mx < my)

∨(mx = my ∧ nx < ny)

∨(mx = my ∧ nx = ny ∧ sx C

nx−1β sy)

}�

Ezzel jólrendezését kaptuk L(A)-nak:

27. Definíció. Legyen <L(A) a következő relációként definiálva L(A)-ban:

x <L(A) y ⇐⇒ x, y ∈ L(α,A)→ x Cα

Meg kell jegyeznünk, hogy tranzitív ZF −P -modellek esetén En() abszolútságából következik <Labszolútsága:

22. Lemma. (Legyen A = ∅, és így L(α,A) = L(α)) Az α 7→Cα hozzárendelés abszolút mindentranzitív ZF − P modellre. Azaz, ha M tranzitív valódi osztálymodellje ZF − P -nek, akkor <Labszolút:

∀x, y ∈ L = LM ⊆M : (x <L y)M ⇐⇒ x <L y

Ugyanígy minden M tranzitív halmazra, ha teljesül benne ZF − P , akkor

∀x, y ∈ LM : (x <L y)M ⇐⇒ x <L y

17

Ha pedig L(A) |= AC, akkor transzfinit indukcióval látható, hogy

L(A) |= |L(α,A)| = |α| · |tr cl(A)|

L(A) |= ZF és tranzitivitása miatt pedig (vagyis a Df,En függvényeket megadó formulák abszo-lútságát használva) adódik, hogy

L(A) |= „V = L(A)”

14. Állítás. Legyen A ⊆ µ, ahol µ rendszám. Ekkor, ha (|α| ≤ λ)L(A), akkor minden U ∈ L(A),U ⊆ L(α,A)-ra,

κ = max{(|λ|+)L(A), (|µ|+)L(A)}

jelöléssel: U ∈ L(κ,A)

Bizonyítás. (Dolgozzunk most L(A)-ban! - L(A) |= ZFC)Alkalmazzuk az {U}∪L(α,A) halmazra és a 20. lemmabeli χ formulára a tükrözési elvet (ZFC-bőlkövetkezik, L(A)-ban is igaz): Létezik H ⊇ {U} ∪ L(α,A) halmaz, melyre

(χH ←→ χ)L(A)

Most Mostowski lemmájával, (ami ZF következménye) létezik egy 〈H,∈〉-vel izomorf M tranzitívhalmaz, ahol is az egyértelműség miatt az izomorfizmus (amelyet itt is π jelöl) az L(α,A) tranzitívhalmazt helyben hagyja, következésképp U -t és A-t is.Most pedig M |= χ miatt M = L(A, o(M)), de

(|{U} ∪ L(A,α)| < κ)L(A)

így (|H| < κ)L(A) is. Ekkor pedig |L(κ,A)|L(A) = κ miatt o(M) < κ. Tehát U ∈ M = L(ν,A)valamilyen ν < κ-ra. �

3.3. Erősen elérhetetlen számosság létezésének konzisztenciája, mint szük-séges feltétel

Ez után rátérhetünk a fejezet főtételének bizonyítására:

2. Tétel. Erősen elérhetetlen számoság létezésének konzisztenciája szükséges ¬KH azaz Kurepafa nem létezésének konzisztenciájához:

CON(ZFC + ¬KH)→ CON(ZFC + ∃ erősen elérhetetlen számosság )

Egészen pontosan ennél valamivel többet látunk be, de ehhez először szükségünk lesz Gödel konst-ruálható világának fogalmára:Mivel L |= GCH, ezért L-ben elérhetetlen számosság erősen elérhetetlen. Továbbá mivel nemlétezik V -ben se α < ω2 esetén α-típusú kofinális része ω2-nek, ezért ω2 L-ben is reguláris. Japedig nem rákövetkező, akkor biztosan elérhetetlen, egyben erősen elérhetetlen is.

3. Tétel. Legyen κ = ω2, vagyis a második legkisebb nem megszámlálható számosság. Ekkor, ha

L |= κ = λ+ valamilyen λ L-beli számosságra

akkor létezik Kurepa fa

18

Az előbbiek alapján elég azt belátni, hogy L-et ki tudjuk úgy bővíteni, L ⊆ L(A) ⊆ V ZFC-nekegy tranzitív belső modellévé, hogy ott már ω1 = ω

L(A)1 és ω2 = ω

L(A)2 , és L(A) |= ♦+:

Itt ugyanis tudni konstruálni egy Kurepa fát ω2 ággal, mely tehát V -ben is ω1 = ωL(A)1 -magas

fa lesz, legalább ω2 = ωL(A)2 -sok ággal. (kihasználtuk, hogy a „h(t) = α”, „a fa T -edik szintje”,

„h(T )”, stb fogalmak abszolútak L(A) |= ZF miatt)Ha ω2 = (κ+)L, valamilyen κ L-beli számosságra, akkor legyen S ⊆ ω1 olyan halmaz, melybenminden α ∈ (ω, ω1)-ra elkódolható α-nak egy ω-típusú rendezése. és ω1-nek egy κ típusú rendezése(Legyen ez az ω1-ω3

1 kódolás ω21-nek a szokásos ω1 típusú rendezésén alapuló, ahol tehát először a

koordináták maximuma szerint rendezünk, ezen belül pedig az α× {α} lesz mondjuk előbb, mintaz {α} × α. Ez a rendezés már L(ω1 + 1)-ben is benne van, az ω1-gyel vett rendezéstartó bijekciópedig L(ω1 + 2)-ben)tr cl(S) = α ∈ ON , aminek nyilván van jólrendezése L(S)-ben, így

L(S) |= ZFC

És a számosságok osztálya esetleg bővebb lehet, mint V -ben, de S-et pont úgy választottuk, hogyminden α < ω1-re

L(S) |= |α| = ω

és minden ω1 ≤ β < ω2-re:L(S) |= |β| = ω1

Rá is térhetünk a kulcs lemmára, amiből következik is a Kurepa fa létezése.

23. Lemma.L(S) |= ♦+

Bizonyítás. Először megkonstruáljuk a sorozatot - L(S)-ben dolgozunk -(annak, hogy valóban♦+-sorozatot kaptunk az ellenőrzése lesz a hosszadalmasabb feladat):α < ω1-re legyen α+ 1 ≤ δ(α) a legkisebb, melyre

L(δ(α), S ∩ α) ≺ L(ω1, S ∩ α)

vagyis Skolem-függvényekre kell lezárnunk, úgy, hogy ha belemetszünk L(β+1, S∩α)\L(β, S∩α)-ba, akkor L(β + 1, S ∩ α)-t tartalmazni kell. Mivel

|L(α, S ∩ α)| = |α| · |S ∩ α| = ω

így L(δ, α ∩ S) is megszámlálható és δ < ω1. Legyen Aα = P(α) ∩ L(δ, S ∩ α)Most pedig tetszőleges H ⊆ ω1-hez keresünk megfelelő C ⊆ ω1 club halmazt: amihez előszördefiniálnunk kell a Knm : L(ω2, S)n → L(ω2, S) (n,m < ω) Skolem-függvényeket:

• (i) Ha m = 2i3j54 alakú (azaz vagy En(i, L(ω2, S), n+ 1) egy ϕ(v0, v1, . . . , vn−1, x) alakúformulát kielégítő n+1-eseket kódol és ekkkor En(m,L(ω2, S), n) pedig ψ(u0, u1, . . . , un−1) ≡∃unϕ(u0, u1, . . . , un−1)-t kielégítő n+ 1-eseket, vagy esetleg mindkét halmaz üres)és

(ii) s ∈ En(m,L(ω2, S), n) (azaz ∃x ϕ(s0, s1, . . . , sn−1)L(ω2,S))

akkor legyen Knm(s) a <L(S)-minimális x ∈ L(ω2, S), melyre sa〈x〉 ∈ En(i, L(ω2, S), n+1),

• minden más esetben Knm(s) = 0.

19

Rögzítsünk egy H ∈ P(ω1)L(S) halmazt! (a 14. lemma miatt H ∈ L(ω2, S))Zárjuk most le az {H} ∪ α ∈ L(ω2, S) halmazt a Knm függvényekre, legyen ez a lezárt Xα! Meg-számlálható halmaz megszámlálható sok végesváltozós függvényre vett lezártja megszámlálható,így Xα ⊆ L(ω2, S) is megszámlálható, a Tarski-Vaught kritérium miatt pedig

〈Xα,∈〉 ≺ 〈L(ω2, S),∈〉

Mivel〈L(ω2, S),∈〉 |= „létezik legkisebb végtelen rendszám”

Ezért 〈Xα,∈〉-ben is. Megint az elemi részség miatt ez a legkisebb végtelen rendszám L(ω2, S)-banis, kapjuk, hogy ω ∈ Xα. Továbbá indukcióval látható, hogy ω ⊆ Xα. Másrészt,

L(ω2, S) |= „létezik nem megszámlálható rendszám”

ezért Xα-ben is, de megint az elemi részség és a következő állítás miatt ez ott is csak [ω1, ω2)-belirendszámra teljesülhet:

15. Állítás.L(ω2, S) |= csak az ω, ω1 rendszámok számosságok

Bizonyítás. Mivel S-et L(ω1 + 1) ⊆ L(ω1 + 1, S)-ben is ki tudjuk kódolni, és ezzel L(ω1 + 1, S) ⊆L(ω2, S) tartalmazza az ω1-nél kisebb halmazok (ω-típusú) felsorolásait. Másrészt ω1 κ típusúfelsorolását is kikódolva, már L(κ+ 1, S) fog tartalmazni bijekciót ω1 és κ között. �

Ha pedig β ezek közül a legkisebb, akkor az elemi részség miatt

〈L(ω2, S),∈〉 |= „β a legkisebb nem megszámlálható rendszám ”

ami L(S)-ben ω1, és az előbbi állítás miatt β = ω1 lehet csak:Ha pedig valamilyen % < ω1-re % ∈ Xα, akkor az elemi részség miatt

〈Xα,∈〉 |= ∃f : ω → % bijekció

Ekkor, mivel f L(ω2, S)-ben is bijekció, és ω ⊆ Xα, ezért % ⊆ Xα. Kaptuk, hogy Xα ∩ ω1 = ξα

valamilyen megszámlálható rendszámra. Mostowski lemmáját kihasználva, kaphatjuk, hogy egy-értelműen létezik egy tranzitív Yα halmaz, mely Xα-val izomorf. ξ-re, azaz egy tranzitív halmazramegszorítva ezt a π izomorfizmust, az izomorfizmus és a kép az egyértelműségből látható, hogyξα ⊆ Yα, és π(S) = S ∩ ξα. És mivel

L(ω2, S) |= ZF − P + „V = L(S)”

ezért〈Yα,∈〉 |= ZF − P + „V = L(S ∩ α)”

Amiből a 20. lemma miatt Yα = L(γα, S ∩ α)) valamilyen γα megszámlálható rendszámra.

A H ⊆ ω1 halmazokhoz választott C club halmazok konstrukciójánál, illetve a (α ∈ C) → (H ∩α ∈ Aα) feltétel ellenőrzéséhez meg fogunk különböztetni két esetet, attól függően, hogy ω1 =(ω+)L(S) = ω+ a legkisebb nem megszámlálható számosság-e már valamilyen σ < ω1-re L(S ∩ σ)-ban is. (a másik (α ∈ C) → (C ∩ α ∈ Aα) feltétel ellenőrzése az esetbontás után, egyszerre fogtörténni):

20

(i) Ha létezik σ < ω1: ω1 = (ω1)L(S∩σ):

Legyen H ⊆ ω1-hez C a következő club halmaz:

C = {α < ω1 : Yα ∩ ω1 = α ∧ σ ≤ α}

(az első feltételt másképp mondva: ξα = α).

Rögzítsünk most egy α ∈ C-t! (Ekkor Aα = P(α) ∩ L(δ(α), S ∩ α).) Most pedig, mivelXα 3 H, Yα ∩ω1 = α, ezért H ∩α ∈ Yα = L(γα, S ∩ ξα) = L(γα, S ∩α), így H ∩α ∈ Aα-hozelég lenne, hogy γα ≤ δ(α):Ehhez először vegyük észre, hogy minden η < ω1-re f : η → ω bijekcióra, ha f ∈ L(S ∩ σ),akkor f ∈ L(ω1, S ∩ σ), a 14. lemma miatt.

Azt kaptuk tehát, hogy

L(S ∩ σ, ω1) |= „ minden halmaz megszámlálható”

ViszontL(S, ω2) |= „ω1 a legkisebb nem megszámlálható számosság”

vagyis (π(ω1) = α):

L(γα, S ∩ α) |= „α a legkisebb nem megszámlálható számosság”

Másrészt L(ω1, S ∩ σ) ⊆ L(ω1, S ∩ α)-ban minden rendszám megszámlálható, α is, L(S ∩α, δ(α)) ≺ L(S ∩ α, ω1) miatt tehát

L(S ∩ α, δ(α)) |= α megszámlálható

így L(δ(α), S ∩ α) biztosan bővebb, mint L(γα, S ∩ α).

(ii) Ha létezik ω < λ < ω1 számosság L(S ∩ α)-ban minden α < ω1 esetén:

Ekkor, ha α < ω1, ω1 nem lehet (τ+)L(S∩α) alakú azaz rákövetkező számosság: ugyanis αhelyett esetleg ν > α-t választva S ∩ ν-ban τ (ω-típusú) felsorolása is megtalálható (|τ × τ | <ω1, tehát nem kofinális) Így pedig L(S ∩ ν + 1)-ben ω1 a legkisebb nem megszámlálhatórendszám.

A rögzített H ⊆ ω1 halmazhoz C a következő club halmaz legyen:

C = {α < ω1 : Xα ∩ ω1 = α}

Megint, minden α ∈ C-re H ∩ α ∈ Aα-hoz γα ≤ δ(α) elég lenne. De α = π(ω1),

L(S ∩ α, γαXα) ≈≺ L(S, ω2)

miatt L(S ∩ α, γα)-ban α a legnagyobb számosság.

Míg a másik esetben:L(S ∩ α, δ(α)) ≺ L(S ∩ α, ω1)

és ezzelL(S ∩ α, ω1) |= „létezik α-nál nagyob számosság

ami tehát L(S ∩ α, δ(α))-ban is igaz, válasszunk onnan egy δ(α) > ν > α számosságot (amipersze az elemi részség miatt L(S ∩α, ω1)-ben is számosság). Ha ν < γα, akkor L(S ∩α, γα)-ban is számosság lenne, mert a bővebb L(S ∩ α, ω1)-ben sincs bijekció kisebb rendszámmal,ami ellentmondana annak, hogy L(S ∩ α, ω1)-ban α a legnagyobb számosság.

21

Most még azt kell igazolnunk, hogy ha α ∈ C, akkor C ∩ α ∈ Aα. Jelölje cl(U) az U ⊆ L(S, ω2)halmazoknak a Knm függvényekre való lezárását! Így tehát C felírható

{α : cl(α ∪ {H}) ∩ ω1 = α} ∩ [σ, ω1)

alakban valamilyen σ ≥ 0-ra. Ebből adódóan tehát elég, hogy ha a C-beli α-kra a {β < α :cl(β ∪ {H}) ∩ α = β} halmaz eleme Aα = P(ω1) ∩ L(δ(α), S ∩ α)-nak. (mert L(δ(α), S ∩ α) ≺L(ω1, S ∩ α), és így L(δ(α), S ∩ α) bármely két elemének tartalmazza különbségét, így vehetjük aσ-nál nagyobbegyenlőket, ha szükséges.)Mivel a 〈Knm : n,m ∈ ω〉-zárt cl(α ∪ {H}) = Xα ≺ L(ω2, S) halmazt a π izomorfizmussallesuvasztottuk Yα = L(γα, S ∩ α)-vá, az α-nál kisebb β rendszámokra:

cl(β ∪ {H}) ⊆ cl(α ∪ {H}) mivel β ∪ {H} ⊆ α ∪ {H}

Knm-ek helyett „áthúzhatjuk” π-vel a Knm függvényeket:

K ′nm : L(γα, S ∩ α)n → L(γα, S ∩ α)x 7→ Knm ◦ π−1(x)

és itt tekinthetjük π[β ∪ {H}] halmaz cl′ lezártját. De tudjuk, hogy α elemeit π helyben hagyja,π(H) = H ∩ α, ezért a

{β < α : cl′(β ∪ {H ∩ α}) ∩ α = β}

halmazról kellene látnunk, hogy Aα = L(δ(α), S ∩ α)-nak eleme.Mivel α ∈ C, az előbb látottak szerint γα < δ(α). Azt fogjuk megmutatni, hogy az L(γα, S ∩ α)-nértelmezett K ′nm függvényeket L(δ(α), S ∩ α)-ban már tudjuk definiálni:Ha m = 2i · 3j · 54 alakú volt (azaz En(m,L(S, ω2), n) vagy ∃xϕ(a0, a1, . . . an−1) formulát kódol,vagy ∅, és ha nem kódol formulát, akkor En(i, L(S, ω2, n+ 1) = ∅) , akkor az elemi részség miatt,és mert π izomorfizmus akkor s ∈ Xα ≺ L(S, ω2)-re:

〈s0, s1, . . . , sn−1〉 ∈ En(m,L(ω2.S), n) ⇐⇒ 〈s0, s1, . . . , sn−1〉 ∈ En(m,Xα, n) ⇐⇒

⇐⇒ 〈π(s0), π(s1), . . . , π(sn−1)〉 ∈ En(m,L(S ∩ α, γα).n)

ugyanígy , ha x ∈ Xα, akkor

sa 〈x〉 ∈ En(i, L(S, ω2), n+ 1) ⇐⇒ sa 〈x〉 ∈ En(i, Yα, n+ 1) ⇐⇒

⇐⇒ π(s)a 〈π(x)〉 ∈ En(i, L(γα, S ∩ α), n+ 1)

és K ′nm(π(s)) = π(x0) pontosan akkor, ha az előbbi feltételeket teljesítő x ∈ L(ω2, S)-ek között x0

a <L(S)-minimális.Mivel L(S ∩ α, δ(α)) ≺ L(S ∩ α, ω1) és utóbbiban ZF − P teljesül, ezért az előbbiben is.Így tranzitív halmazokként az

En : ω × L(ω1, S ∩ α)× ω → P(L(S ∩ α, ω1))<ω

illetveEn : ω × L(δ(α), S ∩ α)× ω → P(L(δ(α)<ω, S ∩ α)

függvényeket és <L(S)-t definiáló formulák abszolútak, és L(γα, S ∩ α) ∈ L(δ(α), S ∩ α), ezérts ∈ Xn

α esetén:

〈s0, s1, . . . , sn−1〉 ∈ En(m,L(ω2, S), n) ⇐⇒ 〈π(s0), π(s1), . . . , π(sn−1)〉 ∈ En(m,L(γα, S∩α), n) ⇐⇒

22

⇐⇒ 〈π(s0), π(s1), . . . , π(sn−1)〉 ∈ En(m,L(S ∩ α, γα), n)L(δ(α),S∩α)

Hasonlóan, x1, x2 ∈ Xα-ra:

x1 <L(S) x2 ⇐⇒ (x1 <L(S) x2)L(ω2,S) ⇐⇒ (x1 <L(S) x2)Xα ⇐⇒ (π(x1) <L(S∩α) π(x2))L(γα,S∩α)

⇐⇒ π(x1) <L(S∩α) π(x2) ⇐⇒ (π(x1) <L(S∩α) π(x2))L(δ(α)),S∩α)

ahol az első „ ⇐⇒ ” L(ω2, S) |= ZF − P , és L(ω2, S) tranzitivsága miatt - 22. lemma), amásodik az elemi ekvivalencia miatt, a harmadik azért, mert π izomorfizmus (és π(S) = S ∩ α), anegyedik megint L(γα, S∩α) |= ZF −P és ennek a halmaznak a tranzitívsága miatt, míg az ötödikL(δ(α), S∩α) |= ZF−P és a halmaz tranzitívsága miatt. Tehát x ∈ L(γα, S∩α)n, y ∈ L(γα, S∩α)esetén

(Knm(x) = y)L(δ(α),S∩α) ←→ K ′nm(x) = y

Másrészt L(δ(α), S∩α) |= ZF −P miatt - a pótlás axiómáját és ω ∈ L(δ(α), S∩α)-t kihasználva -π[β∪{S}] = β∪{S∩α} ∈ L(δ(α), S∩α) halmazok K ′nm-kre történő cl′(π[β∪{S}]) lezártja is elemeL(δ(α), S ∩ α)-nak. Majd ezt felhasználva, azaz, hogy definiálható a következő hozzárendelés:

β 7→ cl′(π[β ∪ {S}]) (β < α)

a β-k közül - a részhalmaz axiómával - ki tudjuk válogatni a megfelelőket, azaz:

{β < α : cl′(π[β ∪ {S}]) ∩ α = β} ∈ L(δ(α), S ∩ α}

ahogy kívántuk.

4. Modell, melyben Kurepa fáknak előre meghatározott szá-mosságú ága lehet

A fejezetben bemutatjuk, hogy bizonyos feltételt teljesítő rendszámsorozatokra konzisztens, hogylétezik olyan modell, melyben pontosan a megadott sorszámú számosságokra létezzen a modellbenannyi ágú Kurepa fa (megengedve üres sorozatot is).

4.1. Előkészületek

28. Definíció. Legyen κ reguláris számosság. Azt mondjuk, hogy egy 〈µα | α < γ〉 monotonrendszámsorozat zárt κ-limeszre, ha tetszőleges κ típusú részsorozatra, azaz 〈αν |ν < κ〉 esetén, aακ = sup{αν | ν < κ} jelöléssel: µ tartalmazza a részsorozat szuprémumát, sup{µαν | ν < κ}-t

Az, hogy a rendszámsorozatnak zártnak kell lennie ω- és ω1-limeszre könnyen láthatóan szükségesfeltétel. A következő tétel ennél még egy feltétellel többet kíván a sorozattól. [4]-ben látottmódszert alkalmaztuk (homogén fák használata):

4. Tétel. Legyen α rendszám, és β = 〈βν |ν < α〉 monoton rendszámsorozat (ahol minden ν-reβν > 1), továbbá legyen % ≥ sup{βν | ν < α} Tegyük fel, hogy a β sorozat zárt ω és ω1-limeszre,és teljesül. hogy cof(%) /∈ {ω, ω1}, valamint tetszőleges ν < α-re

cof(βν) ∈ {ω, ω1} esetén a sorozat tartalmazza βν + 1-et is

Ekkor konzisztens, hogy 2ω1 = % és pontosan γ = βν (ν < α) rendszámokra létezik ℵγ-ágú Kurepafa. (Amennyiben a β sorozat nem tartalmazza 2-t, azaz nem szeretnénk, hogy legyen ω2 ágú Kurepafa, feltesszük egy erősen elérhetetlen számosság létezését.)

23

29. Definíció. Legyen adott α ≤ ω1 rendszám, és a, b ∈ 2α függvények. Az Fab : 2≤ω1 → 2≤ω1

leképezést a következőképp definiáljuk:

s ∈ 2≤ω1 7→ Fab(s)dom(Fab(s)) = dom(s)

dom(Fab(s)) 3 β 7→{

s(β) + a(β) + b(β) (mod 2) ,ha β < α

s(β) β ≥ α

Könnyen láthatóan Fab a teljes 2<ω1 fának egy automorfizmusa.

30. Definíció. Legyen H ⊆ 2<ω1 lefelé zárt (f ∈ H, α < dom(f) esetén f |α ∈ H) részfája. EkkorH homogén, ha tetszőleges a, b ∈ H azonos szinten lévőeket kiválasztva (vagyis dom(a) = dom(b))Fab � H H-nak egy automorfizmusa.

31. Definíció. Egy T fát normálisnak nevezünk, ha

(1) bármely t ∈ T , α < ht(T )-re létezik Tα 3 t′ ≥ t

(2) tetszőleges α < ht(T ) limeszrendszámra, és b ∈ B(Tα) ágra legfeljebb egy felső korlát létezikTα-ban

32. Definíció. Jelölje Phom ⊆ P(2<ω1) a homogén megszámlálható fákat, és tekintsük azokon akövetkező < részbenrendezést:

T < T ′ ⇐⇒ T |ht(T ′) = T ′

24. Lemma. Legyen adott p ∈ Phom (melyre h(p) limeszrendszám), és C = c1, c2, . . . , cn, . . .

megszámlálható sok ág. Ekkor létezik Phom 3 p′ ≤ p, melyre h(p′) = h(p) + 1 és p 3 ci mindeni-re, azaz a legnagyobb szintjén tartalmazza a megadott p-beli ágakat.

Bizonyítás. Vegyük hozzá C-beli ágakat, majd zárjuk le az Fab függvényekre. A indukcióvaldefiniáljuk Ti fákat (µ = h(p) jelöléssel):

T0 = p ∪ CTk+1 = Tk ∪ {Fab(t) : a, b ∈ Tk (h(a) = h(b)), t ∈ (Tk)µ}

Így pedig p′ = ∪k∈ωTk egy megszámlálható, homogén normális fa, melyre C ⊆ p′,

25. Lemma. Phom ω1-zárt. Következésképp ha G egy M − Phom-generikus filter, akkor M ⊇M [G] ∩ P(ω) teljesül.

Bizonyítás. Homogén fák növő uniója nyilvánvalóan homogén fa. �Legyen N megszámlálható tranzitív modellje ZFC + GCH-nek, azaz

N |= (∀κ) 2κ = κ+

Ha

(a) β0 = 2, Ezt az M = N modellt fogjuk egy megfelelő kényszerképzetbeli generikus filterrelbővíteni.

(b) Ha β0 > 2,

azaz nem szeretnénk, ha lenne ω2-ágú Kurepa fa, akkor legyen L = Lv(κ, ω1) ∈ N , és legyenF ⊆ L egy N − L-generikus filter, majd az M alapmodell legyen N [F ]

24

16. Állítás. Ha M = N [F ] volt, akkor is teljesül, hogy:

(M |= GCH) és M ∩Nω ⊆ N

Bizonyítás. Először be kell látnunk, hogy L κ − cc. Legyen tehát 〈lγ : γ < κ〉 antilánc L-ben.A delta-rendszer lemmát (7. lemma) alkalmazzuk az lγ parciális függvények értelmezési tartomá-nyaira κ := ω1 és Θ := κ szereposztással (a feltételek teljesülnek, mert κ erősen elérhetetlen). Ígytehát, ha σ < κ olyan, hogy a ∆-rendszer magjára K ⊆ σ × ω1 ⊆ κ × ω1 (κ erősen elérhetetlen-sége miatt cf(κ) = κ > ω) , akkor az lγ |K-k legfeljebb σω ≤ σσ = 2σ < κ megintcsak κ erősenelérhetetlensége miatt. továbbá a következők is mind igazak:

• ω és ω1 számosságok N [F ]-ben is. (L ω1-zárt, a 9. lemmát kell alkalmazni)

• minden λ ≥ κ (N -beli számosság) számosság marad az F -fel bővítés után, mivel L κ − cc(11. lemma)

• és ω1 ≤ ξ < κ esetén (|ξ| = ω1)N [F ], így κ = (ω2)N [F ]

Már csak N [F ] |= GCH állítást kell igazolni.L ω1-zártsága miatt nem keletkezik új ω-sorozat, speciálisan ω-nak új részhalmaza se. |2ω| = ω1

pedig már teljesült N -ben is.Ha pedig λ ≥ ω1 számosság, akkor

|(2λ)N [F ]| ≤ ((|L|<κ)λ)N = (κλ)N

Ez pedig λ = ω1 esetén(κω1 )N ≤ (κ<κ)N = κ = (ω2)N

Ha pedig λ ≥ κ = (ω2)N [F ], akkor (κλ)N ≤ (λλ)N = λ+

�

4.2. Az alapmodell bővítésének konstrukciója

Legyenek Xη (η < α) ωβν számosságú páronként diszjunkt halmazok N -ben. Legyen minden γ < α

rendszámra Pγ = (Phom)N = (Phom)M (Nω ∩M ⊆ N).Jelölje Tγ a generikus bővítés által adott homogén ω1-fa Pγ-nevét, és Qγ azt az N -beli Pγ-nevet,melyre

N |= ”1Pγ Pγ Qγ = {f : f függvény, dom(f) ⊆ Xγ , |f | ≤ ω, ran(f) ⊆ Tγ}”

aholis a részbenrendezést úgy definiáljuk, hogy felvett függvényértékek az értelmezési tartományközös részén pontonként kiterjesztései egymásnak (vagyis nagyobbak a fában), azaz

f1 ≤ f2 ⇐⇒ ∀ξ ∈ dom(f1) ∩ dom(f2) : f1(ξ) ⊇ f2(ξ)

(Minden bővítésben definiálhatók ezek a függvényekből álló halmazok, használható a az 5. lemma.)Legyen N 3 Rγ = Pγ ∗Qγ , azaz

Pγ ∗Qγ = {〈p, q〉 ∈ Pγ × dom(Qγ) : 1Pγ q ∈ Qγ}

ahol a részbenrendezés:

〈p1, q1〉 ≤ 〈p2, q2〉 ⇐⇒ (p1 ≤ p2) ∧ (p1 Pγ q1 ≤ q2)

25

Definiálhatjuk a következő kényszerképzetet (N -ben):

R = {p : p ∈∏γ<α

Rγ , |supp(p)| ≤ ω}

Ez után legyen G M − R-generikus filter. A fejezet további részében a következő két állításbizonyítása olvasható:

17. Állítás. A σ = sup{βν : ν < α} jelölést használva teljesül a következő:

M [G] |= 2ω1 = ℵσ és pontosan ℵβν (ν < α) alakú számosságokra létezik Kurepa fa

Végül, ha M [G] |= 2ω1 = ℵσ < ℵ%, akkor még bővítjük M [G]-t egy J M [G] − Fn(ω%, 2, ω1)-generikus filterrel. (Itt is (Fn(ω%, 2, ω1))N = (Fn(ω%, 2, ω1))M , mert Nω ∩M ⊆ N)

18. Állítás.

M [G][J ] |= 2ω1 = ℵ% és pontosan az ℵβν (ν < α) alakú számosságokra létezik Kurepa fa

19. Állítás. A R× Fn(ω%, 2, ω1) kényszerképzet ω2 − cc (M -ben)

Bizonyítás. a 10. lemma miatt ω2 számosságú antilánc Fn-re vett vetületeiből kiválasztható ω2-sokpáronként kompatibilis és ezek (vetítési ősképeinek) R-re vett vetületeire alkalmazható a következőállítás:

20. Állítás. (N -ben, illetve bármilyen M ′ ⊇ M ⊇ N bővítésben, amely meghagyja a számosságo-kat, és továbbra is teljesül a GCH, és P(ω)M ′ = P(ω)N = P(ω)M :)Az R ∈M kényszerképzet ω2-cc, azaz bármelyik antilánc számossága legfeljebb ℵ1

Bizonyítás. Legyen adott egy {rξ | ξ < ω2} antilánc. M ′ |= GCH miatt ωω12 = (2ω1)ω1 = ω2,

tehát a rξ-k megszámlálható supp-jaira alkalmazhatjuk a ∆-rendszer lemmát, azaz esetleg néhányrξ-t elhagyva innentől feltehetjük, hogy az antilácunk supp-jai ∆-rendszert alkotnak. Legyen a∆-rendszerünk magja K, és annak felsorolása :

K = {γ1, γ2, . . . , γn, . . . } ⊆ {βπ | π < α}

és minden ξ < ω2-re jelölje riξ a Rγi -re vonatkozó projekciót.Legyen most r = rξ rögzítve, és válasszunk egy i ∈ ω értéket, jelölje βγi-t µ!Tudjuk, hogy

riξ = 〈p, q〉 ∈ Pγi ×Qγi alakú, ahol 1Pγi Pγi q ∈ Qγi

(ahol q ∈M egy Phom = Pγi -név.) Így tehát, mivel

1Pγi Pγi q ∈ Qγi(= {f : f függvény, dom(f) ⊆ Xγi , |f | ≤ ω, ran(f) ⊆ Tγi})

ezért tudjuk, hogy

1Pγi Pγi (∃f) f dom(q) egy felsorolása (ω típusban)

így (az egzisztenciális kvantoros állítás forszolásának definíciójából adódóan) találhatunk egy Pγi 3p0 ≤ p elemet és f Pγi -nevet, melyre

p0 Pγi f dom(q) egy felsorolása (ω típusban)

26

Ezután vegyünk egy p1 ≤ p0 elemet, melyre

∃δ1 ∈ Xγi , ∃t1 ∈ 2<ω1 : p1 f(1) = δ1, q(δ1) = t1

Így hasonlóan definiálhatjuk a következő elemeket, végül kapjuk a (δi)i∈ω , (ti)i∈ω, (pi)i∈ω ∈ Msorozatokat. Mivel Phom ω1-zárt, ezért létezik egy p′ közös alsó korlát:

p′ ≤ · · · ≤ pj ≤ . . . p2 ≤ p1 ≤ p0

(Nyilván 〈p′, q〉 ≤ 〈p, q〉) Legyen (riξ)′ = 〈p′, q〉. Ez után rξ-t minden γi (i ∈ ω) (azaz K-beli)koordinátákon módosítsunk riξ-t (riξ)′-re cserélve:

(rξ)(γi) = 〈(piξ)′, qξ〉 (= (riξ)′)

(így tehát minden rξ-t egy kisebbre cseréltük.)Mivel a K-beli γ-kra az első koordinátákat |KPhom| = ωω1 = ω1-féleképp (CH) tölthetjük ki, ezértnéhány pξ elhagyásával feltehető, hogy létezik (pi)i∈ω ∈ ωPhom, hogy a megmaradt ω2-sok rξ-reγi ∈ K esetén (rξ)(γi) = 〈pi, qiξ〉 alakú.Ezután legyen Siξ a qiξ-nek (pi által kikényszerített) értelmezési tartománya:

Siξ = {δj : j ∈ ω}

(Vagyis pi dom(qiξ) = Siξ.)És vegyük ezek unióját (ξ-t még mindig rögzítve): Sξ = ∪i∈ωSiξ. Mivel |Sξ| ≤ ω, mégegyszeralkalmazva a ∆-rendszer lemmát, feltehető, hogy az Sξ halmazok az Sξ-k ∆-rendszert alkotnak.Jelölje mostantól L ennek a rendszernek a magját!(Az Si = ∪ξ<ω2S

iξ ⊆ Xγi halmazokról pedig tudjuk, hogy páronként diszjunktak, mert az Xγi-k is

diszjunktak voltak)Mivel pedig ezen L ⊆ Sξ-k elemeihez az ω1-számosságú 2<ω1 halmaz elemeit rendeltük, összesen|L(2<ω1)| = ωω1 = ω1-féle lehetőségünk volt, tehát lesz egy ω2 számosságú H ⊆ ω2, amelyre a qξ-k(ξ ∈ H) az L közös részen mind ugyanúgy van értelmezve.Ekkor bármely két rξ-t, rθ-t kiválasztva, minden γi ∈ K koordinátának (rξ(γi) = 〈pi, qξ〉, rθ(γi) =〈pi, qθ〉) könnyen találhatunk közös kiterjesztést: Mivel pi egyértelműen meghatározza a két függ-vényt, (fξ, fθ ∈M , melyekre

pi (qξ = fξ) ∧ (qθ = fθ) )

tehátpi „a közös értelmezési tartományukon azonosan vannak definiálva”

így véve a két függvény f = fξ ∪ fθ uniójához annak f nevét,

pi f ≤ qξ, qθ

és így〈pi, f〉 ≤ 〈pi, qξ〉, 〈pi, qθ〉

�

Ha H ⊆ α, akkor RH jelölje azokat a megszámlálható support-ú függvényeket R-ben, melyektartója H-nak része:

RH = {f ∈ R | x /∈ H → f(x) = 1Rx}

27

21. Állítás. M [G]-ben léteznek ωβν -ágú Kurepa fák minden ν < α-ra. ÍgyM [G][J ]-ben is léteznek,mert Fn(ω%, 2, ω1) ω1-zárt, a 4. lemma miatt nem ad hozzá új ágat.

Bizonyítás. Legyen ρ = βν valamilyen ν < α-ra. Ekkor bontsuk fel a kényszerképzetünket akövetkező alakban

R = R≤ν × R>ν

ahol perszeR≤ν = {p ∈ P : p(γ) = 1Rγ ha γ > ν}

továbbá G = G≤ν × G>ν = G<ν × Gν × G>ν is felbomlik hasonlóan (14. lemma), sőt Gν-bőltermészetes módon adódnak a Hν ⊆ Rν , , Iν ⊆ Qν ∈M [Hν ] filterek ahol (bármelyik M ′ közbülsőmodellre) az M ′ − Rν-generikus Gν-vel való bővítése azonos egy M ′ − Pν-generikus Hν-vel való,majd M ′[Hν ]-generikus Iν-vel való bővítéssel (15. lemma). Ekkor azt állítjuk, hogy Rν által adottTν fa egy ℵρ = ℵβν -ágú Kurepa-fa a végső M [G]-ben is. Az nyilvánvaló, hogy

M [G≤ν ] |= |B(Tν)| ≥ ωβν

Az, hogy ebben a közbülső modellben pontosan ennyi ág van, cof(ωβν ) ≥ ω2 esetén könnyenlátható, de az általános eseből az is következni fog: (Mostantól a fa egy ω1-méretű lánca helyett atermészetesen adódó ω1 → 2 leképezést értjük ág alatt.)

26. Lemma. Jelölje Bν = {bν : ν ∈ Xν} (ahol |Xν | = ωβν ) = az Iν-által megadott ágakat. Ekkorteljesül, hogy

∀b ∈ B(Tν) ∩M [Gν ]

létezik ϑ < ω1 és b1, b2, . . . , bm ∈ Bν , hogy b|ω1\ϑ = (b1 +b2 + . . . bm)|ω1\ϑ, ahol az összeadást mod 2kell érteni. Ebből következően ωβν = |Bν | = |B(Tν) ∩M [Gν ]|

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az állítás nem teljesülM [Gν ]-ben, legyen b egy ellenpélda, és vegyünkegy r0 = 〈p0, q0〉 ∈ Gν , ami forszolja ezt az állítást b-ről.Indukcióval definiálni fogunk egy (〈pi, qi〉)i∈ω sorozatot. Miután az első n elemet meghatároztuk,az n+ 1.-et a következőképp konstruáljuk: (Mostantól p = pn, q = qn)

A 〈pn, qn〉 = 〈p, q〉 pár ismeretében is egy végtelen csökkenő sorozatot konstruálunk, ennek lesz〈pn+1, qn+1〉 alsó korlátja: Használjuk föl Phom = Pν ω1-zártságát, vegyünk egy p′ ≤ p elemet,amely meghatározza a dom(q) megszámlálható halmazt és az azokon felvett 2<ω1-beli értékeket.Azaz létezik f0 ∈M függvény, melyre

p′ f0 = q

Ezután vegyük ennek az f0 függvénynek egy f kiterjesztését, ahol Ran(f) = p′ ⊆ 2<ω1 azaz p′

minden eleme előáll képként, és legyen q′ = f . Ekkor persze p′ q′ ≤ q, tehát 〈p′, q′〉 ≤ 〈p, q〉.Ez után, mivel tetszőleges m ∈ ω-ra:

〈p′, q′〉 ≤ 〈p0, q0〉 Rν ∀b1, b2, . . . , bm ∈ Bν ,∀ϑ ≤ ω1 b|ω1\ϑ 6= (b1 + b2 + b3 + . . . bm)|ω1\ϑ

tehát bármelyik π1, π2, . . . πm,∈ dom(q′) véges sorozathoz és ϑ < h(p′) rendszámhoz vehetünkegy Rν 3 〈p(1), q(1)〉 ≤ 〈p′, q′〉 elemet, amely már meghatároz egy τ ≥ ϑ értéket, ahol b|ωq\ϑ és(b1 + b2 + b3 + . . . bn)|ω1\ϑ nem egyeznek meg:

〈p(1), q(1)〉 Rν b|ω1\ϑ(τ) 6= (bπ1 + bπ2 + bπ3 + . . . bπn)|ω1\ϑ(τ)

28

(és p(1) esetleges kiterjesztésével feltehető, hogy a p(1) fa magassága h(p(1)) > τ),Ha pedig az összes lehetséges 〈π1, π2, . . . , πm, ϑ〉 (πi ∈ dom(q′), ϑ < h(p′)) véges sorozatot ωtípusban felsoroljuk, akkor a

〈p, q〉 〈p′, q′〉 〈p(1), q(1)〉

lépéseket elismételve, vagyis a felsorolásban i-edik 〈πi1, πi2, . . . , πimi , ϑi〉-et a

〈p(i), q(i)〉 〈(p(i))′, (q(i))′〉 〈p(i+1), q(i+1)〉

lépésben elintézhetjük. Így tehát kaphatunk egy

〈p(1), q(1)〉 ≥ 〈(p(1))′, (q(1))′〉 ≥ · · · ≥ 〈p(k), q(k)〉 ≥ 〈(p(k))′, (q(k))′〉 ≥ 〈p(k+1), q(k+1)〉 ≥ . . .

sorozatot Rν-ben (〈p(i), q(i)〉 ≥ 〈p(i+1), q(i+1)〉), és 〈pn+1, qn+1〉 ennek lesz a következő alakú alsókorlátja qn+1 olyan Xν megszámlálható részén értelmezett függvény, melyre:

dom(qn+1) =⋃i∈ω

dom((q(i))′)

és ha x ∈ dom((q(i))′):qn+1(x) =

⋃j≥i

(q(j))′(x)

Ekkor ezek a qn+1(x) elemek esetleg nem lesznek elemei a ∪i∈ωpi fának, hanem csak ágai. Perszeez az unió homogén, normális fák növő uniója, maga is homogén, normális, vagyis mindegyikqn+1(x)-re, ha

qn+1(x) ∈ ∪i∈ωpi ( ⇐⇒ qn+1(x) /∈ B(∪i∈ωpi))

akkor helyette vehetünk egy rajta átmenő kofinális ágat. Feltehető, hogy minden qn+1(x) egykofinális ág.A 24. lemma miatt pedig létezik olyan T homogén, normális fa, melyre (µ = h(∪i∈ωpi) jelöléssel):

h(T ) = µ+ 1

T |µ = ∪i∈ωpi

Tµ ⊇ {qn+1(x) : x ∈ dom(qn+1)}

így pn+1 = T választással ez alsó korlátja is a sorozatnak:

pn+1|µ = ∪i∈ωp(i) ≤ p(i) (∀i ∈ ω)

és ha x ∈ dom(q(i)), akkor

qn+1(x) ⊇ (q(i))′(x), amiből: pn+1 ≤ 1 qn+1 ≤ (q(j))′ ≤ q(j) (∀j ∈ ω)

Esetleges kiterjesztéssel feltehető, hogy ran(qn+1) ⊆ (pn+1)µ, azaz minden érték pn+1 legfelső szin-téről való.

Ilyen módon meghatároztunk egy

〈p, q〉 = 〈p0, q0〉 ≥ 〈p1, q1〉 ≥ · · · ≥ 〈pn, qn〉 ≥ . . .

sorozatot. (Feltehető, hogy h(pi) < h(pi+1), amire majd később szükségünk lesz.) Érdemes össze-foglalni néhány tulajdonságát ennek a sorozatnak:

29

• minden i-re 〈pi, qi ≥ 〈p′i, q′i〉 ≥ 〈pi+1, qi+1〉, és (1 ) ran(q′i) = p′i

• minden 〈π1, π2, . . . , πm, ϑ〉 (πj ∈ dom(q′i), ϑ < h(p′i)) véges sorozathoz létezik τ ≥ ϑ (τ <h(pi+1), hogy

〈pi+1, qi+1〉 Rν b|ω1\ϑ(τ) 6= (bπ1 + bπ2 + bπ3 + . . . bπm)|ω1\ϑ(τ)

• Mivel ran(qn) ⊆ (pn)h(pn), vagyis minden érték a legfelsőbb szintről való, ezért x ∈ dom(qk)esetén

⋃j≥k qj(x) kofinális ág lesz

⋃j∈ω pj-ben

Végül pedig legyen 〈p, q〉 a 〈pi, qi〉 sorozatnak a következőképp konstruált alsó korlátja: Előttedefiniáljuk a p = ∪i∈ωpi-t q-t pedig az alábbiak szerint: Emlékezve, hogy a 〈pi, qi〉 párt az előbbieljárásban először 〈p′i, q′i〉 párrá terjesztettük ki Rν-ben, ahol q′i-t már 1Rν determinálja, azaz q′i = f

valamilyenf : Xν ⊇ dom(f)→ p′i (dom(f) megszámlálható ), és f ∈M

függvényre. q pedig legyen az a függvény, melyre dom(q) = ∪i∈ωdom(q′i) és ϑ ∈ dom(q′i) ⊆ dom(q)esetén

q(ϑ) =⋃j≥i

q′j(ϑ)

(A p(i)n , q

(i)n sorozatok konstrukciójából adódóan minden q(ϑ) egy ág p-ban, és Phom ω1-zárt, ezért

p ∈ Phom normális, homogén fa).Tehát q(ϑ) /∈ p, vagyis mivel ezektől diszjunkt ágakkal is kiterjeszthetnénk p-t 〈p, q〉 a Rν kény-szerképzet iterációnak még nem eleme.Most pedig dom(q) elemeiből képzett bármely π1, π2, . . . , πm véges sorozat felbukkan már valamelydom(q′i)-ben, így pedig, ha j > i, akkor

〈pj , qj〉 Rν ∀ϑ < h(pj−1) ∃τ ≥ ϑ (τ < h(pj) b(τ) 6= (bπ1 + bπ2 + · · ·+ bπm)(τ)

p-hez pedig hozzávehetünk néhány ágát, hogy (az ily módon előálló fát p′-nek, p magasságát h(p)-tδ-nak jelölve) egy olyan homogén δ + 1 = h(p) + 1 = h(p′) magas fát kapjunk, melynek a legfelső,δ-adik szintjének minden t ∈ 2δ eleméhez létezik ϑ < δ és π1, π2, . . . , πm ∈ dom(q), hogy

t|δ\ϑ = (bπ1 + bπ2 + · · ·+ bπn)|δ\ϑ

Ha ezt meg tudjuk csinálni, akkor 〈p′, q〉 ∈ Rν alsó korlátja a (〈pi, qi〉)i∈ω sorozatnak, másrészt,mivel b ezt a δ-adik szintet is elmetszi, ehhez a t p-beli ághoz létezik π1, π2, . . . , πn véges sorozatdom(q)-ban, és ϑ < δ, hogy

t|δ\ϑ = (bπ1 + bπ2 + · · ·+ bπn)|δ\ϑEkkor viszont ha i ∈ ω elég nagy, akkor π1, π2, . . . , πn ∈ dom(qi) és ϑ < h(pi), akkor létezni fogegy olyan τ < h(pi) < h(p) = δ (ϑ ≤ τ), melyre

〈pi+1, qi+1〉 Rν b|ω1\ϑ(τ) 6= (bπ1 + bπ2 + bπ3 + . . . bπn)|ω1\ϑ(τ)

Így már csak azt kell ellenőrizni, hogy valóban létezik ilyen 〈p′, q〉 ∈ Rν , vagyis ezzel homogénfát kaptunk: Ha most úgy definiáljuk p′ δ-adik szintjét, hogy minden ϑ < δ, a ∈ pϑ, és mindenπ1, π2, . . . , πn esetén a után (bπ1 + bπ2 + · · ·+ bπn)|δ\ϑ ágat írva, ez pontosan akkor legyen a δ-adikszinten, ha ez ága p-nek (vagyis minden valódi kezdőszelete eleme p-nek):

t : δ → {0, 1}t|ϑ = a

t|δ\ϑ = (bπ2 + · · ·+ bπn)|δ\ϑt ∈ p′ ⇐⇒ ∀σ < δ : t|σ ∈ p

30

Az így kapott p′ pedig homogén lesz: p homogén volt, elég csak azt ellenőrizni, hogy az Fbc(c, d ∈ (p′)σ valamely σ ≤ ϑ-ra) transzformáció nem vezet ki (p′)δ-ból. Legyen rögzítve egyt ∈ (p′)δ elem a legfelső szinten:

• Ha σ < δ akkor a p homogenitása miatt p-beli ág képe ág, p′ (legfelső szintjének) definíciójamiatt kész vagyunk: Ha µ = max{δ, h(a)}, és t ∈ (p′)δ, akkor Fc,f (t)-t úgy kaphatjuk, hogyt µ-edik szintbeli tagjá transzformáljuk Fcd-vel, az után pedig megyegyezik t-vel:

Fcd(t) = Fcd(tµ)a (bπ2 + · · ·+ bπn)|δ\µ

• ha pedig c, d ∈ p′δ, akkor c, d, t is valahonnan kezdve véges sok bπ (π ∈ dom(q))mod 2 összege.ekkor elég nagy ϑ < δ-t véve feltehető, hogy mind az ϑ-adik szint egy-egy tϑ, cϑ, dϑ ∈ pϑ

elemének és néhány bπ ág összegének az összetétele. De akkor a kapott eredmény is azFcϑdϑ(tϑ) és ezen bπ|δ\ϑ-kból álló összeg összetétele lesz, amely egyrészt a kívánt alakú,másrészt p homogenitása miatt annak egy ágát kaptuk így:

Fcd(t) = Fc|ϑ,d|ϑ(tϑ)a (c+ d+ t)|δ\ϑ = Fc|ϑ,d|ϑ(tϑ)a (bπ1 + bπ2 + . . . bπm)|δ\ϑ

�

27. Lemma. Legyen M ′ ⊇ N , mely M ′ nem tartalmaz új N elemeiből képzett ω-as sorozatot:

Nω ∩M ′ ⊆ N

H ⊆ α, és GH egy M ′ − RH-generikus filter. (R ∈ N volt)Ekkor

(M ′)ω ∩M ′[G] = (M ′)ω ∩M ′

speciálisan, M ′ − R-generikus filterrel való bővítéssel nem keletkezik új részhalmaza ω-nak.

Ebből persze következik, hogy ω1 nem omlik le.Bizonyítás. (Feltehető, hogy H = α, mert nem használunk semmit abból, hogy H milyen alakú)Legyen r0 ∈ G, és h egy M − P -név, hogy r0 forszolja, hogy h olyan függvény, mely nincs benneM ′-ben, vagyis:

r0 h függvény dom(h) = ω, ran(f) ⊆ X h /∈ ˇ(ωX)M ′

Most egy 〈r0〉 ≥ 〈r1〉 ≥ 〈r2〉 ≥ . . . , 〈rn〉 ≥ . . . végtelen csökkenő sorozatot fogunk definiálni,amelynek lesz alsó korlátja, és melyre teljesül, hogy

• rn eldönti h(n) értékét, azaz létezik x ∈ X: rn h(n) = x

• rξn = 〈pξn, qξn〉-vel jelölve a ξ-edik koordinátát (ξ ∈ α), azaz az Rξ-re vett vetületet, pξnmeghatározza qn-et (qn : Xξ ⊇ dom(qn)→ 2<ω1)

Ha rn már adott, akkor létezik r ≤ rn és x ∈ X, melyekre

r h(n) = x

Most minden ξ ∈ supp(r) koordinátára az rξ = 〈p, q〉-ból kiindulva a 20. Állítás bizonyításábanlátottal megegyező módon vehetünk egy p′ ≤ p elemet, amely pontosan meghatározza a q-val jelöltmegszámlálható tartójú függvényt.

31

Most pedig minden ξ ∈⋃i∈ω supp(pi) ⊆ α-re a következő alsó korlátot adjuk a ξ-edik koordinátán:

Legyenpω =

⋃i∈ω

pξi

dom(qω) =⋃i∈ω

dom(qξi )

σ ∈ dom(qω) esetén pedig qω(σ) =⋃i∈ω q

ξi (σ). (Most használtuk az Nω ∩M ′ ⊆ N feltételt.)

Ekkor ezek a q(σ)-k esetleg nem pω egy elemét, hanem egy kofinális ágát adják, viszont itt hasz-nálhatjuk a 24. lemmát, amely szerint létezik (pω)′ ≤ pω, amely a legnagyobb szintjén tartalmazminden qω(σ)-t. Így pedig rξω = 〈(pω)′, qω〉 ∈ Rξ, amelyekből már összerakható egy rω, mely az(ri)i∈ω sorozatnak alsó korlátja, így egyszerre határozza meg h-t és forszolja, hogy nincs M -ben,ami ellentmondás. �

A bizonyítás apró módosításával - hasonlóan az ω1-zárt kényszerképzettel való forszoláshoz - kap-hatjuk, hogy

22. Állítás. Legyen M ′ ⊇M olyan bővítés, melyre

P(ω)M = P(ω)M′

Továbbá adottak H ⊆ α, és T ∈M ′ ω1-magas fa: h(T ) = ω1, ∀γ |Tγ | ≤ ω.Ekkor az M ′ − RH-generikus GH filter nem ad hozzá új ágat:

B(T )M′

= B(T )M′[GH ]

Ha b ∈ 2ω1 egy olyan ág lesz, melyről r∅ ∈ R forszolja, hogy új ág:

r∅ b ∈ B(T ) és b /∈ ˇ(B(T )M )

akkor a 4. lemmához hasonlóan építünk egy (rs)s∈2<ω teljes bináris fát R elemeiből és egy 0 =δ0 < δ1 < δ2 < · · · < δn < · · · < ω1 rendszámsorozatot, úgy, hogy

• s ∈ 2<ω, i ∈ {0, 1} esetén rsai ≤ rs

• minden f ∈ 2ω ∩M = 2ω ∩M ′-re létezzen a (rf |n)n∈N sorozatnak alsó korlátja R-ben

• és minden s ∈ 2<ω esetén létezzen olyan δ|s| < δs < ω1, i0 6= i1 ∈ {0, 1}, hogy

rsa0 b(δs) = i0

ésrsa1 b(δs) = i1

• sup{δs | |s| = n} = δn+1

Bizonyítás. A második pont az előző bizonyításhoz hasonlóan elvégezhető az indukciós lépés: haadott egy r∅ ≥ rs, akkor mivel rs is forszolja, hogy b új ág lesz, ebből adódóan tehát nem lehet,hogy b-t, mint 2ω1 egy elemét ω1 egy végszeletén meghatározza. És legyen δn+1 = sup{δs |s| = n}!Ha pedig arra is figyelünk, hogy (minden ξ koordinátára) és s ∈ 2<ω véges sorozatra igaz legyen,hogy (rξs = 〈pξs, qξs〉 jelöléssel) pξs meghatározza a qξs (dom(qξs) ⊆ Xξ, ran(qξs) ⊆ 2<ω1) függvényt,akkor lesz alsó korlátja a sorozatoknak. (Itt használtuk ki, hogy ugyan R ∈M , deM ′∩2ω = M∩2ω)Kapjuk tehát, hogy a sup{δn | n ∈ ω}-adik szinten legalább (2ω)M = ω1 különböző elem létezik,ellentmondásban azzal, hogy T kurepa fa.

32

�

Így már tudjuk, hogy δ = βν (ν < α) esetén Tν-nek ℵβν ága vanM [Gν ]-ben, továbbá Tν ∈M [G] =M [G<ν ][Gν ][G>ν ] = M [Gν ][G<ν × G>ν ], viszont előbb mutattuk meg, hogy R−ν = R<ν × R>ν-generikus filterrel való bővítés nem ad hozzá új ágat meglévő Kurepa fához, így kapjuk, hogy abeforszolt fák ágainak számossága mindenhol a kívánt számosság:

M [G] = M [G<ν ][Gν ][G>ν ] = M [Gν ][G<ν ×G>ν ] |= |B(Tν)| = ωβν

Következő lépésként azt fogjuk belátni, hogy a nem ℵβν (ν < α) alakú számosságokraM [G][J ]-bennincs annyi ágú Kurepa fa:

23. Állítás.

M [G][J ] |= η /∈ {βν : ν < α} → „nem létezik ωη ágú Kurepa fa ”

Bizonyítás. Legyen tehát T ⊆ 2<ω1 , T ∈M [G][J ] Kurepa fa.Először az M [G] J-vel való bővítéséhez keresünk egy M [G] ⊆ N ⊆M [G[J ] köztes modellt, melyreT ∈ N :T ⊆ (2<ω1)M [G][J] = (2<ω1)M ∈M , vagyis a 12. lemma miatt található

• p ∈ JM [G] |= „p T ⊆ 2<ω1”

• egy (T )′ ∈M [G] Fn(ω%, 2, ω1)-névp T = (T )′

(speciálisan T = (T )J = ((T )′)J , azaz ugyancsak T -vé kódolódik ki)

• és minden f ∈ 2<ω1-hez egy Yf antilánc Fn(ω%, 2, ω1)-ben, amely eldönti f -ről, hogy (T )′-benlegyenek-e.

Mivel az M − R generikus G nem ad hozzá új ω-részhalmazt, így M [G] |= 2ω = ω1 miatt alkal-mazható M [G]-ben a ∆-rendszer lemma, tehát:

M [G] |= R ω2 − cc

Emiatt pedig az Y =⋃f∈2<ω1 Yf halmaz számossága legfeljebb ω1. Legyen p és Y elemei tartóinak

uniója A ⊆ ω% × ω1, amiről bővítéssel feltehető, hogy A = B × ω1, |B| = ω1 alakú. Ekkor nyilván

Fn(ω%, 2, ω1) ≈ Fn(B, 2, ω1)× Fn(ω% \B, 2, ω1)

tehát legyen JB = J |B×ω1 a természetesen adódó M [G]− Fn(B, 2, ω1)-generikus filter (J = JB ×Jω%\B) amire tehát M [J |B ][G] = M [G][J |B ] 3 T .Most azM ′ = M [J |B ] jelöléssel élve, ennek G-vel vett bővítettjénél keresünk egy szűkebbet, amelymár tartalmazza T -t:(Innen új T -t választunk, mégpedig úgy, hogy T ∈ M [JB ], és TG = T :) Először is figyeljük meg,hogy Fn(B, 2, ω1) ω1-zárt, |Fn(B, 2, ω1)| ≤ ω1, a 20. lemma feltételei teljesülnek M [JB ], innenpedig:

M [JB ] |= „Rω2 − cc”

33

Most pedig találhatunk egy p′ ∈ G és egy (T )′ ∈M [JB ] nevet, hogy

p′ T ⊆ 2<ω1

ésp′ T = (T )′

(speciálisan a G-vel való bővítéssel T -hez hasonlóan ugyancsak T -vé kódolódik ki: T = TG =((T )′)G) minden f ∈ 2<ω1 -hez egy antiláncot R-ben, ez megint egy ω1 méretű Z ⊆ R részhalmaz,amely eldönti 2<ω1 elemeiről, hogy (T )′-ben legyenek-e.Legyen S = ∪z∈Zsupp(z) ∪ supp(p′) ⊆ α ezek support-jainak uniója (|S| ≤ ω1).Ebből pedig szorzat alakban felbontva R-t, és G ⊆ R-t:

R = RS × Rα\S , G = GS ×Gα\S

M ′[G] = M ′[GS ][Gα\S ]

És ekkor a (T )′ R-névből természetesen adódó RS-nevet GS pont a T fává fogja kikódolni, kaptuk,hogy T ∈M ′[GS ].Ezután T M ′[G]-beli ágainak számosságától függően 3 különböző esetet meg kell különböztetnünk:

(i) Ha |B(T )M ′[G]| > ω2:

Ha létezik ν < α, melyre ωβν > |B(T )M ′[G]|, akkor legyen ν a legkisebb ilyen rendszám! MostS-t és vele RS-t, GS-t is bontsuk szét az S<ν × S≥ν , GS = (GS)<ν × (GS)≥ν szorzatokká!(Ha nem létezik ilyen ν, akkor legyenek S<ν = S, S≥ν = ∅!)

Nézzünk most egy még szűkebb bővítést. A

RS≥ν =∏

µ∈S≥ν

(Pµ ×Qν)

kényszeképzetet tekinthetjük (izomorfia erejéig) egy

PS≥ν ∗QS≥ν =

〈p, q〉 ∈ ∏µ∈S≥ν

Pµ

× ∏µ∈S≥ν

Qµ

iterációnak, ahol

〈p1, q1〉 ≤ 〈p2, q2〉 ⇐⇒ (∀µ ∈ S≥ν) : pµ1 Pµ qm1 u ≤ q

µ2

azaz minden µ ≥ ν koordinátán (a Q-beli oldalon) a relációról a Pµ-re vett vetület dönt (azoka koordináták M -beli Pµ-nevek voltak.)

Így most a 15. lemma miatt azM ′[GS<ν ]−RS≥ν -generikus GS≥ν -ből adódik egyM ′[GS<ν ]−PS≥ν -generikus HS≥ν filter, és egy M ′[GS<ν ][HS≥ν ]−Q≥ν-generikus [IS≥ν ] filter, melyekre:

T ∈M ′[GS ] = M ′[GS<ν ][GS≥ν ] = M ′[GS<ν ][HS≥ν ][IS≥ν ]

Szükségünk lesz arra, hogy

M ′[GS<ν ][HS≥ν ] |= „QS≥ν ω2 − cc”

ami pedig azért igaz, mert ω2-méretű antilánc esetén CH miatt alkalmazhatjuk a 7. lem-mát, így a megszámlálható support-ok ∆-rendszert alkotnak, másrészt a ∆-rendszer K ⊆

34

⋃µ∈S≥ν Xµ magjának minden z ∈ K elemére (z ∈ Xµ) a felvett értékek is |Tµ| = |(2<ω1)M ′[G]| =

ω1-félék lehetnek, CH-t még egyszer alkalmazva ellentmondásra jutunk.

Most pedig megint a 12. lemma miatt, létezik minden t ∈ 2<ω1-re egy At antilánc QS≥ν-benamelyeknek eldöntik, hogy t eleme-e T -nek. Ez így minden t ∈ 2<ω1-re uniózva összesen egylegfeljebb |2<ω1 |ω1 = ω1 számosságú részhalmaz Q≥ν-ban:

A =⋃

t∈2<ω1

At

ezek support-jai is legfeljebb ekkora halmazt alkotnak, jelölje V ezt a halmazt:

V =⋃a∈A

supp(a), |V | ≤ ω1

Így pedig, minden η ∈ S≥ν koordinátára a Qη-k, mint egy Xη, (|Xη| = ωβη ) megszámlálhatórészein értelmezett, Tη-ba menő függvények:

Qη = {f : dom(f) ⊆ Xη, |dom(f)| ≤ ω, ran(f) ⊆ Tη}

felbomlanakQXη\Vη ×QV ∩Xη =

= {f : dom(f) ∈ [Xη \ V ]≤ω, ran(f) ⊆ Tη} × {f : dom(f) ∈ [Xη ∩ V ]≤ω, ran(f) ⊆ Tη}

szorzatalakban. Ugyanígy az egész QS≥ν felbomlik

Q(∪η∈S≥νXη)\VS≥ν

×QVS≥ν

alakban, vagyis minden η ∈ S≥ν-re beforszolunk Tη-ba V ∩Xη-val indexelt (legfeljebb ω1-sok)ágat, és további Xη \ V -val indexelt ωβη -sok ágat. a 14. lemma miatt pedig

T ∈M ′[GS<ν ][HS≥ν ][IV≥ν ]

Ezután pedig S<ν 6= ∅ esetén jelölje

δ ={

sup{βη | η ∈ S<ν} ha ez rákövetkező rendszám, vagy a kofinalitása legalább ω2

sup{βη | η ∈ S<ν}+ 1 különben

ha pedig S<ν = ∅, akkor δ := 2

28. Lemma.M ′[GS<ν ][HS≥ν ][IV≥ν ] |= 2ω1 = ωδ

Bizonyítás. a 14. és a 15. lemmák alkalmazásával, egy közbülső modellre:

M ′[GS<ν ][HS≥ν ] = M [HS<ν ][IS<ν ][HS≥ν ] = M [HS<ν ][HS≥ν ][IS<ν ] = M [HS ][IS<ν ]

ahol HS<ν egyM ′−P<ν-generikus filter, IS<ν ×HS≥ν egyM ′[HS<ν ]−QS<ν ×PS>ν -generikusfilter, így IS<ν ⊆ Q<ν M ′[HS ]−QS<ν -generikus lesz.Továbbá PS számossága legfeljebb:

|PS | ≤ |Phom|ω · |S|ω = ωω1 = ω1

35

így tehát a 13., hatványhalmazok számosságáról szóló lemmát alkalmazva kapjuk, hogy

M ′[HS ] |= 2ωξ = ωξ+1 (∀ξ ≥ 1)

vagyis GCH igaz marad, mert ω-nak nem keletkezik új részhalmaza.

Ezután M ′[HS ]-t még az M [GS ]−QS<ν ×QVS≥ν -generikus IS<ν × IV≥ν filterrel kell bővíteni.

QS<ν × QVS≥ν -ről egy fentebbi zárójeles érvelést elismételve (CH miatt alkalmazható a ∆-rendszer lemma, majd a ∆-rendszer magjánál megint CH alkalmazandó) látható, hogy

M ′[HS ] |= ω2 − cc

másrészt a számossága legfeljebb (λ = sup{βγ | γ ∈ S<ν} jelőléssel):

|QS<ν ×QVS≥ν | ≤ |2<ω1 |ω ·

∣∣∣∣∣∣⋃

γ∈S<ν

Iγ ∪⋃

γ∈S≥ν

IVγ

∣∣∣∣∣∣ω

≤

≤ |ω1|ω ·∣∣| sup{ωβγ | γ ∈ S<ν}|+ ω1

∣∣ω = (ωωλ )M [GS ]

Mivel pedig M ′[HS ]-ben is igaz a GCH, így a 13. lemmát elővéve, 2ω1 -re a következő felsőkorlát adódik M ′[HS ][IS<ν × IVS≥ν ]-ben:

M ′[HS ][IS<ν × IVS≥ν ] |= 2ω1 ≤ ((ωλ)ω·ω1)M′[HS ] = ωδ

Ebből pedig:(B(T ))M

′[HS ][IS<ν×IVS≥ν ] ≤ ωδ

�

A tétel feltételei miatt (nevezetesen, hogy a 〈βγ : γ < α〉 sorozat ω- és ω1-zárt, vagyissup{βµ : µ ∈ S<ν} = βπ alakú; de erre a β sorozatra az is teljesül, hogy cf(βσ) ∈ {ω, ω1}(σ < α) esetén βσ + 1-et is tartalmazza) tehát S<ν 6= ∅ teljesülése esetén (mivel |S| ≤ ω1)δ = βξ alakú valamilyen ξ < α-ra.

Abban az esetben amikor létezik µ rendszám, hogy ωβµ > |B(T )M [G][J]|, ν-t a legkisebbilyennek választattuk. Ekkor

∀η ∈ S≤ν : ωβη ≤ |B(T )M [G][J]|

vagyisωλ = ωsup{βξ: ξ∈S≤ν} ≤ |B(T )M [G][J]|

és tudjuk, hogy δ = βξ ∈ {λ, λ+ 1}, ezért tehát ν = ξ + 1 lehet csak.

Tegyük fel most indirekt, hogy ωδ < |B(T )M [G][J]| < ωβν :

M ′[HS ][IS<ν × IVS≥ν ] = M ′[GS<ν ][HS≥ν ][IVS≥ν ]-t Gα\S ⊆ Rα\S-vel bővítve, nem fogunk újágat hozzáadni (22. lemma miatt).

Hasonlóan, mivel Fn(ω%\B, 2, ω1) ω1-zárt minden közbülső modellben (nem keletkezik sosemúj ω-sorozat: 27. lemma, és Fn(B, 2, ω1) ω1 zártsága), a 4. lemma miatt J |ω%\B sem ad hozzáúj ágat.

Biztosak lehetünk benne tehát, hogy az IV CS≥ν ⊆ QV C

S≥νfilterrel való bővítés ad hozzá ágat:

B(T )M [J][GS<ν ][Gα\S ][HS≥ν ][IVS<ν ] ( B(T )M [J][GS<ν ][Gα\S ][HS≥ν ][IVS≥ν ][IVC

S≥ν] = B(T )M [J][G]

36

ahol V C a Qη-beli (η ∈ S≥ν) függvények lehetséges⋃η∈S≥ν Xη értelmezési tartományaira

vett komplementere V -nek: V C =⋃η∈S≥ν Xη \ V

Jelölje M ′′ = M [J ][GS<ν ][Gα\S ][HS≥ν ][IVS<ν ]-t. (így M [J ][G] = M ′′[IV CS≥ν ])

Abban az esetben, ha S≥ν = ∅ volt, mert nem létezett ωβγ > |B(T )M [J][G], akkor márkész vagyunk, M ′′ = M [J ][G], ellenkező esetben a következő állítással jutunk az indirektfeltevésünkkel ellentmondásra:

24. Állítás. Mivel a legutolsó (M ′′-nek) IV CS≥ν -vel vett bővítés ad hozzá ágat (T -hez), utánaT -nek legalább ωβν ága kellene, hogy legyen.

Bizonyítás. Tudjuk, hogy létezik új ág, legyen p ∈ IV C≥ν és b úgy választva, hogy

(M ′′ |=) p QV C≥νb új ág T -ben

Most, mivel QV C≥ν homogén fákba forszol új ágakat, megmutatjuk, hogy

29. Lemma.(M ′′ |=) 1 QV C≥ν lesz új ág T -ben

Bizonyítás. Legyen ugyanis G′ egy tetszőlegesM ′′−QV C≥ν -generikus filter. EkkorM ′′[G′]-benkönnyen konstruálhatunk egy G′′ 3 p másikM ′′−QV C≥ν generikus filtert , b-t aszerint kibontvaúj ágat kaptunk:

G′′ ∈M ′′[G′] ⇒ bG′′ ∈M ′′[G′′] ⊆M ′′[G′]

Feltehető, esetleges kiterjesztéssel, hogy p a support-jának minden eleméhez azonos (mondjukδ-adik) szinten lévő elemet rendel. Minden generikus filter azonosítható egy V C × ω1 → 2függvénnyel, minden x ∈ V C-re (x ∈ Xη esetén) megszorítva ez a függvény egy ágat ad megTη-ban.

Legyen mostG′′ az a filter, amely (V C×ω1)\(support(p)×δ)-n megegyezikG′-vel, support(p)×δ-n pedig p-vel.:

G′′ : V C × ω1 → 2

G′′(v) ={

p(v) ha v ∈ supp(p)× δG′(v) különben

Így tulajdonképpen a következő f -fel jelölt automorfizmusával hatottunk QV C≥ν -n (Jelölje p′ =G′|support(p)×δ-t):

f : QV C≥ν → QV C≥νq 7→ q + p+ p′ (mod 2)

(Most használtuk fel a fák homogenitását, ahhoz, hogy ez automorfizmus) És itt G′′ a G′ fáltali képe, vagyis generikus filter.Tehát, miután

(M ′′ |=) 1 QV C≥ν lesz új ág T -ben

az 5. lemma miatt létezik c QV C≥ν -név, melyre

1 c új ága T -nek

37

Most c ∈ M ′′[IV CS≥ν ], és c-re tekintsünk megint ω1 → 2 leképezés helyett 〈2<ω1 ,⊆〉-beli lánc-ként:

a 12 és a 14 lemmák alkalmazásával kapjuk, hogy létezik minden t ∈ T -hez egy Yt ⊆ QVC

S≥ν

antilánc, ahol (Yt dönt t ∈ c-ről) Yc =⋃t∈T Yt elemek support-jainak W =

⋃y∈Yc supp(z) ⊆

V C uniójára:c ∈M”[IWS≥ν ]

Itt W pedig legfeljebb ω1 · ω = ω1-nagyságú.

Ebből adódóan (a 3. lemmát használva) minden p ∈ QW≥ν esetén létezik δ < ω1, p1, p2 ≤ p,t1 6= t2 ∈ Tδ, hogy

M” |= (pi QW≥ν ti ∈ c (i = 1, 2))

Most vegyük elő megint a a 12. és a 14. lemmákat, és alkalmazzuk c helyett B(T )M [J][G]]

minden d elemére: létezik Yd (mely minden t ∈ T -re eldönti, hogy t ∈ d teljesül-e) a feltéte-lek szerint pedig |B(T )M [J[G]||ω1| < ωβν , emiatt aztán Y =

⋃d∈B(T )M[J[G] Yd számossága is

kisebb, mint ωβν Így pedig Z =⋃y∈Y supp(y) ⊆ V C azaz előbbi elemek tartóinak uniója is

legfeljebb ekkora halmaz:|Z| < ωβν

ezzel megkaptuk, hogy az összes ág benne van egy köztes bővítésben:

B(T )M [J][G] = B(T )M”[IZS≥ν

]

Másrészt, mivel η ∈ S≥ν esetén

|Xη| = ωβη ≥ ωβν > |B(T )M [J][G]|+ |V |

azaz minden η ∈ S≥ν-re |Xη \ (V ∪ Z)| = ωβν . Emiatt tehát létezik QWS≥ν -vel izomorf része(direkt összeadandója) a Q(V ∪Z)C

S≥νmaradék kényszerképzetnek: Minden Xη-ból ki tudunk

venni W ∩ Xη-val megegyező számosságú, V ∪ Z-től diszjunkt részhalmazt: Legyen tehátW ′ ⊆

⋃η∈S≥ν Xη \ (V ∪ Z), melyre |W ′ ∩Xη| = |W ∩Xη|, amivel tehát:

QW′

S≥ν≈ QWS≥ν

Most azt fogjuk megmutatni, hogy abból, hogy minden p ∈ QW≥ν , esetén létezik δ < ω1, p1, p2 ≤p, t1 6= t2 ∈ Tδ, hogy

M” |= (pi QWS≥ν

ti ∈ c (i = 1, 2))

következni fog ugyanez M ′′[IZS≥ν ]-ben az QW≥ν helyett a vele izomorf QW ′≥ν -vel (legyen π :QW≥ν → QW ′≥ν izomorfizmus, amely kiterjeszhető a nevekre is):

25. Állítás.

M”[IZS≥ν ] |= (∀p ∈ QW′

≥ν ∃δ < ω1, p1, p2 ≤ p, t1 6= t2 ∈ Tδ :) pi QW ′≥ν ti ∈ π(c) (i = 1, 2)

Bizonyítás. Azt elég megmutatni, hogy π−1(p)-hez M ′′-ben megfelelő pi-k és ti-k, azaz ame-lyekre:

M ′′ |= pi ti ∈ c

38

M”[IZS≥ν ]-ben is:M”[IZS≥ν ] |= π(pi) ti ∈ π(c)

Vegyünk tehát egy K 3 π(pi) M ′′[IZS≥ν ]−QW ′≥ν -generikus filter. Ekkor persze K M ′′ −QW ′≥νgenerikus is, és itt π(pi) ∈ K miatt, a c′ = val(π(c),K) = π(c)K jelöléssel

M ′′[K] |= c′ ∈ B(T ) ∧ ti ∈ c′

Mivel pedig K M ′′[IZS≥ν ]−QW ′≥ν -generikus, így IZS≥ν ×K M ′′−QW ′≥ν ×QZS≥ν -generikus, vagyisIZS≥ν is M [K]−QZS≥ν -generikus, és

M ′′[IZS≥ν ][K] = M ′′[IZS≥ν ×K] = M ′′[K][IZS≥ν ]

(14. lemma. És persze c′ csakK-tól függött.) Az előbbi állítás pedig igaz maradM ′′[K][IZS≥ν ]-ben is:

[M ′′[K] |= c′ ∈ B(T ) ∧ ti ∈ c′] ⇒[M ′′[K][IZS≥ν ]] |= c′ ∈ B(T ) ∧ ti ∈ c

]�

Most nézzük az M ′′[IZS≥ν ] modell IW ′S≥ν-vel való bővítését, és legyen c′ = π(c)IW ′

S≥ν! Mivel már

minden M [J ][G]-beli ág benne volt M ′′[IZS≥ν ]-ben, ezért c′ ∈ M ′′[IZS≥ν ]. Most konstruálnifogunk egy D ∈ M ′′[IZS≥ν ] sűrű halmazt QW ′S≥ν

-ben: minden p ∈ QW ′S≥ν-höz vegyük az előző

állítás garantálta pi-ket, és ti-ket, legalább az egyik i-re ti /∈ c′, legyen erre az i-re pi ∈ D:Most, ha p′ ∈ D ∩ I ‘W ′

S≥ν,ahol p′ = pi valamilyen p-re, és

M”[IZS≥ν ] |= p′ ti ∈ π(c)

Tehát ti ∈ π(c)I‘W ′S≥ν

, miközben úgy választottuk be p′ = pi-t D-be, hogy ti /∈ c′, ez pedigc′ = π(c)I‘W ′

S≥νmiatt ellentmondás.

(ii) |B(T )M ′[G]| = ω2 (feltéve persze, hogy ω2 nem szerepel a βnu sorozatban, ahol megengedjük,hogy ez a sorozat üres sorozat legyen)

Itt az előző esethez hasonlóan definiálható egy S ⊆ α, B ⊆ ω%, hogy

T ∈M [GS ][J |B ]

ahol |S|, |B| ≤ ω1.

Most felidézzük, hogy M -et (csak ebben az esetben, vagyis ha ω3 ≤ ωβν minden ν-re) egymásik, GCH-t kielégítő modellből kaptuk, ahol létezett egy κ erősen elérhetetlen számosság,és egy F ⊆ L = Lv(κ, ω1) filter bővítettünk. Erre a modellre mostantól hivatkozzunk N -ként:

M = N [F ]

ésT ∈ N [F ][HS ][IVS ][J |B ]

Megintcsak a 14. lemma miatt nézhetünk rá erre a modellre úgy is, mint ha az F -fel forszol-tunk volna utoljára: N [HS ][IVS ][J |B ][F ]. És mivel

N |= GCH, és |PS ×QVS × Fn(B, 2, ω1)| ≤ ω1

39

ezért a 13. és a 11. lemmák miatt N [HS ][IVS ][J |B ] |= GCH, és nem omlik le számosság (mertnem keletkezik új részhalmaza ω-nak, illetve a kényszerképzet méretéből adódóan) Amibőla 10. lemmával:

N [HS ][IVS ][J |B ] |= L = Lv(κ, ω1) κ− cc

ésN [HS ][IVS ][J |B ] |= κ reguláris (11. lemma)

Megint a a 12. lemma miatt minden t ∈ 2<ω1 -hez létezik egy Zt |Zt| < κ méretű antilánc,amely eldönti, hogy t T -ben legyen-e, így ezek tartóinak Y összességére (Y =

⋃t∈2<ω1 {supp(z) :

z ∈ Zt}), mivel minden |supp(z)| ≤ ω, és N [HS ][IVS ][J |B ]-ben κ reguláris, ezért |Y | < κ.

Így tehát (14. lemma):T ∈ N [HS ][IVS ][J |B ][F |Y ]

Most viszont, mivel |Lv(Y, ω1)| ≤ |Y |ω|Y |ω < κ, megint csak a 13. lemma szerint

N [HS ][IVS ][J |B ][F |Y ] |= 2ω1 < κ

Ezt Fκ\Y -nal bővítve, mivel Lv(κ \ Y, ω1) ω1-zárt, kapjuk, hogy

N [HS ][IVS ][J |B ][F |Y ][Fκ\Y ] = N [HS ][IVS ][J |B ][F ] |= |B(T ) < κ ∧ κ = ω2

azaz κ-nál kevesebb ág van, de már κ a második legkisebb nem megszámlálható számosság.Ez után M = N [F ] jelöléssel, ha még a maradék J-vel bővítünk (M [HS ][IVS ][J |B ][J [ω%\B ] =M [HS ][IVS ][J ]-vé), akkor persze J [ω%\B nem ad hozzá új ágat az ω1-zártság miatt. Majdpedig Gα\S-sel bővítve se keletkezik ág (20. lemma).

Ha most megint M ′′ = M [HS ][IVS ][J ][Gα\S ], akkor tehát M [G][J ] = M ′′[IV CS ], ez utóbbi adhozzá ágat, így S≥ν = S, S<ν = ∅ szerepekkel a 24. lemmát alkalmazhatjuk, vagyis T -neknem lehet ω2 ága.

�

30. Lemma.M [G][J ] |= 2ω1 = ω%

(sup{ωβν : ν < α} = ω% esetén pedig:

M [G] |= 2ω1 = ω% )

Bizonyítás. Az előző bizonyításban látotthoz hasonlóan M [G][J ] = M [H][I][J ], ahol H P −M -generikus, I pedig M [H]−Q-generikus (és |Phom| = ω1)

|P| ≤ (α)ω · (ω1)ω ≤ (sup{ωβν : ν < α})ω · ωω1

Ha feltesszük, hogy α > 0, azaz a β nem egy 0-hosszú sorozat: A βν sorozatra tett feltevésünkmiatt, azaz, hogy a sorozat ω- és ω1-zárt, valamint

cf(βmu) ∈ {ω,ω1} → βµ + 1 ∈ {βnu : ν < α}

pedig cf(sup{ωβν : ν < α}) > ω1, így tovább írva az egyenlőtlenséget (emlékeztetünk előtte, hogyM -ben igaz a GCH):

|P| ≤

∑λ<sup{ωβν : ν<α}

λω

· ω1 ≤ sup{ωβν : ν < α}

40

Másrészt M -ben R és így P is ω2 − cc, így, megint

cf(sup{ωβν : ν < α}) > ω1 és M |= GCH miatt:

a 13. lemma szerint legfeljebb sup{ωβν : ν < α}(ω1)2 = sup{ωβν : ν < α} részhalmaza lehetM [H]-ban ω1-nek:

M [H] |= 2ω1 ≤ sup{ωβν : ν < α}

(Most megint emlékeztetünk arra, hogy a forszolás egyik lépésében sem keletkezik új h ∈ P(ω).)M [H]-ban dolgozunk, felülről becsüljük Q ∈ M [H] méretét: mivel P ω2 − cc volt M -ben, ≥ ω2-kofinalitású sorozatnak nem csökkent a kofinalitása az M -ről M [H]-ra történő bővítéskor - 11.lemma, ezért

M [H] |= |Q| ≤ (sup{ωβν : ν < α})ω · |2<ω1 | = sup{ωβν : ν < α})ω = (sup{ωβν : ν < α}

És mivel semelyik bővítésben sem keletkezik új ω-típusú sorozat, ezért ez legfeljebb sup{ωβν : ν <α} Továbbá ugyanezen okból M [H]-ban ∆-rendszer lemmát alkalmazhatjuk lehetséges 〈pν : ν <

ω2〉 antilánc support-jaira. Majd pedig a megszámlálható magot tekintve,

M [H] |= (2<ω1)ω = ω1-ból

adódik, hogyM [H] |= Q ω2 − cc

így cf(sup{ωβν : ν < α})M [H] ≥ ω2 miatt, a 13. lemmából:

M [H][I] |= 2ω1 ≤ ((sup{ωβν : ν < α})ω1·ω1)M [H] ≤ sup{ωβν : ν < α}

(És itt valójában egyenlőség áll, mert minden ωβν-re van annyi ágú Kurepa fa M [H][I]-ben.)Ez után megint Mω ∩M [H][I] ⊆ M -t használva, M [H][I]-ben egy tetszőleges A ⊆ Fn(ω%, 2, ω1)(|A| = ω2) antilánc elemeinek support-jára alkalmazható a ∆-rendszer lemma, kapjuk, hogy

M [H][I] |= Fn(ω%, 2, ω1) ω2 − cc

Így pedig, mivel a számossága

|Fn(ω%, 2, ω1)| = ωω% · 2ω = ω%

(ez azért teljesül, mertM -ben igaz a GCH, és G (vagy H és utána I) nem adtak hozzá új ω-típusúsorozatot, valamint (cf(ω%))M [H][I] > ω1, hiszen R is ω2 − cc.)Így tehát tudjuk, hogy

M [H][I][J ] |= 2ω1 ≤ (ωω1·ω1% )M [H][I] = sup{(λω1)M [H][I] : λ < ω%} ≤ sup{(2λ)M [H][I] : λ < ω%}

amit tovább becsülhetünk, tegyük fel, hogy sup{ωβν : ν < α} < ω%: (így elég a sup{ωβν : ν <

α} ≤ λ-kal foglalkozni)

(2λ)M [H][I] ≤ (|Q|ω1·λ)M [H] = (2λ)M [H] ≤ |P|ω1×λ = (2λ)M = λ+ ≤ ω%

Tehát ekkorM [H][I][J ] |= 2ω1 ≤ ω%

ennyit viszont nyilvánvalóan hozzáad, mivel M [G]− Fn(ω%, 2, ω1)-generikus.

�

41

Hivatkozások

[1] Kunen, Kenneth: Set theory: An introduction to independence proofs. Studies in logic andfoundations of mathematics, vol. 102. Elsevier

[2] Jech, Thomas: Set theory. 3rd Millennium ed, rev. and expanded. Springer, 2002.

[3] Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1983.

[4] Renling Jin, Saharon Shelah: Planting Kurepa Trees And Killing Jech–Kunen Trees By UsingOne Inaccessible Cardinal. Fundamenta Mathematicae, vol. 141 (1992), pp 287-296.

[5] Csirmaz László: Matematikai logika. egyetemi jegyzet, ELTE 1994.

42