Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci

Sebastian Michalski

Szkoła Główna HandlowaWarszawa, 25.05.2004

smicha@sgh.waw.pl

Microsoft PowerPoint 2003Poprzednie wersje mogą nie wyświetlać animacji

SENAMEK

Wymiar przestrzeni euklidesowejLiczba przypisana (zbiorowi) przestrzeni w taki sposób, aby punkt miał wymiar = 0,prosta wymiar = 1,płaszczyzna wymiar = 2;przestrzeń = 3.

Liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu w zbiorze.

W algebrze liniowej:n = dim(V) liczba będąca mocą jej bazy — n liniowo niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, a dowolny układ n+1 wektorów jest liniowo zależny.

Uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej:

Przypisanie przestrzeni (zamiast odległości) rodziny zbiorów (topologii), którą stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (zbiorów punktów odległych od środka o mniej niż promień)

Przestrzeń topologiczna

Wymiar topologiczny – wymiar pokryciowy

Henri LebesquePokrycie obiektu przez DE wymiarowe kule o odpowiednio małym promieniu wymaga niepustego przecięcia minimalnie DT+1 kul.

[Addison,1997]

Homeomorfizm to funkcja z jednej przestrzeni topologicznej w drugą mająca następujące własności:

wzajemna jednoznaczność (bijekcja)ciągłość (przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y

jest zbiorem otwartym w X)otwartość (obraz dowolnego zbioru otwartego jest

zbiorem otwartym)

Przestrzeń topologiczna

Zachowanie własności homeomorficznych przestrzeni

Przekształcenie, które może dowolnie rozciągać i wyginać obiekt, ale które nie może robić w nim "dziur" ani go rozrywać. Liczba „dziur” i przecięcie są niezmiennikami – nie mogą zostać zniszczone ani utworzone.

Przestrzeń topologiczna

Przykład:

Przestrzeń topologiczna

A R (A jest homeomorficzne z R)B 8C I J L G V Z S W N M 2 3 5 7E F T YD O 0P 9HKX4

Przykład:Litery i cyfry pogrupowane w klasy równoważności homeomorfizmu

Wymiar fraktalny

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

1878 – bijektywne, ale nie ciągłe przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1]

1890 - Giuseppe Peano

1891 - David Hilbert

ciągłe, surjektywne ale nie injektywne przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1]

Wymiar fraktalny

Luitzen Egbertus Jan Brouwer1911 – dowód: nie istnieje n wymiarowa jednostkowa

kostka In = [0,1]n , która jest homeomorficzna z kostką m wymiarową Im = [0,1]m , n ≠ m.

Felix Hausdorff1919 – wymiar Hausdorffa

Benoit Mandelbrot1977 – fraktal: obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa

przekracza jego wymiar topologiczny

Wymiar fraktalny

Wymiar samopodobieństwa

Mierzy ilość przestrzeni wypełnionej przez obiekt

Dzielimy hiperprzestrzenny V* obiekt na N jednakowych części, które są samopodobne (miniatury całości) o długości ε.

[Strecker, 2004]

Wymiar fraktalny

Wymiar samopodobieństwa

Przykład: Zbiór Cantora (1873)

Wymiar fraktalny

Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

Wymiar fraktalny

Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

Ruch Browna i ułamkowy ruch BrownaRuch Browna to funkcja B(t), taka że, dla Δt

ΔB(t) są: niezależne, izotropiczne, losowe.

H=1/2 dla ruchu Browna

Stopień zintegrowania:

Wymiar fraktalny:

Ruch BrownaH=1/2

1827 – R. Brown

1900 – L.Bachelier

1905-06 A. Einstein i M. Smoluchowski

1923 – N. Wiener

H>1/2H<1/2

Ułamkowy ruch Browna

ścieżki

Ułamkowy ruch Browna

Ułamkowy szum gaussowski

Samopodobieństwo a samoafiniczność

Estymatory H

Analiza przeskalowanego zakresu R/S

Analiza dyspersionalna (dla fGn)

Metoda wymiaru fraktalnego

Analiza przeskalowanej wariancji w oknie

Metody spektralne

Estymatory autokorelacyjne

Estymatory H

Partycje i okna

D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997

m obserwacji

k=1 k=2

Przeskalowany zakres R/S

[H.E. Hurst , 1951]

[B.B. Mandelbrot, J.R. Wallis,1968]

[H.E. Hurst, R.P. Black, Y.M. Simaiki, 1965]

[A.A. Annis, E.H. Lloyd, 1976]

[J. Purczyński, 2003]

Modyfikacje

z trendem, bez trendu

10-point pox, Multipox

Lo, 1991

[W. Feller , 1951]

Przeskalowany zakres R/S

Przeskalowany zakres R/S

Analiza dyspersjonalna

Metoda absolutnych momentów (AM)

n=1: metoda absolutnej średniej

n=2: metoda zagregowanej wariancji

J.B. Bassingthwaighte, R.B. King, S.A. Roger, 1989H.E. Schepers, J.H.G.M. van Beek, J.B. Bassingthwaighte, 1992D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997

Zmiany strukturalne – skoki „średniej” i powoli wygasające trendy jako pozorna długa pamięć: wykładnicza AM o ujemnym wyrazie wolnym

[Teverovsky, Taqqu, 1997]

Różnicowanie wariancji + AM (DW+AM)

Metoda Wymiaru Fraktalnego – Higuchi’ego (H)

[T. Higuchi, 1988, 1990]

Scaled Windowed Wariance - Standard (SWV-S)[B.B. Mandelbrot, 1985]

Average Genralized Roughness (AGR)[J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994]

Variable Bandwidth Method (VBM)[J. Schmittbuhl, J.P. Vilotte, and S. Roux, 1995]

Scaled Windowed Wariance - Linear Detrended (SWV-L)[B.B. Mandelbrot, 1985]

Detrended Fluctuation Analysis (DFA)[C.K. Peng, S.V. Buldyrev, M. Simons, H.E. Stanley, A.L. Goldberger, 1994]

Roughness Around the Root Mean Square Line (RARMSL)[J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994]

Residuals of Regression[M.S. Taqqu, V. Teverovsky, W. Willinger, 1995]

Metody spektralneMetoda periodogramu

GPH [J. Geweke, S. Porter-Hudak,1983]

f – częstotliwość, (najmniejszych 10%)

Zmodyfikowana metoda periodogramu (MP)

Częstotliwości są grupowane w równoodległe na skali log-log grupy i uśredniane. Estymacja: ucięta MNK (least-trimmed) – użycie połowy najmniejszych reszt (nie spełnia oczekiwań)

[Taqqu, Teverovsky, Willinger 1996,1997]

Metoda zwężonego periodogramu (tapered) (TGPH)

Zmiany strukturalne a długa pamięć: jeżeli TP nie potwierdza długiej pamięci to wystąpiły zmiany strukturalne [P.Sibbertsen, 2002]

Metody spektralne

Metoda periodogramu

Metody spektralne

Średni skumulowany periodogram (ACP)

- niskie częstotliwości z gładkiej części periodogramu

Dla małych k zachodzi:

MNK, ale nie graficznie – na skali log-log F nie jest liniowa

[Taqqu, Teverovsky 1997]

Metody spektralne

Estymator Whittle’a

- funkcja gęstości spektralnej o częstotliwości f

Minimalizacja ze względu na

Zagregowany estymator Whittle’aagregacja skraca szereg i

zwiększa wariancję estymatora ale zachowuje właściwości fGn

[Taqqu, Teverovsky 1995]

Estymatory autokorelacyjne

Metoda Kettaniego i Gubnera

[H. Kettani, J. Gubner, 2002]

Metoda Kettaniego i Gubnera

[P.Ciżkowicz, w druku, NBP 2004]

Generatory

Rekurencyjna metoda Hoskinga

Generator Davisa i Harte’a (1987)

Generator Vern Paxsona (1995)

Metoda Syntezy Spektralnej

Metoda Losowych Składników

Właściwości estymatorów

Właściwości estymatorów

R/S – najbardziej obciążony z estymatorów o dużej wariancji: przeszacowuje wartość H o 0,15 dla H<0,7 i niedoszacowuje dla H>0,7. Dla N<128 jest niewiarygodny: H=0,5: P(0,2<H<0,8)=0,9

Metody dyspersjonalne – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne. Możliwość wykrycia zmian strukturalnych

Higuchi – bardzo pracochłonne (komputerowo)

Spektralne – brak obciążenia i efektywne (oprócz GPH). Możliwość wykrycia zmian strukturalnych

Przeskalowana wariancja – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne, Wymaga szeregów o długości 2^9

Kettani Gubner– bardzo prosty, szybki, nieobciążony (dla H<0,8) i efektywny nawet dla szeregów 2^6.

WIG20 0,58 WIG 0,61

WIG-Banki 0,60WIG-Budownictwo 0,64

WIG-Informatyka 0,54 WIG-Spożywczy 0,74

Rynek kapitałowy 05.2002- 04.2004, 2^9 obs.