Ludomir J. JANKOWSKI ® Wszelkie prawa zastrzeżone

ELASTOOPTYKA

1. WPROWADZENIE

Elastooptyka, mimo rozwoju innych doświadczalnych technik pomiarów, a także

numerycznych metod obliczeń, nadal stanowi bardzo ważne narzędzie doświadczalnej

identyfikacji pól naprężeń i odkształceń, przede wszystkim w płaskich i

trójwymiarowych modelach obiektów rzeczywistych obciążonych statycznie lub

dynamicznie. Jej zaletą jest możliwość wyznaczania składowych dwu- i

trójwymiarowego stanu naprężenia wewnątrz badanego modelu, a po uwzględnieniu

skal podobieństwa modelowego - w obiektach rzeczywistych. Elastooptyka umożliwia

również badania konstrukcji rzeczywistych (za pomocą techniki elastooptycznej

warstwy powierzchniowej lub tensometrów elastooptycznych), modelowanie zagadnień

plastyczności, termosprężystości, a nawet przepływu cieczy. Poniżej przedstawiono

podstawy elastooptyki dwu- i trójwymiarowej oraz techniki elastooptycznej warstwy

powierzchniowej.

2. PODSTAWY ELASTOOPTYKI

Istotą elastooptyki jest wykorzystywanie światła, jako nośnika informacji, oraz

związku między właściwościami optycznymi niektórych materiałów, a polem

odkształceń (naprężeń). W celu opisu podstawowych zjawisk towarzyszących

pomiarom elastooptycznym wykorzystywany jest model falowy światła, który opisują

równania Maxwella. Wiążą one pole elektryczne i magnetyczne z właściwościami

ośrodka, przez który biegnie światło. Zakładając propagację fali elektromagnetycznej

w izotropowym dielektryku równania Maxwella można przedstawić w postaci:

- równania falowego składowej elektrycznej

2E - μμ0 εε0 Ë = 0 (1.1)

- równania falowego składowej magnetycznej

2H - εε0 μμ0 H = 0 (1.2)

gdzie: 2 - operator Laplace'a, μ (μ0) - względna przenikalność magnetyczna

ośrodka (próżni), ε(ε0) - względna przenikalność elektryczna

ośrodka (próżni).

Z analizy tych równań (np. dla składowej elektrycznej) wynika, że fale

elektromagnetyczne są poprzeczne, płaskie, a wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i

drgają w zgodnej fazie.

y

kierunek propagacji fali świetlnej

płaszczyzna polaryzacji H

E x

z płaszczyzna drgań wektora E

Rys. 1. Składowe fali elektromagnetycznej

To sprzężenie obu wektorów umożliwia analizowanie, np. tylko wektora E (składowej

elektrycznej), co jest zasadne m.in. dlatego, że odbierane przez zmysł wzroku natężenie

światła jest wprost proporcjonalne do kwadratu rzeczywistej amplitudy natężenia pola

elektrycznego. W postaci zespolonej składowe wektora E mają postać:

Ex = E0x exp [ iω (t - z/cn)]; Ey = E0y exp [ iω (t - z/cn)] (1.3)

gdzie: cn = 1 / √ εε0 μμ0 - prędkość fazowa fali w ośrodku,

z - kierunek propagacji fali (współrzędna czoła fali),

t - czas, ω - częstość kołowa,

E0 = m exp [-iφ0] - amplituda zespolona wektora E (φ0 - faza

początkowa, m - rzeczywista amplituda wektora E).

Natężenie światła można wyrazić jako:

I = E Ē = m2 (1.4)

gdzie: Ē - oznacza sprzężenie funkcji zespolonej E.

Z analizy wzorów (1.3), po wyeliminowaniu fazy początkowej, i wprowadzeniu

przesunięcia fazowego zdefiniowanego jako różnica faz obu składowych (φ = φx - φy)

wynika, że w ogólnym przypadku dla constz jest spełnione równanie:

[Ex / mx]2 - 2∙Ex∙Ey∙cos φ / mx∙my + [Ey / my]

2 = sin

2φ (1.5)

Tak więc, koniec wektora E propagującego wzdłuż współrzędnej z , zatacza w

przestrzeni krzywą spiralną (helisę), której "przekrój" płaszczyzną constz jest elipsą.

Ten stan fali świetlnej jest określany mianem polaryzacji eliptycznej.

Obok polaryzacji światła, w elastooptyce wykorzystywana jest anizotropia

optyczna. W ogólnym przypadku, w ośrodku anizotropowym można zidentyfikować

różne związki między poszczególnymi wielkościami fizycznymi charakteryzującymi

jego właściwości, co pokazano na poniższym schemacie.

efekt elektrooptyczny efekt magnetooptyczny

efekt piezooptyczny

sprężystość

efekt elastooptyczny przenikalność

elektryczna

efekt piezoelektryczny prosty

efekt piezoelektryczny odwrotny

Rys. 2. Wybrane właściwości ośrodka anizotropowego

współczynnik załamania

światła

natężenie pola

magnetycznego

naprężenie

odkształcenie

natężenie pola

elektrycznego

indukcja

elektryczna

W odróżnieniu od ośrodków charakteryzujących się naturalną anizotropią

właściwości, istnieją ośrodki izotropowe, które zmieniają swoje właściwości na

anizotropowe pod wpływem np. pola elektrycznego lub pola naprężeń. Rozpatrzmy to

zjawisko zwane dwójłomnością wymuszoną, w przypadku ośrodka liniowo

dwójłomnego, który najczęściej jest spotykany w elastooptyce. Fala świetlna wchodząc

do takiego ośrodka, np. w postaci płasko-równoległej płytki, ulega podzieleniu na dwie

fale spolaryzowane liniowo. Ich płaszczyzny drgań, prostopadłe względem siebie, są

ściśle zorientowane względem ośrodka. Podział fali wchodzącej ma charakter

wektorowy, a powstałe fale: szybsza (nadzwyczajna) i wolniejsza (zwyczajna), nie są

składowymi fali wypadkowej propagującej w ośrodku, lecz jego falami własnymi.

Wychodząc z ośrodka fale te, zgodnie z zasadą superpozycji, tworzą falę o innym (w

ogólnym przypadku) stanie polaryzacji niż fala wchodząca. Występujące przesunięcie

faz fal własnych wywołane różnicą dróg optycznych wskazuje, że w ośrodku liniowo

dwójłomnym na kierunku propagacji obu fal występują dwie różne wartości

współczynnika załamania 1n i 2n (odpowiednio dla fali szybszej i wolniejszej). Różnica

dróg optycznych wynosi:

21 nnt (1.6)

a różnica 21 nn jest miarą dwójłomności. Różnicy dróg odpowiada względne

przesunięcie faz obu fal:

/2 (1.7)

Pożądany stan polaryzacji światła, umożliwiający śledzenie efektu

dwójłomności, uzyskuje się w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy

optyczne umożliwiające uzyskanie światła o określonej polaryzacji oraz analizę zmian

wywołanych anizotropią optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat polaryskopu z

transmisyjną wiązką światła pokazano na rys. 3.

zespół polaryzatora zespół analizatora

1

2 3 4 5 4 3 Rys. 3. Schemat polaryskopu transmisyjnego: 1 - źródło światła, 2 - układ optyczny formujący

wiązkę światła, 3 - filtr polaryzacyjny, 4 - płytka fazowa, 5 - płytka dwójłomna.

Rys. 3a. Widok polaryskopu transmisyjnego

Przestrzeń pomiarowa polaryskopu pokazanego na schemacie znajduje się między

zespołami polaryzator (filtr polaryzacyjny, najczęściej foliowy) - płytka fazowa (tzw.

ćwierćfalówka). Często noszą one nazwy: polaryzator (3 - 4) i analizator (4 - 3), przy

czym konstrukcja polaryskopu umożliwia sprzężony obrót tych zespołów, zmianę ich

wzajemnego ustawienia, a także zmianę położenia ćwierćfalówek względem "swoich"

filtrów. Filtr polaryzacyjny (liniowy) charakteryzuje się wyróżnionym kierunkiem

przepuszczania światła, przy czym stosunek natężenia światła przepuszczanego w

kierunku doń prostopadłym do natężenia światła przechodzącego równolegle, jest rzędu

1: 200, a nawet osiąga 1: 300 000.Obecnie najczęściej są stosowane filtry foliowe na

bazie poli(alkoholu) winylowego. Warto podkreślić, że wektor E fali padającej na filtr

ma dwie składowe: prostopadłą do kierunku łańcuchów cząsteczek polialkoholu E┴,

i równoległą E║. Składowa E┴ jest przepuszczana z niewielkimi stratami, natomiast

składowa E║ jest wygaszana.

Zadaniem płytki fazowej współpracującej z filtrem polaryzacyjnym jest

uzyskanie możliwości zmiany stanu polaryzacji z liniowej na kołową (i odwrotnie). W

polaryskopach elastooptycznych stosuje się płytki fazowe zwane ćwierćfalówkami,

których cechą charakterystyczną jest to, że światło propaguje w nich z dwoma różnymi

prędkościami, a więc są one dwójłomne. Tym samym wektory elektryczne tych dwóch

fal własnych są do siebie prostopadłe, a płaszczyzny w których one leżą, wyznaczają

tzw. oś szybką i wolną. Przesunięcie fazowe jest w tych płytkach ściśle określone, i

wynosi 4/ (dla danej długości fali światła). W przypadku gdy oś szybka

ćwierćfalówki jest równoległa do kierunku przepuszczania filtra polaryzacynego, stan

polaryzacji nie ulega zmianie - światło jest nadal spolaryzowane liniowo. Gdy oś

szybka tworzy kąt 4/ z kierunkiem wektora elektrycznego fali opuszczającej filtr,

stan polaryzacji zmienia się i uzyskujemy światło spolaryzowane kołowo. Należy

podkreślić, że usytuowanie osi szybkiej ćwierćfalówki pod innym kątem niż 4/

generuje polaryzację eliptyczną.

Z punktu widzenia realizacji pomiarów, stan polaryzacji światła wychodzącego

z polaryskopu jest w elastooptyce analizowany przede wszystkim amplitudowo, tzn.

istotne są informacje o natężeniu światła za analizatorem. W polaryskopie liniowym, ze

skrzyżowanymi osiami filtrów polaryzacyjnych (czyli w polaryskopie "z ciemnym

polem widzenia" najczęściej stosowanym w pomiarach elastooptycznych), natężenie

światła jest opisane równaniem:

/sin2sin2/sin2sin 22max

22max III (1.8)

gdzie: - kierunek wektora własnego fali szybszej w ośrodku dwójłomnym,

maxI - maksymalne natężenie światła obserwowane dla

12/sin2sin 22 .

W przypadku polaryskopu kołowego (skrzyżowane filtry polaryzacyjne, osie

szybsze ćwierćfalówek ustawione pod kątem 4/ względem kierunku przepuszczania

światła przez filtr, i pod kątem 2/ względem siebie) rozkład natężenia światła jest

opisany równaniem:

/sin2/sin 2max

2max III (1.9)

Z analizy wzorów: (1.8) i (1.9) wynika, że zmiany natężenia światła za

analizatorem są modulowane przez argumenty funkcji sinus, przy czym 0I uzyskuje

się dla:

0 lub 2/ , tj. wówczas, gdy kierunek jednego z wektorów własnych

ośrodka dwójłomnego pokrywa się z kierunkiem przepuszczania filtra polaryzatora,

a drugi - z kierunkiem przepuszczania analizatora,

N/2/ (N = 1, 2, 3, ...), tj. wówczas, gdy różnica dróg

optycznych fal własnych ośrodka dwójłomnego , jest wielokrotnością długości fali

światła ( N ), przy czym N jest nazywane rzędem prążka.

Zmiany natężenia światła za analizatorem są widoczne w postaci linii (prążków),

dla których spełnione są warunki:

const ( const) (1.10); const (1.11)

Porównując warunki (1.10) i (1.11) ze wzorami (1.8) i (1.9) łatwo zauważyć, że w

polaryskopie liniowym obserwowane są dwie rodziny linii charakteryzujące zmiany

dwójłomności w płytce, natomiast w polaryskopie kołowym - tylko jedna. Linie

(prążki) spełniające warunek (1.10) są nazywane izochromami, a spełniające warunek

(1.11) - izoklinami. Dalsza analiza powyższych zależności prowadzi do następujących

wniosków:

- sąsiadujące ze sobą izochromy mogą mieć rzędy jednakowe lub różniące się o

jeden (czyli różnica dróg optycznych wynosi 0 lub ),

- prążki izochrom i izoklin są od siebie niezależne i mogą "przecinać się" w obrazie

obserwowanym za analizatorem,

- w świetle monochromatycznym wygaszenie światła związane z warunkiem (1.10)

następuje dla długości fali propagującej przez ośrodek dwójłomny, a więc

obserwowane są czarne prążki izochrom na tle obszarów o barwie odpowiadającej

danej długości fali światła; w przypadku światła polichromatycznego (najczęściej

białego) wygaszenie następuje dla wielu długości fal z zakresu widzialnego, gdy

spełniony jest warunek Ni/ , tak więc prążki izochrom obserwowane są jako

pasma barwne, którym odpowiada określona różnica dróg optycznych; wyjątkiem

jest izochroma 0N , obserwowana w postaci czarnego prążka,

- ponieważ człon 2sin2 równania (1.8) nie zależy od , izokliny obserwowane w

świetle monochromatycznym i białym są zawsze prążkami czarnymi.

- przykładowy obraz izochrom całkowitych, w płaskim modelu rozciąganego pasma

z otworem, pokazano na rys. 4.

Rys. 4. Izochromy całkowite w modelu pasma z otworem

osiowo rozciąganego

Często w pomiarach elastooptycznych jest wykorzystywany stan polaryzacji

kołowej, w którym kierunki przepuszczania światła przez filtry polaryzacyjne są do

siebie równoległe. Wówczas rozkład natężenia światła opisuje funkcja:

/cos2/cos 2max

2max III (1.12)

a wygaszenie światła następuje dla 12N . Obserwowana rodzina izochrom

ma rzędy ...5.2,5.1,5.0N , i jest nazywana rodziną izochrom połówkowych. W

praktyce pomiarowej występuje również potrzeba określania N i w ściśle

określonych punktach, w których z reguły rząd izochromy jest różny od rzędu

całkowitego lub połówkowego. W takim przypadku stosowane są tzw. kompensatory

goniometryczne (azymutalne) lub bezpośrednie. W pierwszym przypadku, kompensacja

rzędu izochromy (czyli pomiar różnicy dróg optycznych lub częściej opóźnienia

względnego faz) dokonywana jest za pomocą elementu układu optycznego polaryskopu

obracanego wokół osi optycznej tego układu. W drugim, używane są specjalne

przyrządy, w których generowany jest dodatkowy efekt dwójłomności (równy co do

wartości, lecz o przeciwnym "znaku"), który po dodaniu do iii yxN , zeruje różnicę

dróg optycznych. Znana wartość opóźnienia wygenerowana w kompensatorze

odpowiada poszukiwanej wartości rzędu izochromy w danym punkcie. W elastooptyce

najczęściej stosowane są goniometryczne kompensatory Senarmonte'a i Tardy'ego oraz

kompensatory bezpośrednie Soleila i Babineta.

Pomiar parametru izokliny iii yx , jest mniej kłopotliwy, gdyż ustalenie jego

wartości w dowolnym punkcie badanego obszaru polega na śledzeniu stopnia

wygaszenia światła w tym punkcie podczas obrotu płaszczyzny polaryzacji w

polaryskopie liniowym. Pozorny ruch prążków izoklin pozwala odróżnić tę rodzinę linii

od izochrom, które nie zmieniają swojego położenia.

3. ZWIĄZKI MIĘDZY DWÓJŁOMNOŚCIĄ A STANEM NAPRĘŻEŃ I

ODKSZTAŁCEŃ

Zależność efektu dwójłomności wymuszonej (opisanego po raz pierwszy w 1816

roku przez Brewstera) od pola odkształceń, została podana przez F.E. Neumanna w

1841r., w postaci wiążącej składowe główne pola odkształceń ze składowymi głównymi

przenikalności dielektrycznej ośrodka:

322111 ; 132212 ; (1.13)

212313

gdzie: - przenikalność dielektryczna ośrodka nie odkształconego,

3,2,1ii - przenikalność dielektryczna na kierunkach głównych,

21, - stałe materiałowe ośrodka.

W roku 1858 J.C.Maxwell podał równania (1.13) w funkcji naprężeń:

322111 cc ; 132212 cc

212313 cc (1.14)

W elastooptyce, najczęściej przytaczane są równania (1.14) w postaci:

)( 3221101 ccnn ; 1322102 ccnn

2123103 ccnn (1.15)

gdzie: 0n - współczynnik załamania światła ośrodka w stanie bez naprężeń,

3,2,1ini - współczynniki załamania światła na kierunkach

głównych,

21,cc - stałe materiałowe (naprężeniowo-optyczne),

3,2,1ii - składowe główne stanu naprężenia w danym punkcie

ośrodka.

Ponieważ w elastooptyce, jako miara dwójłomności najczęściej używane jest względne

przesunięcie faz , będące funkcją różnicy współczynników załamania światła, to

powyższe równania mogą być zapisane w postaci:

2112 cnn ; 3223 cnn ; 1331 cnn (1.16)

przy czym z założenia 321 wynika, że 321 nnn i stała c jest dodatnia.

W płytce (o grubości t ) z materiału wykazującego dwójłomność wymuszoną,

prześwietlanej na wskroś (prostopadle) światłem spolaryzowanym, opóźnienie

względne między falami własnymi propagującymi w płaszczyznach wyznaczonych

przez kierunki główne, wynosi:

2112

2 tc; 3223

2 tc; 1331

2 tc (1.17)

gdzie: ,..12 - opóźnienie względne faz w przypadku propagacji światła w kierunku 3, ...

Z powyższych zależności wynika, że prześwietlając ośrodek np. w kierunku 3,

naprężenie 3 nie ma wpływu na wartość opóźnienia względnego, które jednak liniowo

zależy od długości drogi optycznej światła w ośrodku.

3. ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA NA PODSTAWIE

DANYCH ELASTOOPTYCZNYCH

Rozpatrując układ równań (1.17) dla przypadku płaskiego stanu naprężenia

( 03 ) i prześwietlania płaskiej płytki o grubości t , po wprowadzeniu 2/N

oraz stałej:

cf (1.18)

zwanej naprężeniową wartością rzędu izochromy, pierwsze równanie układu (1.17)

przybiera postać:

fNt

fN21 (1.19)

Stała tff / odnosi się do płytki o określonej grubości, i jest nazywana modelową

wartością rzędu izochromy. Obydwie stałe są wyznaczane najczęściej na drodze

pomiarów wzorcujących, np. na beleczce w próbie zginania czteropunktowego lub

tarczy kołowej ściskanej wzdłuż jej średnicy (rys. 5).

a) a NA NB b)

Rys. 5. Schematy obciążenia próbek do wyznaczania stałej f :

a) zginanie czteropunktowe, b) ściskanie kołowej tarczy.

F

F F Nc

D

F

D l

h

Wartość stałej f oblicza się na podstawie pomiaru wartości rzędu izochromy,

zmierzonego w punktach pokazanych na powyższych schematach, dla zadanych

warunków obciążenia i geometrii próbek. Dla przypadku pokazanego na rys. 4a, stałą

f określa wzór:

,6

2hN

aFf

śr

2

BAśr

NNN (1.20)

natomiast dla przypadku pokazanego na rys. 4b:

cND

Ff

8 (1.21)

Na podstawie prawa Hooke'a dla płaskiego stanu naprężenia, z którego wynika,

że w zakresie odkształceń liniowo-sprężystych jest:

2121

1

E (1.22)

równanie (1.19) przybiera postać:

t

fN

t

fN

E

121 (1.23)

Bezpośrednio z danych elastooptycznych można wyznaczyć także wartość naprężenia

stycznego oraz różnicę naprężeń normalnych:

2sin2 t

fNxy (1.24)

2cost

fNyx (1.25)

Jednak w ogólnym przypadku wyznaczenie wartości poszczególnych składowych stanu

naprężenia (tzw. rozdzielenie składowych stanu naprężenia) stwarza pewne trudności.

Korzystając ze wzoru (1.19) można jednak niekiedy bezpośrednio określić składowe

stanu naprężenia. I tak, np. na nieobciążonej krawędzi płaskiego modelu obiektu

rzeczywistego, jedno z naprężeń głównych jest równe zeru )0( 2 , stąd drugie

(działające stycznie do tej krawędzi) wynosi:

t

fN1 (1.26)

Jeśli na krawędź modelu działa znane co do wartości ciśnienie p , to wówczas składowa

1 jest dana wzorem:

pt

fN1 (1.27)

W przypadku krzywoliniowego brzegu, opisanego funkcją xfy , wartość

naprężenia stycznego b działającego w punkcie A tego brzegu może być wyznaczona

ze wzoru:

AA

AA

bt

fN2sin

22sin

2

)( 21 ; dx

dfarctg (1.28)

Wewnątrz badanego obszaru wyznaczenie składowych stanu naprężenia wymaga

zastosowania metod obliczeniowych (najczęściej numerycznych) lub pomiarów

uzupełniających, z reguły innymi metodami. Jedną z najbardziej popularnych metod

rozdzielania składowych stanu naprężenia na podstawie danych elastooptycznych, jest

metoda różnic naprężeń stycznych, która wykorzystuje równania równowagi dla

płaskiego stanu naprężenia:

0yx

yxx ; 0xy

xyy

Całkując, np. pierwsze równanie tego układu dla składowej x , otrzymuje się wzór:

dxy

yx

xx 0 (1.29)

Po wprowadzeniu różnic skończonych równanie to można przedstawić w postaci:

xy

i

i

iyx

xix1

0

)( (1.30)

y

xi

A B y

O x

C D

x

Rys. 6. Schemat siatki do obliczania różnic skończonych

W równaniu (1.30) różnica iyx wynosi:

CD

iyx

AB

iyxiyx (1.31)

natomiast 0x jest wartością składowej x w punkcie początkowym przekroju Ox (na

nieobciążonej krawędzi modelu 0x ). Wartości yx należy obliczyć na podstawie

znanych, w węzłach siatki pokazanej na rys. 5, wartości N i :

ii

iyxt

fN2sin

2 (1.32)

Z reguły przyjmuje się, że yx , a przekroje AB i CD przebiegają w odległości:

2/y . Wówczas 1/ yx , i wartość składowej x określa wzór:

i

iiyxxix

10

(1.33)

Drugą składową normalną można obliczyć ze wzoru:

iiixiyt

fN 2cos (1.34)

a następnie wyznaczyć naprężenia główne:

t

fNyx

22/2,1 (1.35)

Zaletą tej metody rozdzielania składowych stanu naprężenia jest możliwość jej

stosowania do obliczeń w zadanym przekroju analizowanego obszaru, a obranie

określonej geometrii siatki umożliwia wyznaczenie wartości N oraz na drodze

kompensacji, od razu w jej węzłach, z dużą dokładnością (ok. 01.0N rzędu prążka i

1-2o). Do rozdzielenia składowych stanu naprężenia można również

wykorzystać równanie Laplace'a o postaci:

02yx (1.36)

którego rozwiązanie numeryczne, bazujące na różnicach skończonych, sprowadza się

do układu n równań z n niewiadomymi dla węzłów siatki ortogonalnej. Dla

poszczególnych węzłów wewnątrz analizowanego obszaru, równanie (1.36) ma postać:

022

2

1,,1,

2

,1,,1

yx

kiyxkiyxkiyxkiyxkiyxkiyx

(1.37)

Jego rozwiązanie, np. metodą iteracyjną, wymaga wyznaczenia wartości składowych

normalnych na konturze analizowanego obszaru.

Przykładem metody rozdzielania składowych stanu naprężenia wykorzystującej

pomiary uzupełniające jest metoda pomiaru poprzecznego odkształcenia płaskiego

modelu elastooptycznego, wykorzystująca związek:

21E

z (1.38)

Wraz z równaniem (1.19), powyższy związek umożliwia rozwiązanie dla

analizowanego punktu badanego obszaru układu dwóch równań z dwoma

niewiadomymi. Obecnie pomiar z jest przeprowadzany najczęściej

interferometrycznie.

Przydatną informacją o badanym polu naprężeń jest również przebieg trajektorii

(izostat) naprężeń głównych, który można wyznaczyć na podstawie obrazów izoklin

zarejestrowanych dla określonych położeń płaszczyzny polaryzacji światła w

polaryskopie liniowym. Najprostsza, wykreślna technika określania przebiegu

trajektorii polega na obraniu na izoklinie o parametrze 1 punktu, z którego kreśli się

prostą pod kątem 2/21 do przecięcia z izokliną 2 . Przez tak wyznaczony punkt

na izoklinie 2 kreśli się prostą pod kątem 2/32 do przecięcia z izokliną 3 , itd.

Wyznaczona w ten sposób linia łamana przybliża wystarczająco trajektorię 1s jednego z

naprężeń głównych. Kreśląc w ten sam sposób linię łamaną prostopadłą do 1s uzyskuje

się trajektorię 2s drugiego naprężenia głównego.

Pewne problemy w wyznaczaniu trajektorii mogą stwarzać rejony punktów

osobliwych (np. punkt Bielajewa), ze względu na brak wyróżnionych kierunków

głównych. Punkty te można łatwo zidentyfikować śledząc zmianę położenia (ruch

pozorny) izoklin podczas obrotu płaszczyzny polaryzacji światła. W punktach, w

których izokliny o różnych parametrach przecinają się, występuje izotropia kierunków

głównych, generująca charakterystyczne przebiegi trajektorii w ich pobliżu ("pętle" lub

"trójkąty"). Trudność może również nastręczać identyfikacja trajektorii większego

naprężenia głównego 1 . Jednak rozpoczynając kreślenie od nieobciążonego brzegu

badanego modelu można skorzystać z faktu, że na brzegu jest spełniony warunek

0,0 21 , a kierunek 1s naprężenia 1 jest styczny do krawędzi modelu w danym

punkcie.

Identyfikacja znaku naprężenia na nieobciążonej krawędzi badanego modelu może

być przeprowadzona tzw. "metodą igły", która polega na lokalnej zmianie stanu

naprężenia w wybranym punkcie krawędzi i obserwacji zmian w obrazie izochrom w

tym rejonie. W praktyce, stosuje się punktowy nacisk na krawędź (np. za pomocą

wkrętaka). Jeśli w tym rejonie naprężenie styczne do krawędzi ma znak dodatni

(rozciąganie), to przebiegające w bezpośrednim sąsiedztwie izochromy będą oddalały

się lokalnie od punktu przyłożenia obciążenia. Przeciwne zjawisko, tj. zbliżanie się

izochrom do krawędzi w rejonie nacisku, będzie występowało wówczas, gdy na

krawędzi działa naprężenie o znaku ujemnym (ściskające).

5. MATERIAŁY STOSOWANE W ELASTOOPTYCE DWUWYMIAROWEJ

Materiały stosowane w elastooptyce, poza oczywistym wykazywaniem efektu

dwójłomności wymuszonej, powinny spełniać wiele różnych wymogów, często

szczegółowych, ze względu na modelowanie różnych obiektów rzeczywistych. Jednak

kilka cech i właściwości powinno bezwzględnie charakteryzować takie materiały.

Należą do nich: przezroczystość (a ściślej, transmisyjność umożliwiająca obserwację

izoklin i izochrom), duża czułość objawiająca się niską wartością f , liniowość

zależności oraz N21 w badanym zakresie odkształceń modelu, niski

efekt pełzania mechanicznego i optycznego, odpowiedni (dla danego zadania) moduł

sprężystości podłużnej , niski efekt brzegowy (tj. pojawianie się prążków izochrom w

okolicach brzegu nieobciążonego modelu wraz z czasem), a także dobra obrabialność w

przypadku stosowania obróbki mechanicznej do wykonania modelu (alternatywą jest

technika odlewania "na gotowo"). W celu porównania podstawowych właściwości

różnych materiałów stosowanych w elastooptyce, stosuje się charakterystyki ilościowe.

Jedną z nich jest współczynnik jakości:

f

EQ (1.39)

natomiast drugą - współczynnik czułości: f

Sprop.

(1.40)

W tabeli 1.1 podano orientacyjne wartości niektórych wielkości charakteryzujących

materiały elastooptyczne stosowane w elastooptyce dwuwymiarowej.

Najczęściej stosowanym materiałem w elastooptyce są kompozycje żywic

epoksydowych sieciowanych (utwardzanych) w temperaturze pokojowej lub

temperaturach podwyższonych (tzw. utwardzanie na gorąco). W przypadku elastooptyki

dwuwymiarowej, posługującej się płaskimi modelami obiektów rzeczywistych,

najczęściej stosowane są kompozycje utwardzane w temperaturze pokojowej, a modele

są wykonywane na drodze obróbki mechanicznej odlanej uprzednio płyty o żądanej

grubości.

Tabela 1. Orientacyjne wartości wybranych wielkości charakteryzujących

materiały na modele elastooptyczne

Materiał

E [MN/m

2]

[-]

prop

[MN/m2]

f

[MN/m∙rz.iz.]

310Q

[1/m]

szkło

żywice epoksydowe

Araldit D

Epidian 5

żywice allylowe

żywice poliestrowe

polimetakrylan metylu

poliwęglan

elastomer uretanowy

żelatyna

68 300

3 600

3 200

1 960

4 000

3 400

2 500

3

0.02

0.22

0.36

0.36

-

0.36

0.36

0.38

0.46

-

29.4

20.6

20.0

20.6

-

19.6

34.5

0.14

-

0.2 - 0.3

0.013

0.0125

0.015

0.025

0.260

0.0073

0.00018

0.0029

233 - 350

250 - 300

230 - 270

~ 130

~ 155

~ 13

~ 350

0.017

0.007

Uwagi: prop - granica proporcjonalności; żelatyna jest materiałem używanym niekiedy do modelowania

ciężaru własnego konstrukcji, natomiast szkło jest historycznie pierwszym materiałem użytym do

budowy modelu elastooptycznego mostu.

Należy zaznaczyć, że zjawisko dwójłomności wymuszonej w tworzywach

polimerowych jest związane z odkształceniami sieci łańcuchów polimeru powstałej w

trakcie procesu polimeryzacji. Dobór odpowiedniego materiału umożliwia

modelowanie różnych obiektów i zjawisk. Przykładowo, zastosowanie elastomerów

uretanowych daje możliwość modelowania obiektów o dużej odkształcalności, np.

opony samochodowej (rys. 7), a odpowiednia modyfikacja kompozycji epoksydowych

umożliwia modelowanie ośrodków uwarstwionych.

Rys. 7. Model przekroju poprzecznego opony - obraz izochrom całkowitych

(obciążenie siłą pionową - widoczne intensywne zginanie boków opony).

6. PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA ELASTOOPTYKI DWUWYMIAROWEJ

Wyznaczanie współczynnika kształtu karbu

Jednym z podstawowych obszarów zastosowania elastooptyki jest analiza

koncentracji naprężeń, a w tym wyznaczanie współczynnika kształtu karbu. Zgodnie z

elementarną definicją, współczynnik k jest definiowany jako:

nomk max (1.41)

gdzie: max- maksymalna wartość naprężenia w karbie,

nom- nominalna (obliczeniowa) wartość naprężenia (najczęściej w elemencie

bez karbu lub w ustalonym przekroju/punkcie odniesienia).

Jeśli krawędzie karbu są nieobciążone, obserwowany w modelu elastooptycznym

rozkład izochrom odpowiada rozkładowi naprężenia stycznego do tej krawędzi, co

wynika bezpośrednio z równania (1.26). Tak więc, współczynnik kształtu karbu można

wyrazić jako stosunek:

nomk NNmax (1.42)

W praktyce, równanie (1.42) zawiera zmienną wyznaczaną bezpośrednio z pomiaru

( maxN ), natomiast druga może być wyznaczona doświadczalnie (np. na modelu przed

wykonaniem karbu) lub obliczona na postawie znanej wartości nom i f .

nomN

maxN F

Rys. 8 Wyznaczanie współczynnika kształtu karbu k na podstawie

wartości rzędów izochromy: u góry pokazano widok izochrom całkowitych

Zastosowanie elastooptyki dwuwymiarowej w mechanice pękania (pomiar IK )

Stan naprężenia wokół wierzchołka szczeliny, w płaskim stanie naprężenia, jest

charakteryzowany za pomocą współczynnika intensywności naprężeń. Elastooptyka

dwuwymiarowa umożliwia wyznaczenie tych współczynników dla przypadku

rozwarcia szczeliny (moda I) i ścinania (moda II), na podstawie danych

elastooptycznych, tj. N i . Na rys. 9 pokazano charakterystyczny obraz izochrom

wokół wierzchołków szczeliny centralnej w paśmie rozciąganym w kierunku

prostopadłym do brzegów szczeliny.

Rys. 9. Obraz izochrom wokół wierzchołka szczeliny centralnej

Rys. 10. Obraz izochrom całkowitych wokół wierzchołka szczeliny – moda I

Składowe stanu naprężenia (w prostokątnym układzie współrzędnych) są

określone wzorami:

xI

xr

K0

2

3sin

2sin1

2cos

2

2

3sin

2sin1

2cos

2 r

KIy (1.43)

2

3cos

2cos

2sin

2 r

KIxy

gdzie: xyx0 - naprężenie w obszarze nie zaburzonym przez szczelinę.

Wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi:

2

002

2222

2

3sinsin

2

2sin

22 xI

xIxyyxm K

rr

K (1.44)

Jeśli przyjąć, że punkt pętli izochromy, w którym 0m , ma współrzędne m i

mr , to IK i x0 można wyrazić za pomocą wielkości określonych na podstawie obrazu

izochrom:

m

m

m

mm

I

rK

tg3

23tg21

tg3

21

1

sin

22

2 (1.45)

2

2

0

sin2

3cos23cos

cos2

mmm

mmx (1.46)

przy czym:

tfNm 2

y ∂τm/ ∂Θ = 0

rm

x

N

Rys. 11. Schemat analizy obrazu izochrom w wierzchołku

szczeliny (metoda Irwin'a).

Metoda wyznaczania IK przedstawiona powyżej (opracowana przez G.R.Irwin'a) jest

czuła na błędy wyznaczania wielkości mierzonych, tj. mN, i mr . Przyjmuje się, że dla

szczeliny centralnej o długości 2a, w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do

szczeliny, kąt m powinien zawierać się w przedziale oo 139,73 . Wówczas wartość

współczynnika intensywności naprężeń jest oszacowana z błędem nie większym niż

5%. Aby poprawić dokładność (błąd rzędu 2%), wprowadza się modyfikacje,

polegające na uwzględnieniu informacji zawartych w więcej niż jednej pętli izochromy.

I tak, wykorzystując dwie pętle izochrom o rzędach 12 NN , współczynnik IK może

być wyrażony za pomocą wzoru:

argK mI ,,2 (1.47)

w którym funkcja arg ,, jest obliczana dla obu izochrom, i ma postać:

arararg 22 223sinsin22sin,, (1.48)

Współczynnik Ix Ka0 przyjmuje się zwyczajowo równy jedności, a po

przekształceniach zależność (1.47) można przedstawić w postaci:

2112

12212

rgrgt

NNrrfKI (1.49)

Inna modyfikacja polega na pomiarze odległości od wierzchołka szczeliny punktów

przecięcia dwóch pętli izochrom iN oraz jN z osią y układu współrzędnych, tj. dla

zadanego kąta o90 . Wówczas współczynnik intensywności naprężeń może być

obliczony ze wzoru:

ji

jmim

iIrr

rK1

222 (1.50)

Wyznaczenie IK umożliwia obliczenie innego parametru stosowanego w mechanice

pękania, którym jest współczynnik uwalniania energii sprężystej iG . Nazywany

również pracą rozwarcia szczeliny, współczynnik ten jest związany ze

współczynnikiem intensywności naprężeń wzorem (dla jednostkowej grubości pasma):

E

K

a

UG I

I

2

(1.51)

w którym a jest połową długości szczeliny, a U - energią potencjalną niezbędną do

powstania szczeliny. Zmiany tej energii, po osiągnięciu pewnej wartości krytycznej,

powodują propagację szczeliny, a odpowiadające stanowi krytycznemu współczynniki

IK i IG są oznaczane odpowiednio: IcK i IcG (wartości krytyczne). Współczynnik

IcK nazywany odpornością materiału na pękanie, jest rzeczywistą charakterystyką

materiału, określającą jego zachowanie w aspekcie zniszczenia.

Szersze omówienie możliwości zastosowania elastooptyki w badaniach

mechanizmów pękania wykracza poza ramy niniejszego opracowania. Warto jednak

zaznaczyć, że techniki pomiarów wykorzystujące elastooptykę umożliwiają

wyznaczanie parametrów pękania dla innych postaci zniszczenia (mody szczeliny), w

przypadku mieszanej postaci obciążenia szczeliny (rozwarcie ze ścinaniem), a także w

analizie pękania ciał trójwymiarowych.

LITERATURA

[1] Ratajczyk F., Dwójłomność i polaryzacja optyczna, Oficyna Wydawnicza P.Wr.,

Wrocław, 2000.

[2] Dally J.W., Riley W.F., Experimental stress analysis (3rd

ed.), McGraw-Hill, Inc.,

1991.

[3] Aleksandrov A.J., Achmetzianov M.N., Polarizacionno-optičeskie metody

mechaniki deformirujemogo tieła, Izd. Nauka, 1973.

[4] Hesin G.L.(red), Metod fotouprugosti, Strojizdat, Moskva, 1975.

[5] Orłoś Z., Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń, PWN, Warszawa, 1977.

[6] Szczepiński W.(red.), Metody doświadczalne mechaniki ciała stałego, PWN,

Warszawa, 1984.

[7] Będziński R., Gomoliński P., Jankowski L., Szlagowski J., Analiza doświadczalna

metodami optycznymi elementów konstrukcji kształtowanych według kryterium

mośności granicznej,Wyd. MET, Warszawa. 1996.