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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
ESTUDO DO COMPORTAMENTO CINEMÁTICO E DINÂMICO DE
UM GUINDASTE COMERCIAL COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE
Marcelo Torres dos Santos
Projeto de Graduação apresentado ao curso de Engenharia
Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Max Suell Dutra
Rio de Janeiro
Agosto de 2014
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
ESTUDO DO COMPORTAMENTO CINEMÁTICO E DINÂMICO DE UM
GUINDASTE COMERCIAL COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE
Marcelo Torres dos Santos
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
________________________________________________
Prof. Max Suell Dutra, Dr.-Ing.
________________________________________________
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.
________________________________________________
Prof. Fábio Luiz Zamberlan, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
AGOSTO DE 2014
iii
SANTOS, Marcelo Torres dos
Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um
guindaste comercial com três graus de liberdade/ Marcelo
Torres dos Santos. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,
2014
79 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Max Suell Dutra
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p.67.
1.Guindaste 2.Cinemática 3.Dinâmica 4.Mecanismo
antropomórfico 5.Torque.
I. Dutra, Max Suell. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.
Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um
guindaste comercial com três graus de liberdade.
iv
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um guindaste comercial com três
graus de liberdade
Marcelo Torres dos Santos
Março/2014
Orientador: Max Suell Dutra
Curso: Engenharia Mecânica
Operações envolvendo transferência de carga sempre estiveram massivamente presentes
na indústria. Estas viabilizam operações básicas em ramos como civil, offshore e
portuário, nos quais são realizados diversos içamentos por dia. Neste âmbito, o uso de
guindastes possibilita o levantamento de cargas cada vez mais pesadas, e o
dimensionamento preciso de sua estrutura e de seus equipamentos motrizes é
fundamental para garantir sua operação confiável e segura. Para isso, é necessário o
entendimento do funcionamento dinâmico do sistema. Este trabalho compreendeu uma
análise cinemática e dinâmica de um mecanismo antropomórfico com três juntas de
rotação que representa um guindaste comercial offshore. Assim, pôde-se dimensioná-lo
através da obtenção dos torques atuantes em cada uma de suas juntas. Foi explorada a
influência da trajetória da carga nos torques calculados.
Palavras-chave: Guindaste, cinemática, dinâmica, mecanismo antropomórfico, torques.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer.
Study of the kinematics and dynamic behavior of a comercial crane with three degrees
of freedom
Marcelo Torres dos Santos
August/2014
Advisor: Max Suell Dutra
Course: Mechanical Engineering
Operations involving cargo handling have always been massively present in the
industry. These are crucial for the feasibility of basic operations in branches like civil
engineering, offshore and harbor activities, in which are performed several liftings a
day. In this context, the use of cranes enables the lifting of heavier loads, and the precise
dimensioning of its structure and driving equipments is paramont to assure its safe and
reliable operation. For that, it is necessary to understand the dynamic functioning of the
system. This work comprehended a cinematic and dinamic analysis of an
antropomorphic mechanism containing three rotational joints that represents a comercial
offshore crane. Thereby, it was possible to dimension the crane through the obtention of
acting torques in each one of its joints. The influence of the load's trajectory was
considered on the torque's calculation.
Keywords: Crane, kinematics, dynamic, antropomorphic mechanism, torque.
vi
Sumário
1. Introdução .................................................................................................................1
2. Estado da Técnica ....................................................................................................2
2.1. Transferência de carga .................................................................................................. 2
2.1.1. Onshore ................................................................................................................. 2
2.1.2. Offshore ................................................................................................................. 2
2.2. Tipos de dispositivos de transferência de carga ............................................................ 3
2.2.1. Guindaste ............................................................................................................... 3
2.3. Tipos de guindastes ....................................................................................................... 6
2.3.1. Ponte Rolante ........................................................................................................ 6
2.3.2. Grua ....................................................................................................................... 7
2.3.3. Level Luffing .......................................................................................................... 8
2.3.4. Guindastes Móveis ................................................................................................ 8
2.3.5. Guindaste Telescópico .......................................................................................... 9
2.3.6. Guindaste Articulado Antropomórfico ................................................................ 10
2.4. Tipos de acionamento.................................................................................................. 10
2.4.1. Hidráulico ............................................................................................................ 10
2.4.2. Elétrico ................................................................................................................ 11
2.4.3. Pneumático .......................................................................................................... 11
3. Modelagem ..............................................................................................................12
3.1. Cinemática ................................................................................................................... 12
3.1.1. Cinemática direta ................................................................................................. 13
3.1.1.1. Sistema de coordenadas e referenciais ............................................................ 13
3.1.1.2. Matrizes de rotação ......................................................................................... 14
3.1.1.3. Matriz de transformação homogênea .............................................................. 14
3.1.1.4. Equações cinemáticas ...................................................................................... 15
3.1.2. Cinemática inversa .............................................................................................. 16
3.1.3. Espaço de trabalho .............................................................................................. 19
3.2. Dinâmica ..................................................................................................................... 19
3.2.1. Movimento dos elos de um manipulador ............................................................ 19
3.2.2. Velocidade angular entre elos ............................................................................. 19
3.2.3. Matriz Jacobiana ................................................................................................. 21
3.2.4. Aceleração angular .............................................................................................. 22
vii
3.3. Dinâmica de manipuladores ........................................................................................ 25
3.3.1. Distribuição de massa .......................................................................................... 25
3.3.2. Energia cinética ................................................................................................... 26
3.3.3. Energia potencial ................................................................................................. 27
3.3.4. Equações de movimento, método de Lagrange ................................................... 28
4. Resultados ...............................................................................................................29
4.1. Propriedades dos elos do mecanismo .......................................................................... 30
4.1.1. Propriedades do elo 1 .......................................................................................... 30
4.1.2. Propriedades do elo 2 .......................................................................................... 31
4.1.3. Propriedades do elo 3 .......................................................................................... 32
4.1.4. Propriedades do elo 4 .......................................................................................... 33
4.2. Restrições e considerações .......................................................................................... 34
4.3. Resultados - Cinemática direta .................................................................................... 35
4.3.1. Espaço de trabalho .............................................................................................. 37
4.3.2. Cinemática direta - Exemplo 1 ............................................................................ 38
4.3.3. Cinemática direta - Exemplo 2 ............................................................................ 39
4.3.4. Cinemática direta - Exemplo 3 ............................................................................ 40
4.3.5. Cinemática direta - Exemplo 4 ............................................................................ 41
4.3.6. Cinemática direta - Exemplo 5 ............................................................................ 42
4.4. Resultados - Cinemática inversa e dinâmica ............................................................... 44
4.4.1. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 1 ....................................................... 45
4.4.2. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 2 ....................................................... 48
4.4.3. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 3 ....................................................... 51
4.4.4. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 4 ....................................................... 54
4.4.5. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 5 ....................................................... 57
4.5. Simulação de esforços ................................................................................................. 62
4.5.1. Simulação do elo 1: ............................................................................................. 62
4.5.2. Simulação do elo 2: ............................................................................................. 63
4.5.3. Simulação do elo 3: ............................................................................................. 64
5. Conclusões ...............................................................................................................65
5.1. Trabalhos futuros......................................................................................................... 66
Referências bibliográficas .............................................................................................67
ANEXO A .......................................................................................................................68
Rotinas desenvolvidas no MATLAB®: ................................................................................... 68
1
1. Introdução
Os primeiros resquícios de atividades comerciais são tão antigos que não é
possível precisar uma data de quando começaram. Sabe-se, tão somente, que o comércio
se iniciou com a troca de bens de consumo. Desde essa época, os animais foram
utilizados com a finalidade de transportar tais mercadorias. Com o passar dos séculos,
as atividades comerciais aliadas ao desenvolvimento tecnológico foram se aprimorando
e utilizando como alicerces os principais meios de transporte de sua geração, buscando
sempre a maior capacidade de carga ao menor custo.
No que tange ao tema ora estudado, ressalte-se que os meios de transporte
marítimos destacaram-se em meados do século XV, por possibilitar o alcance de terras
distantes e daquelas cercadas por mar, bem como por evitar a transposição de terrenos
adversos.
A evolução tecnológica levou a humanidade à era da globalização, que, por sua
vez, foi responsável por constantes mudanças no cenário do comércio mundial e
acirradas concorrências entre potências comerciais. Diante disto, surgiu a enorme
necessidade de se oferecer um serviço mais rápido, menos custoso e mais seguro, não
apenas durante todo o trajeto da mercadoria, como também em todas as etapas do
translado, incluindo os processos de carga e descarga.
Certas operações são executadas sob grande pressão e condições climáticas
críticas, que influenciam diretamente no que diz respeito à segurança durante a
transferência de carga, principalmente pelos ventos e marés.
As transferências de carga offshore se enquadram em ambos quesitos descritos
acima, classificando-as como operações de alto risco. De forma mais técnica, cada uma
das embarcações envolvidas no procedimento possui um referencial móvel diferente, o
que acaba tornando uma tarefa difícil de se efetuar. Existe uma tendência de se
automatizar tal procedimento ao máximo objetivando a anulação de falhas humanas e a
atenuação de risco de acidentes. Para isso, se faz necessária a total compreensão sobre o
funcionamento do sistema. Atualmente, os manipuladores de elevação e transferência de
carga possuem tecnologia de ponta e estão em constante aperfeiçoamento.
O objetivo deste trabalho é estudar o comportamento e os esforços em um
guindaste articulado utilizado em operações offshore durante a atividade de
transferência de carga.
2
2. Estado da Técnica
2.1. Transferência de carga
Consiste no deslocamento de uma carga de um local para outro por meio de um
dispositivo, que geralmente é mecânico. Transferências de carga podem ser onshore ou
offshore.
2.1.1. Onshore
Ocorre quando o procedimento de transferência de carga é realizado em terra.
Por ser menos complexo e oferecer menos riscos que a offshore, costuma apresentar
custos mais baixos.
2.1.2. Offshore
Trata-se de uma transferência de carga realizada em mar aberto. Outrossim, ao
contrário da operação onshore, consiste em uma atividade de alta complexidade e
elevados riscos de acidentes, tendo em vista que os referenciais de ambas as
embarcações envolvidas no procedimento são diferentes.
3
2.2. Tipos de dispositivos de transferência de carga
Dispositivos de transferência de carga são mecanismos utilizados para
transportar um determinado carregamento de um local para outro.
Alguns dispositivos de transferência de carga são:
Elevador: sistema de transporte de pessoas ou cargas, vertical, baseado em
um sistema de roldanas;
Guincho: dispositivo usado para rebocar ou erguer cargas, tracionando um
cabo de aço através do mecanismo de sarilho;
Empilhadeira: equipamento usando para manobra de cargas em paletes de
madeira, seja em pátio aberto ou fechado. É classificada através de classes
de propulsão, carga e alcance;
Esteira transportadora: muito utilizada na mineração, consiste em uma
superfície, que desliza sobre polias e na qual a carga transportada é
depositada;
Guindaste: mecanismo utilizado para elevação e movimentação de carga,
principalmente em parques industriais. Como é o tema deste trabalho, será
abordado mais profundamente a seguir.
2.2.1. Guindaste
Indícios revelam que os primeiros sistemas de elevação de cargas surgiram no
Egito antigo, como por exemplo, a elevação de blocos pesados de pedra na confecção de
pirâmides. Contudo, as mais antigas documentações encontradas até hoje sobre o
assunto pertencem aos arquitetos romanos Marcos Vitrúvio Polião (século I a.C.) e
Héron de Alexandria (século I d.C.).
Cabe destacar que a introdução do uso da alavanca e da polia logo levou à
substituição das rampas, que até então eram as responsáveis por toda movimentação
vertical de cargas mais pesadas.
Os guindastes romanos apresentavam sérias limitações, pois apesar de
possibilitar o içamento vertical da carga, o ângulo de giro era muito pequeno e tal carga
só poderia ser erguida até a altura das estacas. Outro revés ficava por conta da baixa
4
mobilidade do equipamento, que forçava o uso de inúmeros guindastes ou montagens e
desmontagens excessivas do mesmo.
Figura 1 - Guindaste Greco-Romano
(Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentaspastos_scheme.svg>)
Na Alta Idade Média, guindastes portuários foram introduzidos para manobras
de carga e construções de embarcações (alguns eram construídos sobre torres de pedra
para aumentar a estabilidade e capacidade extra). O guindaste medieval era constituído
por uma ou duas grandes esteiras de madeira que giravam em torno de um eixo central,
com uma largura suficiente para ser acionada por dois trabalhadores caminhando lado a
lado. Essa força humana era responsável pelo giro do guincho que realizava a elevação
da carga por meio de uma lança com polias em sua extremidade.
5
Figura 2 - Guindaste Medieval (Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Tretkran_(Bruegel).jpg>)
Durante o final da Idade Média, guindastes de torre foram projetados por
Leonardo Da Vinci. Estes talvez tenham sido os primeiros guindastes móveis
construídos.
Os primeiros guindastes foram feitos de madeira, porém, com a Revolução
Industrial, passaram a ser produzidos com ferro fundido e aço. A força humana, que
antigamente era utilizada para o funcionamento da máquina, permaneceu insubstituível
até o advento das máquinas a vapor.
Até os dias de hoje, devido às constantes evoluções tecnológicas e grande
variedade de operações e finalidades, como por exemplo, construção civil, resgates,
escavações, transporte, manobras portuárias e offshore, existe no mercado uma vasta
gama de marcas e modelos de guindastes.
Os seguintes fatores devem ser considerados quando se deseja projetar um
guindaste: capacidade de carga (resistência mecânica); número de graus de liberdade
(rotacionais e translacionais); local e condições de operação (terreno, ventos, flutuação
etc.). Existe grande risco de falha, caso não haja a devida preocupação com relação a
todos esses quesitos.
6
Figura 3 - Falha em guindaste, Porto do Caju
(Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Shipyard_Ishibras_Ishikawajima_Sermetal.JPG>)
Os acionamentos dos braços, lanças, bases e ferramentas (talhas, ganchos, pás,
garras etc.) são realizados, geralmente, das seguintes formas: sistemas hidráulicos,
pneumáticos ou elétricos, dependendo do tipo de guindaste, carga e graus de liberdade.
2.3. Tipos de guindastes
A seguir são apresentados os tipos de guindastes mais difundidos atualmente na
indústria:
2.3.1. Ponte Rolante
Consiste em um sistema de vigas bi-apoiadas em suas extremidades que suporta
um guincho que pode se movimentar ao longo dessas vigas. A viga também pode se
movimentar se estiver apoiada sobre trilhos. A elevação da carga é feita por cabos de
aço e acionada através de motores elétricos.
7
Figura 4 - Ponte Rolante (Fonte:<http://www.classiwebgratis.com.br/image/42193.jpg>)
Número de graus de liberdade: duas ou três translações.
Principais aplicações: transporte de contêineres dentro de galpões ou pátios
industriais.
Acionamento: elétrico.
2.3.2. Grua
Muito utilizada na construção civil, a grua é constituída de uma base ou mastro,
uma unidade giratória posicionada no topo desse mastro, e uma lança, sendo que
suporta a carga em sua extremidade maior e o contrapeso em sua extremidade menor.
Figura 5 - Guindaste de Torre
(Fonte:<http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/imagem.php?idImagem=271>)
Número de graus de liberdade: uma rotação e duas translações.
8
Principais aplicações: construção civil.
Acionamento: elétrico.
2.3.3. Level Luffing
Por sua grande versatilidade, capacidade de carga e espaço de trabalho, Level
Luffing é o sistema de elevação de carga mais utilizado industrialmente. Seu mecanismo
possibilita alcançar regiões afastadas de sua base.
Figura 6 – Level Luffing (Fonte:<http://www.shi.co.jp/shi-mh/english/product/jibcrane.html>)
Número de graus de liberdade: três rotações e uma translação.
Principais aplicações: construção naval, mineração e manobras portuárias.
Acionamento: hidráulico e elétrico.
2.3.4. Guindastes Móveis
São guindastes equipados em veículos de diversos tipos, como tratores,
caminhões, navios e balsas. Podem se locomover em áreas urbanas, fora-de-estrada ou
no mar. Têm a vantagem de não ser necessário montar uma estrutura fixa no local de
operação, podendo ser utilizado em diversos locais diferentes durante sua vida útil.
9
Figura 7 – Balsa grua
(Fonte:<http://img.diytrade.com/cdimg/1720677/24681283/0/1329464459/sheerleg_floating_crane_b
arge_for_sale_rent.jpg>)
2.3.5. Guindaste Telescópico
Muito utilizado em pequenas e médias embarcações, esse manipulador é
geralmente empregado em manobras de apoio offshore. Possui uma lança telescópica
que permite ampliar seu espaço de trabalho.
Figura 8 - Guindaste Telescópico (Fonte:<http://ebe-
cms.s3.amazonaws.com/energiahoje/photo_static/300x176/2013/09/25/palfinger.jpg>)
Número de graus de liberdade: duas rotações e duas translações.
Principais aplicações: trabalhos de resgate, carregamento de navios e
plataformas.
Acionamento: hidráulico e elétrico.
10
2.3.6. Guindaste Articulado Antropomórfico
Também utilizado em operações offshore, é um guindaste com maior
versatilidade que o guindaste telescópico, e possui diversos tamanhos de acordo com
sua aplicabilidade e tipo de carga. Sua geometria permite um amplo espaço de trabalho.
Figura 9 - Guindaste Articulado
(Fonte:<http://www.maritimejournal.com/__data/assets/image/0006/789783/MJJan13DELG-
Palfinger.jpg>)
Número de graus de liberdade: três rotações e uma translação.
Principais aplicações: carregamento offshore e escavadeiras.
Acionamento: hidráulico e elétrico.
2.4. Tipos de acionamento
Os acionadores dos mecanismos de elevação determinam o desempenho
dinâmico do sistema, ou seja, as velocidades e forças presentes. Esses atuadores podem
ser divididos da seguinte forma:
2.4.1. Hidráulico
É dominantemente utilizado em máquinas de grande porte onde altas
velocidades e forças são requeridas. Infelizmente, possui elevados custos devido a
elementos de controle e pressurização do fluido, e fabricação (necessidade de
11
tolerâncias dimensionais apertadas). Além disso, pode apresentar sérios problemas de
vazamento de fluidos e desgaste nos motores hidráulicos.
2.4.2. Elétrico
É dispositivo que proporciona velocidades e forças menores quando comparado
com o acionamento hidráulico, entretanto apresenta altíssima precisão e desempenho
quando solicitado repetidamente. É equipado com motores de passo ou servo-motores e
possui grande aplicabilidade em serviços de montagem.
2.4.3. Pneumático
Utilizado em sistemas com poucos graus de liberdade, esse dispositivo oferece
altas velocidades e baixas forças para o manipulador. É também muito utilizado em
tarefas simples com apenas duas posições bem definidas, que são chamadas de
operações “pega-e-põe”. É acionamento atrelado a baixos custo e precisão de operação.
Seu fluido de operação é o ar que é facilmente comprimido.
12
3. Modelagem
Este capítulo abrange toda a teoria necessária para a compreensão do problema
abordado no capítulo seguinte. Com tal finalidade, será utilizado um mecanismo
antropomórfico com três graus de liberdade que representa a estrutura rígida de um
guindaste articulado afim de simplificar e exemplificar os resultados simbólicos. O
atrito nas juntas, assim como os intempéries, serão considerados desprezíveis em todos
os casos.
Figura 10 - Vista isométrica do mecanismo
O objetivo desta parte é apresentar as modelagens cinemáticas e dinâmicas
presentes em todos dispositivos manipuladores de carga.
3.1. Cinemática
Cinemática é o campo da mecânica responsável por descrever o movimento dos
corpos sem correlacioná-los com suas causas. As posições, velocidades e acelerações,
sejam lineares ou angulares são descritas a partir da geometria do sistema.
13
3.1.1. Cinemática direta
A cinemática direta é responsável pela determinação da posição de um ponto em
um corpo a partir de parâmetros de entrada como ângulos e comprimentos.
3.1.1.1. Sistema de coordenadas e referenciais
Para descrever o movimento de uma partícula é necessário que se defina um
sistema de referência, no qual os vetores de posição, velocidade e aceleração, bem como
os de força possam ser representados [1]. Toda a representação matemática dos
movimentos é, então, baseada em vetores unitários e este sistema de referência ou base
vetorial com origem predefinida pode ser inercial ou móvel.
Com o intuito de facilitar a representação de movimentos mais complexos, são
utilizados sistemas móveis de referência que somados compõem o movimento absoluto.
Figura 11 - Esquema simplificado com localização dos sistemas de referência
14
3.1.1.2. Matrizes de rotação
As rotações de uma base móvel em relação à base inercial, respeitando a regra
da mão direita, apresentam as seguintes matrizes de rotação:
Rotação positiva em torno do eixo x:
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
xR
(3-1)
Rotação positiva em torno do eixo y:
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
yR
(3-2)
Rotação positiva em torno do eixo z:
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
zR
(3-3)
3.1.1.3. Matriz de transformação homogênea
A matriz de transformação de coordenadas é uma matriz dependente do tempo e
é responsável por transformar a representação de um vetor descrito em um dado sistema
em um outro sistema.
O operador n
mT , denominado matriz de transformação homogênea, é uma matriz
4x4 que contém todas as informações sobre a translação e a rotação de um referencial m
em um referencial n. Genericamente é definida pela equação 3-4:
3 3 3 1
0 0 0 1
n n m
mn
m
R PT
(3-4)
onde n
mR e n mP correspondem à matriz de rotação e o vetor posição entre os
referenciais [2].
15
As matrizes de transformação homogênea são obtidas através da multiplicação
das matrizes de rotação e translação entre dois elos consecutivos na ordem em que
ocorrem.
A posição e orientação da extremidade do último elo rígido do guindaste é
obtida através da matriz de transformação homogênea 0T3:
0 0 1 2
3 1 2 3. . T T T T (3-5)
3.1.1.4. Equações cinemáticas
As matrizes de transformação são apresentadas abaixo:
1 1
1 10
11
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1
0 0 0 1
TL
(3-6)
2 2 2 2
1
22 2 2 2
1 0 0 0
0 cos sin cos
0 sin cos sin
0 0 0 1
LT
L
(3-7)
3 3 3 3
2
33 3 3 3
1 0 0 0
0 cos sin cos
0 sin cos sin
0 0 0 1
LT
L
(3-8)
Para auxiliar na formatação do texto, a seguinte simbologia é definida: 1cos( ) ,
1sin , 2 3cos são representados respectivamente por 1C ,
1S e 23C , por
exemplo.
Portanto a matriz de transformação homogênea do sistema com três graus de
liberdade analisado é apresentada pela equação 3-9:
16
1 23 1 23 1 1 3 23 2 2
1 23 1 23 1 1 3 23 2 2
23 23 1 3 2
0
3
3 2 20
0 0 0 1
C C S S S S L C L C
S C C S C C L C L C
S C L L S L ST
(3-9)
Através do conceito previamente definido na equação 3-4, verifica-se que o
vetor posição é dado pela equação 3-10:
1 3 23 2 2
1 3 23 2 2
1 3
0
23 2
3
2
S L C L C
C L C L C
L L S L S
P
(3-10)
3.1.2. Cinemática inversa
A cinemática inversa possibilita a determinação dos ângulos das juntas do
manipulador através da trajetória parametrizada λ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Essa
parametrização é apresentada a seguir:
1 3 23 2 2
1 3 23 2 2
1 3 23 2 2
x(t)
y(t)
z(t)
S L C L C
C L C L C
L L S L S
(3-11)
Determinação de 1 :
Para determinar 1 é utilizado um procedimento matemático em que o resultado
é expresso apenas em função de 1 :
1 3 23 2 2
1 3 2
1
3 2 2
1
1
x(t) x
y(t) y
S L C L C
C L Ctg tg
L C
(3-12)
17
Determinação de 2 :
Para determinar 2 deseja-se obter apenas equações que dependam de
2 e 1 que
fora determinado no procedimento acima. Segue abaixo o desenvolvimento matemático:
1 3 23 2 2
1 3 23 2 2
2 2 3 2 3
1
1 2 2 3 2 3
( ) cos coscos
z(t) sin sin
yy t L L
z
C L C L C
L L S LL LS L
(3-13)
Os termos acima são elevados ao quadrado e somados resultando na equação abaixo:
2
2 2 2 22 23 2 1 1 2 2 1 2 22
1 1
2 cos2 2 sin 2 sin
cos cos
yLyL L z L zL zL L L
(3-14)
Rearranjando na forma:
2 2cos sin 0 (3-15)
2
1
1 2 2
22 2 2 2
2 1 1 32
1
Onde,
2
cos
2 2
2cos
yL
L L zL
yL z L zL L
Afim de isolar 2sin , tem-se os seguintes procedimentos:
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
cos sin
cos sin 2 sin
1 sin sin 2 sin
sin 2 sin 0
(3-16)
2 2 2 2 2 2
2 2 2sin
(3-17)
O termo 2cos é obtido analogamente:
18
2 2 2 2 2 2
2 2 2cos
(3-18)
Como,
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 22
sin
costg
(3-19)
Então:
2 2 2 2 2 2
1
22 2 2 2 2 2
tg
(3-20)
Determinação de 3 :
As equações a seguir são utilizadas para encontrar 3 , uma vez que
2 já foi
determinado:
1 3 23 2 2
1 3 23 2 2
( )
z(t)
C L C L C
L L S L S
y t
(3-21)
Rearrumando os termos
2 2
12 3
3
1 2 22 3
3
coscos
cos
sinsin
yL
L
z L L
L
(3-22)
Logo,
1 1 2 2
3 2
2 2
1
sin
coscos
z L Ltg
yL
(3-23)
19
3.1.3. Espaço de trabalho
O espaço de trabalho de um manipulador é todo o conjunto de pontos possíveis
de serem alcançados pelo seu efetuador. Para determiná-lo, é necessário saber os
comprimentos dos elos e as variações angulares das juntas.
3.2. Dinâmica
A dinâmica é responsável por estudar os efeitos que as forças e torques causam
no movimento de um corpo.
3.2.1. Movimento dos elos de um manipulador
Um manipulador é uma cadeia de corpos, denominados de elos, na qual cada um
é capaz de se movimentar em relação aos seus vizinhos.
3.2.2. Velocidade angular entre elos
A velocidade angular de cada elo é dada em relação ao elo imediatamente
anterior. A notação utilizada por i
j representa a velocidade angular do corpo j em
relação ao corpo i.
Tem-se então que:
2 3
0 1 1 2 2 3
1
0
0 ; 0 ; 0
0 0
(3-24)
Logo,
1 2
0 2 0 1 1 2 0
1 2
1
1 0 1 2
1 SR
C
(3-25)
20
1 2 1
0 3 0 1 1 2
3
1 2 1
2 3 2 3
1
3
0 0 2
2
C C
SR S
(3-26)
As velocidades angulares encontradas abaixo representam a velocidade da i-
ésima junta no referencial i e serão usadas mais adiante no cálculo das energias cinéticas
dos elos, com o intuito de determinar o Lagrangeano.
0
0
i i i iR (3-27)
Portanto,
1 1
1
0
0
(3-28)
2 2
1 2 1 2
2 2
2 1
2 1
C +S
S
C
(3-29)
1 1 2 1 3 1 1 2 1 3
1 2 1 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 3 2 1
1 2 1 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2
3 3
3 1
C C C S S S
C C S S S C C S C S S C C C S S C S C S
C C C S S C S S C C S C C S S S C C S S
(3-30)
21
3.2.3. Matriz Jacobiana
A Matriz Jacobiana é definida como a matriz composta por derivadas parciais de
primeira ordem de uma função vetorial. Basta que suas derivadas parciais existam para
que a Matriz Jacobiana exista.
O número de linhas da Matriz Jacobiana de dado pelo número de graus de
liberdade do sistema e o número de colunas é igual ao número de juntas do manipulador
[3]. A Jacobiana é uma matriz quadrada de dimensão nxn:
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
nF
n n n
n
F F F
q q q
F F F
q q qJ
F F F
q q q
(3-31)
Onde F é uma função diferenciável em relação à q1, q2, ..., qn.
Segue abaixo o resultado das Matrizes Jacobianas de cada elo, onde cg é o
centro de massa de cada elo:
0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
GJ
(3-32)
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 1 2
2
2
0
2
0
0
0 0
G
cg C C cg S S
cg C S cg C S
c
J
g C
(3-33)
1 3 23 2 2 1 3 23 2 2 3 23 1
1
0 3
3 23 2 2 1 3 23 2 2 3 23 1
3 23 2 2 3 23
0̀
G
C cg C L C S cg S L S cg S S
S cg C L C C cg S L S cg S C
cg C L C cg C
J
(3-34)
Com base na cinemática direta, a posição e orientação na ponta do
guindaste é função dos ângulos de entrada de cada junta do sistema. É sabido também
que o vetor velocidade na ponta do guindaste nada mais é que a derivada do vetor
22
posição no mesmo ponto. As velocidades cartesianas da ponta do guindaste são dadas
por:
V P J (3-35)
Portanto, de acordo com a equação 3-35, o vetor velocidade do centro de massa de cada
elo é dada por:
0 1
0
0
0
GV
(3-36)
2 1 2 2 2 1 2 1
2 2 1 1 2 1 2 2
2 2 2
0 2G
cg S S cg C C
cg C S cg C S
cg
V
C
(3-37)
1 3 23 2 2 2 1 3 23 2 2 1 3 23 1 3
1 3 23 2 2 1 1 3 23 2 2 2 3 23 1 3
0 3
3 23 2 2 2 3 23 3
G
S cg S L S C cg C L C cg S S
S cg C L C C cg S L S cg S C
cg C L C cg C
V
(3-38)
A velocidade e a aceleração do centro de massa do primeiro elo são iguais a zero
uma vez que não existe variação da posição no tempo.
Caso o vetor velocidade V seja conhecido, é possível determinar o vetor
velocidade angular através da manipulação matemática:
1J V (3-39)
Esses valores de serão fundamentais para a implementação de um sistema de controle
para o manipulador, caso seja de interesse.
3.2.4. Aceleração angular
A aceleração cartesiana de um ponto definido do manipulador em relação ao
inercial é composta por parcelas de aceleração relativa, normal, tangencial, e de
Coriolis. Pode ser escrita usando o Jacobiano da seguinte forma:
23
P J J (3-40)
Vetorialmente, a aceleração angular das juntas é dada por:
1( )J P J (3-41)
Para o cálculo de P é necessário a determinação da derivada do Jacobiano J .
Os elementos de J dependem unicamente das posições angulares,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
J J J
J J J J
J J J
(3-42)
Logo J é dado por:
11 11 11
1 2 3
21 21 21
1 2 3
31 31 31
1 2 3
12 12 12
1 2 3
22 22 22
1 2 3
32 32 32
1 2 3
13 13 13
1 2 3
23 23
1 2
J J J
J J J
J J J
J J J
J J JJ
J J J
J J J
J J
23
3
33 33 33
1 2 3
J
J J J
(3-43)
Os resultados simbólicos de J são apresentados no apêndice A.
Portanto, de acordo com a equação 3-40, o vetor aceleração do centro de massa
de cada elo é dada por:
24
0 1
0
0
0
GA
(3-44)
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
0 2G
cg C S cg C S cg C S cg C S cg C C cg S S
cg S S cg C C cg C C cg S S cg C S cg C S
cg C cg S
A
(3-45)
0 3GA B
C
A
(3-46)
Onde,
A = S1(cg3C23+L2C2) 1+S1(cg3C23+L2C2) 2+C1(cg3S23+L2S2) 1+C1(cg3S23+L2S2) 2-
C1(cg3C23+L2C2) 1 +S1(cg3S23+L2S2) 2+cg3S23C1 1+cg3C23S1 2+2cg3C23S1
3+cg3S23C1 3+cg3S23S1 3
B = S1(cg3S23+L2S2) 1-C1(cg3C23+L2C2) 2-C1(cg3C23+L2C2) 1+S1(cg3S23+L2S2) 2-
S1(cg3C23+L2C2) 1 -C1(cg3S23+L2S2) 2-cg3C23C1 2-2cg3C23C1 3+cg3S23S1
1+cg3S23S1 3-cg3S23C1 3
C = (cg3C23+L2C2) 2-(cg3S23+L2S2) 2-cg3S23 2-2cg3S23 3+cg3C23 3
25
3.3. Dinâmica de manipuladores
As equações de movimento serão obtidas pelo método de Lagrange, e utilizadas
para relacionar os movimentos dos corpos com as forças e torques aplicados no sistema.
Tensor de Inércia, Energia Cinética e Energia Potencial são conceitos essenciais para o
desenvolvimento dessa teoria.
3.3.1. Distribuição de massa
Para um corpo rígido livre para se mover nas três dimensões, existem infinitas
possibilidades de eixos de rotação. O tensor de inércia pode ser considerado como uma
generalização do momento de inércia escalar de um objeto e mede a distribuição de
massa deste objeto em torno de um eixo de rotação [3].
O tensor de inércia de um determinado ponto P de um corpo rígido em um
determinado referencial i, que pode pertencer ou não ao corpo, é uma matriz 3x3 cuja
principal propriedade é ser uma matriz simétrica, dada por:
P i
Ixx Ixy Ixz
I Ixy Iyy Iyz
Ixz Iyz Izz
(3-47)
Onde os elementos escalares são:
2 2
2 2
2 2
( )
(x )
(x )
xxV
yyV
zzV
xyV
xzV
yzV
I y z d
I z d
I y d
I xy d
I xz d
I yz d
(3-48)
Para um elemento infinitesimal de volume d , e densidade do material ρ. Os
elementos Ixx, Iyy e Izz são chamados de momentos de inércia e os demais são chamados
de produtos de inércia.
26
Os tensores de inércia simbólicos dos elos 1, 2 e 3, respectivamente, são
apresentados a seguir:
1
1|11 1|12 1|13
1
1|21 1|22 1|23
1|31 1|32 1|33
G
I I I
I I I I
I I I
(3-49)
2
2|11 2|12 2|13
2
2|21 2|22 2|23
2|31 2|32 2|33
G
I I I
I I I I
I I I
(3-50)
3
3|11 3|12 3|13
3
3|21 3|22 3|23
3|31 3|32 3|33
G
I I I
I I I I
I I I
(3-51)
3.3.2. Energia cinética
A energia cinética de um elo pertencente a um manipulador é composta pela
energia cinética de rotação e energia cinética de translação. A soma das energias
cinéticas de cada elo no referencial inercial compõe a energia cinética total do
manipulador, denotada por T .
( )i icr ctT E E (3-52)
Para o i-ésimo elo, tem-se que a energia cinética de rotação é dada por
1
( ) ( )2
i
i
Gi i T i i i
crE I (3-53)
Onde, iG iI é o tensor de inércia do elo i obtido no centro de massa do objeto.
A energia cinética de translação é dada por
0 01
( ) ( )2
i i
i
G GT
ct iE m P P (3-54)
Onde, im é a massa e 0 iGP a velocidade linear do centro de massa do elo i.
27
Logo, a energia cinética total do sistema é:
T = (1/2)m2(cg2C2S1 1 + cg2C1S2 2 )2
+ (1/2)m2(cg2C1C2 1 - cg2S1S2 2 )2
+
(1/2)m3((cg3C23 + L2C2) 2 + cg3C23 3 )2
+ 2 C12
+ 2 S12)(I2|11((1/2)
2 C12
+ (1/2)2 S1
2) +
(1/2)I2|31C2 1 + (1/2)I2|21S2 1 ) + ((C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (C1S2S3 - C1C2C3)(S1
2 + S1 3 ) + (C2S3 + C3S2) 1 )(I3|12((1/2)C1(C1 2 + C1 3 ) + (1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) +
I3|22((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 - C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) +
(1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|32((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2) - (1/2)(C1C2S3 +
C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + ((C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2) -
(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (C2C3 - S2S3) 1 )(I3|13((1/2)C1(C1 2 + C1 3 ) +
(1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) + I3|23((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 -
C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|33((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2)
- (1/2)(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + (1/2)m3(S1(cg3C23 +
L2C2) 1 + C1(cg3S23 + L2S2) 2 + cg3S23C1 3 )2 + (1/2)m3(S1(cg3S23 + L2S2) 2 - C1(cg3C23 +
L2C2) 1 + cg3S23S1 3 )2
+ (C1(C1 2 + C1 3 ) + S1(S1 2 + S1 3 ))(I3|11((1/2)C1(C1 2 + C1 3 )
+ (1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) + I3|21((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 -
C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|31((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2)
- (1/2)(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + (1/2)I1|33 12
+ C2 1
(I2|13((1/2)2 C1
2 + (1/2)
2 S12) + (1/2)I2|33C2 1 + (1/2)I2|23S2 1 ) + S2 1 (I2|12((1/2)
2 C12
+
(1/2)2 S1
2) + (1/2)I2|32C2 1 + (1/2)I2|22S2 1 ) + (1/2)cg2
2m2C2
22
2
3.3.3. Energia potencial
De forma similar a energia cinética, a soma da energia potencial de cada elo
compõe a energia potencial total do manipulador, denotada por U .
Para o i-ésimo elo, tem-se que a energia potencial é dada por
0( )i
i
G
p iU E m g P (3-55)
Onde, g é o vetor gravitacional.
28
Tem-se:
U = - m2g(L1 + cg2S2) - cg1m1 g- m3g(L1 + cg3(C2S3 + C3S2) + L2S2)
3.3.4. Equações de movimento, método de Lagrange
Para descrever os efeitos dinâmicos no sistema, serão utilizadas as equações de
movimento de Lagrange que são expressas pela equação 3-56:
i
i i
d L L
dt
(3-56)
O Lagrangeano de um sistema mecânico pode ser definido como uma função de
coordenadas generalizadas [4], obtido pela subtração da equação 3-18 e equação 3-21:
L T U (3-57)
Onde i é o torque atuante na junta i, associada à coordenada generalizada
i . Sua
solução é dada em função da posição e suas derivadas no tempo e tem a forma
,i i i i i iM V G (3-58)
29
4. Resultados
A partir da teoria abordada no capítulo anterior, é possível compreender melhor
o problema que será discutido a seguir e elaborar considerações cabíveis visando a
simplificação do mesmo. Trata-se de um guindaste offshore, similar ao apresentado no
capítulo anterior, com três juntas de rotação possíveis de serem controladas, somado a
um cabo de aço, modelado como uma haste rígida, que possui duas juntas de rotação
passivas e uma junta prismática.
Figura 12 - Vista isométrica do Guindaste
Enfim, o objetivo deste trabalho é encontrar os torques atuantes em cada uma
das juntas do manipulador, dada uma determinada trajetória. A partir daí é possível
dimensionar os motores elétricos para acionamentos elétricos, conjuntos de bombas e
pistões para acionamentos hidráulicos e conjuntos de compressores e pistões para
acionamentos pneumáticos. Esses dados também possibilitam os cálculos estruturais
dos elos do mecanismo. Segue abaixo o esquema com o sistema de referências do
guindaste:
30
Figura 13 - Esquema simplificado com localização dos sistemas de referência
A seguir serão fornecidas informações importantes sobre cada um dos elos para
o desenvolvimento matemático. Todos os desenhos computacionais deste trabalho
foram desenvolvidos em Solidworks®
.
4.1. Propriedades dos elos do mecanismo
4.1.1. Propriedades do elo 1
Figura 14 - Vista isométrica do elo 1
31
O elo 1 possui movimento de rotação em torno do seu eixo principal, o eixo Z.
Os materiais empregados na sua fabricação, em geral, são chapas que medem entre uma
e duas polegadas de espessura de um aço de baixo/médio teor de carbono, que no caso
foi considerado como AISI-1020.
Tabela 4-1 - Propriedades do elo 1
Comprimento [m] Massa [kg] Posição do centro de massa [m]
20 135486 0 0 11
Tensor de Inércia* 2kg m :
4807033
400495 42679
42679 4
0
7
0
9
0
0 9052
* Obtido no centro de massa do elo.
4.1.2. Propriedades do elo 2
Figura 15 - Vista isométrica do elo 2
32
O elo 2 possui movimento de rotação em um eixo perpendicular ao seu eixo
principal, o eixo X. Seu material foi considerado o aço carbono AISI-1020.
Tabela 4-2 - Propriedades do elo 2
Comprimento [m] Massa [kg] Posição do centro de massa [m]
29 94820 0 13 1,5
Tensor de Inércia* 2kg m :
0 0
0
0
5474501
5408845 436659
436659 160987
* Obtido no centro de massa do elo.
4.1.3. Propriedades do elo 3
Figura 16 - Vista isométrica do elo 3
O elo 3 possui movimento de rotação em um eixo perpendicular ao seu eixo
principal, o eixo X. Seu material foi considerado o aço carbono AISI-1020.
33
Tabela 4-3 - Propriedades do elo 3
Comprimento [m] Massa [kg] Posição do centro de massa [m]
18 43266 0 9 1
Tensor de Inércia* 2kg m :
1410748
1397817 92970
92970 36345
0 0
0
0
* Obtido no centro de massa do elo.
4.1.4. Propriedades do elo 4
Figura 17 - Vista isométrica do elo 4
O elo 4 representa o cabo de aço com uma carga transportada na ponta. O cabo
de aço, modelado como uma haste rígida, permite um movimento de translação na
direção de seu eixo principal, o eixo Z. A massa do cabo de aço foi desprezada diante da
massa da carga e o material considerado do conjunto foi o aço carbono AISI-1020.
34
Tabela 1-4 - Propriedades do elo 4
Comprimento [m] Massa [kg] Posição do centro de massa [m]
L 15000 0 0 L
Tensor de Inércia* 2kg m :
3700
3700 0
0 3
0 0
0
0 700
* Obtido no centro de massa do elo.
4.2. Restrições e considerações
A seguir foram impostas algumas restrições e considerações de modo a
simplificar a solução do problema abordado.
Figura 18 - Extremidade do Guindaste - Adaptado de (Fonte:<https://www.palfinger.com/bra/-
/media/Global/Background%20Images/Marine/palfinger_offshore_action_1900x1200px.jpg?la=pt-
BR>)
Uma restrição cinemática adotada, que está exemplificada na figura
acima, na qual a rotação no eixo do cabo de aço é impedida por meio da utilização de
um cabo de aço auxiliar. Portanto, a torção na direção do cabo de aço é desconsiderada.
35
Outra consideração imposta no problema é que o cabo de aço esteja sempre
vertical nos modelos cinemáticos. Para isso, duas restrições foram impostas: 4 2 3
e 5 0 .
4.3. Resultados - Cinemática direta
A posição e orientação do centro de massa da carga localizada na ponta do cabo
de aço é obtida através da matriz de transformação homogênea a seguir:
0 0 1 2 3 4 5
6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T (4-1)
As matrizes de transformação são apresentadas abaixo:
1 1
1 10
11
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1
0 0 0 1
TL
(4-2)
2 2 2 2
1
22 2 2 2
1 0 0 0
0 cos sin cos
0 sin cos sin
0 0 0 1
LT
L
(4-3)
3 3 3 3
2
33 3 3 3
1 0 0 0
0 cos sin cos
0 sin cos sin
0 0 0 1
LT
L
(4-4)
4 4
3
44 4
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
T
(4-5)
5 5
4
55 5
cos 0 sin 0
0 1 0 0
sin 0 cos 0
0 0 0 1
T
(4-6)
36
5
6
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0 0 0 1
TL
(4-7)
Portanto, o resultado simbólico é:
0
6
0 0 0 1
A B C J
D E F KT
G H I L
(4-8)
1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1
23 1 2 3 2 3 1 23 2 1 3 3 1 2
1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1
5 1 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3
23 1 2 3 1 2 3 23 1 2 3
O d
n e,
C C S C C S S C S S S S S S C C S
B C S S S C C S S C S S C S S
C C S C C C S S C S S S S S S C C S
D C S S C C C S C C S S C C C C S S
E C C C C C S S S C C C
A
S
1 3 2
1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3
5 23 2 3 2 3 2 3 3 2
23 2 3 2 3 2 3 3 2
5 23 2 3 2 3 2 3 3 2
3 1 2 3 2 3 1 1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2
23
23
23
3 1 2 2 1
C S
F S S C C C C S C C S S C C C C S S
G S C C C S S S C S C S
H S C C S S C C S C S
I C C C C S S S C S C S
J L S S S C C S L C S C C C S S C S S S S S S C C S L C S
3 1 2 3 1 2 3 1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3 2 1 2
1 3 2 3 3 2 2 2 5 23 2 3 2 3 23 2 3 3 2
K L C C C C S S L S S C C C C S C C S S C C C C S S L C C
L L L C S C S L S LC C C C S S C S C SS
O vetor posição simbólico, no referencial inercial, é dado pela equação 3-67:
3 1 2 3 2 3 1 1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1 2 2 1
3 1 2 3 1 2 3 1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3 2 1 2
1 3 2 3 3 2 2 2 5 23 2 3 2 3
0 6
23 2 3 3 2
L S S S C C S L C S C C C S S C S S S S S S C C S L C S
L C C C C S S L S S C C C C S C C S S C C C C S S L C C
L L C S C S L S L
P
SC C C C S S C S C S
(4-9)
37
4.3.1. Espaço de trabalho
Uma vez que os comprimentos dos elos são conhecidos e as variações angulares
das juntas são dadas a seguir, o espaço de trabalho está representado abaixo.
.
1
2
2
90º 90º
0 45º
180º 90º
0m L 27m
Figura 19 - Vista isométrica do espaço de trabalho
Verificam-se a seguir algumas simulações no MATLAB®
que ilustram o
resultado obtido acima, onde os graus de liberdade controlados serão variados dentro de
um intervalo.
38
4.3.2. Cinemática direta - Exemplo 1
Neste exemplo da cinemática direta, apenas a primeira junta executa um
movimento de rotação no eixo Z, dado o seguinte intervalo:
190º 90º
Figura 20 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 1
A linha representa a trajetória da carga durante a execução do movimento de
rotação da junta 1.
39
4.3.3. Cinemática direta - Exemplo 2
Agora, apenas a segunda junta executa um movimento de rotação no eixo X,
dado o seguinte intervalo:
20º 45º
Figura 21 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 2
A linha representa a trajetória da carga durante a execução do movimento de
rotação da junta 2, com o elo 3 completamente retraído conforme a figura 10.
40
4.3.4. Cinemática direta - Exemplo 3
Já neste exemplo, apenas a terceira junta executa um movimento de rotação no
eixo X, dado o seguinte intervalo:
3180º 90º
Figura 22 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 3
A linha representa a trajetória da carga durante a execução do movimento de
rotação da junta 3.
41
4.3.5. Cinemática direta - Exemplo 4
Neste exemplo, apenas a junta prismática executa um movimento de translação
na direção Z, dado o seguinte intervalo:
0 23m L m
Figura 23 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 4
A linha representa a trajetória da carga durante a execução do movimento de
translação da junta prismática, que representa a retração do cabo de aço na ponta do
guindaste.
42
4.3.6. Cinemática direta - Exemplo 5
No último exemplo da cinemática direta, existe um movimento combinado de
rotações e translação, dado os seguintes intervalos:
1
2
0º 65º
0º 40º
4,4m L 5,6m
Figura 24 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 5
Figura 25 - Plano X-Y Cinemática direta - exemplo 5
43
Figura 26 - Plano Y-Z Cinemática direta - exemplo 5
Figura 27 - Plano X-Z Cinemática direta - exemplo 5
A linha representa trajetória da carga durante a combinação de movimento de
rotação das juntas 1 e 2 e translação da junta prismática.
44
4.4. Resultados - Cinemática inversa e dinâmica
A partir de uma dada trajetória, deseja-se encontrar as variações angulares em
cada junta do sistema. Nesta parte do trabalho, o comprimento do cabo de aço será
considerado constante, de valor L. Após uma análise geométrica do problema, o vetor
posição da carga é dado por:
1 2 23
1 2 23
1
2 3
2
2 2 3 23
3
C C C
S C C
L L S S
L L
L L
L L
(4-10)
Utilizando o mesmo método apresentado no capítulo 3.1.2, referente à
cinemática inversa, 1 , 2 e 3 são obtidos. As velocidades e acelerações angulares são
obtidas a partir da derivada das posições angulares, no tempo.
1
1
Ytg
X
(4-11)
2 2 2 2 2 2
1
22 2 2 2 2 2
BC B C A B C Atg
AC A C A B C B
(4-12)
1 2 21
3 2
2 2
1
sin
coscos
Z L L Ltg
XL
(4-13)
2
1
1 2 2
222 2 2
1 1 2 32
1
Onde,
2
cos
2 2
2cos
XLA
B L L L ZL
XC Z L L Z L L L L
45
A seguir serão apresentadas algumas simulações no MATLAB®
onde se deseja
encontrar os torques atuantes nas juntas para determinadas trajetórias.
4.4.1. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 1
Foi definida uma trajetória de deslocamento horizontal da carga ao longo do
eixo Y. Sua parametrização é dada por:
0 18
( ) 0
( ) 10 sin 253
( ) 10
t
X t
tY t
Z t
Figura 28 - Vista isométrica da trajetória
Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção
de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.
46
0,5t s
5,0t s
10,0t s
16,0t s
Os ângulos das juntas, assim como suas velocidades e acelerações angulares, são
apresentados nos seguintes gráficos:
47
Figura 29 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 1
Os torques atuantes nas juntas para a trajetória do exemplo 1 são dados por:
Figura 30 - Torques nas juntas - exemplo 1
48
Verifica-se que o torque na junta 1 é constante e igual a zero, uma vez que esta
mantém-se fixa ao longo de todo procedimento. O torque máximo na junta 2 tem o
módulo de aproximadamente 72,9 10 Nm e apresenta uma queda neste valor a medida
que a carga aproxima-se da base do guindaste. Já na junta 3, o torque é próximo de
65 10 Nm no instante em que a linha de força de atuação da carga e o elo 3 se
aproximam de uma configuração perpendicular.
4.4.2. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 2
Foi definida uma outra trajetória de deslocamento horizontal da carga, agora ao
longo do eixo X. Sua parametrização é dada por:
0 20
( ) 12 sin3
( ) 20
( ) 10
t
tX t
Y t
Z t
Figura 31 - Vista isométrica da trajetória
49
Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção
de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.
0,0t s
5,0t s
10,0t s
14,5t s
Os ângulos das juntas, assim como suas velocidades e acelerações angulares, são
apresentados nos seguintes gráficos:
50
Figura 32 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 2
Os torques atuantes nas juntas para a trajetória do exemplo 2 são dados por:
Figura 33 - Torques nas juntas - exemplo 2
51
Verifica-se que o módulo do torque na junta 1 é aproximadamente 63 10 Nm e
varia quando a junta 1 é acelerada e desacelerada de modo a cumprir a trajetória
imposta. O torque máximo na junta 2 tem o módulo de aproximadamente 72,5 10 Nm e
na junta 3, 65 10 Nm, dadas as justificativas do exemplo anterior.
4.4.3. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 3
A trajetória fechada definida para o exemplo 2 é uma elipse no plano X-Y, cuja
trajetória parametrizada é:
0 20
( ) 12 cos3
( ) 9 sin 233
( ) 10
t
tX t
tY t
Z t
Figura 34 - Vista isométrica da trajetória
52
Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção
de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.
4,5t s
10,0t s
14,5t s
20,0t s
As posições angulares, velocidades angulares e acelerações angulares foram
plotadas para a situação abordada.
53
Figura 35 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 3
Para tal situação, o gráfico dos torques é:
Figura 36 - Torques nas juntas - exemplo 3
54
Os torques máximos nas juntas 1 e 3 são aproximadamente 65 10 Nm. O torque
máximo na junta 2 tem o módulo de 72,8 10 Nm.
4.4.4. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 4
A trajetória representada por uma Leminiscata é fechada e possui interseção no
ponto central, parametrizada por:
0 20
( ) 12 cos9
2( ) 8 sin 239
( ) 5
t
tX t
tY t
Z t
Figura 37 - Vista isométrica da trajetória
Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção
de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.
55
0,0t s
4,0t s
7,5t s
10,5t s
14,5t s
16,0t s
56
Para esse caso a variação angular da posição e suas derivadas são:
Figura 38 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 4
Os torques obtidos para essa trajetória são:
Figura 39 - Torques nas juntas - exemplo 4
57
O torque máximo na junta 1 é aproximadamente 69 10 Nm. Enquanto o torque
máximo na junta 2 tem o módulo em torno de 73 10 Nm. Já o torque máximo na junta
3 é próximo de 65 10 Nm.
4.4.5. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 5
A última trajetória analisada é uma elipse helicoidal parametrizada por:
0 12
( ) 6
( ) 8 cos( ) 23
( ) 4 sin( ) 10
t
X t t
Y t t
Z t t
Figura 40 - Vista isométrica da trajetória
58
Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção
de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.
0,0t s
4,0t s
8,0t s
9,5t s
59
A seguir, os gráficos das posições velocidades e acelerações angulares:
Figura 41 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 5
60
Por fim, segue o gráfico dos torques deste último exemplo:
Figura 42 - Torques nas juntas - exemplo 5
Para o exemplo 5, verifica-se que o torque máximo na junta 1 é
aproximadamente 65 10 Nm. O torque máximo na junta 2 tem o módulo em torno de
74,1 10 Nm. Já o torque máximo na junta 3 é próximo de 68 10 Nm.
Uma vez que os comprimentos dos elos, os pontos de fixação dos pistões e os
torques máximos são conhecidos, é possível determinar todos os esforços atuantes em
cada um dos elos e assim dimensioná-los estruturalmente.
Diante dos resultados obtidos em todos os exemplos acima, os módulos dos
torques máximos nas juntas 1, 2 e 3 são respectivamente 69 10 Nm,
74,1 10 Nm e
68 10 Nm.
A variação da distância entre a linha de atuação da força de reação no ponto de
fixação do pistão e o ponto de articulação pode ser desprezada ao ser comparada com o
61
comprimento do elo. Então é assumido que as forças de reação são proporcionais
somente ao torque.
A partir da equação 4-14, as forças atuantes no sistema são obtidas através dos
torques máximos nas juntas.
F d (4-14)
Abaixo seguem as condições de carregamento e a simulação estrutural de cada
elo, na plataforma Solidworks Simulation®
.
Finalmente, com a determinação dos torques, forças e velocidades angulares
presentes em cada junta, é possível obter a curva de potência mínima necessária para o
acionador e assim fazer a seleção correta do componente. Sejam motores elétricos,
conjuntos compressores/pistões para sistemas pneumáticos, ou bombas/pistões para
sistemas hidráulicos, responsáveis pelas movimentações dos elos do mecanismo.
62
4.5. Simulação de esforços
Para a realização da simulação dos esforços nos elos do guindaste foi utilizado o
software comercial de análise pelo método de elementos finitos Solidworks
Simulation®
. Os elos, simulados separadamente, foram modelados com elementos
tetraédricos com aresta de 200mm e tolerância de 10mm.
A ação dos pistões e elos adjacentes foi incorporada através da aplicação de
forças nas respectivas fixações. Foram impostas restrições radiais para representar os
pinos das articulações. A base do guindaste foi considerada engastada no deck. O
material usado é isotrópico e possui módulo de elasticidade de 205 GPa e coeficiente de
Poisson 0,29. Foi somente considerado o regime elástico na simulação.
As forças são representadas por setas roxas e os engastes e articulações fixas por
setas verdes apontadas para a direção da restrição.
4.5.1. Simulação do elo 1:
Figura 43 - Condições de carregamento do elo 1
63
Figura 44 - Análise de esforços do elo 1
A tensão máxima atuante no elo 1 foi de aproximadamente 287 MPa.
4.5.2. Simulação do elo 2:
Figura 45 - Condições de carregamento do elo 2
Figura 46 - Análise de esforços do elo 2
A tensão máxima atuante no elo 2 foi de aproximadamente 273 MPa.
64
4.5.3. Simulação do elo 3:
Figura 47 - Condições de carregamento do elo 3
Figura 48 - Análise de esforços do elo 3
A tensão máxima atuante no elo 3 foi de aproximadamente 147 MPa.
As deformações foram ampliadas com a intenção de facilitar a visualização das
mesmas. O gradiente de tensões segue a legenda apresentada à direita de cada análise de
esforços, do azul para as tensões mais baixas até o vermelho para as tensões mais altas.
Os resultados das simulações comprovam que os elos não falham
estruturalmente quando solicitados aos carregamentos impostos.
65
5. Conclusões
Este trabalho apresentou as modelagens cinemáticas e dinâmica de um guindaste
articulado do tipo antropomórfico, com três juntas de rotação, durante operações de
transferência de carga por meio de rotinas no MATLAB®
. Cumpre ressaltar que foram
feitas considerações cinemáticas, onde o cabo de aço foi modelado como uma haste
rígida mantida sempre na vertical impedida de girar no próprio eixo afim de facilitar a
desenvolvimento do problema abordado.
As modelagens 3D foram desenvolvidas em Solidwoks®
e suas dimensões foram
aproximadas de desenhos técnicos de um modelo de guindaste usado amplamente no
meio offshore. Foi elaborado modelo teórico para a cinemática direta, no qual foram
obtidas trajetórias para a carga ao se variar os ângulos das juntas ou o comprimento do
cabo de aço. Também foi determinado o espaço de trabalho do manipulador.
Já para a cinemática inversa foi elaborado um modelo onde determinadas
trajetórias foram impostas à carga e então observavam-se as variações angulares das
juntas. A partir daí, foram determinadas as velocidades e acelerações angulares de cada
uma das juntas do manipulador e, por fim, por meio das equações de movimento obtidas
pelo método de Lagrange, foram determinados os torques atuantes no sistema para o
intervalo de tempo analisado.
Com os resultados das simulações feitas no MATLAB®
, é possível obter a
curva de potência necessária para dimensionar o acionador de cada uma das juntas,
assim como os cursos dos pistões e posições das fixações dos mesmos no elo. Também
possibilitou a realização das simulações de tensão dos elos do guindaste no Solidworks
Simulation®
.
Contudo, para a validação destes modelos teóricos, seria necessário um modelo
real, com propriedades semelhantes às abordadas no trabalho. Este modelo real deveria
ser equipado com aparatos capazes de medir posições, acelerações e tensões de cada elo
do sistema. Tais instrumentos podem consistir em potenciômetros, sensores de posição
linear, acelerômetros, extensômetros, etc. Assim, seria possível fazer uma comparação
entre as curvas obtidas no modelo real e no modelo teórico, e então, validá-lo.
66
5.1. Trabalhos futuros
Para futuros trabalhos, torna-se interessante a inclusão dos atritos nas juntas e
ações externas como as dos ventos, no modelo dinâmico. Outra implementação
significativa seria adicionar o mecanismo estudado à um sistema de coordenadas
móveis, como por exemplo, uma embarcação que estivesse sob efeito de ondas.
A grande sugestão é a implantação de um sistema de controle para o
manipulador, o que possibilitaria aumentar a velocidade de operação de maneira segura.
Os dados necessários para tal finalidade já foram determinados.
67
Referências bibliográficas
[1] Santos, I. F. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makorn Books. Primeira Edição.
2001.
[2] Demasi, D. Modelagem Dinâmica e de Controle de um Mecanismo de Três Graus
de Liberdade para Aplicação em um Robô Hexápode. Tese de M.Sc., CEFET/RJ, Rio
de Janeiro, RJ, Brasil, 2012.
[3] Craig, J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control.Addison-Wesley
Longman. Second Edition. 1989.
[4] Siciliano, B., Sciavicco, L. Modelling and control of robot manipulators, Springer.
London. Second Edition. 2002.
[5] Salcedo, I. L. Transferência de carga em operações off-shore. Tese de M.Sc.,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2008.
[6] Tenenbaum, R. Dinâmica Aplicada. Editora Manole, Primeira Edição. 2006.
[7] Meriam, J. B. Dinâmica. LTC Editora. Segunda Edição. 1994.
[8] Hahn, B., Valentine, D. Essential MATLAB®
for Engineers and Scientists. Elsevier.
Third Edition. 2007.
[9] Tavares, R. M. Transporte de cargas com redução de oscilações. Tese de M.Sc.,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2004.
[10] Araújo, L. S. Projeto e controle por realimentação de energia de um protótipo de
ponte rolante para transporte de cargas. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro,
RJ, Brasil, 2004.
68
ANEXO A
Rotinas desenvolvidas no MATLAB®:
%Matriz de rotação em x:
function [s]=Rx(t1)
s=[1 0 0 0; 0 cos(t1) -sin(t1) 0;0 sin(t1) cos(t1) 0; 0 0 0 1];
end
%Matriz de rotação em y:
function [s]=Ry(t1)
s=[cos(t1) 0 sin(t1) 0; 0 1 0 0; -sin(t1) 0 cos(t1) 0; 0 0 0 1];
end
%Matriz de rotação em z:
function [s]=Rz(t1)
s=[cos(t1) -sin(t1) 0 0; sin(t1) cos(t1) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
end
%Matriz de translação em x:
function [s]=Tx(l1)
s=[1 0 0 l1; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
end
%Matriz de translação em y:
function [s]=Ty(l1)
s=[1 0 0 0; 0 1 0 l1; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
end
%Matriz de translação em z:
function [s]=Tz(l1)
s=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 l1; 0 0 0 1];
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Cinemática direta%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
close all;
clear all
clc;
%Variáveis simbólicas:
syms q1 q2 q3 q4 q5 l1 l2 l3 l;
%Restrições:
q5=0;
q4=q2+q3;
%Matrizes de rotação e translação:
T8_9=Tz(-l);
T7_8=Ry(q5);
T6_7=Rx(q4);
T5_6=Ty(l3);
T4_5=Rx(q3);
T3_4=Ty(l2);
T2_3=Rx(q2);
T1_2=Tz(l1);
69
T0_1=Rz(q1);
%Matrizes de transformação homogênea:
T0_2=T0_1*T1_2;
T0_4=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4;
T0_6=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6;
T0_9=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6*T6_7*T7_8*T8_9;
%Vetor posição:
p9=T0_9(1:3,4)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dinâmica%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% close all; clear all clc;
syms q1 q2 q3 q6 l1 l2; l1=20; l2=29; l3=18; q5=0; q4=0; l=0;
T11_12=Ty(l2); T10_11=Tz(l1); T9_10=Rz(q6); T8_9=Tz(-l); T7_8=Ry(q5); T6_7=Rx(q4); T5_6=Ty(l3); T4_5=Rx(q3); T3_4=Ty(l2); T2_3=Rx(q2); T1_2=Tz(l1); T0_1=Rz(q1);
T0_2=T0_1*T1_2; T0_4=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4; T0_6=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6; T0_9=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6*T6_7*T7_8*T8_9; p9=T0_9(1:3,4); T9_12=T9_10*T10_11*T11_12; p12=T9_12(1:3,4);
X=[];Y=[];Z=[]; for i=0:0.07:pi for j=-pi:0.07:-pi/2 for k=0:0.07:pi/4
p9i=subs(p9,q1,i); p9i=subs(p9i,q3,j); p9i=subs(p9i,q2,k); X=[X;p9i(1)]; Y=[Y;p9i(2)]; Z=[Z;p9i(3)]; p9i=p9; end
70
end end figure plot3(X,Y,Z,'r.','LineWidth',0.5) grid on xlabel('X') ylabel('Y') zlabel('Z') hold on
X=[];Y=[];Z=[]; for i=0:0.07:pi for j=0:1.5:20 for k=8:1.5:33.5 p12i=subs(p12,q6,i); p12i=subs(p12i,l1,j); p12i=subs(p12i,l2,k); X=[X;p12i(1)]; Y=[Y;p12i(2)]; Z=[Z;p12i(3)]; p12i=p12; end end end plot3(X,Y,Z,'r.','LineWidth',0.5) grid on hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Cinemática inversa%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
close all;
clear all;
clc
%Parametrização da trajetória:
ti=0;
tf=12;
num=200;
t=linspace(ti,tf,num);
dt=(tf-ti)/num;
n=0;
for i=1:length(t)
X(i)=8*cos(t(i))+23;
Y(i)=-6+t(i);
Z(i)=4*sin(t(i))+10;
%Comprimento dos elos:
L1=20;
L2=29;
L3=18;
L=5;
%th1, th2 e th3:
th1(i)=atan2(Y(i),X(i));
A=-2*(X(i)/cos(th1(i)))*L2;
B=2*(L1-L)*L2-2*Z(i)*L2;
C=((X(i)^2)/(cos(th1(i)))^2)+Z(i)^2+(L1-L)^2+L2^2-2*Z(i)*(L1-L)-
L3^2;
th2(i)=atan2((-B*C+sqrt((B^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-A^2))),(-
A*C+sqrt((A^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-B^2))));
71
th3(i)=-atan2((-Z(i)+L1-L+L2*sin(th2(i))),(X(i)/cos(th1(i))-
L2*cos(th2(i))))-th2(i);
%Representação gráfica dos elos:
P0=[0,0,0];
P1=[0,0,L1];
P3=[(L2*cos(th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i)))*sin(th1(i)),L1+L2*si
n(th2(i))];
P5=[(L2*cos(th2(i))+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i))
+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*sin(th1(i)),L1+L2*sin(th2(i))+L3*sin(th3(i)+th
2(i))];
P6=[(L2*cos(th2(i))+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i))
+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*sin(th1(i)),L1-
L+L2*sin(th2(i))+L3*sin(th3(i)+th2(i))];
figure;
plot3([P0(1),P1(1)],[P0(2),P1(2)],[P0(3),P1(3)],'k-
o','LineWidth',3.5)
hold on
plot3([P1(1),P3(1)],[P1(2),P3(2)],[P1(3),P3(3)],'k-
o','LineWidth',3.5)
hold on
plot3([P3(1),P5(1)],[P3(2),P5(2)],[P3(3),P5(3)],'k-
o','LineWidth',3.5)
hold on
plot3([P5(1),P6(1)],[P5(2),P6(2)],[P5(3),P6(3)],'r-
o','LineWidth',3.5)
hold on
grid on
xlabel('Y[m]')
ylabel('X[m]')
zlabel('Z[m]')
axis ([-5 45 -20 20 -0 40])
%Representação gráfica da trajetória:
Xi=8*cos(t)+23;
Yi=-6+t;
Zi=4*sin(t)+10;
plot3(Xi,Yi,Zi,'b','LineWidth',1)
%contador
n=n+1;
if n==20
close all
n=0;
end
disp(i);
end
for i=1:length(t)-1
th1p(i)=(th1(i+1)-th1(i))/(t(i+1)-t(i));
th2p(i)=(th2(i+1)-th2(i))/(t(i+1)-t(i));
th3p(i)=(th3(i+1)-th3(i))/(t(i+1)-t(i));
end
72
for i=1:length(t)-2
th1pp(i)=(th1p(i+1)-th1p(i))/(t(i+1)-t(i));
th2pp(i)=(th2p(i+1)-th2p(i))/(t(i+1)-t(i));
th3pp(i)=(th3p(i+1)-th3p(i))/(t(i+1)-t(i));
end
%Plotagem de gráficos das juntas:
figure
subplot(3,1,1)
plot(t,th1*180/pi,'b','LineWidth',2)
hold on
plot(t,th2*180/pi,'k','LineWidth',2)
hold on
plot(t,th3*180/pi,'r','LineWidth',2)
hold on
grid on
xlabel('tempo [s]')
ylabel('\theta(t) [º]')
title('Gráfico das juntas')
legend('\theta_1','\theta_2','\theta_3')
subplot(3,1,2)
plot(t(1:num-1),th1p*180/pi,'b','LineWidth',2)
hold on
plot(t(1:num-1),th2p*180/pi,'k','LineWidth',2)
hold on
plot(t(1:num-1),th3p*180/pi,'r','LineWidth',2)
hold on
grid on
xlabel('tempo [s]')
ylabel('d\theta(t) [º/s]')
title('Gráfico das velocidades das juntas')
legend('d\theta_1','d\theta_2','d\theta_3')
subplot(3,1,3)
plot(t(1:num-2),th1pp*180/pi,'b','LineWidth',2)
hold on
plot(t(1:num-2),th2pp*180/pi,'k','LineWidth',2)
hold on
plot(t(1:num-2),th3pp*180/pi,'r','LineWidth',2)
hold on
grid on
xlabel('tempo [s]')
ylabel('dd\theta(t) [º/s²]')
title('Gráfico das acelerações das juntas')
legend('dd\theta_1','dd\theta_2','dd\theta_3')
%Plotagem de animação gráfica
figure;
plot3([P0(1),P1(1)],[P0(2),P1(2)],[P0(3),P1(3)],'k-o','LineWidth',3.5)
hold on
73
plot3([P1(1),P3(1)],[P1(2),P3(2)],[P1(3),P3(3)],'k-o','LineWidth',3.5)
hold on
plot3([P3(1),P5(1)],[P3(2),P5(2)],[P3(3),P5(3)],'k-o','LineWidth',3.5)
hold on
plot3([P5(1),P6(1)],[P5(2),P6(2)],[P5(3),P6(3)],'r-o','LineWidth',3.5)
hold on
grid on
xlabel('Y[m]')
ylabel('X[m]')
zlabel('Z[m]')
axis ([-5 45 -20 20 -0 40])
plot3(Xi,Yi,Zi,'b','LineWidth',2.5)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dinâmica%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc
close all
clear all
%Declaração das variáveis simbólicas
%Ângulos das rotações das juntas
syms th1 th2 th3 th4 th5 dth1 dth2 dth3 dth4 dth5
%Comprimento dos elos
syms L1 L2 L3 L dL
%Posição do centro de massa nos respectivos elos e gravidade
syms c1 c2 c3 g
%Massa dos elos
syms m1 m2 m3 M
%Tensor de inércia do primeiro elo
syms I111 I112 I113 I121 I122 I123 I131 I132 I133
%Tensor de inércia do segundo elo
syms I211 I212 I213 I221 I222 I223 I231 I232 I233
%Tensor de inércia do terceiro elo
syms I311 I312 I313 I321 I322 I323 I331 I332 I333
%Tensor de inércia do conjunto cL2o de aço + massa M
syms I411 I412 I413 I421 I422 I423 I431 I432 I433
function [tau]=Dinamica_Guindaste(th,dth,d2th)
th1=th(1);
th2=th(2);
th3=th(3);
th4=th(4);
th5=th(5);
L=th(6);
dth1=dth(1);
dth2=dth(2);
dth3=dth(3);
dth4=dth(4);
dth5=dth(5);
dL=dth(6);
d2th1=d2th(1);
d2th2=d2th(2);
d2th3=d2th(3);
d2th4=d2th(4);
74
d2th5=d2th(5);
d2L=d2th(6);
J0G1= simplify(jacobian(P0G1,v));%Jacobiano elo 1
J0G2= simplify(jacobian(P0G2,v));%Jacobiano elo 2
J0G3= simplify(jacobian(P0G3,v));%Jacobiano elo 3
J0G6= simplify(jacobian(P0G6,v));%Jacobiano cL2o de aço
V0G1= J0G1*v1;%Velocidade do centro de massa do elo 1
V0G2= J0G2*v1;%Velocidade do centro de massa do elo 2
V0G3= J0G3*v1;%Velocidade do centro de massa do elo 3
V0G6= J0G6*v1;%Velocidade da carga na ponta do cabo de aço
%Velocidades angulares das bases fixas nos elos em relação a base
anteriores
W01= [0;0;diff(sym('th1(t)'))];
W12= [diff(sym('th2(t)'));0;0];
W23= [diff(sym('th3(t)'));0;0];
W34= [diff(sym('th4(t)'));0;0];
W45= [0;diff(sym('th5(t)'));0];
W02= W01+r01*W12;%velocidade angular da junta 2 no referencial
inercial
r02= r01*r12;%determinação de r02
W22= r02.'*W02;%r20 = r02 transposta. Logo, W22 = r20*W02
W03= W02+r02*W23;%velocidade angular da junta 3 no referencial
inercial
r03= r01*r12*r23;%determinação de r03
W33= r03.'*W03;%r30 = r03 transposta. Logo, W33 = r30*W03
W04= W03+r03*W34;%velocidade angular da junta 4 no referencial
inercial
r04= r01*r12*r23*r34;%determinação de r04
W44= r04.'*W04;%r40 = r04 transposta. Logo, W44 = r40*W04
W05= W04+r04*W45;%velocidade angular da junta 5 no referencial
inercial
r05= r01*r12*r23*r34*r45;%determinação de r05
W55= r05.'*W05;%r50 = r05 transposta. Logo, W55 = r50*W05
%Tensor de inércia no centro de massa do elo 1 (quilogramas * metros
quadrados):
%Obtido no centro de massa e alinhado com o sistema de coordenadas de
saída.
I1= [I111 I112 I113;I121 I122 I123;I131 I132 I133];
%Tensor de inércia no centro de massa do elo 2 (quilogramas * metros
quadrados):
%Obtido no centro de massa e alinhado com o sistema de coordenadas de
saída.
I2= [I211 I212 I213;I221 I222 I223;I231 I232 I233];
%Tensor de inércia no centro de massa do elo 3 (quilogramas * metros
quadrados):
%Obtido no centro de massa e alinhado com o sistema de coordenadas de
saída.
I3= [I311 I312 I313;I321 I322 I323;I331 I332 I333];
%Tensor de inércia no centro de massa do conjunto cL2o de aço + massa
M (quilogramas * metros quadrados):
75
%Obtido no centro de massa e alinhado com o sistema de coordenadas de
saída.
I4= [I411 I412 I413;I421 I422 I423;I431 I432 I433];
%LAGRANGE: L = Ecin - Epot
%Elo 1:
Ecr1= (1/2)*W01.'*I1*W01;%Energia cinética de rotação
Ect1= (1/2)*m1*V0G1.'*V0G1;%Energia cinética de translação
Ep1= -m1*g*P0G1z;%Energia potencial
%Elo 2:
Ecr2= (1/2)*W22.'*I2*W22;%Energia cinética de rotação
Ect2= (1/2)*m2*V0G2.'*V0G2;%Energia cinética de translação
Ep2= -m2*g*P0G2z;%Energia potencial
%Elo 3:
Ecr3= (1/2)*W33.'*I3*W33;%Energia cinética de rotação
Ect3= (1/2)*m3*V0G3.'*V0G3;%Energia cinética de translação
Ep3= -m3*g*P0G3z;%Energia potencial
%CL2o de aço + massa M:
Ecr4= (1/2)*W55.'*I4*W55;%Energia cinética de rotação
Ect4= (1/2)*M*V0G6.'*V0G6;%Energia cinética de translação
Ep4= -M*g*P0G6z;%Energia potencial
Ecin= Ecr1+Ect1+Ecr2+Ect2+Ecr3+Ect3+Ecr4+Ect4;%Energia cinética total
Epot= Ep1+Ep2+Ep3+Ep4;%Energia potencial total
L= Ecin-Epot;%Lagrangeano
%Torque nas juntas
%Utilização de variáveis auxiliares para reformulação do Lagrangeano
a= subs(L,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
a= subs(a,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
a= subs(a,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
a= subs(a,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
a= subs(a,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
a= subs(a,diff(sym('L(t)')),'dL');
%Junta 1:
dLdth1= diff(a,'dth1'); %Derivada parcial do Lagrangeano
b= subs (dLdth1,'th1','th1(t)');
b= subs (b,'th2','th2(t)');
b= subs (b,'th3','th3(t)');
b= subs (b,'th4','th4(t)');
b= subs (b,'th5','th5(t)');
b= subs (b,'L','L(t)');
b= subs(b,dth1,diff(sym('th1(t)')));
b= subs(b,dth2,diff(sym('th2(t)')));
b= subs(b,dth3,diff(sym('th3(t)')));
b= subs(b,dth4,diff(sym('th4(t)')));
b= subs(b,dth5,diff(sym('th5(t)')));
b= subs(b,dL,diff(sym('L(t)')));
dLdt1= diff(b); %Derivada em função do tempo
b= subs(dLdt1,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
b= subs(b,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
b= subs(b,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
b= subs(b,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
76
b= subs(b,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
b= subs(b,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
b= subs(b,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
b= subs(b,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
b= subs(b,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
b= subs(b,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
b= subs(b,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
b= subs(b,diff(sym('L(t)')),'dL');
b= subs (b,'th1(t)','th1');
b= subs (b,'th2(t)','th2');
b= subs (b,'th3(t)','th3');
b= subs (b,'th4(t)','th4');
b= subs (b,'th5(t)','th5');
b= subs (b,'L(t)','L');
dLth1= diff(L,'th1'); %Derivada do Lagrangeano em função de th1
c= subs(dLth1,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
c= subs(c,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
c= subs(c,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
c= subs(c,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
c= subs(c,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
c= subs(c,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
c= subs(c,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
c= subs(c,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
c= subs(c,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
c= subs(c,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
c= subs(c,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
c= subs(c,diff(sym('L(t)')),'dL');
Tau1= b-c %Torque na junta1
%Junta 2:
dLdth2= diff(a,'dth2');
d= subs (dLdth2,'th1','th1(t)');
d= subs (d,'th2','th2(t)');
d= subs (d,'th3','th3(t)');
d= subs (d,'th4','th4(t)');
d= subs (d,'th5','th5(t)');
d= subs (d,'L','L(t)');
d= subs(d,dth1,diff(sym('th1(t)')));
d= subs(d,dth2,diff(sym('th2(t)')));
d= subs(d,dth3,diff(sym('th3(t)')));
d= subs(d,dth4,diff(sym('th4(t)')));
d= subs(d,dth5,diff(sym('th5(t)')));
d= subs(d,dL,diff(sym('L(t)')));
dLdt2= diff(d);
d= subs(dLdt2,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
d= subs(d,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
d= subs(d,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
d= subs(d,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
d= subs(d,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
d= subs(d,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
d= subs(d,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
d= subs(d,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
d= subs(d,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
77
d= subs(d,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
d= subs(d,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
d= subs(d,diff(sym('L(t)')),'dL');
d= subs (d,'th1(t)','th1');
d= subs (d,'th2(t)','th2');
d= subs (d,'th3(t)','th3');
d= subs (d,'th4(t)','th4');
d= subs (d,'th5(t)','th5');
d= subs (d,'L(t)','L');
dLth2= diff(L,'th2');
e= subs(dLth2,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
e= subs(e,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
e= subs(e,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
e= subs(e,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
e= subs(e,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
e= subs(e,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
e= subs(e,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
e= subs(e,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
e= subs(e,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
e= subs(e,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
e= subs(e,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
e= subs(e,diff(sym('L(t)')),'dL');
Tau2= d-e%Torque na junta2
%Junta 3:
dLdth3= diff(a,'dth3');
f= subs (dLdth3,'th1','th1(t)');
f= subs (f,'th2','th2(t)');
f= subs (f,'th3','th3(t)');
f= subs (f,'th4','th4(t)');
f= subs (f,'th5','th5(t)');
f= subs (f,'L','L(t)');
f= subs(f,dth1,diff(sym('th1(t)')));
f= subs(f,dth2,diff(sym('th2(t)')));
f= subs(f,dth3,diff(sym('th3(t)')));
f= subs(f,dth4,diff(sym('th4(t)')));
f= subs(f,dth5,diff(sym('th5(t)')));
f= subs(f,dL,diff(sym('L(t)')));
dLdt3= diff(f);
f= subs(dLdt3,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
f= subs(f,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
f= subs(f,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
f= subs(f,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
f= subs(f,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
f= subs(f,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
f= subs(f,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
f= subs(f,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
f= subs(f,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
f= subs(f,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
f= subs(f,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
f= subs(f,diff(sym('L(t)')),'dL');
f= subs (f,'th1(t)','th1');
f= subs (f,'th2(t)','th2');
78
f= subs (f,'th3(t)','th3');
f= subs (f,'th4(t)','th4');
f= subs (f,'th5(t)','th5');
f= subs (f,'L(t)','L');
dLth3= diff(L,'th3');
h= subs(dLth3,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');
h= subs(h,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');
h= subs(h,diff(sym('th3(t)'),2),'d2th3');
h= subs(h,diff(sym('th4(t)'),2),'d2th4');
h= subs(h,diff(sym('th5(t)'),2),'d2th5');
h= subs(h,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');
h= subs(h,diff(sym('th1(t)')),'dth1');
h= subs(h,diff(sym('th2(t)')),'dth2');
h= subs(h,diff(sym('th3(t)')),'dth3');
h= subs(h,diff(sym('th4(t)')),'dth4');
h= subs(h,diff(sym('th5(t)')),'dth5');
h= subs(h,diff(sym('L(t)')),'dL');
Tau3= f-h%Torque na junta3
end
ti=0;
tf=12;
num=200;
t=linspace(ti,tf,num);
dt=(tf-ti)/num;
n=0;
for i=1:length(t)
w=1;
X(i)=10*cos(t(i))+30;
Y(i)=-12+2*t(i);
Z(i)=5*sin(t(i))+10;
L1=20;
L2=29;
L3=18;
L=5;
th1(i)=atan2(Y(i),X(i));
A=-2*(X(i)/cos(th1(i)))*L2;
B=2*(L1-L)*L2-2*Z(i)*L2;
C=((X(i)^2)/(cos(th1(i)))^2)+Z(i)^2+(L1-L)^2+L2^2-2*Z(i)*(L1-L)-L3^2;
th21(i)=atan2((-B*C+sqrt((B^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-A^2))),(-
A*C+sqrt((A^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-B^2))));
th33(i)=-atan2((-Z(i)+L1-L+L2*sin(th21(i))),(X(i)/cos(th1(i))-
L2*cos(th21(i))))-th21(i);
x(i)=L2*cos(th21(i))+L3*cos(th33(i)+th21(i));
y(i)=(L2*cos(th21(i))+L3*cos(th33(i)+th21(i)))*sin(th1(i));
z(i)=L1-L+L2*sin(th21(i))+L3*sin(th33(i)+th21(i));
79
th4(i)=th33(i)+th21(i);
th5(i)=0;
Ld(i)=0;
end
for i=1:length(t)-1
th21p(i)=(th21(i+1)-th21(i))/(t(i+1)-t(i));
th1p(i)=(th1(i+1)-th1(i))/(t(i+1)-t(i));
th33p(i)=(th33(i+1)-th33(i))/(t(i+1)-t(i));
th4p(i)=(th4(i+1)-th4(i))/(t(i+1)-t(i));
th5p(i)=0;
Lp(i)=0;
end
for i=1:length(t)-2
th21pp(i)=(th21p(i+1)-th21p(i))/(t(i+1)-t(i));
th1pp(i)=(th1p(i+1)-th1p(i))/(t(i+1)-t(i));
th33pp(i)=(th33p(i+1)-th33p(i))/(t(i+1)-t(i));
th4pp(i)=(th4p(i+1)-th4p(i))/(t(i+1)-t(i));
th5pp(i)=0;
Lpp(i)=0;
end
q=[th1' th21' th33' th4' th5' Ld'];
dq=[th1p' th21p' th33p' th4p' th5p' Lp'];
ddq=[th1pp' th21pp' th33pp' th4pp' th5pp' Lpp'];
tau=[];
for i=1:length(ddq)
aux=Dinamica_Guindaste(q(i,:),dq(i,:),ddq(i,:));
tau(i,:)=aux';
end
%% Plotagem de gráfico
figure(2);
plot(tau,'LineWidth',2.5)
grid on
xlabel('Tempo(s) x 10^-¹')
ylabel('\tau(t) [N.m]')
title('Gráfico dos torques das juntas 1, 2 e 3')
legend('\tau_1','\tau_2','\tau_3')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%