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ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO

EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS

NUBIA PAOLA VEGA VARGAS

YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

BOGOTÁ D.C., MAYO 2016

ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO

EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS

NUBIA PAOLA VEGA VARGAS

Código. 20112145003

YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO

Código 20112145036

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar por el título de

Licenciado(a) en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas

Director: JOSÉ TORRES DUARTE

Magister en Docencia

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

BOGOTÁ D.C., MAYO 2016

Nota de aceptación

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Firma del director José Torres Duarte

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Firma del evaluador Edwin Alfredo Carranza

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Agradecimientos

Agradecemos a nuestros padres por creer en nosotros y ofrecernos su incondicional apoyo en

el transcurso de nuestra carrera universitaria.

Agradecemos a nuestro director de trabajo de grado José Torres por su gran colaboración y

apoyo a lo largo de la realización de este trabajo.

Dedicatoria

Este trabajo está dedicado a todas las personas que nos ayudaron a crecer como personas y

docentes en este largo camino. Especialmente a nuestros padres, y amigos que siempre nos

apoyaron en el transcurso de nuestra vida universitaria.

Resumen

El presente trabajo de grado se desarrolló con el fin de identificar y clasificar los errores y

dificultades trigonométricas que presentan los estudiantes de grado décimo, específicamente

abordando situaciones problema de resolución de triángulos, utilizando una metodología de

análisis cualitativa, transitando por las fases de investigación, identificación del problema,

diseño, validación, aplicación, recolección y análisis de resultados, base para la categorización

y posterior análisis de los errores y dificultades encontrados.

Para el análisis de los resultados se utilizó uno de los organizadores curriculares que plantea

Socas (1997) Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la

educación secundaria, el cual nos permitió identificar el origen dichos errores, plantear nuevas

categorías y finalmente concluir cuales son los principales errores y dificultades que presentan

los estudiantes al resolver problemas de este tipo.

Palabras clave

Dificultad, error, situación problema, resolución de problemas, resolución de triángulos.

Contenido

INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 9

PROBLEMA ............................................................................................................................. 10

OBJETIVOS .............................................................................................................................. 11

General ................................................................................................................................... 11

Específicos ............................................................................................................................. 11

JUSTIFICACIÓN ...................................................................................................................... 12

MARCO TEÓRICO .................................................................................................................. 13

Dificultades ............................................................................................................................ 13

Errores .................................................................................................................................... 14

Resolución de problemas ....................................................................................................... 15

Relación entre dificultades y errores ..................................................................................... 16

Relación resolución de problemas dificultades y errores ...................................................... 17

Teorema de Pitágoras ............................................................................................................. 19

Semejanza de triángulos ........................................................................................................ 20

Teorema del seno y el coseno ................................................................................................ 21

METODOLOGÍA ...................................................................................................................... 22

Metodología de investigación ................................................................................................ 22

Fases de la investigación ........................................................................................................ 23

Cronograma ........................................................................................................................... 24

Diseño de la Prueba. .............................................................................................................. 24

Validación de la prueba ......................................................................................................... 30

Aplicación de la prueba ......................................................................................................... 31

ANÁLISIS ................................................................................................................................. 31

Categorías de análisis ............................................................................................................. 31

Recolección y análisis de resultados ...................................................................................... 34

CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 71

Bibliografía ................................................................................................................................ 74

Anexos ....................................................................................................................................... 74

Lista de Tablas

Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades. ................. 19

Tabla 2 Cronograma de actividades. ......................................................................................... 24

Tabla 3 Ejemplos de categoría A1. ............................................................................................ 32

Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2 ......................................................................................... 32

Tabla 5 Nomenclatura de evidencias. ........................................................................................ 34

Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A ...................................................................... 43

Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A...................................................... 44

Tabla 8 Errores relacionados con la dificultad B ...................................................................... 57

Tabla 9 clasificación de errores asociados a la dificultad B ...................................................... 58

Tabla 10 Emociones pregunta 1 entrevista ................................................................................ 61






Tabla 16 Emociones pregunta 1 encuesta.................................................................................. 66

Tabla 17Emociones pregunta 2 encuesta................................................................................... 67





Tabla 22 clasificación de errores asociados a la dificultad C .................................................... 70

Lista de Ilustraciones

Ilustración 1Relación entre dificultades y errores ..................................................................... 17

Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases .................................................. 18

9

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de grado busca profundizar en el estudio de dificultades y errores que

se pueden presentar en trigonometría, específicamente al tratar de resolver problemas en los que

se hagan necesarios encontrar alguno o algunos elementos de triángulos. Esta idea nace de una

práctica de aula desarrollada en una institución educativa de Bogotá, donde al abordar este tema

y tratar de hacer su posterior análisis se identificó la poca documentación existente respecto a

los errores y dificultades que los estudiantes pueden tener al resolver problemas en los cuales

tengan que hacer uso de la trigonometría.

Se proponen unas posibles categorías de análisis basado en Socas (1997) las cuales son:

dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, asociadas a los procesos de

pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. que buscan

identificar el origen de las dificultades y errores que se dan en la resolución de problemas

trigonométricos, se considera que en el marco de la educación matemática actual no tiene

sentido realizar un análisis de errores y dificultades aislando la resolución de problemas, sino

que al contrario es fundamental realizar el análisis en contextos problémicos, partiendo de esta

idea se realiza el diseño de tres pruebas diferentes que abarcan la semejanza de triángulos, el

teorema de Pitágoras y el teorema del Seno y del Coseno, conceptos fundamentales para la

resolución de cualquier tipo de triángulo.

En el presente documento reportaremos desde el planteamiento del problema asociado a

los errores encontrados al abordar problemas de resolución de triángulos, como también la

justificación del desarrollo del trabajo y unos objetivos que marcaron el rumbo del presente

trabajo

Este trabajo se sustenta con un marco teórico donde se reflejan los aspectos más

importantes como los errores y dificultades en la matemática, pero también referentes teóricos

que definen algunos conceptos matemáticos que se involucran en las situaciones problema,

además se presenta el diseño metodológico por fases mostramos las pruebas realizadas,

categorías de análisis y una relación entre los errores evidenciados y la teoría que los sustenta,

finalmente se plantea un análisis general de los datos y las conclusiones a las que se llegaron

con el desarrollo de la presente monografía.

10

PROBLEMA

Como docentes en formación y futuros docentes investigadores, es de gran importancia

tener las bases necesarias para analizar los resultados obtenidos antes y después de realizar

actividades didácticas en clase, lo ideal sería apoyarse en la teoría existente para identificar y

clasificar, por ejemplo, los errores y dificultades que presentan los estudiantes al abordar un

problema a partir de la metodología resolución de problemas, posteriormente realizar una

planeación y diseño de actividades que potencialicen los conocimientos de los estudiantes y

ayuden a superar estos errores y dificultades.

Con esta idea el problema a tratar en la presente monografía nació en una de las prácticas

intermedias del proyecto curricular LEBEM, ya que a lo largo de la carrera hemos observado

que un aspecto importante para cualquier profesor no solo es diseñar actividades de enseñanza

aprendizaje, sino también reflexionar sobre los resultados obtenidos al aplicar estas mismas, en

la práctica intermedia III (énfasis de gestión en el aula) del periodo 2014-1, desarrollada en

grado décimo del colegio OEA, se asignó el trabajo con resolución de triángulos, para abordarlo

se utilizaron las metodologías de situaciones didácticas de Brousseau y resolución de problemas,

pero al intentar, realizar el análisis de los resultados obtenidos específicamente al buscar teoría

que sustente los errores y las dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tema, nos

encontramos con un gran vacío: la poca y limitada información de la clasificación de los errores

y dificultades cuando hablamos de trigonometría.

Por esta razón, la idea de este trabajo se centró en poder aplicar actividades y situaciones

problema que involucren el tema de resolución de triángulos como tema fundamental de la

trigonometría en grado décimo y poder desarrollar una clasificación y análisis de dichos errores

y dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tipo de problemas matemáticos. De

aquí se generó la pregunta:

¿Cuáles son los errores y dificultades (E-D) que presentan los estudiantes en el abordaje

y resolución de situaciones problema que involucren la resolución de triángulos en grado

décimo?

11

OBJETIVOS

General

Realizar una clasificación y análisis de los E-D que presentan los estudiantes de grado

décimo al trabajar problemas de resolución de triángulos a partir de la metodología resolución

de problemas.

Específicos

● Diseñar un instrumento para identificar y clasificar los E-D presentes al abordar la

resolución de triángulos.

● Realizar una clasificación de los E-D encontrados en el desarrollo del instrumento.

● Analizar el origen de los E-D presentes en procesos de enseñanza aprendizaje de

resolución de triángulos.

12

JUSTIFICACIÓN

La identificación y clasificación de los errores y dificultades (E-D) que presentan los

estudiantes ante determinado objeto matemático, es fundamental para cualquier profesor al

realizar las planeaciones de sus prácticas, ya que estas se diseñan de tal manera que ayuden a

superarlos, según (Socas ,1997) las dificultades que se presentan en los estudiantes tienen

distintos orígenes que pueden ser agrupados en cinco categorías: las que provienen de la

complejidad del objeto matemático, las asociadas a los procesos de pensamiento matemático,

las que se dan debido al proceso de enseñanza de las matemáticas, las que están ligadas a los

procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos y por último, las relacionadas con actitudes

afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Este trabajo se desarrolló y abordo tres de estas

cinco categorías ya que lo que se busca es realizar una clasificación y análisis de E-D que pueden

presentar los estudiantes en cualquier aula de clase, es decir los que se originan por la

complejidad del objeto matemático, por los procesos de pensamiento matemático y las asociadas

a las actitudes afectivas y emocionales; por tanto no se tendrán en cuenta las ligadas a aspectos

didácticos o NEES que presenten los estudiantes.

Al indagar en la teoría sobre los E-D presentes en los estudiantes en procesos de

enseñanza aprendizaje de la trigonometría, encontramos varias propuestas de enseñanza en las

cuales los abordan de manera específica, es decir, como resultado de la aplicación de una

secuencia de actividades en las cuales simplemente se mencionan estos mismos y no el ¿Por qué

se presentan? o ¿Cuál es su origen?, por otra parte al indagar en textos de didáctica de las

matemáticas como: invitación a la didáctica de la geometría, encontramos que tampoco existe

una clasificación de estos y se abordan de una manera muy general, como asociándolos con los

niveles planteados por Van Hiele, también encontramos un artículo reciente de Escudero y

Domínguez (2014) en el cual se evidencia una clasificación de forma general de los errores en

el aula de bachillerato, allí presentan algunos errores frecuentes al trabajar trigonometría de

manera superficial con algunos ejemplos, por esto consideramos necesario analizar y categorizar

los E-D para brindar una base a los docentes a la hora de diseñar y reflexionar sobre sus prácticas

educativas.

13

MARCO TEÓRICO

Dificultades

El aprendizaje de las matemáticas genera dificultades en los alumnos (Socas, 1997),

estas dificultades pueden tener diversos orígenes los cuales están ligados con la complejidad de

un objeto matemático, con los procesos de enseñanza o con procesos cognitivos o afectivos de

los estudiantes; las dificultades a medida de la práctica se convierten en obstáculos y en los

estudiantes se presentan en forma de errores.

Socas (1997) estructura las dificultades mediante la agrupación en cinco categorías, las

dos primeras hacen referencia a la disciplina como tal "objetos matemáticos y procesos de

pensamiento, la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en

conexión con los procesos cognitivos de los alumnos y una quinta, relacionada con la falta de

una actitud racional hacia las matemáticas (Socas, 1997 pág. 126)"

Las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, se dan

básicamente por la forma en cómo se comunican los objetos matemáticos; es decir la

combinación del lenguaje nativo con el lenguaje matemático, se pueden generar dificultades

debido al uso de términos comunes para hacer referencia a conceptos matemáticos o al usar

palabras propias de las matemáticas, las cuales son poco frecuentes en la cotidianidad del

estudiante lo cual genera una dificultad; otra dificultad que se puede presentar es cuando la

palabra tiene el mismo significado en los dos contextos, entonces el estudiante podría pensar

que el término tiene otro significado en las matemáticas.

Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático están

representadas en la naturaleza de la lógica matemática, es decir, tal como lo propone Socas

(1997) siempre ha existido un temor en cuanto a los aspectos deductivos formales, esto ha

generado que las demostraciones formales hayan sido eliminadas de los currículos de

matemáticas de secundaria de algunas instituciones, sin embargo es necesario que como

docentes reflexionemos sobre este tipo de posturas ya que "los modelos implícitos que generan

ciertos modos de pensamiento se convierten en dificultades para el proceso en el conocimiento

matemático (Socas, 1997 pág. 133)" entonces de acuerdo a lo propuesto por este autor algunas

cosas no se pueden evitar. Pero es nuestro papel como docentes prevenir este tipo de dificultades

evidenciadas en los errores.

14

En lo relacionado a la institución, al currículo, a los métodos de enseñanza se observan

las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza, es necesario que la institución tenga una

organización mediante la cual se busque la reducción de las dificultades que se puedan presentar

en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, para esto resulta indispensable tener

en cuenta los recursos, las estructuras, la formación, la capacitación entre otras cosas.

Para las dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos, es necesario

considerar aspectos relacionados a la naturaleza de los procesos para de esta forma conocer el

nivel de; dificultades, posibles formas de realizar acciones y respuestas (esto es esperado por

parte del estudiante); en cuanto a las actitudes afectivas y emocionales, el autor (Socas, 1997)

propone que es necesario reconocer el temor que existe hacia y por las matemáticas (por parte

de los alumnos) lo cual es considerado como una dificultad que se puede presentar en este

proceso ya que los estudiantes se enfrentan a miedos y/o temores lo cual ya es una barrera para

el aprendizaje de estas.

Errores

Los estudios realizados sobre errores en matemáticas según Socas (1997) busca hacer

un abordaje de los mismos considerando el papel de estos errores en el conocimiento matemático

como algunos procedimientos erróneos, aprovechables didácticamente. Lakatos citado por

Socas; M (1997) muestra como las discusiones de los errores encontrados en algunas teoría

dejan hacer transformaciones para el enriquecimiento de las mismas. Pues esto permitiría

explicar el desarrollo de algunos conceptos y el surgimiento de unas nuevas teorías. Y es

importante resaltar que destacados investigadores matemáticos como lo es Cauchy tuvo

diferentes errores que se dieron no por falacias sino por la inadecuada interpretación de lo que

plateaba. Pero aun así Lakatos tuvo otra concepción de los errores como" concepciones

limitadas." Siendo este el auge de la historia de las matemáticas.

Sin embargo esta difiere de los errores que presentan los estudiantes puesto que muchos de éstos

pueden explicarse a través de los métodos que ellos desarrollan con el tiempo, siendo dichos

métodos válidos en algunos casos solamente.

Con frecuencia tenemos en Aritmética, Álgebra o Geometría demostraciones

aparentemente correctas pero que chocan con la intuición y el sentido común: Son curiosidades

o acertijos como: Puedo probar matemáticamente que “4 es igual a 5”.

15

Una gran variedad de errores son posibles de encontrar cuando de demostraciones se trata, pero

en el contexto escolar puede aprovecharse en el abortamiento de las diferentes propiedades que

allí están ocultas. Donde lo que se busca es plantear el propio error como un problema

matemático.

De los errores que se pueden presentar los estudiantes, se realiza una clasificación como

plantea Socas (1997):

1. Errores que tienen su origen en ausencia de sentido, en este caso se diferencian tres

errores de etapas distintas.

● Errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética.

● Errores de procedimientos, el uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de

procedimientos”.

● Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico. Se

diferencian de la primera etapa de errores siendo de naturaleza algebraica a causa de su

amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes procesos matemáticos,

tales como: generalización, simplificación, eliminación, complicación estructural y

particularización

2. Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales.

Resolución de problemas

¿Qué se entiende por resolución de problemas? no existe un acuerdo sobre que es la

resolución de problemas matemáticos, dependiendo de las concepciones y posiciones filosóficas

que se tengan esta puede tomar diversos significados. Para este trabajo nos basaremos en la

concepción de (Andalucía 2010):

La resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental del

pensamiento y el saber matemático; y en este sentido, ha de impregnar e inspirar todos

los conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose

como eje vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la

reflexión, el análisis, la concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea.

Tanto en la vida cotidiana como respecto a los grandes problemas que afectan a la

humanidad (pág. 2).

16

De acuerdo con el autor creemos que la resolución de problemas recoge todos los

procesos de interpretación, representación y abstracción de un objeto matemático, siendo una

actividad que potencia el desarrollo de estrategias heurísticas y algorítmicas fundamentales no

solo en el campo de la matemática si no en cualquier otro contexto.

Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, para

sortear un obstáculo, para alcanzar un objetivo que no sea inmediatamente alcanzable.

Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el

don específico de los humanos: se puede considerar la resolución de problemas como la

actividad más característica del ser humano (D´Amore, 2010 Pág. 20)

La resolución de una situación problema no tiene caminos inmediatos, al enfrentaros a

un problema muchas veces podemos tomar caminos equivocados, encontrar dificultades

cometer errores etc. Lo cual nos ayuda a fortalecer nuestros procesos de razonamiento, y

representación fundamentales para llegar a la comprensión de un objeto matemático.

Relación entre dificultades y errores

Como bien sabemos y como lo plantea Socas (1997) los errores que se presentan al

abordar un problema matemático tienen origen por la ausencia de sentido que lo relacionamos

con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y los procesos de

pensamiento matemático y los errores que tienen origen en actitudes afectivas y emocionales.

Por esta razón proponemos la siguiente ilustración donde presentamos la relación que existe

entre los errores y las dificultades.

17

Ilustración 1Relación entre dificultades y errores

Relación resolución de problemas dificultades y errores

Para poder relacionar las dificultades con la resolución de problemas, el presente trabajo

propone evidenciar la estructura de la resolución de problemas y cómo en esta estructura se

reflejan las diferentes dificultades (asociados a la complejidad de los objetos matemáticos,

asociados a los procesos de pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y

emocionales), además entendiendo los errores con origen en las dificultades estos pueden

aparecer en cualquiera de las fases que se proponen.

Para identificar las principales características de la resolución de un problema

matemático en el aula, Polya (1945) plantea cuatro fases en la que se desarrolla la resolución de

problemas; comprensión o interpretación del problema, planificación, ejecución del plan y

supervisión, estas fases se han conservado y algunos autores han renombrado pero han

mantenido una estrecha relación, en este sentido Schoenfeld (1992), propone una

Dificultades

Asociadas a la

complejidad de los objetos matemáticos

Errores que tiene

origen en la ausencia de sentido

Asociadas a los procesos de pensamiento matemático

Asociadas a las

actitudes afectivas y emocionales

Errores que tiene origen en actitudes

afectivas y emocionales

18

caracterización o categorización de las fases que determinan el éxito o fracaso en los procesos

de resolución de problemas.

Partiendo de los diferentes procesos que hacen parte de cada fase, y según las categorías

propuestas para las dificultades, se puede evidenciar elementos coincidentes, por lo que se

propone la siguiente relación:

● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a la complejidad de los objetos

matemáticos se reflejan en la fase uno y dos

● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a los procesos de pensamiento

matemático se reflejan en la fase tres.

● Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales que se reflejan en todas

las fases

Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases

19

Por lo anterior el cuadro propuesto según lo dicho se presenta de la siguiente manera

apoyándonos en los elementos que propone Schoenfeld (1992).

Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4

Conocimiento o

recursos básicos

que incluye

definiciones,

hechos, fórmulas,

algoritmos y

conceptos

fundamentales

asociados con un

dominio

matemático

particular o tema.

Estrategias cognitivas

o heurísticas que

involucran formas de

representar y explorar

los problemas con la

intención de

comprender los

enunciados y plantear

caminos de solución.

Algunos ejemplos de

estas estrategias son

dibujar un diagrama,

buscar un problema

análogo, establecer

sub-metas,

descomponer el

problema en casos

simples.

Las estrategias metas

cognitivas que

involucran

conocimiento acerca del

funcionamiento

cognitivo propio del

individuo (¿Qué

necesito? ¿Cómo utilizo

ese conocimiento?) y

estrategias de monitoreo

y control del propio

proceso cognitivo

(¿Qué estoy haciendo?

¿Por qué lo hago? ¿A

dónde voy?).

Las creencias y

componentes afectivos

que caracterizan la

conceptualización del

individuo acerca de las

matemáticas y la

resolución de problemas,

y la actitud y disposición

a involucrarse en

actividades matemáticas.

Esta fase se ve reflejada

en todo el proceso de

interpretación y

resolución de problemas

Dificultades asociadas a la complejidad de

los objetos matemáticos

Dificultades asociados a los procesos de

pensamiento matemático

Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales

Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades.

Teorema de Pitágoras

Históricamente según Piñero y Otros (1998), el teorema de Pitágoras fue descubierto

mucho antes de la Grecia Clásica, probablemente relacionados con problemas de agrimensura

relativa a un problema probablemente de áreas de cultivo. Una de las demostraciones más

importante de este teorema es la proposición 47 del libro I, de Los Elementos de Euclides “en

los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los

cuadrado de los lados que comprenden el ángulo recto” además de ser relevante para el

desarrollo y la enseñanza para nuestro objeto matemático ya que en este se observan relaciones

de semejanza entre triángulos y congruencia entre ángulos

20

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos (los dos lados menores que conforman el ángulo recto del triángulo).

De esta manera el teorema de Pitágoras es un concepto fundamental para la resolución

de triángulos rectángulos ya que nos ayuda a encontrar la hipotenusa o un cateto faltante de un

triángulo de este tipo, los casos que se pueden presentar son:

- Dados los dos catetos averiguar la hipotenusa del triángulo

- Dado un cateto y la hipotenusa averiguar el cateto faltante

Semejanza de triángulos

Según Piñeiro & otros (1998) Cuando hablamos de semejanza nos referimos a figuras

de distintos tamaños pero con la misma forma, por ejemplo todos los cuadrados y triángulos

equiláteros son semejantes entre sí, los triángulos semejantes se define como, “los que tienen

los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales” (Piñeiro &

otros, 1998 pág. 56)

De esta definición surge la pregunta ¿Cómo saber o garantizar que dos triángulos son

semejantes? De la cual surgen los criterios de semejanzas, se utiliza el Teorema de Tales con

21

los que se puede establecer relaciones entre los triángulos y por tanto averiguar medidas de

segmentos desconocidos.

Como se ve en la imagen los triángulos AFB y CDH son semejantes por tanto guardan

una misma razón entre sus lados, de esta manera se puede establecer la medida de los lados

faltantes.

Teorema del seno y el coseno

El teorema del seno y del coseno nos ayuda a resolver cualquier tipo de triángulo

dependiendo los datos que tengamos de este mismo.

El teorema del seno establece que: “en cualquier triángulo, los lados son proporcionales

a los senos de los ángulos opuestos. Además la razón de proporcionalidad es igual a la longitud

del diámetro de la circunferencia circunscrita (Piñeiro & otros 1998 pág. 192)

𝑎

𝑆𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑆𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑆𝑒𝑛 𝐶

El teorema del coseno establece que en todo triángulo ABC se verifica:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos (𝐴)

𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎²

2𝑏𝑐= cos (𝐴)

Para utilizar cualquiera de estos teoremas es necesario que el problema suministre al

menos tres datos del triángulo de esta manera se pueden presentar cuatro posibles casos de

resolución de triángulos los cuales son:

Dados 3 ángulos

Dados dos lados y el ángulo que los comprende

Dados dos lados y el ángulo opuesto a estos

Dado un lado y dos ángulos

22

METODOLOGÍA

En el trabajo de la recolección, análisis y categorización de los errores y dificultades que

surgen en la resolución de problemas trigonométricos, específicamente en la resolución de

triángulos. Se llevó a cabo el diseño, validación y recolección de datos, por medio de situaciones

problema que permitieron evidenciar posibles dificultades y errores, para lo cual nos basamos

en la siguiente metodología y cronograma de actividades.

Utilizamos los procedimientos y razonamientos que llevan a cabo 95 estudiantes durante

la resolución de diferentes situaciones problema relacionadas con la resolución de triángulos,

en un instrumento propuesto basado en tres situaciones problema para detectar los errores en

que incurren y las dificultades que encuentran en su ejecución.

Además se aplicó una entrevista y encuesta enfocada a determinar las actitudes afectivas

y emocionales que tienen los estudiantes frente a la matemática y si por esta razón los estudiantes

incurren en errores que se relacionen con esta dificultad.

Metodología de investigación

La metodología que se emplea es cualitativa ya que está:

“Estudia la realidad en su contexto natural, tal y como sucede, intentando sacar sentido

de, o interpretar los fenómenos de acuerdo con los significados que tienen para las personas

implicadas. La investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad

de materiales—entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos

históricos, imágenes, sonidos – que describen la rutina y las situaciones problemáticas y los

significados en la vida de las personas” (Gómez, Flores, & Jiménez, 1996)

Dado que en la investigación realizada, se pretendió analizar los errores de los

estudiantes que estuvieron sujetos no solo a los procesos cognitivos sino a su contexto cultural,

social y a la misma naturaleza de las matemáticas, por esto se buscó recolectar información real

que nos permita describir los E-D presentes en los procesos de enseñanza aprendizaje de la

resolución de triángulos en la trigonometría.

23

Fases de la investigación

Fase 1: Identificación del problema.

El problema surgió de una experiencia de enseñanza con grado décimo 10°, en la cual

se identificó la falta de referentes para el análisis didáctico de los procesos de enseñanza-

aprendizaje de los estudiantes, específicamente en el análisis de E-D que se presentaron, ya que

en el análisis bibliográfico de los errores y dificultades presentes en la resolución de triángulos

no se encuentra la adecuada información y clasificación que ayude a los docentes a diseñar

actividades para superar estos mismos, por esto surge el interés de analizar y categorizar estos

posibles E-D.

Fase 2: Diseño de la prueba.

Para abordar, identificar y clasificar los E-D se diseñó un instrumento teniendo en

cuenta la categorización de estos mismos partiendo de su naturaleza, de tal manera se buscó

identificar, analizar y categorizar los E-D que presentan los estudiantes al abordar la resolución

de triángulos en la trigonometría, este instrumento se aplicara a estudiantes de grado décimo de

manera grupal de esta manera se busca tener suficiente información para realizar procesos de

clasificación y análisis de los E-D.

Fase 3: Validación de la prueba.

Para el proceso de validación de la prueba se recurrió a la aplicación de esta misma en

una comunidad académica LEBEM con el fin de identificar posibles errores, gramáticos,

estructurales y de contenido que pueda tener esta misma.

Fase 4: Aplicación de la prueba.

La prueba se aplicó dos sesiones la primera en el colegio parroquial la asunción en grado

décimo a 27 estudiantes y la segunda en el colegio claretiano el libertador en dos cursos de grado

décimo a 68 estudiantes, los estudiantes se organizaron en grupos de dos y tres integrantes y se

les asigno uno de los tres problemas planteados. Para la primera sesión se escogieron 6

estudiantes de manera aleatoria para realizar una entrevista, para la segunda sesión se tomó un

grupo de 30 estudiantes a los que se aplicó la encuesta sobre las emociones desarrolladas en el

proceso de resolución del problema asignado.

Fase 5: Recolección de datos

Para la recolección de datos se utilizaron los apuntes y procesos realizados en lápiz y

papel por los estudiantes, las grabaciones durante los procesos de resolución, posibles

24

discusiones y finalmente las entrevistas y encuestas realizadas a estudiantes escogidos de

manera aleatoria.

Fase 6: Análisis de datos obtenidos

En el proceso de análisis de los resultados obtenidos se relacionaron los errores y

dificultades que los estudiantes tuvieron en los procesos de resolución de problemas con las

categorías planteadas, además se analizó el surgimiento de categorías no contempladas por los

autores utilizados como referentes.

Fase 7: Conclusiones

Se da respuesta a la pregunta de investigación, a los objetivos planteados para el

desarrollo del trabajo.

Cronograma

Actividades febrero marzo abril mayo

Antecedentes “teóricos”

Presentación de antecedentes

Diseño de las pruebas

Validación de las pruebas

Aplicación de las pruebas

Recolección de datos

Análisis de datos

Conclusiones

Correcciones y ajustes al

trabajo final

Presentación del trabajo final

Tabla 2 Cronograma de actividades.

Diseño de la Prueba.

Para el diseño de la prueba se crearon tres situaciones problema que abarcan los tres

conceptos matemáticos fundamentales para la resolución de triángulos los cuales son: semejanza

de triángulos, teorema de Pitágoras, teorema del seno y del coseno.

En el diseño de estas pruebas se tuvo en cuenta:

● El lenguaje común y el contexto de los estudiantes.

25

● El lenguaje matemático (palabras propias de la trigonometría y la geometría).

● Las representaciones gráficas y simbólicas de los objetos matemáticos involucrados.

● Los posibles procedimientos algebraicos para la solución de cada problema.

● El trabajo en grupo.

● Las emociones, actitudes y concepciones que pueden tener los estudiantes ante la

resolución de una situación problema.

Situaciones relacionas con la dificultad 1 y 2.

El metro de Bogotá

Juan es un ingeniero que ha planteado una propuesta de metro para Bogotá con

estaciones representadas con y las líneas entre estaciones representadas con así

como se observa en la siguiente imagen.

Las relaciones entre las líneas del metro que propone son:

Centro-Soacha es perpendicular a Soacha-Usme

Centro-Fontibón es perpendicular a Soacha-Norte

Fontibón–Norte es perpendicular a Norte-Chía

Juan debe entregar el plano terminado con la medida de las distancias de las líneas de estación

a estación, pero solamente ha realizado dos medidas:

26

Usme-Centro = 15 Km

Soacha-Centro= 12 Km

Para las demás medidas solo tiene la siguiente información:

La medida del Centro-Fontibón es la mitad de la medida de Soacha-Usme.

La medida del Norte-Centro es de dos terceras partes de la medida de Fontibón a Soacha.

La medida del Norte-Chía es igual a la suma de Norte–Centro con Centro-Fontibón.

1. Ayúdenle a Juan a calcular las medidas para cada una de las líneas del metro.

2. A Juan le piden realizar una nueva estación de metro con nombre Kennedy, ésta debe

estar situada entre la línea Soacha–Centro, de tal manera que su ubicación sea (1/3) de

la distancia de Soacha-Centro desde Soacha, con el fin de comunicar la estación Usme

con la nueva estación Kennedy, ¿cuál será la longitud de esta nueva línea?

El centro comercial

En el centro comercial se realiza una nueva distribución de los locales, como se ve en el

siguiente plano, además se ubican dos senderos peatonales que cumplen con las siguientes

condiciones:

El sendero peatonal 1 de 10 m de longitud es perpendicular al camino de los baños y al

camino del parqueadero.

El sendero peatonal 2 es perpendicular al camino a la Salida/Entrada 3.

1. Andrea y José se encuentran en el centro comercial. Andrea empieza su recorrido en la

Salida/Entrada 2, pasa por el punto de información, luego por los baños y finalmente se

devuelve por el sendero peatonal 2, José empieza su recorrido en la Salida/Entrada 2

27

pasa por la Salida/Entrada 3 luego por los baños y se devuelve por el sendero peatonal

2.

José dice:

- El recorrido que hice fue más corto que el que hizo Andrea.

Pero Andrea dice:

- No es cierto.

¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

2. Pedro y Juan tiene una discusión sobre el pago de arriendo más justo. Pedro sostiene que

debe pagar la mitad de lo que paga Juan, porque el local de Juan tiene el doble de

perímetro que el de él. Juan dice que Pedro solo debe pagar la tercera parte de lo que

28

paga él, porque el local de Pedro tiene un perímetro 3 veces más pequeño que el de Juan.

¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

3. Thomas es dueño del local de tecnología y quiere dividir su local para dejar una sección

solamente de videojuegos, para esto hacen una nueva pared perpendicular al

sendero 1 ¿la sección de video juegos es semejante a todo el local de tecnología?

La clase de astronomía.

En el Colegio Parroquial La Asunción realizan un nuevo proyecto trasversal de

astronomía, los profesores de física, biología y matemáticas llevan a sus estudiantes al

observatorio astronómico de Bogotá. Al llegar allí el profesor de matemáticas les pide a sus

estudiantes que observen la figura de la constelación Phoenix, en ella el profesor resalta la

siguiente información:

𝐷𝐹𝐾𝐼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐼, 𝑁, 𝐽 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

ℎ ⫽ 𝑏

𝑏 = 2𝑐

∢𝐹𝐾𝑀 ≈ 𝑐𝑜𝑠−10,4539

∢𝑁𝐼𝐾 = 0,610865 𝑟

𝑘 = 4.68 𝑢𝑛𝑑

𝑗 = 12 𝑢𝑛𝑑

𝑙 = 8.7 𝑢𝑛𝑑

𝑚 = 13.6 𝑢𝑛𝑑

𝑐 = 6.5 𝑢𝑛𝑑

29

1. El profesor de matemáticas pide a los estudiantes resolver cuatro triángulos que hacen

parte de la constelación Phoenix:

- DKF

- KIN

- MIJ

- KME

2. Luis Miguel le dice a su profesor que la distancia de 𝐷𝐽 es de 252.35 und, el profesor le

dice que ha cometido un error ¿de dónde crees que sacó el resultado Luis Miguel y cuál

crees que fue el error?

Entrevista/encuesta relacionada con la dificultad 3

Basándonos en el diseño de la entrevista se realizó siguiendo la propuesto por Gómez-

Chacón (2002) quien realiza su investigación a partir del estudio de las funciones cognitivas que

están directamente relacionadas con las emociones y afectos que tiene un estudiante, dando a

entender que dichas emociones afectan el desarrollo del estudiante cuando se enfrenta con un

problema matemático.

30

Tenido en cuenta el desarrollo la investigación por Gómez se han tenido en cuenta el

instrumento de recolección de datos como una especie de entrevista con las siguientes preguntas.

1. ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso resolver el problema?

2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver el problema?

3. Durante los intentos por resolver el problema ¿te has afanado por lograr una solución

elegante?

4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de tus

compañeros/as?

5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia el problema están condicionadas por tus

experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Cuáles?

6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema?

Validación de la prueba

La validación de la prueba se realizó en el programa de formación LEBEM con

estudiantes de séptimo semestre.

En la aplicación de esta se observó:

Dificultades en recordar y aplicar diferentes teoremas para resolver las situaciones.

Problemas algebraicos en la manipulación de variables.

Dificultades al asociar relaciones de semejanza entre triángulos.

Actitudes de indiferencia ante la solución de los diferentes problemas.

Asumen posibles estrategias de solución pero no realizan el procedimiento.

Se sugirió:

Ampliación de las imágenes de cada una de las situaciones.

Involucrar más de un objeto matemático en cada una de las situaciones.

Manejar grupos de máximo tres integrantes.

Errores sintácticos en los enunciados y representaciones simbólicas.

Un mayor nivel de dificultad en una de las situaciones problema.

31

Aplicación de la prueba

La prueba se aplicó en dos sesiones en diferentes colegios la primera sesión se aplicó en

el colegio Parroquial la Asunción de Sibaté a 27 estudiantes de grado décimo, se organizaron

mesas de trabajo de 3 estudiantes distribuidos de manera aleatoria, conformando 9 grupos de

trabajo. A cada grupo se le asignó una situación problema de las 3 posibles y se les pide pensar

en voz alta y escribir todos los procedimientos e ideas utilizadas para solucionar la situación

asignada, en el proceso de resolución los estudiantes realizaban preguntas a sus compañeros y a

la docente relacionadas con las diferentes situaciones, a lo largo de la aplicación se tomaron

videos de los procesos realizados por cada grupo de estudiantes. Finalizada la prueba la docente

titular escoge 6 estudiantes a los cuales se les realiza la entrevista.

Para la segunda sesión las situaciones se aplicaron en el colegio Claretiano el Libertador

de Bosa, en dos cursos de grado décimo el curso 10-02 con 32 estudiantes al cual se le asignaron

las situaciones problema uno y dos y el curso 10-03 con 36 estudiantes se les asignó la situación

problema tres, en los dos cursos se pide trabajar en parejas las situaciones con las indicaciones

que no borren ningún procedimiento que realicen y los argumenten.

En esta sesión no se realizaron entrevistas si no se propusieron las mismas preguntas en una

encuesta al curso 10-03.

ANÁLISIS

Categorías de análisis

Para poder analizar los resultados obtenidos se diseñaron las categorías de análisis estas

son tomadas esencialmente de la propuesta que plantea Socas (1997) relacionadas con el

lenguaje y los procesos de pensamiento matemático y Gómez-Chacon (2002) relacionadas con

actitudes afectivas y emocionales, cabe aclarar que dichas categorías se denominan teóricas, y

que gracias a la recolección y análisis de los resultados se generaron unas nuevas categorías

denominas emergentes ya que las categorías teóricas no abarcaban la naturaleza especifica de

los errores cometidos por los estudiantes. Estas categorías están propuestas por tres tipos de

dificultades (A, B, C), a estas se les asocian unos elementos constitutivos (1,2,3,…etc.), como

se muestra a continuación:

A. Dificultades asociadas a la complejidad (Comprensión y comunicación) de los objetos

matemáticos (Socas, 1997. pág. 127)

32

1) Interpretación de los signos matemáticos a partir del lenguaje común, asociación

de conceptos matemáticos al lenguaje común

Para este ítem lo relacionamos a los conflictos asociados a la comprensión y comunicación

de los objetos matemáticos debido a palabras que tienen un significado en el lenguaje

matemático diferente al lenguaje habitual.

Lenguaje Matemático Escritura

Lenguaje habitual

Raíz

X n = potencia Potencia

Sen (x) Seno

Tabla 3 Ejemplos de categoría A1.

2) Palabras específicamente de las matemáticas mal entendidas por ser poco familiares.

Lenguaje Matemático Escritura

Hipotenusa

Circunferencia goniométrica

Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2

33

3) Duda de asociar palabras que tiene un mismo significado en lenguaje habitual como

en el matemático.

4) Dificultad en la interpretación del problema reflejados en una representación.

(categoría emergente)

5) Confusiones a partir de los símbolos matemáticos ≅ 𝛼 ⊀ ≠ ‖.(categoría

emergente)

B. Dificultades asociados a los procesos de pensamiento matemático: relacionadas con la

lógica matemática (Socas, 1997. pág. 127)

1) Dificultad de establecer una deducción lógica (conjeturas, ejemplos contra ejemplos,

etc.) provenientes

Estas se establecen mediante las rupturas del pensamiento matemático, es decir dificultades

asociadas a resolver problemas con un proceso lógico- matemático, realizar representaciones

acertadas del problema o establecer estrategias de solución.

Errores del algebra que tienen origen en la aritmética: con estas dificultades podemos asociar

los errores que los estudiantes cometen debido a objetos o procedimientos concebidos de manera

errónea

2) Dificultad asociada a lógica Social (asociar situaciones habituales con conceptos

matemáticos)

El intento de asociar situaciones matemáticas con situaciones del contexto cotidiano puede

involucrar una actitud crítica del estudiante lo cual dificulta el razonamiento que debe realizar

frente a la situación.

Por ejemplo en un problema de proporcionalidad, dos obreros construyen una pared en 3 horas,

si se tuvieran 9 obreros ¿cuántas paredes construirían? En este caso el trabajo en equipo no

genera un trabajo proporcionalidad, si no al trabajo que realiza cada uno de ellos.

3) Rupturas que provocan dificultades por medio de los modos de pensamiento

matemático (linealidad)

34

Este tipo de dificultades se reflejan cuando el modelo lineal queda implícito el cual genera

conflicto para los otros modelos como:

(a+b)² = a² + b²

Sen 5α = 5 sen α

4) Expresar y aplicar un teorema o ecuación incorrecta por los elementos que toma de

la representación o simplemente el teorema no es el indicado para resolver el

ejercicio.(categoría emergente)

C. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales: (Gómez-Chacon, 2002.

Pág. 3)

1) Las emociones que se desarrollan al enfrentarse a un problema matemático que

producen rechazo a la situación problema.

2) Las emociones que se desarrollan en los procesos de resolución de un problema

matemático que impiden el buen desarrollo o la finalización de la situación

problema.

3) Las emociones que se desarrollan al tratar de solucionar un problema en grupo que

impiden los acuerdos de solución y producen rechazo a desarrollar el problema.

4) La relación con experiencias pasadas en las matemáticas que producen rechazo a los

problemas matemáticos.

Recolección y análisis de resultados

Para referirnos a las evidencias escritas, videos y encuestas se propone un tipo de

nomenclatura que facilita la verificación de la información.

Instrumento de recolección Ejemplo de referencia Nomenclatura

Prueba escrita Situación problema 1 del

grupo de trabajo 2

(S1,G2)

Video Video 5 en el minuto 0:15

hasta el minuto 1:20

(V5,T 0:15- 1:20)

Encuesta Encuesta 24 (E,24)

No corresponde con ninguna

categoría

NC

Tabla 5 Nomenclatura de evidencias.

35

Los errores iniciales que se pudieron evidenciar al estar en la prueba con los estudiantes

se presentan a continuación, dichos errores se extrajeron de los posibles procedimientos o

afirmaciones que decían los estudiantes durante la sesión, es posible que algunos no se reflejen

en la pruebas escritas debido a que pudieron borrar dichos procedimientos.

Prueba 1

● No asocian las propiedades en los triángulos, no tienen en cuenta características de los

triángulos.

● No conocen las nociones de semejanza y congruencia, discriminan las propiedades y.

características de los triángulos semejantes y congruentes.

● Asocian el teorema de Pitágoras para cualquier triangulo.

● Asocian criterios de semejanza con un solo ángulo.

● No asocian la notación correcta en el teorema del seno y coseno.

● Jerarquía de las operaciones simultaneas.

Prueba 2

● Discriminan los triángulos rectángulos en los ejercicios.

● Aplican resolución de triángulos utilizando teorema de Pitágoras.

● Asumen representaciones con conjeturas que no se dice en el planteamiento del

problema.

● Dificultad de operaciones y relaciones con números racionales.

Prueba 3

● No realizan la notación de lados a y ángulos A.

● Asumen que para despejar ángulos pueden realizar esta operación.

● Por apariencia asocian ángulos rectos a triángulos cualesquiera.

● Asocian para todo triángulo rectángulo un ángulo de 90° y 2 de 45°.

A partir de esta serie de errores encontrados anteriormente y con la intención de

sustentarlos, se realiza un análisis más profundo frete a las pruebas escritas y algunos videos

que se tomaron mientras los estudiantes desarrollaban la prueba, la siguiente tabla mostrara la

evidencia del error cometido una breve explicación y la categoría que justifica el tipo de error.

36

Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a la

complejidad del objeto matemático

Número

de

Evidencia

Error presentado por los estudiantes. Categorí

a de

dificulta

d que lo

justifica

1 Correspondiente (S1,G12)

El error aquí presente se

debe a la asociación de

semejanza con

congruencia, los

estudiantes asumen que

cuando se refieren al

término semejanza es lo

mismo que hablar de

igualdad o congruencia en

áreas.

A2


Como se evidencia en la

imagen los estudiantes

entienden la semejanza

como: igualdad de

perímetro entre triángulos,

desconociendo la relación

que se debe cumplir entre

ellos.

A2




confunden las nociones de

semejanza y congruencia,

realizando relaciones de

semenjanza entre los

ángulos, donde es evidente

que los angulos son

congruentes no semejantes.

A2

37

4 Video 8 (T 0:00 – 0:20)

Profesor: ¿Qué es lo que entienden por

perpendicularidad?

Estudiante 1: ¿no es que sean las líneas opuestas?

Profesor: que sean opuestas dices tú, y ¿tú que

entiendes por perpendicularidad?

Estudiante 2: perpendicularidad es que son líneas

opuestas paralelas ¡aaa! Paralelas no opuestas

La noción que tienen los

estudiantes de

perpendicularidad, no

permite identificar que los

ángulos que forman dos

rectas perpendiculares son

rectos.

A2

5

Correspondiente (V2,T 0.29-0.36)

Lizeth: los puntos I, N, J son colineales ¿Qué es

colineales? No sé.

Los estudiantes no

reconocen que es

colinealidad.

A2

6 Correspondiente (V3, T 0:30–1:18)

Santiago: el ángulo NKI es igual a 0.64 radianes

Santiago: un radian es igual a 180

José: 2 pi radianes es igual a 360°

Santiago: un radian es igual a 180 por que una

circunferencia tiene dos radianes

José: si

Presentan errores al

entender que es un radian y

realizar operaciones para

pasar de un sistema de

medidas a otro (grados a

radianes o radianes a

grados).

A2



imagen los estudiantes al

interpretar el problema

asumieron que la sección

de tecnología era una parte

del triángulo completo con

la forma de un triángulo

equilátero y la sección de

video juegos un triángulo

escaleno.

A4

38



imagen al interpretar el

problema los estudiantes

afirmaron que: Andrea

recorre solo el sendero

peatonal 2 y se devuelve lo

cual es incorrecto

evidenciándose un

problema de lectura de los

estudiantes.

A4


Como se evidencia en las

imágenes los estudiantes a

partir de la representación

dada realizan una nueva, y

de manera errónea

ubicaron un ángulo recto

en una posición incorrecta,

debido a esto al tratar de

utilizar el teorema de

Pitágoras obtienen un

resultado que no

corresponde al lado que

deseaban hallar.

A4

10 Correspondiente (S3, G2)

(V2,T 0:03 – 0:15)

Como se ve en la imagen

los estudiantes asumen que

el ángulo GNI es <igual a

90° “por visualización”

De igual manera en la

conversación del profesor y

los estudiantes y estos

afirman que el ángulo es

recto solamente por

visualización.

A4

39

Estudiante 1: ahí se está manejando un ángulo de

90º

Profesor: ¿Por qué? Solamente por la visualización

Estudiante 1: si se puede manejar por visualización

Profesor: ustedes dicen que ese ángulo que está ahí

es recto.

11

Correspondiente ( S3, G10)


los estudiantes asignan

algunos valores erróneos a

los ángulos, por tal razón la

suma de ellos es superior a

180° por tanto concluyen

que el problema no se

puede solucionar.

A4

12 Correspondiente (S1,G21) Como se observa en la


realizan la representación

de un triángulo rectángulo,

cuyo único ángulo

suministrado es igual a 90°

sin embargo los estudiantes

asumen que como la suma

de los ángulos internos de

un triángulo debe ser igual

a 180° cada uno de los

ángulos faltantes mide 45°.

A4

40


Como podemos ver en la


utilizaron los datos

suministrados en el

problema, sin embargo al

realizar la representación

gráfica no utilizan estos

mismos datos, ya que por

ejemplo: los triángulos

dibujados no son triángulos

rectángulos.

A4



los estudiantes ubican dos

ángulos rectos en el

triángulo lo cual muestra

una incorrecta

interpretación del

problema y además la

discriminación de una

propiedad fundamental de

suma de ángulos en

cualquier tipo de triangulo.

A4

15 Correspondiente (V17,T 0:03 –0:44)

Estudiante 1: digamos aquí KME es igual a 4.68

unidades (señala el segmento ME)

Profesora: pero ahí están diciendo de

ángulos o de lados

Estudiante 2: este es el lado

Profesora: estos son ángulos entonces ¿cuál sería el

ángulo KME?

Estudiante 2: es este, es M

Los estudiantes confunden

ángulos con segmentos

(lados).

A4

41

(señalando el segmento M como el ángulo KME

Profesora: entonces ¿Cuánto mide M?

Estudiante 1: 13.6 (señalando el segmento MJ)


Lizeth: el ángulo NIK

Juan : N, I, K (señalando los puntos en el plano)

Juan: es este (señala el ángulo NIK)

Lizeth: no este (señala el ángulo INK)

No ubican correctamente

los ángulos.

(aunque los dos estudiantes

hicieron la misma lectura

uno de ellos señala el

ángulo NIK y y otro el INK

como se ve en la imagen al

tratar de marcarlos son

diferentes ángulos)

A4

17

Correspondiente (V4, T 0:38–1:15)

Laura: el segmento j equivale a 12 unidades, el

segmento m a 8.5 unidades.

Paula: ahí ya tenemos dos lados.

Laura: ahh entonces lo podemos sacar por teorema

de Pitágoras.

Los estudiantes aplican

teoremas sin analizar las

características de los

triángulos que tienen en la

representación ya que por

ejemplo: el teorema de

Pitágoras no se puede

aplicar en cualquier tipo de

triangulo.

A4

42

18

Correspondiente (S3, G1)


los estudiantes asignan un

valor dado para el

segmento k = 4.68

unidades con el valor del

ángulo con centro en el

punto K.

A5

19 Correspondiente (S3. G3)


los estudiantes asignan un

valor dado para el

segmento c = 6.5 al punto

C que se encuentra en el

plano.

A5


Lizeth: k ¿Dónde está k?

Ronald : esta acá

Los estudiantes confunden

los puntos (letras en

mayúscula) con segmentos

(letras en minúscula).

A5

43

Lizeth: esta mediría dos unidades o esta ¿no

entiendo?

Juan: ¿Qué no entiende?

Lizeth : estas medidas de que son

( la estudiante señala las

medidas dadas de los

segmentos k, j , l, m, c)

Juan: de K

Lizeth: pues si pero K tiene

KE O KM ¿entonces esta

medida de que son?

Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A

En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y

videos en el proceso de resolución de problemas, asociando errores que tiene la misma

naturaleza relacionados con la complejidad del objeto matemático.

Número

evidencia

Error Categoría Frecuencia

Cantidad

Estudiantes

1,2,3 Error de asociar palabras. Ejemplo

confundir semejanza y

congruencia.

A2 16

4,5,6 Errores por confusiones o

desconocimiento de conceptos

matemáticos. (Colinealidad,

perpendicularidad, radian).

A2 11

12, Errores en aplicar propiedades a

las representaciones.

A4 9

7, 8,9, 11, 16 Error al representar los datos del

problema.

A4 15

10 Error al asumir propiedades por

visualización.

A4 12

44

13, 14 Errores en las representaciones

realizadas del problema.

A4 26

17 Errores de aplicar teoremas sin

analizar cuando se pueden utilizar.

A4 17

15, 18, 19, 20 Errores por confundir símbolos

matemáticos.

A5 13

Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A

Según lo que se pudo evidenciar en cada uno de los errores presentados para esta

dificultad, un dato importante a tener en cuenta es que ninguno de los estudiantes, incurrieron

en los errores de tipo A1 y A3, se especula que los estudiantes por haber tenido un acercamiento

con términos de la trigonometría, no fue usual que asociaran conceptos de la trigonometría con

el lenguaje habitual, por esta misma razón se puede decir que tampoco tienen dificultad en

distinguir palabras que tienen el mismo significado en el lenguaje habitual y en el matemático.

Por otro lado en A2 palabras mal entendidas del lenguaje exclusivamente de las

matemáticas, podemos ver que los estudiantes cometen varios errores de este tipo ya que

desconocen o confunden el significado de varios términos matemáticos que usualmente se

utilizan en trigonometría por ejemplo, en las evidencias 1,2 y 3 vemos que los estudiantes

presentan gran confusión al hablar de semejanza y congruencia, el entender congruencia como

algo equivalente a la semejanza, este tipo de errores se presentaron con gran frecuencia en el

grupo de estudiantes.

Además en la evidencia 4 al hablar de colinealidad los estudiantes no tienen una

confusión o asociación con otro término sino desconocen totalmente el concepto matemático

presentándose preguntas como ¿qué es eso?, en la evidencia 5 respecto a perpendicularidad los

estudiantes tienen una definición incompleta de este concepto, es decir la definen como rectas

opuestas, pero esta definición no les brinda información sobre los ángulos que se forman entre

dichas rectas, de esta manera vemos que aunque estos errores se encuentren en la misma

categoría tienen diferencias fundamentales algunos se dan por un completo desconocimiento de

las palabras, otros por confusión entre dos conceptos y los últimos por conceptos con

definiciones insuficientes.

En la categoría A4 que consiste en los errores relacionados con la interpretación errónea

del problema y/o en una representación, los errores que se encontraron de este tipo fueron más

comunes, sin embargo estos se dan por diversas razones que se explicaran a continuación.

45

Por tratar de aplicar propiedades en las representaciones: como se ve en la evidencia 12

los estudiantes comprenden que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

sin embargo solo conocen un ángulo igual a 90° por tanto asumen de manera errónea que los

dos ángulos restantes son iguales es decir iguales a 45° de esta manera vemos cómo los

estudiantes realizan deducciones erróneas partiendo de una propiedad.

Errores al representar los datos del problema: en este caso se dio con mayor frecuencia

como vemos por ejemplo en la evidencia 8 vemos que los estudiantes no tienen en cuenta uno

de los datos suministrados en el problema, es decir en el problema les indican el recorrido que

realiza Andrea, sin embargo los estudiantes solo reconocen un fragmento de esta manera desde

la interpretación que realizan del problema ignoran algunos datos suministrados y por tanto

establecen deducciones erróneas. En la evidencia 9 vemos que los estudiantes al tratar de realizar

una nueva representación del problema partiendo de una inicial, confunden datos fundamentales

como la ubicación de los ángulos, al intercambiar estos datos y resolver el problema aunque

apliquen de manera correcta el teorema de Pitágoras los datos son erróneos.

Por otro lado en la evidencia 11 vemos que los estudiantes realizan una interpretación y

análisis incorrecto de los datos suministrados, por tanto los ángulos que obtienen de un triángulo

son superiores a 180° por tal razón asumen que el problema no se puede solucionar, en lugar de

revisar por ejemplo si los procedimientos con los que obtuvieron los datos eran correctos. De

esta manera observamos que los estudiantes pueden cometer errores al ignorar datos

suministrados en el problema, realizar nuevas representaciones y ubicar incorrectamente en

estas los datos suministrados, o interpretar incorrectamente los datos suministrados y establecer

conclusiones erróneas.

Errores al asumir propiedades por visualización: como se ve en la evidencia 10 los

estudiantes asumen que el triángulo que están analizando es rectángulo porque visualmente

“parece” que tiene un ángulo recto, por tanto asumen esta deducción como verdadera sin antes

realizar una verificación utilizando los datos suministrados en el problema.

Errores en las representaciones realizadas del problema: como se ve en la evidencia 13

aunque los estudiantes utilizan los datos suministrados en el problema estos no se ven

claramente en la representación gráfica de estos mismos en este caso los estudiantes colocan la

medida de los segmentos pero los triángulos que dibujan no son rectángulos es decir la

representación de los ángulos no es correcta. Por otra parte en la evidencia 14 los estudiantes

46

realizan la representación de un triángulo con dos ángulos rectos, sin embargo en la

interpretación simbólica no se ve reflejado este error es decir los sistemas de representación

utilizados no se relacionan. De esta manera vemos que los estudiantes pueden realizar

representaciones gráficas incorrectas pero aun así procesos algorítmicos correctos.

Errores de aplicar teoremas sin analizar cuando se pueden utilizar: en este caso como se

ve en la evidencia 17 los estudiantes asumen que pueden utilizar un teorema en este caso el de

Pitágoras sin analizar con detenimiento cuales son las características mínimas que debe tener un

triángulo para aplicar este mismo.

En la categoría A5 errores y confusiones a partir de los símbolos matemáticos: Como

vemos en la evidencia 15 los estudiantes tienen confusión en el concepto de ángulo y lado lo

que se ve reflejado al tratar de ubicar estos mismos en las representaciones gráficas del problema

lo que se repiten en la evidencia 18,19 y 20 en diferentes procedimientos los estudiantes

confunden ya sea el concepto de ángulo y segmento debido a la notación de estos mismos

ángulos con letras mayúsculas y segmentos con letras minúsculas, lo que se puede presentar al

tener asignada el mismo símbolo solo cambiando si es mayúscula o minúscula.

Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a los

procesos de pensamiento matemático.

Número

evidencia

Error presentado por los estudiantes Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

1

Correspondiente a la situación 1 grupo 11

(S1,G11)

Como se evidencia en

la imagen, los

estudiantes

argumentan su

respuesta por medio de

la comparación de área

de los triángulos, sin

tener en cuenta que se

debe realizar una

comparación de los

triángulos según su

perímetro.

B1

47


Como se ve en la


no interpretan

correctamente la

representación del

centro comercial, ya

que en el problema la

distancia de la salida

hasta el punto de

información es igual a

8 metros y no a 10

metros.

B1


Como se ve en la


utilizan datos

arbitrarios, ya que

estos no se dan en la

situación problema, sin

embargo utilizan estos

mismos para realizar

procedimientos

algebraicos y tratar de

llegar a una solución.

B1


Como se ve en la


restan a 180° (la suma

de los ángulos internos

de un triángulo) con la

medida de uno de los

lados 6.5 obteniendo

como resultado 1735.

B1

5


Como se ve en la


tratan de convertir

unidades a grados, es

decir las medidas

6.5und, 4.67und y

10.6und que

corresponden a

medidas de segmentos,

por lo cual pueden

estar pensando por

ejemplo: que estas no

B1

48

corresponden a lados si

no a ángulos.


Como se ve en la


asignan valores

arbitrarios al ángulo

MJI = 6.9 y al

segmento g= 4.

B1


Los estudiantes

asocian criterios de

semejanza con un solo

ángulo (90°)

argumentando que

todos los triángulos

rectángulos son

semejantes, este tipo

de error se debe a la

deducción lógica y

conocimientos previos

que tienen los

estudiantes.

B1

8

Correspondiente (S1,G21)

Como lo muestra la

figura el error aquí

consiste en que los

estudiantes le

asignaron valores a los

ángulos de manera

arbitraria al triángulo

rectángulo: 7.9 7.39

desconociendo la

propiedad de la suma

de los ángulos internos

de un triángulo suman

180°.

B1

49


Como se observa en la


asumen que en un

triángulo el lado con

mayor longitud es la

hipotenusa,

discriminando que esto

solo ocurre en

triángulos rectángulos

y proceden a resolver

el problema utilizando

la terna pitagórica.

B1


Los estudiantes

asocian propiedades de

las razones

trigonométricas en

triángulos rectángulos

con triángulos

cualesquiera, a partir

de esto se evidencian

errores en la ecuación

asumiendo que el

ángulo B es igual al

seno del cateto opuesto

sobre la hipotenusa,

sin tener en cuenta que

no son triángulos

rectángulos.

B1

50

11 (V2,T 0:25- 1:05)

Estudiante 2: ustedes suman todos estos tres lados

y les dan los 180

Estudiante 1: 34.9 más 55.1 más 90 igual a 180

Profesor: ok ustedes solo sacaron el ángulo de acá

y dijeron, no ese es 90 entonces cojamos este

sumémosle este y restémosle 180 y meda este

(ángulo IKN).

Estudiante 2: no está mal y yo a usted le digo

porque no, porque todo esto si es un ángulo recto

toda la suma de los ángulos tiene que dar 90 si es

un ángulo recto

La estudiante

confunde la suma de

los ángulos internos de

un triángulo con la

medida de un ángulo

recto.

B1


Como se ve en la


cometen dos errores

aritméticos el primero

ocurre cuando tratan

de resolver 2²

obteniendo como

resultado 8 y el otro

error cuando proceden

a sacar la raíz de 24

obteniendo como

resultado 4.

B3

13 Correspondiente (S3 G8)

Como se ve en la


cometen errores

aritméticos ya que al

elevar 132 𝑦 6.52

obtienen

correspondientemente

26 y 13 es decir creen

que elevar al cuadrado

es multiplicar por el

exponente 2.

B3


(V6,T 0:05 – 0:21)

Como se ve en la


al tratar de obtener 2/3

de una cantidad inicial

ya que aunque el

algoritmo lo realizaron

correctamente este no

B3

51

Estudiante 1: para sacar el 2/3 lo sumo 3 veces el

mismo número y lo divido en dos (estudiante hace

la siguiente representación 1443 ÷ 2

Profesor: ósea tu elevas este número al cubo y lo

divides en dos para sacar las dos terceras partes

es un procedimiento

acertado para obtener

una fracción de una

cantidad inicial.


En la imagen se

evidencia que los

estudiantes utilizan el

teorema de Pitágoras

para determinar la

hipotenusa de un

triángulo rectángulo,

sin embargo al emplear

el algoritmo usan un

signo de manera

incorrecta por lo cual

la medida del lado

buscado /Fontibón-

Soacha) es incorrecta.

B3


Como se ve en la


realizan

incorrectamente la

conversión de la

relación 𝑐𝑜𝑠−10.4539

a grados ya que dicen

que esta es igual a

258.08°.

B3

17


Como se ve en la


cometen errores

algebraicos al tratar de

pasar radianes a grados

ya que al convertir

0.61865 radianes a

grados dividen por 180

obteniendo como

resultado 3.43.

B3

52


Como se ve en la


cometen un error

algebraico al tratar de

realizar un proceso de

conversión ya que al

multiplicar un número

como 6.5 por 𝜋

180

obtienen 6.5

180.

B3


Como se ve en la


tratan de convertir el

ángulo B para esto

asumen que Sen

B=35.6 lo cual no es

correcto.

B3


Los estudiantes

presentan errores al

realizar operaciones

después de realizar

procesos de despeje de

una ecuación, ya que

no tienen en cuenta la

jerarquía de

operaciones y además

cometen errores con

los signos de algunas

cantidades.

B3

21

Correspondiente (S1,G21)

Los estudiantes

cometen un error al

asignar un valor

arbitrario a un cateto

del triángulo 652.3 por

lo cual se evidencia

que no tuvieron en

cuenta los datos

suministrados como la

hipotenusa del

triangulo.

B3

53


En la imagen podemos

observar que los

estudiantes conocen y

aplican el teorema del

coseno con los

elementos del

triángulo

correctamente, pero en

uno de los

procedimientos

aritméticos asumen

que la suma de 64+16=

70.

B3


El error evidenciado en

esta imagen

corresponde a que los

estudiantes conocen el

teorema del coseno, lo

aplican, pero al

momento de despejar

el ángulo A no tienen

en cuenta que deben

aplicar arco seno al

resultado para obtener

el ángulo.

B3


Como evidenciamos

en la imagen los

estudiantes conocen y

aplican el teorema de

Pitágoras

correctamente, pero

cometen errores

aritméticos

confundiendo la

operación suma con la

multiplicación,

además de ubicar la

coma decimal en un

lado incorrecto para

cada número.

B3

54


Los estudiantes

utilizan el teorema de

Pitágoras, ubican

correctamente los

datos que encuentran

en el triángulo, pero

presentan errores

algebraicos en las

operaciones por

ejemplo: al momento

de despejar x2 los

signos son incorrectos.

B3


Los estudiantes

presentan errores al

momento de realizar

procedimientos con las

razones

trigonométricas

específicamente al

despejar ángulos,

como se ve en la


para eliminar el

exponente -1 en

coseno utilizan como

método de eliminación

raíz cuadrada,

presentando así un

error algebraico.

B3


En esta imagen

podemos evidenciar

que el estudiante a

pesar de realizar

correctamente los

procedimientos

aritméticos en la terna

pitagórica, no utiliza

los datos

correspondientes a la

representación, lo que

conlleva al estudiante

responder de manera

incorrecta la pregunta.

B4

55



la imagen los

estudiantes muestran

el teorema de Pitágoras

de una manera

incorrecta que

posteriormente aplican

en algunos

procedimientos.

B4


Como se puede

evidenciar en la


establecen las

ecuaciones o teoremas

de manera incorrecta

en este caso al utilizar

el teorema del seno

relacionan un lado con

el ángulo incorrecto.

B4


En esta imagen se

observa que los

estudiantes realizan un

remplazo en la

ecuación incorrecto

ubicando solamente el

ángulo y no el seno del

ángulo, por dicha

razón el lado obtenido

es igual a 0.13 km.

B4

56


Los estudiantes

realizan

interpretaciones

incorrectas de las

representaciones,

utilizando ecuaciones

inválidas para

solucionar los

triángulos, en este caso

utilizan el teorema de

Pitágoras para

cualquier triángulo, sin

tener en cuenta que

este triángulo no tiene

un ángulo de 90

grados, llegando al

resultado incorrecto.

B4



la imagen los

estudiantes aplican el

teorema del seno

realizando relaciones

incorrectas ya que

están relacionando el

lado “c” con Sen(A) y

lado “a” con Sen(C).

B4



la imagen los

estudiantes no usan los

datos representados al

emplear el teorema de

Pitágoras, por ejemplo:

12² no lo toman de la

representación que

tienen si no de manera

aleatoria o de

ejercicios pasados.

B4

57


Los estudiantes no

realizan la notación

correspondiente en las

ecuaciones o teoremas,

así como se observa

expresan el teorema

del seno correctamente

pero remplazan

incorrectamente en la

ecuación: en este caso

piensan que el lado “a”

corresponde con el

ángulo que lo

comprende y no con el

opuesto.

B4


Lizeth: no me acuerdo del teorema del coseno

Juan: pues es que la fórmula es 𝑎2 = 𝑏2 ∙ 𝑐2 +2𝑏𝑐 + 𝑐𝑜𝑠𝐴 Lizeth: pues para hallar un lado

Juan: pues usemos el teorema del coseno

Los estudiantes

expresan las

ecuaciones o los

teoremas de manera

incorrecta por lo cual

presenta errores en los

posteriores

procedimientos.

B4

Tabla 8 Errores relacionados con la dificultad B

En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y

videos en el proceso de resolución de problemas, mostrando asociando errores que tiene la

misma naturaleza relacionados a los procesos de pensamiento matemático.

N Error Categoría Frecuencia

Cantidad

Estudiantes

2,7,11 Error al sustentar alguna propiedad en

una representación.

B1 6

1,3,4,5,6,8 Error de establecer datos, conjeturas o

procedimientos erróneos.

B1 28

9, 10 Error de asociar teoremas a triángulos

cualesquiera.

B1 15

58

23, 16,19, 26 Error procedimental con las relaciones

trigonométricas y los inversos de la

función.

B3 14

12,13,

22,15,20,24

Error de tipo aritmético en la jerarquía

de operaciones, y al operar suma, raíz,

exponente.

B3 21

21 Errores procedimentales a partir de una

representación.

B3 18

17,18 Errores procedimentales en la

conversión

B3 12

14 Errores aritméticos con números

racionales.

B3 29

25 Errores en los elementos y signos al

despejar una ecuación.

B3 23

30 Errores al reemplazar la ecuación o

teorema.

B4 35

27,31,33. Error al extraer datos de la

representación ubicándolos en el

teorema.

B4 29

28,29,32,34,35. Errores al expresar el teorema. B4 23

Tabla 9 clasificación de errores asociados a la dificultad B

Para esta dificultad encontramos errores que tienen procedencia a los procesos de

pensamiento matemático, teniendo en cuenta la teoría en la que se basan las dificultades, según

la tabla anterior se puede afirmar que los estudiantes no incurren en errores de tipo B3

relacionados a la lógica social, esto puede deberse a que al interpretar la situación, solo buscan

los elementos necesarios para solucionarlos, pero no llegan a una interpretación crítica de los

datos presentados en la situación problema, no se preguntan si dichos datos corresponden a datos

en los espacios reales.

Para la categoría B1 encontramos errores relacionados con la deducción lógica, de estos

errores se pueden caracterizar los errores al sustentar alguna propiedad en una representación,

por ejemplo en la evidencia 7 y 11 los estudiantes por medio de la representación y los

conocimientos previos asumen propiedades incorrectas al decir “todos los triángulos

59

rectángulos son semejantes por tener un ángulo de 90°” o “los ángulos internos de un triángulo

son igual a 90°” dichas afirmaciones que realizan los estudiantes se relacionan con la forma de

realizar un proceso de deducción lógica frente a la situación problema, mostrando en varios

casos deducciones erróneas para proceder a solucionar el problema, este tipo de error puede

deberse a los conocimientos previos que tiene el estudiante en álgebra y geometría.

Otros tipos de errores evidenciados en esta categoría son los relacionados con errores al

establecer datos, conjeturas o procedimientos erróneos, en las evidencias 1,3,6,8, los estudiantes

argumentan su respuesta o realizan procedimientos con elementos que no les brinda la situación

problema si no son propuestos arbitrariamente, con la intención de completar los datos que les

exige la ecuación o el teorema, además de intentar convertir unidades de medidas como se

presenta en las evidencias 4,5 pasar los lados del triángulo a una medida angular.

Para la categoría B3 tenemos los errores relacionados con errores procedimentales y

algorítmicos de carácter aritmético y algebraico y los relacionados con las razones

trigonométricas, este tipo de errores identificados en la tabla anterior se presentan de la siguiente

manera:

Los relacionados con los errores procedimentales a partir de una representación, este

tipo de errores se presentan en los estudiantes partiendo de una representación asumen algunos

valores arbitrarios y realizan procedimientos a partir de estos, mostrando errores en los

resultados de los lados y ángulos que debían hallar según ha indicación de la situación problema.

En las demás evidencias errores de tipo aritmético 12, 13, 15, 20, 22 en la jerarquía de

operaciones por ejemplo los estudiantes al realizar operaciones después de realizar procesos de

despeje de las ecuaciones no tiene en cuenta los inversos multiplicativos y aditivos, además

cometen errores aritméticos cuando tratan de resolver números elevados a una potencia como

4² obteniendo como resultado 8, creen que elevar al cuadrado es multiplicar por el exponente 2,

también en la evidencia 24 se presentaron confusiones entre símbolos matemáticos es decir la

operación era una suma y realizaban multiplicación.

Por otro lado se presentaron errores al realizar conversiones para lograr encontrar

ángulos, por ejemplo en la evidencia 14 asumen que para pasar de grados a radianes solo se

debe dividir en 180 despreciando el valor de π,

En otras evidencias los estudiantes presentan errores al momento de realizar

procedimientos con las razones trigonométricas específicamente al despejar ángulos, como en

60

la evidencia 26 al eliminar el exponente -1 en coseno utilizan como método de eliminación raíz

cuadrada, presentando así un error algebraico,

Para la categoría B4 tenemos errores relacionados con la forma en que se utiliza la

ecuación o teorema a partir de una representación o del mismo enunciado de la situación

problema, también se puede evidenciar el mal uso de dicho teorema o ecuación con errores en

la forma de presentarlo, al momento de ubicar los datos en la expresión o al momento de hacer

la correspondencia de los elementos del teorema con los datos que brinda el problema.

En el primer caso en la evidencia 30 podemos observar los errores que cometen los

estudiantes al realizar el reemplazo en el teorema por ejemplo el reemplazo incorrecto ubicando

solamente el ángulo (53°) y no el dato indicado seno del ángulo (Sen 53°), por dicha razón es

evidente el error al realizar el procedimiento.

Por otro lado un error en el que cayeron varios estudiantes, se observa en las evidencias

27, 31,33, al momento de extraer los datos de la representación y ubicarlos en el teorema, por

ejemplo el hecho de que la representación muestre los datos, pero el estudiante no extrae los

datos correspondientes al teorema conlleva a un error de este tipo.

Por último los errores que cometen con más frecuencia los estudiantes, son aquellos en

la expresión del teorema probablemente debido a no recordarlo bien o errores al expresarlo por

la inmediatez de la respuesta, por ejemplo en las evidencias 28, 29, 32, 34, 35. Muestra el

teorema con correspondencias incorrectas que involucran principalmente la correspondencia de

lados y ángulos en los teoremas del seno y coseno.

Errores identificados a través de entrevistas y encuestas relacionados con las

dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales.

Las evidencias de esta categoría se determinaron por medio de dos instrumentos

entrevistas y encuestas, para las cuales se generan dos tablas independientes como se muestra a

continuación:

Entrevistas.

1. ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso la situación problema antes de

resolverla?

Emociones Evidencia Análisis Frecu

encia

Categor

ía de

61

dificulta

d que lo

justifica

1 Intriga

Correspondiente (V1,T 0:11-

0:36)

Santiago : “intriga de cómo

empezar a resolverlo y luego

pues llegar al resultado que

uno tenga la certeza de que

ese es”

El estudiante manifiesta

que siente emoción de

intriga por resolver el

problema dicha emoción

que actúa como factor de

interés por resolver el

problema o llegar a un

punto de no entender a

donde se quiere llegar y

abandonarlo.

2 C1

2 Confusión


0:27)

Paula: “pues es como muy

confuso, porque la verdad son

problemas que uno no está

muy acostumbrado a

resolver”

La estudiante argumenta

que siente confusión a la

hora de resolver

situaciones problema, esto

se debe al nivel de

interpretación que deben

utilizar para llegar a

conjeturas

representaciones

procedimientos y

argumentos válidos.

3 C2

3 Temor


0:35)

Edward: pues temor porque

pues algunos de los puntos

que nos correspondió o sea

nos tocó trabajar no me

acordaba bien, entonces pues

eso era.

El estudiante dice tener

temor a la hora de abordar

el problema, lo cual

conllevaría a poder

presentar errores debido al

desconocimiento del

concepto matemático que

se trabajaba en la situación.

1 C2

Tabla 10 Emociones pregunta 1 entrevista

2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver la situación problema?

N Emociones Evidencia Análisis Frecu

encia

Categor

ía de

dificult

ad que

lo

justific

a

4 Inseguridad


1:10)

El estudiante establece que

la inseguridad como

2 C2

62

Santiago: “Emociones más

que todo de inseguridad,

porque uno empieza a pensar

más que todo, que a uno el

procedimiento le está

quedando mal, a que uno está

llegando a un procedimiento

de total confiabilidad”

emoción que se produce al

realizar una situación

problema puede generar

procedimientos incorrectos

o dudosos cuando se está

abordando la prueba.

5 Estrés


1:15)

Paula: “es como estrés porque

a veces uno se confunde, al

momento de hacer una cosa y

no le sale, entonces uno

piensa que está mal y luego

empieza como a desconfiar de

uno y empieza a preguntar sin

saber si está mal o no”

El estrés como emoción

según la estudiante,

produce confusiones a la

hora de abordar un

procedimiento

matemático, planteando

que existe desconfianza de

lo que está realizando, es

decir que los

procedimientos plasmados

en la prueba carecen de

validez por el estudiante.

2 C2

6 Felicidad


0:46)

Edward: “Felicidad porque

pues uno lo resuelve”

1 NC

7 Miedo


1:20)

Yari: miedo no sabía si era lo

que hicimos

La estudiante manifiesta

que el miedo implica a que

ellos realizaban

procedimientos pero no

sabían si realmente era lo

que estaba pidiendo el

problema, es decir que

carecía de validez la

solución obtenida

1 C3


3. Durante los intentos por resolver la situación problema ¿te has afanado por lograr una

solución refinada? Sí, no ¿por qué?

N Respuesta Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

8 Si Correspondiente (V1,T 1:23-1:36) 6 NC

63

Santiago: “si porque uno siempre va a

buscar la manera de encontrar la

solución, pues en este caso creo que solo

había una solución para cada problema y

pues uno siempre se afana por buscar esa

solución, como por llegar a demostrar

que uno es capaz de demostrar eso”.

Correspondiente (V5,T 1:00-1:16)

Edward: “si pues tratarlo de hacer

resolver el problema perfectamente para

que quede bien la solución” Tabla 12 Emociones pregunta 3 entrevista

4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de tus

compañeros/as?

N Reacciones Evidencia Análisis Frec

uenc

ia

Categorí

a de

dificulta

d que lo

justifica

9 Conflicto Correspondiente (V1,T 1:49-

2:15)

Santiago: pues uno que

siempre entra a resolver un

problema con los compañeros,

pues uno siempre entra en un

conflicto de choque, pues

porque ellos piensan una cosa

uno piensa otra, y cada uno de

nosotros piensa que tenemos

la verdad, pero lo que hicimos

fue tratar de pensar entre todos

y llegar a una misma solución,

pero aunque no se nos dio

terminar el problema.

El estudiante expresa que

el conflicto que se genera

en un grupo de trabajo al

resolver el problema es

debido a las ideas

diversas de cada uno, lo

que puede generar

diferentes respuestas o

procedimientos que

confronten lo que piensa

cada estudiante.

1 C3

10 Impotencia Correspondiente (V4,T 1:30-

1:48)

Harold: impotencia porque

ellos ya tenían una forma ya

clara de hacerlo

El estudiante indica

impotencia por no poder

ofrecer ayuda para

resolver el problema,

creando así en el

estudiante rechazo frente

a problemas matemáticos

ya que piensa que su

1 C3

64

punto de vista no

aportaría a la solución del

problema.

11 Dialogo Correspondiente (V6,T 2:00-

2:05)

Yari: pues primero

analizamos a ver si tenía

lógica lo que estaban

hablando y después miramos

cual era la más, que se

acercaba más y escogimos esa

1 NC

12 Búsqueda

de un

acuerdo


2:00)

Paula: pues a veces teníamos

como ideas muy diferentes,

pues tocaba llegar como a un

acuerdo, pero todos decíamos

algo diferente y no nos

poníamos de acuerdo,

entonces tocaba hacer lo que

nosotros creíamos que estaba

bien.

Entrevistador: ¿ósea llegaban

como a?

Paula: a un acuerdo de esto,

ósea, esto puede estar bien,

esto se pasa a veces al pasar

los signos y esas cosas.

1 NC

13 No escucho


1:34)

Edward: pues yo no escuche.

Entrevistador: o sea en tu

grupo las ideas las dabas tú.

Edward: si, exacto entre

nuestro grupo se hacía todo.

1 NC

14 Aceptación Correspondiente (V5,T 1:41-

1:55)

Entrevistador: las ideas las

dabas tú

Edward: no entre los tres

1 NC

65

Entrevistador: pero tu

reacción cual fue ante eso

Edward: pues aceptable

porque al momento de lo que

ellos pensaban, también era

relacionado con lo que yo les

iba a decir.


5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia la situación problema están condicionadas por tus

experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Por qué?

N Reacciones Evidencia Análisis Frecu

encia

Categorí

a de

dificulta

d que lo

justifica

15 Están

relacionadas

con las

experiencias

pasadas en

matemáticas

.

Correspondiente (V5,T

2:15-2:30)

Edward: frente a lo que he

visto en matemáticas pues

porque los conocimientos

que yo tengo son, pues lo que

nos han enseñado y es

relacionado con el problema

que nos colocaron

El estudiante indica que

las reacciones o

emociones que tiene

frente al problema están

condicionadas por los

aprendizajes y

conocimientos previos

antes desarrollados, es

decir que es gracias a lo

que conocen surgen las

reacciones.

6 C4


6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema? Sí, no ¿Por qué?

N Reacciones Frec

uenc

ia

Categorí

a de

dificulta

d que lo

justifica

16 Si cambian

las

emociones


4:05)

Paula: “Si, Claro porque uno

puede estar normal en la clase,

poniendo cuidado sí, pero

como cuando a uno le

empiezan a hacer un problema,

pues uno ya empieza a analizar

mejor las cosas, uno empieza a

La estudiante afirma que

las emociones cambian

en el momento que se

cambia la actividad, es

decir el momento que en

que está adquiriendo el

conocimiento al

momento donde debe

reflejar lo aprendido en

la resolución problemas,

6 C1

66

pensar más, a dudar más

porque ya es como poner en

práctica lo que uno ha puesto

atención a las clases”.

y que esto conlleva a que

las emociones cambien

y estén relacionadas con

los resultados obtenidos. Tabla 15 Emociones pregunta 6 entrevista

Encuestas.

1 ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso la situación problema

antes de resolverla?

N Emociones Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

17 Confusión “confusión total ya que no me acordaba

de los temas” (E,13)

9 C4

18 Ansiedad 1 C1

19 Nervios “nervios porque no tengo mucha

memoria , pero ir leyendo fui analizando

y me fluyeron las respuestas” (E,2)

9 C2

20 tranquilida

d

“tranquilidad al entender los problemas

planteados”(E,5)

2 NC

21 intriga 4 C1

22 Bien “me sentí bien porque vi cosas que ya

sabía” (E,9)

2 NC

23 malgenio “experimente nuevas emociones de

malgenio porque no podía solucionar”

(E,12)

1 C2

24 ninguna “ninguna pues este tipo de pruebas las

resolvemos muy seguido mediante

talleres” (E,20)

1 NC

25 estrés “estrés de no poderlo resolver bien”

(E,22)

3 C2

26 temor “pues un poco de temor por no saber

cómo me desempeñaría” (E,26)

1 C1

Tabla 16 Emociones pregunta 1 encuesta

2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver la situación problema?

N Emociones Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

27 Malgenio Correspondiente encuesta 21 (E,21)

“rabia porque todo lo que hice me quedo

mal”

3 C2

67

28 Alivio Correspondiente (E,9)

“me sentí aliviada porque entendía

cómo resolverlo”

4 NC

29 Nervios “nervios por no poder resolverlo 4 C2

30 Ignorancia “ignorancia de no poder hacer lo más

básico

1 C4

31 Normal 1 NC

32 Pensativo 1 C1

33 Estrés Correspondiente (E,22)

“más estrés porque me quedo mal”

8 C2

34 Duda “duda por que no estaba segura de cómo

resolverla”

1 C1

35 Frustración 1 C1

36 Adrenalina “adrenalina de poder pensar más rápido

para la solución”

1 C2

37 Nauseas 1 C1

38 Entusiasmo Correspondiente (E,31)

“entusiasmo por saber el resultado”

1 NC

39 Ansias Correspondiente (E,3)

“ansias por entender el tema”

1 C1

40 calma “me calme por que empecé a entender” 2 NC

41 Alivio “me sentí aliviada porque entendí la

mayoría de problemas”

4 NC

Tabla 17Emociones pregunta 2 encuesta

3. Durante los intentos por resolver la situación problema ¿te has afanado por lograr una

solución refinada? Sí, no ¿por qué?

N Respuesta Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

42 si “por qué me daba mucha curiosidad y

era muy largo”

25 NC

43 no “no porque tenemos que hacerlas

despacio para poder solucionar”

5 NC


4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de

tus compañeros/as?

N Reacciones

compañeros

Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

44 Rabia Correspondiente (E,11) 5 C3

68

“rabia de que ellas puedan y yo no”

45 Confusión Correspondiente (E,2)

“confusa porque tenía una respuesta

diferente”

4 C3

46 Buena Correspondiente (E,3)

“buena ya que nos ayudan a hacer el

ejercicio”

3 NC

47 Ninguna “ninguna porque teníamos lo mismo” 2 NC

48 Susto Correspondiente (E,4)

“asustada por que todos teníamos

soluciones diferentes hasta que nos

pusimos de acuerdo”

4 C3

49 Estrés 4 C3

50 Alegría 1 NC

51 Duda Correspondiente (E,19)

“duda ya que teniendo una respuesta y

escuchar las otras le da a uno

desconfianza”

1 C3

52 No los tuvo

en cuenta

Correspondiente (E,10)

“la verdad no ponía atención a mis

compañeros estaba concentrado en lo

mío”

2 C3


5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia la situación problema están condicionadas por

tus experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Por qué?

N Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

53 Si Correspondiente (E,1)

“ si porque son temas vistos en el colegio”


“si por que en anteriores años nos habían

explicado bien los temas”

18 C4

54 No Correspondiente (E,17)

“no porque siempre estoy callado para

resolver problemas matemáticos, pero esto

es algo que no se ve mucho y me altero”


“no, eso ya viene en cada quien ”

6 C2

55 No se Correspondiente (E,28)

“no sé, por qué no se”

2 NC

69


6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema? Sí, no ¿Por qué?

N Frecuencia Categoría

de

dificultad

que lo

justifica

56 Si Correspondiente (E,3)

“si ya que uno se mete en el cuento de

hacer y entender el tema”


“si porque cuando inicio quiero terminarlo

y me cambian las emociones

radicalmente”

23 C1

57 No “no por que trato de mantener mi cabeza

fría al resolver un problema matemático”

3 C1


En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las encuestas y entrevistas,

mostrando asociando de las emociones y actitudes afectivas que conlleva a que se presenten

errores al trabajar una situación problema.

Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales

N Motivos por los que se pueden generar

errores.

Categoría Frecuencia

Cantidad

Estudiantes

1,18,21,26,32,34,35,

37,39

Sentir emociones de intriga, ansiedad,

temor, duda, frustración, no deja resolver

el problema.

C1 12

16,56,57 Al cambiar las emociones, se cometen

errores

C1 11

2,19,23 Por nuevas emociones al intentar resolver

el problema, confusión, nervios y

malgenio.

C2 6

30,33,25 Por estrés, temor, rabia al no poder hacer

el ejercicio.

C2 5

27,31 Por Inseguridad de la respuesta. C2 8

29, 32 Por Estrés al saber que tiene mal el

resultado

C2 9

8,44 Por miedo y rabia de no ser escuchado. C3 7

70

9,51,52 Por estrés, duda generando conflicto en el

desarrollo de la prueba.

C3 5

37, 45, 48,49 Por impotencia, confusión y duda al tener

diferentes respuestas.

C3 6

15,53 Por experiencias pasadas en matemáticas C4 6 Tabla 22 clasificación de errores asociados a la dificultad C

Con la descripción y el análisis realizado para esta dificultad, y de forma específica las

cuatro categorías, hemos tratado de poner de manifiesto las relaciones entre los procesos

afectivos y cognitivos en situaciones problema intentando explicar las causas y consecuencias

de la interacción emocional que tiene el estudiante en las diferentes fases de la resolución de

problemas.

A partir de las evidencias de estos estudiantes, hemos enunciado aspectos significativos

para conocer las emociones y posibles motivos por los cuales se cometen errores al resolver una

situación problema.

Por un lado tenemos las emociones que nacen al enfrentarse al problema matemático

(C1), un grupo de estudiantes indica que la mala interpretación y la complejidad de la situación

problema puede confundir, estresar e indisponer, a los estudiantes para realizar la prueba

correctamente, lo que conlleva a que se presenten errores en el desarrollo de la situación

problema, que se relacionan con las emociones surgidas por los procesos de resolución de

problemas de tipo (C2), momento en el que estudiantes pueden proponer ideas, procedimientos,

ejemplos, pero expresan que sienten inseguridad y/o miedo a la hora de validar los

procedimientos realizados.

Por lo visto en las entrevistas y encuestas los estudiantes consideran que las emociones

generadas en el trabajo en grupo (C3) se deben por desconocimiento matemático de algunos

estudiantes, sintiéndose incapaces de proponer sus ideas o ya sea por las diversas ideas que se

tienen al desarrollar un problema matemático y entrar en conflicto para decidir cuál es la más

acertada. Finalmente la mayoría de estudiantes afirman que las emociones presentadas en las

fases de resolución de problemas están directamente relacionadas con sus experiencias

matemáticas y que por dicha razón es que se presentan errores en las situaciones problema.

71

CONCLUSIONES

Al iniciar este trabajo nos propusimos realizar una clasificación y análisis de errores y

dificultades (E-D) que presentan los estudiantes de grado décimo a la hora de trabajar problemas

de resolución de triángulos haciendo uso de conceptos y procesos de la trigonometría, para esto

diseñamos no solo categorías en las que podíamos enmarcar los errores y dificultades si no

situaciones problemas que los abarcaban, de esta manera creemos que la resolución de

problemas es parte fundamental en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes

y que aumenta significativamente la dificultad de las matemáticas, y por tanto requieren un

mayor esfuerzo por parte de los estudiantes, de igual manera esta metodología propicia que los

estudiantes cometan un mayor número de errores, y permite identificar más dificultades y

errores que en una metodología tradicional, pero creemos que lejos de ser algo que entorpezca

los procesos de enseñanza aprendizaje es una metodología que realmente enriquece los procesos

educativos, que esos errores se pueden convertir en fortalezas y que de esta manera se logra un

verdadero aprendizaje significativo en los estudiantes.

Al diseñar el instrumento que permitió identificar el tipo de dificultades y errores que

surgirían en los estudiantes la idea inicial era elaborar un solo instrumento y aplicarlo de manera

individual para recolectar los datos. En el momento de realizar la prueba de validación se vio la

necesidad de elaborar un instrumento específico por cada tema y la posibilidad de trabajar en

grupos para implementar la metodología de resolución de problemas. En el momento que los

estudiantes resolvían la prueba se identificó gran dificultad al momento de usar teoremas del

seno y el coseno, principalmente cuando deben realizar despejes en la ecuación, o usar datos

para remplazarlos en el teorema.

Los errores encontrados en las pruebas enfocadas en la resolución de triángulos,

permitieron identificar los posibles orígenes, como se pudo observar en el análisis de resultados,

existen errores de tipo aritmético, algebraico y geométrico, con lo cual concluimos, que los

errores presentados en la trigonometría, especialmente en problemas con resolución de

triángulos, tienen una estrecha relación con la aritmética, la geometría y el álgebra, ya que los

conocimientos y destrezas que tengan los estudiantes en éstas, facilita/obstaculiza un mejor

entendimiento en conceptos relacionados con la trigonometría.

Gracias a este trabajo afinamos las categorías planteadas con ayuda de los referentes

teóricos y las categorías emergentes surgidas en el proceso de análisis, se puede realizar una

72

clasificación de tres tipos; las tipo A: correspondiente a los errores relacionados con la

complejidad del objeto matemático, de tipo B: los errores relacionados con procesos de

pensamiento matemático y por ultimo las de tipo C: relacionadas con las actitudes y emociones

que se generan durante las fases del proceso de resolución de problemas. Con estas categorías

pudimos identificar diferencias radicales en los tipos de errores que pueden cometer los

estudiantes, es decir muchas veces como docentes suponemos que los estudiantes tienen una

dificultad o cometen un error simplemente por falta de conocimiento, no nos detenemos a mirar

por ejemplo: ¿Cuál es la dificultad de los objetos matemáticos que tratamos para los estudiantes?

¿Qué procesos de pensamiento matemático se pueden generar en los estudiantes? o simplemente

fijarnos en las actitudes o emociones que pueden estar sintiendo nuestros estudiantes al

enfrentarse a una situación problema o en general hacia las matemáticas.

Con el análisis realizado en la dificultad relacionada con las actitudes afectivas y

emocionales, queremos hacer notar que en la práctica educativa, para nuestro caso en la

actividad matemática, el desarrollo de la dimensión emocional es un factor muy importante en

los estudiantes a la hora de enfrentarse a una situación problema, ya que los estudiantes sustentan

que la variedad de errores se presentan por las actitudes, reacciones y emociones al abordar un

problema matemático, además de considerar las experiencias pasadas en las matemáticas como

factor principal de la presencia de dichos errores, detalles que como docentes olvidamos y que

debemos tener presentes a la hora de analizar dónde se originan los errores y no solo pensar en

el objeto matemático.

En el análisis de resultados se vio necesario generar nuevas categorías llamadas

categorías emergentes para poder analizar los errores cometidos por los estudiantes, ya que las

categorías teóricas inicialmente planteadas no abarcaban completa y específicamente la

naturaleza del error, dichas categorías emergentes se describen de la siguiente manera; A4

dificultad en la interpretación del problema reflejados en una representación, esta categoría

contempló aquellos problemas en la interpretación que realizaron los estudiantes a la situación

problema, presentando errores al ubicar datos incorrectos o propiedades que no corresponden

con el enunciado de la situación. La categoría A5, confusiones a partir de los símbolos

matemáticos (≅ 𝛼 ⊀ ≠ ‖ ), esta categoría abarcó los errores que presentaban los estudiantes a

la hora de interpretar los símbolos matemáticos involucrados en la situación problema,

presentando confusiones o desconocimiento al momento de ubicar datos. Por último, la

73

categoría B4, expresar y aplicar un teorema o ecuación incorrecta por los elementos que toma

de la representación o simplemente el teorema no es el indicado para resolver el ejercicio.

En el análisis se evidencia que los estudiantes no incurrieron en las categorías A1, A3

relacionadas con la complejidad del objeto matemático (Comprensión y Comunicación), se

especula que los estudiantes no presentan errores en estas categorías, debido al transcurso en la

materia trigonometría ya que se han familiarizado con los conceptos y términos, ya sea porque

tienen significados diferentes en el lenguaje matemático y en el lenguaje habitual o porque no

presentan problemas en asociar palabras que tienen un mismo significado en estos dos tipos de

lenguaje.

Las tres situaciones problema planteadas buscaban analizar errores y dificultades en la

resolución de triángulos a partir de tres teoremas esenciales (teorema de Thales, de Pitágoras y

Seno y Coseno), al aplicar las pruebas no se buscaba realizar un tipo de comparación, ni tampoco

se tuvo en cuenta aplicar pruebas específicas para un curso u otro, ya que la población a la cual

se aplicaron las situaciones problema es en general el grado décimo, debido a que el interés del

análisis del presente trabajo descarta dificultades de origen ontogenético y didáctico. Por otro

lado, en los procesos realizados por los estudiantes se evidencian que tenían una mayor

dificultad con las situaciones problema asociadas al teorema del seno y el coseno, por tanto,

aunque todas las situaciones planteadas buscaban analizar errores y dificultades en procesos de

resolución de triángulos, estos eran más evidentes y tenían una mayor frecuencia en situaciones

de este tipo. También debemos tener en cuenta que algunos de los errores que evidenciamos se

pudieron dar por el diseño, la representación de las imágenes o el enunciado de las situaciones

problema, aunque esta situación se trató de eliminar al máximo, de ahí que se hiciera un pilotaje

de los problemas que constituirían el instrumento final, no se descarta del todo la influencia de

este factor en lo presentado por los estudiantes.

Este trabajo puede contribuir a docentes en formación de matemáticas o en ejercicio al

análisis de sus prácticas educativas ya que les brinda una categorización de los posibles errores

y dificultades que pueden cometer los estudiantes a la hora de resolver situaciones problema

asociadas a la resolución de triángulos, de esta manera se busca crear una base que muestre los

diferentes orígenes de estos, además que aporte a los al diseño de actividades que ayuden a

superar dichos errores y dificultades.

74

Bibliografía

D´Amore, B., (2010). Problemas Pedagogía y psicología de la matemática en actividad de

resolución de problemas. Madrid: Síntesis.

Escudero, A., Domínguez, J (julio, 2014). De los errores identificados en la investigación a los

errores encontrados en un aula de primero de bachillerato. Números Revista de Didáctica

de las Matemáticas, 86, 111-130.

Gómez, G., Flores, G., & Jiménez, E. (1996). Metodología de la investigación cualitativa.

Granada: Aljibe.

Gómez Chacón (2002). Afecto y aprendizaje matemático: Causas y consecuencias de la

interacción emocional. En J. Carrillo Reflexiones sobre el pasado, presente y futuro de

las Matemáticas. (pp. 197-227). Huelva: Universidad de Huelva.

Junta de Andalucía (2010). La competencia matemática y la resolución de problemas Sevilla

Guerrero Sosa, L. (2010). Conocimientos Matemáticos para la enseñanza en bachillerato.

Universidad de Huelva. Huelva.

Piñeiro, M. E., del Rincón, T. O., & Jalón, M. J. I. (1998). Trigonometría. Madrid: Síntesis.

Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la

Educación Secundaria. En L. Rico, La educación matemática en la enseñanza (pp. 125-

154). Barcelona: Horsori.

Tomás Folch, M. (1990). Los problemas aritméticos de la enseñanza primaria. Estudio de

dificultades y propuesta didáctica. En Educar (pp. 119-140).

Anexos

Todas las evidencias (videos, entrevistas, encuestas, pruebas escritas, entre otros) se

encuentran en el siguiente link.

https://www.dropbox.com/sh/6xupvpwu8vmjw06/AAC4AKGkRhS3GyYmAibjmHgVa?dl=0

https://www.dropbox.com/sh/6xupvpwu8vmjw06/AAC4AKGkRhS3GyYmAibjmHgVa?dl=0

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