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Ourense, 16-18 de noviembre de 2006
ESTRUCTURAS DINÁMICAS EN PANELES ESPACIALES. ALGUNAS CONSIDERACIONES
Jesús Mur† Universidad de Zaragoza
Departamento de Análisis Económico. Gran Vía, 2-4. Zaragoza (50005) e-mail: [email protected]
Teléfono: 976-761815
RESUMEN
Durante los últimos años, parte de la discusión sobre metodología panel se ha dedicado a la introducción del espacio en este tipo de modelos. Los resultados obtenidos han sido muy relevantes aunque todavía quedan algunas vertientes que no han sido exploradas. Este papel se centra en la problemática asociada a modelos que incluyen elementos dinámicos tanto en el tiempo como en el espacio. En particular, queremos tratar dos aspectos de particular interés. El primero se refiere a la cuestión de la estabilidad del sistema, en la que interfieren activamente tanto los factores espaciales como los temporales. La segunda tiene que ver con el supuesto de permanencia estructural. Nuestra hipótesis es que, a medida que un sistema evoluciona en el tiempo, su estructura espacial también tiene que adaptarse y surgirán síntomas de ruptura que deben ser tratados de forma adecuada.
Palabras clave: Modelos dinámicos; Datos panel; Efectos espaciales. Clasificación JEL: C21, C50, R15
† Este trabajo ha sido realizado al amparo del proyecto de investigación SEJ2006-02328/ECON del Ministerio de Educación y Ciencia del Reino de España, cuya financiación se agradece sinceramente.
1
1. Introducción
Uno de los campos que ha experimentado un mayor crecimiento a lo largo
de los últimos años es el que tiene que ver con los datos y los modelos panel (ver
Wooldridge, 2002, Arellano, 2003, Hsiao, 2003, para una panorámica). Este
protagonismo se debe a la confluencia de distintos factores. Por un lado, distintos
especialistas en series temporales han visto los datos panel como una buena
oportunidad para contrastar teorías problemáticas en un contexto de series
temporales. Por otro lado, el renovado interés adquirido por cuestiones puntuales,
como las relativas al crecimiento económico o los sistemas de demanda, ha
aconsejado plantear directamente modelos con una estructura panel. Desde un
punto de vista estrictamente espacial, ha crecido el interés por completar el análisis
estático con una vertiente dedicada a la dinámica temporal de las relaciones
transversales. Por último, ha mejorado sustancialmente la oferta de bases de datos
panel, lo mismo que las herramientas informáticas con capacidad para resolver
aplicaciones panel avanzadas. La consecuencia final de todo ello es que el campo
de los modelos de panel ha registrado una gran actividad, produciendo resultados
notables tanto desde un punto de vista metodológico como aplicado.
Como se ha dicho, esta evolución ha tenido implicaciones en el ámbito más
estricto de lo que se conoce como Econometría Espacial (Baltagi, 2002). En nuestra
opinión, una de las consecuencias más importantes es que esta rama de la
Econometría se ha hecho más visible al resto de la disciplina. Ambas dimensiones,
tiempo y espacio, se complementan por lo que no es razonable que las técnicas
especializadas en cada una de ellas continúen ignorándose: para comprender la
estructura de los fenómenos espaciales hay que atender a su evolución temporal y,
a la inversa, el soporte espacial condiciona severamente la trayectoria temporal de
la Economía. La literatura ha progresado en esta línea de mayor integración entre
ambos enfoques, tal como reivindicaba Anselin (1988), aunque todavía queda un
largo trecho por recorrer.
El objetivo de este trabajo es examinar la situación actual relativa al
tratamiento econométrico de datos espacio-temporales, haciendo hincapié en dos
aspectos que nos parecen relevantes. El primero tiene que ver con los problemas
de estabilidad del conjunto del sistema, en los que intervienen factores tanto
espaciales como temporales. El segundo trata con el supuesto de permanencia
estructural: parece evidente que, a medida que un sistema se desarrolla en el
tiempo, su estructura espacial también tiene que evolucionar; y a la inversa, el
tiempo no pasa a igual velocidad para todos los subsistemas que forman parte de
una misma macro-estructura espacial. En la siguiente sección presentamos una
taxonomía de los modelos econométricos espacio-temporales, a nuestro juicio, más
2
relevantes. En la tercera sección centramos la discusión en el caso de los modelos
estáticos, mientras que dedicamos la cuarta a la problemática asociada al manejo
de modelos dinámicos. El trabajo finaliza con una sección de conclusiones.
2. Modelos espacio-temporales. Una taxonomía.
Como ya se ha dicho, cada vez resulta más frecuente el manejar datos con
una doble naturaleza, espacial y temporal. En paralelo, también el catálogo de
instrumentos disponibles ha tendido a diversificarse y a crecer. Para sistematizar la
presentación, y sin ánimo de ser exhaustivos, vamos a estructurar esta oferta
atendiendo a la vertiente temporal de la aplicación, hablando de modelos estáticos
y dinámicos. Las dificultades econométricas a los que se enfrentan ambos enfoques
son similares (problemas de identificación, de estacionariedad, de no linealidad en
los algoritmos, etc.), aunque estas son más agudas en el segundo caso. El punto de
encuentro de ambos planteamientos son los modelos panel, los cuales pueden
completarse con otras herramientas útiles. En la Tabla 1 recogemos aquellas
alternativas que consideramos más interesantes.
Tabla 1: Una taxonomía de modelos espacio-temporales
ESTÁTICOS EN EL TIEMPO Naturaleza de los efectos Estructura
espacial FIJOS ALEATORIOS SEM SEM+EF SEM+EA
Modelos Panel
SLM SLM+EF SLM+EA Naturaleza de los efectos Estructura
espacial FIJOS ALEATORIOS SEM SEM+EF SEM+EA
Modelos SUR
SLM SLM+EF SLM+EA
Coeficientes Aleatorios DINÁMICOS EN EL TIEMPO
Recursivo espacial puro Recursivo espacio-temporal Simultáneo espacial
Modelos Panel
Dinámico espacio-temporal general
No espacial Modelos VAR
Espacial
El planteamiento más amplio, dentro de los estáticos, se corresponde con el
de los modelos SUR. De hecho, como observa Chamberlain (1982), un modelo
panel puede interpretarse como un SUR simplificado en el que hay una ecuación
para cada individuo y se han impuesto distintas restricciones (el vector de
parámetros, salvo el efecto no observable, es el mismo para todos los individuos y
hay incorrelación transversal). Planteado de otra forma, un SUR es una colección de
M modelos panel que se interrelacionan a través de los términos de perturbación.
3
Ambas especificaciones, SUR y panel, admiten componentes no observables
y mecanismos espaciales y temporales. Estos elementos a menudo se superponen e
interactúan unos con otros. Por ejemplo, es bien conocido que la presencia de un
efecto individual no observable de naturaleza aleatoria resulta en estructuras de
dependencia temporal:
( )rt
1 2
'rt rtrrt
2 2rt r
2r r 1 2
u
t t
y x
~ iid 0, ~iidN 0,
Cov ; ;u u t t
µε
µ
α β µ ε
ε σ µ σ
σ
= + + +
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤→ = ∀ ≠⎣ ⎦
(1)
En paralelo, la presencia de efectos aleatorios temporales crea relaciones de
dependencia transversal entre los individuos:
( )rt
1 2
1 1
'rt t rtrt
2 2trt
r r 1 2
2r s
u
t t
t t
y x
~ iid 0, ~iidN 0,
Cov ; 0;u u t t
Cov ; ; r su u
ε λ
λ
α β λ ε
ε σ λ σ
σ
⎫= + + +⎪⎪⎪⎡ ⎤⎪⎣ ⎦⎬⎪⎡ ⎤→ = ∀ ≠⎣ ⎦ ⎪⎪⎡ ⎤→ = ∀ ≠ ⎪⎣ ⎦ ⎭
(2)
La estructura de correlaciones transversales de (2) es uniforme y puede
flexibilizarse introduciendo un sistema de ponderaciones (o factor loadings) que
conecte a los individuos con una supuesta tendencia común (Bai y Ng, 2002). Por
ejemplo, en términos de un ciclo nacional aleatorio que afecta de forma desigual a
las distintas regiones:
( )
rt
1 2
'rt rt rtrt
trtrt r
t
2 2trt f
r r 1 2
u
t t
y x
: de la región r en el ciclo nacional p fp f : como f
~ iid 0, ~iidN 0,f
Cov ; 0;u u t t
ε
α β λ ε
λ
ε σ σ
Ponderaciónelemento aleatorio temporal
= + + +
→=
→
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤→ = ∀ ≠⎣ ⎦
'Ciclo nacional'con
1 1
2r s rsfr st t p pCov ; r su u σ σ⎡ ⎤→ = = ∀ ≠⎣ ⎦
(3)
Una parte de la literatura (Pesaran, 2005) ha utilizado los efectos aleatorios
temporales (con un sistema de ponderaciones) como una forma de neutralizar las
relaciones cruzadas existentes entre los individuos. Sin embargo, en determinadas
ocasiones el interés de la aplicación radica, precisamente, en esos mecanismos
4
transversales, por lo que será necesario incorporarlos de forma explícita en la
especificación.
Otra cuestión conflictiva se refiere a la naturaleza de los efectos omitidos de
la especificación, fijos o aleatorios (Mundlak, 1978). Esta discusión forma parte de
la tradición panel y cobra un protagonismo incluso mayor cuando se introducen
efectos espaciales. La situación se puede describir de forma bastante simple.
Por un lado, los modelos que incluyen estructura espacial necesitan de un
tamaño muy grande en R (número de individuos), dado que la asintótica de este
tipo de modelos se resuelve con R tendiendo a infinito. Por otro lado, si los efectos
no observados son fijos, surge el problema de los parámetros incidentales: con
efectos fijos, la situación ideal es T grande y R pequeño. Esta observación es la que
lleva a Anselin et al. (2006) a descartar el uso de los efectos fijos en combinación
con mecanismos de estructura espacial: ‘Since spatial models rely on asymptotics
in the cross-sectional dimension (…), this would preclude the fixed effects model
from being extended with a spatial lag or spatial error term’. Ellos se decantan por
el enfoque de efectos aleatorios. En tal caso, la inferencia es incondicional y
necesitamos de un R grande (las mejoras de inferencia con T son marginales).
Elhorst (2003) no comparte esa posición y lo expresa claramente cuando, en
relación a este último modelo, dice que: ‘The spatial units of observation should be
representative of a larger population, and the number of units should potentially be
able to go to infinity in a regular fashion. Moreover, the assumption of zero
correlation between µr and the explanatory variables is particularly restrictive.
Hence, the fixed effects model is compelling, even when R is large and T is small’.
Ambas posturas, la de Anselin et al (2006) y la de Elhorst (2003), son
contradictorias y reflejan posiciones metodológicas diferentes cuyas implicaciones
son evidentes ya en este momento.
3. Modelos estáticos con efectos espaciales.
Si las relaciones que se van a analizar son estáticas, existe cierta
heterogeneidad entre los individuos y deben introducirse elementos de dinámica
espacial, los modelos SUR constituyen una alternativa muy razonable al problema
(Greene, 1997). Son instrumentos flexibles con una gran capacidad de adaptación a
diferentes situaciones, y su implementación en un contexto espacial es
relativamente simple. La cuestión principal a dilucidar es cómo introducir de forma
más eficiente el factor Espacio: explotando los rasgos de heterogeneidad o los
mecanismos de dependencia espacial.
Para afrontar los problemas causados por la heterogeneidad, una posibilidad
obvia consiste en introducir elementos individuales no observables, los cuales
5
pueden tratarse como fijos o aleatorios. Suponiendo que el modelo incluye M
ecuaciones, con T observaciones temporales para R individuos diferentes, la
primera opción es la más simple:
'rtm rtmrm mrtm y x
r 1,...,R; t 1,...,T; m 1,...,M
⎫= α + γ + ε ⎪⎬= = = ⎪⎭
(4)
donde αrm recoge el efecto específico del individuo r en la ecuación m. En versión
matricial:
m m m m
1 r1 1 r1
2 r2 2 r2m r m r
R rT R rT
r21 rk11
r22 rk22m r
r2T rkTR
Y X ; m 1,2, ,M
y yy y
Y y ;
y y
x 0 1 0 x xx 0 1 0 x xX x
x 0 1 0 x x
= β + =
ε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → = = → ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢= → =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦⎣ ⎦
…ε
ε
1m 2m Rmm 2m km
;
Y X
⎥⎥⎥⎥
β = γ γ⎡ ⎤α α α⎣ ⎦
= β+ε
(5)
Uno de los problemas de (5) es el excesivo número de parámetros,
(MR+M(k-1)). Si los efectos se tratan como aleatorios, el número de parámetros se
reduce a Mk:
rtm
'rtm rtmm rmrtm
u
y x
r 1,...,R; t 1,...,T; m 1,...,M
⎫= β + η + ε⎪⎬⎪= = =⎭
(6)
siendo ηrm el componente no observable correspondiente al individuo r en la
ecuación m, el cual, por hipótesis, es diferente para cada individuo y para cada
ecuación aunque permanecen en el tiempo. La estimación tanto de (5) como de (6)
no representa mayores dificultades, suponiendo que los grados de libertad son
suficientes, y puede resolverse por MV o por simple MCG en 2 etapas. En la primera
se trataría de estimar cada ecuación por MCO, utilizando los residuos para obtener
un estimador consistente de la matriz de covarianzas (compuesta en el caso de
efectos aleatorios). Por ejemplo, procediendo con el modelo de (6):
6
2( )1 ( )12 ( )1M
2( )12 ( )2 ( )2M
rtm rtn ( )mn
2( )1M ( )2M ( )M
2( )1 ( )12 ( )1M
2( )12 ( )2 ( )2M
( )mnrm rn
( )1M
...
...E[ ; ]= 0
... ... ... ...
...
...
...E[ ; ]= 0
... ... ... ...
ε ε ε
ε ε εεε
ε ε ε
η η η
η η ηηη
η
⎡ ⎤σ σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ σ σ
≠ → =ε ε σ ⎢ ⎥Σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ σ σ⎢ ⎥⎣ ⎦
σ σ σ
σ σ σ≠ → =η η σ Σ
σ σ
[ ]
( ) [ ]
2( )2M ( )M
1
2 1 111 2 T TR
RT
Y X uu N 0;
...
TˆQ P X ' YX ' X'l lP I T
Q PI
η η
ε
ε η − −−
⎫⎪⎪⎪⎪⎪
= β + ⎫⎪ ⎪⇒⎬ ⎬Ω⎡ ⎤ ⎪⎭⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪σ⎢ ⎥⎣ ⎦⎭
= ⎫Σ Σ⎪= +Σ Σ Σ ⎪⎪Ω = ⊗ + ⊗ β =Σ Σ ΩΩ⎬= ⊗ ⎪⎪
= − ⎪⎭
⇒
∼
(7)
La introducción de mecanismos de dependencia espacial en la especificación
no supone mayores inconvenientes, aunque el algoritmo de estimación no será MV.
Por ejemplo, suponiendo que solo manejamos una ecuación, las especificaciones
correspondientes al caso SEM y SLM son:
[ ]
1 21 2
t t t t
t t t t
r r
21 12 1T
212 2 2T
21T 2T T
R
t tt t
y xW
t 1,2, ,TE[ ; ]= 0
...
...... ... ... ...
...
E ' I
↓
η
η
= β + ε ⎫⎬ε = ρ ε + η ⎭
=≠η η σ
⎡ ⎤σ σ σ⎢ ⎥σ σ σ⎢ ⎥=Σ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥σ σ σ⎣ ⎦
ηη = ⊗Σ
…
SEM
[ ]
1 21 2
t t t t tt
r r
21 12 1T
212 2 2T
21T 2T T
R
t tt t
y Wy xt 1, 2, ,T
E[ ; ]= 0
...
...... ... ... ...
...
E ' I
↓
η
η
= + β + ηρ
=≠η η σ
⎡ ⎤σ σ σ⎢ ⎥σ σ σ⎢ ⎥=Σ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥σ σ σ⎣ ⎦
ηη = ⊗Σ
…
SLM
(8)
En ambos casos existe heterocedasticidad entre cortes y correlación
temporal en los términos de error correspondiente a un mismo individuo. Elhorst
(2001) aprovecha esta discusión para tratar de avanzar en el problema de la
endogeneización de la matriz de contactos, W. Su propuesta corrige solo
parcialmente esa cuestión y se resume en la siguiente expresión:
7
( )T T
1 1 1 12 1R 1
2 1 2 21 2R 2
R R R R1 R2 R
I Iy x 0 0 1 ...y 0 x 0 1 ...
Y ;X ; ; ;... ... ... ...
y 0 0 x ... 1
Y X E '; ⎡ ⎤⊗ ⊗⎣ ⎦ε −δ −δ β⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε −δ −δ β⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε = Γ = β =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε −δ −δ β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Γ = β + ε εε = Σε
(9)
Los errores de las ecuaciones mantienen una correlación tipo SUR y el
principal problema sigue siendo el elevado número de parámetros a estimar: R(R-
1) parámetros de interacción y R vectores β de orden (kx1) cada uno de ellos. La
solución que se propone en el mismo papel es de compromiso, y consiste en
introducir restricciones en los parámetros de interacción relativas a la estructura
espacial sobre la que opera el sistema. En concreto:
12 1R
21 2Rsr s sr
R1 R2
0 ...0 ...
con W... ... ... ...
... 0
ϖ ϖ⎡ ⎤⎢ ⎥ϖ ϖ⎢ ⎥δ = δ ϖ =⎢ ⎥⎢ ⎥ϖ ϖ⎣ ⎦
(10)
De cualquier forma, la resolución de (9) no será simple. De hecho, se trata
de un sistema de ecuaciones simultáneas (con o sin restricciones sobre los
parámetros) que deberá estimarse por los métodos habituales (FIML, 2SLS, 3SLS,
etc).
Como se ha dicho antes, los modelos panel pueden interpretarse como una
versión básica de estructuras tipo SUR. Sin embargo, son más simples y se adaptan
bien al método de trabajo en Economía lo que explica su popularidad. Al igual que
en el caso anterior, la naturaleza de los efectos omitidos, fijos o aleatorios, es una
cuestión de gran relevancia, lo mismo que la forma de introducir los efectos
espaciales, a través de un modelo SEM o en un modelo SLM. A continuación
examinamos las cuatro alternativas.
Modelo de efectos fijos y estructura SEM.
Los elementos básicos de la especificación son los s¡guientes:
8
( )( ) [ ]
( )
t tt1
T Tt t t2 12 2Rt RT RT T
11t 21t k1t1t
12t 22t k2t2t
13t 23t k3t3tt
1Rt 2RtRt
Y X ly xW ; B WI B I
~N 0, I ~N 0, ; B'BI
y x x xy x x xy ;Xy x x x
y x x
η η η
β µ εβ µ ερ ε η ρηε ε
η σ ε σ σΣ Σ
−
−
⎧⎫ = + ⊗ += + + ⎪⎪⎪ ⎪= + ⇔ = ⊗ = −⎬ ⎨⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎡ ⎤ = ⊗⎣ ⎦ ⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
1
2
3
kRt R
21RT TRT 2
;
x
1 1 RT 1l ln ' ln T ln B ' B'BI2 2 2 2ηη
µµµµ
µ
ε ε ε εσΣ Σσ
Log - verosimilitud :
−
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ = − − = − + − ⊗⎣ ⎦
(11)
Para limitar los efectos de la contradicción existente entre el problema de los
parámetros incidentales, asociado a los efectos fijos, y la necesidad de resolver la
asintótica vinculada a los efectos espaciales en la dimensión transversal, la
propuesta de Elhorst (2004) es utilizar los datos en diferencias con respecto a la
media temporal de cada individuo (demeaned equation). Lo que se está
proponiendo no es otra cosa que la estimación denominada intragrupos, de
variables ficticias, within, etc. en la literatura panel, cuyo objetivo es neutralizar el
efecto no observable:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2rr
t tt t t2
RTl ln T ln 121 B y x ' B y xy yx x
2
η
η
ρσ λ
β βσ
⇒ = − + −∑
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − −∑ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(12)
En este sentido, es importante observar que el uso de la ecuación de medias
no tendrá efectos sobre el problema de optimización si la media muestral es un
estadístico suficiente con respecto a la media poblacional. Esto es, si la función de
distribución condicional de la muestra, dado el vector de medias muestrales:
1 2 Ry ' ; ;...;y y y= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , no depende del vector de esperanzas incondicionales de la
población, 1 2 R1 2 R1 2 RE[y]' E ; ;...; ; ;...;y y y x x xβ β βµ µ µ= ⎡ ⎤ = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ . Solo en este
caso, los estimadores MV de las pendientes serán consistentes.
Modelo de efectos fijos y estructura SLM.
Al igual que en el caso anterior, los principales elementos de la
especificación son los que se indican a continuación:
9
( )[ ] ( )
Tt tt t 1
2Rt 2
RT
11t 21t k1t1t
12t 22t k2t2t
13t 23t k3t3tt
1Rt 2Rt kRtRt
RT T
Y ( W)Y X lIWy yx
Y ( W) X lI I~N 0, I
~N 0, I
y x x xy x x xy ;Xy x x x
y x x x
ε
ε
ρ β µ εβ ρ µ ε
ρ β µ εε σ
ε σ
−
⎧ = ⊗ + + ⊗ +⎪= + + + ⎫⎪ ⎪ ⎡ ⎤⇔ = − ⊗ + ⊗ +⎬ ⎨ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎭ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦
[ ] ( ) [ ] ( )
1
2
3
R
21RT RT
RT T RT T2
;
1 1 RTl ln ' ln T ln B2 2 2
1 ( W) Y X l ' ( W) Y X lI I I I2
ε
ε
µµµµ
µ
ε ε σΣ Σ
ρ β µ ρ β µσ
Log - verosimilitud :
−
⎡ ⎤⎤⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
⇒ = − − = − +
− − ⊗ − − ⊗ − ⊗ − − ⊗
(13)
El problema de los parámetros incidentales también está presente en esta
especificación por lo que se hace necesario recurrir a la ecuación de medias:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2rr
t tt t t2
RTl ln T ln 121 B y x ' B y xy yx x
2
ε
ε
ρσ λ
β βσ
⇒ = − + −∑
− − − − − − −∑ (14)
Modelo de efectos aleatorios y estructura SEM.
Al sustituir los efectos fijos por otros de naturaleza aleatoria, la
especificación se vuelve, aparentemente, más compleja dado que ahora es
necesario combinar dos fuentes de error, una de ellas con estructura espacial. En
cualquier caso, los resultados son estándar en un contexto panel:
10
( ) ( ) [ ][ ]
[ ] ( )
( )
( ) ( )
t
t tt
1T Tt tt
2 2RTR Rt
12 2R TRT
1 2(T 1)RT T
11
RT T
u
1T
y xY X u
W u l ;B WI B I
u~N 0,~N 0, ; ~N 0,I I
(ll ') B'BI I
B'B T BI
ll '( ) B'B T B'BQIT
η µ
µ η
β µ εβ
ε ρ µ η ρηε
µη σ σ Σ
Σ σ σ
φΣ
φΣ
φ
−
−
− − −
−− −
= + + ⎫⎧⎪ = +⎪⎪ ⎪= + ⇔ = ⊗ + ⊗ = −⎬ ⎨
⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎭⎡ ⎤→ = ⊗ + ⊗⎣ ⎦
→ = +
⎡ ⎤→ = ⊗ + + ⊗⎢ ⎥⎣ ⎦
→ =
( )
( ) ( )
2
T2 T
12T
1
T21
T
ll 'Q I T
RT 1l ln (T 1) ln B ln B'B T I2 21 ll 'u '( ) B'B T u u ' B'B uQIT2
η
µ
η
η
σσ
φσ
φσ
Log - verosimilitud :−
−−
= −
⇒ = − − − − + −
⎧ ⎫⎡ ⎤⊗ + + ⊗⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
(15)
Modelo de efectos aleatorios y estructura SLM.
Los resultados correspondientes al caso de efectos aleatorios y estructura
espacial tipo SLM, se mantienen en línea con los anteriores:
( )[ ]
[ ] [ ]
t
t t Tt t
2 2R Rt RT
2 2R RTRT
RRT
RT
1R RRT T2
TT
u
22
2 2
Wy y Y ( W)Y X ux Iu l
~N 0, ; ~N 0,I I u~N 0,
(ll ') I I
T
1 ll 'QI IT
Q I
ε µ
µ ε
ε
εε
ε µ
β ρ µ ρ βεµ ε
µε σ σ Σ
Σ σ σ
σσΣ
σ σ
ϕΣσ
−
⎧= + + + = ⊗ + +⎫⎪⎪ ⇔ = ⊗ +⎬ ⎨
⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭ ⎩
→ = ⊗ + =
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥→ = ⎣ ⎦⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞→ = ⊗ + ⊗⎡ ⎤⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
→ =
[ ] [ ]
2
2 2
2
1RT T RT TRT
ll 'T T
RT Rl ln ln T ln B2 2
1 ( W) Y X ' ( W) Y XI I I I2
ε
ε µ
ε
σϕσ σ
ϕσ
ρ β ρ βΣ
Log - verosimilitud :
−
− =+
⇒ = − + + −
− − ⊗ − − ⊗ −
(16)
11
En todos los casos, los algoritmos de estimación MV admiten distintas
generalizaciones. En el caso que nos ocupa, una extensión sumamente interesante
es la de permitir que los coeficientes de dependencia espacial, ya sea en un modelo
SEM o en un modelo SLM, tomen valores diferentes en los sucesivos cortes
transversales. Posteriormente, podrá evaluarse la hipótesis de homogeneidad
temporal en esos coeficientes mediante un simple ratio de verosimilitudes.
Obviamente, la matriz de contactos tampoco tiene porqué ser la misma en todos
los cortes, aunque no es evidente como desarrollar un contraste de homogeneidad
similar al anterior. Cualquiera que sea el modelo que se especifique, los algoritmos
serán fuertemente no lineales en los cuales, dependiendo de la forma adoptada por
la matriz de contactos, podrán utilizarse la simplificaciones habituales.
Los datos que presentan mucha heterogeneidad suelen encuentrar una
solución aceptable en modelos con parámetros cambiantes. Este tópico es
recurrente en todo tipo de aplicaciones econométricas y su protagonismo es
acusado en las que tratan con datos espaciales. La literatura dedicada a las
Regresiones Geográficamente Ponderadas (GWR, Fotheringham et al, 1999) o a la
Estimación Local con Autocorrelación Espacial (LESA, Lesage y Pace, 2004) son un
claro ejemplo de su importancia. En el contexto en el que hemos situado la
discusión, con estructuras de tipo panel, también es una cuestión que debe
preocupar aunque disponemos de más mecanismos para tratarla, ya que también la
como la información muestral es más rica. Una alternativa interesante es la que
incide en la línea del modelo de coeficientes aleatorios de Swamy (1970). Una
especificación simple para el caso que nos ocupa podría ser la siguiente:
( )
[ ]
[ ]
r
r r r rr r r r r
r
r rs r (kxk)
1 1 1
2 2 2(TRx1)
R R R
y xy x x
r 1,2, ,R
E 0; 0 s r
E 'V s r
y xy x
Y ;X ;
y x
η
= β + ε ⎫= β + ε + ν⎬= ⎭
⎧ ν =⎪β = β + ν ⇒ ≠⎧⎨
ν ν = ⎨⎪ =⎩⎩ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
(17)
Dependiendo del papel otorgado a los elementos de dinámica espacial
presentes en la especificación, nos encontraremos con alguno de los casos
siguientes:
12
[ ]
[ ]
r
r
rs r 2 '(kxk)
T rr
2 '1 1 T 11
2 '2 2 T 22
2 'R R T RR
: ES RUIDO BLANCO
E 00 s r
E 'x V s rI x
y x x V 0 0I xy x 0 x V 0I xY N ;
y x 0 0 x VI x
CASO 1
ε
ε
ε
ε
ε
⎧ η =⎪η ⇒ ≠⎧⎨
η η = ⎨⎪ + =σ⎩⎩
β ⎛ ⎞+⎡ ⎤ ⎛ ⎞ σ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ β +σ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟β +σ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ω
∼
[ ] [ ]R 1 2 R (RTxRk)ˆ ˆ ˆX V X '; X diag x x xI
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ Ω = ⊗ = …
(18)
No hay elementos espaciales relevantes en la especificación, en la que el
término de perturbación es un ruido blanco. La matriz de varianzas y covarianzas
es diagonal por bloques, como resultado del componente aleatorio del vector de
parámetros.
La introducción de mecanismos de dependencia espacial en (18) no supone
dificultades específicas cuando se trata de afectar el comportamiento del término
de perturbación:
[ ]
[ ]
11 2 1
r
1 2 'r s (RxR)rs 1 2
r
r rs 1 2s r 2 '(kxk)
T rr
2 '1 1 T 1 T T12 1R1
2 2 T12
R R
tt t t
SEM en 0 t tE E
t tE 0
s r t tE 'x V s rI x
y x x VI x I Iy x
Y N ;
y x
CASO 2 :
ε
ε
ε
ε
≠⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ε ε = ⇒ ε =ε Σ⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦=ω⎩⎧ η =⎪η ⇒ ≠ ∧ =⎧ ω⎨
η η = ⎨⎪ + =σ⎩⎩
β +⎡ ⎤ ⎛ ⎞ σ σ σ⎜ ⎟⎢ ⎥ β σ⎜ ⎟⎢ ⎥=⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ β⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∼
[ ] [ ]
2 'T 2 T2R2
2 'T T T R1R 2R R
R T 1 2 R (RTxRk)
x VI I x I
x VI I I x
ˆ ˆ ˆX V X ' ; X diag x x xI I
ε
ε
ε
⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+σ σ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+σ σ σ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ Ω = ⊗ + ⊗ =Σ
Ω…
(19)
La peculiaridad es que ahora la matriz de varianzas y covarianzas del
modelo es de tipo general.
El tercer caso es más complejo y se corresponde con el de un modelo con
elementos de dinámica espacial en la ecuación principal:
13
( )
[ ]
[ ]
r
WWr r r rr
r r r r rr
r
r rs r (kxk)
W11 1W
2 2 W 2(TRx1)
WR R R
SLM en la ecuación principal
y x y. y x xyr 1,2, ,R
E 0; 0 s r
E 'V s r
yy xy x yY ;X ;Y
y x y
CASO 3:
η
⎫= β + ρ + ε ⎪ = β + ρ + ε + ν⎬= ⎪⎭
⎧ ν =⎪β = β + ν ⇒ ≠⎧⎨
ν ν = ⎨⎪ =⎩⎩
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
…
[ ]
1
2
R
r r1 r2 rR
r 1t1
rW 2r t2
t
r TtR
;
Fila r-ésima de Ww w w w
ywyyw
y y Vector (Tx1) de observacionesy
en el periodo tywy
⎡ ⎤ ε⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ε⎣ ⎦⎣ ⎦⎧ = →⎪⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = →⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎣ ⎦⎪⎩
…
(20)
La resolución de los casos 1 y 2 se ajusta a práctica habitual en esta
literatura, en la que predominan los estimadores MCG:
1 11X ' X X ' Y
−−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤β = Ω Ω⎣ ⎦⎣ ⎦ (21)
El procedimiento que propone Swamy (1974) es simple y, para el Caso 1, se
estructura en 2 etapas y en 3 para el Caso 2:
(1)- Estimación MCO de cada ecuación por separado, a fin de obtener estimadores
de los vectores βr y de las series de residuos para cada individuo. Con estos
residuos se podrán estimar los momentos de segundo orden:
FCr
2(FC)rr
(FC)sr
ˆ ; r 1, 2,..., R
; r 1, 2,..., Rˆ
; r,s 1, 2,..., Rˆ
→ =β
→ =σ
→ =σ
(22)
(2)- Esa información asegura también una estimación insesgada y consistente de la
matriz V que interviene en el Caso 1:
14
1 1 12(FC) (FC)R R R 'r srr srr 1 s 1 r 1
FC FCFC FCRr 1 r r
RFCR
r 1FC r
' ' 'r r r r s sˆ ˆx x x x x x x xSVR 1 N N(N 1)
Sˆ ˆ ˆS ' p lim VR 1
ˆ
R
− − −= = =
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∑ ∑ ∑σ σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦• = − +− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤• = − − ⇒ =∑ β ββ β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
∑ β=β
(23)
(3)- Los residuos obtenidos para el Caso 1, utilizando (23) en conexión con (21) y
(18) permitirán, en una nueva ronda, estimar las covarianzas cruzadas, σrs que
intervienen en la matriz Ω del modelo SEM de (19). Iterando con estas expresiones
se podrá alcanzar una solución final para el estimador MCGE de (21)
correspondiente a este caso. Como se ha dicho, estos estimadores son
consistentes, tanto para el Caso 1 como para el Caso 2. Por último, para resolver el
Caso 3 es necesario recurrir a enfoques de máxima verosimilitud (también son una
alternativa, más compleja, para los Casos 1 y 2).
4. Modelos dinámicos con efectos espaciales.
La especificación de modelos donde se combinan elementos de dinámica
temporal y espacial resulta en estructuras ambiciosas, con una buena capacidad
para adaptarse a situaciones diversas. En términos generales, podemos hablar de
modelos dinámicos con estructura panel y también de modelos VAR (Anderson y
Hsiao, 1981). En ambos casos, se trata de instrumentos desarrollados en un ámbito
de series temporales, que permiten la introducción de elementos espaciales sin
demasiados inconvenientes.
La capacidad de los dos instrumentos para combinar la dinámica espacial
con la temporal es apreciable. La contrapartida es la complejidad de las
especificaciones obtenidas en las que se hace difícil aislar la naturaleza real
(temporal o espacial) de los diferentes efectos estimados. Analizamos, en primer
lugar, las cuestiones asociadas a los paneles dinámicos, tal como se plantea en los
trabajos de Anselin et al. (2006) y de Elhorst (2005). En la última parte de la
sección tratamos brevemente la problemática asociada a los VAR.
Modelos panel de tipo recursivo espacial puro
Este tipo de modelos se adapta bastante bien a formulaciones relevantes de
economía espacial. Especialmente, como indican (Upton y Fingleton, 1988), a
modelos de difusión espacial en los que los individuos reaccionan a las decisiones
adoptadas por sus vecinos con un cierto lapso temporal. Una especificación
estándar puede ser la siguiente:
15
t t 1 t t
t1 1t1 kt1 t1
t2 1t2 kt2 t2t t t
tR 1tR ktR tR
y Wy xt 1, 2, ,T
y 1 x xy 1 x x
y ; x ;
y 1 x x
−= γ + β + ε ⎫⎬
= ⎭
ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
… (24)
La dinámica temporal es indirecta pero está presente a través del retardo
temporal del retardo espacial de la variable endógena. La especificación resulta
muy intuitiva y es relativamente sencilla de manejar, ya sea por variables
instrumentales, GMM o estimadores MV. Si los efectos no observables (incluidos en
el vector εt) se tratan como fijos, surgirá el problema de los parámetros
incidentales y si se tratan como aleatorios los problemas serán de simultaneidad
entre tales efectos y el retardo espacio-temporal de y.
Modelos panel de tipo mixto recursivo espacio-temporal.
A diferencia del caso anterior, ahora la dinámica temporal es explícita
aunque la que actúa en un sentido espacial arrastra un retardo:
t t 1 t 1 t t
t1 1t1 kt1 t1
t2 1t2 kt2 t2t t t
tR 1tR ktR tR
y y Wy xt 1, 2, ,T
y 1 x xy 1 x x
y ; x ;
y 1 x x
− −= α + γ + β + ε ⎫⎬
= ⎭
ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
… (25)
La hipótesis que subyace en esta especificación es que el individuo reacciona
a las decisiones de sus vecinos con un cierto desfase, al igual que en (24); sin
embargo, en su trayectoria dominan fundamentalmente aspectos propios como los
incluidos en el retardo temporal de la endógena y en los efectos individuales no
observados. Esta multiplicidad de dinámicas, espacial y temporal, resulta en un
complejo entramado de multiplicadores donde se hace difícil su caracterización
individual. Por otro lado, dado que parte del modelo responde a una estructura
temporal, será esencial analizar el supuesto de estacionariedad y tratar la no
estacionariedad. El modelo incluye también una estructura con base espacial, para
la que es fundamental asegurar la cualidad de estabilidad (Kelejian y Robinson,
1995). Ambas dinámicas se acaban fusionando en (25), lo que implica que las dos
16
cuestiones (estacionariedad y estabilidad) deberán ser abordadas conjuntamente.
Sobre esta cuestión volveremos más adelante.
En cualquier caso, tal como demuestran Giacomini y Granger (2004),
especificaciones como la de (25) aseguran una muy buena capacidad predictiva,
tanto en un sentido temporal como espacial.
Modelos panel de tipo simultáneo espacial
La peculiaridad de esta especificación es que los mecanismos de interacción
espacial operan de forma contemporánea. En todo lo demás coinciden con el
anterior:
t t 1 t t t
t1 1t1 kt1 t1
t2 1t2 kt2 t2t t t
tR 1tR ktR tR
y y Wy xt 1, 2, ,T
y 1 x xy 1 x x
y ; x ;
y 1 x x
−= α + γ + β + ε ⎫⎬
= ⎭
ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
… (26)
La introducción de una relación transversal contemporánea, en lugar de
retardada, confiere más intensidad a la especificación. La reacción de cada
individuo a las decisiones de los vecinos es instantánea, aunque la trayectoria
particular de cada individuo continúa ocupando un papel predominante. Esta
simultaneidad en la resolución de la cadena de ajustes transversales dificulta la
utilización de la especificación como instrumento de predicción.
Modelos dinámico espacio-temporal general
El caso más genérico que queremos plantear resulta de fusionar
directamente una estructura dinámica temporal con una estructura dinámica
espacial. Introducimos también ciertas restricciones sobre los parámetros para
preservar la estructura panel a la que remitimos toda la especificación. Como en los
casos anteriores, los efectos individuales no observables se encuentran incluidos en
el término de error, εt, pudiendo ser tanto aleatorios como fijos. La ecuación de
referencia es la siguiente:
17
t t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t1 2 3 4
t1 1t1 kt1 t1
t2 1t2 kt2 t2t t t
tR 1tR ktR tR
y y Wy Wy x x Wx Wxt 1,2, ,T
y 1 x xy 1 x x
y ; x ;
y 1 x x
− − − −= α + γ + η + + + + + εβ β β β ⎫⎬
= ⎭
ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ε =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
… (27)
La mayor parte de los comentarios que hemos realizado en los casos
anteriores pueden aplicarse también al actual. Por ejemplo, es evidente que la
estructura dinámica existente en (27) es compleja, dado que los elementos
espaciales y los temporales se superponen e interaccionan entre sí. Además, dado
que una parte fundamental de las relaciones espaciales son contemporáneas, la
capacidad de este modelo para ser usado a efectos predictivos es limitada. Los
conceptos de estacionariedad y de estabilidad continúan ocupando un papel
fundamental en la interpretación de la especificación, que deberá resolverse por
métodos de máxima verosimilitud. El siguiente apartado lo dedicamos a los
problemas de estimación asociados a este tipo concreto de especificaciones.
Modelo dinámico espacio-temporal general. Estimación
La estimación de un modelo dinámico de tipo panel puede llegar a ser un
ejercicio complejo como ya puso de manifiesto Nickell (1981). La literatura, tras los
influyentes trabajos de Arellano y Bond (1991) y Arellano y Bover(1995), parece
haberse decantado por algoritmos con base GMM. Estos estimadores son
consistentes bajo condiciones bastante generales y se adaptan bien a la
problemática habitual de una aplicación panel estándar (dimensión temporal corta,
mucha heterogeneidad transversal, etc.); además, aseguran un entorno adecuado
en el que resolver cuestiones de inferencia sobre el modelo (Sargan, 1958,
Chamberlain, 1987). La clave para que los estimadores GMM funcionen bien es que
sea posible derivar un conjunto de condiciones de ortogonalidad relevantes para el
modelo especificado (Barghava y Sargan, 1983). En caso contrario, resultan más
atractivas otras opciones como la de los estimadores MV.
La última es la situación que se produce habitualmente cuando, en un
modelo dinámico de datos panel, se introducen elementos de interacción espacial.
No es fácil alcanzar un conjunto suficiente de condiciones con las que proceder a la
estimación del modelo. Esta dificultad explica la preferencia de la literatura
especializada en datos espaciales por métodos basados en el enfoque de máxima
verosimilitud (Elhorst, 2005). En general, la estrategia de estimación se dirige a la
18
obtención de las formas reducida y final vinculadas a cada especificación para, a
partir de la última, construir la función de verosimilitud muestral (condicionada o
incondicionada).
Las primeras etapas no plantean mayores problemas. Suponiendo, por
simplificar, que no existen efectos latentes (o, lo que es lo mismo, que εt en (27) es
un vector de ruidos blancos), la forma reducida de esa ecuación es:
t tt
t
1 1 1 1t t 1 t t 1 t
t 1 t t 11 2 3 4
x x
x
B B B B
B I WA I W
x Wx Wx
y A y y− − − −=− −υ
− −
Π υβ βΠ
⎫= − γ⎪
= α + η ⎬⎪= + + +β β β β β ⎭
= + + ε + +
(28)
y la forma final:
( ) ( )
( )
t
t t j
t
t j
t t 1 t
m j 1 1 mj 1t t t j t m 1
1 1t t 1 t
m j 1 m 1j 0t t j t m 1
x
x x
x
x
B A
B A AB
B B
B
y y
y y
y y
y y
−
−
−
− −= − − −
− −−
− += − − −
β
+ +β β∑ Π Π
Πβ
+β∑ Π Π
→ = + + ε
⇒ = + ε + ε
→ = + + ε
⇒ = + ε
(29)
En las dos últimas expresiones, la matriz Π juega un papel fundamental
para garantizar la estabilidad global del sistema: el sistema será estacionario solo
si la matriz Π es convergente, en cuyo caso el sistema alcanzará una solución de
equilibrio a largo plazo. Es decir:
m1 m
m m1Si A 1 lim lim A 0B B−
→∞ →∞−⎡ ⎤< ⇒ = =Π ⎣ ⎦ (30)
La cualidad de convergencia depende de los parámetros autoregresivos del
modelo (tanto de los temporales como de los espaciales) y también de las raíces
características de la matriz de contactos W, de modo que:
( ) ( )
( )
1 rR1r 1
rA I W I W 1B 1
1 r
−−=
⎛ ⎞α + ηλΠ = = −γ α + η = <∏ ⎜ ⎟− γλ⎝ ⎠⇒ α < − γ + η λ
(31)
Esta condición es la que se representa en el Gráfico 1. Los parámetros
autoregresivos deben situarse en la zona sombreada. Si no hay efectos espaciales
19
(α+η=0), la condición de estacionariedad es la usual: |α|<1; lo mismo que si no
existen efectos temporales, en cuyo caso la condición será
( ) ( )min max1/ ( ) 1/< γ + η <λ λ . Si ambos efectos intervienen en la especificación, la
condición de estacionariedad es más estricta, tanto en el tiempo como en el
espacio. Además, las dos dimensiones se influyen mutuamente en el sentido de que
el fortalecimiento de la dinámica en una de ellas a menudo exigirá el debilitamiento
de la que actúa en la otra.
GRÁFICO 1: Estacionariedad y efectos espaciales en paneles dinámicos.
Supuesto el cumplimiento de la condición de estacionariedad, y asumiendo
normalidad en el vector de perturbaciones, obtenemos los siguientes resultados,
relativos a los momentos de primer y segundo orden:
( )
( )
( )
( )
t
t
1t
1 1t
1 12 2 m;t t t m
1 112 21 ' 1 ' 1;t t t m
1x
1x
1 1
1 1m
B I L
I L B
B I ' B I '
I ' I 'B B BB
E[ y ]
E[y ]
V[ y ] Cov[ y y ]
V[y ] Cov[y y ]
−
−−
− −
ε ε±
− −−− − −
ε ε±
−
−
− −
− −
⎧ ⎫⎡ ⎤− βΠ⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬⎪ ⎪⎡ ⎤− βΠ⎣ ⎦⎩ ⎭
⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Π Π − Π Πσ σ Π⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Π Π − Π Πσ σ Π⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
• =
• =
• = • =
• = • =
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(32)
La función de verosimilitud muestral, condicionada al primer corte es la
siguiente:
20
( )
t
T2tt 2 tT T 1 2 1 2
t t t 1 t t 1 t t 1 t t 11 2 3 4
t t 1 x
R(T 1) 1l ; ;....; ln 2 (T 1) ln By y y y '2 2
y y Wy Wy x x Wx Wx
B Ay y
=−ε
− − − −
− −−
−⎡ ⎤ = − π + − − ε∑σ ε⎣ ⎦ σ
• ε = − α − γ − η − − − −β β β β
= β
(33)
Para poder avanzar hacia la función de densidad incondicional es necesario
introducir algunas simplificaciones que nos permitan aproximar el comportamiento
del primer corte. Una solución habitual en este contexto (Hsiao, 2003) es asumir
que el proceso parte de una situación inicial de estacionariedad, lo cual permite
aproximar los momentos de ese corte por los correspondientes a la solución de
largo plazo. Es decir:
( )
( ) ( )
T T 1 2 1 T T 1 2 1 1
T2tt 2 tT T 1 2 1 2
1 12 1 ' 11 1 1 1 1
11
l ; ;....; ; l ; ;....; ly y y y y y y y y
R(T 1) 1l ; ;....; ln 2 (T 1) ln By y y y '2 2
R 1 1l ln 2 ln I ' E ' V ) Ey y y (y y yB B2 2 2
V
− −
ε =−ε
− −− −ε
−
⎡ ⎤=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦−⎡ ⎤• = − π + − − ε∑σ ε⎣ ⎦ σ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤• = − π + − Π Π − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
• ( )
( ) ( )
1 1
1 1 12 1 ' 1 1 11 1
12 1 ' 1
T T 1 2 1
1Ttt 2 t 1 1 12
1 1 1x x
1
1
I ' I L IB B B B
RT 1l ; ;....; ; ln 2 (T 1) ln B ln I 'y y y y B B2 21 1 E ' V )y y (y y'
22
[y ] E[y ]− − −
− − − −ε
−− −
ε−
−=
ε
− − −
−
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪− Π Π − ≈ −β βσ Π Π⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎭
⎡ ⎤⇒ = − π + − + − Π Π⎡ ⎤ σ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− ε − − −⎡ ⎤∑ ε ⎣ ⎦ ⎣ ⎦σ
= • =
1Ey⎡ ⎤⎣ ⎦
(34)
Elhorst (2005) se muestra escéptico sobre la utilidad de esta aproximación
cuando, invocando a su vez a Nerlove (1971), indica que: ‘Nerlove has pointed out
that the cross-section of the first observations conveys a great deal of information
about the process generating the data since this observations reflect how the
process operated in the past. Conditioning on the cross-section of the first
observation is an undesirable feature especially when the time dimension of the
space time data is short’. Además de esta cuestión, la propia hipótesis de que el
proceso se desenvuelve ya desde la primera observación en un contexto de
estacionariedad es poco realista en muchas situaciones. En definitiva, se trata del
problema de las condiciones iniciales, consecuencia de que el proceso ha
empezado a actuar desde un estado determinado el cual tiene incidencia en la
evolución posterior del sistema (Blundell y Bond, 1998).
21
Otro problema es el tratamiento que corresponde darle a los efectos no
observables. La discusión que nos ha conducido a la expresión (34) ha discurrido
sobre los niveles de las variables porque el supuesto de partida era que no había
efectos latentes, ni fijos ni aleatorios, contraviniendo la situación habitual de los
modelos panel. Si estos efectos se hallan presentes en la especificación, sea cual
sea su naturaleza, es necesario neutralizarlos tomando primeras diferencias para
trabajar con el modelo en desviaciones (Arellano, 2003). Es decir:
( )
tt
t
t j
t t 1 tt t 1 t
1 1 12 t t 1 tRt vVt t
1 2 Rt t
m j 1 1 mj 0t t j
xx
x
x
MODELO EN NIVELES MODELO EN DESVIACIONES
B B BN(0, )v I
donde :
B A AB
B y A yBy Ayy A y
v
y v−
−−
− − −−
= +
=
− −= −
∆
∆
∆
⎧ββ ⎫ ⎪
⎪ ⎪⎪ → β⎬ ⎨σζ ⎪ ⎪ Πζ = ζ ζ ζ⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ⎪⎭
⎩
∆ +β∑ Π Π⇒
∆ = + ∆ + ∆ε= + + ε
∆ = + ∆ + ∆εε
∆ε ∆
= + ∆
∼…
( )t j
t m 1
m j 1 m 1j 0t t j t m 1xB
y
y v y−
− −
− += − − −∆
⎧⎪⎨⎪∆ +β∑ Π Π⎩
∆
= + ∆ ∆
(35)
El tratamiento del problema de las condiciones iniciales no es tan simple
(Hsiao, 2003). Como ya se ha indicado, será necesario introducir algún tipo de
información a priori sobre el proceso generador de datos de la primera observación.
En este sentido, Elhorst (2005), siguiendo el planteamiento general de Hsiao et al
(2002), propone parametrizar estas condiciones asumiendo alguna hipótesis poco
restrictiva; en el caso que nos ocupa, la que propone Elhorst (2005) es que ‘the
expected changes in the initial endowments of the spatial units follows a first-order
spatial autoregressive lag model’.
Si se trata de un modelo dinámico puro en el que no intervienen variables
exógenas (βxt=0), y asumiendo estacionariedad, la hipótesis se resume en:
1-1
b1-1
E[B∆y ] = κl E[∆y ] = γWE[∆y ] + κl1 1 1∆v = B∆y - κlCondición inicial 1 1
parámetroes un a estimarκ•E[∆v ] = 0
•V[∆v ] = I-V Π
⎧⎪⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
→
≈
(36)
La obtención de la función de distribución conjunta incondicional es
relativamente simple:
22
( )( ) [ ]
[ ] ( ) ( )
1TR 122T T 1 2 1
2 1 1T Tv
Rb 1
R R R 2 1
R R 3 2
R R
R R
1f ; ;....; ; 2 V( v) exp v ' vV( v)y y y y2
V( v) HI B I B'
B ly0 0 0V IB Ay y2 0 0I I IB Ay y0 2 0 0I IH ; v
0 0 0 2I I0 0 0 2I I
−−−−
− −
⎧ ⎫⇒ ∆ ∆ ∆ = π ∆ − ∆ ∆∆∆⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎡ ⎤∆ = ⊗ ⊗σ ⎣ ⎦
∆ − κ−⎡ ⎤⎢ ⎥ ∆ − ∆− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆ − ∆−
= ∆ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎣ ⎦T 1 T 2
T T 1
B Ay yB Ay y
− −
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∆ − ∆⎢ ⎥
∆ − ∆⎢ ⎥⎣ ⎦
(37)
El número de parámetros a estimar es de 5: α, γ, η, κ y 2vσ , y no se
recuperan los efectos latentes. La introducción, como caso más general, de un
conjunto de variables explicativas en la ecuación (βxt≠0) complica la discusión
puesto que el proceso generador de datos de la primera observación depende del
pasado de esas mismas variables. A partir de (35) es inmediato verificar que:
1 0 1 1 1 0x x1 1B y A y v v B y A y∆ ∆∆ = + ∆ + ∆ ⇒ ∆ = ∆ − − ∆β β (38)
Para poder avanzar hacia la función de distribución incondicional es
necesario asumir nuevos supuestos como, por ejemplo, que estas variables son
estacionarias y exógenas en el modelo, de modo que:
[ ] [ ]tt 1xE 0; t E 0; t E 0x v∆
⎡ ⎤∆ = ∀ ⇒ = ∀ ⇒ =β⎣ ⎦ ∆ (39)
La varianza de ∆v1 también depende de elementos no observables por lo
que Balestra y Nerlove (1996) proponen aproximarla utilizando la información
existente en la muestra sobre el comportamiento de las variables explicativas:
[ ]
[ ] [ ]
1 j
1 j
X
X
m mj 1 1 j 1 1 mj 0 j 01 1 j m
m mj 1 1 j 1 1j 0 j 01 1 j
b
1 ' 1 1 ' 11 1 b
x
x
2v
2v
B A A AB B
V B V A V AB B
V
V V B VB B B B
y v y
y v
y y
−
−
∆
∆
− − − −= = − −
− − − −= = −
− − − −
∆
∆
Σ
Σ
∆ + +β∑ ∑Π Π Π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ∆ = + =β∑ ∑Π Π⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
= +Ω σ
⇒ ∆ = ∆ = +Ω σ
= ∆ ∆
∆ (40)
Donde:
23
[ ] [ ]X
1 1m mX
1 2 3 4
X
I ' II I ''
; ; ; ; ; ; '
Matriz de covarianzas de las observables ( X)
∆
− −∆
∆
Σ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − Θ Θ −−Π −ΠΩ Π Σ Π⎣ ⎦ ⎣ ⎦Θ → α γ η⎡ ⎤β β β β⎣ ⎦
→ ∆Σ
La función de distribución conjunta incondicional de la muestra para el caso
que contemplamos tiene una estructura laboriosa:
( )( ) [ ]
[ ] ( ) ( )
X
1TR 122T T 1 2 1
2 1 1T BN Tv
1R2 1
R R R
R RBN
R R
R R
1f ; ;....; ; 2 V( v) exp v ' vV( v)y y y y2
V( v) I B H I B'
B ly0 0 0IB Ay y
2 0 0I I I0 2 0 0I I ; vH
0 0 0 2I I0 0 0 2I I
∆
−−−−
− −
Σ
⎧ ⎫⇒ ∆ ∆ ∆ = π ∆ − ∆ ∆∆∆⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎡ ⎤∆ = ⊗ ⊗σ ⎣ ⎦
∆ − κ−⎡ ⎤Ω∆ − ∆ −⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥−
= ∆ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
2
3
T 1
T
3 2
T 1 T 2
T T 1
x
x
x
x
B Ay y
B Ay y
B Ay y−− −
−
∆
∆
∆
∆
⎡ ⎤⎢ ⎥β⎢ ⎥⎢ ⎥∆ − ∆ − β⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
∆ − ∆ − β⎢ ⎥⎢ ⎥
∆ − ∆ − β⎢ ⎥⎣ ⎦
(41)
El número de parámetros a estimar asciende a 4k+5: β1, β2, β3, β4, α, γ, η,
κ y 2vσ . La especificación de (41) es la más amplia de todas cuantas hemos
contemplado en este contexto de modelos dinámicos para datos panel. Dado que el
método de estimación propuesto para todas ellas es MV, no es difícil plantear a
continuación una estrategia de contrastes (tipo LR por ejemplo) para seleccionar la
especificación más apropiada para la aplicación.
En la clasificación propuesta en la Tabla 1 incluíamos también los modelos
VAR, como instrumento de modelización econométrica de datos espaciales con
estructura dinámica (Lutkephol, 1991). Este tipo de modelos han sido ampliamente
utilizados en un contexto de series temporales y solo recientemente han empezado
a ser empleados también con datos en los que predomina su vertiente espacial. El
retraso en la introducción de esta técnica se debe, en gran medida, a la necesidad
de disponer de series temporales largas y relevantes de corte transversal, lo cual
ha limitado su adopción a campos específicos como el de los mercados laborales y
financieros o los índices de precios espaciales.
Carlino y DeFina (1998) resuelven una de las primeras aplicaciones
genuinamente VAR con datos de naturaleza transversal, aunque la dimensión
espacial del trabajo es todavía débil. De hecho, el problema podría plantearse en
términos estándar: sea zt un vector de orden (R+k)x1 de observaciones en el
24
periodo t de dos conjuntos de variables, zt=[yt;xt]. En el subvector yt =[y1t; y2t;...;
yRt]’ incluimos las R variables objetivo de extracción regional, mientras que xt =[x1t;
x2t;...; xNt]’ contiene las N variables de control y de política económica relevantes al
caso, posiblemente de extracción supraregional,. El objetivo será identificar la
estructura dinámica que subyace en ese conjunto de variables y medir la reacción
de las variables regionales a los instrumentos de política regional. Para ello puede
ser suficiente con especificar un VAR(p):
[ ]
[ ]
[ ]
1 1
2
R
t t 1 t 2 t p0 1 2 p t
y xt t t
yt
t xt
y y ' y x 'ytt t t
y 'x x x 't t h xt t tt
2
2
y y
2
y
y
y
C C C C uz z z z
' N 0;;uu u
uE E 0uu
0u u u uE h 0E ' 0u u u u u u
0 h 0con :
0 0
0 0;
0 0
− − −
±
= + + + + ⎫⎪⎬⎡ ⎤= Ω ⎪⎣ ⎦ ⎭
⎡ ⎤→ = =⎢ ⎥
⎣ ⎦⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Λ⎪ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ = Λ⎨ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎪
≠⎩
⎡ ⎤σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎢ ⎥= =Λ Λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
∼
2
N
2
2
2
x
x
x
0 0
0 0
0 0
⎡ ⎤σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎣ ⎦
(42)
En general, la matriz C0 se hace corresponder con la identidad, al menos en
la parte que afecta a la relación interna entre las variables objetivo, con la intención
de facilitar la identificación del modelo. El vector de perturbaciones, por la misma
razón, se asume ortogonal y homocedástico. Esto es, los shocks regionales
incluidos en el subvector ytu , en el origen incidirán solo en la propia región aunque
en el futuro podrán llegar a afectar también a otras regiones. Lo mismo ocurre con
los shocks de política económica: es posible que afecten de forma contemporánea
al escenario nacional pero no descenderán hasta el entramado regional hasta que
transcurra, al menos, un periodo. En estas condiciones, el modelo se halla
sobreidentificado y podrá estimarse de forma no ambigua.
Como se ha dicho, la dimensión espacial del VAR de la expresión (42) no
tiene excesiva relevancia; de hecho, el espacio actúa como mero continente de las
series sin otro papel que el de enriquecer la interpretación económica de los
resultados. En una segunda etapa corresponde al analista desentrañar la red de
interdependencias espaciales existente en el conjunto de multiplicadores
25
interregionales que se ha estimado en (42). Más recientemente Di Giacinto (2003),
Badinger et al. (2004) y Beenstock y Felsenstein (2005) se esfuerzan por introducir
elementos de dinámica espacial más explícitos en estructuras VAR. A título de
ejemplo, el primero se centra en la estructura de la matriz de coeficientes
estructurales C0, para la que propone la siguiente especificación:
1
2
R
yy jQyy R j0 0j 100 xx xx xx
0 0 0(m,n)
j
jj0
j
0
0
0
C WI0CC0 C ; m,n 1,2, , kC c
donde :
0 0
0 0 ; j=1,2, ,Q
0 0
=⎧• = − ∑ Φ⎡ ⎤ ⎪= →⎢ ⎥ ⎨
⎡ ⎤• = =⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤ρ⎢ ⎥⎢ ⎥ρ⎢ ⎥=Φ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ρ⎣ ⎦
…
…
(43)
Las matrices Wj se corresponden con las matrices de contactos habituales en
aplicaciones de Econometría Espacial, distinguiéndose hasta Q diferentes regímenes
de dependencia entre las variables objetivo. La peculiaridad del caso (extendido en
Di Giacinto, 2006) es que también los coeficientes de autocorrelación son
específicos a cada región, fusionando los tópicos de dependencia y heterogeneidad.
Además, no hay restricciones sobre la estructura de la submatriz xx0C , asociada a
las variables de política económica.
El modelo sigue estando sobreidentificado lo que garantiza una relación no
ambigua entre la forma estructural y la forma reducida:
t 1 t 1 2 t 2 p t p ttt1
i i0 p1 11
t t0
vz D z D z D zD(L)z v
C CD D(L) I LD D Lv C u
− − −
−
−
= + + + + ⎫= ⎫⎪ ⎪⇒→ = ⎬ ⎬
= − − − ⎪⎭⎪→ = ⎭…
(44)
La condición de estacionariedad se plantea en los términos habituales:
j jD(L) 0 ; j= 1, 2, ..., R+N 1raíces: d d= → ⇒ > (45)
en cuyo caso resulta aplicable el Teorema de representación de Wold, esencial para
obtener las funciones de impulso respuesta de las variables objetivo a los shocks no
observables sufridos por el sistema:
11
t ht t t hh 001D(L) v u uz CD(L)
−− ∞−=
−= = = ∑ ϒ (46)
26
Bajo los supuestos de estacionariedad y normalidad, el sistema podrá
estimarse mediante FIML, condicionando los valores muestrales a los
premuestrales:
[ ]T
2 T 1T T 1 1 0 1 P t tt 1
10 01f ; ;....; | ; ;....; expC ' C u ' uz z z z z z 2
−−
− − − =− ⎡ ⎤≅ − ∑Ω Ω⎢ ⎥⎣ ⎦
(47)
Los detalles sobre el algoritmo de estimación pueden consultarse en Di
Giacinto (2003), mientras que en Di Giacinto (2006) se desarrollan diferentes
contrastes de especificación relativos, en particular, a la estructura espacial del
VAR.
5. Conclusión
El desarrollo de modelos en los que se combinan dinámicas espaciales y
temporales ha ofrecido resultados, en general, muy interesantes. Las aplicaciones
elaboradas bajo este planteamiento integrador han ganado en consistencia,
permitiendo ampliar el marco estricto de la discusión (espacial o temporal, según
los casos). Desde un punto de vista metodológico, la novedad estriba en la
generación de nuevos instrumentos y de técnicas de inferencia con capacidad para
manejar simultáneamente ambos tipos de dinámicas.
En este papel hemos querido plantear un breve estado de la cuestión,
estructurando la discusión en torno a los modelos para datos panel, estáticos o
dinámicos, con efectos espaciales. Al final del recorrido nuestra posición es
optimista, puesto que entendemos que se dan todas las condiciones para que se
manenga el crecimiento del área: el catálogo de instrumentos es abundante y
variado, la lista de hipótesis sobre dinámica espacio-temporal que merecen
investigarse es amplia, la información estadística mejora en cantidad y calidad y las
herramientas informáticas son cada vez más potentes. Es evidente que existen
todavía muchas cuestiones que deben ser convenientemente tratadas: inferencia en
modelos dinámicos, heterogeneidad, no estacionariedad, etc., y que exigen la
continuidad del esfuerzo de investigación en esta parcela.
27
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