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Centre d’Etudeset de Recherche en T hermique
Energétique et S ystèmes
C E R T E S
Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot
Philippe POIGNET1, Nacim RAMDANI2, Andrès VIVAS1
1Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier
UMR CNRS-UMII [email protected]
2Centre d’ Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes,
Université Paris [email protected]
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PlanPlan
Présentation du contexte (robot, besoin, modèle,…)
Estimation ellipsoïdale
Résultats expérimentaux
Conclusion
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IntroductionIntroduction
Robot avec 4 degrés de liberté (ddl):
3 ddl en translation
1 ddl en rotation.
Applications:
Prise et dépose avec
orientation
Usinage à grand vitesse
Performances:
vmax = 1m/s
amax = 50 m/s2
H4 – Robot parallèleH4 – Robot parallèle
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Un modèle pour la commandeUn modèle pour la commande
Besoins d’un modèle dynamique pour la commande:
Augmentation des performances (précision, rapidité)
Robustesse (variation de charges)
4Γ I q J M x F q F qTmot mot v s( G) sign( )
mot4mot3
mot2mot1
mot
I0000I0000I0000I
I
bc
nacnac
nac
IM
MM
000000000000
M
Modèle dynamique à paramètres physiques:
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H4 – Modèle dynamique inverseH4 – Modèle dynamique inverse
XqqJJqΓ
)(4143
signGz
yx TT
mot
bcnacmotmotmotmot IMIIII 4321[X Tssssvvvv FFFFFFFF ]43214321
Tqqqq zyx θ qJqJx
Linéarité par rapport aux paramètres:
Sans mesures des accélérations cartésiennes:
Vecteur de paramètres dynamiques à identifier:
qT T
mot 43 q 41 q
q
x
y sign( )
z G
Γ q J J q q X
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Usuellement …Usuellement …
Méthodes d’identification : Moindres carrés pondérés, Filtrage de Kalman étendu
Construction d’un système linéaire surdéterminé:
Y = W X + ρ
Y: couples appliqués (entrée)
W: matrice d’observation
X: paramètres à identifier
: bruit gaussien additif sur l’entrée
Hypothèse (et critique) : bruit gaussien additif sur l’entrée
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Moindres carrés d'erreur d'entrée avec Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle inversemodèle inverse
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Approche standard avec les MCApproche standard avec les MC
Hypothèses :
Bruit gaussien sur l’entrée (=couple) alors que l’on est en boucle fermée
W est supposée déterministe (alors qu’elle est composée de variables entachées de bruits : position, vitesse et accélération articulaires)
Alternative :
Estimation dans un contexte à erreur bornée
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Une alternative : l’approche à erreur Une alternative : l’approche à erreur bornéebornée
[Belforte 90 ; Milanese 96 ; Vicino 96 ; Walter 90; Norton 94, 95 …]
Unique Hypothèse : Support de l’erreur borné.
Intérêt :
Manipulation immédiate des bornes d’incertitudes des données réelles. Prise en compte des erreurs de modélisation.
Résultats : Ensemble de valeurs de paramètres compatibles :
expS |n θ e f θ y e
θ
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Modèles linéaires : Formulation Modèles linéaires : Formulation
Ensemble des paramètres consistant avec toutes les données : un polytope
Ensemble des paramètres compatible avec l’observation k et le modèle : une bande
1p Tk k ky θ R θ
1 , 1 1Tk kk N y θ R θS P
1
N
kk
S P
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S
Représentation Simplifiée Représentation Simplifiée
Approximation du polytope par des ensembles de forme simple :
Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes
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Méthodes ellipsoïdalesMéthodes ellipsoïdales[Fogel et Huang, 82] [Fogel et Huang, 82]
Bande de contrainte :
Principe de mise à jour de l'ellipsoïde
Ellipsoïde courant :
1
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( , ) 1
Tp
k k k k k
θ P θ θ θ P θ θE
21p T
k k k θ y d θ
Nouvel ellipsoïde :
1 1ˆ ˆ( , ) ( , )k k k k k θ P θ PE E
k 1 k 1ˆ( , ) θ PE
k kˆ( , )θ PE
k
Note : réduction de bandes
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Algorithme récursifAlgorithme récursif
Famille d’ellipsoïdes solutions, paramétrée par :
2
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( , ) 0,1 , 1 1 θ θ M θ θ M θ θ d θE
TT
k k k k k k k ky
Choisir qui minimise la taille de l'ellipsoïde :
1kˆ arg min log det M
1kˆ arg min tr M
• Volume :
• Somme quadratique des longueurs des demi-axes :
Tk 1 k k
1k k 1 k 1 k k
T 2 Tk 1 k 1 k 1 k k k
k
ˆ ˆ1
ˆ ˆˆ ˆN 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 y
ˆM N 1
N M d d
M θ d y
θ M θ θ Nθ
Etude théorique des résultats obtenus pour les deux métriques. [Durieu et al., 01]
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Garantie numérique des méthodes Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales ellipsoïdales
Problèmes de l’écriture standard
numériquement instable
définie positivité des matrices M ou P non garantie
Solution : Forme factorisée [Lesecq et Barraud 2002]
numériquement stable
matrices P et M définies positives, numériquement garantie
+ indépendance du calcul du centre et de la matrice d’information
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Forme matrice d'information Forme matrice d'information factorisée factorisée
Le problème initial est reformulé en posant : Tk k kM X X
kX : Factorisation de Cholesky
Algorithme
Initialiser : 0 0 0 0ˆX ,z X
Boucle récursive :
Calcul de
Factorisation QR :
Résoudre :
k 1 k 1
Tk k
ˆ zQ
0ˆ1 y
X U u
d
kˆ Uθ u
2
1k k 1
z
X U u
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Identification en boucle ferméeIdentification en boucle fermée
PK R o bo tgq (t)
VKq
m u(t)
efP asse b and e
u(t)efq(t)
P a sse ba sP a sse ba nd e
q(t)
mY mW
Y=W(q,q,q)X+
F iltra g e p a ra llè leD e c im a tio n
q
q
q
q
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
de
g);
Ma
gni
tud
e (
dB)
Bode Diagrams
-150
-100
-50
0
50
100Amplitude (dB)
100
101
102
103
104
0
20
40
60
80
100
passe-bas
dérivée continue
= /2=2000 c
différence centrée
passe-bande
e
Les mesures nécessaires à l’identification sont prises alors que le robot suit des trajectoires excitantes et est asservi par un correcteur PD
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Choix de trajectoires excitantesChoix de trajectoires excitantes
Concaténation de mouvements pré-calculés lents (estimation des
paramètres de frottements) et rapides (estimation des paramètres
inertiels):
Trapèzes en vitesse, sinus wobulés
Mouvements suivant un seul axe dans l’espace opérationnel
Assurer un bon conditionnement de la matrice W
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.65
-0.6
-0.55
-0.5
-0.45
-0.4
-0.35
-0.3Cartesian displacement in Z
Disp
lacem
ent(m
)
Time(ms)0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Cartesian displacement in Y
Disp
lacem
ent(m
)
Time(ms) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8
-6
-4
-2
0
2
4
6Cartesian displacement in Theta
Time(ms)Di
splac
emen
t(deg
rees)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Cartesian displacement in X
Time(ms)
Displa
ceme
nt(m)
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Données expérimentalesDonnées expérimentales
Les positions articulaires q et les références courant V (les entrées de commande exprimées en Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de 1kHz.
Les couples sont calculés à partir des mesures des références courant V en utilisant une relation linéaire entre chaque couple du moteur , la tension correspondante appliquée à l’amplificateur et le gain de l’amplificateur:
Vitesses et accélérations articulaires pour calculer la matrice d’observation estimées par un filtre passe-bande de la position.
Filtrage passe-bande obtenu par produit d’un filtre passe-bas hors ligne non causal aller et retour (fonction filtfilt de Matlab) et d’un filtre dérivateur obtenu par un algorithme de différence centrée.
mot ,iiV iG
mot ,i i iG V
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Mise en œuvre Mise en œuvre expérimentaleexpérimentaleRe-circulation et données aberrantesRe-circulation et données aberrantes
Pour réduire la taille de l’ellipsoïde : re-circulation des données passées dans l’ordre chronologique inverse [DUR 01a] [CLE 90].
Réalisées plusieurs fois jusqu’à obtenir un ellipsoïde dont la taille ne change pas : évaluation au travers la valeur du déterminant de la matrice .
Démarche pour la gestion de données aberrantes:
Choix des bornes d’erreur a priori sur la base de considérations physiques (Remarque : trop petite, modèle erroné ou donnée aberrante [MAK 98])
Circulation des données
Si détection d’une donnée aberrante : ré-initialisation de l’algorithme (centre à zéro et taille de l’ellipsoïde grand)
Taux de données aberrantes calculé après convergence
kM
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Dans notre cas …Dans notre cas …
Choix de la borne d’erreur entre 10 et 15% du couple maximum disponible bornes d’erreur : 2.4 N.m pour moteurs 1 et 2 et 2.0 N.m pour moteurs 3 et 4
Taux de données aberrantes : moins de 0.5 % (pas de donnée aberrante dans les premières circulations)
Nombre de circulations des données > 150
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Formulation factoriséeFormulation factorisée
0 50 100 150 200 250 30010
-50
10-40
10-30
10-20
10-10
100
1010
Nombre de re-circulations
Dét
erm
inan
t
Evolution du déterminant de en fonction du nombre de re-circulations pour le critère du déterminant (Trait continu : forme factorisée, trait discontinu : forme non factorisée).
N nombre d’observations
1NM
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Analyse de l’ensemble admissible Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimésdes paramètres estimés
Moindres carrés pondérés Critère déterminant Critère trace A priori
Par. Valeurs % Centre % Centre %
mot1I 0,0138 4,62 0,0148 73,4 0,0151 40,3 0,012
mot 2I 0,0222 2,92 0,0262 8,62 0,0257 16,3 0,012
mot3I 0,0116 5,72 0,00851 29,8 0,00856 67,3 0,012
mot 4I 0,0201 3,51 0,0150 35,5 0,0150 72,2 0,012
nacM 1,082 0,53 1,0035 1,72 1,0051 3,48 1,0
nacI 0,00217 9,87 0,00167 40,1 0,00168 82,0 0,0008
v1F 0,238 5,28 0,322 153 0,296 88,4 /
v2F 0,0842 15,21 -0,00965 925 0,00894 1687 /
v3F 0,227 6,06 0,442 6,07 0,442 13,9 /
v4F 0,463 3,27 0,508 16,0 0,512 20,2 /
s1F 1,191 2,42 1,032 46,5 1,0433 24,2 /
s2F 0,986 2,75 0,856 13,6 0,837 25,2 /
s3F 0,719 3,33 0,366 20,4 0,368 43,0 /
s4F 0,772 3,11 0,621 61,6 0,593 42,3 /
Table 1. Ensembles admissibles des paramètres. Valeurs exprimées en USI.
Approximation de l’incertitude ( ) obtenue en prenant les racines carrées des valeurs de la diagonale de
valeur de prise à la fin de toutes les re-circulations
%1ˆ ˆ P M
M kM
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Analyse des vecteurs propres de Analyse des vecteurs propres de
Paramètres Vecteurs propres de la matrice P
mot1I 0,00 -0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,07 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
mot2I 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,01 0,00 0,06 -0,01 0,02 0,00 0,00 0,00 -0,02 1,00
mot3I 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 -0,07 0,05 0,00 0,02 0,99 0,10 0,00
mot4I 0,00 0,00 -0,01 0,00 -0,01 -0,04 0,02 0,01 0,06 0,00 -1,00 0,02 0,00 0,00
nacM 0,00 0,00 0,00 0,02 0,07 -0,01 -0,38 -0,08 -0,91 0,07 -0,06 0,04 0,00 0,04
nacI 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,10 0,99 0,01
v1F -0,73 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
v2F 0,00 -0,01 0,00 0,60 0,05 -0,01 -0,72 0,15 0,31 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,04
v3F 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,26 0,02 -0,16 -0,94 0,13 0,00 0,00 -0,07 -0,01 0,00
v4F 0,00 0,00 -0,18 0,00 0,07 0,98 -0,01 0,00 0,00 0,00 -0,03 0,00 0,00 0,00
s1F 0,69 0,73 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
s2F 0,00 0,00 0,00 -0,80 0,07 -0,01 -0,55 0,11 0,21 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,02
s3F 0,00 0,00 -0,01 0,03 0,96 -0,07 0,06 -0,26 0,07 0,00 0,00 -0,03 0,00 0,00
s4F 0,00 0,00 0,98 0,00 0,02 0,18 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00
P
Calcul des valeurs propres de l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant a une forme plus allongée que celui obtenu par le critère de la trace.
Rapport (longueur de l'axe le plus long / plus petit) = 938 pour le critère du déterminant et seulement 220 pour le critère de la trace.
P
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Validations croiséesValidations croisées
ˆ ˆ T Tk k k ky d d Pd
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-15
-10
-5
0
5
10Moteur 1
Temps (ms)
Cou
ple
mot
eur
(N.m
)
bornes d'erreurs couples simulés
couple mesuré et bornes d'erreurs
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-15
-10
-5
0
5
10Moteur 2
Temps (ms)
Cou
ple
mot
eur
(N.m
)
bornes d'erreurs couples simulés
couple mesuré et bornes d'erreurs
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Moteur 3
Temps (ms)
Cou
ple
mot
eur
(N.m
)
couple mesuré et bornes d'erreurs
bornes d'erreurs couple simulé
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Moteur 4
Temps (ms)
Cou
ple
mot
eur
(N.m
)
couple mesuré et bornes d'erreurs bornes d'erreurs couple simulé
Enveloppe de l’incertitudeCouplage des paramètres
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ConclusionsConclusions
Résultats expérimentaux obtenus par méthodes ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a priori
Nécessité : Utilisation de la forme factorisée
Difficultés : Détermination de la borne d’erreur
Perspectives : Choix de la borne d’erreur a priori
Exploitation : Commande référencée modèle