Estimasi parameter

LAPORAN RESMI

MODUL 4

ESTIMASI PARAMETER

Oleh:

FAUZIAH GITRI D. 1311100029

IRMAYA FATWA Y. 1311100068

Asisten Dosen:

M. Hatta Rafsanjani

1308100004

Jurusan Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

2011

1

ABSTRAK

Suatu penelitian yang menggunakan data populasi untuk mengetahui karakteristik objek akan menghasilkan gambaran yang akurat mengenai karakteristik objek tersebut. Namun, dalam suatu penelitian terkadang mengalami kesulitan untuk melibatkan semua anggota populasi objek tersebut, maka ada kalanya penelitian hanya melibatkan sebagian anggota populasi sebagai data sampel. Salah satu permasalahan dalam inferensi statistik adalah estimasi. Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut tentang apa itu estimasi mean, estimasi proporsi, dan estimasi varians dan bagaimana aplikasinya pada data-data yang sudah tersedia.

Dalam kasus ini, untuk estimasi mean satu populasi diperoleh dari bangkitkan 150 data dari distribusi normal sedangkan untuk estimasi mean dua populasi diperoleh dari dari dua distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. Estimasi Proporsi dan Estimasi Varians diperoleh dari survei berat badan yang dilakukan di dua tempat yaitu di lingkungan jurusan statistika dan di daerah keputih gang III. Dari masing-masing estimasi parameter tersebut akan diperoleh batas-batas yang menentukan kemungkinan letak nilai estimasi. Sehingga karakteristik suatu parameter dapat terdefinisi karakteristiknya. Setelah data diolah dan kemudian disajikan dalam bentuk grafik, maka informasi yang akan disampaikan menjadi lebih jelas dan mudah ditangkap. Diharapkan informasi tersebut dapat bermanfaat untuk melanjutkan pada tahap berikutnya yaitu uji analisa dan pengambilan keputusan.

Kata kunci : inferensia, estimasi mean, estimasi proporsi, estimasi varians

2

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL............................................................................................i

ABSTRAK............................................................................................................ii

DAFTAR ISI.........................................................................................................iii

DAFTAR GAMBAR............................................................................................v

DAFTAR TABEL.................................................................................................vi

BAB I PENDAHULUAN.....................................................................................1

1.1 Latar Belakang.......................................................................................1

1.2 Permasalahan.........................................................................................1

1.3 Tujuan....................................................................................................2

1.4 Manfaat..................................................................................................3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA..........................................................................4

2.1 Estimasi.....................................................................................................4

2.2 Estimasi Parameter...................................................................................4

2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation).................................................4

2.2.2 Estimasi Interval (Interval Estimation).........................................4

2.3 Estimasi Mean...........................................................................................5

2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui.......................... 5

2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui................. 6

2.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ2

2 Diketahui......................................6

2.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ2

2.................................................................................................... 7

2.3.5 Dua Populasi Saat σ 12¿ σ 2

2......................................................7

2.4 Estimasi Proporsi ...................................................................................8

2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi................................................. 8

2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi...................................................9

2.5 Estimasi Varians......................................................................................9

2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi...................................................9

2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi....................................................10

3

BAB III METODOLOGI PENULISAN..............................................................11

3.1 Sumber Data.............................................................................................11

3.2 Variabel Penelitian....................................................................................11

3.3 Langkah Analisis......................................................................................12

3.4 Diagram Alir.............................................................................................13

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN......................................................14

4.1 Estimasi Mean Satu Populasi.................................................................14

4.2 Estimasi Mean Dua Populasi.................................................................15

4.3 Estimasi Proporsi Satu Populasi.............................................................16

4.4 Estimasi Proporsi Dua Populasi.............................................................18

4.5 Estimasi Varians Satu Populasi..............................................................20

4.6 Estimasi Varians Dua Populasi..............................................................21

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN.............................................................22

5.1 Kesimpulan..........................................................................................22

5.2 Saran....................................................................................................23

DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................24

LAMPIRAN

4

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Distribusi Peluang................................13

Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95%.................15

Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95%.................15

Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%..................16

Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95%. .17

Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40.............................17

Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%..................18

5

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 92 %.....14

Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Mean Satu Populasi Selang Kepercayaan 95%......14

Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi...................................16

Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95%........18

Tabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi untuk α=95%............................19

Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s2

=25 untuk α=95%......20

Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi untuk α=98% s12=25 s12 s22

=35.....21

6

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika inferensia merupakan teknik pengambilan keputusan tentang

suatu parameter berdasarkan contoh yang diambil dari populasi tersebut yang

meliputi dua hal penting, salah satunya adalah pendugaan (estimation) parameter.

Pengetahuan tentang pendugaan yang diperoleh sangatlah penting dipelajari.

Hasil estimasi yang diperoleh haruslah dapat dipertanggungjawabkan. Biasanya

dinyatakan dengan tingkat kepercayaan dari hasil dugannya sebagai suatu ukuran

seberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketetapan statistik yang menduga

parameter populasi nya. Oleh karena itu prosedur pendugaan parameter populasi

harus dibuat dari informasi-informasi yang diperoleh dari penarikan data yang

didasarkan atas penarikan contohnya, meskipun tidak dapat dipungkiri satu

parameter tertentu kadang-kadang menggunakan beberapa estimasi yang

berlainan.

Pada umumnya parameter populasi tidak diketahui karena ukurannya tidak

terhingga ataupun kalau berhingga jumlahnya terlalu besar untuk di teliti

seluruhnya. Oleh karena itu untuk mengetahui karakteristik parameter populasi

digunakan teknik penarikan contoh populasinya. Hasil penarikan ini akan

diperoleh satu atau lebih nilai statistik penarikan contohnya. Pembuatan laporan

ini ditujukan untuk mengasah kompetensi mahasiswa dalam hal estimasi, mulai

dari estimasi mean, estimasi varians, estimasi proporsi hingga menyajikan data

dalam bentuk grafik. Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantu

mahasiswa statistika dalam memahami aplikasi statistika inferensial khususnya

tentang estimasi pada data-data yang sudah tersedia.

1.2 Permasalahan

7

Dalam praktikum ini, permasalahan yang muncul sebagai acuan untuk

analisis adalah sebagai berikut,

1. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N

sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil manual

(teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak 50

kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92%

dan 95 % ?

2. Bagaimana hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang

dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan

ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya serta

perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab

jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35

dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % ?

3. Bagaimana hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil

perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi?


perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi?


perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi?


perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi?

1.3 Tujuan

Perumusan masalah di atas menghasilkan tujuan yang akan dicapai dalam

kegiatan praktikum ini, yaitu sebagai berikut,

1. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan

N sebesar 150 dan bentuk fisis grafiknya serta perbandingan antara hasil

manual (teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel

sebanyak 50 kali dari populasi N dengan n1=15 dan n2=35 pada tingkat

kepercayaan 92% dan 95 %.

8

2. Untuk mengetahui hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang

dibangkitkan dari 2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625)

dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175 dan bentuk fisis grafiknya

serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan

minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1 dengan n1=15,

n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95%

3. Untuk mengetahui hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan

hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi.


hasil perhitungan minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi.


hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) satu populasi.


hasil perhitungan minitab pada parameter σ (varians) dua populasi.

1.4 Manfaat

Dari kegiatan praktikum ini, manfaat yang dapat diambil adalah sebagai

berikut,

1. Mampu memahami pengertian estimasi parameter, estimasi titik, dan estimasi

interval.

2. Mampu memahami jenis-jenis dari estimasi parameter serta pengertiannya.

3. Mampu mengaplikasikan jenis-jenis estimasi pada data yang tersedia.

4. Mampu menyajikan suatu data menjadi sebuah informasi yang lebih jelas dan

menarik.

5. Mampu memahami perbandingan nilai parameter hasil bangkitan data dengan

teoritisnya.

6. Mampu mengetahui perbandingan bentuk fisis grafik hasil bangkitan data

dengan teoritisnya.

9

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Estimasi

Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator

untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. Data yang digunakan

untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai

estimator (Harinaldi,2005).

2.2 Estimasi Parameter

Estimasi parameter adalah estimasi yang digunakan untuk menduga suatu

populasi dari sampel. Estimasi digolongkan menjadi dua yaitu estimasi titik (point

estimation) dan estimasi interval (interval estimation).

2.2.1 Estimasi Titik (Point Estimation)

Sebuah nilai tunggal yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter

disebut titik estimator, sedangkan proses untuk mengestimasi titik tersebut disebut

estimasi titik (Harinaldi,2005).

2.2.2 Estimasi Interval (interval estimation)

Sebuah estimasi interval dari sebuah parameter θ adalah suatu sebaran

nilai-nilai yang digunakan untuk mengestimasi θ . Proses mengestimasi dengan

suatu sebaran nilai-nilai ini disebut estimasi interval (Harinaldi,2005).

Konsep yang mendasari estimasi interval ini adalah sampel-sampel yang

diambil dari suatu populasi yang akan berdistribusi disekitar µ, dengan deviasi

standar sifat dari distribusi sampelnya atau disebut standart eror (Subaris, 2005).

Misalnya θ̂ merupakan estimator untuk parameter θ , sedangkan A dan B

adalah nilai-nilai estimator tersebut berdasarkan suatu sampel tertentu, maka

koefisien kepercayaannya dinyatakan dengan:

P(A < θ < B) = 1 – α untuk 0 < α < 1 (2.1)

Dimana:

interval A < θ < B = interval kepercayaan (confidence level) (1-a)100%.

A dan B = batas-batas kepercayaan.

10

(1-α) = Harga probabilitas atau disebut juga sebagai koefisien konfidensi

Jadi P(A < θ < B) = 1 – α diartikan bahwa kita merasa 100(1 – α)%

percaya (yakin) bahwa θ terletak di antara A dan B. (Walpole, 1995)

2.3 Estimasi Mean

Dalam melakukan estimasi terhadap mean populasi dengan menggunakan data

yang diperoleh dari sampel terdapat beberapa hal yang terlebih dahulu harus

diperhatikan yaitu :

1. Ukuran sampel (apakah besar n>30 atau kecil n<30)

2. Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau

tidak)

3. Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak)

4. Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar estimasi

2.3.1 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Diketahui

Jika X adalah rataan sampel random berukuran n yang diambil dari populasi

normal (atau populasi tidak normal dengan ukuran sampel n ¿ 30) dengan σ2

diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:

X − z 12

α

σ

√n< μ < X + z 1

2α

σ

√n (2.1)

Dimana :

X = Harga Statistik

Z α2

σ√n = deviasi standard

μ = Parameter

Dengan eror standard dari mean sebagai berikut

Jika anggota populasinya tak terhingga

σ x=σ x

√n (2.2)

Jika anggota populasinya terhingga sejumlah N:

11

σ x=σ x

√n √ N−nN−1

(2.3)

Kesalahan estimasi adalah perbedaan antar harga yang diestimasikan

dengan harga estimasinya ditentukan oleh

(2.4)

2.3.2 Satu Populasi Jika Standard Deviasi Tidak Diketahui

Jika X dan s2 adalah rataan dan variansi dari sampel random berukuran kecil

(n < 30) yang diambil dari populasi normal dengan σ2

tak diketahui, maka

interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ ditentukan oleh:

X − t 1

2α ; n−1

s

√n< μ < X + t 1

2α ; n−1

s

√n (2.5)

Dimana :

t α2

v = nilai kritis tyang tergantung pada tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan

α = 1-tingkat kepercayaan ( sering disebut chance of eror)

V = derajat kebebasan (df) = n-1

2.3.3 Dua Populasi Saat σ12 dan σ2

2 Diketahui

Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2, varians σ12

dan σ22, maka estimasi dari selisih μ1 dan μ2 adalah

Jika X1 dan

X 2adalah rataan sampel random yang independen

berukuran n1 dan n2, yang diambil dari populasi-populasi normal (atau populasi

tidak normal dengan ukuran sampel n1 ¿ 30 dan n2 ¿ 30) dengan σ 12

dan σ 22

diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 dan µ2 ditentukan oleh

( X1 − X2 )− z 12

α √ σ 12

n1

+σ2

2

n2

< μ1 − μ2 < ( X 1 −X 2)+ z 12

α √ σ12

n1

+σ2

2

n2 (2.6)

Dimana :

( X1 − X2 )= nilai tengah contoh acak bebas berukuran n1 dan n2

12

E≤Z α2

σ

√n

z 12

α = nilai peubah normal baku z yang luas daerah sebelah kanannya α/2

Dengan

(2.7)

Z = Peubah acak normal baku


2.3.4 Dua Populasi Saat σ12 = σ2

2 , Tapi σ12 dan σ2

2 Tidak Diketahui

Jika X1 dan

X 2 adalah rataan sampel random yang independen, yang

berukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing sampel n1 < 30 dan n2 < 30) yang

diambil dari populasi-populasi normal dengan variansi-variansi sama namun tidak

diketahui, maka interval konfidensi 100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh:

(2.8)

Keterangan:


a = Tingkat keyakinan

Sp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi

Dengan

Dimana:

Sp = nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi

S12 dan S2

2 = variansi sampel kecil bebas berukuran n1 dan n2

2.3.5 Dua Populasi Saat σ 1

2

dan σ 2

2

Tidak Diketahui, Tetapiσ 12¿ σ 2

2

13

1 2 1 2

2 21 2

1 2

x xZ

n n

( X1 − X2 )− t 12

α ; n1+n2−2sp √ 1

n1

+ 1n2

< μ1 − μ2 < ( X 1 −X2 )+ t 12

α ;n1+n2−2sp √ 1

n1

+ 1n2

sp2 =

(n1 − 1) s12+(n2 − 1 )s2

2

n1+n2−2

Jika X1 dan

X 2adalah rataan-rataan sampel random yang independen,

yang berukuran n1 dan n2 (dengan masing-masing n1 < 30 dan n2 < 30), dengan

variansi-variansi s12

dan s12

, yang diambil dari populasi-populasi normal dengan

variansi-variansi yang tidak diketahui dan tidak sama, maka interval konfidensi

100(1 – α)% bagi µ1 - µ2 ditentukan oleh:

( X1 − X2 )− t 12

α ; v √ s12

n1

+s2

2

n2

< μ1 − μ2 < ( X 1 −X2 )+ t 12

α ; v √ s12

n1

+s2

2

n2 (2.9)

Dimana:

a = Tingkat keyakinan

tα/2 = Nilai distribusi-t dengan derajat kebebasan v

Dengan

v =(

s12

n1

+s2

2

n2

)2

[( s12

n1)2

/(n1−1)]+[( s22

n2)2

/(n2−1)] (2.10)

Dimana :

v = derajat kebebasan

n = jumlah data

S = simpangan baku sampel

2.4 Estimasi Proporsi

Estimator untuk P adalah p̂. Dengan

𝑝 = xn

(2.11)

Dimana :

n = banyaknya seluruh elemen

x = banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu

2.4.1 Estimasi Proporsi Satu Populasi

14

Jika p̂ adalah proporsi sukses pada sampel random yang berukuran besar

(n ¿ 30), maka interval konfidensi 100(1 – α)% hampiran untuk parameter

binomial p ditentukan oleh:

p̂ − z 1

2α √ p̂ (1− p̂ )

n< p < p̂+ z 1

2α √ p̂ (1− p̂ )

n (2.12)

Dimana:

p̂ = proporsi yang berhasil

1- p = proporsi yang gagal

n = jumlah data

σ = (2.13)

Dimana :

σ = simpangan baku populasi

n = jumlah data

Kesalahan Estimasinya

(2.14)

2.4.2 Estimasi Proporsi Dua Populasi

Jika p̂1 dan

p̂2 adalah proporsi sukses berturut-turut pada dua sampel

random berukuran n1 ¿ 30 dan n2 ¿ 30, maka interval konfidensi 100(1 – α)%

hampiran untuk beda parameter binomial p1 – p2 ditentukan oleh:

(2.15)

Dimana :

z α2 = nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

p̂ = proporsi yang berhasil

1- p = proporsi yang gagal

15

√ p(1−p )n

E≤Z α2 √ x

n(1− x

n)

n

( p̂1− p̂2 )− z 12

α √ p̂1 (1− p̂1 )n1

+p̂2(1− p̂2)

n2

< p1−p2 < ( p̂1− p̂2 )+ z 12

α √ p̂1(1− p̂1 )n1

+p̂2 (1− p̂2 )

n2

n = jumlah data

2.5 Estimasi Varians

S2 adalah variansi sampel acak dengan ukuran n dari populasi normal yang

memiliki selang kepercayaan (1-α)100% untuk variansi σ2.

2.5.1 Estimasi Varians Satu Populasi

Estimasi selang untuk σ2 diturunkan dengan menggunakan statistik χ2 ( chi-

square) dengan derajat bebas db = n-1. Jika s2 adalah suatu variansi suatu sampel

random dengan ukuran n yang diambil dari populasi normal, maka interval

konfidensi 100(1 – α)% untuk σ2

ditentukan oleh:

(n−1)s2

χ α2

;n−1

2< σ2 <

(n−1 )s2

χ 1−α2

; n−1

2

(2.16)

Dimana :

X α /22 dan X1−α /2

2 = nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v=n−1

sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar

α/2 dan 1-α/2.

2.5.2 Estimasi Varians Dua Populasi

Jika dan adalah variansi-variansi dari sampel-sampel random independen

dengan ukuran n1 dan n2 yang berasal dari populasi normal dengan varians dan

maka interval konfidensi 100(1 – α)% ditentukan oleh

(2.17)

Dimana :f α /2(v1 , v2) = nilai f dengan derajat kebebasan v1=n1−1 dan v2=n2−1

sehingga luas di sebelah kanannya α/2

f α /2(v2 , v1) = nilai f yang sama dengan derajat kebebasan v2=n2−1 dan

v1=n1−1.

S = simpangan baku sampel

σ = simpangan baku populasi

n = jumlah data

16

s12

s22

1F α

2; n1−1 , n2−1

<σ1

2

σ12

<s1

2

s22

F α2

;n2−1 ,n1−1

BAB III

METODOLOGI PENULISAN

3.1 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari data sekunderr dan

data primer. Data sekunder diperoleh dari perhitungan hasil bangkitan data

(program minitab) dan perhitungan secara teoritis .

Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada:

Hari / Tanggal : Rabu/ 23 November 2011

Tempat : ITS

Jam : 13.00- selesai.

Sedangkan data primer diperoleh dari survei berat badan .

Sumber untuk melakukan penelitian ini kami ambil pada:

Hari / Tanggal : Rabu/ 24 November 2011

Tempat : Keputih gang III dan di jurusan Statistika

Jam : 07.00- selesai.

3.2 Variabel Penelitian

Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Variabel estimasi mean satu populasi dengan N sebesar 150, n1=15 dan n2=35

dengan tingkat kepercayaan 92% dan 95 %.

17

2. Variabel estimasi mean dua populasi yang dibangkitkan dari 2 distribusi

normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing

N1=150 dan N2=175 yang diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N1

dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 = 40 pada tingkat kepercayaan

92% dan 95%

3. Variabel estimasi prorporsi satu populasi dengan x=15 n=30 dan α=95%

4. Variabel estimasi prorporsi dua populasi dengan x1=30, n1=50, x2=60, n2=75

dan α=95%

5. Variabel estimasi varians satu populasi dengan n=30, S2=25 dan α=45%

6. Variabel estimasi varians dua populasi n1=31, n2=61, S12=25 dan S2

2=30

dengan α=98%

3.3 Langkah Analisis

Langkah analisis yang dilakukan dalam pengamatan antara lain sebagai

berikut:

- Merumuskan Masalah

- Melakukan Percobaan

- Melakukan penghitungan data melalui program minitab

- Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)

- Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter

- Membuat grafik dan boxplot serta mengintepretasikan

- Memberikan kesimpulan dan saran

18

Selesai

Melakukan penghitungan data manual (secara teoritis)

Membandingkan hasil percobaan dengan teori estimasi parameter

Membuat grafik serta mengintepretasikan

Kesimpulan dan Saran

Merumuskan Masalah

Melakukan penghitungan data melalui program minitab

Melakukan Percobaan

3.4 Diagram Alir

Diagram alir menggambarkan alur perjalanan pembuatan laporan ini,

mulai dari proses perumusan masalah hingga pemberian kesimpulan dan saran.

Diagram alir yang dipakai dalam laporan ini adalah

19

Gambar 3.1 Flowchart Pelaksanaan Praktikum Estimasi Parameter

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.1 Estimasi Harga Mean untuk Satu Populasi

Pada percobaan estimasi harga mean untuk satu populasi, dilakukan

perhitungan dari bangkitan data distribusi normal dengan N=150 masing-masing

berukuran n1= 15 dan n2=35 dengan pengambilan sampel sebanyak 50 kali dari

populasi.

Tabel 4.1 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 92 %

Ukuran

Sampel (n)

Output Minitab Hasil Teoritis

Batas

bawah

Batas

atas

Batas bawah Batas atas

15 143,459 152,401 143,6715 152,3923

35 145,003 150,857 144,9781 150,8312

Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teori

estimasi harga mean pada selang kepercayaan 92% memiliki hasil yang hampir

sama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,

semakin besar nilai taksirannya.

Tabel 4.2 Output Minitab Estimasi Harga Mean Satu Populasi Pada Selang Kepercayaan 95%

Ukuran

Sampel (n)

Output Minitab Hasil Teoritis

Batas

bawah

Batas

atas

Batas bawah Batas atas

15 142,925 152,935 143,1483 152,9156

20

X−Z α2

σ

√nX+Z α

2

σ

√n

X−Z α2

σ

√nX+Z α

2

σ

√n

35 144,653 151,207 144,627 151,1824

Tabel diatas menunjukkan bahwa perbandingan hasil minitab dengan teori

estimasi harga mean pada selang kepercayaan 95% memiliki hasil yang hampir

sama atau mendekati, ditunjukkan pula bahwa semakin besar ukuran sampel,

semakin besar nilai taksirannya.

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49125130135140145150155160165

BA 92 %

BB 92 %

Populasi rata-rata

BA 95 %

BB 95 %

Gambar 4.1 Nilai Estimasi Harga Mean n=15; Selang Kepercayaan 92% dan 95%

Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=15 adalah

147,93. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar

158,538. Sedangkan batas bawah terendah dari n=15 pada selang kepercayaan

92% yakni sebesar 139,199. Batas atas tertinggi dari n=15 pada selang

kepercayaan 95% yakni sebesar 159,075. Sedangkan batas bawah terendah dari

n=15 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 138,404. Grafik juga

menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukan

pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%.

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49130

135

140

145

150

155

160BA 92%

BB 92%

Populasi rata-rata

BA 95%

BB 95%

Gambar 4.2 Nilai Estimasi Harga Mean n=35; Selang Kepercayaan 92% dan 95%

21

Grafik di atas menunjukkan bahwa rata-rata pada populasi n=35 adalah

147,9047. Batas atas tertinggi dari n=35 pada selang kepercayaan 92% yakni

sebesar 154,185. Sedangkan batas bawah terendah dari n=35 pada selang

kepercayaan 92% yakni sebesar 141,690. Batas atas tertinggi dari n=35 pada

selang kepercayaan 95% yakni sebesar 154,573. Sedangkan batas bawah terendah

dari n=35 pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar 141,284. Grafik juga

menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukan

pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%.

N=150;n=15 N=150;n=350

1

2

3

4

92%95%

Gambar 4.3 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%

Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selang

kepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakan

pula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering

ditemukan nilai eror.

4.2 Estimasi Harga Mean untuk Dua Populasi

Pada percobaan estimasi harga mean untuk dua populasi, dilakukan

perhitungan dari bangkitan dua data distribusi normal, N1(10;0.0625) dan

N2(13;0.0625) dengan ukuran masing-masing N1=150 dan N2=175. Pengambilan

sampel acak dari data populasi pada N1 dan N2 sebanyak 50 kali yang masing-

masing berukuran n1 dan n2:

• n1 = 15 dan n2 = 35

• n1= 30 dan n2 = 40

Tabel 4.3 Output Minitab Mean dan Variansi dari Dua Populasi

No Populasi (N) Mean Variansi1. N=150 10,006 0,004562. N=175 12,994 0,00430

Selisih Rata-Rata 2,988

22

Tabel diatas menunjukkan bahwa semakin besar populasi, semakin besar

nilai mean. Sebaliknya, semakin besar populasi, semakin kecil nilai variansinya.

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 492.8

2.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1BB 92%

BA 92%

Selisih Rata-Rata Dua Populasi

BB 95%

BA 95%

Gambar 4.4 Estimasi Harga Mean Dua Populasi dengan Selang Kepercayaan 92% dan 95%

Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi

adalah 2,9919. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar

3,081. Sedangkan batas bawah terendah pada selang kepercayaan 92% yakni

sebesar 2,91. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 95% yakni sebesar


sebesar 2,9093. Grafik juga menunjukkan bahwa letak eror data (melampaui

batas) lebih banyak ditemukan pada selang kepercayaan 92% dibandingkan pada

selang kepercayaan 95%.

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 492.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1BB 92%BA 92% Selisih Rata-Rata Dua PopulasiBB 95%BA 95%

Gambar 4.5 Estimasi Harga Mean Dua Populasi N=150 n=30; N=175 n=40; Selang

Kepercayaan 92% dan 95%

Grafik di atas menunjukkan bahwa selisih rata-rata pada dua populasi

adalah 2,9913. Batas atas tertinggi pada selang kepercayaan 92% yakni sebesar


sebesar 2,93. Batas atas tertinggi terletak pada selang kepercayaan 95% yakni

sebesar 3,0580. Sedangkan batas bawah terendah terletak pada selang

23

kepercayaan 95% yakni sebesar 2,9202. Grafik juga menunjukkan bahwa letak

eror data (melampaui batas) lebih banyak ditemukan pada selang kepercayaan

92% dibandingkan pada selang kepercayaan 95%.

N=150 n=15; N=175 n=35 N=150 n=30; N=175 n=400

2

4

6

8

92%95%

Gambar 4.6 Nilai Eror Estimasi Harga Mean Selang Kepercayaaan 92% dan 95%

Gambar di atas menunjukkan bahwa nilai eror sering ditemui pada selang

kepercayaan 92% dibanding selang kepercayaan 95%. Secara teori menyatakan

pula bahwa semakin kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering

ditemukan nilai eror.

4.3 Estimasi Harga Proporsi Satu Populasi

Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi satu populasi, dilakukan

perhitungan data dengan x=15 n=30 dan α=95% maka dapat diketahui bahwa

Tabel 4.4 Nilai dan Selang Interval Proporsi untuk x=15 dan n=30 untuk α=95%

Output minitab

Hasil Teoritis

p̂ − z 12

α √ p̂ (1− p̂ )n

< p < p̂+ z 12

α √ p̂ (1− p̂ )n

Batas Bawah0,31297

00,3628

Batas Atas0,68703

00,6372

Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah

0,312970 dan batas atasnya adalah 0,687030 sedangkan batas bawah hasil dari

manual (teoritis) adalah 0,3628 dan batas atasnya adalah 0,6372. Dari hasil diatas

menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun manual

24

memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang dilakukan

secara teori.

p̂ = 15/30 = 0,5;

1 - p̂ = 0,5;

z0 , 025 = 1 , 96

√ p̂(1− p̂ )n

=√(0,5 )(0,5)50

= 0,07

Sehingga,

p̂ − z 12

α √ p̂ (1− p̂ )n

< p < p̂+ z 12

α √ p̂ (1− p̂ )n

0,5−(1 , 96 )(0,07 ) < p < 0,5+ (1 , 96 )(0,07)

⇔ 0,3628 < p < 0,6372

4.4 Estimasi Harga Proporsi Dua Populasi

Pada percobaan estimasi parameter harga proporsi dua populasi, dilakukan

perhitungan data dengan n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 dan α=95% maka dapat diketahui

bahwa

Tabel 4.5 Nilai Interval untuk Proporsi Dua Populasi n1=50 x1= 30, n2=75 x2=60 untuk α=95%

Output minitab

Hasil Teoritis

Batas Bawah

-0.363200 -0,3568

Batas Atas -0.0368004 -0,0432

Tabel diatas menunjukkan bahwa batas bawah hasil dari minitab adalah -

0,363200 dan batas atasnya adalah -0,0368004 sedangkan batas bawah hasil dari

manual (teoritis) adalah -0,3568 dan batas atasnya adalah -0,0432. Dari hasil

diatas menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atas dari minitab data maupun

25

( p̂1− p̂2)− z 12

α √ p̂1 (1− p̂1)n1

+p̂2(1− p̂2)

n2

< p1−p2 < ( p̂1− p̂2)+ z 12

α √ p̂1(1− p̂1)n1

+p̂2(1− p̂2)

n2

manual memiliki hasil yang hampir sama. Dibawah ini adalah perhitungan yang

dilakukan secara teori.

p̂1 = 30/50 = 0,6;

p̂2 = 60/75= 0,8;

p̂1− p̂2=− 0,2 ; z0 , 025 = 1 , 96

√ p̂1 (1− p̂1 )n1

+p̂2 (1− p̂2 )

n2

=√ (0,6)(0,4 )50

+(0,8 )(0,2)75

= 0 ,08

Sehingga,

−0,2−(1 , 96 )(0 ,08 ) < p1 − p2 < −0,2+(1 , 96 )(0 , 08)

⇔ −0 ,3568 < p1 − p2 < −0 ,04324.5 Estimasi Harga Varians Satu Populasi

Pada percobaan estimasi parameter harga varians satu populasi, dilakukan

perhitungan data dengan n=30 , α=95% dan s2

=25 maka didapatkan hasil bahwa

Tabel 4.6 Nilai Interval untuk Varians Satu Populasi n=30 ; s2

=25 untuk α=95%

Output minitab

Hasil Teoritis

(n−1)s2

χ α2

;n−1

2< σ2 <

(n−1 )s2

χ 1−α2

; n−1

2

Batas Bawah 15,9 15,856

Batas Atas 45,2 45,179


15,9 dan batas atasnya adalah 45,2 sedangkan batas bawah hasil dari manual

(teoritis) adalah 15,856 dan batas atasnya adalah 45,179. Dari hasil diatas

26

( p̂1− p̂2 )− z 12

α √ p̂1 (1− p̂1 )n1

+p̂2(1− p̂2)

n2

< p1−p2 < ( p̂1− p̂2 )+ z 12

α √ p̂1(1− p̂1 )n1

+p̂2 (1− p̂2 )

n2



secara teori.

χ α2

; n−1

2

= χ0 , 025; 29

2 = 45,722

χ 1−α

2; n−1

2

=χ0 , 975; 292

=16,047

Sehingga,

(n−1)s2

χ α2

;n−1

2< σ2 <

(n−1 )s2

χ 1−α2

; n−1

2

29(25 )45 ,722

< σ2 <29(25 )16 ,047

45 ,722< σ2 < 16 , 047

4.6 Estimasi Harga Varians Dua Populasi

Pada percobaan estimasi parameter harga varians dua populasi, dilakukan

perhitungan data dengan n1=31 n2=61 dan α=98% s

12=25 s

22=35 maka

didapatkan hasil bahwa

Tabel 4.7 Nilai Interval Varians Dua Populasi n1=31 n2=61 dan α=98% s12=25 s12 s22

=35

Output minitab

Hasil Teoritis

s12

s22

1F α

2; n1−1 , n2−1

<σ1

2

σ12

<s1

2

s22

F α2

;n2−1 ,n1−1

Batas Bawah 0,352 0,35

Batas Atas 1,577 1,57


0,352 dan batas atasnya adalah 1,577 sedangkan batas bawah hasil dari manual

27

(teoritis) adalah 0,35 dan batas atasnya adalah 1,57. Dari hasil diatas



secara teori.

F α2

; n1−1, n2−1 =

F0, 01 ; 30 , 60 = 2 , 03

F α2

; n2−1, n1−1=

F0, 01 ; 60 , 30 = 2 , 21

Sehingga,

s12

s22

1F α

2; n1−1 , n2−1

<σ1

2

σ12

<s1

2

s22

F α2

;n2−1 ,n1−1

2535

12 ,03

<σ 1

2

σ12

< 2535

2 , 21

0 ,35<σ1

2

σ12

< 1 ,57

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil percobaan tentang estimasi parameter didapatkan hasil

bahwa :

1. Hasil penaksiran parameter µ (mean) satu populasi dengan N sebesar 150

serta perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan

minitab jika diambil sampel sebanyak 50 kali dari populasi N dengan

n1=15 dan n2=35 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin

kecil nilai selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror.

2. Hasil penaksiran parameter µ (mean) dua populasi yang dibangkitkan dari

2 distribusi normal N1(10;0.0625) dan N2(13;0.0625) dengan ukuran

masing-masing N1=150 dan N2=175 dan perbandingan antara hasil manual

28

(teoritis) dengan hasil perhitungan minitab jika diambil sampel sebanyak

50 kali dari populasi N1 dengan n1=15, n2=35 dan N2 dengan n1 = 30, n2 =

40 pada tingkat kepercayaan 92% dan 95 % adalah semakin kecil nilai

selang kepercayaaannya, semakin sering ditemukan nilai eror.

3. Hasil perbandingan antara hasil manual (teoritis) dengan hasil perhitungan

minitab pada parameter P (proporsi) satu populasi dengan x=15 n=30 dan

α=95% memiliki hasil yang hampir sama.


minitab pada parameter P (proporsi) dua populasi dengan n1=50 x1= 30,

n2=75 x2=60 dan α=95% memiliki hasil yang hampir sama.


minitab pada parameter σ (varians) satu populasi dengan n=30 , α=95%

dan s2

=25 memiliki hasil yang hampir sama.


minitab pada parameter σ (varians) dua populasi dengan n1=31 n2=61 dan

α=98% s

12=25 s

22=35 memiliki hasil yang hampir sama.

5.2 Saran

Kegiatan praktikum tentang estimasi parameter hendaknya dapat dilakukan

dengan lebih cermat. Melakukan penghitungan dengan berbagai macam jenis

distribusi melalui percobaan yang dilakukan secara manual dibutuhkan kesabaran

untuk mendapatkan data.

29

DAFTAR PUSTAKA

Wibisono Yusuf. 2009. Metode Statistik. Yogyakarta:Gadjah Mada University Press

Walpole Ronald.1995. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustka Utama

Subaris Heru.2005. Aplikasi Statistika.Yogyakarta :Media Pressindo

Harinaldi.2005. Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains,Jakarta:Erlangga

30

31

Documents

Estimasi parameter