ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN

BESAR DAN JARANG (SPARSE)

TESIS

Oleh

HENDRA CIPTA

117021040/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN

BESAR DAN JARANG (SPARSE)

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu SyaratUntuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika padaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

OlehHENDRA CIPTA117021040/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

Judul Tesis : ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURANBESAR DAN JARANG (SPARSE)

Nama Mahasiswa : Hendra CiptaNomor Pokok : 117021040Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui,Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Desember 2013

Telah diuji pada

Tanggal: 17 Desember 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

2. Prof. Dr. Herman Mawengkang

3. Dr. Erna Budhiarti, M.IT

PERNYATAAN

ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN

JARANG (SPARSE)

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti-

pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.

Medan, 20 Januari 2014

Penulis,

Hendra Cipta

i

ABSTRAK

Estimasi matriks kovariansi berukuran besar dan jarang (sparse) didasarkan pa-da kemungkinan penalti ketika variabel-variabel mempunyai sebuah aturan awal.Dengan menggunakan dekomposisi cholesky pada inversnya, sebuah bentuk faktorcholesky dengan memilih penambahan sisi untuk setiap baris pada faktor choleskymenggunakan berbagai metode antara lain Lasso penalty method, banding danadaptive banding. Sebuah iterasi Dynamic Weighted Lasso (DWL) algorithm di-gunakan untuk memecahkan masalah pada estimasi matriks berukuran besar danjarang ini dimana estimatornya membandingkan hasil estimasi untuk mendapat-kan hasil yang lebih baik.

Kata kunci : Matriks kovariansi, Estimasi matriks kovariansi jarang, Faktorcholesky.

ii

ABSTRACT

Estimating sparse covariance based on penalized likelihood with penalty when thevariables have a natural ordering. Using cholesky decomposition on the inverse,a banded structure on the cholesky factor, and select the bandwidth adaptively foreach row of the cholesky factor such as Lasso penalty method, banding and adaptivebanding. An iterative Dynamic Weighted Lasso (DWL) algorithm use for solvingestimation of large and sparse which the estimators compare the estimation resultfor obtain the best result.

Keyword : Covariance matrix, Estimation of sparse covariance matrix,Cholesky factor.

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hi-

dayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul:

ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG

(SPARSE).

Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku

Rektor Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada

penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas

Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bim-

bingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Mate-

matika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding I yang telah

memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis

ini.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku pembimbing II atas saran dan bantu-

annya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini.

Ibu Dr. Erna Budhiarti, M.IT, selaku pembanding II yang memberikan saran dan

kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su-

matera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA

Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :

Ayah dan Ibunda tercinta, Abdullah dan Rohani dan Abangdaku Efal Khairil,

S.Kep yang telah memberikan motivasi dan dukungan baik moril maupun materil

selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

iv

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas

Sumatera Utara khususnya angkatan genap reguler tahun 2011, dan semua pihak

yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Allah

SWT membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, 20 Januari 2014

Penulis,

Hendra Cipta

v

RIWAYAT HIDUP

Hendra Cipta lahir di Tanjung Pura, Kabupaten Langkat pada tanggal 2

Juli 1989, merupakan anak kedua dari dua bersaudara dengan ayah Abdullah dan

ibunda Rohani. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri

050730 Tanjung Pura tahun 2001, MIS Jamaiyah Mahmudiyah Tanjung Pura

tahun 2002, MTsN Tanjung Pura tahun 2004, dan MAN-2 Tanjung Pura pada

tahun 2007.

Pada tahun 2007 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada

Fakultas Tarbiyah jurusan pendidikan matematika di IAIN Sumatera Utara Medan

dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2011. Pada bulan Febru-

ari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika

di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Pada bulan Juni 2012 penulis menja-

di staf pengajar di SMK Namira Tech Nusantara Medan dan bimbingan belajar

Primagama Amal Medan sampai sekarang.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

BAB 3 ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI 6

3.1 Analisis Multivariat 6

3.1.1 Matriks data multivariat 6

3.1.2 Vektor rata-rata 7

3.1.3 Varians kovariansi 7

3.2 Matriks Kovariansi 8

3.3 Matriks Jarang (Sparse Matrix) 10

3.4 Estimasi Matriks Kovariansi 10

3.5 Estimasi Matriks Presisi Jarang 12

vii

3.5.1 Algoritma dasar iterasi pembobotan L1-likelihood 12

3.5.2 Aturan kondisi matriks berukuran besar dan jarang 13

3.5.3 Sifat-sifat estimasi matriks presisi jarang 14

3.5.4 Sifat-sifat estimasi invers matriks korelasi jarang 16

3.6 Estimasi Matriks Kovariansi Berukuran Jarang 18

3.6.1 Sifat-sifat estimasi matriks kovariansi jarang 18

3.6.2 Sifat-sifat estimasi matriks korelasi jarang 19

BAB 4 METODE ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI 22

4.1 Metode-metode Estimasi 22

4.1.1 Banding cholesky factor 22

4.1.2 Banding dan adaptive banding 23

4.2 Estimasi Faktor Cholesky 24

4.2.1 Faktor cholesky 24

4.2.2 Estimasi faktor cholesky berukuran jarang 25

4.2.3 Estimasi faktor cholesky berukuran normal jarang 27

4.3 Analisis Hasil 27

4.4 Aplikasi 32

BAB 5 KESIMPULAN 34

DAFTAR PUSTAKA 35

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Simulasi data multivariat 29

4.2 Simulasi multivariat t3 untuk model∑

1,∑

2,∑

3 dengan men-

deskripsikan bahwa nilai masuk seperti pada tabel 4.1 30

4.3 Nilai nol pada faktor cholesky (%) 31

4.4 Nilai nol pada∑

−1 (%) 31

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Heatmap plots dari persentase nol pada setiap lokasi dalam inversnya

(lebih dari 50 replika) untuk∑

s, p = 30. Warna hitam mempersen-

tasikan 100% dan warna putih 0% persen 32

4.2 Intensitas pasien yang mengalami kanker kantung kemih dengan tidak

mengalami 33

x