Embed Size (px)
Citation preview
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
29
ESTIMASI BERBASIS MCMC UNTUK RETURNS VOLATILITY DI PASAR
VALAS INDONESIA MELALUI MODEL ARCH
Imam Malik Safrudin.
1), Didit Budi Nugroho
2)dan Adi Setiawan
2)
1),2), 3) Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
e-mail: 1)
Abstrak
Studi ini membangun suatu algoritma Markov chain Monte Carlo (MCMC) untuk mengestimasi
returns volatility dalam model ARCH, dimana returns error berdistribusi normal. Metode
Metropolis–Hastings digunakan dalam MCMC untuk membangkitkan sampel-sampel parameter
model. Model dan algoritma diaplikasikan pada data harian kurs beli Japanese Yen (JPY), US
Dollar (USD), dan Euro (EUR) terhadap Rupiah pada periode 5 Januari 2009 sampai dengan 31
Desember 2014. Hasil empiris menunjukkan bahwa algoritma yang dibangun menghasilkan
simulasi yang sangat efisien. Estimasi parameter yang diperoleh adalah serupa dengan
hasildarimenggunakanfungsi GARCH yang tersediadi Matlab. Lebih lanjut ditunjukkan bahwa
volatility kurs beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah mempunyai titik ekstrim berturut-turut di
bulan April 2013, Februari 2009, dan September 2011.
Kata Kunci: ARCH, kurs beli, MCMC, t-Student, volatility return
1. PENDAHULUAN
Pemodelan volatility pada returns asset
merupakan salah satu dari sekian banyak
topic dalam dasar teori runtun waktu ekonomi
keuangan. Model returnsvolatility yang mula-
mula yaitu autoregressive conditional
heteroscedasticity (ARCH) yang
diperkenalkanoleh Engle (1982).
Menurut Jones dan Wilson (1989)
volatility mempresentasikan perubahan harga
asset atau representasi harga aset. Pelaku
ekonomi mengukur dan memprediksi
volatility sebagai indikator utama, karena
nilai-nilai yang lebih tinggi menyiratkan
kesempatan yang lebih tinggi dari suatu
perubahan harga aset yang besar.
Kebanyakan studi keuangan melibatkan
returns dari pada harga asset karena returns
memiliki sifatstatistik yang lebih menarik
(menurut Campbell dkk. dalamTsay (2010)).
Mukhlis (2011) dan Nastiti (2012) sudah
mendiskusikan model ARCH berturut-turut
pada returns kurs Rupiah terhadap dolar dan
returns saham yang berdistribusi normal,
dimana Nasititi (2012) menyelesaikan model
menggunakan metode pengali Lagrange.
Dalam studi ini akan difokuskan pada
model volatility menggunakan ARCH yang
mengasumsikan bahwa returns berdistribusi
normal untuk returns error. Dalam hal ini
model diestimasi dengan menggunakan
metodel MCMC. Carlin dan Chib (1995)
menjelaskan bahwa metode MCMC
memudahkan penyelesaian model yang cukup
kompleks dalam analisis Bayes.
Studi empiris dari model volatility
dilakukan dengan menggunakan data
pergerakan kursbeli EUR, JPY, dan USD
terhadap Rupiah atas periode harian dari
tanggal 5 Januari 2009 sampai 31 Desember
2014.
2. MODEL RETURNS VOLATILITY
Dalam naskah keuangan akademik,
returns didefinisikan sebagai persentase
perubahan logaritma harga aset (Tsay, 2010):
, ( ) ( )- untuk . Selanjutnya model
ARCH(1) untuk returnsvolatility dinyatakan
seperti:
, ( )
dengan , dan diasumsikan
returns tidak berkorelasi.
30 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika Abad 21”
3. METODE MCMC UNTUK RETURNS
VOLATILITY
Menurut Casella dan Berger (2002),
MCMC merupakan suatu metode untuk
membangkitkan peubah-peubah acakyang
didasarkan pada rantai markov. Langkah-
langkah yang harus dilakukan dalam
implementasi metode MCMC melibatkan dua
langkah (Nugroho, 2014), yaitu membangun
rantai Markov dan menggunakan metode
Monte Carlo untuk meringkas distribusi
posterior pada parameter sebagai keluaran
MCMC.
Dimisalkan ( ) dan
( ). Berdasarkan Teorema
Bayes (lihatKoop dkk.(2007)), distribusi
gabungan untuk model di atas yaitu
( | ) ( | ) ( ) dimana ( | ) adalah fungsi likelihood
dan ( ) adalah distribusi prior
pada ( ). Untuk memenuhi kendala
parameter a dan b, ditetapkan prior seperti
berikut:
( ) ( ) Maka dipunyai distribusi gabungan yaitu
( | )
∏ {
}
* +
( )
(
)
8
( )
9
∏ ( )
{
( )
}
* + ( )
Atau dengan pengambilan logaritma natural
diperoleh
( | )
( )
∑ (
)
∑
( ) ( ) ( ) (1)
Pembangkitan nilai parameter a
Berdasarkan persamaan (1), log distribusi
posterior untuk a dinyatakan oleh
( ) ( | )
( )
∑ (
)
∑
Masalah yang muncul di sini yaitu
posterior tersebut tidak mengikuti suatu
distribusi tertentu.Karenaitua dibangkitkan
menggunakan metode Independence Chain
Metropolis–Hastings (IC-MH) yang
diperkenalkan oleh Tierney (1994) seperti
berikut:
Langkah 1: Menentukan proposal untuk a,
yaitu ( -( ) Langkah 2: Menghitung rasio
( ) ( | )
( | )
Langkah 3: Membangkitkan dari distribusi
seragam , -. Langkah 4: Jika * ( )+, maka
proposal diterima, jika tidak,
maka proposal ditolak.
Rata-rata dan variansi dicari
dengan menggunakan metode yang
didasarkan pada tingkahlaku distribusi di
sekitar modus (lihat Albert (2009)). Modus ̂
dari ( ), artinya ( ̂) , dicari
menggunakan metode bagi dua. Selanjutnya
diambil ̂ dan , ( ̂)- .
Masalahnya adalah ( ̂)bisa bernilai positif,
karena itu diambil , ( ̂)- dengan
( ̂) * ( ̂)+.
Pembangkitan nilai parameter b
Berdasarkan persamaan (1), log distribusi
posterior untuk b dinyatakan oleh
( ) ( | )
( )
( )
∑ (
)
∑
( ) ( ) ( ),
yang tidak mengikuti suatu distribusi tertentu.
Karena itu nilai parameter b dibangkitkan
menggunakan cara yang sama seperti pada
pembangkitan nilai parameter a.
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
31
Metode MCMC mensimulasi suatu nilai
baru untuk setiap parameter dari distribusi
posteriornya dengan mengasumsikan bahwa
nilai saat ini untuk parameter lain adalah
benar. Sacara ringkas skema MCMC yaitu
(i) Inisialisasi a dan b.
(ii) Membangkitkan sampel a dengan
metode IC-MH.
(iii) Membangkitkan sampel b dengan
metode IC-MH.
(iv) Menghitung variansi (volatility kuadrat):
.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Data Pengamatan
Selanjutnya model dan metode di atas
diaplikasikan pada data kurs beli Euro (EUR),
Japanese Yen (JPY), danUS Dollar (USD)
terhadap Rupiah atas periode 5 Januari 2009
sampai dengan 31 Desember 2014 yang
terdiri dari 1472 observasi. Dalam penelitian
ini penghitungan dilakukan dengan alat bantu
software Matlab 2012 a. Gambar 1
menampilkan plot runtun waktu untuk returns
dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptif.
Gambar 1. Plot runtun waktu returns harian
untuk kursbeli JPY, USD, dan EUR terhadap
Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember
2014.
Tabel 1. Statistik deskriptif dari returns
harian untuk kursbeli JPY, USD, dan EUR
terhadar Rupiah dari Januari 2009 sampai
Desember 2014.
Mat
a
Uan
g
Mean SD
JB
Test
(norm
alitas)
LB Q
test
(auto
korelasi
)
JPY –0.004 0.36
3
tidak
normal
tidakada
korelasi
USD –0.004 0.21 tidak adakorel
5 normal asi
EUR 0.000 0.29
4
tidak
normal
tidakada
korelasi
4.2 Pengaturan MCMC
Algoritma MCMC dijalankan dengan
menggunakan 15000 iterasi, dimana 5000
iterasi pertama dihilangkan dan sisanya, N =
10000, disimpan untuk menghitung rata-rata
posterior, simpangan baku, interval Bayes,
numerical standard error (NSE), dan
diagnose konvergensi. Di sini, dipilih interval
highest posterior density (HPD)yang
disajikan oleh Chen dan Shao (1999) sebagai
pendekatan untuk interval Bayes. Diagnosa
konvergensi dilakukan dengan menghitung
integrated autocorrelation time (IACT), lihat
Geweke (2005), untuk mengetahui berapa
banyak sampel yang harus dibangkitkan
untuk mendapatkan sampel yang saling bebas
(seberapa cepat konvergensi simulasi).
Sementara itu konvergensi rantai Markov
diperiksa berdasarkan pada uji z-score
Geweke (1992) dan NSE dihitung
menggunakan metode yang disajikan oleh
Geweke (2005).
Dalam aplikasi algoritma MCMC, model
dilengkapi dengan prior dimana ,
, dan . Untuk nilai-nilai awal
parameter ditetapkan .
4.3 Estimasi Parameter
Tabel 2, 3 dan 4 meringkas hasil simulasi
posterior parameter dalam model ARCH (1)
berturut-turut untuk data kurs beli JPY, USD,
dan EUR terhadap Rupiah. p-value yang
berasosiasi dengan Geweke‟ sconvergence
diagnostic (G-CD) mengindikasikan bahwa
semua rantai Markov sudah konvergen. Nilai-
nilai IACT menunjukkan bahwa metode IC-
MH adalah sangat efisien.
Tabel 2. Ringkasan hasil simulasi posterior
untuk data kursbeli JPY terhadap Rupiah. LB
dan UB menyatakan berturut-turut batas
bawah dan bata satas interval HPD 95%.
Parameter a b
Matlab 0.0994 0.2619
Mean 0.1022 0.2548
SD 0.0050 0.0464
LB 0.0928 0.1648
UB 0.1121 0.3446
0 500 1000 1500-2
0
2JPY
kurs
beli
0 500 1000 1500-2
0
2USD
kurs
beli
0 500 1000 1500-2
0
2EUR
waktu
kurs
beli
32 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika | “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika Abad 21”
IACT 1.4620 1.2613
NSE 0.0000 0.0005
G-CD 0.0036 0.0648
p-value 0.9971 0.9484
CPU time (detik): 131.14
Tabel 3. Ringkasan hasil simulasi posterior
untuk data kurs beli USD terhadap Rupiah.
Parameter a b
Matlab 0.0237 0.6532
Mean 0.0244 0.6255
SD 0.0012 0.0682
LB 0.0220 0.4903
UB 0.0267 0.7547
IACT 1.0000 1.0000
NSE 0.0000 0.0006
G-CD –0.0036 –0.0260
p-value 0.9971 0.9792
CPU time (detik): 137.72
Tabel 4. Ringkasan hasil simulasi posterior
untuk data kurs beli EUR terhadap Rupiah
Parameter a b
Matlab 0.0704 0.1878
Mean 0.0713 0.1900
SD 0.0030 0.0372
LB 0.0650 0.1186
UB 0.0771 0.2630
IACT 1.0000 1.0000
NSE 0.0000 0.0004
G-CD –0.0159 0.0047
p-value 0.9873 0.9962
CPU time (detik): 148.27
Plot sampel posterior dan histogram
distribusi posterior parameter-parameter a
dan b ditampilkan berturut-turut pada Gambar
2 dan Gambar 3. Plot sampel
mengindikasikan bahwa sampel berfluktuasi
disekitar rata-rata posterior, yang berarti
bahwa sampel telah bercampur dengan baik
(good mixing).
Gambar 2. Plot sampel untuk parameter a dan
b pada model ARCH(1) untuk returns kurs
beli JPY (atas), USD (tengah), dan EUR
(bawah) terhadap Rupiah dari Januari 2009
sampai Desember 2014.
Gambar 3. Histogram distribusi posterior
parameter a dan b pada model ARCH (1)
untuk returns kurs beli JPY (atas), USD
(tengah), dan EUR (bawah) terhadap Rupiah
dari Januari 2009 sampai Desember 2014.
Terkait dengan estimasi parameter, hasil
menunjukkan bahwa nilai estimasi a dan b
serupa dengan hasil yang diperoleh dari
penggunaan fungsi garch (p,q) di Matlab.
Rata-rata posterior untuk variansi (volatility
kuadrat) returns disajikan dalam Gambar4.
Diperoleh bahwa variansi untuk returns kurs
beli JPY, USD, dan EUR terhadap rupiah
berturut-turut yaitu 0.102–0.984, 0.024–
1.080, dan 0.071–0.430, dimana rata-ratanya
berturut-turut yaitu 0.136, 0.053, 0.088. Nilai
variansi tertinggi terjadi pada periode April
2013 untuk JPY, Februari 2009 untuk USD,
dan September 2011 untuk EUR.
0 5000 10000
0.08
0.1
0.12
a
0 5000 10000
0.2
0.4
b
0 5000 10000
0.02
0.025
0.03
0 5000 10000
0.5
1
0 5000 100000.06
0.07
0.08
0 5000 100000
0.2
0.4
0.05 0.1 0.150
500
1000
1500a
0 0.2 0.4 0.6 0.80
500
1000
1500b
0.015 0.02 0.025 0.030
500
1000
1500
0.2 0.4 0.6 0.8 10
500
1000
0.06 0.07 0.08 0.090
500
1000
0 0.1 0.2 0.3 0.40
500
1000
1500
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo | Ruang Seminar UM Purworejo, Sabtu, 9 Mei 2015
33
Gambar 4. Plot runtun waktu variansi untuk
returns kurs beli JPY, USD, dan EUR
terhadap Rupiah dari Januari 2009 sampai
Desember 2014.
Jadi, model volatility untuk returns kurs
beli JPY, USD, dan EUR terhadap Rupiah
berturut-turut:
5. KESIMPULAN
Studi ini menyajikan model ARCH (1)
untuk returns kurs beli JPY, USD, dan EUR
terhadap Rupiah. Algoritma MCMC yang
efisien dibangun untuk membangkitkan
sampel dari distribusi posterior model. Hasil
empiris menunjukkan bahwa rata-rata
volatility untuk returns kurs beli JPY adalah
yang tertinggi.
Model yang disajikan dalam studi ini
bisa diperluas dengan memperhatikan
distribusi tak normal untuk returns error.
Selain itu, model bisa diperluas ke model
GARCH.
6. REFERENSI
1. Albert, J. (2009). Bayesian
computation with R, 2nd ed.,
Springer.
2. Carlin, B. P., dan Chib, S. (1995).
Bayesian model choice via Markov
chain Monte Carlo methods, Journal
of The Royal Statistical Society, 57
(3), 473–484.
3. Casella, G. dan Berger R., L. (2002).
Statistical inference, Thomson
Learning, Duxbury.
4. Chen, M. H. dan Shao, Q. M. (1999).
Monte Carlo estimation of Bayesian
credible and HPD
intervals. Journal of Computational
and Graphical Statistics, 8, 69–92.
5. Engle, R. F. (1982). Autoregressive
conditional heteroskedasticity with
estimates
of the variance of the united kingdom
inflation. Econometrica, 50, 987–
1007.
6. Geweke, J. (1992). Evaluating the
accuracy of sampling-based
approaches to the calculation of
posterior moments, Bayesian
Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O.
Berger, A. P. DawiddanA. F. M.
Smith), 169–194.
7. Geweke, J. (2005). Contemporary
Bayesian econometrics and statistics.
John Wiley & Sons.
8. Jones, C. P., and Wilson, J. W.
(1989). Is stock price volatility
increasing?,
Financial Analysts Journal, 45(6),
20–26.
9. Koop. G., Poirier, D. J. dan Tobias, J.
L. (2007). Bayesian econometri
methods. Cambridge University
Press, New York.
10. Muklis, I. (2011). Analisis volatilitas
nilai tukar mata uang Rupiah
terhadap dolar. Journal of Indonesian
Apllied Economics, 5 (2), 172–182.
11. Nastiti, K. L. A. dan Suharsono A.
(2012). Analisis volatilitas saham
perusahaan go public dengan metode
ARCHGARCH. Jurnal Sains dan
Seni ITS, 1, (1), D259D264.
12. Nugroho, D. B. (2014). Realized
stocastic volatility model using
generalized student’s t-error
distributions and power
transformations, Dissertation.
Kwansei Gakuin University, Japan.
13. Tierney, L. (1994). Markov chain for
exploring posterior distributions.
Annals of Statistics,
22(4), 1701–1762.
14. Tsay, R. S., (2010). Analysis of
financial time series. John Willey and
Sons, Inc. New York.
0 500 1000 15000
0.5
1JPY
t2
0 500 1000 15000
1
2USD
t2
0 500 1000 15000
0.5EUR
waktu
t2
