Estatística Aplicada 2º Ano – Ensino Subsequente Medidas de dispersão: Desvio médio, Desvio-padrão Variância Prof. André Aparecido da Silva E-mail: [email protected]@yahoo.com.br

Estatística Aplicada2º Ano – Ensino Subsequente

Medidas de dispersão:• Desvio médio, • Desvio-padrão

• Variância

Prof. André Aparecido da SilvaE-mail: [email protected]

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MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados.

INTRODUÇÃO


Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados.

INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO)

MÉDIA ARITMÉTICA (MA)

A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.


MÉDIA ARITMÉTICA (MA)

Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?


SOLUÇÃO (MA)


MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO


Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:


Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:

1, 6, 4, 10, 9

SITUAÇÃO-PROBLEMA


A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:

MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5MA = 30/5 MA = 6

A média aritmética é 6.

MÉDIA ARITMÉTICA


MÉDIA / DESVIOChama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores.

Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:


DESVIO

desvio do valor 1 1 - 6 = -5 desvio do valor 6 6 - 6 = 0 desvio do valor 4 4 - 6 = -2 desvio do valor 10 10 - 6 = 4 desvio do valor 9 9 - 6 = 3Os desvios, em relação à média, são:

-5, 0, -2, 4 e 3.


A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3...


... vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.


DESVIO MÉDIO


Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios.

No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:


Formula desvio médio


DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3) 5DM = 14 DM = 2,8 5

O desvio médio é 2,8.



O módulo garante que o valor seja positivo.EX:

)a +3 = 3)b -3 = 3

VARIÂNCIA


Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição.

Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:


V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) . 5

V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9) 5V = 54 V = 10,8 5

A variância é 10,8.


DESVIO PADRÃO


Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:


No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8 3,28.

O desvio padrão é 3,28.


O desvio padrão...


OBSERVAÇÕES:

Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;


OBSERVAÇÕES:

Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;


OBSERVAÇÕES:

o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:

a)o desvio médio;b) a variância;c) o desvio padrão.


SOLUÇÃO - MÉDIA

A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:

MA = (2+4+6+12) MA = 24 M = 6 4 4


SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)


DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-

6) 4 DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =


SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)

Tirando do módulo teremos:

DM = 4+2+0+6 DM = 12 DM = 3 4 4


VARIÂNCIA - SOLUÇÃO


V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²) 4

V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²4


VARIÂNCIA - SOLUÇÃO

Continuando

V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²4

V = 16 + 4 + 0 + 36 V= 56 V = 14 4 4


SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO


c) DP = 14 = 3,74



2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a) a média aritmética; b) o desvio médio;c) a variância;d) o desvio padrão.



JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOSMÁRCIO 10 arremessos de

cada jogador6

MURIEL 4JONAS 8EDSON 2

ROMUALDO 7


SOLUÇÃO

d) DP = 4,64 = 2,15

a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4

b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5

DM = 1,92c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64



3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.

Taxistas segunda terça quarta quinta

I 10 9 23 12

II 16 18 8 32III 25 17 30 10


SOLUÇÃO

Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância.Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos:

MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5


Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas.

VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4 31,25

VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4 74,75

VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4 58,25

SOLUÇÃO

Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.


SOLUÇÃO

Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas.

DPI = 31,25 5,59 litros

DPII = 74,75 8,64 litros

DPIII = 58,25 7,63 litros

Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.



4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?

Oferta 1 Oferta 2

Média Salarial 890,00 950,00

Mediana 800,00 700,00

Desvio Padrão 32,00 38,00


SOLUÇÃO

Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.


DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS


REGIÃO AÉCIO % % Acumulado

NORDESTE 7.967.846 15,66% 15,66%

Norte 3.376.148 6,63% 22,29%

Centro-Oeste 4.388.594 8,62% 30,92%

Sul 9.686.559 19,03% 49,95%

Sudeste 25.470.265 50,05% 100,00%

Total de eleitores 50.889.412

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO


DESVIO MÉDIO - AÉCIOREGIÃO AÉCIO Desvio Médio ValoresNORDESTE 7.967.846|7.967.846 - 10.177.882|+ 2.210.036Norte 3.376.148|3.376.148 - 10.177.882|+ 6.801.734Centro-Oeste 4.388.594|4.388.594 - 10.177.882|+ 5.789.288Sul 9.686.559|9.686.559 - 10.177.882|+ 491.323Sudeste 25.470.26525.470.264 - 10.177.882| 15.292.383

Total 30.584.765Média Desvios 6.116.953

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA


VariânciaREGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores

NORDESTE 7.967.846|7.967.846 - 10.177.882|^2+ 4.884.260.889.325

Norte 3.376.148|3.376.148 - 10.177.882|^2+ 46.263.590.848.143

Centro-Oeste 4.388.594|4.388.594 - 10.177.882|^2+ 33.515.860.178.375

Sul 9.686.559|9.686.559 - 10.177.882|^2+ 241.398.683.388

Sudeste 25.470.265|25.470.264 - 10.177.882|^2+ 233.856.965.584.783TOTAL 318.762.076.184.013Variancia 63.752.415.236.803Desvio Padrão 7.984.511

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA


REGIÃO DILMA % % AcumuladoNORDESTE 20.176.579 37,05% 37,05%Norte 4.393.301 8,07% 45,12%Centro-Oeste 3.254.304 5,98% 51,10%Sul 6.759.908 12,41% 63,51%Sudeste 19.867.894 36,49% 100,00% Total de eleitores 54.451.986

Média por Região 10.890.397Desvio Médio 7305471,4

DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO


REGIÃO DILMA Desvio MédioNORDESTE 20.176.579|20.176.579 - 10.890.397|+ 9286182Norte 4.393.301|4.393.301 - 10.890.397|+ 6497096Centro-Oeste 3.254.304|3.254.304 - 10.890.397|+ 7636093Sul 6.759.908|6.759.908 - 10.890.397| + 4130489Sudeste 19.867.894|19.867.894 - 10.890.397| 8977497Total de eleitores 54.451.986

Média por Região 10.890.397 Total 36527357Desvio Médio 7305471,4 Desvio médio 1593343

VariânciaREGIÃO DILMA VARIANCIA Valores

NORDESTE 20.176.579 |7.967.846 - 10.177.882|^2+ 99.973.933.698.852

Norte 4.393.301 |3.376.148 - 10.177.882|^2+ 33.461.381.973.226

Centro-Oeste 3.254.304 |4.388.594 - 10.177.882|^2+ 47.935.937.860.947

Sul 6.759.908 |9.686.559 - 10.177.882|^2+ 11.682.548.999.055

Sudeste 19.867.894 25.470.264 - 10.177.882|^2+ 93.896.324.808.135TOTAL 286.950.127.340.214Variancia 57.390.025.468.043Desvio Padrão 7.575.620

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.

IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.

PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.


Disponível em:

www.oxnar.com.br


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