Medidas Estatísticas. Média Mediana Moda Posição Amplitude Variância Desvio Padrão Variação Assimetri a Forma Medidas Estatísticas Coeficiente de variação

Medidas Estatísticas

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude

VariânciaVariância

Desvio PadrãoDesvio Padrão

Variação

AssimetriaAssimetria

Forma


Coeficiente Coeficiente de variaçãode variação

Desvio médioDesvio médio

Outras

Distância Distância InterquartilInterquartil


PosiçãoPosição(Tendência Central)(Tendência Central)

Variação Variação (Dispersão)(Dispersão)

FormaForma

... Empregados reclamam que, na maioria, recebem apenas $200,00 por mês.

$4.000,00$4.000,00

$700,00$700,00

$500,00$500,00

$300,00$300,00

$200,00$200,00

... Presidente diz que, em média, eles recebem $700,00!

Quem está com a razão?Quem está com a razão?

Notação

MedidaMedida AmostraAmostra PopulaçãoPopulação

MédiaMédia XX

Desv. PadrãoDesv. Padrão SS

VariânciaVariância SS22 22

TamanhoTamanho nn NN

Medidas de Posição (Tendência Central)

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Média

Uma das medidas mais utilizadas para representar uma distribuição de dados

Reflete um ponto de equilíbrio Influenciada por valores extremos Só deve ser utilizada em distribuições:

Não heterogêneas

Simétricas ou levemente assimétricas

Média

XXxx

nnxx xx xx

nniiii

nn

nn

11 11 22

XX

NNiiii

NN

11 XX XX XXNN

NN 11 22 =

Amostra

= =

População

ExemploExemplo Dados: 10 4Dados: 10 4 8 8 1111 66 77

XXXX

nnXX XX XX XX XX XXii

ii

nn

11 11 22 33 44 55 66

66

1010 44 88 1111 66 7766

77 6767,,

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Mediana

Valor que divide a distribuição em duas partes iguais Se o de obs. for ímpar, a mediana será a obs. que

ocupa a posição central Se o de obs. for par, a mediana será a média dos dois

valores centrais

Não é influenciada por valores extremos

Mediana: Método de Cálculo

1. Ordenar a série de valores2. Determinar a posição da mediana

Se n é ímpar:

Se n é par: nn22

nn 1122

O valor da mediana é o valor da variável relativo à posição encontrada

e nn22

11

Mediana: Exemplo 1Mediana: Exemplo 1 Dados:Dados: 2424 2222 2121 2323 2222 Ordenar:Ordenar: 2121 2222 2222 2323 2424 Posição:Posição: 11 22 33 44 55

PosiçãoPosição

MedianaMediana

nn 1122

55 1122

33

2222

Mediana: Exemplo 2Mediana: Exemplo 2 Dados:Dados: 1010 44 88 1111 66 77 Ordenar:Ordenar: 44 66 77 88 1010 1111 Posição:Posição: 11 22 33 44 55 66

PosiçãoPosição22

MedianaMediana

nn11

2266 11 44

77 8822

77 55,,22

PosiçãoPosição11 nn22

33 6622

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Moda

Valor mais freqüente

Não é afetada por valores extremos

Pode haver mais de uma moda

Pode ser utilizada para dados qualitativos e quantitativos

Uso do Cinto de Segurança

115124

499

0

100

200

300

400

500

Sempre Algumasvezes

Nunca

Moda = ‘SEMPRE’

Resumo das Medidas de Posição

MédiaMédia XX nn Ponto de equilíbrioPonto de equilíbrio

MedianaMediana nn +1)+1) PosiçãoPosição 22

Valor centralValor centralquando ordenadoquando ordenado

ModaModa -- Mais freqüenteMais freqüente

i i / /

((

MedidaMedida EquaçãoEquação DescriçãoDescrição

Medidas de Variação

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Amplitude Diferença entre a maior e a menor observação

Ignora como os dados estão distribuídos

AmplitudeAmplitude XXmáx xxmín

77 88 99 1010 77 88 99 1010

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Desvio Médio

XX

ii

ii

ii || ||

DMXX

mm

ff

iiff

Indica o desvio das observações em

relação à média da distribuição

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Variância & Desvio Padrão

Medidas mais comuns de variação absoluta

Indica como os dados estão distribuídos em

torno da média

44 66 88 1010 1212

XX = 8,3= 8,3

Variância da Amostra Variância da Amostra FórmulaFórmula

nn - 1 no denominador! - 1 no denominador! (Use(Use NN no caso de no caso de

VVariância da ariância da PPopulaçãoopulação))SSXX XX

nn

XX XX XX XX XX XXnn

iiii

nn

nn

22

22

11

1122

2222 22

11

11

(( ))

(( )) (( )) (( ))

Desvio PadrãoDesvio Padrão FórmulaFórmula

SS SS

XX XX

nn

XX XX XX XX XX XXnn

iiii

nn

nn

22

22

11

1122

2222 22

11

11

(( ))

(( )) (( )) (( ))

VariânciaVariânciaExemploExemplo

Dados:Dados: 1010 44 88 1111 66 99

SSXX XX

nnXX

XX

66

SS

iiii

nn

iiii

66

22

22

11 11

22

22 22 2211

88

1010 88 44 88 99 8866 11

66 88

(( ))

(( )) (( )) (( ))onde onde

,,

Medida de Forma

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma





Outras

Forma

Descreve a forma da distribuição

Medida pelo coeficiente de assimetria

Assimetria positivaAssimetria positivaAssimetria negativaAssimetria negativa SimétricaSimétricaMédiaMédia = = MedianaMediana = = ModaModaMédiaMédia MedianaMediana ModaModa ModaModa MedianaMediana MédiaMédia

Outras Medidas

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma




Outras


Coeficiente de Variação

Medida relativa de variação Indica se a distribuição é heterogênea ou

homogênea Mede a dispersão dos dados em relação à

média

Se o Coeficiente de Variação for menor do que 20%, a amostra é

considerada homogênea

Desvio PadrãoMédia

CV =

Quartis & Box Plots

Quartis

Medidas de posição Separa os dados ordenados em 4 partes iguais

25%25% 25%25% 25%25% 25%25%

QQ11 QQ22 QQ33

Posição o i-ésimo Quartil = i . ( n + 1 )4

Quartil (QQuartil (Q11): Exemplo ): Exemplo

Dados:Dados: 1010 44 88 1111 66 77 Ordenados:Ordenados:44 66 77 88 1010 1111 Posição:Posição: 11 22 33 44 55 66

QQ PosiçãoPosição

QQ

1 1

11 1)1)44

11 (6(6 1)1)44

117575 22

6611

((nn..

Quartil (QQuartil (Q22): Exemplo): Exemplo

Dados:Dados: 1010 44 88 1111 66 77 Ordenados:Ordenados:44 66 77 88 1010 1111 Posição:Posição: 11 22 33 44 55 66


QQ

2 2

22 1)1)44

22 (6(6 1)1)44

33 55

77 8822

77 5522

((nn..

..

Quartil (QQuartil (Q33): Exemplo): Exemplo

Dados:Dados: 1010 44 88 1111 66 77 Ordenados:Ordenados: 4 4 66 77 88 1010 1111 Posição:Posição: 1 1 22 33 44 55 66


QQ

3 3

33 1)1)44

33 (6(6 1)1)44

55 2525 55

101033

((nn..

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Posição

AmplitudeAmplitude



Variação


Forma

DistânciaDistânciaInterquartilInterquartil




Outras

Medida de dispersão Diferença entre o 3º & o 1º quartis Não é afetado por valores extremos

Distância InterquartilDistância Interquartil QQ33QQ 11

Distância Interquartil

Box Plot Apresenta a dispersão dos dados usando 5

números resumo

MedianaMediana

44 66 88 1010 1212

QQ33QQ11 XXmáxmáxXXmínmín

Outlier

Observação discrepante

44 66 88 1010 1212

* *

OUTLIEROUTLIER

Distância Interquartil (d)

1,5 d1,5 d

QQ33QQ11

Forma & Box Plot

Assimetria Assimetria positivapositiva

Assimetria Assimetria negativanegativa SimétricoSimétrico

QQ 11 MedianaMediana QQ33QQ11 MedianaMediana QQ33 QQ11 MedianaMediana QQ33

Medidas de Variação: Medidas de Variação: ResumoResumo

MedidaMedida FórmulaFórmula DescriçãoDescriçãoAmplitudeAmplitude XXmaior maior - - XXmenormenor Variação dos dadosVariação dos dados

Intervalo QuartílicoIntervalo Quartílico QQ3 3 - - QQ11 Variação dos 50% centraisVariação dos 50% centrais

Desvio PadrãoDesvio Padrão(Amostra)(Amostra)

XX XX

nnii

22

11

Dispersão em torno daDispersão em torno daMédia da AmostraMédia da Amostra

VVariânciaariância(Amostra)(Amostra) ((XX ii --XX ))22

nn - 1- 1Dispersão quadrática emDispersão quadrática emtorno da média da amostratorno da média da amostra

Desvio MédioDesvio Médio XX XX - - ii

nnDispersão em torno daDispersão em torno daMédia AmostralMédia Amostral

Coeficiente de Coeficiente de VariaçãoVariação

sXX

Medida relativa de variaçãoMedida relativa de variação

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Medidas Estatísticas. Média Mediana Moda Posição Amplitude Variância Desvio Padrão Variação Assimetri a Forma Medidas Estatísticas Coeficiente de variação