Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi

Corso di accompagnamento in matematica

Lezione 4

Sommario

1 La funzione esponenzialeProprietaGrafico

2 La funzione logaritmoGraficoProprieta

3 Equazioni / disequazioni esponenziali

4 Equazioni / disequazioni logaritmiche

Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 2 / 25

La funzione esponenziale

Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base ala funzione

x 7→ ax

Dominio e immagine

La funzione esponenziale x 7→ ax ha

dominio R

immagine (0,+∞)

Una funzione particolareHa un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e

y = ex

Visto che e ≈ 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha uncomportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 ein base 3.




x 7→ ax

Dominio e immagine


dominio R

immagine (0,+∞)


y = ex





x 7→ ax

Dominio e immagine


dominio R

immagine (0,+∞)


y = ex



Richiami

se a = 1, si ottiene la funzione costante: 1x = 1

per ogni a > 0 e ogni x , y ∈ R

a0 = 1 a1 = a a−1 =1a

ax+y = axay (ax )y = axy

quindi (

1a

)x

= a−x

cioe il grafico di y = ax e simmetrico al grafico di y = (1a)

x rispettoall’asse y .


Grafico della funzione esponenziale

x

a

1

1(a) esponenziale in base a > 1

x

a1

1(b) esponenziale in base a < 1

∀ a > 0 il grafico passa attraverso i punti (0,1) e (1,a)

se a > 1, la funzione x 7→ ax e crescente

se a < 1, la funzione x 7→ ax e decrescente


Inversione

Data f (x) = ax con a > 0 reale e il numero reale positivo y0, siconsideri l’equazione ax = y0

Casia = 1l’equazione e risolta da ogni numero reale se y0 = 1, mentrenon ha soluzione per y0 6= 1

a 6= 1per ogni y0 > 0 l’equazione ha una e solo una soluzione x0, dettail logaritmo in base a di y0

Il secondo caso definisce,per ogni y0 ∈ (0,∞), una funzione:

y0 7→ loga y0


Inversione





y0 7→ loga y0


Inversione





y0 7→ loga y0


La funzione logaritmo

Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a lafunzione

x 7→ loga x

Dominio e immagineLa funzione logaritmo y = loga x ha

dominio (0,+∞)

immagine R

Una funzione particolareScegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che egeneralmente indicato con

y = ln x


La funzione logaritmo

Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a lafunzione

x 7→ loga x

Dominio e immagineLa funzione logaritmo y = loga x ha

dominio (0,+∞)

immagine R

Una funzione particolareScegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che egeneralmente indicato con

y = ln x


Grafico

xa1

1

(c) logaritmo in base a > 1

xa1

1

(d) logaritmo in base a < 1

Il grafico passa attraverso i punti (1, 0) , (a, 1) ,(

1a ,−1

)

se a > 1, la funzione e crescentente, negativa su (0, 1), positiva su(1,∞)

se a < 1, la funzione e decrescente, positiva su (0, 1), negativa su(1,∞)


Proprieta

Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x , y e sia z un altro numeroreale assegnato

loga xy = loga x + loga y

logaxy = loga x − loga y

loga xz = z loga x

Inoltre, se b e un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula delcambiamento di base per i logaritmi:

logb x =loga xloga b


Proprieta

Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x , y e sia z un altro numeroreale assegnato

loga xy = loga x + loga y

logaxy = loga x − loga y

loga xz = z loga x

Inoltre, se b e un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula delcambiamento di base per i logaritmi:

logb x =loga xloga b


Esponenziali e logaritmi

Il grafico di y = ax and y = loga x (stessa base) sono l’uno simmetricoall’altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Dunque, se il punto (p,q) appartiene al grafico della funzioneesponenziale, allora (q,p) appartiene al grafico della funzionelogaritmo.

SpiegazioneIl logaritmo e l’esponenziale soddisfano le relazioni seguenti:

aloga y0 = y0 ∀ y0 ∈ (0,+∞)

loga (ax0) = x0 ∀ x0 ∈ R


Equazioni esponenziali I

Tipo: af (x) = k con a > 0, a 6= 1 e k ∈ R

Soluzione: se k > 0, f (x) = loga k

se k ≤ 0, impossibile

Esempio

8 · 2x−1 − 2x+1 = 16

8 · 2x

2− 2 · 2x = 16

(4 − 2) · 2x = 16

2x = 8

x = 3






Esempio

8 · 2x−1 − 2x+1 = 16

8 · 2x

2− 2 · 2x = 16

(4 − 2) · 2x = 16

2x = 8

x = 3






Esempio

8 · 2x−1 − 2x+1 = 16

8 · 2x

2− 2 · 2x = 16

(4 − 2) · 2x = 16

2x = 8

x = 3


Equazioni esponenziali II

Tipo: af (x) = ag(x)

Soluzione: f (x) = g(x)

Esempio

22x2+x − 2x3+2x = 0

22x2+x = 2x3+2x

x(2x + 1) = x(x2 + 2)

x(−x2 + 2x − 1) = 0

x(

−(x − 1)2)

= 0

x = 0 o x = 1





Esempio

22x2+x − 2x3+2x = 0

22x2+x = 2x3+2x

x(2x + 1) = x(x2 + 2)

x(−x2 + 2x − 1) = 0

x(

−(x − 1)2)

= 0

x = 0 o x = 1





Esempio

22x2+x − 2x3+2x = 0

22x2+x = 2x3+2x

x(2x + 1) = x(x2 + 2)

x(−x2 + 2x − 1) = 0

x(

−(x − 1)2)

= 0

x = 0 o x = 1


Equazioni esponziali III

Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1

Soluzione: usare bg(x) = ag(x)logab, poi applicare loga

Esempio

2x+1 = 51−x

2x+1 = 2(1−x) log2 5

x + 1 = (1 − x) log2 5

x(1 + log2 5) = log 5 − 1

x =log2 5 − 11 + log2 5



Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1


Esempio

2x+1 = 51−x

2x+1 = 2(1−x) log2 5

x + 1 = (1 − x) log2 5

x(1 + log2 5) = log 5 − 1

x =log2 5 − 11 + log2 5



Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1


Esempio

2x+1 = 51−x

2x+1 = 2(1−x) log2 5

x + 1 = (1 − x) log2 5

x(1 + log2 5) = log 5 − 1

x =log2 5 − 11 + log2 5


Equazioni esponenziali III

Un altro esempio2x+15x−1

3x = 2

2x+15x−1 = 2 · 3x

ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x

x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5

x =ln 5

ln 2 + ln 5 − ln 3


Equazioni esponenziali III

Un altro esempio2x+15x−1

3x = 2

2x+15x−1 = 2 · 3x

ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x

x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5

x =ln 5

ln 2 + ln 5 − ln 3


Equazioni esponenziali IV

Tipo: f (ax) = 0Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) = 0

Esempio

22−x − 23−x + 2x = 0

222−x − 232−x + 2x = 0

(22 − 23)2−x = −2x sostituzione: t = 2x

(22 − 23)/t = −t

t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22

22x = 22

2x = 2

x = 1




Esempio

22−x − 23−x + 2x = 0

222−x − 232−x + 2x = 0


(22 − 23)/t = −t

t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22

22x = 22

2x = 2

x = 1




Esempio

22−x − 23−x + 2x = 0

222−x − 232−x + 2x = 0


(22 − 23)/t = −t

t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22

22x = 22

2x = 2

x = 1




Esempio

22−x − 23−x + 2x = 0

222−x − 232−x + 2x = 0


(22 − 23)/t = −t

t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22

22x = 22

2x = 2

x = 1


Disequazioni esponenziali

Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1

Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x)se a < 1, f (x) < g(x)

Esempio(

(17

)x+1)x

> 149

(

17

)(x+1)x

>

(

17

)2

(x + 1)x < 2

x2 + x − 2 < 0

−2 < x < 1



Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1


Esempio(

(17

)x+1)x

> 149

(

17

)(x+1)x

>

(

17

)2

(x + 1)x < 2

x2 + x − 2 < 0

−2 < x < 1



Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1


Esempio(

(17

)x+1)x

> 149

(

17

)(x+1)x

>

(

17

)2

(x + 1)x < 2

x2 + x − 2 < 0

−2 < x < 1



Tipo: f (ax) > c

Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) > c

Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0

22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0 sostituzione t = 2x

t2 − 2t − 3 ≤ 0

−1 ≤ t ≤ 3

−1 ≤ 2x ≤ 3

x ≤ log2 3



Tipo: f (ax) > c


Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0


t2 − 2t − 3 ≤ 0

−1 ≤ t ≤ 3

−1 ≤ 2x ≤ 3

x ≤ log2 3



Tipo: f (ax) > c


Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0


t2 − 2t − 3 ≤ 0

−1 ≤ t ≤ 3

−1 ≤ 2x ≤ 3

x ≤ log2 3


Equazioni logaritmiche

Tipo: loga f (x) = b con a > 0, a 6= 1 e b ∈ R

Soluzione: quando f (x) > 0, f (x) = ab

Attenzione

E sempre necessario determinare il dominio di esistenza,

dato che log e definita solo quando il suo argomento e strettamentepositivo

Esempio2 + log2 x = log2 7 D = (0,+∞)

log2 x = log2 7 − 2

x = 2log2 7−2

x =74

(valido, perche ∈ D)





Attenzione




log2 x = log2 7 − 2

x = 2log2 7−2

x =74






Attenzione




log2 x = log2 7 − 2

x = 2log2 7−2

x =74



Equazioni logaritmiche I

Esempiolog4(x + 6) + log4 x = 2 D = (0,+∞)

log4(x2 + 6x) = 2

x2 + 6x − 16 = 0

x =

{

−8 (non valida)

2


Equazioni logaritmiche II

Tipo: loga f (x) = loga g(x)

Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)

Esempiolog2 x + log 1

2(x − 1) = 3 D = (1,+∞)

log2 x = log2(x − 1) + 3

2log2 x = 2log2(x−1)+3

x = (x − 1)23

x = 8x − 8

7x = 8

x =87

(ok)



Tipo: loga f (x) = loga g(x)

Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)

Esempiolog2 x + log 1

2(x − 1) = 3 D = (1,+∞)

log2 x = log2(x − 1) + 3

2log2 x = 2log2(x−1)+3

x = (x − 1)23

x = 8x − 8

7x = 8

x =87

(ok)



Examplelog2(x + 1) = log4(2x + 5) D = (−1,+∞)

log2(x + 1) =log2(2x + 5)

log2 4

log2(x + 1) =12

log2(2x + 5)

log2(x + 1) = log2(2x + 5)12

x + 1 =√

2x + 5

x2 + 2x + 1 = 2x + 5

x2 − 4 = 0

x =

{

−2 (non valida)

2


Equazioni logaritmiche III

Tipo: f (loga x) = 0

Soluzioneution: porre loga x = t , quindi risolvere f (t) = 0

Esempio

log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 D = (0,+∞)

log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 sostituzione t = log2 x

t2 − 2t − 3 = 0

(t − 3) (t + 1) = 0

t = −1 o 3

log2 x = −1 o 3

x = 1/2 o x = 8


Equazioni logaritmiche III

Tipo: f (loga x) = 0

Soluzioneution: porre loga x = t , quindi risolvere f (t) = 0

Esempio

log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 D = (0,+∞)

log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 sostituzione t = log2 x

t2 − 2t − 3 = 0

(t − 3) (t + 1) = 0

t = −1 o 3

log2 x = −1 o 3

x = 1/2 o x = 8


Diseguaglianze logaritmiche I

Tipo: loga f (x) > loga g(x)

Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);if a < 1, f (x) < g(x)

Esempiolog2 x − log2 3 < log2(x + 2) D = (0,+∞)

log2x3

< log2(x + 2)

x3

< x + 2

x > −3

e tenendo conto del dominio, la soluzione e x > 0



Tipo: loga f (x) > loga g(x)

Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);if a < 1, f (x) < g(x)

Esempiolog2 x − log2 3 < log2(x + 2) D = (0,+∞)

log2x3

< log2(x + 2)

x3

< x + 2

x > −3

e tenendo conto del dominio, la soluzione e x > 0



Esempio

log2(x2 + 1) > log2(2x + 4) D = (−2,+∞)

log2(x2 + 1) > log2(2x + 4)

x2 + 1 > 2x + 4

x2 − 2x − 3 > 0

(x − 3)(x + 1) > 0

x < −1 o x > 3

e tenendo conto del dominio, la soluzione e −2 < x < −1 or x > 3


Disequazioni logaritmiche II

Tipo: f (log x) > cSoluzione: porre log x = t , quindi risolvere f (t) > c

Example

log32 x − 2 log2 x > 0 D = (0,+∞)

log32 x − 2 log2 x > 0 sostituzione t = log2 x

t3 − 2t > 0

t(t2 − 2) > 0

t >√

2 o −√

2 < t < 0

x > 2√

2 o 2−

√

2 < x < 1


Disequazioni logaritmiche II

Tipo: f (log x) > cSoluzione: porre log x = t , quindi risolvere f (t) > c

Example

log32 x − 2 log2 x > 0 D = (0,+∞)

log32 x − 2 log2 x > 0 sostituzione t = log2 x

t3 − 2t > 0

t(t2 − 2) > 0

t >√

2 o −√

2 < t < 0

x > 2√

2 o 2−

√

2 < x < 1


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