Esponenziali e logaritmi: cenni introduttivi · 2012. 4. 25. · CENNI STORICI L’origine della nozione di logaritmo viene attribuita alla osservazione fatta dagli studiosi matematici

�� Esponenziali e logaritmi: cenni introduttivi

Due funzioni importanti…

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2012

Appunti sintetici esponenziali e logaritmi

Prof. Franco Fusier Rev. 04/2012 - Pag. 2

Appunti (esponenziali e logaritmi)

Sommario Esponenziali e logaritmi .................................................................................................. 3

Cenni storici...................................................................................................................3 Esponenziali e funzione esponenziale ........................................................................5

Potenza di un numero reale con esponente intero ........................................................................5

Potenza di un numero reale con esponente razionale..................................................................7

Potenze con esponente reale ..................................................................................................................8

La funzione esponenziale .........................................................................................................................9

Definizione di logaritmo di un numero reale positivo................................................................ 13

Primi esempi di logaritmi ....................................................................................................................... 13

Equazioni esponenziali ........................................................................................................................... 14

Esempi risolti di equazioni esponenziali .......................................................................................... 15 Logaritmi e funzione logaritmica ..............................................................................20

Ripasso definizione................................................................................................................................... 20

Prime proprietà dei logaritmi ............................................................................................................... 21

Proprietà fondamentali dei logaritmi................................................................................................ 21

Passaggio da un sistema di logaritmi ad un altro......................................................................... 24

La funzione logaritmica .......................................................................................................................... 24

Equazioni logaritmiche ........................................................................................................................... 26

Esempi risolti di equazioni logaritmiche.......................................................................................... 28

Risoluzione grafica di equazioni.......................................................................................................... 30

radicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segnoradicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendovalida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, sipossono dare le seguenti definizioni:La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è ilradicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di basea ed esponente il numeratore.La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è ilreciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segno



ESPONENZIALI E LOGARITMI

CENNI STORICI

L’origine della nozione di logaritmo viene attribuita alla osservazione fatta dagli

studiosi matematici circa i legami molto semplici che intercorrevano fra i risultati

delle operazioni aritmetiche eseguite sulle coppie di termini corrispondenti di due

progressioni, la prima aritmetica e l’altra geometrica, opportunamente legate tra

loro. Una osservazione del genere era già stata fatta da Archimede; però bisogna

arrivare al 1544 quando M. Stifel nell’opera Aritmetica Integra (1544), osserva che i

termini di una progressione geometrica 2 3 41, , , , ,a a a a … (avente ragione a)

possono essere posti in corrispondenza con gli esponenti, in progressione aritmetica, 0,1, 2,3, 4,… (avente ragione 1). Un esempio è il seguente:

1 1 1 1 132 16 8 4 2

5 4 3 2 1 0 1 2 3 5 5

1 2 4 8 16 32

− − − − −

Inoltre, riprendendo un’idea già presente nel Triparty en la science des nombres1 di

Nicolas Chuquet (scritto nella seconda metà del XV sec. ma pubblicato solo nel

1880), viene fatto notare che, anche usando questa corrispondenza, contenente

frazioni e numeri relativi, la moltiplicazione tra due valori della seconda

progressione può essere sostituita dall’addizione algebrica tra termini

corrispondenti della prima, mentre la divisione può essere sostituita dalla

sottrazione e così via.

Nel XVII secolo motivi di carattere tecnico e necessità contingenti costituiscono la

spinta che porterà alla scoperta e all’affermazione dei logaritmi.

L’effettiva nascita dei logaritmi e i primi studi condotti sulle loro proprietà e sulle

loro applicazioni possono essere collocati in un periodo di tempo ben individuabile

e relativamente ristretto: la prima metà del Seicento.

I logaritmi furono ideati nel 1594 dallo scozzese John Napier (italianizzato Giovanni

Nepero, 1550-1617), il quale era interessato all’introduzione di accorgimenti atti a

facilitare i calcoli trigonometrici in astronomia. Nella Mirifici logarithmorum canonis

descriptio (1614) e nella Mirifici logarithmorum canonis constructio (1617) il

matematico scozzese espose il proprio metodo.

Il nome logaritmo deriva dal greco, infatti è una parola composta da logós (ragione,

rapporto) e arithmós (numero) e significa significa “numero del rapporto”. Fu proprio

Napier che introdusse la parola “logaritmo”.

Nepero nella sua opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio afferma: “Nulla è più

penoso della pratica delle matematiche, poiché la logistica2 è tanto più frenata,

1 In questo trattato si trovano già la notazione degli esponenti e i fondamenti del calcolo

esponenziale, l’impiego degli esponenti nella risoluzione delle equazioni, i segni algebrici, la regola

dei segni e anche il germe dei logaritmi. Il Triparty è stato pubblicato soltanto nel 1880 a Roma. 2 Per logistica oggi si intende l’attività di coordinamento di movimenti e spostamenti di persone o




ritardata, quanto più le moltiplicazioni, le divisioni e le estrazioni di radice quadrate e

cubiche sono da applicare a grandi numeri; poiché essa (la logistica) è assoggettata alla

fatica di lunghe operazioni e molto più ancora alla incertezza degli errori. Io ho

cominciato a cercare attraverso a quale procedimento rapido e preciso si potrebbero

superare questi ostacoli....”.

L’interesse per la semplificazione del calcolo, sia a livello commerciale che a livello

astronomico era venuto crescendo in Europa già nel XII sec.; in particolare le sorti

economiche dell’Inghilterra erano legate alla navigazione e si rendeva sempre più

pressante la necessità di risolvere problemi di calcolo legati alla determinazione di

distanze o di posizioni.

Il sistema dei logaritmi di Napier, pubblicato nel 1614, ebbe un successo immediato,

uno degli ammiratori più entusiasti fu Henry Briggs, professore di geometria

all’università di Oxford.

Nel 1615 Henry Briggs (1561-1631) segnalò l’opportunità di adottare la base 10 e

diede una definizione di logaritmo assai chiara. Poiché Napier morì nel 1617, Briggs

si assunse il compito di compilare la prima tavola di logaritmi comuni. Nel 1617

Briggs pubblicava “Logarithmorum chilia prima” cioè i logaritmi dei numeri da 1 a

1000. Contemporaneamente a Briggs, John Speidell, calcolò i logaritmi naturali

delle funzioni trigonometriche, pubblicandone le tavole nei suoi “New Logarithmes”

del 1619.

Indipendentemente da Napier e da Briggs, anche lo svizzero Joost Bürgi (1552-

1632), un collaboratore di Johannes Kepler (1571-1630), ideò i logaritmi nei primi

anni del XVII secolo; egli rese però pubblici i propri risultati, sostanzialmente

analoghi a quelli di Napier, soltanto nel 1620.

Nel 1624, in “Arithmetica logarithmica”, Briggs ampliò la sua tavola fino ad includere i

logaritmi dei numeri da 1 a 20000 e da 90000 a 100000, calcolati fino alla

quattordicesima cifra. Nell’opera di Briggs, troviamo i termini di “mantissa “ e

“caratteristica”.

Anche Keplero accolse favorevolmente i logaritmi, non perché rappresentavano un

contributo al pensiero matematico ma perché fornivano agli astronomi un efficace

strumento per effettuare con facilità i loro calcoli. Osserviamo a questo proposito

che oggi, con l’avvento delle moderne calcolatrici scientifiche e dei computer, i

logaritmi hanno certamente perso molto della loro tradizionale importanza: è

infatti evidente che, come strumento di calcolo basato sull’utilizzazione delle tavole,

essi sono completamente superati. Tuttavia i concetti di logaritmo e di funzione

logaritmica, soprattutto con riferimento alla base e=2,718... dei logaritmi naturali o

neperiani, conservano e conserveranno sempre tutta la loro rilevanza teorica e

scientifica. Basti pensare infatti, alla frequenza con cui la funzione logaritmica, in

cose in una struttura collettiva, ad esempio in una struttura industriale, anticamente però con

logistica si intendeva la parte dell’aritmetica che si occupa delle operazioni elementari sui numeri

interi: proprio di questo intende parlare Nepero nel suo libro.




correlazione con la funzione esponenziale, appare nell’ambito dell’analisi

matematica e nell’interpretazione dei fenomeni fisici, chimici, ecc.

I sistemi di logaritmi di uso comune sono due, di base maggiore di 1, ossia:

Logaritmi naturali o neperiani

I logaritmi naturali o neperiani, la cui base è un numero irrazionale, indicato con e, eguale, con approssimazione, a 2,7182818285…

Si dicono neperiani per ricordare il matematico scozzese John Napier, conosciuto

come Giovanni Nepero, famoso per i suoi studi sui logaritmi.

La base dei logaritmi naturali “e” viene chiamata in ambito internazionale numero

di Eulero, in Italia talvolta numero di Nepero.

I logaritmi neperiani si possono indicare con la seguente simbologia loge N , o più

semplicemente omettendo la base e , cioè scrivendo log N , oppure con il simbolo

ln N . Questo sistema di logaritmi è usato soprattutto nella teoria matematica.

Logaritmi decimali

I logaritmi volgari o decimali, la cui base è il numero 10. Questo logaritmi si dicono

anche di Briggs per ricordare il matematico inglese Henry Briggs.

I logaritmi decimali si possono indicare con la seguente simbologia 10log N , o più

semplicemente omettendo la base 10 e scrivendo la lettera L maiuscola, cioè scrivendo Log N . Questo sistema di logaritmi è utilizzato soprattutto nella pratica,

ossia solitamente è in uso nelle applicazioni e nei calcoli.

ESPONENZIALI E FUNZIONE ESPONENZIALE

Potenza di un numero reale con esponente intero

Sia a un numero reale ed n un numero intero. Diamo la seguente

Definizione 1

Se n è un numero intero maggiore di 1, si chiama potenza n-esima del numero reale a,

il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè:

volten

na a a a= ⋅ ⋅ ⋅��

…

Se n = 1, si pone:

1a a=

Se n = 0 ed a ≠ 0, si pone: 0 1a =

Se n è intero positivo ed a ≠ 0, si pone: 1nn

aa

− =

mentre se a = 0 ed n = 0, al simbolo 00 non si attribuisce alcun significato.




Per le potenze con esponenti interi (positivi, negativi o nulli) valgono i cinque

teoremi fondamentali:

TEOREMA 1

Il prodotto di potenze aventi la stessa base è uguale alla potenza della stessa base

con esponente la somma degli esponenti; cioè:

m n m na a a +⋅ =

TEOREMA 2

Il quoziente di potenze aventi la stessa base è uguale alla potenza della stessa base

con esponente la differenza degli esponenti; cioè:

nn m

m

aa

a−= .

TEOREMA 3

La potenza di una potenza è uguale alla potenza della stessa base con esponente il

prodotto degli esponenti; cioè:

( ) ( )n mm n n ma a a ⋅= =

TEOREMA 4

La potenza del prodotto di due o più numeri reali è uguale al prodotto delle

potenze dei fattori; cioè:

( )n n n na b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

TEOREMA 5

La potenza del quoziente di due numeri reali è uguale al quoziente delle potenze

del dividendo e del divisore, cioè:

( )n n

n

a ab b

=

Si possono inoltre dimostrare anche i due seguenti teoremi che ci limitiamo ad

enunciare:

TEOREMA 6

Se a e b sono due numeri reali positivi ed n un numero intero positivo, allora si ha:

a = b ⇔ a n = b n.

TEOREMA 7

Se a e b sono due numeri reali positivi ed n un numero intero positivo, allora si ha:




a > b ⇔ a n > b n

a < b ⇔ a n < b n

Potenza di un numero reale con esponente razionale

Il concetto di potenza di un numero reale che abbiamo considerato per il solo

esponente intero, si può estendere al caso di esponente razionale con la condizione

che la base sia sempre positiva.

Per giustificare questa estensione del concetto di potenza basta ricordare che ogni

numero positivo a può assumere la forma di radicale apparente con indice n

arbitrario. Ad esempio, prendendo 3 come indice, si ha:

3 3a a= , 32 6a a= , …

ed anche:

33 33a a= ,

6633 ,a a= …

Così si vede che la potenza di un numero positivo a, con esponente formato da una

frazione apparente mn , equivale ad un radicale di indice n (denominatore) e

radicando uguale alla potenza di a con esponente m (numeratore). Ritenendo

valida questa trasformazione anche per un esponente frazionario qualunque, si

possono dare le seguenti definizioni:

La potenza di un numero reale positivo a, con esponente frazionario positivo, è il

radicale aritmetico che ha per indice il denominatore e per radicando la potenza di base

a ed esponente il numeratore.

La potenza di un numero reale a positivo, con esponente frazionario negativo, è il

reciproco della stessa potenza con esponente cambiato di segno.

Si ha cioè:

1

mn mn

mn

n m

a a

aa

−

=

=.

��Osservazione 1

Quando l’esponente è razionale, la base deve necessariamente essere positiva

perché in caso contrario si potrebbero ottenere, applicando le proprietà delle

potenze espresse dai precedenti teoremi, scritture prive di significato (come radici

di indice pari di numeri negativi).

Chiariamo quest’ultima affermazione con un esempio:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )[ ] [ ]

1 41 1 4 4 41 2 1 2 1 2 1 2

1 4 1 42 2 1 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3

⋅− = − = − = − = − =

= − = = =

Abbiamo dunque ottenuto un risultato contraddittorio: se vogliamo mantenere la




validità delle proprietà delle potenze proprie degli esponenti interi dobbiamo

limitarci a considerare basi non negative. Questa limitazione sulla base dovrà essere

mantenuta, ovviamente, anche nel caso di esponente reale.

Viceversa un radicale si può sempre scrivere sotto forma di potenza con esponente

frazionario il cui denominatore è l’indice del radicale e il numeratore l’esponente del

radicando.

Si può anche dimostrare il seguente

TEOREMA 8

La potenza di un numero reale maggiore di 1, ad esponente razionale, cresce al

crescere dell’esponente; mentre la potenza di un numero reale positivo minore di 1

decresce al crescere dell’esponente.

Potenze con esponente reale

Vogliamo adesso estendere ancora il concetto di potenza per dare significato al

simbolo

ra

quando a è un numero reale positivo ed r un qualunque numero reale.

Introduciamo il procedimento con un esempio: supponiamo di voler attribuire un

valore ad 2a . Ipotizziamo, per esempio, che sia 1a > , notiamo innanzitutto che:

151410 10

141 142100 100

1 2 2

2

2

< << <

< <⋯

Si avrà allora:

151410 10

141 142100 100

2 2

2

2

a a a

a a a

a a a

< <

< <

< <⋯

La successione: 14 14110 100, , ,a a a ⋯

è strettamente monotòna crescente, mentre la successione 15 14210 1002 , , ,a a a ⋯

È strettamente monotòna decrescente. È possibile dimostrare che esiste uno ed un

solo numero reale (positivo) che risulta contemporaneamente maggiore di tutti i

termini della prima successione e minore di tutti i termini della seconda. Poiché il

numero 2a gode della stessa proprietà, appare del tutto logico porre 2a uguale

all’unico numero reale individuato dalle due precedenti successioni.

Vediamo adesso come si può impostare il problema della definizione in modo più




formale.

Per definire ra quando r non è razionale, premettiamo le due seguenti osservazioni

fondamentali.

1) Se a > 1 e se ( ),H K sono due classi di numeri razionali contenenti

rispettivamente tutti i numeri che approssimano r per difetto e per eccesso, le

classi ( ),F G ottenute ponendo in F tutte le potenze ha con h H∈ ed in G

tutte le potenze ka con k K∈ , costituiscono una coppia di classi contigue di

numeri reali e pertanto ammettono un unico numero reale α separatore. 2) Se 0 < a < 1 ed r > 0, le classi ( ),G F definite come prima costituiscono una

coppia di classi contigue e pertanto ammettono un unico numero reale α separatore.

In generale, indicato con ( ),r H K= un numero reale qualunque, si ha la

seguente

Definizione 2

La potenza di un numero reale positivo a, diverso da 1, con esponente reale positivo r, è

il numero reale positivo definito dalle classi contigue formate con le potenze di a, che

hanno per esponenti i numeri delle due classi contigue che definiscono l’esponente r.

Con le definizioni date risulta così definita la potenza di un qualunque numero reale

a positivo con esponente intero, razionale, irrazionale. Nel campo reale non si

definisce invece la potenza di un numero reale negativo con esponente reale. Alle

potenze di base positiva ed esponente reale qualunque si possono estendere tutti i

teoremi validi per le potenze con esponente razionale.

Possiamo adesso generalizzare un risultato enunciato in precedenza, vale infatti il

seguente

TEOREMA 9

La potenza di un numero reale maggiore di 1, ad esponente reale, cresce al crescere

dell’esponente; mentre la potenza di un numero reale positivo minore di 1 decresce

al crescere dell’esponente.

La funzione esponenziale

Abbiamo visto in precedenza che se 0a > , per ogni numero reale x, è sempre

definita la potenza xa . è perciò possibile definire una funzione:

0:f +→ℝ ℝ

ponendo, x∀ ∈ ℝ :

( ) xf x a=

Se a = 1 la f è costante. Infatti si ha:

( ) 1 1 xf x x= = ∀ ∈ ℝ .

Se 0a > ed 1a ≠ , la funzione ( )f x si dice funzione esponenziale di base a, e la

sua immagine geometrica, rispetto ad un sistema di assi cartesiani, è la curva




esponenziale.

L’andamento della funzione e della curva esponenziale è diverso a seconda che la

base positiva a è maggiore o minore di 1. Per studiare il grafico della funzione

( ) xf x a= distinguiamo tre casi.

1° Caso. Sia 1a > .

In questa ipotesi, se attribuiamo alla x, variabile indipendente, valori arbitrari

otterremo in corrispondenza di essi valori della y, variabile dipendente, che sono

potenze crescenti indefinitamente se x è positivo e potenze decrescenti se x è

negativo. Infatti, se x è positivo, si ha la successione di valori:

0 1 2 31, , , , , ,na a a a a a= = … …

crescenti indefinitamente perché è a > 1.

Se x è negativo si ottiene la successione di valori:

1 2 32 3

1 1 1 1, , , , ,n

na a a a

a a a a− − − −= = = =… …

che sono decrescenti essendo a > 1. Il grafico è il seguente:

Poiché al crescere delle ascisse dei punti della curva crescono anche le rispettive

ordinate, allora la curva esponenziale, in questo caso, è crescente.

Facendo variare il valore della base (sempre nell’intervallo 1a > ) si ottengono

curve esponenziali diverse, che presentano l’andamento caratteristico mostrato in

figura. Tutte le curve si incontrano nel punto ( )0;1 .

2° Caso. Sia 0 1a< < .

In questa ipotesi, se attribuiamo alla x valori arbitrari otterremo in corrispondenza

di essi valori della y che sono potenze crescenti indefinitamente se x è negativo.

Infatti, si ha la successione: 0 1 2 31, , , , , ,na a a a a a= = … …

Che risulta, poiché 0 < a < 1, decrescente indefinitamente.

Se x è negativo si ottiene la successione di valori:

2xy =

5xy =




1 2 32 3

1 1 1 1, , ,. , ,n

na a a a

a a a a− − − −= = = =… …

che sono crescenti indefinitamente.

Poiché al crescere delle ascisse dei punti della curva le rispettive ordinate

decrescono, in questo caso, la curva esponenziale è decrescente.

Facendo variare il valore della base (sempre nell’intervallo 0 1a< < ) si ottengono

curve esponenziali diverse, che presentano l’andamento caratteristico mostrato in


3° Caso. Sia 1a = .

In questa ipotesi la funzione, per ogni valore della x, assume sempre il valore 1, e ciò

significa che ogni punto del grafico ha ordinata 1 e quindi il suo grafico è il

seguente:


Le curve immagini delle due funzioni esponenziali:

xy a= e ( )1 x

ay =

1 1xy = =

( )12

xy =

( )15

xy =




con le basi una maggiore di 1 e l’altra minore di 1 (essendo a ed 1a numeri

reciproci), sono una crescente e l’altra decrescente.

Si può dimostrare che le due curve sono simmetriche rispetto all’asse delle

ordinate.

Infatti, attribuendo alla x in una il valore 0x e nell’altra il valore opposto 0x− , si ha:

• nella prima funzione: 00

xy a y= = ;

• nella seconda funzione: ( ) 0 010

x xay a y

−= = = .

Perciò i punti ( )0 0;A x y e ( )0 0;A x y′ − , avendo ascissa opposta ed ordinata

uguale sono simmetrici rispetto all’asse y.


Di particolare importanza è la seguente funzione esponenziale:

xy e=

avente per base il numero irrazionale e, chiamato numero di Eulero (talvolta

numero di Nepero). Esistono moltissime leggi relative a fenomeni appartenenti alle

più diverse discipline le quali sono rappresentate da formule matematiche

contenenti funzioni esponenziali di base e.

Il numero di Eulero e è definito nel modo seguente:

1lim 1

n

ne

n→+∞ + =

ossia il numero e è quel particolare valore (compreso fra 2 e 3), a cui converge la

successione:

11

n

n Nn

∈

+

.

Si trova infatti che aumentando indefinitamente il valore di n, anche i

corrispondenti valori di 1

1n

n +

crescono, ma sempre più lentamente, e tendono

( )12

xy =

3xy =

2xy =

( )13

xy =




a stabilizzarsi intorno ad un numero finito il cui valore risulta:

e = 2,7182818…

Il numero di Eulero è irrazionale poiché non si può rappresentare mediante una

frazione (e è quindi decimale, illimitato e non periodico) ed è anche trascendente,

ossia non esiste alcuna equazione algebrica, a coefficienti in ℤ , che ammetta tra le

sue soluzioni il numero e.

Definizione di logaritmo di un numero reale positivo

Si può dimostrare che dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠ 1, l’equazione: xa b=

ammette una ed una sola soluzione. Tale soluzione x si chiama logaritmo di b in

base a e si scrive:

logax b=

Si pone perciò la seguent

Definizione 3

dati due numeri positivi, a e b, con a ≠ 1, si chiama logaritmo in base a del numero b

l’esponente a cui si deve elevare a per ottenere b.

Pertanto le scritture:

logax b= e xa b=

sono equivalenti.

Il numero b si chiama argomento del logaritmo.

La definizione di logaritmo permette di poter scrivere ogni numero reale positivo b,

in un unico modo, come potenza di un altro qualsiasi numero positivo a ≠ 1. Si ha infatti:

loga bb a=

cioè, ogni numero b > 0 si può pensare come potenza di qualsiasi base prefissata a positiva e diversa da 1.

Osserviamo che non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto ad una base

negativa perché abbiamo visto che la potenza xa ha senso soltanto per 0a > ;

inoltre deve essere a ≠ 1 perché per qualsiasi valore di x, 1x è sempre uguale a 1.

Quindi possiamo concludere dicendo che: non esiste, nel campo reale, il logaritmo di

un numero negativo.

Primi esempi di logaritmi

In base alla definizione di logaritmo in base a del numero b, possiamo

immediatamente dedurre i seguenti esempi:

• 2log 2 1= , infatti 12 2=

• 2log 4 2= , infatti 22 4=




• 2log 16 4= , infatti 42 16=

• 34 2log 8 = , infatti ( )

3324 4 8= =

• 13

log 9 2= − , infatti ( ) 221

3 93

−= =

• 2log 8 6= , infatti ( )6 32 2 8= =

• 3 13logπ π = , infatti

133π π=

Equazioni esponenziali

Si chiama equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognita compare solo

all’esponente di una o più potenze. Il caso più semplice di equazione esponenziale

è il seguente:

xa b= (�)

che è detta, per questo motivo, equazione esponenziale elementare.

Osserviamo che questa equazione, nel campo reale, può avere soluzioni soltanto se

0a > e 0b > . Infatti:

a) il primo membro della (�), che è una potenza con esponente reale, ha

significato solo se a è positivo;

b) xa risulta sempre positivo per ogni valore della x; pertanto l’equazione (�) può

avere soluzioni soltanto se anche b è positivo.

Esaminiamo alcuni casi particolari in cui 0a > e 0b > .

• se a = 1, b = 1 l’equazione (�) diventa 1 1x = , che è una identità;

• se a = 1, b ≠ 1 si ha l’equazione 1 1x b= ≠ , che è impossibile;

• se a ≠ 1, b = 1 si ha l’equazione 1xa = che ammette la soluzione x =0 perché è 0 1a = .

Sussiste il seguente teorema di cui diamo solo l’enunciato:

TEOREMA 10

Dati due numeri reali positivi a e b con 1a ≠ , l’equazione esponenziale

xa b=

ammette una ed una sola soluzione reale. Tale soluzione è positiva se a e b sono

entrambi maggiori di 1 o entrambi minori di 1; è negativa se dei due numeri a e b

uno è maggiore di 1 e l’altro è minore di 1; è uguale a 0 se è b = 1 e a > 0.

Le tecniche risolutive delle usuali equazioni esponenziali sono generalmente

abbastanza semplici:

• mediante opportune sostituzioni si cerca di trasformare l’equazione

esponenziale in un’equazione algebrica;

• sfruttando le proprietà delle potenze si cerca di riportare trasformare




l’equazione assegnata in un’equazione elementare equivalente (ciè con le

stesse soluzioni.

Gli esempi che seguono mostrano le principali tecniche risolutive.

Esempi risolti di equazioni esponenziali

Gli esempi che seguono illustrano le principali tecniche risolutive. Si tratta di

esercizi introduttivi.

Esempio 1 [è presente una sola base]

Risolvere le equazione esponenziali:

3 9x = e 193x =

Si ha:

23 3 2x x= ⇒ =

23 3 2x x−= ⇒ = −

Esempio 2 [sono presenti due basi diverse]

Risolvere l’equazione esponenziale:

2 16 3 864x x− +⋅ =

Questa equazione la possiamo scrivere nella forma:

( )2

2

6 3 8643 3 864 8

66 3 6

xx

x⋅ ⋅ = ⇒ = =

⋅

e quindi:

( ) ( ) 31 13

2 2

x

x−

= ⇒ = −



29 3 82 3 9 0x x⋅ − ⋅ + =

Posto 3x t= , si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

29 82 9 0t t− + =

le cui soluzioni sono 1 9t = e 12 9t = . Tenuto conto della posizione fatta, si hanno

le seguenti equazioni:

3 9 2x x= ⇒ =

193 2x x= ⇒ = −






cos 22 2 2x⋅ =

Sfruttando le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

1cos2 1 22 2x+ =

da cui si ottiene

1 12 2cos 2 1 cos 2x x+ = ⇒ = −

23 32 2x k x kππ π π= ± + ⇒ = ± +



2sin sin4 2 4 8 0x x+ ⋅ − =

Posto sin4 x t= , si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

2 2 8 0t t+ − =

le cui soluzioni sono 1 4t = − e 2 2t = + . Tenuto conto della posizione fatta, si

hanno le seguenti equazioni:

4 4 impossibilex = − ⇒

1sin sin 24 2 4 4x x= ⇒ =

da cui si ottiene

12sin x =

56 62 2x k x kπ π π π= + ∨ = +

Esempio 6 [sono presenti due basi correlate]


2 24 6 2 8 0x x− ⋅ + =

Ricordando che 22 4x x= si ha:

24 6 4 8 0x x− ⋅ + =

Posto 4x t= , si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

2 6 8 0t t− + =



4 4 1x x= ⇒ =

11224 2 4 4x x x= ⇒ = ⇒ =

Esempio 7 [sono presenti due basi correlate]





( )3 10 3 9 0xx − ⋅ + =

Ricordando che ( )23 3

xx = si ha:

( ) ( )23 10 3 9 0

x x− ⋅ + =

Posto ( )3x

t= , si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

2 10 9 0t t− + =



( )3 1 0x

x= ⇒ =

( ) ( ) ( )43 9 3 3 4

x xx= ⇒ = ⇒ =



4 16 0xe − =

Posto xe t= , si ottiene la seguente equazione di 4° grado:

( )( )4 2 216 0 4 4 0t t t− = → − + =

da cui si ottiene 1 2t = , 2 2t = − .

Tenuto conto della posizione fatta, si hanno le seguenti soluzioni:

2 ln 2xe x= ⇒ =

2 impossibilexe = − ⇒



3 22 5 6 0x x xe e e⋅ + ⋅ − − =

Posto xe t= , si ottiene la seguente equazione di 3° grado:

( )( )( )3 22 5 6 0 1 2 2 3 0t t t t t t+ − − = → − + + =

le cui soluzioni sono 1 1t = , 2 2t = − e 33 2t = − .

Tenuto conto della posizione fatta, si hanno le seguenti soluzioni:

1 0xe x= ⇒ =








1 12 12 24 3 3 2

x xx x− + −− = − .

Trasformiamo l’equazione nella forma seguente:

( )( ) ( )

3 2

3 2

32

1 34 4 3 3

2 33 4 3

4 32 3

4 8 4 4 43 3 3 3 3 3

4 43 3

x x x

x x

x

x

+ ⋅ = + ⋅

= ⋅

= = =

=

Questa equazione è soddisfatta soltanto se gli esponenti sono uguali, cioè se è:

32

x =


Risolvere la seguente equazione esponenziale:

3 32 64 3x x+ −= ⋅

Osserviamo innanzitutto che i monomi che costituiscono il primo ed il secondo

membro non sono riducibili alla stessa base, trasformiamo allora l’equazione nella

forma seguente:

3 32 2 64 3 3x x−⋅ = ⋅ ⋅

64278 2 3x x⋅ = ⋅

( ) ( )382 23 27 3

x = =


3x =



1 13 5 5 3x x x x− +− = − .

Trasformiamo l’equazione nella forma seguente:

( )

1 1

1565

5 5 3 3

5 5 3 3 3

5 4 3

5 103 3

x x x x

x x x x

x x

x

− ++ = ++ = ⋅ +

= ⋅

=

In base alla definizione di logaritmo di un numero, si ha:




( ) 53

10log

310 53 3

=

si può adesso scrivere

( ) ( ) 53

10log

35 53 3

x

=


53

10log

3x =

Esempio 13 [equazione non esponenziale]

Risolvere l’equazione:

2 1 3 2 2 3 4 12 2 2 2x x x xx x+ − + − + −⋅ + = ⋅ +

Notiamo innanzitutto che non siamo in presenza di un’equazione esponenziale, in

quanto l’incognita non compare soltanto negli esponenti. Si tratta di un caso

leggermente più complicato del solito, in quanto richiede opportuni raccoglimenti

a fattor comune.

Poiché in questa equazione figura il valore assoluto, bisogna distinguere due casi.

1° Caso. Sia x ≥ 3. Si ha:

3 3x x− = −

e l’equazione diventa:

2 1 1 2 1 12 2 2 2x x x xx x+ − + −⋅ + = ⋅ +

che evidentemente è un’identità per cui è verificata ∀ x ≥ 3.

2° Caso. Sia x < 3. Allora è:

3 3x x− = − +

e l’equazione diventa:

2 1 5 2 7 12 2 2 2x x x xx x+ − + − + −⋅ + = ⋅ +

2 5 7 2 122 2 2 2 2 2 2x x x xx x− −⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

da cui:

( ) ( )2 5 212 2 4 1 2 2 4 1x xx x−⋅ − = ⋅ −

Intanto questa equazione è soddisfatta per i valori della x tali che ( )24 1 0x − = ,

cioè per

1 21 12 2

x x= − ∨ =

Che sono entrambi accettabili perché minori di 3. Posto allora ( )24 1 0x − ≠ e

semplificando, si ottiene:

5 2 612 2 2 2 2 2 3x x x x−⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =




valore non accettabile nella trattazione del 2° caso ma già compreso fra le soluzioni

del primo. Le soluzioni dell’equazione sono pertanto:

1 13

2 2x x x= − ∨ = ∨ ∀ ≥ .

Esempio 14 [sistema di equazioni esponenziali]

Risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:

2 1 22 2 3 290

2 3 72

x y

x y

+ + ⋅ = ⋅ =

Si può scrivere:

( ) ( )2 22 2 2 3 290

2 3 72

x y

x y

⋅ + ⋅ =

⋅ =

Ponendo 2x u= e 3y v= , il sistema diventa:

2 22 2 29072

u vu v

+ = ⋅ =

che è un sistema simmetrico le cui soluzioni sono:

{ {

{ {

1 1

1 1

2

3

9 88 9

2 9 2 8

3 8 3 9

log 9 3log 8 2

x x

y y

u uv v

x xy y

= =∨

= =

= = ∨ = =

= =∨

= =

.

LOGARITMI E FUNZIONE LOGARITMICA

Ripasso definizione

Ricordiamo che dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠ 1, l’equazione: xa b=

ammette una ed una sola soluzione. Tale soluzione x si chiama logaritmo di b in

base a e si scrive:

logax b=

È stata proposta perciò la seguente definizione:

dati due numeri positivi, a e b, con a ≠ 1, si chiama logaritmo in base a del numero b

l’esponente a cui si deve elevare a per ottenere b.




Prime proprietà dei logaritmi

Dal teorema 9 e dalla definizione di logaritmo, si hanno le seguenti proprietà:

• il loga b x= è positivo se: { 11

ab

>>

oppure {0 10 1

ab

< << <

.

• il loga b x= è negativo se: { 10 1a

b>< <

oppure {0 11a

b< <>

.

• log 1a a = , infatti 1a a= ;

• log 1 0a = , infatti 0 1a = ;

• se due numeri sono uguali, anche i loro logaritmi (rispetto alla stessa base)

sono uguali e viceversa;

• se la base a è maggiore di 1, al crescere del numero b cresce anche il suo

logaritmo;

• se la base a è minore di 1, al crescere del numero b il suo logaritmo decresce.

L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto ad una data base a, si

chiama sistema dei logaritmi con base a.

Esistono infiniti sistemi di logaritmi, perché infinite sono le possibili basi (cioè tutti i

numeri positivi diversi da 1); tra questi infiniti sistemi, due sono quelli che

comunemente si considerano, e precisamente:

• quello a base 10, detto sistema dei logaritmi decimali, o volgari o di Briggs. Il logaritmo decimale di un numero positivo N viene indicato con Log N invece

che con 10log N , omettendo cioè l’indicazione della base;

• quello a base e, detto sistema dei logaritmi naturali o neperiani. Il logaritmo

naturale di un numero positivo N viene indicato con ln N invece che con

loge N .

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Qualunque sia la base, i logaritmi godono di importanti proprietà.

TEOREMA 11

Il logaritmo del prodotto di due (o più) numeri positivi 1b e 2b è uguale alla somma

dei logaritmi dei singoli fattori, cioè:

( )1 2 1 2log log loga a ab b b b⋅ = +

Dimostrazione.

Poniamo:

1

2

loglog

a

a

x by b

==

Per definizione di logaritmo si ha:




1

2

x

y

a b

a b

==

Moltiplicando membro a membro queste due equazioni si ha:

1 2x y x ya a a b b+⋅ = = ⋅

e ricordando ancora la definizione di logaritmo possiamo concludere che:

( )1 2 1 2log log loga a ab b x y b b⋅ = + = +

Questo teorema è molto importante perché permette di trasformare la

moltiplicazione di più numeri reali, strettamente positivi, nella addizione di

logaritmi.

TEOREMA 12

Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi m ed n è uguale alla differenza fra

il logaritmo del dividendo e quello del divisore, cioè:

11 2

2log log loga a a

bb b

b = −

Dimostrazione.

Poniamo:

1

2

loglog

a

a

x by b

==


1

2

x

y

a b

a b

==

Dividendo membro a membro queste due equazioni si ha:

1

2

xx y

y

baa

ba−= =


11 2

2log log loga a a

bx y b b

b = − = −

TEOREMA 13

Il logaritmo di una potenza ad esponente reale e base positiva, è uguale al prodotto

dell’esponente della potenza per il logaritmo della base della potenza, cioè:

log logma ab m b= ⋅

Dimostrazione.

Poniamo:

logax b=


xa b=

Elevando alla m entrambi i membri di questa equazione, si ha:




mx ma b=


log logma ab mx m b= = ⋅

TEOREMA 14

Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente del logaritmo del radicando per

l’indice del radicale, cioè:

1log logn

a ab bn

=

Dimostrazione.

Dalla nota identità: 1

n nb b=

si ha subito:

1 1log log logn

na a ab b b

n= =

TEOREMA 15

Vale la seguente uguaglianza:

log log loga a cb c b= ⋅

Dimostrazione.

Poniamo:

loglog

a

c

x by b

==


x

y

a b

c b

==

Ricordando inoltre che loga cc a= , possiamo scrivere:

Moltiplicando membro a membro queste due equazioni si ha:

( )log loga ayx y x c x y ca c a a a a ⋅= ⇒ = ⇒ =

Da cui deduciamo che

logax y c= ⋅

log log loga c ab b c= ⋅

COROLLARIO 1

Se in quest’ultima uguaglianza poniamo b = a, otteniamo:

log log loga c aa a c= ⋅

cioè

1 log logc aa c= ⋅

o anche:




1log

logca

ac

=

Quest’ultima uguaglianza ci dice che scambiando l’argomento con la base il

logaritmo diventa il reciproco di quello originario.

Passaggio da un sistema di logaritmi ad un altro

Poiché esistono infiniti sistemi di logaritmi, viene spontaneo chiedersi come sia

possibile passare da un sistema di logaritmi ad un altro. In altre parole, supposto

conosciuto il logaritmo di un numero positivo b rispetto ad una base a, vogliamo

trovare il logaritmo dello stesso numero rispetto ad un’altra base c.

Abbiamo già dimostrato che:

log log loga c ab b c= ⋅

da cui deduciamo immediatamente:

loglog

loga

ca

bb

c=

Abbiamo quindi dimostrato che il logaritmo di un numero qualunque b base c è uguale al logaritmo dello stesso numero b base a diviso per il logaritmo della base c nella base a.

Esempi:

• 39 3

3

log 1log log

log 9 2x

x x= =

• 25 255 251

25 2

log loglog 2 log

log 5x x

x x= = = ⋅

• 2 222 2 3

2 2

log log 2log log

3log 2 2x x

x x= = =

La funzione logaritmica

Abbiamo visto che se a è positivo e diverso da 1, ad ogni numero reale positivo x corrisponde il numero reale loga x . Possiamo allora dare la seguente

Definizione 4

Se a > 0 e a ≠ 1, la funzione:

0:f + →ℝ ℝ

ponendo, 0x +∀ ∈ ℝ :

( ) logaf x x=

si chiama funzione logaritmica di base a.

Si nota immediatamente che la funzione logaritmica ( ) logaf x x= è l’inversa

della funzione esponenziale (nella stessa base 0 1a a> ∧ ≠ ), cioè:




( ) log x xaf a a x x= = ∀ ∈ ℝ

Per rappresentare graficamente nel piano cartesiano la funzione logaritmica

dobbiamo distinguere due casi.

1° Caso. Sia a > 1.

Qui bisogna distinguere due

sottocasi. Nel primo

supponiamo che sia x > 1, allora loga x è un numero

positivo e perciò ad un’ascissa

positiva maggiore di 1

corrisponde una ordinata

positiva e quindi ne

deduciamo che la curva

logaritmica, per valori di x

maggiori di 1, è situata al di

sopra dell’asse x nel 1°

quadrante ed è sempre

crescente.

Se invece è 0 < x < 1, allora loga x è un numero negativo e perciò ad un’ascissa

positiva minore di 1 corrisponde un’ordinata negativa e quindi ne deduciamo che la

curva logaritmica, per valori di x compresi fra 0 e 1, è situata al di sotto dell’asse x

nel 4° quadrante ed è sempre crescente.

Facendo variare il valore della base (sempre nell’intervallo 1a > ) si ottengono

curve logaritmiche diverse, che presentano l’andamento caratteristico mostrato in


2° Caso. 0 < a < 1.

Anche qui bisogna distinguere

due sottocasi. Nel primo

supponiamo che sia x > 1, allora loga x è un numero

negativo e perciò ad un’ascissa

positiva maggiore di 1

corrisponde un’ordinata

negativa.

Ne deduciamo quindi che la

curva logaritmica, per valori di

x maggiori di 1, è situata al di

sotto dell’asse x nel 4°

quadrante ed è sempre

decrescente.

Se invece è 0 < x < 1, allora loga x è un numero positivo e perciò ad un’ascissa

2logy x=

5logy x=

3logy x=

12

logy x=

15

logy x=

13

logy x=




positiva compresa tra 0 e 1 corrisponde un’ordinata positiva.

Ne deduciamo quindi che la curva logaritmica, per valori di x compresi fra 0 e 1 è

situata al di sopra dell’asse x nel 1° quadrante ed è sempre decrescente.

Facendo variare il valore della base (sempre nell’intervallo 0 1a< < ) si ottengono

curve logaritmiche diverse, che presentano l’andamento caratteristico mostrato in

figura. Anche in questo caso, tutte le curve si incontrano nel punto ( )1;0 .


Le curve immagini delle due funzioni logaritmiche:

logay x= e 1loga

y x=

con le basi una maggiore di 1 e l’altra minore di 1 (essendo a ed 1a numeri

reciproci), sono una crescente e l’altra decrescente. Possiamo inoltre dimostrare che

le due curve sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse.

Infatti, attribuendo alla x in una il valore 0x per entrambe le curve, si ha:

• nella prima funzione: 0 0logay x y= = ;

• nella seconda funzione: 1 0 0 0log loga

ay x x y= = − = − .

Perciò i punti ( )0 0;A x y e ( )0 0;A x y′ − , avendo ascissa opposta ed ordinata

uguale sono simmetrici rispetto all’asse x.

Equazioni logaritmiche

Un’equazione si dice logaritmica quando in essa l’incognita compare solo negli

argomenti di opportuni logaritmi (logaritmi dell’incognita o di qualche espressione

contenente l’incognita).

Per risolvere un’equazione logaritmica, occorre trasformare i due membri in modo

che in ciascuno di essi venga a comparire un solo logaritmo, cioè si deve pervenire,

operando con gli inversi dei teoremi logaritmi, ad un’equazione del tipo:

log ( ) log ( )a aA x B x=

2logy x=

12

logy x=




dove ( )A x e ( )B x sono espressioni (generalmente algebriche) contenenti

l’incognita x.

Notiamo prima di tutto che ( )A x e ( )B x , essendo argomenti di logaritmi, devono

soddisfare la condizione di esistenza dell’espressione:

( ) 0

( ) 0

A x

B x

> >

La discussione di questo sistema deve essere svolta prima di qualsiasi passaggio

che possa alterare le stesse condizioni di esistenza.

Per quando riguarda la ricerca delle soluzioni dell’equazione, ricordando che due

logaritmi, aventi la stessa base, sono uguali soltanto se sono uguali i loro argomenti,

otteniamo l’equazione (generalmente algebrica):

( ) ( )A x B x=

Ribadiamo che per decidere quali delle soluzioni di questa equazione siano

accettabili per l’equazione logaritmica, occorre fare la verifica, scartando quelle che

rendono negativo o nullo qualche argomento dei logaritmi presenti nell’equazione

(condizioni di esistenza dell’espressione, da determinarsi prima di svolgere qualsiasi

semplificazione).




Esempi risolti di equazioni logaritmiche

Esempio 15

Risolvere la seguente equazione logaritmica:

( ) 31 12 22 2 2log log 3 5x x+ + =

Si può subito scrivere:

( )2 2log log 3 5 3x x+ + =

I logaritmi contenuti in questa equazione avranno significato soltanto se:

00

3 5 0

xx

x

>⇒ > + >

Ricordando che 2log 8 3= , l’equazione data si può porre sotto la forma:

( )12 2 22log log 3 5 log 8x x+ + =

cioè:

( )[ ] 22 2log 3 5 log 8 3 5 8x x x x+ = ⇒ + =

le cui soluzioni sono 1 1x = e 82 3x = − . Come si verifica facilmente soltanto la

soluzione 1x è accettabile (dovendo essere 0x > ).

Esempio 16


( ) ( ) ( )2 2 2log 1 log 1 log 2 3x x x+ + − − − =

I logaritmi contenuti in questa equazione avranno significato soltanto se alla x si

attribuiscono valori tali da rendere positivi contemporaneamente i tre argomenti,

cioè tale da aversi:

1 0

1 0 2

2 0

x

x x

x

+ > − > ⇒ > − >

Applicando i teoremi sui logaritmi, possiamo scrivere l’equazione data nella forma:

( ) ( )( )2 21 1

log log 82

x xx

+ ⋅ − =−

da cui:

( ) ( )( )

21 18 8 15 0

2x x

x xx

+ ⋅ − = ⇒ − + =−

le cui soluzioni sono 1 3x = e 2 5x = , entrambe accettabili.

Esempio 17





( )ln 5 2 2ln 5

ln 2 5 5x

xx

+ − ⋅ + = −+

Questa espressione avrà significato soltanto se:

200

ln 2 0

xx x e

x−>

⇒ > ∧ ≠ + ≠

Questa equazione si trasforma in:

( ) ( ) ( ) ( )5 ln 5 2 ln 5 ln 2 2 ln 2x x x x⋅ + − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ +

e quindi, dopo facili calcoli:

22ln 7 ln 9 0x x+ + =

che è una equazione di secondo grado in ln x che risolta fornisce le soluzioni: 9

1 2ln x = − e 2ln 1x =

Dalla prima segue che: 92

1x e−=

mentre dalla seconda si ha

2x e=

É immediato verificare che entrambe sono accettabili poiché entrambe positive e

diverse da 2e− .

Esempio 18


4log 3 4 2x + =


433 4 0 x x+ > ⇒ > −

Questa equazione si trasforma in:

( ) ( )14 42 log 3 4 2 log 3 4 4x x+ = ⇒ + =

da cui:

( ) 44 4log 3 4 log 4x + =

3 4 256 84x x+ = ⇒ =

É immediato verificare che la soluzione è accettabile.

Esempio 19


42 1 7

log sin1 6

xx

π− =+





12

2 10 1

1x

x xx

− > ⇒ < − ∨ >+

L’equazione assegnata si trasforma in:

1 2 14 4 4 2

2 1 1log log 4 log

1 2x

x−− = − = =

+

da cui:

2 1 11

1 2x

xx

− = ⇒ =+

Si verifica immediatamente che la soluzione è accettabile.

Esempio 20


( ) 12 2log sin cosx x− =

Le soluzioni di questa equazione derivano dalle seguenti condizioni:

( )2 2

sin cos 0 sin cos 0

log sin cos log 2 sin cos 2

x x x x

x x x x

− > − > → − = − =

Le soluzioni della seconda condizione soddisfano anche la prima, possiamo quindi

risolvere direttamente

sin cos 2x x− =

utilizzando, ad esempio, il metodo dell’angolo aggiunto:

( ) 34 4 2 4sin 1 2 2x x k x kπ π π π π π− = → − = + → = +

Risoluzione grafica di equazioni

Molte equazioni (algebriche, trascendenti) non possono essere risolte in forma

chiusa. In questi casi dobbiamo accontentarci generalmente di soluzioni

approssimate; queste ultime possono essere determinate mediante metodi

numerici o metodi grafici.

Vedremo adesso come si imposta la risoluzione grafica di un’equazione, almeno nei

casi più semplici.

Supponiamo di considerare un’equazione che può essere scritta nella forma:

( ) ( ) 0f x g x− =

dove ( )f x e ( )g x sono espressioni contenenti l’incognita x.

Successivamente notiamo che l’equazione data è equivalente al sistema:

{ ( )( )

y f xy g x

==

Possiamo quindi interpretare le soluzioni dell’equazione come le ascisse dei punti di intersezione delle curve di equazione ( )y f x= e ( )y g x= .




Gli esempi che seguono dovrebbero chiarire il procedimento.

Esempio 21

Risolvere la seguente equazione:

23 log 0x x− + =

Questa non è una equazione elementare poiché contiene una parte algebrica ( )x

e una parte trascendente ( )2log x . Per risolverla possiamo usare il metodo grafico.

Scriviamo prima di tutto l’equazione nella forma:

( ) ( )

23 log

f x g x

x x− + =��


{ 2log3

y xy x

== − +

pertanto le soluzioni dell’equazione data sono le ascisse degli eventuali punti di

intersezione delle due curve presenti nel sistema.

Dal grafico risulta che esiste un’unica soluzione 1x . In particolare si nota che

1 2Ax x= = (in questo esempio siamo riusciti a determinare il valore della

soluzione in modo esatto, si tratta di un caso particolarmente favorevole).

Esempio 22

Risolvere la seguente equazione:

2 5 4 ln 0x x x− + − =

Questa non è una equazione elementare poiché contiene una parte algebrica ( )2 5 4x x− + e una parte trascendente ( )ln x . Per risolverla possiamo usare il

metodo grafico.

Scriviamo prima di tutto l’equazione nella forma:

( ) ( )

2 5 4 ln

f x g x

x x x− + =��


3y x= − +

2logy x=




2

ln

5 4

y x

y x x

= = − +

pertanto le soluzioni dell’equazione data sono le ascisse degli eventuali punti di

intersezione delle due curve presenti nel sistema.

Dal grafico risulta che le ascisse dei punti A e B sono le uniche soluzioni dell’equazione data. In particolare si nota che la prima soluzione è 1 1Ax x= = .

La seconda soluzione non può essere dedotta in modo esatto dal grafico, il suo

valore approssimato è 2 4.4337Bx x= = …

2 5 4y x x= − +

lny x=

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Esponenziali e logaritmi: cenni introduttivi · 2012. 4. 25. · CENNI STORICI L’origine della nozione di logaritmo viene attribuita alla osservazione fatta dagli studiosi matematici