Es Optimization Inventory Models

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Modelos de Inventarios

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  • Algoritmos de optimizacion para

    Modelos de Inventario

    Ariel J. Bernal 1

    24 de Julio de 2003

    1Trabajo final realizado para la catedra de Modelos y Simulacion II, UniversidadCaece en Mar del Plata, Argentina. Email: abernal@hotelcostagalana.com

  • Resumen

    Presentacion de metodos deterministas y estocasticos para obtener lotes optimosde pedido, que minimizen el costo considerando distintos tipos de demandas,utilizando para ello algoritmos de minimizacion de convergencia por excursiondinamica.

  • Indice general

    1. Introduccion 3

    2. EOQ 52.1. Modelo EOQ de Revision Continua . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.1.1. Denicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 72.1.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 82.1.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2. Modelo EOQ de Revision Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Denicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 102.2.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 112.2.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3. Modelo EOQ con Retropedidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1. Denicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 142.3.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 142.3.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3. Demanda Variable 173.1. Modelo de demanda variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.1.1. Denicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Modelo EOQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.2.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.3. Busqueda exhaustiva del lote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.4. Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.5. Fast Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4. Conclusiones 26

    1

  • Indice de figuras

    2.1. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Curva de costo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Funcion de Costo EOQ con retropedidos . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.1. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Demanda vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Inventario EOQ vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Costo vs. lote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5. Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2

  • Captulo 1

    Introduccion

    En el presente trabajo se intentara dar solucion al problema de hallar el me-jor lote de pedido para una demanda determinada, este problema dista muchode ser sencillo para demandas no lineales y puede se irresoluble analiticamentepara demandas no deterministas con ciertas distribuciones.

    La determinacion de la demanda a priori es una tarea complicada para esce-narios en donde la resultante dependa de un numero considerable de variables,pero para determinados escenarios, la demanda es una propiedad mas del nego-cio.

    Para establecer el valor del lote optimo, aplicaremos distintos algoritmos,algunos de los cuales si bien no fueron disenados para el presente problema seproponen como una innovacion al tema.

    Como primer paso empezaremos detallando los distintos modelos en sus va-riantes continuos y priodicos, esta diferenciacion se realiza por el hecho de quesu implementacion como algoritmo de computadora hace infeasible la formula-cion de una simulacion continua.

    Luego continuaremos con la aplicacion de metodos para la busqueda de lo-tes optimos sobre demandas en general, para esto expresaremos en terminos dealgoritmia el costo total esperado en un periodo determinado.

    Hasta hace unos anos la creacion de algoritmos como los presentados aqu,era impensable puesto que los tiempos de respuesta de las computadoras no sellevaban de la mano con los tiempos que requieren hoy por hoy los negocios,pero con el advenimiento de nuevos procesadores con mayor capacidad de cal-culo hoy estamos en posibilidad de realizar decenas de megaops, lo que haceposible que podamos disenar y aplicar algoritmos que esperen realizar decenasde millones de iteraciones en tiempos razonables de calculo.

    Sobre el nal del presente trabajor mostraremos un metodo innovador di-senado exclusivamente para el presente problema, dicho metodo se basa sobreideas heursticas y no se da demostracion de convergencia alguna, pero no resul-tara, dicil llevarlo al terreno de la matematica analtica para demostrar que

    3

  • la solucion tiende a un mnimo global. De manera similiar a como se realizael analisis de convergencia para metodos tales como Simulated Annealing oAlgoritmos Geneticos.

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  • Captulo 2

    EOQ

    En este captulo describiremos las variantes sobre el modelo de ordenamientoconstante osea que los pedidos de compra son lotes de igual tamao. Encontra-remos que existen distintas maneras de evaluar el inventario en el tiempo yveremos como se relacionan.

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  • 2.1. Modelo EOQ de Revision Continua

    2.1.1. Definicion del Problema

    Figura 2.1: Inventario vs. tiempo

    El modelo de EOQ como ya vimos es un modelo determinista, en donderealizamos las siguientes suposiciones:

    Demanda constante en el tiempo

    Reabastecimiento instantaneo

    Clientes satisfechos, no hay ventas perdidas

    No existe desabastecimiento

    requerimos los siguientes parametros:

    T es el perodo de tiempo total.

    D es la demanda total en el perodo T

    b es el costo de adquisicion de una unidad

    K es el costo de ordenamiento por lote o pedido

    C es el costo de almacenamiento de una unidad por unidad de tiempo

    y esperamos obtener los siguientes datos:

    o tiempo de reposicion optimo

    qo tamano del lote optimo

    o costo total esperado optimo

    6

  • 2.1.2. Determinacion del Costo Total Esperado

    La suposicion de continuidad sobre la demanda nos hace plantear el stockde la siguiente manera:

    s(t) = s0 t0

    d(x) dx, t (2.1)

    en donde d(x) es la demanda en funcon del tiempo y s0 es el stock inicial, y esel tiempo para el cual el stock llega a ser nulo. Por denicion d(x) es constantey podemos expresarlo como d y sera igual a D/T y s0 sera igual a q, luego

    s(t) = q DT

    t (2.2)

    Si es el tiempo para el cual s(t) se anula entonces podemos decir que:

    =q T

    D(2.3)

    El costo total esperado en un determinado lote podemos expresarlo comosigue:

    L = b q + K + C 0

    s(t) dt (2.4)

    donde el primer termino representa el costo de adquisicion del lote, el segundoel costo de ordenamiento del lote y tercero el costo de almacenamiento.

    Reemplazando (2.2) en (2.4) y resolviendo la integral del ultimo miembro de(2.4) obtenemos:

    L = b q + K + C[q D

    T

    2

    2

    ](2.5)

    reemplazando el valor de obtenemos

    L = b q + K + Cq2 T

    2D(2.6)

    Ahora si queremos hallar costo total esperado en el tiempo T entonces,sea nL la cantidad de lotes existentes en el tiempo T osea que nL = T/ = D/qluego

    = nL L (2.7)

    y reemplazando nL en (2.7) obtenemos:

    = bD +K D

    q+

    C T q

    2(2.8)

    La Fig.2.2 muestra las distintas curvas dadas por (2.8) y se puede observarclaramente en el graco donde se halla el mnimo de la funcion (q).

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  • Figura 2.2: Curva de costo

    2.1.3. Calculo de variables esperadas optimas

    Para obtener el mejor lote y el mejor tiempo de reabastecimiento es necesariominimizar la funcon de costo total, para realizar esto hallaremos su derivadarespecto a q:

    (q)q

    =C T

    2 K D

    q2(2.9)

    e igualando a 0 obtenemos q al cual llamaremos q0 puesto que suponemos opti-miza la funcion de costo.

    qo =

    2K DC T

    = EOQ (2.10)

    para vericar que realmente es un mnimo hay que ver como se comporta laderivada segunda respecto a q para q > 0

    2(q)q2

    =2K D

    q3> 0 (2.11)

    es evidente que sera mayor que cero si q es mayor que cero, esto era lo que estaba-mos esperando, luego podemos estar seguros de que se trata de un mnimo de .

    De la relacon T/ = D/q podemos obtener el tiempo de reabastecimientooptimo o

    o =

    2K TC D

    (2.12)

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  • y reemplazando q en (2.8) obtenemos el costo total esperado optimo o

    o = bD +2K DC T (2.13)

    2.1.4. Comentarios sobre el modelo

    El lote optimo de reabastecimiento qo es llamado EOQ y como vimos este nodepende del costo de adquisicion de las unidades puesto sin importar el tamanodel lote se deben adquirir D unidades en total.

    De la formula podemos ver que si incrementamos la demanda D o si in-crementamos el costo de ordenamiento K, EOQ se incrementa, pero si incre-mentamos el costo de almacenamiento C el lote se reducira y esto se debe quedisponer de stock inmovil genera gastos y cuanto mayor sea el stock mayor seranlos gastos.

    Otra cuestion interesa