Embed Size (px)
Citation preview
This article was downloaded by: [Tufts University]On: 07 October 2014, At: 12:08Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Communications in AlgebraPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lagb20
Equivalance de marita relativeJean-Luc Steffan aa Institut Universitaire de Technologic, DépartementInformatique , Université Robert Schuman , 72 route duRhin, Illkirch-Graffenstaden, 67400, FrancePublished online: 27 Jun 2007.
To cite this article: Jean-Luc Steffan (1992) Equivalance de marita relative, Communicationsin Algebra, 20:12, 3609-3647, DOI: 10.1080/00927879208824532
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/00927879208824532
PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE
Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information(the “Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor& Francis, our agents, and our licensors make no representations or warrantieswhatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of theContent. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions andviews of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. Theaccuracy of the Content should not be relied upon and should be independentlyverified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liablefor any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages,and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly inconnection with, in relation to or arising out of the use of the Content.
This article may be used for research, teaching, and private study purposes.Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly
forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 20(12), 3609-3647 (1992)
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE
Jean-Luc Steffan
UniversitC Robert Schuman
Institut Universitaire de Technologic, DCpartement Informatique
72 route du Rhin, 67400 Illkirch-Graffenstaden, France.
Abstract : W e define a relative Morita equivalence and we extend the
Morita-invariance of cyclic and Hochschild homology to the relative'case.
Dans ce travail, k dksigne un anneau comrnutatif fix6 une fois pour toutes ;
s a d mention explicite du contraire, par algkbre nous entendons une k-algkbre
associative et unifkre. Nous supposerons que les homomorphismes d'algbbres
sont unitaires.
Nous rappelons tout d'abord que dew algkbres A et B sont dites e'quiva-
lentes au sens de Morita lorsque leurs categories de modules (A droite par
exemple) sont 6quivalentes. Nous avons alors le rCsultat suivant dQ indCpen-
damment B Kassel ([3]) et McCarthy ( [ 5 ] ) :
(*) Deux dgkbres Bquivdentes a u sens de Morita ont meme homologie de
Hochschild et meme homologie cyclique.
Copyright @ 1992 by Marcel Dekker, Inc.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3610 STEFFAN
Le prksent travail a CtQ motivk par la question suivante : ces homologies
&ant dCfinies Cgalement pour des algkbres non unifkres, peut-on Ctendre
la notion d'kquivalence de Morita B cette catCgorie d'algkbres tout en
conservant le rCsultat (*)? Comme la donnke d'une algkbre sans unit6 I est
kquivalente 6 la donnke d'une algkbre augmentke f (obtenue en adjoignant
une unite b I) donc d'un Cpimorphisme d'algkbres &I : i - k, nous avons
klargi le champ d'investigation aux Cpimorphismes d'algkbres f : A --t S.
Le but de ce travail est de d6finir pour ces Bpimorphismes une relation
d'kquivalence qui gCnCralise 1'Cquivalence de Morita et pour laquelle le rCsul-
tat (*) est encore vrai. Pour parvenir B cette fin, nous construisons au para- A
graphe 4 une catCgorie M dont les objets sont les Cpimorphismes d'algkbres
et dam laquelle deux kpimorphismes sont isomorphes si et seulement s'ils
sont Cquivalents. Le resultat principal de ce travail est le fait que les fonc-
teurs homologie cyclique et homologie de Hochschild se factorisent B travers
M^ (Thkorkme 5.1).
Dans le cas particulier de dew algkbres non unifkres I et J, l'equivalence
de Morita des morphismes d'augmentation : f - k et cJ : J" - k fait
apparaitre sur I et J des conditions du type ~or!(k, k) = 0 pour i = 1'2. I1
est intkressant de noter que ces conditions se retrouvent dans la definition des
algkbres H-unifkres (i.e. homologiquement unifkres) d6gagke par M. Wodzicki
[6] dans ses travaux sur l'excision en K-thCorie algkbrique.
Enfin, lors de nos investigations dam le cadre des algkbres non unifkres,
nous avons rnis en Cvidence un certain nombre de phknomknes habituellement
occultCs par la prCsence d'une unitk; nous leur consacrerons les deux derniers
paragraphes de ce travail.
1. Rappels et notations
1.1. Rappels. Le cadre gCnkral de travail &ant celui des k-modules, nous
noterons simplement 8 le produit tensoriel @ Nous dCsignons par A la k'
catCgorie des algkbres. Pour toute algkbre R, nous notons Mod-R (resp.
R-Mod ) la catkgorie des R-modules 6 droite (resp. 6 gauche).
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 361 1
Rappelons que d e w algkbres A et B sont dites kquivalentes au sens de
Morita lorsque l'une des trois assertions suivantes est vkrifike :
M-1 : il existe une kquivalence de categories F : Mod-A +Mod-B
M-2 : il existe une kquivalence de catkgories F' : B-Mod -+A-Mod
M-3 : il existe un A-B-bimodule P , un B-A-bimodule Q , un isomorphisme
de A-bimodules P BB Q S A et un isomorphisme de B-bimodules
Q g A P z B .
On passe de l'un des trois knoncks A un autre par les formules :
On pourra se rkfkrer B [2] pour tout ce qui concerne 1'6quivalence de Morita
des algkbres.
Rappelons que pour toute algkbre A, l'homologie de Hochschild de k-
que nous notons HH,(A)- est l'homologie du complexe (C , (A) , b ) dkfini A@n+l
PX Cn(A) = et
et l'homologie cyclique de A -que nous notons HC,(A)- est l'homologie
du bicomplexe (C(A), d) d 6 h i dans [4] par :
o& b', t et N sont donnks par :
n-l
bf(ao €9 - . -8 a , ) = C ( - l ) ' ( a o €9 . . . €9 aiai+l 8 . . @ a,) i=o
t (a0 €9. €9 an) = ( - l ) n ( a n €9 a0 €9 €9 an-1)
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3612 STEFFAN
On a ainsi un foncteur 7-f de la catkgorie Avers la catkgorie des complexes
de k-modules, oii %(A) dksigne la longue suite exacte de Comes :
induite de la suite exacte de complexes :
1.2. La catggorie Ah. C o m e dans [3], notons Rep(A, B) la catdgorie des
A-B-bimodules qui sont projectifs de type fini sur B. On a un foncteur
dCiini par
Q o P = P B B Q . A
Ceci nous permet de dkfinir une cat6gorie A dont les objets sont les algkbres
et les morphismes sont donnCs par
Horn2 (A, B ) = Ob (Rep(A, B)).
La composition est induite par le foncteur o et l'identitd d'un objet A dans
2 est le birnodule A E Rep(A, A) lui-mSme. L7int6rSt de la catdgorie 2 provient du fait que deux algkbres A et B sont isomorphes dans 2 si et
seulement si A et B sont kquivalentes au sens de Morita (cf. l'assertion M-3
du paragraphe 1). A n existe un foncteur nature1 FA : d - d qui est l'identitk sur les objets
et qui B tout morphisme d'algkbres h : A---+B associe le A-B-bimodule B
donnd par
a.b.bl = h(a) bb'
pour a E A, b, b' E B. Nous noterons hB ce bimodule.
Avec ces notations, le rdsultat principal de la partie I1 de [3] peut s'6noncer
ainsi :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3613
* THEOREME 1.1. - n eziste u n foncteur 6 : A -c tel que l i o F d = li.
I1 en rksulte imhdiatement que si A et B sont dquivalentes au sens de A
Morita, i.e. isomorphes dans A , dors nkcessairement
%(A) z l i ( B ) Nous d o n s ktendre ces constructions et ces rksultats au cas relatif.
2. Epimorphismes et homologie relative
2.1. La catkgorie M .
DEFINITION 2.1. - La catigorie M a pour objets les 6pimorphisrnes
d'algdbres fi : A--+S et ses morphismes sont donnts par :
La cathgorie A s'identifie B une sous-catkgorie de M en faisant corres-
pondre B m e algbbre A l'kpimorphisrne nu1 A-0. Notons J le foncteur
inclusion de A dans M . De mdme la catkgorie A /k des dgkbres augmentkes
est une sous-catkgorie de M :.on associe L A son augmentation, eA : A - k. 2.2. Homologie relative. Pour tout kpimorphisme d'algkbres f : A - S ,
nous appellerons homologie cyclaque relative de f et nous noterons
l'homologie du bicomplexe noyau du morphisme de bicomplexes induit par
f . L'homologie de Hdchschild relative de f est ddfinie de manibre analogue f en utilisant les complexes C.(-) ; nous la noterons H H , ( A - S).
f I1 est clair qu'on a la longue suite exacte naturelle notke lire'(~--+~) :
Ceci d6finit un foncteur lire' : M - C tel que lire' o J = li.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3614 STEFFAN
3. Aut omorphisme int krieur et homologie relative
Dans ce paragraphe nous allons montrer qu'un automorphisme intkrieur
opke comme I'identitC en homologie relative. Pour cela nous avons besoin
du thkorhme 3-1 de [3] dont nous donnons m e version plus prkcise. Tout
d'abord quelques notations : pour toute algBbre R, M2(R) dCsigne l'algkbre
des matrices carrCes d'ordre 2 B coefficients dans R ; pour p = 1,2 notons
ip : R ---t M2(R) le morphisme d'algkbres (non unitaire) qui envoie R sur
la position (p,p) ; pour tout klkment inversible u de R, la conjugaison par u
est notee ad(u) et Tr : C(M2(R)) -4 C(R) dksigne la trace gknCralisCe de
Dennis.
LEMME 3.1. - Soit u u n tlkment inversible de R, alors sur le compleze
( C ( R ) , d ) on a l'identite' :
ad(u) = id + [d, O'J
012 6'; = T m ad (' O) 0 C o ij el oh OR esi u n endornorphime de degri 0 1
1 de M21R) fonctoriel en R.
Dtmonstration : Dennis a construit des homotopies Bp (p = 1,2) naturelles
en R (voir les formules explicites dam [5]) telles que
ip o Tr = id + [d, %]
Posons = 6, - 02. Elle est naturelle en R et on a :
il - i 2 = [d, OR] o il = [d, OR o ill
Donc
= Tr oad (: y ) [d,OR 0 ill
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE , 3615
COROLLAIRE 3.2. - Soient f;' un objet de M et u ( r e s p . ~ ) un klkment
inversible de R (resp. R f ) tels que ie diagramme suivant commute : R L Rf
alors
7ire1(ad(u), ad(v)) = id.
D4monstration : pomns K( f ) = K ~ ~ ( c ( R ) & ( R ' ) ) ; puisque le dia-
grarnme ci-dessus commute, ad(u) induit un morphisme de bicomplexes
K,, : K( f ) + K( f ) rendant commutatif le diagramme :
0 + K ( f ) --+ C(R) C(Rf ) -+ 0
0 + K ( f ) - C(R) -1. C(Rf ) - 0
Pour dkmontrer le corollaire, il sufit alors de montrer q u ~ Ku est homotope
B l'identitk sur K ( f ) . Or le carrk suivant est commutatif :
C(R) L C(Rf)
C(R) 1. C(Rf)
En effet, notons M 2 ( f ) : Mz(R) ---t M2(Rf) le morphisme qui consiste B
appliquer f aux coefficients des matrices, nous avons les kgditks :
Ceci montre que 8; se restreint en une homotopie Kg de K ( f ) telle que
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3616 STEFFAN
4. La catdgorie M^ A I'instar de ce qui a 6t6 fait pour la catCgorie A , nous allons Btendre la
h
catkgorie M en une catkgorie M en remp1ac;ant les homomorphismes par
des bimodules.
Pour deux objets fz et gg de M nous appelons couplage de f: vers gz la donnke d'un triplet (P, X, Elpsx) oh
c-i : P est un A-B-bimodule projectif de type fini sur B,
c-ii : X est un S-T-birnodule,
c-iii : : P BB T S X est un isomorphisme de A-T-bimodules.
Remarquons qu'avec ces hypothbses X est nkcessairement projectif de type
fini en tant que module A droite sur T.
Par classe de (P,X,$,x) nous dksignons l'ensemble des couplages
(PI, XI, pour lesquels il existe un isomorphisme de A-B-bimodules
$,,p : P' + P et un isomorphisme de S-T-bimodules $,,, : X' ---, X
tels que le carrk suivant soit cornmutatif :
Cette classe sera notke
Nous dBfinissons le
et d'un couplage
LP, X, @pYxJ . composC d'un couplage ( P , X , Elpgx) de f ; vers
(Q, Y, BQ,y) de vers hg comrne le couplage
( P Q, X @, ' @p, Q,X@ Y 1 de f,S vem hS Q , X q y est le corn-
po& des isomorphismes8 :
i d p @ @ ~ , ~ can @ p , X @ i d ~
P@BQ@CU-P@ B Y-P@BT@TY-X@ T Y
I1 est facile de voir que cette composition passe aux classes de couplages;
plus prkcisCment, nous avons le
LEMME 4.1. - La composition des deuz classes de couplage LP,X,Op,xJ
et LQ, Y, OQ,y] est donnke par
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3617
[Q, y, eQ,yJ Lp, X, Qp,xJ = Lp 4% @T ' 1 @P@ Q,X@=Y J Cette formule est bien ddfinie; de plus la composition est associative et
h
DEFINITION 4.2. - Soit M la catdgorie dont les objeh sont l a &pi-
n o r p h i s m e ~ d 'a lgkbn~ et d a m iaquelle, pour deuz objets fz et g:, n o w
ddfinissons Homfi(fZlgg) comme dtant I'ensemble des classes de t o w les
cozcplagej de f i vers 9;. Le lemme 4.1 ddfinit la composition duns M^ et
montre que l'identitd dnns M^ de lJ&pimorphisme f : A --t S eat la clmse
du couplage (A , S, h
On d&nit d'une part, un foncteur d'inclusion FM : M ---+ M par
l'identit6 sur les objets de M et pour tout (u,v) dam ~ o m ~ ( f z , ~ , ' ) ,
~ M ( u , U) = IuB) v T ~ 9- B,,TJ 06 I'isomorphisme Ow B,,T est dCfini par A
9 ,(bat) = g(b)t, et d'autre part, un foncteur 3 : A 4 2 par l'iden- .) I*
tit6 sur les objets de 2 et ?(P) = [P, 0, OJ pour tout P dam HorndA, B).
Nous avons alors le diagramme cornmutatif
Le but du paragraphe 5 est de compldter ce diagramme avec un foncteur
fp' : M^ - c
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3618 STEFFAN
5. Le Thkorkme principal
De'monstmtion : Sur les objets de M^ on pose Gre ' ( f i ) = %(A B). Soient maintenant f i et g g deux objets de MI et LP,X,%xJ un
rnorphisme dans M^ de fi vers gg. ConsidCrons tout d'abord le couplage
(P , X, OP,,X) ; puisque P est projectif de type fini sur B, il existe un B-module
P o , un entier n et un isomorphisme de B-modules :
De plus, il existe aussi un isomorphisme de A-T bimodules :
OPrX : P @* T X
d'oh un isomorphisme de T-modules :
a x : X $ ( P O @ B T ) S T n
qui est le compo& des isomorphismes :
d x @(PO O~T)L(P@~T)~(P~~,T)-%(P~PO~~T)-%B~@ B T---+T~
oii b1 = O-I @id, b2 et d sont les isomorphismes canoniques, 63 = %@id. p, x
ConsidCrons alors le diagramme de la figure 1 avec les notations suivantes :
pour tout R-module 9. droite M , EndR(M) dksigne l'algkbre des endomor-
phismes de M qui sont R-linkaires B droite; pA (resp. y) est le morphisme
d'algkbres induit par l'action de A & gauche sur P (resp. de S & gauche sur
X) ; Xp(x) = x @I 0 (idem pour Ax) ; yB et ?;. sont les isomorphismes naturels ;
M,(R) est l'algkbre des matrices carrCes et Mn(g) : (aij) (g(ai j)) . Ce diagramme est commutatif : cela dCcoule d'une part de la dkfinition de % et d'autre part de la commutativitk du rectangle supCrieur que nous allons
prouver. En effet, si pour un 81Cment x dans X nous posons :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
STEFFAN
0-1 p tX(") = Cpi 8 ti (dm$ P 8B T)
alors pour tout a dans A :
O , , 0 (pA(a) @ id) 0 @ - l p , x ( x ) = OPBX (x api @ t i ) - - ax (OP,X est A-linCaire it gauche)
= f ( a ) x (action de A B gauche sur X)
De ce diagramme commutatif de morphismes d'algkbres nous dkduisons le
diagramme commutatif de morphismes de complexes ci-dessous (les nota-
tions sont celles du paragraphe 3 et un morphisme de bicomplexes est not6
par le mime symbole que le morphisme d'algkbres qui l'induit) : f
C(A) - C ( S )
9 C(B) - C(T)
oh Sp est induit par
hX Par
V X , P B B T , n = 7~ ' O '& &, et Tr est la trace gknkralisk de Dennis. Remarquons que les flkches horizon-
tales sont surjectives.
Posons vp = tr o bp et & = tr o 6'. Le diagramme ci-dessus peut alors
gtre complet6 en un diagramme commutatif par un unique morphisme de
bicomplexes :
KP : K ( f )-K(g).
En passant B l'homologie et en notant entre crochets les morphismes induits,
nous obtenons le diagramme cornmutatif f [fl + H C n ( A - - + S ) --+ HCn(A) -4 HCn(S) --+
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 362 1
Lors de la construction de Kp, plusieurs choix ont ktk faits; I'intkrEt de cette
construction vient du rksultat suivant :
PROPOSITION 5.2. - Sous les hypothkses pricidentes, le morphisme [Kp]
ne dipend que de la classe du couplage (P, X , OPSX).
La dkmonstration se fera en trois ktapes.
Etape 1 : [Kp] est indkpendant du choix du complkmentaire de P dans
Bn. Soit P1 un klkment de Mod-B tel qu'il existe aussi un isomorphisme
a& : P@ P1 2 Bn. En refaisant la construction prkchdente avec ces nouvelles
donnkes, nous obtenons tout d'abord un diagramme cornmutatif d'algkbres : f
A S
laP1.. lvX,p leBT,n
Mnb) Mn(B) - Mn(T)
et il est facile de voir qu'il existe un klkment inversible V de Mn(B) tel que :
u ~ , ~ l @ T,n = ad(W) u ~ , ~ o @ T,n
oh W = Mn(g)(V). En poursuivant la construction, nous obtenons aussi
un diagramme cornmutatif de complexes : f
W ) - C(S)
d'oh un nouveau morphisme de complexes :
Le c m k supkrieur de ce diagramme induit en homologie relative le mor-
phisme H C * ( U ~ , ~ ~ n, uX,PIB T,n); d'aprks le corollaire 3.2 on a : B
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3622 STEFFAN
I1 en dCcoule alors que [ K k ] = [ K p ] .
Etape 2 : [ K p ] est indkpendant du choix de n. Compte tenu du corollaire 3.2,
cela revient h montrer que pour tout entier non nu1 q, si Kq : K ( f ) - K ( g ) dCsigne le morphisme de bicomplexes qui compkte le diagramme commuta-
tif:
dans lequel ~ ( m ) = (: :), alors [Kq] = [ K p ] . Or cela est kvident car
Dernikre e'tape : la dCfinition des classes de couplage et le corollaire 3.2
montrent que [ K p ] est Cgalement indkpendant du couplage choisi dans
LP, x, Op,,l . Les considkrations prkcCdentes s'appiiquent de la m8me f a ~ o n au complexe
de Hochschild. Nous noton$ encore [ K p ] le morphisme induit entre les
groupes d'homologie de Hochschild et plus gknkralement entre les suites
exactes de Connes : k r e ' ( ~ f S) - 'Hre'(ElA~)
Nous pouvons maintenant achever la dkmonstration du th6orkme 5.1.
Posons pour tout morphisme LP, Q, OpPQJ E HornG( fz, gg) :
Par construction on a fire' o .FM = We' et avec [3] il vient Gre1 o 3 = G.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3624 STEFFAN
A
I1 reste & rnontrer que W"" respecte la composition des classes de couplages.
Considkrons les couplages
il existe alors un B-module Po, un C-module QO, des entiers p, q et des
isomorphismes : c u p : P $ P 0 2 B P
a~ : Q $ Q O Z Cq
d'oh un isomorphisme :
Comme cela a ktk fait au dkbut du paragraphe 5, nous construisons avec
ces isomorphismes les morphismes d'alghbres 6p et 6x, bQ et by, bp@ g B
et bx@ y . En passant aux complexes, nous obtenons le diagramme de la T
figure 2 dans lequel les faces "avant" et "arri&re" sont cornrnutatives (cf. la
commutativitk du diagramme de la figure 1). Par ailleurs, la dkmonstration
du thkorkme 11.5.1 de [3] montre que les faces "gauche" et LLdroite') de la
figure 2 sont aussi cornmutatives.
I1 en dkcoule que nous avons bien :
Ce qui achkve la dkmonstration du thhrkme 5.1.
6. M-6quivalence
6.1. Une dhfinition. Soient A et B d e w algkbres; B. tout A-B-bimodule P correspond le foncteur
dkfini sur les objets par F p ( M ) = M @ A P. Cette correspondance r6alise une
bijection entre les classes d'isomorphismes des A-B-bimodules projectifs de
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3625
type fini sur B et les classes d'isomorphismes des foncteurs continus au sens
de Bass (cf [I]).
Ainsi A tout couplage (P,X,Bp,X) de l'objet fi de M^ vers un autre
objet gg correspond le diagramme de foncteurs :
oh f , (resp. g,) est le foncteur dbfini sur les objets de Mod-A (resp. de
Mod-B) par f , ( M ) = M @ A f S (resp. g,(N) = N @ B gB) et la condition
de couplage P @B T E X se traduit par la commutativitk du diagramme
prkckdent, c'est-it-dire par l'existence d'un isomorphisme de foncteurs :
FX o f , r 9.0 FP.
Nous pouvons alors rksumer tout cela par la
PROPOSIT~ON 6.1. - Soient f : A ---+ S et g : B -+ T deux ipimor-
phismes d'algkbres. I1 y a kquivalence entre les trois assertions suivantes : h
(i) les objets f z et gg sont isomorphes dans M (iz) il eziste un A-B-bimodule P, un B-A-bimodule Q, un S-T-bimodule
X , un T-S-bimodule Y et des isomolphismes d e bimodules :
ii-1: P @ , Q % A e t Q g A P 2 B
i i - 2 : X @ , Y S S e t Y m s X S T
ii-3 : P a B T S X
(iii) il eziste des kquivalences d e catt5gories F et @ tels que le diagramme
d e foncteurs suivant soit commutatg :
Dkmonstration : l'kquivalence entre (i) et ( i i ) dCcoule de la dkfinition h
des morphismes dans la catbgorie M . De plus, l'bquivalence de Morita
pour les algkbres (cf. M-3 au paragraphe 1) montre que l'assertion ii-1
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3626 STEFFAN
(resp, i i -2 ) est kquivalente B l'existence d'une kquivalence de catkgories entre
Mod-A et Mod-B (resp. entre Mod-S et Mod-T). La remarque du dkbut
du paragraphe permet alors d'achever la d8monstration.
DEFINITION 6.2. - Nous dirons que deuz ipamorphismes d'algtbres fi et
gi sont M-6quivalents lorsque l'une des assertions de la proposition 6.1
es t ve'rifie'e.
La dkfinition 6.2 Ctend la notion usuelle d'kquivalence de Morita : deux
algkbres A et B sont kquivalentes au sens de Morita si et seulement si les
Cpimorphismes nuls A -+ 0 et B 4 0 sont M-Cquivalents.
U n esemple : soit fi un objet de M^ ; posons B = Mn(A), T = M,(S),
9 = Mn(f). Alors f z et gg sont M-kquivalents. Pour s'en convaincre, il s d t
de considCrer les bimodules :
P = Mln(A)' Q = Mnl(A), X = Mln(S), Y = Mnl(S)
oh M,,(A) dCsigne I'ensemble des matrices B p lignes et q colonnes B
coefficients dam A. L'assertion (ii) de la proposition 6.1 est clairement
vkrifike.
De la dkfinition 6.2, de la proposition 6.1 et du thkorkme 5.1 dkcoule le :
COROLLAIRE 6.3. - Si f; et g g sont deux 6p,morphismes M-t!quivalents,
alors d existe un isomorphisme entre les longues suites exactes de Connes :
Nous sommes ainsi en mesure de proposer une extension de l'kquivalence
de Morita au cas des alghbres non unifhres :
DEFINITION 6.4. - D e u z algkbres n o n uni f tres I et J son t dates M-
iquivalentes lorsque les morph i smes d'augmentation E~ : I" -+ k et E~ : J" 4 k
son t M-iquivalents.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3627
h
6.2. Une autre description des morphismes dans M . Dans la suite de ce
paragraphe, f = fz et g = sont deux kpimorphismes d'algkbres. En
notant respectivement I et J les noyaux de f et g, nous avons les suites
exactes de bimodules :
Nous d o n s dormer une autre prksentation des couplages :
PROPOSITION 6.5. - Soit P un A-B-bimodule projectif de type fini sur B.
Il y a 6quivalence entre les deux assertions suivantes :
d) il existe un S-T-bdmodule X et un isomorphisme d e A-B-bimodules
%,X : P BB T 2 X tel que (P,X,Op,x) soit un couplage de f;
vers gZ;,
ii) IP c PJ.
De'monstration : soit (P, X, @P,X) un couplage de fz vers g$ ; puisque P
est projectif sur B, le foncteur P @ B ( - ) transforme la suite exacte (2) en la
suite exacte de A-B bimodules (oh p est l'isomorphisme canonique) :
L'image PJ du composC P@ J - P @ ~ B AP est un sous-A-B-bimodule B
de P qui s'inscrit alors dans la suite exacte : I
oh rp(p) = p BB IT et L est l'injection canonique. Comme (P, X, $,x) est
un couplage, OP,* : P aB T S X est un isomorphisme de A-B-bimodules;
posons ?r = OPjx o rP. Dksignons par up : P 2 A @A P et ax : X 2 A @ A X
les isomorphismes canoniques (de A-B-bimodules), uJ la restriction de up B J ; nous avons le diagramme cornmutatif :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3628 STEFFAN
De plus, le morphisme f Bid : A@ X-+S@JAX dCfini par a@+ H f (a)@Ja: A
est un isomorphisme de A-B-bimodules. La commutativitk de ce diagramme
montre alors que pour tout Clement i de I et tout 61kment p de P , i p est
aussi dans PJ. Ceci dkmontre i ) =+ ii).
Pour dkmontrer la r&iproque, considkrons le A-T-bimodule P BB T et
montrons que I (P @B T) = 0. Puisque IP c PJ, tout ilkment i p I P peut
s'6crire comme une somme finie d'i16ments w j de P J ; or
~ j @ ~ t = w @ ~ j . t = w @ ~ g ( j ) t = w @ ~ O = O ,
donc ip BB t = 0 et P @JB T a une structure naturelle de S-T-bimodule. Le
couplage cherchk est alors rialis6 par (P, P BB T, id).
COROLLAIRE 6.6. - M est e'quivalente d la catigorie don t les objets sont
les ip imarph i smes d'a2g2bres e t ~ o r n ~ ( f ~ , ~ ~ ) est l 'ensemble des classes
d'isomorphismes des A-B-bimodules P qui sont projectifs de type fini sur B
et qui v tr i f ient IP C PJ 03 I = k e r ( f i ) et J = k e r (gg).
7. Equivalence de Morita forte
7.1. La catkgorie S. La nouvelle prksentation de M met immkdiatement
en kvidence la sous-cat6gorie -que nous noterons S- dont les objets sont
ceux de M^ mais dam laquelle ~ o r n ~ ( f 2 , ~ ; ) est l'ensemble des classes
d'isomorphismes des A-B-bimodules P qui sont projectifs de type fini sur B
et qui vkrifient IP = P J.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3629
LEMME 7.1. - avec les notations pre'ce'dentes, il y a e'quivalence entre :
i ) IP = P J,
ii) P @ T et S @ P sont isomorphes en tant que A-B-bimodules, B A
iii) P@ T (resp. S@ P) e ~ t muni d'une structure de S-module ci gauche B A
(resp. de T-module d droite) compatible avec l'actdon naturelle de T
d droite (resp. de S d gauche) et il eziste un isomorphisme de S-T- bimodules : P BB T G S @A P.
De'monstration : i) + i i) : considdrons
oh b est un kl6ment de B tel que g(b) = t. L'hypothkse PJ c IP entraine
que 1'616ment I s @ pb est ind6pendant du choix de b (mtme raisonnement
que dam la dkmonstration de la proposition 6.5) ; donc cp est bien d6fini et il
est facile de voir que cette application est un morphisme de A-B-bimodules.
De plus, l'application rkciproque de cp est donnke par :
v : S a A P * P@,T
s @ p a p @ l ~
oh a est un Cldment de A tel que f ( a ) = s.
ii) + i) : supposons qu'il existe un isomorphisme de A-B-bimodules
8 : P B B T r SmAP, alors nous avons les isomorphismes de S-B-bimodules :
id@@ can
s @ ~ P @ ~ T + s @ ~ S @ ~ P + S @ ~ P
d'oG IP c PJ (cf. la ddmonstration de la proposition 6.5). De f a ~ o n
analogue, en appliquant - aB T & l'isomorphisme 6, il vient PJ c I P .
i) + iii) : avec les mBmes arguments que dans la proposition 6.5, il vient
que P @ B T et S P peuvent alors ttre munis d'une structure de S-T-
bimodules et ~p est clairement un isomorphisme de S-T-bimodules.
iii) + ii) : si 8 : PaBT -4 S@ P est l'isomorphisme de S-T-bimodules A
de iii), il est facile de voir qu'en posant : 8(a(p@t)) = 8( f (a ) (~@t)) , 8 r6alise
aussi un isomorphisme de A-B-bimodules.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3630 STEFFAN
DEFINITION 7.2. - Nous dirons que deux dpimorphisrnes d'algkbres f: et g g sont fortement M-6quivdents lorsqu'ikr sont i somorphes dans la
catigorie S .
M ( S ) Ezemple : les dpirnorphisrnes f i et Mn(f)M''(A) de 17exemple du para-
graphe 6.1 sont fortement M-Bquivalents car si I dksigne le noyau de f , celui
de M , ( f ) est M , ( I ) et on a bien I M l n ( A ) = M l n ( I ) = M l n ( A ) M n ( I ) .
Nous avons alors l'analogue de la proposition 6.1 :
PROPOSITION 7.3. - Soient f : A - S et g : B ---, T deux i p i m o r -
phismes d'algtbres. I1 y a iquivalence entre les trois assertions s u b a n t e s :
( i ) les objets f i e t gi son2 isomorphes dans S
( i i ) il existe u n A-B-bimodule P, u n B-A-b imodu le Q et
t i-1 : des isomorphismes de bimodules u : P B B & Z A , v : Q B A P Z B
i i -2 : IP = P J
( i i i ) il existe des iquivalences de catdgories F et @ telles que :
i i i-1 : les diagrammes de foncteurs suivants son t commutat i fs :
_ o i * f = T @ B (-) e t . g = S @ A ( - )
i i i-2 : F ( A ) @IB(-) et @ ( S ) @IT(-) sont des i ~ u i v a l e n c e s de catigories.
Pour dCmontrer la proposition, nous avons besoin du
LEMME 7.4. - L o ~ s q u e l'assertion (ii) de la proposition 7.3 est vraie, il
est possible de choisir u et v t e h que :
1) il existe des isomorphismes de A-B-bimodules
& : Q @ A S - ) T @ I B Q
&,: P @ , T - - + S @ , P
2) 1es deux diagrammes suivants soient commutat i fs :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORlTA RELATIVE
. .
(03 les fikches non marqut!es sont les isomorphismes canoniques). ,
Dkmonstration du lemme : I'assertion (ii) de la proposition 7.3 entraine
l'existence d'un isomorphisme de A-B-bimodules : T 8, Q Z Q @ A S
dkfini comme le compost5 des isomorphismes suivants :
o i ~ Ep est l'isomorphisme dkcrit dam la d6monstration du lemme 7.1 et
les isomorphismes non marquds proviennent des structutres naturelles de
B-module (resp. de A-module) B gauche sur T (resp. sur S. De plus, les
rksultats classiques de l'kquivalence de Morita pour les algkbres montrent
que les isomorphismes de i i-1 peuvent Ctre choisis de sorte que les carrks
suivants (d'isomorphismes de bimodules) soient commutatifs (6. [2]) :
Pour ces choix de u et v , le morphisme & construit ci-dessus, est en fait
l'application t @ q I+ bq @ 1s (oh b est un Clkment de B tel que g(b) = t). La
commutativit6 des deux diagrammes du lemme 7.4 est alors immkdiate.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3632 STEFFAN
DCmontrons maintenant la proposition 7.3. ( i ) est kquivalent A ( i i ) par
dCfinition de l'isomorphisme dans S. D'autre part, lorsque (id) est vraie,
le lemme 7.1 montre qu'il existe un isomorphisme de S-T-bimodules 4 :
S @ A P g P B B T. Posons alors 9 = - Bs S B A P. Le lemme 7.4
et les rCsultats sur 1'Cquivalence de Morita pour les algkbres rappelks au
paragraphe 1 montrent que est une Cquivalence de catkgories dont I'adjoint
est - BT T BB Q; l'isomorphisme 4 entraine alors la commutativitC des
diagrammes de iii-1.
Rkciproquement : si ( i i i ) est vraie, posons X = 9(S) ; alors X 2 P B B T
comme A-T-bimodules et X Z S @ A P c o m e S-T-bimodules. Nous avons
donc un isomorphisme de A-B-bimodules : P BB T 2 S @ A P et le lemme
7.1 permet de conclure.
Remarque : le lemme 7.1 et la dCmonstration ci-dessus (existence du mor-
phisme EQ) montrent que l'assertion i i-2 de la proposition 7.3 est Qquivalente
ti J Q = QI.
Avec les notations prbckdentes nous Cnon~ons la
DEFINITION 7.5. - N o u s dirons que le 10-uplet (A , B, P, 9, u, v, S, T, &,, &)
est u n contexte de Mori ta relatif lorsque A, B, P, Q, u, v vkrif ient l'assertion
( i i ) de la proposition 7.3, u et v ayant ktk choisis c o m m e duns le l e m m e 7.4,
I+, et i t a n t les morphismes cons tmi t s dans ce m ? m e h n m e .
Ceci gknkralise la notion de contexte de Morita pour les dgkbres.
8. Relation avec la H-unitaritd de Wodzicki Dam ce paragraphe, f; = f et = g dksignent deux Cpimor-
phismes fortement M-kquivdents, I est le noyau de f et J celui de g. Soit
( A , B, P, Q, U , v, S, T, tP, EQ) le contexte de Morita associC. Nous d o n s voir
comment ce contexte se traduit sur les idkaux I et J ; plus prkciskment nous
montrons qu'il existe un A-B-bimodule P', un B-A-bimodule Q' et des
morphismes de bimodules
u ' : P I B B Q1 + I
v' : & I @ , PI + J
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3633
et donnons des conditions nkcessaires et suffisantes pour que u' et v' soient
des isomorphismes de bimodules (cf. Proposition 8.2 ci-dessous). Dans le
contexte de Morita relatjf citi? ci-dessus, les bimodules P et Q sont projectifs
de type fini en tant que modules sur A et en tant que modules sur B. A w
suite exactes (I), (2) et (3) rappelkes ci-dessous nous pouvons ajouter la
suite exacte (4) obtenue & partir de (1) B l'aide du foncteur Q @ A - (comme
(3) l'a kt6 & partir de (2) et du foncteur P g B -) :
oh nous notons P' = PJ et Q' = QI.
LEMME 8.1. - Pour tout entier nature2 YZ, kl esiste des isomorphismes
1) TO~;(S, P') n TOT!+,(S,P 8, T ) TOT:,(P €3, T,T)
TO&P', T)
D6monstrution : puisque P est plat sur A et sur B, on a pour tout entier
i un isomorphisme (d Bourbaki A Chap.X, prop. 8)
~ o r t ( S , P aB T) Z TO~?(S @, P, T).
De plus, par dhfinition de 1'6quivalence de Morita forte, nous aurons aussi
les kgalitBs :
P ' = P J = I P e t Q 1 = Q I = JQ.
et le lemme 7.1 montre qu'il existe un isomorphisme de A-B-bimodules
S@ P S P@ T ; nous en dCduisons alors l'isomorphisme du milieu dans 1). A B
Appliquons maintenant le foncteur S @ A - & (3); nous obtenons la longue
suite exacte :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
STEFFAN
oh w = ids @ ip ; il est facile de voir que w est inversible, d'inverse le
(tp ktant toujours l'isomorphisme du lemrne 7.1); d'oh un isomorphisme
En appliquant le foncteur - @, T a (3), il vient la suite exacte longue :
TO$(P 8, T, T)-Pt 8, T-P 8, T+P 8, T 8, T-0
( 3 - 2) T 0 = T O ~ ~ ( P , T ) - ~ o r f ( ~ ' , T ) - T o ~ ~ ( P gB T, T)-0 -. .
LB, encore P 8, T--tP BB T 8, T est un isomorphisme donc
De plus en prolongeant ces deux suites exactes, il vient :
~ o r t ( S , PI) Z TOT~+,(S, P €0, T)
TOT~(P',T) TO~!&,(P @ B T, T)
Nous avons ainsi tous les isomorphismes de la partie I ) du lemme. Pour la
partie Z), il s a t de procCder de fagon analogue B partir de la suite exacte
(4). En posant n = 0 dans cette proposition, nous obtenons le
COROLLAIRE 8.2. - 1) il y a ~quivalence entre
1 4 : P' = IP'
1-ii : P' = P'J
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MOIUTA RELATIVE
I-% : T o r f ( S , P QB T ) = 0
1 -iv : TW?(P aB T , T ) = 0
2) il y a t!quivalence entre
2-i : Q' = JQ'
2-ii : Q' = Q'I
2 4 : ~ o r f ( Q @A S , S ) = 0
2-iv : TOT:(T, Q @A S ) = o
PROPOSITION 8.3. - Soient f i et gg deux dpzmorphismes fortement
M-6quivalents d e noyauz respectifs - I et J , ( A , B, P, Q, u, v , S, T , i&, EQ) le
contezte de Morita relatif associt. Posons P' = PJ et Q' = Q I ; avec les
notations prkddentes, considc!~ons les morphismes de bimodules : i p @iq
u f : P'O,Q'-PO,QAA :Q @ i p
V ' : Q ' ~ I ~ P ~ - Q @ ~ P - - - % B
Alors u' est d valeurs duns I et v' est d valeurs duns J et
1) il y a dquivalence entre
1-i : u' est surjectif
I-i : T O ~ ~ ( P @B T , Q @ A S ) = 0
1-iii : T o r f ( S , S ) = 0
1-iv : la multiplication de A induit un morphisme surjectif : I @ A I ---+ I
2) il y a t!quivalence entre
2-i : u' est bijectif
2-ii : T o r f ( ~ @B T , Q @ A S ) = 0 pour i = 1,2
2-iii : Tor t (S , S ) = 0 po-ur i = 1,2
2-iv : la multiplication d e A induit un isomorphisme : I @ I % I A
3) il y a dquivalence entre
3-i : v' est surjectif
3-iv : la multiplication de A induit un morphisme surjectif : J@B J - J
4 ) il y a 6quivalence entre
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
STEFFAN
4-i : v' est bijectif
4 4 : T O ~ ~ ( Q @ ~ S , P @ ~ T ) = O p o u r i = 1 , 2
4-ii i : TO~:(T,T) = 0 pour i = 1,2
4-iv : la multiplication de B induit un isomorphisme : J J % J
Remarquons que dans le cas particulier oh S = T = k, les conditions
Tor:(k, k) = 0, i = 1,2 de l'assertion 24ii sont les premikres conditions de
la H-unitarit6 - au sens de Wodzicki 161- de l'alghbre sans unite I; mGme
remarque B propos de J avec l'assertion 442 . DCmonstration de la proposition : appliquons le foncteur exact Q @ A -
a (3), il vient le diagramme suivant dans lequel les lignes horizontales sont
exactes : id@iQ
0 - Q B A P r - Q N A P - Q Q A P B B T - 0
0 - J ---+ 1. B - 1'
T - 0 La dCfinition d'un contexte de Morita relatif entr$ne la commutativitC de
ce diagramme; ainsi 7 = v o (id @ i p ) est 9- valeurs dans J et rkalise en fait
un isomorphisme de B-bimodules : 7 : Q @ P' S J. B
En appliquant le foncteur - @A P' 8. (4), il vient la suite exacte longue :
Comme v' = y o (iQ @ id), nous obtenons que v' est surjectif si et seulement
si Q S @A P' = 0. Par ailleurs, Q @A S @A P' s'inscrit dans la longue
suite exacte dCduite $e (3) : h
Q 8, S @, PI--+Q @ A S @A P--tQ @A S @A P @B T-O
(5) T Tm?(Q 8, S, P mB 0-0 = TOT:(Q @A S, P)+-T~:(Q S, PI)
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3637
De plus, par dkfinition d'un contexte de Morita relatif, le diagramme ci-
dessous est commutatif :
donc
Q 8, s eA P' 3 TOT:(Q eA S, P B, T )
Donc 3-i est kquivalent B 3-ii. De la suite exacte (4-1) il vient aussi que v'
est injectif si et seulement si T o r f ( Q ' 8 S, P') = 0; avec la suite exacte (5) A
il vient que pour tout entier nature1 non nu1 n :
ce qui montre que 4-i est kquivalent B 4-ii. De f q o n tout B fait analogue, nous
obtenons les kquivalences 1 - i 1 - it et 2 - i ++ 2 - ii. Les 6quivalences
qui restent & demontrer dkcoulent immkdiatement des deux lemmes qui
suivent .
LEMME 8.4. - Avec les hypothises de la proposition 8.3, on a pour tout
entier i les isomorphismes :
TO&Q aA S, P 8B T ) E TO$(T, T )
TO$(P 8, T , Q S ) S T o r : ( ~ , S )
Dkmonstration : P et & sont plats sur A et sur B donc pour tout entier i
~ o r : ( Q S, P BB T ) " TorB(Q S 8 A P, T ) T o r f ( P 8, T , Q 8, S ) " Tort(P 8, T BB Q, S )
de plus, nous obtenons que P 8, T 8, Q S de la meme facon que nous
avons montrk plus haut que Q @ S @I P S T , d'oh le lemme 8.4. A A
LEMME 8.5. - Soient h : C ---+ D un .4pimorphisme d'algkbres et N son
noyau. Alors la multiplication duns C induit la suite exacte
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3638 STEFFAN
Dimonstration : B la suite exacte
0 - N - - t C - - - t D - + O
nous pouvons appliquer le foncteur D @ - et le foncteur - @ N ; nous C C
obtenons alors le diagramme commutatif ci-dessous dam lequel la suite
horizontale et la suite verticale sont exactes
0
T i d g h + . - - + O - + T O ~ ~ ( D , D)- D €9, N -D €3, C- D Bc D-0
T
En prolongeant la suite exacte horizontale & gauche, nous obtenons un
isomorphisme : TO~?(D, D) S Tor f ' (~ , N); pour conclure, il s a t de
remarquer que id @ h est un isomorphisme.
9. Matrices et idempotents
Dans ce paragraphe, nous donnons deux exemples d'une situation natu-
relle dans laquelle nous avons : deux alghbres A et B, deux id6aux bilathres
I et J respectivement dans A et B, un A-B-bimodule P I , un B-A-bimodule
Q', des morphismes de bimodules u' : P' mB Q' + I et v' : Q' @A P' - J
tels que u' (resp. v') est surjectif si et seulement si 12 = I (resp. J2 = J ) ,
u' (resp. v ' ) est un isomorphisme si et seulement si I @ A I 2 I (resp.
J@B J 2 J).
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3639
9.1. Le cas des matrices. Soit I un iddal bilat6re d'une algkbre A. Notons
Mpq(I) l'algkbre sans unit6 des matrices B p lignes et B q colonnes dont les
coefficients sont dans I ; lorsque p = q, nous noterons Mp(I) = MPq(I) (et
Ml(I) = I). Pour tout triplet (p, q, r ) d'entiers naturels non nuls, la multi-
plication des matrices induit un morphisme de Mp(A)-Mr(A)-bimodules
PROPOSITION 9.1. - I1 y a dquivalence entre :
a) 12 =I,
b ) pour tout triplet (p, q,r), rPqr(I) est s u ~ e c t i f .
Il y a kquivalence entre :
a) la multiplication de A induit un isomorphisme I @ A I r I,
i i ) pour tout triplet (p, q , r ) , rpqr(I) est un isomorphisme.
Ddmonstration. : comme le bimodule MPq(I) (resp. M,,'(I)) est une
somme directe de matrices lignes (resp. de matrices colonnes), il nous
suffit de considkrer le cas p = 1 = r . Posons S = AII, notons f :
A ---+ S 1'Bpirnorphisme canonique et g : Mq(A) --t Mq(S) l'bpi-
morphisme dBfini par g((aii)) = (f(aij)); le noyau de g est Mq(I). M (S ) Nous avons vu au paragraphe 8 que les Bpimorphismes f; et gM:(a)
sont fortement M-Bquivalents. Le contexte de Morita relatif associb est
(A, M,(A), Mlq(A), Mql (A), u, v, S, Mq(S), tp, &) oh les isomorphismes sui-
vants sont induits par la multiplication des matrices :
La proposition 8.3 permet alors de conclure.
9.2. Le cas des idempotents. Soit A une alg6bre et e un idempotent de
l'algkbre des matrices Mn(A) tel que Mn(A) e M,(A) = Mn(A), alors on sait
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3640 STEFFAN
que Mn(A) et eMn(A) e sont deux algkbres kquivalentes au sens de Morita
(cf [2]) ; il en est de mdme pour A et eMn(A) e. En considkrant le eMn(A) e-
A-bimodule eMn(A) et le A-eMn(A) e-bimodule Mn(A) e , nous avons les
isomorphismes de bimodules (induits par la multiplication des matrices) :
et de plus, toute alggbre kquivalente au sens de Morita a A est du type
eMn(A) e.
Dans le cas des algkbres non unifkres, nous conservons le rksultat i). Plus
prCciskment, si I est un idkal bilatkre d'une algkbre A, nous pouvons knoncer :
LEMME 9.2. - Soit e un idempotent de I , alors Ie morphisme k-line'aire
$J : eI @ Ie + eIe d@ni par $(ea @Be) = eape est un isomorphisme d e A
ele-bimodules.
Pour d6montrer ce lernrne, il suffit de remarquer que $J admet une
application rkciproque dkfinie par ebe H eb @I ee . L'isomorphisme ii) peut Gtre gknkralisk pour certains idempotents de
Mn(k) ; notons que Mn(I) est naturellement muni d'une structure de M,(k)-
bimodule.
PROPOSITION 9.3. - Soit e un idempotent d e Mn(k) tel que
Mn(k) eMn(k) = Mn(k) alors
i) si 12 = I , la multiplication des matrices induit un morphisme (de
A-bimodules) surjectif :
ii) Si de plus I @IA I S I , u est un isomorphisme.
Pour dkmontrer cette proposition, nous utilisons le lernrne kvident dam
lequel, pour cr E I ou cr E k , Eij(cr) dksigne la matrice carrde d'ordre n dont
le seul coefficient non nu1 a est situk sur la iieme ligne et la jihe colonne :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 364 1
LEMME 9.4. - Le morphisme T : M n ( I ) 4 I @ Mn(k ) dLfini par
(a i j ) I+ xij aij @ E i j ( l ) est un isomorphisme de Mn(k)-bimodules.
La structure de bimodule sur I @ Mn(k) est d6finie par :
avec a dans I et X , Y dans Mn(k).
Dkmontrons la Proposition 9.3. Tout d'abord pour i ) : l'isomorphisme T du
lernrne 9.4 induit les isomorphismes de k-modules
Considkrons alors le morphisme k-lin6aire w dkfini par :
L'image est bien dkfinie car
w [(a 8 Xe)(eSe 8 a ) 8 (eY @ b)] = w [(aa @ XeSe) @ (eY @ b)]
= (aa @ b) @ ( X e S e @ e Y )
= (aa 8 b) 8 (XeeSe @ e Y )
= ( a @ a b ) @ ( X e @ e S e Y )
= w [(a @ X e ) @ (eSe @ a ) ( eY @ b)]
I1 est clair que w es\ surjectif; de plus, par I'iquivalence de Morita des
algkbres, nous avons Mn(k) e BeMn ( h ) eMn(k) Mn(k ) et avec l'hypothkse
sur I , la multiplication de A induit un morphisme surjectif I I - I. D'oh un morphisme surjectif wlde l'ensemble d'arrivke de w sur I @ M,(k).
Le morphisme k-liniaire
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3642 STEFFAN
est surjectif et il est facile de vCrifier que c'est aussi un morphisme de A-
modules.
Pour ai) : lorsque I @ I E I , les morphismes utilisb pour dkfinir u sont A
alors tous des isomorphismes.
10. Une algkbre d'endomorphismes
10.1. L7alg8bre R(A, I). D m tout ce paragraphe, I dhsigne un idkal bilatkre
d'une algkbre A. Nous notons EndA(I) l'algkbre des endomorphismes A-
linhaires & droite de I. L'alg8bre EndA(I) est unif8re et a une structure
naturelle de module & gauche sur A ; I peut 6tre considkrb comrne une sous-
algkbre sans unit6 de EndA(I) en identifiant un klkment a de I avec la
multiplication & gauche par a. Le morphisme 8' : I -t EndA(I) ainsi dkfini
est un isomorphisme lorsque I = A ; dans le cas gknkral, il s'inscrit dam le
diagramme commutatif suivant obtenu pour tout A-module & gauche P :
oh L est I'inclusion, End(P) est l'algkbre des endomorphisme de P et les
morphismes b e t 6 sont induits par l'action & gauche de A. La proposition
10.1 donne une condition s f i sante pour que ce diagramme puisse Gtre
complCt6 par un morphisme EndA(I) -+ End(P).
PROPOSITION 10.1. - Si P est u n A-module ci gauche tel que l'action
de A induit un isomorphisme : I @ A P Z P) alors P est aussi un
End~(1)-module d gauche.
De'monstration : avec l'hypoth8se de cet te proposition, le morphisme
@, : E ~ ~ A ( I ) - End(P) dkfini par O p ( f ) = f ~ j i - l ~ , ~ rend commutatif
le diagramme prkckdent.
PROPOSITION 10.2. - Pour toute algdbre A et pour tout idial bilatkre I
de A :
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORlTA RELATIVE 3643
i ) I QDA EndA(I) est mans' naturellement d hne structure d'algkbre
sans unite' de'finie par
ii) les morphismes k-lin6aires dkjinis par
I - IQDA EndA(I) et I QDA EndA(I) -' EndA(I)
i H i 8 id i QD f H if
sont des morphismes d'algtbres sans unitk.
De'monstration : le produit donnk dam la partie i ) est bien dkfini ; en effet,
si i, j sont des klkments de I et a un Cldment de A, alors dam I QDA EndA(I)
on a les kgalitds :
(i 8 f)( ja 8 g ) = if (ja) 8 g = if (j)a QD g = (i QD f ) ( j QD ag)
car f est A-linkaire B droite. Les autres vkrifications reposent Qgalement sur
le fait que les endomorphismes considkrks sont tous A-lindaires B droite et
sur les propridtks du produit tensoriel.
DEFINITION 10.3. - Pour toute algkbre A et tout idkal bilatkre I d e A,
l'algtbre dont la st~ucture est donnde dans la partie i ) d e la proposition 10.1
Lorsque I est unitaire dors I = A, R(A,I) 2 EndA(I) et la structure
d'alghbre ddfinie dans i ) cokcide avec celle de A. L'intkrCt de cette alghbre
vient de la proposition suivante :
PROPOSITION 10.4. - Consade'rons les morphismes d e bimodules suivants,
induits par les structures d e bimodules :
i) v' : I WAY I ) -+ R(A,I)
ii) u' : R(A' I ) @ E ~ ~ A ( I ) I + I
iii) w : R(A, I) R(A,I) + R(A,I)
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3644 STEFFAN
Lorsque I = 12, ces morphismes sont surjectifs; de plus, lorsque I@ I S I , A
ces morphismes sont bGectifs.
De'monstration : Supposons que I = 12, alors si i = ikir, il vient :
d'oh la surjectivitd de u'. Par ailleurs, v' est le composd de :
donc v' est aussi surjectif. Pour w', la surjectivitk repose sur le fait que
dans R(A, I).
Si nous supposons que /.+ est un isomorphisme, il est clair que v' l'est aussi ;
qumt A u' , il admet alors cornrne rkciproque (T @ i d I ) o -' oh r ( i ) = i 8 i d I .
En utilisant successivement les isomorphismes v', u', 4 puis a nouveau v'
nous avons pour w' :
Commentaire : posons 3 = EndA(I), J = R(A, I), P' = R(A, I) , Q' = I;
alms P' est un A-B-bimodul;?, Q' est un B-A-bimodule et la proposition
10.4 montre qu'il existe des morphismes de bimodules u' : P' mB Q' ---+ I
et v' : Q' @ A P' - J surjectifs dks que I = 12, bijectifs dks que
I @ I Z I. Nous avons donc une situation proche de celle kvoquke au A
ddbut du paragraphe 9 mais cette fois le morphisme d'algkbres non unifkres
J -+ B (cf prop.10.2) n'est pas nkcessairement injectif.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3645
10.2. Un exemple d1alg2.bre R(A, I). Dans ce qui suit, C dCsigne une
dgbbre et toutes les matrices sont b coefficients dans C. Nous notons B l'algbbre des matrices idnies (ai j ) ( i , j )EN1 b colonnes born& c'est-&-dire
telles que : V j E N, card{i E N 1 aij # 0) < +m ; N dksigne la sous-alg&bre
de B formbe par les matrices dont toutes les lignes sont nulles ?L partir d'un
certain rang.
LEMME 10.5. - n/ est un iddal bilatdre de B.
Ddmonstration : soit X = ( x i j ) un 8Cment dq N ; dors il existe un entier
p tel que toutes les lignes de X d'indice supkrieur ou Cgal b p sont nulles.
Pour tout klCment V = ( v i j ) de 8 , les sommes C, xirvrj sont d'une part
bien dkfinies car pour tout j les vrj sont tous nuls pour r assez grand et,
d'autre part, nulles pour i 2 p ; donc XV est bien dans N. Pour le produit
VX, seules les p premikres colonnes de V interviennent et comme chacune
d'entre elles est bornCe, il existe un entier q tel que tous les coefficients vij
sont nuls lorsque i 2 q et j < p, donc VX est aussi dans N.
PROPOSITION 10.6. - Le produit des matrices induit un isomorphisme de
8- bimodules :
i) N g B N E N De plus, n o w avons un i~omorphisme d'algdbres :
i i ) EndL3(N) 2 8
Cette proposition fournit un exemple d'id6al bilatbre N d hne dghbre 8
tel que N gB N Z N ; de plus nous avons le
DBmontrons la proposition 10.6. Tout repose sur le fait que l'algkbre non
unifkre N possbde des unitks "locales". En efTet, posons pour tout entier
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
3646 STEFFAN
Alors 1, est dans N et 1,1, = linf(,,,) ; de plus, pour toute matrice X de
N il existe un entier n tel que toutes les lignes de X soient nulles B. partir
du rang n + 1 et nous avons alors l p X = X pour tout entier p 2 n . I1 est clair que la multiplication des matrices ddfinit un morphisme de
bimodules p : N aB N ---+ N . I1 reste alors B. voir que ce morphisme admet
un morphisme rkciproque.
Pour tout X de N , il existe un entier n tel que 1,X = X ; dkfinissons un
klkment de Bt3 N par :
Cet klkment ne dkpend pas du choix de n car si m est un autre entier tel que
1,X = X, avec par exemple m > n, alors
l , @ X = l m @ l n X
= lmln 63 X duns N
= l n @ X
Nous avons donc dkfini une application
qui est clairement un morphisme de t3-bimodules et il est facile de voir que
T est le morphisme riciproque de p, ce qui dkmontre 2).
Pour la partie ii), il suffit de reprendre la dkmonstration du lemme 5.2
dam [3].
REMERCIEMENTS
Je tiens a remercier Chr. Kassel qui a dtk l'origine de cet article; je lui suis
trks reconnaissant pour nos nombrew et fructueux entretiens qui ont permis
I'ach2vement de ce travail.
REFERENCES
1. Bass, H. : Algebraic K-theory. - W.A. Benjamin Inc., 1968.
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
EQUIVALENCE DE MORITA RELATIVE 3647
2. Jacobson, N. : Basic Algebra 11. - W.H. Freeman and Compagny, 1980.
3. Kassel, Chr. : Caracthe de Chern bivariant, K-Theory 3 (1989), 367-400.
4. Loday, J.-L. et Quillen, D. : Cyclic homology and the Lie algebra homology
of matrices, Comment. Math. Helv. 59 (1984), 565-591.
5. McCarthy, R. : Morita equivalence and cyclic homology, C. R. Acad. Sci.
Pan's 307 (1988), 211-215.
6. Wodzicki, M. : Excision in cyclic homology and in rational algebraic K-theory,
Ann. M a t h 129 (1989), 591-639.
Received: September 1991
Revised: December 1991
Dow
nloa
ded
by [
Tuf
ts U
nive
rsity
] at
12:
08 0
7 O
ctob
er 2
014
