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Equilbrio de Nash Versus ptimo de Pareto (Racionalidade
Individualista Versus Racionalidade Altrusta) O equilbrio de Nash,
utilizado muitas vezes para soluo de um jogo, no necessariamente a
"melhor soluo" ou a que fornece o "melhor resultado". Em muitas
situaes, todos os jogadores melhorariam os seus resultados caso
pudessem, de alguma forma, acordar estratgias diferentes das do
equilbrio de Mash 1. Introduo
Podemos definir a Teoria dos Jogos como a anlise matemtica
formal de situaes (jogos) que envolvem conflitos de interesses.
Para o estudo desses jogos, recorre-se a modelos matemticos que
descrevem interaces competitivas sujeitas a um conjunto de regras,
onde o objectivo principal encontrar as estratgias1 racionais
ptimas em situaes onde os resultados dependem tambm das estratgias
escolhidas pelos outros jogadores.
Nos ltimos vinte anos assistimos a um desenvolvimento
significativo da Teoria dos Jogos em trs importantes aspectos: (t)
a investigao cientfica tem levado a um grande aumento de aplicaes
em imensas reas do saber, com os resultados publicados tanto em
revistas especializadas como em livros; (ti) o ensino da Teoria dos
Jogos passou a integrar-se nos curricula de vrios cursos de
Licenciatura, de Mestrado e de Doutoramento; (iii) junto da opinio
pblica, a divulgao da Teoria dos Jogos surgiu com a atribuio do
Prmio Nobel da Economia, em 1994, a trs dos seus principais
criadores (John Nash, Reinhard Selten e John Harsanyi) e,
especialmente, atravs da publicao em filme, em 2001, da biografia
de Nash, Uma Mente Brilhante.
Neste trabalho, pretendemos fazer uma reflexo sobre a diferena
entre dois instrumentos de anlise muito utilizados em Teoria dos
Jogos: Equilbrio de Nash e ptimo de Pareto. So instrumentos que se
tm
revelado muito teis na anlise de comportamentos e resultados a
esperar em situaes de interaco entre dois ou mais agentes, situaes
particularmente muito frequentes em Economia e nas Cincias Sociais
em geral. O entendimento destes conceitos leva-nos compreenso das
diferenas entre resultados obtidos quando impera o individualismo e
os resultados obtidos quando impera o colectivismo. O jogo do
Dilema do Prisioneiro ser utilizado para melhor compreenso dos
conceitos supra referidos.
2. Comentrio histrico sobre Teoria dos Jogos
Podemos dizer que a Teoria dos Jogos enquanto cincia nasceu em
1944, com o livro Game Theory and Economic Behaviour de John Von
Neumann (matemtico) e Oskar Morgenstern (economista) [1]. A
estabeleceram as bases do que hoje se designa por Teoria dos Jogos
Clssica. H, no entanto, alguns antecessores que nos finais do sc.
XIX e princpios do sc. XX tinham j produzido algumas ideias chave
na Teoria dos Jogos; por exemplo, os matemticos Borel e Zermelo e
os economistas Cournot e Edgeworth. Na criao da Teoria dos Jogos
moderna, nos anos 50 e 60, destacam-se trs nomes: John Nash, que
introduziu os conceitos de equilbrio (de Nash) para jogos
no-cooperativos e soluo de negociao em monoplio bilateral; John
Harsanyi, que efectuou uma anlise das situaes com informao
incompleta atravs da noo de jogos bayesianos; e Reinhard Selten,
que
Flano de aces que especfica, para um determinado jogador, que
aco tomar em todos os momentos em que tenha de decidir o que
fazer.
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ter a-feira, 5 de Agos to de 2008 11:45:22
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[Equilbrio de Nash Versus ptimo de Pareto]
introduziu o conceito de equilbrio de Nash perfeito em jogos
sequenciais.
A Teoria dos Jogos tornou-se uma ferramenta poderosssima para o
estudo de vrios problemas em Economia e, posteriormente, noutras
cincias, levando a um crescimento exponencial de trabalhos de
investigao na rea desde essas dcadas at ao presente. Como
reconhecimento da importncia dos resultados obtidos com as
investigaes realizadas, Nash, Selten e Harsanyi foram galardoados
com o Prmio Nobel da Economia em 1994. Posteriormente, em 2001,
receberam o Prmio Nobel da Economia os economistas J. Stiglitz, M .
Spence e G. Akerlof pelos resultados obtidos com aplicaes da Teoria
dos Jogos chamada Economia da Informao, isto , anlise dos mercados
com informao assimtrica.
3.0 que um jogo?
U m jogo uma qualquer situao na qual se verifica o seguinte:
i) Existem pelo menos dois jogadores. U m jogador pode ser um
indivduo, uma empresa, um pas, ou mesmo um ser biolgico.
ii) Cada jogador possui um conjunto de estratgias.
iii) As estratgias escolhidas por cada jogador determinam o
resultado do jogo.
iv) A cada resultado do jogo est associada uma coleco numrica de
lucros, um para cada jogador. Estes lucros representam o valor do
resultado para os diferentes jogadores.
A Teoria dos Jogos analisa a forma como os jogadores devem,
agindo racionalmente, tomar as suas decises. Cada jogador encara o
jogo de forma a que este termine num resultado que lhe proporcione
o melhor lucro possvel. O controlo que cada jogador tem sobre o
resultado final est no facto de este ser influenciado pela
estratgia que escolher. No entanto, o resultado final no depende
apenas da sua escolha, mas tambm das escolhas dos restantes
jogadores.
4. Classificao dos jogos
Uma primeira classificao de jogos consiste na distino entre
jogos cooperativos e jogos no-cooperativos. A caracterstica
cooperativa de um jogo prende-se com a anlise das possibilidades de
que
alguns ou todos os jogadores acordem entre si as decises que
cada um deve tomar; o objectivo caracterizar estruturas de coligaes
com boas propriedades de eficincia e de estabilidade. A
caracterstica no-cooperativa de um jogo consiste na anlise das
decises possveis para cada jogador, sem qualquer acordo prvio;
procura-se uma combinao de estratgias, uma para cada jogador, que
possua algum tipo de estabilidade - equilbrio.
Os jogos no-cooperativos classificam-se em;'ogos estticos, onde
cada jogador escolhe a sua estratgia desconhecendo as estratgias
adoptadas pelos restantes jogadores; e jogos dinmicos ou
sequenciais, onde, em cada momento de deciso, cada jogador conhece
as estratgias adoptadas pelos restantes jogadores nos momentos
anteriores.
Os jogos cuja teoria tem tido mais aplicaes e impacto na
Economia, e nas Cincias Sociais em geral, so os
no-cooperativos.
Uma outra classificao consiste na distino entre jogos com
informao completa, onde todos os jogadores conhecem as
consequncias, para si e para os outros, de cada combinao possvel de
estratgias; e jogos com informao incompleta, onde pelo menos um
jogador desconhece alguma dessas consequncias.
5. Um exemplo: O Dilema do Prisioneiro
As investigaes realizadas por Melvin Dresher e Merril Flood na
companhia R A N D levaram descoberta, em 1950, do jogo conhecido
hoje por Dilema do Prisioneiro. A famosa histria associada a este
jogo deve-se a A . W. Tucker e foi publicada, posteriormente, em
1980, por Philip Straffin [2]. E o exemplo mais exaustivamente
estudado e utilizado em Cincias Sociais, por ilustrar de forma
muito clara o seguinte paradoxo: a procura do melhor por parte de
cada jogador conduz a um resultado no-ptimo sob o ponto de vista do
colectivo de jogadores.
O problema consiste no seguinte: Dois suspeitos (Prisioneiro A e
Prisioneiro B) de
um crime foram presos pela polcia. Para efeitos de investigao,
cada um deles vai ser interrogado. Os suspeitos aguardam esse
interrogatrio em celas separadas, no sendo permit ida qualquer
comunicao entre si. Cada um deles tem duas estratgias possveis:
denunciar ou no denunciar o
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colega; e so-lhes explicadas as consequncias derivadas das
decises que tomarem: se ambos denunciarem, so condenados a seis
meses de priso; se nenhum denunciar, ambos sero condenados a trs
meses de priso, por um delito menor; se apenas um deles denunciar,
cumprir apenas um ms, e o outro ser condenado a nove meses de
priso.
As diversas hipteses e os resultados do jogo esto ilustrados na
tabela seguinte:
Prisioneiro B
Denunciar No Denunciar
Pris
ione
iro A
Denunciar (6,6) (1,9)
Pris
ione
iro A
No Denunciar (9,1) (3,3)
Que estratgia tomar? Observemos primeiro o ponto de vista do
Prisioneiro A: "Suponhamos que B no me denuncia. Se eu o no
denunciar, a minha pena ser de trs meses; e se eu o denunciar, a
minha pena ser de um ms. Logo, o melhor denunci-lo. Suponhamos
agora que B me denuncia. Se eu o no denunciar, a minha pena ser de
nove meses; e se eu o denunciar, a minha pena ser de seis meses.
Logo, o melhor denunci-lo". Em ambos os casos, a melhor deciso a
ser tomada pelo Prisioneiro A denunciar (Dado os resultados
proporcionados por esta estratgia serem melhores para o jogador,
independentemente das aces tomadas pelo(s) outro(s) jogador(es),
ela designada dominante).
Analogamente, o Prisioneiro B tambm dever denunciar.
Assim, ambos sero condenados a uma pena de seis meses de priso.
Este resultado surpreendente, dado que se ambos no denunciassem, a
pena seria apenas de trs meses para cada um.
6. Equilbrio de Nash
John Nash, matemtico norte-americano, baseou-se no teorema do
ponto fixo de Kakutani para
2As estratgias puras de um jogador so as diferentes decises que
pode tomar.
formular, em 1950, o que ficou conhecido como equilbrio de Nash;
este corresponde ao conceito de equilbrio standard em Economia, e
por isso considerado, em geral, como a soluo de um jogo. O
equilbrio de Nash consiste numa combinao de estratgias, uma para
cada jogador, tal que nenhum jogador melhora o seu lucro se alterar
a sua estratgia e os restantes jogadores mantiverem as suas
inalteradas. Desta definio, deduzimos que um equilbrio de Nash uma
combinao de estratgias da qual nenhum jogador tem incentivo para se
desviar unilateralmente, ou seja, nenhum jogador se arrepende da
deciso tomada, dadas as estratgias escolhidas pelos restantes
jogadores. U m equilbrio de Nash , assim, constitudo por estratgias
que so ptimas para cada jogador, dadas as estratgias dos restantes.
Notemos, contudo, que tal no significa que num equilbrio de Nash
cada jogador obtenha o melhor lucro possvel, mas sim o melhor lucro
condicionado ao facto dos restantes jogadores escolherem as
estratgias indicadas para eles nessa combinao.
U m jogo, tal como aqui apresentado (em estratgias puras2), pode
possuir zero, um ou mltiplos equilbrios de Nash.
Para encontrar o(s) equilbrio(s) de Nash, procedemos da seguinte
forma: para cada combinao de estratgias, testamos se a estratgia de
cada jogador a melhor escolha para as estratgias adoptadas pelos
outros jogadores. H uma outra maneira eficaz e mais simples de
visualizar, na prpria representao tabular do jogo, a procura e
obteno dos equilbrios de Nash. Consiste em comparar, para cada
combinao de estratgias dos seus adversrios, os lucros que um
jogador obteria em cada uma das suas possveis estratgias, e
sublinhar o(s) melhor(es) desses lucros. Uma combinao de estratgias
ser um equilbrio de Nash, se todos os lucros correspondentes
estiverem sublinhados.
Para uma melhor compreenso deste ltimo procedimento, vamos
exemplificar com o Dilema do Prisioneiro. Se o Prisioneiro B
escolher "denunciar", comparamos os lucros 6 e 9 do Prisioneiro A,
e sublinhamos o melhor, que 6 (6 meses de priso melhor do que 9);
se o Prisioneiro B escolher "no denunciar", comparamos os lucros 1
e 3 do Prisioneiro A, e sublinhamos o melhor, que 1. Procedendo de
maneira anloga com os lucros do
o de 2008 11:45:32
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[Equilbrio de Nash Versus ptimo de Pareto]
Prisioneiro B, obtemos a tabela com o aspecto abaixo.
Prisioneiro B
Denunciar No Denunciar
Pris
ione
iro A
Denunciar (6,6) (1,9)
Pris
ione
iro A
No Denunciar (9,1) (3,3)
O Dilema do Prisioneiro tem, assim, um nico equilbrio de Nash:
(Denunciar, Denunciar).
7. ptimo de Pareto
No Dilema do Prisioneiro analisado, vimos que a soluo
(equilbrio) no eficiente sob o ponto de vista de Pareto. Porque
optam os jogadores por (Denunciar, Denunciar), como indica o
equilbrio de Nash, se optando por (No denunciar, No denunciar)
conseguiriam um resultado melhor? Este aparente paradoxo explicado
pela compreenso de que a opo (No denunciar, No denunciar) a
indicada sob o ponto de vista social (colectivo de jogadores),
enquanto que a opo (Denunciar, Denunciar) a indicada sob o ponto de
vista individual. Este jogo ilustra que, de facto, existe uma
contradio entre a procura do bem individual e a procura do bem
colectivo.
8. Concluso
Observemos que, no Dilema do Prisioneiro, a combinao de
estratgias (Denunciar, Denunciar), que constitui o equilbrio de
Nash, no parece proporcionar um resultado muito satisfatrio. De
facto, tanto o Prisioneiro A como o Prisioneiro B lucrariam mais se
escolhessem (No denunciar, No denunciar), o que lhes proporcionaria
apenas 3 meses de priso em vez de 6. Dizemos, ento, que (Denunciar,
Denunciar) no ptimo de Pareto. Uma combinao de estratgias ptimo de
Pareto, se no se puder passar para uma outra de modo que nenhum
jogador fique prejudicado e pelo menos um fique beneficiado.
Trata-se de um conceito que analisa a eficincia social, relevante
para o grupo de jogadores como um colectivo, enquanto que o
equilbrio de Nash um conceito que analisa a eficincia individual,
relevante para cada um dos jogadores como agente individual.
Vimos, atravs do Dilema do Prisioneiro, que um equilbrio de Nash
no garante necessariamente o mximo de bem-estar. De facto, a
escolha "no denunciar" por ambos os jogadores aquela que traria o
mximo de bem-estar; porm ambos escolhem "denunciar".
O Dilema do Prisioneiro leva-nos a algumas reflexes teis para o
trabalho em equipa: As equipas no devem actuar isoladamente; errado
pensar que cada um se deve preocupar com o seu prprio territrio -
estes podem ser, e muitas vezes so, sobrepostos; o futuro de uma
equipa pode estar associado ao de outra! A cooperao levar a um
ganho final positivo em relao a outras possveis alternativas de
aco. E3
Referncias
[1] Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of
Games and Economic Behaviour. Princeton: Princeton University
Press.
[2] Straffin,P. (1980). "The Prisoner's Dilemma". UMAP Journal,
1,101-103.
Bibliografia
Friedman, J.W. (1990). Game Theory with Applications to
Economics. New York: Oxford University Press.
Gibbons, R. (1992). A Primer in Game Theory. New York: Harvester
and Wheatsheaf.
Straf fin, P. (1993). Game Theory and Strategy. Washington: The
Mathematical Association of America.
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