Equazioui iutegrali singolari del tipo di Carleman.

FRA~CESCO G. TRICOMI (a ~orino).

A Mauro Picone nel suo 70 mo compleanno.

Sunto, - Criustificazione rigorosa del metodo (euristico) di CARLEgAN per la risoluzione di certe, equazioni integrali eontenenti il valor prineipale di un integrale (semplice), fan. dandosi sulla teoria della trasformazione f inita di I-IILBERT.

1. ]~ ben nero che le equazioni integral i di FREDHOL• di seconda specie aventi nuclei della forma

H(x, y) K(w, y ) - ( y _ w ) ~

dove H(x, y) ~ una funzione su.fficientemente regolare (p. es. continua) ed a un numero positivo minore di uno, non offrono part icolari difficoltk perch~ i successivi nuclei i terati non contengono pii~, da un certo punto in poi, una potenza di y - - x al denominatore .

Molto pifi arduo ~ invece il caso o: ~ 1, che pur si presenta in impor tant i applicazioni, in cui bisogna considerare iI valor principale (nel sensb di CAUC/t¥) del l ' in tegrale (i), di guisa che l 'equazione si presenta sotto l 'aspetto

,b

(1) ~(~c) - )~]~(~ ' y) ~ ( y ) d y - F(x). j y - - ~6

~Ieglio ancora - - osservato che, sotto condizioni poco restr i t t ive per H, rappor to incrementa le

H*(~, y)= H(~, y ) - H(~, x) y - - x

il

(~) I1 valor principale (nel senso di CAucHY) dell ' integrale di una funzione f(a~) dotata di ua infinito (del primo ordine) nel punto c inferno all 'intervallo d'integrazione (a, b), valor principale che verr~ indicato sovrapponendo un asterisco all 'ordinario segno d'integrazione, si definisce notoriamente ponendo

* b c--e b

230 F . G . T R m o ~ : Equazioni i~tegrali singolari de~ tipo di Carleman

r isul terk una funzione l imita ta o a lmeno sommabile (nel senso di LEBESGUE) - -

converr~ scrivere 1' equazione nel modo seguente

(2)

, b b

Invero, si vede eosi t he la cosa essenziale per domina te le equazioni del tipo (1), b di saper r isolvere un ' equaz ione del tipo

It(x, x)

*b

x f dy jy--x =f(x)

ovvero

(3)

,1

f ~(Y) dy --- f(~) - , j y _ --1

dove a(x~)--~ 1/H(x, x) e f(x) sono due funzioni assegnate e, per comodit/~ formale, si b supposto che l ' in terval lo fondamenta le sia l ' in terval lo ( - -1 , 1).

Le equazioni della forma (1) e, pifi in particolare, l 'equazione eanoniea (3), possono con ragione dirsi, come qui faremo, del tipo di Carleman perch~ risolute fin dal 1922 da ques t 'k , in un 'e legante ~Iemoria ('-') r imasta ingiusta. mente semi-d iment iea ta per lunghi anni.

:Noi esporremo pifi innanzi (§ 3) il metodo risolutivo di GARLEMAN O, pih esai tamente, il seeondo e il migliore dei due metodi, trat t i dalla teoria delle funzioni anali t iehe, usat i nel la ~Iemoria succitata. Dato perb the non sembra facile giusi i f icare i varl passaggi in modo conforme alle moderne esigenze di rigore, il metodo di CARLE~,~ verr/~ qui considerato da un punto vista pu ramen te eurist ico e nei ~re paragraf i che seguono (§§ 4-6) la formula r isolut iva a cui esso conduce verrh <( legalizzata >>, del imitando un suo, abba- stanza largo eampo di validitk, con metodi di genere diverso. Precede il § 2 in cui vengono r ichiamat i a lcune propriet/~ della trasformazione di Hilbert, indispensabi l i per 1' aceennata legi t t imazione delle formule di CARI,E~A~.

Sono lieto di dedicare al vecehio amico ~_tT~o P ico t s . - - cui mi acco- muna l ' amore per la teoria delle equazioni integral i - - questa mia ricostru- zione della teoria delle equazioni del tipo di CARL~.MA~, ehe ~ stata originata dalla redazione di un mio libro, da lungo tempo in gestazione, sulle equazioni

(2) T. CARLEMA~, Sur la rdsolution de certai~es dqi~ations intdgrales, • A r k i v for Mat. Astron. oeh F y s i k , , 16 (192~), 19 pp.

F. G. T ~ c o ~ : Equazloni integral~ singotarl dei tlpo dl Carleman 231

integrali , ehe useir~ pross imamente sia in una edizione italiana, sia in una inglese (s).

2. L' integrale che f igura nella t3) d~ luogo ad una trasformazione fun. zionale l ineare ~-Gehe suol dirsi la trasformazione finita di Hilbert. Preeisa. mente si pone

. 1

1 ,,m

¢~(Y) dy, 1),

- -1

mentre la trasformazione di Hilbert vera e propria 6 la trasformazione ana. loga con intervallo fondamenta le infinito

1 f d (5) 9vii i = = jy_ y.

Un accurato studio della t rasformazione ~ pub trovarsi nel noto libro di TI~C~ARSH su l l ' in tegra le di FOVRIER (4), mentre la t rasformazione '~" viene studiata, dal punto di vista ehe qui oecorre~ pr ine ipMmente in una Memoria dell'A, di a leuni anni or sono (5).

Dovremo pifi appresso servirci dei r isul tat i seguenti per le cut dimostra- z i o n i s i r imanda atle fonti ora e i ta te :

1) T e o r e m a di rectprovit& (6)._ Se la funzione ~, data in (--cx~, c~), appartiene ivi ad una classe lebesguiana L~ con p ~ 1, la sua trasformata di Hilbert f--!~e[cp] appartiene anch'essa alla stessa classe Lp, ed ~ tale che

(6) ~ / ~ [ ~ ] t = - - %

2) T e o r e m a s~tlle f u ~ z i o n i a~talitiehe in u n s e m i p i a n o (~). - Se ~(~c ~-iy) ~ una funzione analitica regolare net semipiano y ~ 0 ed esistono un p ~ 1 ed una costante positiva K tali che per ogni valore fisso di y riesca

CO

(7) j t O(w -+- iy)I~d~ < K; ~CO

(s) L 'ediz. italiana (, Lezioni su~le equazioni ~integrali,) ~ gi~ uscita presso Gheroni, Torino e quelle inglese (4 Integral Equations ,) uscir~ presso In t e r sc i ence ,~ew York.

(4) E. C. TITC~ARSH~ Introduction to the Theory of Fouq'ie~" IntegraTs, (Oxford~ Claren- don Press, 1937), Chp. V.

(~) F. G. Tmco~I, On the finite Hilbert Transformation~ • Quart. Journ. Math. Oxford , , (2) 2, 199-211 (1951). Vedi pure H. SSHNGE~j Zur Theorie der endlichen HiIbert-Transfor- marion, • Math. Zeitsehr. ~, 60, 31.51 (1954).

(6) TITCHMARSH, Op. cit., p. 132. (7) TrrCHMARSH~ op. cit., p. 139.

232 F . G . TRICOMI: Equazioui i,l,~tegrali sb~golari del tipo di Carleman

allora ffg{x + iy) per y ~ + 0 converge quasi dappertutto ad un limite

• + io) = u(x) + iv(x,)

le eui part i reale ed immaginar ia sono due funz ioni di x di classe Lp, legate fra lore dalle formule di reciprocit~

(S) u = v = - -

Reciprocamente, data, nella classe Lv , una delle due funzioni u, v e delerminata l'altra per mezzo delle (8), la funzione analit ica (~(x + iy), {y > O) assumente sull' asse reale i valori u + iv, soddisfa alla condizione (7) con un opportune valore della costante K.

3) F o , . m u l a d" i u v e r s i o n e O' idot ta) d i d u e i n t e g r a z i o n i ¢ con aste- risc'o ~ (s). _ Date in un intervallo finite (a, b) due funz ioni ¢~1CL~ e % E L ~ , se ~ 1/p~ + 1/p~ < 1, vale la formula d' inversione

, b , b , b , b

19t v J z - v %(zIdz ( - - 1 < z < t ) .

4) T e o v e m a a s i n t o t i e o (9). _ Se la funzione ¢~(x~ data in (-- 1, 1~ ed ivi di elasse L~o, (p > 1), ~ inoltre tale che, in un interne destro arbitrariamente piccolo del punto ~ = - - 1, possa scriversi che

(10) qo(x) = A(1 - - x ) - ~ + ~(x), (0 ___~ ~ < 1},

essendo A una costante e + una funzione annuUantesi per x = - 1 e soddi. sfacente ad una condizione di Lipschitz di ordine 1)ositivo s arbitrario ; allora la trasformata f----c0"[~o] della [unzione ~ nella trasformazione (4), d suscettibile della seguente rappresentazione asintotiea per x, --~ - - 1 + 0 :

I A eotg :¢r:. (1 + x) -~' + 0(1), (0 < a < 1), (11) f(x) - - - - (A/r:) log (1 + z) + 0(1), (a - - 0).

Se analoghe ipotesi sono invece soddisfatte hell ' interne sinistro di a~-- l, per ~e-~ 1 - 0 si ha

{11') f(x) - - ~ - - A eotg ~ : . {1 -- a~) -~ + 0(1), (0 < ~ < 1), t (A/u) log (1 - - z) + 0(1), (a - - 0).

5) l d e n t i e o a n n u l l a r s i d i c(7[qo] (~o). _ Le sole funzioni ~(x) di elasse Lv, (p > 1) tali ehe (quasi dappertutto) si abbia cG[~]---= 0, sono quelle del ripe

(12) C(1 -- a~') -11~-, essendo C una costante.

(s) T~ICOl~I, lee. eit. (5), p. 201. (9) TRToom, lee. cir. (5), p. 20q.

(i0) T m c o m , loe. eit. (~), p. 204.

F. G. TR~co~n: Equazionl integrali singolaxl del tlpo di Carleman 233

Notiamo ancora the se x, invece di essere contenuto nel l ' intervallo (--1, 1), b fuori dell'intervallo stesso, la (4) - - in cui pub allora sopprimersi l'asterisco sopra l ' in tegrale - - definisce una trasformazione funzionale mandante fun- zioni reali di classe Lv date in ( - -1 , 1), in funzioni anali¢iehe regolari nel piano complesso tagliato lungo il segmento - - 1 , 1 del l ' asse reale. Tale tra- sformazione :

1

~13) F(z)--1 f ~ ( t ) d t • fuori di (--1, 1), 7 : J t - - z '

--1

r isul ta molto vicina alla trasformazione di Stieltjes (cui pub r icondursi con semplici cambiament i di variabili) e, come quella, ha una sempliee formula d' inversione complessa (i~). Prec isamente si pub facilmente dimostrare the, se esistono i limiti sinistro e destro di ¢~(t) per t avvicinantesi ad un punto x. del l ' in terval lo (-- 1, 1), la media ari tmetica fra tall due limiti si pub subito determinare noti i valori limiti di IF(z) avvicinandosi ai due bordi del taglio, e preeisamente che si ha

1 1 [F(x + iO) - - F{x - - i0)]. (14) ¢~*(~) - - 2 [~p(w + 0) + ~(x - - 0)] =

Da questa formula segue facilmente l ' a l t ra

(15) *1

--1

ch 'b la ehiave di volta del metodo di CAtm]~A~. Vale infine la pena di osservare che 1' importante formul~ d' inversione (9)

b un caso part icolare della pifl generale formula

, b , b , b , b

f dy fE(~c, y, z)dz- ' - ; d z f , F-~, / I ' ~ , d y - n'F(X,, x, x~), (a <a~ < b), y - - - - ~ j z - ' y j j i z - - y)(y--oc!

ehe si at tr ibuisce spesso ad II. POI~CAR~: (12) ma si trova gih in un lavoro auter iore di G. H. HARDY (i3). Pe r quanto b a mia eonoseenza, la sola dimo-

(it) Vedi p. es. D. V. WIDDER, The Laplace T~'ansfo~'m. (Princeton, Univ. Press, 1941), p. 340, Th. 76.

(c2) H. POINCARfi, Legons de M4canique C4Ieste, T. ]II {Paris, Gauthier.Villars, 1910), p. 253.

(t~) (~. H. I~ARDY, The Theory of Cauchy's Principal Values (fourth paper). ~ Proc. London Math. Soe. ~, (2) 7, 181-208 {1908).

nna l i di Matematicc~ 30

234 F . G . TRtCOSII: Equazioni i~,tegt'ali singot~xi dcl tipo di Carleman

strazione semplice e nel contempo generals di tale formula che finora si aveva, b quella contenuta nel mio lavoro cir. (5), che vale solo nel caso par- ticolare (9), eio~ per la formula ((ridotta ~). Ul t imamente mi b perb riuscito di colmare questa lacuna, dimostrando con metodi analoghi anche la formula generals (i4).

3. I1 mgtodo di CARLE)~A~ per la risoluzione della (3) consiste essenzial- mente nell' << algebrizzare )) tale equazione per mezzo della trasformazione (13), cosi come, ad esempio, si algebrizza un 'equaz ione contenente un prodotto integrals (Faltung, Convolution) mediante la classica trasformazione di LAPLACE.

Propriamente, osserva~o the, accanto alla (14) - - in eui, per semplicitit (i5) porremo ~ in luogo di ¢p* - - regge ovviamente l 'uguagl ianza

,1

[ F ( x + i0) + F ( x - - i0)] = 7 : j y - - x

---1

intendendo che F sin la t rasformata della funzione incognita ¢p mediante la (13), la data equazione (3) risulter~ equivalents a l l ' a l t ra

(16) [a(x) - - ~ni]F(x + i0) -- [a(x) + XT:i]F(,:c - - tO)= 2if(x).

Quest 'equazione pub ul ter iormente semplificarsi col porte

(17) F(z) - - eT(')U(z)

nelI ' ipotesi che ta funzione T(z) sin scelta in modo che risulti

(18) [a(z) - - )~:i]e r{~+~°) "--" [a(~) + ~ui]e r(~-~°),

cib she, come vedremo, ~ facilmente realizzabile. Invero la (16) assumer~ allora la forma

U(~c + tO) - U ( x - - tO) - - 2_i f (~ e-V(~+~o) - - 2i f (x ) e_V(~_~o ) a(~) - - Z~ i a (x ) + Z~ i

da cut, uguagliando il primo membro alla media geometrica del secondo e del terzo (the sono uguali fra loro) segue

2if(x) exp l( -- fi [T(x + i0) + T(~ - - i0)]{,

1 (19) U(w + i0) - - U(w - - i0) = ~ ( w ) ~_ X~u '

(i4) F. G. TRICOMI, Sulk ' inversions del l 'ordins di integ~'ali , ,pr incipal i~ nel ssnso di

Cauchy, , Rend. L i n t e l ~, {8) 18, 3-7 (1955 ~). (~5) Si ricordi che il metodo del p r e s e n t e § ha per noi solo valore euris t ico!

F. G. TRICOMI: Equazioni integrati singolari del ripe eli Carleman 235

Cib posto, al fine di de te rminare T(z),

a(x) -+- ),ui T(x ÷ i0) ~ T(x -- i0) - - log a(x) ~ ~ i - -

per tanto per la (14) possiamo (non dobbiamo I) porre 1

1- [o_(o - - 7 : J r - - z dt

--1

osserviamo the dalle (18) si trae

2i arctg a(~) ;

o o n

(21) 0(x) - - aretg , Io, ~) a(x)

d ' a c c o r d o con quanto sopra. (Salvo che era i~ specificata la determinazione dell ' arctg~.

D'al t ro late, sempre in forza della (15), abbiamo

~[T(~ -b i0) + T(,x - - i0)] ~-~ cGx[0(y)]

q u i n d i - res tando ormai inteso che per la T(z) si adotta il valore (20)--- 1' equazione (19) ehe vincola la funzione U(z) potrk seriversi

~;(x + io) - - v ( ~ - io) - f(,~) V a~(~) + X~7: ~

avendo, per brevitY, posto

(22) ~(x~ = ~6~[O(y)] ;

sicch~ la (19) si potr~ soddisfare ponendo 1

- I

Determinate cosi le funzioni T(z) ed U(z), e quindi anehe F(z), ot terremo la funzione ~ dalta (14), g iungendo cosi alla formula

, 1

--1

che, con alcune trasformazioni di earat tere elementare, conduce alla formula r isolutiva

, 1

a(z)f(x) ~e ~l~) f e-~lylf(y) dy (24) ~(~c) --- a~(~v) + )3~: 2 --~ Va~(x) -~- )3u ~ Va.~(y) -t- )2~:~ y - ~"

--1

236 F . G . Ti¢loo~i: Equazioni, integrat$ .~ngolari del tipo di Cartemw~

4. Come si ~ gi~ aeeenuato, anzich~ cereare di legit t imare rigorosamente i singoli passaggi eseguiti nel § precedente, si rivela utile giustificare a pc steriori il risultato cui siamo pervenuti faeendo vedere:

I) ehe, sotto certe condizioni, la funzione data dalla (24) soddisfa effet- t ivamente all' equazione (3) ;

II) the la (24) non ~ perb la sola soluzione possibile dell 'equazione, perchi~ la corrispondente equazione omogenea ammette, per qualsiasi valore di )~, delle soluzioni propr ie the determineremo espticitamente.

A tal fini oecorre determinare anzitutto la rG-trasformata, anche in s~ stessa interessant% delia speciale funzione

(25) A(~) - - .Va~(x) + )Jr: ~ - - [a:(x) + i2u~] -lj~ exp 1 % [arctg(o, ~) (~:/a(y)] 1,

per lo the ei serviremo della proposizione (2) del § 2, partendo dalla fun- zione analit ica (26) (I)(z) = eT(z) - - 1,

dove T(z) ha l 'espressione (20). Precisamente -- supposto the la funzione-coeff iciente a(~) s ia cont inua

ed osservato ehe, in tale ipotesi, la funzione 0(x) lo ~ del purl, non eseluso il ease the la funzione a(x) abbia degli zeri ~ occorre fondarsi sul fatto the, come risulta da quanto precede, si ha

, I

exp t - x --1

(27) ¢(x + i o )=

( x ~ - - l , x > l ) . --1

h a (27) mostra in primo luogo the, tanto la parte reale quanto la parte immaginaria di @(x d--i0) sono funzioni di classe L~, per qualunque p ~ 0, nel l ' interval lo ( - -1 , 1). Fuori di tale intervallo, aceade invece ehe la part e immaginaria ~ ident icamente nulla e la parte reale ~ di classe L~, m a per p ~ 1, perehb, detti Me, M t, M 2, ... i suceessivi moment i della funzione O in ( - -1 , 1), vale, come subito si verifiea, lo sviluppo in serie

1

I1 f 0(t) dtl - - 1 Me -I-(M, 4" Mo~ 1 e x p

ehe mostra come la funzione sia O(~v -~) per I w I -~ oc (i6).

(i6) Si noti ehe la presenza dot te rmine - - 1 nella (26) ~ indispensabi le perch~ ci6 avvenga .

F. G. Ti¢ICO~fI: Equazioni integrali singolari del tipo di Carleman 237

Ne segue ehe ambo le parti della funzione (I)(~+i0) sono funzioni di classe Lr , (p > 1 ) i n tutto ( - -c~, c~) epperb possono utilizzarsi le formule di reeiproeit~t (8) the, tenuto conto e h e l a parte immaginar ia b ident icamente nulla fuori di ( - -1 , 1), ei permettono di serivere l' equazione

, 1 , 1

--1 --1

ciob, servendosi ancora dell' abbreviazione (22 b

e~{~/cos 0(w) - - 1 --- cGx[e~iY) sin 0(y)].

Cib posto teniamo eonio del fatto ehe 0 < 0(x) < = o, meglio ancora, the

o < 0(~) < =/2, (~,a(~) >_ o); ~:/2 ~ 0(z) < =, ()`a(~) < O)

e ehe, per ), =l= O, supposto the il radieale sia preso (come era sempre faremo) eel segno positive, si ha

I ) ` l 7: a(x) _ a(z) sgn), sin O(z) = Vaqx) + ),~:'~ ' cos 0(~) = ~ Va'(a:) + )~'=' V a % ) + ~.~=~"

Conseguentemente la preeedente equazione, moltiplieata per sgn)`, fornisee

(28) ),=cG~[A(y)] ---- a(x)A(x) - - sgn ),,

eh6 b la formula ehe si voleva stabilire. Si noti inoltre ehe se, nei caleoli preeedenti, la funzione 0(a~) viene

rimpiazzata da O(x) - % la funzione ~(x) si eambia in

":(~) - - l o g 1 - - ~c 1-~-w

e, conseguentemente, la funzione A($) si cambia ne l l ' a l t ra

l + x - - A ( z ) 1 - - x

e eambiano i segni di cos 0(x) e sin 0(~). Ne segue che alla preeedente formula si pub affianeare l' altra analoga

(28') ) , = % [1 + y A(y)l , , 1 + a~ A(a:)+ sgn X,

epperb, sommando con la (28) e dividendo per 2, si avr~ pure ehe

238 F . G . TRtcO~X~: Equazioni i~degrali singo~ari del tipo di Carleman

Questo 6 un r isul ta to assai in te ressan te perch6 mos t ra come l' equazione omogenea corrispondente alla (3):

, 1 f ' _ _ _ _

" - ~ 0

--1

ammette, qualunque sia X, (almeno) le soluzioni proprie C~0~(a~), dove C ~ una costante qualsiasi e si ~ posto

A(z) (30) ¢~x(x) - - 1 - - x"

Nonos tan te la p resenza del divisore l - a~ tall soluTdoni appar tengono ad un ' oppo r tuna elasse Lp, p > 1, a lmeno f in tanto t h e 18 funzione a(x) - - ottre ad essere cont inua , come si 6 gi/~ s u p p o s t o - soddisfa ad una condizione di L x P s c ~ z di a rb i t ra r io ordine posit ive ~, in due intorni , piccoli quanto si vuole, degli es t remi de l l ' i n t e rva l lo fondamen ta l e ( - - 1 , 1).

Infat t i , cons idera te che per u n a quals ias i eoppia x, a~ o di punt i di (--1, 1) si ha

0(x) - - 0(xo) = a rc tg a - ~ - - 8rctg • .... (o,,) (o, ~) a(Xo}

e, conseguen temen te (&~), si ha pure

--" a rc tg a(~c.)

t0{z)- 0(Zo) I t a(x)

- - - - a rc tg atm)

--a(Xo) t ku ;

l ' ipo tes i di cui sopra consente di appl icare al la funzione z(w)--(G[0(y)] la pro- posizione (4) del § 2, d e d u c e n d o n e ehe, posto

1 1 k= (31) a ----- 0(-- i) .-= - urctg

= " 7 : (o,~) a ( - - 1 ) '

valgono le rappresen taz ion i as in to t iehe

(32) : ( x ) - - - - :clog(1 A - w ) + 0(1), (x - - - - 1);

Ma cib most ra t h e

A(x) -= 0[(I + x)-~], (x -- -- I);

d u n q u e sar~ pure

(33) ¢px(x)-- 0[{1 -t-x)-~], (x - - - - 1);

1 kT: 1 0(1) - - - a rc tg , ~ ' - - ~ ~ ~0,~) a(1)

x(x) = ~ l o g ( 1 -- x ) + 0(1), {x - - 1).

A(x) -= 0[(1 -- x)~], (x - - 1);

o[(1 - - 1);

(17) Si tenga eonto ehe d 1

F. G. T~¢~co~: Equazioni integral;,, singolari del tipo di Carlemau 239

donde segue c h e l a f unz ione %(~) appar t iene al la classe L~ purch~ s ia p ~ 1/y, avendo posto (34) ), - - Max la, l - - ~) < 1.

oppor tuno no ta t e inol t re t h e il cambio di ), in --)~ impl iea il cambio di 0(x) in ~ - 0(a~) e di [(1 + a~)/(]L- x}]A(x) nel la r un , t one

e--,r(x) (35) - - ;

il t h e impl iea ehe, pe r la (28), tale funzione dovr~ essere tale ehe

- - ),=~x[A*(y)] = a(x)A*(x) - - sgn

ciob tale che (36) a(x)A*(x~) + ~nc~x[A*(y)] --~ sgn ;~.

5. D e t e r m i n a t e cosi le ~ - t r a s f o r m a t e del le funzioni A e A* -- ehe, come si b potu to gi~ in t ravedere , g iuoeano un ruolo impor tan te nel la teor ia del le equazioni di CARL]~MA~ - - ee rch iamo di r agg iungere i f ini indicat i in prin. cipio del § p r eceden te <~ componendo ~> la da ta equaz ione (3) col nuc leo

1 - - x A*(~

cib che conduce a l l ' equaz ione * I , 1

c~Tx 1 (1 -- y)A*(y)[a(y)~(y) - - f(y)] } - - -#-~/(1-z)A*(z) dz I "~(y) dy. / *

z - - x j y - - z - -1 --I

Suppos to the la ~funzione incogni ta ~ appar tenga aa u n a quals ivogl ia classe L~ , con p ~ 1, l ' o r d i n e del le due in tegrazioni (< con as ter i sco >) del secondo m e m b r o pub scambia r s i con l ' aus i l i o de l la (9) per eh~ la funz ione (1 --x)A*(x), essendo l imi ta ta (~s), appa r t i ene a qua ls ias i c lasse L~,, anche con p ' g randiss imo, e c o n s e g u e n t e m e n t e si avrh

cC~ { (1 - - y)A*(y~[a(y)~iy) - - f(y)] l --- , 1 , 1

= ~ j ~ a y j ~ z : ~ ~:y)(1 - - z)A*(z)dz - - XT:(1 --w)A*(w)c~(x) =

- -1 - - t

, 1

- - ~. j" i cGx[(1 - - z)A*(z)] - c-(7v[(I - - z)A*(z)] I " "~-~--(Y~ d y - ),~(l ~ x)A*(x~)~(x,).

- -1

(i8) I n f a t t i , l a f u n z i 0 n e b c o n t i n u a n e t p u n t i i n t e r n i a l l ' i n t e r v a l l o ( - - 1 , 1) e, i n v i r t f i

d e l l a (32} s i h a

(1 - - x)A*(x) = O [ ( l - l - x),~], (x - - - - - 1) ; (1 - - a¢)A*(x) = 0[ (1 - - ~c)1-~], (x ~ 1).

240 F . G . TRICO~II: Equazloni integrali singolari del tipo di Carleman

Per caleolare la ~ - t r a s fo rma ta della funzione (l --w)A*(x) the qui rieorre, ei serviremo della (36), con 1' ausilio della quale si ha

$1 1

cG~[(1--ylA*(y)] --- d*(y)dy--( 1--~;)(5"~[A*(ylJ-- i f A*(y)dy=

1

i__~- -w [sgnX - - a(w)A*(x)]- l fA*(y)d" --1

e s u c e e s s i v a m e n t e

Servendosi di 1' aspetto

- - , ) A * ( z ) ] - - - - z ) A * ( z ) ] =

- - sgn ), + [(1 - - y)a(y)A*(y) -->(1 - - x)a(x,)A*(x)].

questa formula l 'equazione pifi sopra ot tenuta assume

1

sgn ) , f (-G~ 1 (1 - - y)A*(y)[a(y)?(y) -- f(y)] l --" ~ - - ¢p(y)dy + --1

+ rG~[(1 - - y)A*(y):p(y)] -- (1--x)a(x)A*(~c)~[cp(y)] -- ),7:(1 - - x)A*(x)cp(x)

da eui, semplif ieando e sost i tuendo a ~[¢p] il sue valore date da l l ' equazione di partenza, segue ehe

- - ~ [ ( 1 --y)A*(y)f(y)]---- ~ a(z)A*(x,j[a(w)~(x)- f ( x ) ] - ),7:(1-- w)A*(x)cp(x)+ C

dove C denota una costante (arbitraria). E con altre e lementar i t rasformazioni ne segue ehe

(37) a(x)f(x) A(x) A(~c)

¢p(~) - - a~(~ ) + )j~:~ + ),~:~---~ ~ [ ( 1 -- y)A*(y)f(y)] + C - ~

La soluzione ot tenuta, anche a presci~adere dal te rmine contenente la costante arbi t rar ia C, 6 vicina ma non identica alla soluzione di CAt~EI~AN (24). Si pub perb faei lmente r iportare a quel la supponendo che esista la ~ - t r a - sformata della funzione A*(x)f(x) (l~), nella quale ipotesi si ha

1 f l

~'~[(1 - - y)A*(y)f(y)] = (1 - - w)~,~[A*(y)f(y)] -- / A*(y)f (y)dy J

--1

(19) C o n s i d e r a t e i l gi~ p r e c i s a t o e o m p o r t a m e n t o di A*(x) p e r x ---* :~ 1, u n a e o n d i z i o n e a cib s u f f i c i e n t e 6 e v i d o n t e m e n t e c h e l a f u n z i o n e f a p p a r t e n g a ad u n a c l a s se Lq ,con

q > 1/(1 - - t3).

F. G. Ta~co~i~: Equazionl integrali singolarl del tlpo di Carleman '241

e, conseguentemente, la (37) assume la forma di CARLE~A~:

(38) ~(x) a~ix ) + ~7: ~ + Z~:A(x)c6~[A*iy)f(y)] ÷ C' A(~c) l - -w"

La forma (37) sembra perb preferibile, perch~ pifi generale.

6. Naturalmente, il precise significato del risultato ottenuto ~ il seguente: Se l' equazione (3) ha, comunque, una soluzione ¢~ di classe L~, p > 1 questa deve avere neeessariamente la forma (37). In partieolare possiamo ritenere gih acquisito che le sole soluzioni proprie dell'equazione omogenea (29) nella classe Lp, p ~ 1, sono quelle del ripe C~,(x), essendo ~x(~c) data dalla (30). 5Ton i~ inveee aneora sieuro ehe la funzione

a(x)f(x) . A(x) (39) F(x) ~ a~(~ ) ~- ~ -1- ZT: i--'~x ~x [(1 - - y)A*(y)f(y)]

soddisfi effettivamente ali 'equazione (3). Per eliminate questo dubbio osserviamo preliminarmente e h e - nella

ipotesi e h e l a data funzione f appartenga ad una elasse Lq, (q ~ 1 ) ~ eonsi- derato e h e l a funzione ( 1 - x)A*(x) ~ limitata, le due funzioni

(1 - - y)A*(y)f(y) e ~G~[(1 - - y)A~(y)f(y)]

apparterranno aneh'esse alla classe Lq, e cost pure il 'primo termine della funzione F(x) perchi~ a(x) ~ continua. )Ia ]a parte ehe precede il simbolo '~ nel secondo termine di F(~c) non ~ altro ehe la preeedente funzione T),(x) ehe abbiamo rieonosciuta (con ovvio simbolismo) di classe ( l /y ) - -0 , essendo ? date dalla (34); quindi il seeondo termine di F(~c) e l ' intera funzione F(~c) apparterranno alla elasse Lq,, (q*~ 1) sempre the sia

1 1 q--,~ y + ~ , q * ~ q , q * ~ l ,

cio~ sempre che sia

(ao) q 1 l ~ q * ~ l + ? q ' q ~ l - - T "

OSserviamo suecessivamente che~ posto

per un conveniente valore della costante C, sl potri~ pereorrere a ritroso la via che dianzi ci ha condotti alla ~37), giungendo cosi all 'uguaglianza

~ { (1 - - y)A*(y)[a(y)%(y) - - f(y)] I----- *1 , t

f f (1 - z) .4*(z)

--1 --1

Ann~li di Matematica 3l

242 F.G. TR1COMI: Equaz iord i n, tcgrali singolari, del t$po eli Carlcma~

Ma, visto the la funzione %(x) ~ di classe Lq, c o n q * > 1 (..o), mentre la funzione ( i - x)A*(w) ~ limitata, si pub applicare (a rovescio) la formula d'in- versione (9), deducendone ulteriormente che

,1

cio~ che ,1

,41, il=o. --1

La (41) mostra the la funzione entre t} viene ((annichilata ~) dalla tra. sformazione ~, epperb, per la proposizione (5) del § 2, essa ~ necessariamente delia forma K(1 --z~l-~/~ essendo K una costante. In altri termini, deve neces- sariamente aversi che

(42) a(X)~o(~C)- k~:cS'~[%(y)] - - f (x) - - K/[A~(x,)(1 - - x}~/~(1 + ~c)~/e].

Ma, fintantoch~ K=~: 0, da quanto pi~t sopra si ~ visto circa il comportamento delle funzioni A(~c) e A*(~c) per x--~ + 1, si trae che

(42) K/[A*(x)(1 - - ~c)Bt2(1 + x) 1/~] = ) 0[(10[(1 _+ x)~-312],m)-~-m]' (~(x _-- 1);-- 1)

dunque se a~_ 1/2 oppure ~ 1/2 o se entrambe ta eose si verificano, necessariamente K - - 0 , perch~ altrimenti la (42) sarebbe l'uguaglianza assurda fra una funzione di classe L~, (P > 1) al primo membro ed una (al secondo membro) che, divenendo infinita d'ordine ~ 1 per x ~ - - i o per ~v~ 1 o in entrambi questi punti (~), non pub appartenere ad aleuna classe L~, con p ~ l . E dire the K - - 0 ~ lo stesso the dire the la funzione ?o soddisfa alla data equazione (3).

Resta, apparentement~, il ease 0 ~ ~ ~ 1/2~ 1/2 < ~ ~ 1 in cui il seeondo membro delia (42) b una funzione di classe L~ essendo

+ 1 / 2 ' 3 /2- - '

(s0) Si tenga conto c h e l a classe (l/y) - - 0 del termine Ccp~(x) non ~ infer iore a quel la q* del te rmine F(x) perch~ q* ~ 1/y.

(el) Si tenga conto che~ considerate il carat tere del t eorema asintotico del § 9 ]a (43) v a in te rpre ta ta nel sense c h e l a funzione a primo membro ~ proprio detl'ovdine indicate; eio~ che, ad esempio, il rapporto f r a i l primo membro ed ( 1 + x ) - ~ - l / ~ tende ad un l imite f ini te e non hullo per ~ ¢ - - ~ - 1

F. G, TRICOMI: Equazioni integrali si~wolari del tipo di Carleman 243

e cio/~ di classe eerie minore di 2, perch6 entrambe le frazioni oscillano fra 1 e 2 senza raggiungere gli estremi. Invece il primo membro delia (42), essendo costituito dai due termini con ~o, entrambi di elasse q * ~ q , e del termine f(a~) di classe q, ~ una funzione di classe q. Ma, per la seconda delle (40),. essendo at tualmente T > 1/2, r isulta q > (1 -- y)-~ > 2; dunque la (42) /~ anche at tualmente assurda, se K:4: 0, perchi~ una funzione di classe maggiore di 2 non pub coincidere con una funzio~ae la oui elasse 6 cer tamente minore di" 2.

Se ne conclude the 6 sempre K ~ 0 , cio/~ the ¢po(w) 6 ef[et t ivamente una soluzione della dala equazione (3).

Raccogliendo in un un i t e enunciate i risultati dei precedenti ragiona- menti si giunge al seguente importante teorema:

Data l'e~uazione canonica del ripe di Carleman

*1

--1

se la funzione-coefficiente a(x) ~ continua nell ' intervallo ( - -1 , 1) e, in due intorni arbitrariamente piccoli degli estremi di questo, soddisfa ad una condi. zione di Lipschitz di arbitrario ordine positive g e se la funzione f(w) appar. tiene ad una classe Lq tale che q ~ ( 1 - ?)- ' essendo

1 )~r: 1 k,-: := arCtga-~- - ~i-~ arctg ,

{o.~) ( - - 1 ) ' ~ (o,~)a(1) T-----Max(% 1 - - ~ ) ;

allora vale la formula risolutiva

a(x)f(x) ke~{*){1 - - ~)- ' f e ~ f ! y ) _ dy- ~(x) - - c ~ i ~ _ )..~ , q- V a'~(x) q- Z"7:k] Va'~(y) + X'T: ' Y -- ~0 +

--1

C e~/~)(1 - - w)-' +

dove C ~ una costante arbitraria e si ~ posto

z(x) = 1 fl 0(y} dy, 0(x) - -a rc tg k : . ~:JY "-Tx Io,,) a( )

--1

L a precedente soluzione appartiene (almeno) alla elasse Lq. con

q 1 < q * < 1 + yq '

e il termine contenente la costante arbitraria C costituisce la piie generale soluzione di classe Lp, (p ~ 1) dell'equazione omogenea corrispondente alta data.

244 F .G . TRICO~I: Equazioni integrali singolari del tipo di Carleman

Qualora sia q ~ 1 / ( [ - ~), la soluzio~e pub anvhe essere posta sotto la forma (di Carleman).

f C' e~¢~l(1 -- x)- ' a(x)f(x) Xe,l~l e-~¢Ylf(y t dy + ),'~'

~(x) = a'(~t + ),'~:' + Va'(x) + ~ Va'ty)-4---~,-r~ y % V a'(x) + --1

dove C' ~ un'altra eostante arbitraria. Nel caso a(x)~-0 il teorema precedente fornisee la formula d' inversione

della trasformazione finita di HILBERT ~;, gih data Isotto eondizioni legger- mente pifi larghe) nel lavoro cir. (5) dell 'autore.