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Equation Chapter 1 Section 1
1er examen parcial de Física 1 RESUELTO
I. La siguiente figura, (adaptada de un diagrama del manual de operación de un automóvil)
describe la capacidad de rebase del vehículo a baja rapidez. A partir de los datos que se
dan en dicha figura, calcula la aceleración del automóvil durante el rebase y el tiempo
requerido para éste. Supón aceleración constante.
RESPUESTA:
El auto se mueve en MUA, mientras que el camión lo hace en MRU.
La complicación con la situación descrita radica en el hecho de que no se puede utilizar
aproximación puntal y hay que tomar en cuenta la estructura de los objetos.
Una forma de resolverlo es centrar la observación en la defensa delantera del auto y la defensa
trasera del camión en aproximación puntual y de ahí corregir.
Si tomamos como punto inicial la defensa delantera del auto, los datos son:
v0 = 32 km/h (rapidez inicial para los dos vehículos)
x0c = 12 m (posición inicial de la defensa trasera del camión con respecto a la delantera del auto)
vf = 56 km/h (rapidez final para el automóvil)
ℓa = 5 m (longitud del auto)
ℓc = 17 m (longitud del camión)
df = 12 m (distancia final entre la defensa delantera del camión y la delantera del auto)
Las ecuaciones de movimiento, para el auto son:
0
2
02
a
a
v t at v
atx t v t
Mientras que para el camión:
0 0
c
cx t v t x
Sabemos que al final del recorrido la distancia entre defensa delantera del auto y trasera del
camión es:
a f c f c f ax t x t d (1.1)
Y se debe cumplir que:
a f fv t v (1.2)
Sustituyendo las ecuaciones de movimiento para ambos vehículos en (1.1) queda:
2
0 0 02
f c
f f c f a
atv t v t x d
O bien:
2
02
f c
c f a
atx d (1.3)
E incorporando la ecuación para la rapidez del auto en (1.2),
0f fat v v (1.4)
De (1.4) el producto entre la aceleración y el tiempo de recorrido queda:
0f fat v v (1.5)
Y sustituyendo en (1.3),
0
02
f f c
c f a
v v tx d
(1.6)
Despejando el tiempo de recorrido:
0
0
2
c
c f a
f
f
d xt
v v
(1.7)
Y sustituyendo datos:
sh
km km km km km mh h h h h km
sm
17 m 12 m 5 m 12 m 46 m 23 m 23 m 3600 2 2
56 32 24 6 6 1000
323 m
513.8 s
ft
Y despejando la aceleración de (1.5),
0f
f
v va
t
(1.8)
Sustituyendo:
2
2 2
km km kmh h h skm km
h s h s h
mkmkm
h ss
kmh
h
m ms s
656 32 24 40 40
3600 13.8
260.87
100 0.483
20
s 13.8 s 23 23
40 1000
23 3600 7
a
300
II. Considera una pelota de béisbol de masa m. Ésta es lanzada a una velocidad v0 de manera
horizontal. Considera una fuerza constante debida al viento, Fv, perpendicular a la
dirección inicial del movimiento y a la fuerza de la gravedad.
a) Haz un esquema mostrando la referencia cartesiana (origen y ejes coordenados), la
masa en cuestión, las condiciones iniciales del movimiento y las fuerzas que
intervienen.
Z
Y
X
m
v0
g
Fv
b) Escribe claramente la expresión para la segunda ley de Newton en cada dirección.
NO las resuelvas.
Del diagrama tomamos:
0
z
x v
y
F mg
F F
F
O en notación vectorial:
ˆˆvF F i mgk
200
III. Si la fuerza actuante sobre un móvil en una dimensión tiene la forma: 100
cosF t A t
Con A y ω constantes, ¿cuáles son las ecuaciones que describen el movimiento de dicho
objeto si éste parte del origen estando en reposo?
RESPUESTA
Para la aceleración se tiene:
cosF t A
a t tm m
Expresado como derivada:
cosdv A
tdt m
Integrando de los dos lados:
0
0
0
0
0
cos
si
sin sin
n sin sin
v t t
t
t
t
Adv t dt
m
t t tA Av t
m
t tAv
m
tm
Expresando la rapidez como derivada:
0sin sint tdx A
dt m
Integrando de los dos lados:
0 0 0
00
0
0
0
0
0
0
sin sinsin sin
cos
cos cossin
sin
x t t t t
t t t
t t
tt
t tA Adx dt t dt t dt
m m
tAx t
t tAx t t t
m
t dtm
IV. Considera la gráfica en función del tiempo que se muestra.
d
t0
A B
a. Traza una gráfica cualitativa de la velocidad en función del tiempo. Explica tu
razonamiento al dibujarla.
En la gráfica se distinguen tres intervalos de tiempo en los que se puede dividir el
comportamiento del movimiento. Entonces tenemos: intervalo I, de 0 a A; intervalo II, de A a B,
e intervalo III, después de B.
Para el intervalo I, observamos una línea recta con pendiente positiva, el valor de esta
pendiente será el de su derivada a lo largo de todo el intervalo. Por lo tanto, cualitativamente,
podemos decir que en esta región la velocidad es positiva.
En el intervalo II, se observa una recta completamente horizontal, es decir que la posición
se mantiene constante conforme avanza el tiempo. La derivada de una constante es cero, así que
en esta región la velocidad es cero.
En el último intervalo se tiene una situación semejante al intervalo I pero con pendiente
negativa, aunque con la misma inclinación. Entonces se puede decir que la velocidad tiene la
misma magnitud que en el intervalo I, pero es negativa.
La gráfica que representa todo lo anterior se vería así:
v
t0
A
B
b. De igual manera, traza ahora una gráfica de la aceleración en función del tiempo.
En todos los casos el comportamiento es constante con respecto al tiempo, de modo que
en los tres intervalos NO hay aceleración. Una gráfica aceptable (y considerada como correcta)
para esta situación sería:
a
t0
A B
Sin embargo, observamos que sí hay cambio de velocidad, en los puntos A y B. Sobre estos
cambios podemos decir que ocurren instantáneamente, es decir, en un intervalo de tiempo igual a
cero. Como consecuencia eso significaría que la aceleración en esos dos puntos es infinita y
negativa. De manera que una gráfica matemáticamente más representativa tendría la forma:
a
t0
A B
c. ¿Cómo deben modificarse las tres gráficas para no violar el principio de
causalidad?
La gráfica de la distancia no debe tener puntos de quiebre, por lo que las esquinas deben ser
redondeadas:
La gráfica de la rapidez no debe tener discontinuidades, y las conexiones entre segmentos deben
ser suaves, entonces:
La gráfica de la aceleración debe ser la derivada de la rapidez. Un seguimiento cualitativo de la
pendiente de la gráfica anterior nos arroja que para la aceleración la gráfica es:
d. Propón una explicación para lo observado en los puntos A y B.
En el punto A se tiene un frenado instantáneo, el móvil deja de moverse súbitamente. En el
punto B el móvil adquiere cierta velocidad constante en la dirección de la cual provenía, sin
embargo esta adquisición de velocidad es drástica.
200
V. Un ciclista gana 37 minutos y 30 segundos en su recorrido si aumenta su velocidad en 5
km/h. Por otro lado, pierde 50 minutos si disminuye su velocidad en 5 km/h. ¿Qué
distancia recorrió? ¿En cuánto tiempo? ¿A qué velocidad?
RESPUESTA:
El ciclista recorre una distancia d en un tiempo t0 con una velocidad v0. La ecuación de
movimiento de esta situación es:
0 0d v t
Bajo las condiciones modificadas, esta ecuación quedaría:
kmh0 05 37 30d v t
y
kmh0 05 50d v t
Tenemos entonces un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas
Sustituyendo d de la primera ecuación en las otras dos se llega a;
kmh0 0 0 0
kmh0 0 0 0
5 37 30
5 50
v t v t
v t v t
Procedemos a resolver este sistema:
km kmh h0 0 0 0 0 0
km kmh h0 0 0 0 0 0
37 30 5 37 30 5
50 5 50 5
v t v t v t
v t v t v t
km kmh h0 0
km kmh h0 0
0 37 30 5 37 30 5
0 50 5 50 5
v t
v t
km kmh h0 0
km kmh h0 0
37 30 5 37 30 5
50 5 50 5
v t
v t
De la primera:
kmh0 km
h0
5 5
37 30
tv
Sustituyendo en la segunda:
km kmh h0 0
kmh0 km km km
h h h0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
50 5 50 5
5 5 50 5 50 5
37 30
5050 50
37 30
501 100
37 30
50 37 30 3
30
7 30 100
12.5 min 3750 min
3750 mi
0 m
n
12.5 mi
in
n
v t
tt
tt
t
t
t
t
t
Sustituimos este tiempo en el despeje de velocidad que obtuvimos antes:
kmh0 km
h0
kmh0
kmh0
k
kmh
mh0
0
kmh0
5 5
37 30
3001 5
37 30
300 37 305
37 30
262.5 min5
37.5 min
5
7 5
3
tv
v
v
v
v
v
Sustituyendo ambos datos en la ecuación de d:
0 0
kmh
1 h35 300 min
60 min
175 km
d v t
d
d
200
VI. Halla el valor del ángulo con respecto a la horizontal con el que debe lanzarse una pelota
para obtener el alcance máximo en la horizontal si la altura a la que cae es igual a la de
lanzamiento.
RESPUESTA:
La ecuación de Newton para este problema, en notación vectorial, es:
ˆF mgj
Y las condiciones iniciales:
0 0
0 0
0
0
ˆ ˆ ˆ ˆcos sin
0
0
x yv v i v j v i j
x
t
Esto conduce a las soluciones:
0 0 0
2 2
0 0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆcos sin
ˆ ˆ ˆcos sin2 2
a gj
v t gtj v v i v gt j
gt gtx t j v t v t i v t j
El alcance será la distancia recorrida en la horizontal desde el lanzamiento de la pelota hasta
que ésta vuelve a tocar el piso. Ponemos esta condición a la componente vertical para obtener
el tiempo de recorrido:
2
0
0
0
0
0
sin 02
sin 02
sin 02
sin2
2 sin
gtv t
gtt v
gtv
gtv
vt
g
Sustituimos este tiempo en la componente horizontal:
2
0 0
0 0
2 sin 2 sin coscos cos
v vv t v
g g
Si queremos conocer el valor del ángulo para que éste recorrido sea máximo entonces
tenemos que encontrar un θ0 que cumpla con:
0
2
02 sin cos0
vd
d g
Entonces:
0
0
0 0
2
0
0 0
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
0 0
2
0
2
0
0
0
0
2sin cos 0
sin cos 0
cos sinsin cos 0
sin cos 0
si
45
n cos
sin 1 sin
2sin 1
1sin
2
ra
1sin
2
1a csi
4
n2
d
r
v d
g d
d
d
d d
d d
200
VII. Un conductor viaja ebrio en su automóvil a 80 km/h con sus cuates. De repente, observa
algo que cruza la calle a 70 metros. Sabiendo que el tiempo de respuesta estando ebrio, es
decir, el tiempo necesario entre percibir algo y reaccionar, es de 1 segundo, ¿cuántos
metros viajará en su coche antes de empezar a frenar? Sabiendo que el vehículo necesita,
a esa velocidad, alrededor de 50 metros para obtener el alto total, ¿cuánto vale la
aceleración negativa (desaceleración)? Justifica con cálculos cómo terminó la escena.
Una persona sobria tiene un tiempo de respuesta menor a 0.5 segundos. Justificando con
cálculos, ¿qué habría sucedido si el aburrido de siempre, que no bebe, hubiera manejado?
RESPUESTA
El problema se divide en dos intervalos de tiempo. El primero es el tiempo de respuesta y el
segundo es el tiempo de frenado.
Para el primer intervalo, se tiene un MRU. Las ecuaciones de movimiento y condiciones
iniciales son:
0
0 0
kmh0
0
80
0
v t v
x t v t x
v
x
Sustituyendo el tiempo de respuesta en la ecuación de desplazamiento se tiene:
kmh
kmh
kmh
1 80 1
1 h 1000
1 22.2
m1 80 1 s
3600 s 1 km
1 h 1000 m1 80 1 s
3600 s 1
2 m
km
x
x
x
x
En el segundo intervalo, las ecuaciones de movimiento y condiciones iniciales son:
0
2
0 0
kmh0
0
0
2
80
1
a
v t at v
atx t v t x
v
x x
Sabemos que cuando x(t) = 50 m + x(1”) el auto ha frenado, es decir v(t) = 0. Por lo tanto
tenemos un sistema de dos ecuaciones en donde a y t son las incógnitas:
kmh
2
kmh
0 80
50 m 1 80 12
at
atx t x
Resolviendo para el tiempo en la primera ecuación:
kmh80
ta
Sustituyéndolo en la segunda:
2
kmh
2km km
h hkmh
2 2km km
h h
2km
h
50 m 80 2
80 80 50 m 80
2
80 80 50 m
2
80 50 m
2
att
a
a a
a a
a
Y despejando la aceleración:
2
2
2
2km
h
2km
h
2 2km
ms
h
80 2
50 m
80
100 m
6400 1000 m 1 h
100 m 1 k
4.9
m 3600 s
4
a
a
a
a
Dado que el recorrido total fue de 50 m + x(1”) ≈ 72.22 m, el auto chocó con lo que se
encontraba a 70 m y se pasó aproximadamente 2.22 m del punto de impacto.
El conductor sobrio reacciona en la mitad de tiempo, de modo que a velocidad constante
recorre la mitad de la distancia, es decir:
0.5 11.11 mx
Dado que la distancia de frenado es independiente del tiempo de respuesta, el auto de todas
formas recorre 50 m antes de quedar en alto total. Entonces la distancia total recorrida es:
0.5 50 m 61.11 mx
Por lo tanto, si el aburrido que no bebe hubiera estado al volante, el auto se hubiera
detenido a aproximadamente 8.89 m de aquello que cruzaba la calle.
Pero el hubiera no existe. Descanse en paz lo que sea que haya estado cruzando la calle.
200
VIII. Si un auto se mueve a campo traviesa con la velocidad dada por
3 ˆ ˆ0.8 4 16v t t i j , ¿Cuál es la expresión para su vector posición y cuál para su vector
aceleración? ¿Qué unidades te parecen razonables para cada constante en la expresión de
velocidad? ¿Por qué? Construye una gráfica de la trayectoria.
RESPUESTA:
Para el vector posición hay que integrar el vector velocidad, entonces:
0 0 0 0 0
0 0
4 42 20
0 0
3 3
4 2
4 42 20
0 0
4 4ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 4 165 5
4 ˆ ˆ4 165 4 2
ˆ ˆ2 1
ˆ ˆ2 1
65
65
x t t t t t
x t t t t
t t
t t
dx t t i j dt t dt tdt i dt j
t ti tj
t tx t x t t i tj
t tx t t t i tj x
Para el vector aceleración, hay que derivar el vector velocidad, entonces:
2 2
3 3 2 24 4 4 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 4 3 4 4
12 3ˆ
5
ˆ4 4
5 5
5
5
15
dv d d dt t i j t t i t i t i
dt d
a t i i
t dt d
t
t
Para ese orden de magnitud, es más razonable pensar que el auto se mueve en m/s que en
km/h, ya que con esta segunda unidad de velocidad se estaría moviendo muy lentamente. Con
unidades, el vector velocidad se ve:
4 2
3m m mss s
ˆ ˆ0.8 4 16 v t t i j
Noten que si el tiempo está en segundos, las unidades de cada componente se corresponden
con m/s.
Considerando que se parte del origen en t0 = 0, entonces el vector posición queda:
4
2 ˆ ˆ2 165
tx t t i tj
O en componentes:
4
2
16
25
y t t
tx t t
Despejando t de la componente en y:
16
yt
Y sustituyendo en la componente en x:
4 2 4 2 4 2
4 2 22
1 22
5 16 16 5 65536 256 327680 128
11
128 2560 128 2560
y y y y y yx
y y yy
Despejando y:
42
42
4 2
4 2
2
1
128 2560
1282560
2560 327680
2560 327680 0
2560 6553600 13107201280 1638400 327680
2
1280 327680 5 1280 1
1280
25
1 256
5
5
6
yy x
yy x
y y x
y y x
xy x
x x
y x x
t [s] x [m] y [m]
-10 2200 -160
-9 1474.2 -144
-8 947.2 -128
-7 578.2 -112
-6 331.2 -96
-5 175 -80
-4 83.2 -64
-3 34.2 -48
-2 11.2 -32
-1 2.2 -16
0 0 0
1 2.2 16
2 11.2 32
3 34.2 48
4 83.2 64
5 175 80
6 331.2 96
7 578.2 112
8 947.2 128
9 1474.2 144
10 2200 160
Noten que va sumamente rápido en la componente x, (2.2 km en 10 s) esto es un indicativo de
que probablemente las unidades escogidas no fueron las mejores. Una mejoría razonable sería
suponer que el 8 que multiplica a t3 en realidad tiene unidades de km/h
4. Eso disminuiría
significativamente la rapidez observada en esta componente
200
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
x [m]
y [m
]
