EPIDEMIOLOGIA DE LA INTEGRAL

PRESTANDO POR:

MAYRA QUINTERO ALONSO

KAREN OTALORA

INGENIERO.

JONNY BOLAÑOS

FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA

VALLEDUPAR-CESAR

23/04/2015

INTRODUCCION

Desde el principio, el ser humano ha tenido la necesidad de adquirir conocimiento, sin

importar de qué manera deba obtenerlo. Existen dos grupos de personas, las que sienten la

necesidad de resolver sus dudas, sin importar la cantidad de sacrificios que deba realizar, y

los que se esperan que el primer grupo resuelva las incógnitas que surgen a lo largo de su

vida. En el siguiente artículo se resaltara algunos de los personajes más importantes que ha

tenido la sociedad, esos individuos que se preocuparon por la generación futura y quisieron

aportar con sus conocimientos para que estos fueran los principios fundamentales de una

sociedad mas capacitada.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL.

Dar a conocer los orígenes de la integral.

OBJETIVOS ESPECIFICOS.

Motivar a generar cambios en la mentalidad del estudiante.

MARCO TEORICO.

La epistemología de la integral están compleja, que se hace necesario que antes de realizar

un análisis y intentar interpretar los sucesos, los pensamientos y sobre todos las acciones, el

lector tenga claro, concepto básicos como que es la geometría, derivada y todo tipo de

herramientas que le permita establecer una conexión con el siguiente artículo, y que sea

dicho conocimiento el que le permita entender, como todos los autores que serán

mencionados son un gran ejemplo de la frase célebre “la perfección se hace de

pequeñeces; y la perfección no es una pequeñez” (Miguen Ángel)

GEOMETRIA.

La geometría es una de las ramas de las matemáticas que se ocupa del estudio de las

propiedades del espacio como ser: puntos, planos, polígonos, rectas, poliedros, curvas,

superficies, entre otros.

Entre los varios propósitos que la originaron allá muy lejos en lo que era el Antiguo Egipto

se cuentan: la solución de problemas referidos a medidas, como la justificación teórica de

elementos de medición como el compás, el pantógrafo y el teodolito.

Aunque también con el tiempo y gracias a los avances que en su estudio se fueron

logrando, la geometría hoy es fundamento teórico de otras cuestiones como ser el Sistema

de Posicionamiento Global, más que nada cuando este está en combinación con el análisis

matemático y las ecuaciones diferenciales y asimismo también es muy útil y consultada en

la preparación de diseños tales como el dibujo técnico o para el armado de artesanías.

Como bien decíamos más arriba el nacimiento de esta disciplina se remonta al Antiguo

Egipto, la geometría clásica basada en axiomas que predominaba por esos días se valía del

compás y la regla para estudiar las distintas construcciones.

Como la geometría no es plausible de errores, es que se desarrollaron los sistemas

axiomáticos que proponían una disminución en el error y suponía un método sumamente

riguroso. El primer sistema axiomático llegó como no podía ser de otra manera con quien

hoy es considerado como el padre de la Geometría, el matemático griego Euclides.

Su obra Los Elementos recopila sus enseñanzas en el mundillo académico de ese entonces y

es una de las obras más conocidas y la que más vueltas le ha dado al mundo.

En esta, Euclides, plantea varios postulados y teoremas que incluso siguen vigentes hoy en

la enseñanza escolar, así que muchos de ustedes, si no se quedaron dormidos durante las

horas de geometría podrán reconocerlos.

Así que lo que citaremos a continuación y que varios lo reconocerán se lo debemos pura y

exclusivamente a Euclides: por dos puntos solo se puede trazar una línea recta, todo

segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente, todos los ángulos rectos son

iguales, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° y en un

triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos y podríamos seguir, pero no queremos sacarle protagonismo a la profe de

geometría. [1]

INTEGRAL

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la

operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función

Si F!(x) = f(x),  se representa 

A este grafo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación ∫ f x  dx se le llama integral

indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso

recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge

por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son

respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada. [2]

∫f x  dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x.

DERIVADA

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La

derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente

a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

ÁLGEBRA

 Es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea

números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El

término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe

que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.

El álgebra es el área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades.

La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo

operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la

aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular

leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el

desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades

que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a +

b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento

neutro (0). [4]

 EL CÁLCULO INFINITESIMAL.

El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales  constituye  una  parte  muy importante

de las matemáticas  modernas.  Es normal,  simplemente llamarlo cálculo.  El cálculo,

como algoritmo  desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de

los  límites, derivadas, integrales y  series infinitas.  Concretamente,  el cálculo infinitesimal

es el estudio del cambio, en la misma  manera que la geometría es el estudio del espacio.

 El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa

para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se

construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría  analítica  e  incluye   dos

campos  principales,   cálculo  diferencial  y  cálculo integral, que están relacionados  por 

el  teorema  fundamental  del  cálculo. En  matemática  más  avanzada, el cálculo es 

usualmente llamado  análisis  y  está  definido   como  el  estudio de  las funciones. 

Generalmente,  el  Cálculo puede referirse a cualquier método o sistema  de cuantificación

guiado por la manipulación simbólica de las  expresiones. [5]

“lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el océano”

(Isaac newton)

A principio del siglo XVII, en donde empieza a tomar vida el concepto de “calculo” se

generan unas problemáticas, sobre cómo se podía obtener la velocidad y la aceleración,

como obtener la tangente de una curva, cual es el máximo o mínimo de una función y

como identificar las longitudes de una curva. Los fundadores del cálculo, no contaban con

las herramientas para resolver estas incógnitas, ni tampoco comprendían la relación de este

tipo de problemas. [6]

Newton y Leibniz, fueron piezas fundamentales a la hora de convertir lo que durante

mucho tiempos fueron preguntas que jamás serian resueltas, en respuestas, que con el paso

del tiempo, nos harían comprender el funcionamiento, la explicación y hasta las ventajas de

cierto tipo de sucesos que acaecen en otros planetas. Fueron gracias a las ideas de estos dos

grandes personajes, que sus predecesores consiguieron crear nuevos métodos, para intentar

explicar el funcionamiento del mundo, es en este momento que se puede hablar de un

cálculo integral, a pesar de que los griegos, habían diseñado métodos para calcular área y

volumen estos no eran precisos, para ellos los números eran cocientes de enteros así que la

recta numérica tenia ‘hoyos’ y aunque intentaron usar longitudes áreas y volúmenes no

tuvieron ningún resultado exacto.[8]  Zenón de Elea, aproximadamente en el año 450

genera una nueva teoría de problemas que estaban basados en el infinito que consistía en

que Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto

medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto

medio B2 de AB1. Que argumenta que se debido a que A debe moverse a través de un

número infinito de distancias, en realidad no puede moverse.

“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico”

(Leonard Euler)

Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que

Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. [9] El método se llama exhaustivo ya

que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más

del área requerida.

Arquímedes sin duda alguna es uno de los autores del cálculo más importantes en una de

sus muchas carta a Dositheus obra que actualmente es conocida como sobre de la

cuadrada de la parábola intenta descifrar la cuadratura de un segmento de la parábola.

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y,

en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco

de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación

extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre,

fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para

expresar números muy largos. [7]

“dadme un punto de apoyo, y moveré el mundo”

(Arquímedes)

Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo.

Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados

de π.

A pesar de muchos intentos, fue gracias el trabajo de Arquímedes en donde empiezan a

verse resultados concretos.

El cálculo no nace como requisito para poder aprobar una asignatura, semestre o incluso

ejercer una carrera, más bien surge para que se pueda facilitar la vida del individuo de

manera concreta, este es el caso de Kepler, quien empieza solucionar problemas de

volúmenes porque es consiente que los métodos usados no eran precisos, y este notaba la

problemática que existía a el momento de obtener el volumen de los vinos.

Razonamiento para mostrar que el área de la curva tiempo-velocidad es la distancia.[10]

Todos estos grandes autores tienen un tipo de conexión y un único objetivo, facilitar la vida

del hombre, una mejor compresión del mundo, Bonaventura Cavalieri fue un discípulo de

Galileo quien siempre resalto que “las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha

escrito el universo”” Galileo ejerció una gran influencia en el, lo que conllevo a que este se

interesara de manera especial por problemas de cálculo, que lo llevo tiempo después a

publicar geometría superior mediante un método bastante desconocido, los indivisibles de

los continuos.

Texto que tuvo tanto impacto que en 1634, Roberval utilizo este método para obtener el

área encerrada bajo un arco de cicloide, un problema que 5 años atrás Mersenne había

llamado su atención en 1692, y al que Roberval denomino “método de las infinidades”.

Gracias a Arquímedes y su ingenioso argumento, se logra descubrir que el área del

segmento de la parábola desde x=0 hasta x=T es igual a (1/3)^3, que como bien sabemos es

la integral de 0 a T de la función x^2 que es la función que define una parábola.

Entre el siglo XVII Y XVIII surgen dos personajes que como mencionábamos a el

principio de este artículo, habían adoptado la solmene idea de dar fin a la problemática de

los antiguos griegos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz, no tuvieron la oportunidad de

conocerse personalmente, pero si tenían un contacto por medio de correspondencia y solo

existía entre ambos una relación de competitividad, lo que ocasiono que cada uno de estos

inventara su propia versión del cálculo. Pero como en toda sociedad retrograda y bañada de

elitismo, solo uno de los dos podía quedarse con el crédito de lo que fue un avance

importante en el desarrollo de la sociedad, Leibniz fue culpado de plagio, lo que lo

sumergió en una depresión que lo llevo hasta la muerte. Al principio eran usadas las teorías

de Newton para el cálculo, basada en límites de razones, pero tiempo después fueron la

nociones del cálculo de Leibniz las que hoy en día usamos para las integrales.

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos

para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al

mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos

Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría

descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la

mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de

números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría

analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le

valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas

fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler

escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir

para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos

para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió

para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del

cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en

los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el

concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con

el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo

posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se

había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía

un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar

nuevos procedimientos. [11]

Unos de los problema mas importante en el siglo XIV fue definir el significado de la

palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones,

pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos

actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y

apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó

su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución

planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición

de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán

Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los

matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al

mismo tiempo.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las

técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de

los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto

de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis,

desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro

importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones

trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las

aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de

números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada.

Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto

constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo

anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino

de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.

Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera

causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al

estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo

XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes

del pensamiento (1854).

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la

medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo

sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el

matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las

ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser

las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas

fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio

un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las

matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de

los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la

teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador

permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido

resolver anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.

Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas

y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros

siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la

matemática más abstractas encuentra aplicación.

ESTÁS VIENO HISTORIA DE LA CIENCIA

 

REFERENCIAS

[1] http://www.definicionabc.com/general/geometria.php#ixzz3Y9eqoXao

[2] http://www.calculointegrales.com/p/concepto-de-integral.html

[3]http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/

Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm

[4] http://definicion.de/algebra/

-Carl B. Boyer : Historia de la matemática.

Morris Kline : El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Vol. I.

Pedro Miguel González Urbaneja: Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo

XVII

[5] http://edumatth.weebly.com/el-caacutelculo-infinitesimal.html

[6] https://www.uam.es/personal_pdi/.../El_origen_de_la_ integral .doc

[7] http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes

[8] http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm

[9] http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/historia.html

[10]https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?

qid=20100208082914AA2Bw4p

[11] http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

CONCLUSION.

La diversidad del cálculo es muy amplia, es tan compleja, que se hace necesario

conocer la historia, los fundamentos y ideales que llevaron a nuestros autores, a

tomar la decisión de desarrollar y resolver estos problemas. A pesar de que no

existan fechas exactas ni métodos iguales que llevaran a que se forme lo que hoy

conocemos como integrales, se puede enaltecer la labor de estos personajes, que sin

contar con la herramientas, ni el apoyo de su pueblo, decidieron todo lo posible, para

que el futuro la raza humana, tuviera la capacidad de resolver cualquier problema.

ABSTRAC

The diversity of calculation is very wide, is so complex, it is necessary to know the

history, rationale and ideals that led to our authors, to make the decision to develop

and solve these problems. Although there are no exact dates nor the same methods

that lead to that form what is now known as integral, can they praise the work of

these characters, without the tools or the support of his people, decided everything

possible, so that the future human race, have the ability to solve any problem.