Zadaca 1

Σ notacija. Binomni poucak. Matematicka indukcija.

1. Upotrebom Σ notacije zapisite sljedece jednakosti i dokazite ih matematickom indukcijom:

(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2,

(b) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =n2(n + 1)2

4,

(c) 12 − 22 + 32 − · · ·+ (−1)n−1 · n2 = (−1)n−1 · n(n + 1)

2.

2. Zapisite sljedece jednakosti bez upotrebe Σ notacije te ih dokazite matematickom indukcijom:

(a)

m∑j=1

2j = m(m + 1), (b)

n∑i=1

1

(4i− 3)(4i + 1)=

n

4n + 1,

(c)

n∑k=1

k

2k= 2− n + 2

2n.

3. Pomocu binomnog teorema raspisite i sredite sljedece izraze:

(a)(√

x + x√y)5

(b)(5− 2n

)44. Zadan je binom

(3√x2 + 1√

x

)16.

(a) Odredite peti clan u razvoju tog binoma.

(b) Odredite clan u razvoju tog binoma koji ne sadrzi x.

5. Izracunajte u maximi sljedece sume:

(a)39∑

k=20

1

k2, (b)

80∑j=50

(−1)j

j, (c)

500∑n=2

(n

2

),

(d) 1! + 2! + 3! + · · ·+ 49! + 50!,

(e) sumu prvih 1000 prirodnih brojeva koji pri dijeljenju s 3 daju ostatak 1.

6. Pomocu maxime razvijte izraz(√

x +√y)20

+(√

x−√y)20

.

1

7. Pomocu maxime odredite formule za sljedece sume:

(a)1

6+

1

12+

1

20+ · · ·+ 1

n2 + 3n + 2=

(b) 15 + 25 + 35 + · · ·+ n5 =

(c) 18 + 28 + 38 + · · ·+ n8 =

(d) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2) =

Bodovanje zadace. Iz zadace je moguce dobiti maksimalno 2 boda na sljedeci nacin:

Rucno rijeseni zadaci na papiru (1., 2., 3., 4.) 1 bod

Zadaci rijeseni u maximi (5., 6., 7.) 1 bod

• Rucno rijeseni zadaci moraju biti uredno napisani na papiru. Rucno rijesene zadatke donosite nakonzultacije, a zadatke rijesene u maximi predajete na moodle tako da predate maxima datoteku.

• Prilikom donosenja zadataka na konzultacije, trebate biti spremni na moguca pitanja kako sterijesili odredeni zadatak, bilo rucno na papiru ili u maximi.

• Ukoliko imate u planu rjesavati obje vrste zadataka (zadatke za rucno rjesavanje i zadatke zamaximu), nemojte na konzultacije donositi rucno rijesene zadatke prije nego sto na moodle predatemaxima datoteku.

• Ako planirate rjesavati samo zadatke vezane uz maximu, nakon sto predate datoteku na moodletrebate takoder doci na konzultacije da objasnite kako ste zadatke rijesili u maximi.

2