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Entwurf und Simulation von Makromodellenzur transienten Simulation

von thermo-elektrischen Kopplungenin einem Netzwerksimulator

Ralph Schacht

Berlin 2002

D 83

Entwurf und Simulation von Makromodellenzur transienten Simulation

von thermo-elektrischen Kopplungenin einem Netzwerksimulator

von Diplom-Ingenieur

Ralph Schacht

aus Berlin

von der Fakultat IV - Elektrotechnik und Informatik

der Technischen Universitat Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktor der Ingenieurwissenschaften

- Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation.

Promotionsausschuß:

Vorsitzender: Prof. Dr.Ing. H. Henke

1. Berichter: Prof. Dr.-Ing. Dr. E.h. H. Reichl

2. Berichter: Prof. Dr.-Ing. M. Kasper

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 15.Juli 2002

Berlin 2002

D 83

Danksagung

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Lehrassistentenzeit als wissenschaftlicher

Mitarbeiter am Forschungsschwerpunkt Technologien der Mikroperipherik an der Techni-

schen Universitat Berlin.

Herrn Prof. Dr.Dr. Herbert Reichl danke ich fur die Uberlassung des Themas, sein stetes

Interesse und die fachlichen Anregungen.

Herrn Prof. Dr. Manfred Kasper gilt mein besonderer Dank fur die Ubernahme des Kore-

ferats, der immer Zeit fur mich hatte und durch seine großzugige Unterstutzung, fachliche

Kritik, sowie durch seine aktive Betreuung maßgeblich die Struktur meiner Arbeit beein-

flusst hat.

Herrn Prof. Dr. Heino Henke danke ich fur die Mitarbeit im Promotionsausschuß.

Ich mochte mich bei allen Kolleginnen und Kollegen bedanken die direkt und indirekt

zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben, fur das gute Arbeitsklima, die Sympathie

und den großen Teamgeist. Gerne erinnere ich mich an die vielen, nicht nur fachlichen,

Diskussionen mit Herrn Olaf Wittler, Herrn Jurgen Keller, Herrn Habib Badri Ghavifekr

und besonders Herrn Bernhard Wunderle in unserem ’philosophischen Quintet’, sowie den

Austausch mit Herrn Dr. Eckart Hoene und Herrn Dr. Gerhard Fotheringham, welche mir

immer wieder Hilfe und Antrieb waren die Arbeit zu Ende zu bringen.

Eine große Unterstutzung bedeutete mir sowohl der regelmaßige Austausch uber meine

wissenschaftliche Arbeit in der von Dr. Rainer Strotmann geleiteten Studiengruppe mit

Frau Stefanie Rosenmuller, Frau Ute Riechers, Frau Stefania Gerosia, Herrn Matthias

Rudlof, Herrn Rudiger Singer und Herrn Dr. Wolfram Dienel, als auch der Austausch

mit Herrn Dr. Jurgen Franz, welche mir immer wieder Ruckhalt auf dem langen Weg der

Dissertation gaben.

In besonderem Maße danke ich meiner Lebensgefahrtin Anke Kopek, die in allen Phasen

zu mir gehalten und mich in meiner Arbeit in Form von Korrekturlesen und wo es moglich

war, tatkraftig unterstutzt hat.

Berlin, im August 2002 Ralph Schacht

i

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde eine Methode vorgestellt, welche die Beschreibung und

Simulation von thermo-elektrischen Kopplungen wahrend des Design-Prozesses mittels Ma-

kromodellierung unterstutzt. Das Makromodell ist fur den Einsatz in dem Schaltungssi-

mulator PSpice zugeschnitten. Es ermoglicht die rechenzeiteffiziente transiente Simulation

zwischen thermo-elektrisch gekoppelten Komponenten eines komplexen Mikrosystems.

Mit der steigenden Komplexitat von Mikrosystemen bei geringeren geometrischen Dimen-

sionen machen sich zunehmend lokal begrenzte transiente Wechselwirkungen zwischen den

physikalischen Großen bemerkbar, die bisher nur global Auswirkungen auf die Funktiona-

litat hatten. So rucken in Folge der Miniaturisierung auch die elektronischen Bauelemente

einer Baugruppe auf eine thermisch ’sichtbare’ und damit funktional relevante Distanz

zusammen. Dabei kommt es, aufgrund thermischer Kopplungen, zunehmend zu einer ge-

genseitigen Beeinflussung des transienten elektrischen Verhaltens der benachbarten Bau-

elemente untereinander. Zur Untersuchung und Optimierung elektronischer Baugruppen in

Hinsicht auf thermo-elektrische Kopplungen wird deshalb eine geeignete Systembeschrei-

bung und Simulationsumgebung notig, die entsprechend dem Verhalten der physikalischen

Großen unter den gegebenen Randbedingungen eine moglichst speichereffiziente Modellie-

rung bzw. ein gunstiges Verhaltnis zwischen Simulationszeit und Genauigkeit unterstutzt.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde zunachst eine fur die Problemstellung geeignete System-

beschreibung diskutiert und ausgewahlt. Hierbei stellten sich Makromodelle zur System-

beschreibung thermo-elektrischer Kopplungen als am geeignesten heraus. Das thermische

Systemverhalten lasst sich, bezuglich des Simulationsaufwands, am effektivsten durch ein

Blackbox-Modell beschreiben, wahrend sich das elektrische Verhalten am gunstigsten durch

ein Glassbox-Modell abbilden lasst.

Fur die Modellierung und Simulation des thermischen und elektrischen Systemverhaltens

wurde aus der Notwendigkeit, das elektrische Verhalten in Abhangigkeit von dem transien-

ten thermischen Verhalten des Aufbaus zu untersuchen, ein Schaltungssimulator verwendet,

der die Makromodellierung mittels konzentrierter Bibliothekselemente unterstutzt.

Das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren zur Blackbox-Makromodellbeschreibung stutzt

sich auf die transienten Simulationsergebnisse eines thermischen Mikromodells. Ein Feld-

simulator berechnet, in Abhangigkeit von den Materialeigenschaften nach den jeweils vor-

gegebenen außeren Randbedingungen, die Temperaturverteilungen bzw. den transienten

Warmefluss des Mikromodells. Von den gewonnenen Simulationsergebnissen werden nur

noch die transienten Temperaturverlaufe in einem vorher definierten Ort zur weiteren Mo-

ii

dellierung weiterverarbeitet. Der Vorteil des Verfahrens ist, dass die Losungen der partiellen

Differentialgleichungen des Feldsimulators in ein System von gewohnlichen Differentialglei-

chungen uberfuhrt werden und somit fur die Beschreibung des thermischen Ubertragungs-

verhaltens im Zeitbereich zur Verfugung stehen. Unter Berucksichtigung systemtheoreti-

scher Grundlagen wird das thermische Ubertragungsverhalten mittels einer Funktionsap-

proximation in ein Blackbox-Makromodell uberfuhrt.

Die Funktionsapproximation beruht auf einer Linearkombination von Basisfunktionen.

Hierfur wurden zwei Basisfunktionssysteme (Exponentialfunktion, Laguerre-Funktion), in

Bezug auf den Abbildungsaufwand im Schaltungssimulator und der Genauigkeit bei der

numerischen Bestimmung der Modellparameter, untersucht. Fur letzteres wurden drei Ap-

proximationsverfahren (Least Square, Singular Value Decomposition (SVD), Prony) heran-

gezogen. Fur die numerische Untersuchung wurden mehrere typische Temperaturverlaufe

betrachtet. Die Untersuchung ergab, dass fur eine Modellierung und rechenzeiteffiziente

transiente Simulation thermischer Ausgleichsvorgange, das SVD-Verfahren zur Bestim-

mung der Modellparameter unter Verwendung der Exponentialfunktion (ExpDecay) am

geeignetsten ist.

Das vorgestellte Verfahren wurde exemplarisch an einem IGBT-Modul erprobt, das in

einem 3-Phasen-Wechselrichter in Bruckenschaltung betrieben wird. Es wurde die Model-

lierung der notwendigen thermischen Mikro- und Blackbox-Modelle und des elektrischen

Glassbox-Modells und deren transiente thermo-elektrisch gekoppelte Simulation gezeigt.

Mit der Simulation wurde es moglich relevante thermische Kopplungen, in Bezug auf eine

gegenseitige Beeinflussung der Komponenten in Anbetracht ihres elektrischen Verhaltens

untereinander, fur typische Schaltfrequenzen zu untersuchen.

Der Hauptvorteil des Verfahrens liegt darin, dass die Simulation des thermischen Ver-

haltens sich nicht mehr nur auf Teilbereiche wie beim Feldsimulator beschranken muss,

sondern durch Verwendung von kompakten Makromodellen eines Netzwerksimulators eine

rechenzeiteffiziente Untersuchung des Systems als Ganzes moglich macht.

Die vorliegende Arbeit zeigt die Systematik zur Modellierung und transienten Simulation

von thermo-elektrischen Kopplungen. Die gewonnenen Erkenntnisse unterstutzen den Sy-

stemdesigner sowohl beim Entwurf in Bezug auf die Verfeinerung der geometrischen, ther-

mischen und elektrischen Großen als auch bei der Optimierung des Systemverhaltens. Es

zeigte sich zudem, dass mit dem vorgestellten Ansatz nicht nur thermische Ausgleichspro-

zesse beschrieben werden konnen, sondern diese sich auch auf andere physikalische Großen

anwenden lassen, was das Verfahren auch fur einen erweiterten Anwendungsbereich zur

transienten Simulation nutzbar macht.

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung i

1 Einleitung 1

1.1 Mikrosystemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Systembeschreibung und Modelle 7

2.1 Grundlegende Uberlegungen zur Systembeschreibung und zum Simulations-

ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Modellentwicklungsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Mikroebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Makroebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Modellbeschreibungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Modellbeschreibungsverfahren der Mikroebene . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1.1 Finite Differenzen Methode (FDM) . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1.2 Finite Elemente Methode (FEM) . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1.3 Boundary Element Methode (BEM) . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1.4 Fourier Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Modellbeschreibungsverfahren der Makroebene . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2.1 Glassbox-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2.2 Blackbox-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Kriterien fur die Wahl des geeignetsten Modellbeschreibungsverfahrens 17

3 Wahl der Entwurfs- und Simulationsumgebung in Hinblick auf thermo-elektrische Kopplungen 19

3.1 Systemsimulation durch Simulatorkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Systemsimulation auf der Basis eines Simulators . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Kriterien fur die Wahl des Analogsimulators zur Systemsimulation thermo-

elektrischer Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

4 Blackbox-Modellentwurf zur Beschreibung von Diffusionsprozessen in ei-nem Netzwerksimulator 27

4.1 Systemidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.1 Lineare kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Funktionsidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Lineare Approximation im Sinne der Methode der kleinsten Fehler-

quadrate (LS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Direkte Losung des uberbestimmten Gleichungssystems

(SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Untersuchung geeigneter Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Laguerre Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.2 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2.1 Linear abhangige Zeitkonstanten . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.2.2 Linear unabhangige Zeitkonstanten (Prony-Reihe) . . . . . 47

5 Makromodelle fur thermische Ausgleichsvorgange zur Simulation in ei-nem Netzwerksimulator 51

5.1 Glassbox-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Modell fur einen Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.2 1D-Modell fur einen 3D-Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Blackbox-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Modell mit RC-Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.2 Modellgenerierung mittels Linearkombination von Basisfunktionen . 65

5.2.2.1 Modellentwurf mittels modifizierter Laguerre-Polynome . . 66

5.2.2.2 Modellentwurf mittels Polynomen basierend auf der Expo-

nentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Vergleich der Basisfunktionen und Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . 73

6 Makromodell Generierung und Verifikation anhand des Beispiels einesIGBT-Moduls 91

6.1 Makromodell Generierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1.1 Elektrisches Teilverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.2 Thermisches Teilverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1.3 Transientes, gekoppeltes thermo-elektrisches Modell . . . . . . . . . 99

6.2 Verifikation der Makromodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1 Elektrisches Makromodell-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

INHALTSVERZEICHNIS v

6.2.2 Thermisches Makromodellverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.2.1 Einfluss von Substratschichtdicke, Geometriedaten und Warme-

ubergangskoeffizienten auf das Temperaturkoppelverhalten 107

6.2.3 Transientes, gekoppeltes thermo-elektrisches Modellverhalten . . . . 111

7 Anwendungen in der Mikrosystemtechnik 117

7.1 Optisches Mikrosystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2 Allgemeine Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A Anhang 127

A.1 Ubertragung des Ansatzes von Prony auf die Z-Transformation . . . . . . . 127

A.2 Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 130

A.3 Transformations Korrespondenzen der Z-Transformation . . . . . . . . . . 131

A.4 Aktive und passive Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.5 Beispiel: RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.6 OpV-Schaltungen/ Analogrechnertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.7 3D-Modell fur einen 3D-Aufbau (Teildiskretisiert) . . . . . . . . . . . . . . 137

A.8 Bestimmung der Modellparameter fur einen Asynchronmotor . . . . . . . . 140

A.9 Pspice-Beschreibung fur einen IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Literatur 143

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Mikrosystemtechnik

Mit der Mikrosystemtechnik haben sich neuartige Anwendungsgebiete und eine Vielzahl

neuer Aufgabenstellungen eroffnet. Als treibende Kraft fur weitere Forschungsaktivitaten

und Anwendungen wirkt neben der eigentlichen Miniaturisierung, die Erhohung der Funk-

tionalitat und Zuverlassigkeit der Produkte bei geringeren geometrischen Abmessungen.

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Abb. 1.1. Beispiele fur Mikrosystemtechniken.

Zum Beispiel werden in der Medizintechnik durch Einsatz von modernen Mikrotechniken

(Mikroelektronik, Mikromechanik, Aufbau- und Verbindungstechniken) intelligente, bela-

1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

stungsgekoppelte Herzschrittmacher hergestellt. Weitere Beispiele fur mikrosystemtechni-

sche Losungen finden sich u.a. im Bereich Verkehrstechnik, Umwelttechnik, Maschinenbau

und im Fahrzeugbau. Hier dient beispielsweise der kombinierte Einsatz von Sensoren und

Aktoren der Verbesserung der Sicherheit (ABS, Airbag). Mit den Anwendungsgebieten

steigen aber auch die Anforderungen an die Transparenz der Systeme [BMF93]. Die immer

komplexeren Mikrosysteme entstehen durch Kombination verschiedener Mikrotechniken

(Mikromechanik, Mikrofluidik, Elektrooptik) mit Baugruppen der Mikro- und Leistungs-

elektronik. Charakteristisch ist hierbei die Kombination von Baugruppen mit elektronischer

und nicht elektronischer Funktionalitat (Abbildung 1.1).

1.2 Motivation

Rechnergestutzter Entwurf

Mit der steigenden Komplexitat und Funktionalitat von Mikrosystemen treten Wechselwir-

kungen zwischen den physikalischen Großen (thermisch, elektrisch, mechanisch, optisch, ...)

auf, die bisher fur das Systemverhalten nicht relevant waren. Es wird daher notwendig das

Systemverhalten eines Mikrosystems im Vorfeld der Entwicklung, aber auch in Hinblick auf

die Analyse eines Systems im laufenden Betrieb, durch ein geeignetes Simulationsmodell

beschreiben zu konnen. Da sich das Gesamtsystemverhalten eines Mikrosystems aufgrund

der o.g. Komplexitat nur schwer in einem alle Systemfunktionen umfassenden Simulati-

onsmodell beschreiben lasst, werden die einzelnen Mikrosystemkomponenten durch Teilm-

odelle modelliert. Mit der Aufteilung der Gesamtfunktion in ihre Teilfunktionen bezuglich

der verschiedenartigen physikalischen Zusammenhange und Wechselwirkungen lasst sich

das Gesamtsystem durch verschiedene geeignete verkoppelte Teilmodelle beschreiben. Die

Modellbeschreibung bedingt eine geeignete Entwurfsumgebung, welche die aufwendige und

kostenintensive Mikrosystementwicklung unterstutzt und die eine Ubersicht wahrend des

Entwurfs auf das komplexe Entwicklungsproblem ermoglicht.

Die Entwurfsumgebung sollte den Entwickler in die Lage versetzen, ein Mikrosystem auf

seine Systemfunktionalitat hin simulieren und vor allem optimieren zu konnen. Die Modell-

beschreibung und Simulation eines komplexen Mikrosystems bereitet aber großere Proble-

me. Das physikalisch komplexe Verhalten der benotigten Mikrosystemkomponenten lasst

sich i.d.R. extrem aufwendig modellieren. Bei der Modellbeschreibung werden oft enorme

Rechnerkapazitaten gebunden, die lange Simulationszeiten zur Folge haben. Desweiteren

fehlt noch immer eine standardisierte allgemein anwendbare Simulationsumgebung fur Mi-

krosysteme (Kapitel 3).

1.2. MOTIVATION 3

Als Folge steigender Komplexitat nehmen die thermischen Wechselwirkungen zunehmend

einen nicht mehr zu vernachlassigbaren Einfluss auf das funktionale Verhalten in Mikro-

systemen [SP97]. So lassen sich Veranderungen des Funktionsverhaltens oder gar Ausfalle

von Gesamtsystemen zunehmend auf thermische Wechselwirkungen zuruckfuhren. Dafur

konnen vor allem zwei Arten thermischer Einflusse fur die Ausfalle verantwortlich gemacht

werden.

Hierbei handelt es sich zum einen um thermo-mechanische Wechselwirkungen, die bei der

Montage und Herstellung der Komponenten, z.B. bei Multi-Chip-Modulen auftreten. Zum

anderen um thermo-elektrische Wechselwirkungen, welche durch die im Betrieb auftre-

tende Betriebstemperatur verursacht werden. Wesentlich wirken sich die zweit genannten

Wechselwirkungen auf die Funktionalitat des Systems aus. So kann es, z.B. bei einem elek-

trischen Bauteil, zu einer zusatzlichen Temperaturerhohung infolge der betriebsbedingten

Erwarmung einer anderen, sich in unmittelbarer Nachbarschaft befindlichen Mikrosystem-

komponente kommen. Die zusatzlich auftretende Bauteilerwarmung kann somit eine nicht

erwunschte Veranderung des elektrischen Funktionsverhaltens des Bauteils zur Folge ha-

ben. Zusatzlich zu der Beeinflussung des Funktionsverhaltens der benachbarten Bauteile

kann es ebenfalls beim verursachenden Bauelement zu Funktionsanderungen kommen.

Mit der Miniaturisierung kommt es somit in zunehmendem Maße zu einer thermo-elektrisch-

en Abhangigkeit von den warmeverursachenden Bauelementen. Die Bauelemente rucken

sozusagen auf einen thermisch sichtbaren Bereich zusammen.

Je nachdem, ob die durch thermische Wechselwirkungen hervorgerufenen Anderungen des

funktionalen Verhaltens einer Komponente unbeabsichtigt oder erwunscht auftreten, lassen

sich diese Wechselwirkungen als parasitare oder funktionale Kopplungen klassifizieren (Ab-

bildung 1.2). So werden unbeabsichtigte Funktionsbeeintrachtigungen, wie das Verschieben

von Arbeitspunktkennlinien bei Transistorschaltungen oder der Schwellwertspannung eines

MOS-Transistors, infolge einer betriebsbedingten Erwarmung den parasitaren Kopplungen

zugeordnet. Funktionale Kopplungen werden hingegen jenen zugeordnet, bei denen eine

geregelte Erwarmung, z.B. durch einen benachbarten Heizwiderstand benotigt wird, um

das Funktionsverhalten steuern zu konnen (Thermo-optischer Schalter).

Beim Entwurf von Mikrosystemen interessiert, neben der Untersuchung der funktionalen

Kopplungen, auch die der parasitaren Kopplungen. Diese parasitaren Kopplungen basieren

in mikroelektronischen Aufbauten, wie oben schon erwahnt, i.d.R. auf thermo-elektrischen

Wechselwirkungen der elektronischen Bauteile untereinander [GZ99]. Da die Bauteile im-

mer dichter als ungehauste Chips (dice) auf einem thermisch gut leitendem Trager (Sub-

strat) montiert (gebondet) werden, kommt es als unmittelbare Folge der Miniaturisierung


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Abb. 1.2. Klassifizierung von thermischen Wechselwirkungen in Mikrosystemen infol-ge kleinerer geometrischer Abmessungen.

zu einer steigenden Warmedichte und somit zu einer Erhohung der Gesamterwarmung

des Mikrosystems. Hierbei sind Warmedichten bis zu 1 kW/cm2 moglich. Herkommliche

Kuhlungsmethoden, wie naturliche oder forcierte Konvektion reichen dann oft nicht mehr

aus. Es mussen andere, aufwendigere Kuhltechniken wie z.B. Wasserkuhler eingesetzt wer-

den [HR98] [RH98].

Zusatzlich zu der quasistatischen Gesamterwarmung des Mikrosystemaufbaus uberlagern

sich dynamische, lokal abhangige Erwarmungen. Diese zeitabhangigen Hotspots hangen

vom jeweiligen elektrischen Schaltverhalten der aktiven Bauelemente ab. Diese zeitabhangig

auftretenden, parasitaren thermischen Wechselwirkungen werden im Folgenden als tran-

siente thermo-elektrische Kopplungen bezeichnet. In Abbildung 1.3 sind beispielhaft zwei,

per Feldsimulation ermittelte, durch thermische Kopplung entstandene Temperaturverlaufe

dargestellt. Sie zeigen die zusatzliche Erwarmung ∆T uber der Zeit t in Abhangigkeit von

der Entfernung zur aktiven Komponente (Warmequelle).

Um nun bei dem Entwurf und der Optimierung eines Mikrosystems, hinsichtlich der redu-

zierten geometrischen Abmessungen und der daraus resultierenden Veranderung des tran-

sienten Funktionsverhaltens, die transienten thermo-elektrischen Kopplungen miteinbezie-

hen zu konnen, werden geeignete dem jeweiligen Problem angepasste Modellbeschreibungen

benotigt [Fra99]. Das Modell muss dabei sowohl die transienten elektrischen und thermi-

schen Eigenschaften der Bauelemente als auch die transienten thermischen Eigenschaften

des physikalischen Unterbaus des Mikrosystems berucksichtigen. Zusatzlich wird von den

Simulationsmodellen gefordert, dass bei einer abschließenden Synthese des Gesamtsystems

das transiente funktionale Gesamtverhalten moglichst zeiteffizient untersucht werden kann.

1.3. ZIEL DER ARBEIT 5

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Abb. 1.3. Die zeitliche Anderung der Temperatur in den Beobachtungspunkten istabhangig von der Lage zur Warmequelle.

Die Schwierigkeit transiente thermo-elektrische Kopplungen messtechnisch mittels Ther-

mographie zu ermitteln, ist eine zusatzliche Motivation die transienten Kopplungen durch

Modelle zu beschreiben. Unter Ausnutzung physikalischer Großen, wie die der tempera-

turaquivalenten Spannung (kTe

) der Diodenstromgleichung, lasst sich das transiente Tem-

peraturverhalten zwar bestimmen, allerdings nur indirekt uber eine sich in unmittelbarer

Nahe zum aktiven Messpunkt befindlichen Diode, was technologisch oft nur schwer oder

gar nicht moglich ist.

1.3 Ziel der Arbeit

Das Ziel dieser Arbeit liegt in der Entwicklung einer Entwurfsmethode, mit der eine

hinreichende Modellierung und Vorhersage transienter thermo-elektrischer Kopplungen

ermoglicht werden soll.

In Hinblick auf das gunstigste Verhaltnis zwischen optimaler Modellbeschreibung tran-

sienter physikalischer Wechselwirkungen (elektrisch, thermisch, mechanisch, optisch) und

Simulationszeit, ist eine geeignete Entwurfs- und Simulationsumgebung auszuwahlen.

Fur eine rechenzeiteffiziente Modellbeschreibung der transienten Koppelverhalten werden,

auf die jeweiligen physikalischen Problemstellungen bezogen, geeignete Modelle benotigt,

die zum einen eine gekoppelte Simulation ermoglichen und zum anderen eine automatische

Generierung der Modellparameter unterstutzen. Fur die Modellparameterextraktion sind

deshalb geeignete numerische Verfahren zu untersuchen und zu charakterisieren.

Das Entwurfsverfahren soll letztendlich einen Beitrag zur Systemoptimierung hinsichtlich

der geometrischen Abmessungen unter Berucksichtigung der zeitabhangigen elektrischen


und thermischen Großen liefern.

Kapitel 2

Systembeschreibung und Modelle

Um in der Entwurfsphase ein Mikrosystem auf seine Funktionalitat hin untersuchen zu

konnen empfiehlt es sich in Abhangigkeit von der Komplexitat des Mikrosystems, dieses in

seine Systemkomponenten zu zerlegen und die Funktion der einzelnen Komponenten durch

Modelle zu beschreiben [MK96]. Die Vorgehensweise erscheint sinnvoll, da meist schon die

Funktion der partionierten Komponenten aufgrund ihrer physikalischen Struktur so kom-

plex ist, dass bereits diese nur durch aufwendige mathematische Modelle beschreibbar

sind. Da die Funktionen der Systemkomponenten verschiedenster physikalischer Art sein

konnen, bedarf es entsprechender Werkzeuge (Simulatoren) mit denen sich, unter Beruck-

sichtigung der Komplexitat der jeweiligen Systemkomponente, diese moglichst rechenzeit-

und speichereffizient beschreiben lassen.

Die Wahl der Modellbeschreibungsform einer Systemkomponente wird in erster Linie durch

ihre physikalische Struktur und durch den Detailgrad der Verhaltensbeschreibung be-

stimmt. So lassen sich Systemkomponenten durch Modelle auf einer Mikro- oder Makro-

ebene beschreiben [Eig94]. Zu beachten ist dabei, dass mit zunehmender Detailliertheit die

Komplexitat des Modells zunimmt und der numerische Aufwand steigt, wahrend bei zu-

nehmender Abstraktionsebene die Genauigkeit des zu beschreibenden Verhaltens abnimmt.

Hier muss ein Abwagungsprozess zwischen Genauigkeit und der Bewaltigbarkeit des mathe-

matischen Problems in Hinblick auf die Auswahl der zur Verfugung stehenden Simulatoren

stattfinden. Haufig sind herkommliche Simulatoren nicht fur die Komplexitat einer transi-

enten gekoppelten Simulation eines Mikrosystems entwickelt worden. Zur Vereinheitlichung

von neuen Verhaltensbeschreibungssprachen bei der Entwicklung neuer Werkzeuge haben

sich die Simulatorhersteller z.B. fur die Beschreibung analog-digitaler gemischter Signa-

le auf die Beschreibungssprache HDL-AMS (Hardware Discription Language for Analog

Signals) verstandigt.

Im Folgenden werden mogliche Ebenen des Mikrosystementwurfs und verschiedene Model-

7

8 KAPITEL 2. SYSTEMBESCHREIBUNG UND MODELLE

lierungsansatze vorgestellt.

2.1 Grundlegende Uberlegungen

Die Moglichkeiten der Systembeschreibung werden durch verschiedene Faktoren beein-

flusst. Hierzu gehoren unter anderem die Simulationsumgebung in der das transiente ge-

koppelte Systemverhalten simuliert werden soll. Ebenso gehort dazu die Existenz einer

Modellbibliothek, welche die Moglichkeit der Modellerweiterung durch den Anwender oder

Kommunikationsschnittstellen zu anderen Werkzeugen unterstutzt.

Die Wahl der Systembeschreibung ist dabei immer von der Problemstellung und der Kennt-

nis der verschiedenen physikalischen Wechselwirkungen zwischen den jeweiligen Teilkompo-

nenten abhangig (Abbildung 2.1). Ausschlaggebend ist die Wahl der Simulationsumgebung

(Simulatorkopplung oder Simulation auf der Ebene eines Simulators).

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Abb. 2.1. Vorgehensweise bei der Systembeschreibung

Zur Modellentwicklung stehen dem Entwickler, je nach physikalischer Funktion und/oder

Struktur der Systemkomponente, die Modelle der Mikro- oder Makroebene mit ihren je-

weiligen Modellbeschreibungsansatzen zur Verfugung.

Soll das Systemverhalten auf der Ebene eines Simulators beschrieben werden, mussen

Teilmodelle deren Modell- und Verhaltensbeschreibung sich auf der Mikroebene leichter

gestalten, in Modelle der Makroebene (die der Syntax des Simulators entsprechen) mittels

geeigneter Algorithmen konvertiert werden.

Die Koppelung der Teilmodelle zur Gesamtsystemsimulation findet direkt auf der Simula-

torebene statt.

2.2. MODELLENTWICKLUNGSEBENEN 9

Bei der Systemsimulation mittels einer Simulatorkopplung findet eine Kopplung der Teilm-

odelle der Mikro- und Makroebene des Mikrosystems, auf Simulatorebene mittels geeigne-

ter Interfaceprogramme statt, die den Datentransfer zwischen den Simulatoren steuern.

2.2 Modellentwicklungsebenen

Um nun das Gesamtverhalten eines Mikrosystems moglichst rechenzeit- und speichereffizi-

ent durch Teilmodelle abbilden zu konnen, erscheint es gunstig die Wahl der Modellebene

von der physikalischen Funktion bzw. Struktur der Systemkomponente und deren Kom-

plexitat abhangig zu machen. Hierfur wird die Modellentwicklungsebene in eine Mikro-

und Makroebene aufgliedert. So sind Funktionseinheiten von Teilkomponenten wie z.B.

ein elektrischer Widerstand, der sich auf lineare Geometrien zuruckfuhren lasst unter den

o.g. Gesichtspunkten eher durch ein Modell der Makroebene zu beschreiben, wahrend das

Verhalten einer unregelmaßigen Struktur des Widerstands (z.B. Dickschichtwiderstand)

eher durch ein Modell der Mikroebene zu beschreiben ist (Abbildung 2.2).

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Abb. 2.2. Beschreibung einer Systemkomponente (Widerstand) durch ein Mikromo-dell (z.B. als Dickschichtwiderstand in Meanderform) oder als Summe von WiderstandenRi in einem Makromodell

Im Folgenden werden zunachst die Modellebenen charakterisiert. Im Anschluss werden

mogliche Modellbeschreibungsverfahren der beiden Modellebenen vorgestellt.

2.2.1 Mikroebene

Im Allgemeinen werden Systemkomponenten die aufgrund ihrer komplexen Struktur sehr

detailliert sind und nicht mehr ausreichend genau mit Hilfe analytischer Betrachtungen


beschrieben werden konnen (elektronische, optische, fluidische, mechanische Bauteile) auf

der Mikroebene beschrieben. Die Modelle der Mikroebene basieren dabei i.d.R. auf Syste-

men partieller Differentialgleichungen. Zur Modellierung in der Mikroebene werden Modell-

beschreibungsverfahren der Finite-Differenzen-Methode (FDM), Finite-Elemente-Methode

(FEM) oder der Boundary-Element-Methode (BEM) verwendet. Die Funktion der System-

komponente wird dabei unter Berucksichtigung ihrer physikalischen Struktur innerhalb

eines bestimmten Definitionsbereichs diskretisiert beschrieben. Da die Modelle der Mi-

kroebene sehr umfangreich werden konnen und somit einen erheblichen Rechenaufwand

bedeuten, bleibt die Modellierung und Simulation meist auf die der Komponentenebene

beschrankt.

2.2.2 Makroebene

Aufgrund des vermehrten Rechen- und Speicheraufwandes bei der Simulation der Modelle

der Mikroebene, gerade auch in Hinblick auf die gekoppelte Simulation eines komplexen

Mikrosystems, geht man zu einer Modellbeschreibung der Systemkomponenten auf der

Makroebene uber. D.h. bei der Modellbeschreibung werden die detailliert beschriebenen

Gesetzmaßigkeiten der Mikroebene auf die fur die Beschreibung der Systemfunktion rele-

vanten Großen reduziert. Die Berechnung wird mit vereinfachenden Annahmen uber die

Teilkomponente somit erleichtert. Durch Aufstellen von Bilanzgleichungen (Ausgleichspro-

zessen) erhalt man ein System gewohnlicher und/oder spezieller Differentialgleichungen,

die ein theoretisches Modell und dessen Parameter beschreiben. Die Funktionen der Sy-

stemkomponente gelten dabei nur noch in relevanten, diskreten Beobachtungspunkten.

Die Modelle dieser Ebene und ihre Modellierung werden in dieser Arbeit naher betrach-

tet. Makromodelle werden oft auch als Verhaltensmodelle bezeichnet, da sie das Verhalten

bezuglich der Ausgangs- auf die Eingangsgroßen wiedergeben. So lassen sich Verhaltensmo-

delle unter anderem durch Netzwerkmodelle darstellen, die aus konzentrierten Elementen

(Anhang A.4) bestehen. Diese konzentrierten Elemente lassen sich durch einfache mathe-

matische Beziehungen beschreiben, die zwischen den physikalischen Großen wirken. Wich-

tig hierbei ist, dass die Modelle der konzentrierten Elemente, miteinander verbunden, der

Wirkungsstruktur der Systemkomponente entsprechen. Das Verhalten des Makromodells

ist dabei von diskreten Orten unabhangig geworden, da die physikalischen Großen uber

einen Querschnitt gemittelt wurden. Es gibt also keine ortsabhangigen Variablen mehr.

Bei der Modellierung ist grundsatzlich davon auszugehen, dass oft nochmals Vereinfa-

chungen notwendig werden, um uberhaupt eine komplexe Komponente rechenzeit- und

speichereffizient beschreiben zu konnen.

2.3. MODELLBESCHREIBUNGSVERFAHREN 11

2.3 Modellbeschreibungsverfahren

Die Modellbeschreibungsverfahren fur Modelle der Mikro- und Makroebene hangen in er-

ster Linie von dem zu modellierenden Problem, dessen Komplexitat und in welchem Um-

fang die modellierte Teilkomponente in einer Systemsimulation eingebunden werden soll

ab. Naturlich bestimmen auch die zur Verfugung stehenden Simulatoren die Wahl des

Beschreibungsverfahrens.

2.3.1 Modellbeschreibungsverfahren der Mikroebene

Fur die Beschreibung von unregelmaßigen Strukturen, also solchen die sich makrosko-

pisch nur schwer in lineare Anordnungen reduzieren (vereinfachen) lassen, werden Mo-

delle notwendig deren Modellparameter ortlich verteilt sind und sowohl von der Zeit als

auch vom Ort abhangen. Zu den bekanntesten Modellbeschreibungsverfahren der Mikro-

ebene gehoren die in [Rei94] vorgestellten Losungsmethoden der FDM, FEM und BEM.

Zusatzlich zu den drei genannten Losungsmethoden ist die Fourier Methode zu nennen,

welche [Rei94] bei der Entwicklung des Feldsimulator Programms The4Sim zur effizien-

ten Simulation thermischen Verhaltens von komplexen Aufbauten wie z.B. in Multi-Chip-

Modulen verwendet. Auf Grund des Losungsansatzes der Fourier-Methode lasst sich das

transiente Temperaturverhalten einfacher geometrischer Strukturen (hier ungehauste inte-

grierte Schaltkreise, dice) wesentlich rechenzeiteffizienter gegenuber den anderen genannten

Losungsmethoden berechnen.

2.3.1.1 Finite Differenzen Methode (FDM)

Bei der finiten Differenzen Methode wird das Gebiet mit einem Rechteckgitter uberzogen.

Die in der zu losenden Differentialgleichung auftauchenden Differentialoperatoren werden

zwischen benachbarten Gitterpunkten durch Differenzenoperatoren approximiert, was zu

linearen Gleichungssystemen fuhrt, in denen nur die Hauptdiagonale und ihre benachbarten

Elemente besetzt sind. Das Verfahren ist bei der Behandlung von komplexen Geometrien

unflexibler, da es auf rechteckige Gitter beschrankt ist und weniger effizient als die FEM,

da wegen der linearen Ansatzfunktionen eine großere Zahl von Gitterpunkten notwendig

ist, was bei 3-dimensionalen Problemen zu sehr großen Gleichungssystemen fuhrt. Der

Entwicklungsaufwand fur Programme basierend auf finiten Differenzen ist geringer als bei

der FEM.


2.3.1.2 Finite Elemente Methode (FEM)

Die Methode der finiten Elemente ist ein weit verbreitetes und gut entwickeltes Verfah-

ren zur Losung von Differentialgleichungssystemen. Zur Losung eines Randwertproblems

wird die zu untersuchende Struktur mit einem Netz aus geometrisch einfachen 2- bzw. 3-

dimensionalen Grundformen uberdeckt. Auf diesen Elementen werden lineare oder hohere

Ansatzfunktionen gewahlt. Die Forderung der Erfullung der Stetigkeitsbedingungen an den

Knoten fuhrt zu linearen Gleichungssystemen. Das FEM Verfahren ist gut einsetzbar fur 2-

dimensionale Probleme, da zuverlassige Verfahren zur automatischen Netzgenerierung zur

Verfugung stehen. Im 3-dimensionalen Fall muss die Netzgenerierung teilweise per Hand

(z.B. mit Hilfe von graphischen Preprozessoren) erfolgen. Dazu sind neben dem physika-

lischen Verstandnis der Problemstellung, Erfahrungen im Umgang mit FEM-Programmen

notwendig, da ungunstig gewahlte FEM-Netze zu numerischen Fehlern fuhren konnen. Die

Vernetzung von großen komplexen Gebieten stellt einen erheblichen Aufwand dar, so dass

dies als ein wesentlicher Nachteil des Verfahrens angesehen werden muss.

2.3.1.3 Boundary Element Methode (BEM)

Mit Hilfe der Boundary Elemente Methode (BEM) kann der Aufwand fur die Netzer-

stellung vereinfacht werden, da nur der Rand des zu betrachtenden Gebietes modelliert

werden muss. Bei der BEM wird das Differentialgleichungssystem durch Anwendung des

Greenschen Satzes und durch die Wahl entsprechender Ansatzfunktionen in ein lineares

Gleichungssystem uberfuhrt. Im Gegensatz zur FEM erhalt man kleinere Gleichungssyste-

me mit voll besetzten Matrizen. Sie ist allerdings nur auf lineare Probleme anwendbar.

2.3.1.4 Fourier Methode

Die Fourier Methode ist eine numerische Methode, bei der die verwendeten Ansatzfunktio-

nen die Losungen des betrachteten Gebietes (einer recheckigen Mehrlagenstruktur) darstel-

len. Die Losung lasst sich damit als zwei oder mehrdimensionale Fourierreihe ausdrucken.

Die Fourierreihe kann durch eine Fast Fourier Transformation (FFT) numerisch effizi-

ent ausgewertet werden. Bisher ist die Methode nur auf einfache rechteckige Mehrlagen-

strukturen beschrankt und erlaubt nur homogene Randbedingungen. Mit den in [Rei94]

aufgestellten Iterationsvorschriften kann die Fourier Methode auch auf Problemstellungen

mit nichthomogenen Randbedingungen erweitert werden. Durch Zusammensetzen einfa-

cher Gebiete wird es ebenfalls moglich komplexe Strukturen zu behandeln. Das Verfahren

wird in [Rei94] ausfuhrlich vorgestellt und angewendet.


Da in dieser Arbeit die Modellbildung auf der Makroebene im Vordergrund steht, wird auf

die oben genannten Modellbeschreibungsansatze nicht weiter eingegangen.

2.3.2 Modellbeschreibungsverfahren der Makroebene

Mit Hilfe einer vorausgehenden analytischen Vorbetrachtung wird fur die zu modellieren-

de Systemkomponente das geeignete Modellbeschreibungsverfahren der Makroebene aus-

gewahlt. Von Interesse sind hierbei die innere Struktur (z.B. der physikalische Aufbau) und

die Eigenschaften (z.B. physikalische Effekte) der Komponenten. Je nachdem, wie komplex

die Beschreibung des Systemverhaltens der Systemgroßen ist, ist zu entscheiden, ob bei

vorgegebener Genauigkeit ein Glassbox- oder ein Blackbox-Modell sinnvoll erscheint. Zum

Beispiel erscheint es wenig ratsam das thermische Verhalten eines mikroelektronischen Auf-

baus aus Grunden der rechenzeit- und speichereffizienz durch ein Glassbox-Modell in Ana-

logie zu elektrischen Netzwerken aus diskreten konzentrierten Elementen, wie thermische

Widerstande und Kapazitaten, diskretisiert zu beschreiben.

Der grundsatzliche Unterschied bei der theoretischen Modellbildung von Glassbox- und

Blackbox-Modellen liegt in dem funktionalen Zusammenhang zwischen den physikalisch

ermittelten Systemverhalten und den Modellparametern. Wahrend sich beim Glassbox-

Modell ein funktionaler Zusammenhang zwischen physikalischen Daten und Parametern

herstellen lasst, gilt dies nicht mehr fur Blackbox-Modelle. Aufgrund der inneren Struktur

des Blackbox-Modells wird den Modellparametern keine physikalische Bedeutung mehr zu

geordnet. An Stelle von physikalischen Zusammenhangen wird ein mathematisches Modell

aufgestellt, das nun das System- bzw. Ubertragungsverhalten der Teilkomponente ausrei-

chend genau beschreibt.

Abbildung 2.3 zeigt die prinzipielle Vorgehensweise bei der Modellierung von Glassbox-

und Blackbox-Modellen. Wie schon erwahnt, steht am Anfang die Auswahl des Model-

lierungsansatzes in Abhangigkeit von der physikalischen Funktion bzw. der Struktur der

Systemkomponenten. In einem nachsten Schritt mussen die Systemgroßen festgelegt wer-

den. Die Systemgroßen liegen entweder experimentell vor (wobei hier die Randbedingungen,

die durch den Messaufbau vorgegeben sind, zu beachten sind) oder sie mussen aus einer

Simulation mit Hilfe eines Modells auf der Mikroebene (z.B. Feldsimulation) noch erzeugt

werden. Aus den Simulationsergebnissen bzw. Messdaten lasst sich dann im Weiteren das

Ubertragungsverhalten der definierten Systemgroßen (Eingangs- zu Ausgangsverhalten)

extrahieren. So werden bei der Glassbox-Modellbildung moglichst diejenigen bekannten

physikalischen Effekte gesucht, die sich durch gewohnliche Differentialgleichungen oder al-

gebraische Ausdrucke beschreiben lassen. Mittels einer Parametervariation wird das Modell


an die Simulations- bzw. Messergebnisse angepasst. Existiert bereits ein Glassbox-Modell,

so mussen lediglich die Modellparameter (z.B. Material-, Technologie-, Geometriedaten)

zur Verfugung stehen und geandert werden. Bei der Blackbox-Modellierung werden die

physikalischen Zusammenhange des Ein- und Ausgangsverhaltens durch ein mathemati-

sches Modell beschrieben. Mittels Approximationsalgorithmen werden aus Simulations-

bzw. Messergebnissen die Modellparameter ermittelt. Abschließend werden die extrahier-

ten Modellparameter den konzentrierten Elementen des Ersatznetzwerks zugeordnet.

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Abb. 2.3. Modellierung von Modellen der Makroebene in ein Glass- bzw. Blackbox-Modell

Die nun folgenden zwei Beschreibungsansatze werden zur Klasse der mathematischen Mo-

delle gezahlt. Da die Modelle eine Modellidentifikation uber Parameter/Koeffizienten er-

moglichen, was eine adaptive Systemoptimierung unterstutzt [Ise92], lassen sie sich den

parametrischen Modellen zuordnen.


2.3.2.1 Glassbox-Modelle

Glassbox-Modelle, die in der Literatur auch als Whitebox-Modelle bezeichnet werden,

beschreiben das Verhalten zwischen einem bestimmten Verlauf der Eingangs- und Aus-

gangsgroße in Form mathematischer Gleichungen, die auf physikalische Gesetzmaßigkeiten

zuruckzufuhren sind. Die Modelle werden dabei durch eine endliche Anzahl von explizit

vorliegenden Modellparametern charakterisiert, weshalb sie der Klasse der parametrischen

Modelle zuzuordnen sind. Beispiele sind Differentialgleichungen oder Ubertragungsfunktio-

nen in Form algebraischer Ausdrucke. Die Modelle gelten somit fur eine ganze Klasse von

Systemkomponenten, da den Parametern physikalische Großen (z.B. Verstarkungsfaktoren,

Dotierungsdichten) zugeordnet werden konnen. Die fur die Charakterisierung des Modell-

verhaltens in einem Netzwerkmodell benotigten Parameter lassen sich unter anderem aus

einem Vergleich von Feldsimulations- und/oder Messergebnissen mit dem Modellverhalten

des Makromodells mittels einer Parameteranpassung (-variation) ermitteln.

So lassen sich in Analogie zu elektrischen Netzwerken mit ’thermischen’ Widerstanden

und Kapazitaten thermische Modelle beschreiben (Abschnitt 5.1). Mit ihnen lassen sich

Ersatznetzwerke fur nahezu beliebige Aufbauten erstellen. So beschreiben elektrische Wi-

derstande ersatzweise die Warmeubergangswiderstande zwischen den Schichten. Besonders

bei der Analyse von Packages auf Systemebene werden diese Widerstandsnetzwerke haufig

eingesetzt. Sie geben unter anderem eine gute Einsicht in Warmeflusspfade. Verglichen

mit numerischen Methoden, wie z.B der FEM, liefern die Widerstandsnetzwerke aber eine

geringere Genauigkeit. Außerdem konnen Glassbox-Modelle auf der Basis von thermischen

Netzwerken bei komplexen Strukturen schnell sehr groß werden. Zusatzlich erfordert die

Modellierung von komplizierten Strukturen eine gewisse Entwurfserfahrung.

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Abb. 2.4. Vereinfachung zeitinvarianter Systeme

Eine generelle Vorgehensweise zur Beschreibung des Verhaltens von zeitinvarianten Sy-

stemen durch ein Glassbox-Modell zeigt Abbildung 2.4 . Zunachst ist ein theoretisches


Modell fur das Verhalten einer Komponente durch ein System aus gewohnlichen und/oder

partiellen Differentialgleichungen aufzustellen. Mit vereinfachenden physikalischen Annah-

men lasst sich das Verhalten ggf. linearisieren. Meist lasst sich das Systemverhalten nur

durch partielle Differentialgleichungen beschreiben, wobei die Zustandsgroßen ortlich ver-

teilt sind und sowohl von der Zeit als auch vom Ort abhangen. Das Systemverhalten lasst

sich nun weiter vereinfachen, indem es durch ein System gewohnlicher Differentialglei-

chungen beschrieben wird. Bei dieser Reduktion der Ordnung wird das ortsabhangige Ver-

halten in einem Punkt konzentriert und durch Zustandsgroßen gewohnlicher Differential-

gleichungen approximiert. Die konzentrierten Parameter konnen hierbei explizit auf phy-

sikalische Großen zuruckzugefuhrt werden. Das Systemverhalten ist nun nur noch von der

Zeit abhangig und an einem Ort gultig. Im gunstigsten Fall lasst sich das Systemverhalten

durch algebraische Gleichungen nochmals vereinfachen [Ise92].

Wenn moglich, kann das Systemverhalten durch bereits bekannte Bilanzgleichungen (Im-

puls-, Energie-, Massenbilanzgleichnung) aufgestellt und in ein System von gewohnlichen

Differentialgleichungen beschrieben werden.

2.3.2.2 Blackbox-Modelle

Ausgangspunkt bei der Beschreibung von Blackbox-Modellen ist, wie bei den Glassbox-

Modellen, die Beziehung zwischen einem bestimmten Verhalten einer Ein- und Ausgangs-

große einer Systemkomponente, z.B. in Form einer Wertetabelle oder eines Kurvenver-

laufs. Mogliche andere Verhaltensbeschreibungen konnen uber Gewichts-, Ubertragungs-

oder Ubergangsfunktionen in tabellarischer oder graphischer Darstellung beschrieben wer-

den [Ise92]. Beim Erstellen eines Blackbox-Modells wird nun versucht, ohne Verwendung

detaillierter physikalischer Zusammenhange oder Kenntnisse des Innern der Teilkomponen-

te, einen mathematischen Zusammenhang zwischen den vorliegenden Ein- und Ausgangs-

großen herzustellen. Die Modellparameter der mathematischen Funktionen werden so be-

stimmt, dass das Modellverhalten das Ein- und Ausgangsverhalten des Systems genugend

beschreibt. Dadurch, dass die Modelle durch mathematische Funktionen beschrieben wer-

den, weisen sie keine bestimmte Struktur mehr auf. Sie konnen dabei, rein theoretisch, so-

gar von unendlich großer Dimension sein. Die physikalischen Modellparameter liegen nicht

mehr explizit vor, ihnen kann somit auch keine direkte physikalische Bedeutung mehr zuge-

ordnet werden. Die Modellparameter stellen nur noch Zahlenwerte dar, deren funktionaler

Zusammenhang mit den physikalischen Modellkomponenten unbekannt ist. Die internen

Zustande der Knoten des Systemkomponentenmodells bleiben”unbekannt“.

Dieses Modellbeschreibungsverfahren eroffnet einen umfassenden Anwendungsbereich, da


das Blackbox-Modell keine physikalische Analyse voraussetzt. Allerdings wird zur Model-

lerstellung ein umfangreicher Datensatz notig. Zur Ermittlung der Modellparameter sind

zusatzlich, oft komplizierte Idenfikationsalgorithmen erforderlich.

2.3.3 Kriterien fur die Wahl des geeignetsten Modellbeschrei-

bungsverfahrens

Tabelle 2.1 stellt die Vor- und Nachteile der Modelle der Mikro- und Makroebene ge-

genuber. Die Modelle der Makroebene werden dabei in die der Glassbox- und Blackbox-

Modelle unterschieden.

Mikromodelle Makromodelle

Glassbox-Modelle Blackbox-Modelle

Vorteile • detaillierte Beschrei-bung der physikalischenZusammenhange durchgeometrische und physika-lische Großen (detaillierteDiskretisierung)• Kenntnis der Losungenin allen diskretisiertenOrten• Modellparameter schnellanderbar

• geringe Speicherkapa-zitat• kurze Rechenzeiten• Nutzung von Modellbi-bliotheken• Modellierung mittelskonzentrierter Elemente• Modellparameter schnellanderbar• Kenntnis der Losun-gen in ausgewahltendiskretisierten Orten

• Nur Kenntnis desEin-/Ausgangssignals• geringe Speicherkapa-zitat• Modellierung mittelskonzentrierter Elemente

Nachteile • große Speicherkapazitat• lange Rechenzeiten

• Detailliertes Wissen ausverschiedenen technischenGebieten• eingeschrankte Diskreti-sierung

• Modellparameter habenkeinen physikalischenZusammenhang mehr• keine Diskretisierung• Kenntnis der Losungnur in einem ausgewahl-ten diskretisierten Ort• Aufwendige Model-lierung (Keine schnelleAnderung der Modellpa-rameter moglich)

Tab. 2.1. Kriterien fur die Wahl des geeignetsten Modellbeschreibungsansatzes in Hin-blick auf Modellgenauigkeit, Rechenzeit und Speicherkapazitat. Die Modellgenauigkeit,Rechenzeit und benotigte Speicherkapazitat nimmt beginnend von den Mikromodellenuber die Glassbox-Modelle hin zu den Blackbox-Modellen ab.

Hierbei lasst sich herausstellen, dass die Modellgenauigkeit, aber auch die Rechenzeit und

benotigte Speicherkapazitat von der Mikroebene hin zu den Blackbox-Modellen abnimmt.

Bei der Wahl des geeigneten Beschreibungsansatzes ist immer zuerst eine genaue Analyse

der Bauteile und der erwarteten Ergebnisse anzuraten. Aus dieser Betrachtung heraus sind


dann die geeigneten Modellebenen zu definieren und in die vorteilhafteste Simulationsum-

gebung einzusetzen.

Grundsatzlich lasst sich sagen, dass Simulationen auf analytischen Modellen beruhen, die

versuchen das physikalische Verhalten unter bestimmten Bedingungen nachzubilden. So

konnen zum Beispiel aufgrund sehr stark vereinfachter Simulationsmodelle bereits kleinere

Schwankungen der Materialdaten, große Abweichungen in der Simulation zur Folge haben.

Die Simulationen konnen daher immer nur so gut sein, wie ihre Modelle es sind bzw. wie

die aus dem gemessenen Verhalten ermittelten Parameter.

Kapitel 3

Wahl der Entwurfs- und

Simulationsumgebung in Hinblick auf

thermo-elektrische Kopplungen

Zur Modellierung und transienten Simulation gemischter Systeme bieten sich derzeit zwei

Entwurfs- und Simulationsumgebungen an [TN96]:

· die gemeinsame Modellierung der Beziehungen aus verschiedenen physikalischen

Gebieten fur die Simulation in einem einzigen Simulator und

· die Modellierung der Beziehungen der einzelnen Teilbereiche und Wechselwir-

kungen in mehreren, speziell auf die Teilprobleme angepassten Simulatoren.

Hierfur werden die Simulatoren softwaremaßig gekoppelt (Simulatorkopplung).

Beide Konzepte werden in der Praxis verfolgt. Schwierig wird es, fur ein gestelltes System-

problem die richtige Simulationsumgebung, in Hinblick auf die Komplexitat des Simula-

tionsmodells und die sich daraus ergebenden Faktoren der Simulationszeit und Rechenge-

nauigkeit auszuwahlen. Zur Zeit bereitet die Modellierung eines komplexen Mikrosystems

noch große Probleme. Zum einen lassen sich die i.d.R. komplexen Verhalten der benotigten

Systemkomponenten nur extrem aufwendig modellieren und binden somit enorme Rech-

nerkapazitaten. Zum anderen fehlt eine standardisierte allgemein anwendbare Simulations-

umgebung die den Designer in der Wahl der Entwurfsumgebung unterstutzt und wahrend

einer komplexen Systemsimulation begleitet. Heute zur Verfugung stehende Werkzeuge, die

fur den Entwurf einzelner Komponenten eines Mikrosystems eingesetzt werden, wurden in

der Vergangenheit auf bestimmte Problematiken hin speziell entwickelt.

19

20 KAPITEL 3. WAHL DER ENTWURFS- UND SIMULATIONSUMGEBUNG

Im Folgenden wird die Vorgehensweise der Modellierung und die einer gekoppelten transi-

enten Simulation fur komplexe Systeme der beiden o.g. Entwurfs- und Simulationsumge-

bungen vorgestellt und die spezifischen Vor- und Nachteile abschließend diskutiert.

3.1 Systemsimulation durch Simulatorkopplung

Das Konzept der Kopplung von zwei oder mehr Simulatoren stellt eine gangige Alternative

zur Systembeschreibung und -simulation dar. Das komplexe, verkoppelte Mikrosystem wird

dabei in entkoppelte Einzelprobleme zerlegt und mit den jeweils physikalisch am besten

angepassten Simulationswerkzeugen getrennt voneinander modelliert. Voraussetzung fur

diese Vorgehensweise ist, dass sich das Problem uberhaupt entkoppeln lasst und ob eine

Entkopplung notwendig ist (Schwache oder starke Kopplung). Hierfur stehen eine Vielzahl

kommerziell erhaltlicher Simulatoren zur Verfugung.

So werden z.B. Feldprobleme der Strukturmechanik, Thermik und Elektrostatik i.a. mit

Feldsimulatoren (z.B. ANSYS, ABACUS, The4Sim) untersucht.

Elektronische Netzwerke lassen sich hingegen besser durch diskrete Netzwerkelemente in

Netzwerksimulatoren (z.B. SABER, ELDO, ITI-SIM, Simplorer, PSpice) beschreiben.

Zur Beschreibung und Simulation gewohnlicher Differentialgleichungen kommen Program-

me wie MATLAB/SIMULINK und MatrixX in Frage.

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Abb. 3.1. Simulatorkopplung: Iteration fur eine starke Kopplung

Die transiente Simulation der Teilprobleme erfolgt wahrend eines Iterationsschritts getrennt

voneinander. Die Kopplung zwischen den Simulatoren entsteht durch eine Aktualisierung

der Losungen der jeweiligen Teilprobleme mit dem nachsten Iterationsschritt (Abbildung

3.1).

3.2. AUF DER BASIS EINES SIMULATORS 21

Fur die in [SM95] beschriebene Simulatorkopplung zwischen dem Feldsimulator ANSYS

und dem Netzwerksimulator PSpice werden fur die Losung des verkoppelten Problems

z.B. jeweils mindestens zwei Iterationsschritte in jedem Zeitintervall bei einer transienten

Analyse benotigt.

Der Datentransfer zwischen den Simulatoren ubernimmt ein Steuer- oder Interfacepro-

gramm. Das Verhaltnis zwischen Rechenschrittweite, innerhalb des jeweiligen Simulators,

zu Kommunikationsschrittweite, in denen die Simulatoren ihre Ergebnisse austauschen, be-

stimmt dabei die Simulationsdauer. Wird die Kommunikationsschrittweite unabhangig von

der Rechenschrittweite vom Anwender konstant gehalten, kommt es nur zu den definier-

ten Zeitpunkten zu einem Datenaustausch, was sich positiv auf eine kurze Simulationszeit

auswirkt. Allerdings stehen zwischen den Zeitpunkten der Kommunikationsschrittweiten

keine neuen Eingangsgroßen zur Verfugung, so dass diese aus den vorangegangenen extra-

poliert werden mussen. Dazu bedarf es eines zusatzlichen Informationsaustausches uber die

Vergangenheit der relevanten Koppelgroßen.

Eine dynamische Anpassung der Kommunikationsschrittweite an die aktuelle Rechenschritt-

weite (Master-Slave-Technik zwischen den Simulatoren) vermeidet zwar Extrapolationen

und hat eine hohere Genauigkeit, diese muss aber durch eine langere Simulationszeit in

Kauf genommen werden. [TN96] [CC97]

3.2 Systemsimulation auf der Basis eines Simulators

Der Ansatz beruht auf der Ubertragung der funktionalen Zusammenhange der unterschied-

lichen physikalischen Großen auf die einheitlichen Großen eines Simulators.

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Abb. 3.2. Systemsimulation auf der Ebene eines Simulators

Unter Berucksichtigung der physikalischen Großen der jeweiligen Systemkomponente wird

das funktionale Verhalten innerhalb der Systemgrenzen durch Makromodelle charakteri-

siert. Unter Verwendung der Beschreibungsebene fur Makromodelle wird das Verhalten


der einzelnen Komponenten durch Glassbox- und/oder Blackbox-Modelle abstrahiert. So

lassen sich Kontinumsmodelle durch geeignete Methoden wie z.B. Modellvereinfachungen,

Linearisierung oder Annahme homogener Feldgroßen in analoge Netzwerkmodelle eines

Simulators uberfuhren.

Hierfur mussen alle physikalischen Großen der Teilsysteme auf einheitliche Großen des

gewahlten gemeinsamen Simulators ubertragen werden. Dies kann sich fur Glassbox-Modelle

als schwierig gestalten, da hierfur ein detailliertes Wissen auf den verschiedenen technischen

Gebieten und der inneren Struktur der Teilprobleme notwendig ist. Die Modelle beschrei-

ben ein Funktionsprinzip und gelten nur fur einen beschrankten Anwendungsbereich. Der

aufwendigen Modellerstellung steht entgegen, dass die Glassbox-Modelle sich durch eine

begrenzte Parameteranzahl beschreiben lassen und den Modellparametern eine physikali-

sche Bedeutung zugeordnet werden kann (Tabelle 3.1).

Glassbox-ModellSemi-analytisch physikalisches Modell

Blackbox-ModellModellbildung im Bereich der System-identifikation der Systemtheorie

Vorteile • Begrenzte Parameteranzahl• Parameter haben physikalische Be-deutung• Einfache Variation der Modellpara-meter bei der Systemoptimierung

• Keine physikalische Analyse notwen-dig• Rein mathematisches Modell (Para-meter haben keine physikalische Bedeu-tung mehr)• Frei wahlbare Modellstruktur

Nachteile • Detailliertes Wissen aus verschiede-nen technischen Gebieten notwendig• Detaillierte Kenntnis der innerenStruktur notwendig• zeitaufwendige Modellerstellung• Anwendungsbereich auf Systeme mitgleichen Funktionsprinzip beschrankt

• Umfangreicher Datensatz zur Modell-beschreibung notwendig• Komplizierte Identifikationsalgorith-men notwendig• Aufwendige Variation der Modellpa-rameter bei Systemanderung

Tab. 3.1. Vor- und Nachteile der Glassbox- und Blackbox-Modelle beim Entwurf undder Systemsimulation

Bei der Blackbox-Modellgenerierung ist im Gegensatz zum Glassbox-Modellentwurf kei-

ne physikalische Analyse des Inneren der Teilsysteme notwendig. Es wird durch ein rein

mathematisches Modell beschrieben. Hierfur wird ein umfangreicher Datensatz, der das

Systemverhalten beschreibt (Ein-/Ausgangsdatenfolgen) benotigt. Fur die Extraktion der

Modellparameter werden z.T. komplizierte und aufwendige Identifikationsalgorithmen er-

forderlich.

3.3. KRITERIEN FUR DIE WAHL DES ANALOGSIMULATORS 23

3.3 Kriterien fur die Wahl des Analogsimulators zur

Systemsimulation thermo-elektrischer Kopplungen

In Tabelle 3.2 sind einige Vor- und Nachteile der Simulatorkopplung und der Systemsimu-

lation auf der Ebene eines Simulators zusammengestellt.

Simulatorkopplung Simulation auf der Basiseines Simulators

Vorteile • detaillierte Modellierung• optimal angepasste physikalischeBeschreibungsplattform auf das je-weilige Problem• exaktere Losung des Teilproblems

• kompakte Modelle• freiwahlbare Modellstruktur• geringere Rechenzeiten• Simulation des Gesamtsystemsaufgrund kompakter Teilmodellemoglich

Nachteile • Simulation von Wechselwirkungenauf kleinen, lokalen Bereich begrenzt• Rechenzeit umgekehrt proportio-nal zur Genauigkeit• Steuer-/Interfaceprogramme furDatentransfer notwendig

• eingeschrankte Genauigkeit (Si-mulationsergebnisse konnen nur sogenau sein wie die Teilproblemedurch die Ersatzmodelle beschrie-ben worden sind)• aufwendige Modellierung der Ma-kromodelle (s. Tabelle 3.1)

Tab. 3.2. Kiterien bei der Wahl der Entwurfs- und Simulationsumgebung

Fur das Konzept der Simulatorkopplung spricht eine genauere Beschreibung jeder einzel-

nen Systemkomponente bzw. eine exaktere Losung der jeweiligen Teilfunktion durch die

Simulation. An dieser Stelle wird aber gerade auch deutlich, dass dieser Vorteil sich schnell

in einen Nachteil umkehren kann. Proportional zur Genauigkeit des Modells steigt auch

die benotigte Rechner- bzw. Speicherkapazitat. Dadurch, dass die physikalischen Großen

der jeweiligen Teilkomponenten zwar durch die gegebene Modellbeschreibungsebene des

Simulationswerkzeugs funktional optimal unterstutzt werden, konnen die physikalischen

Teilmodelle eine Komplexitat erreichen, die enorme Rechnerkapazitaten bindet und bei ei-

ner Systemsimulation kein sinnvolles Rechenzeit zu Kostenfaktor Verhaltnis mehr erreicht.

Und mit der Zahl weiterer Simulatoren potenziert sich die Kapazitat zusatzlich.

Ein weiterer Nachteil der Simulatorkopplung ist, dass neben der Losung der Teilmodell-

probleme zusatzliche Rechnerkapazitat zur Kommunikation, mittels Steuer- oder Interface-

programmen, zwischen den Simulatoren gebunden wird. Fur jeden Rechenschritt mussen

die Ergebnisse in jeweilige kompatible Protokolle ubersetzt und anschließend ubergeben

werden. Zusatzlich werden Gleichgewichtsiterationen und Konvergenzkontrollen zwischen

den Simulatoren notig.


Hinzu kommt, dass bei einer Simulatorkopplung an der Feldsimulatoren beteiligt sind,

sich die Systembeschreibung nur auf kleine, lokal begrenzte Kopplungen beschrankt. In

Hinblick auf eine gekoppelte Systemsimulation ist also auch fur eine Simulatorkopplung eine

rechenzeiteffiziente Beschreibung der Modelle, unabhangig von der Simulationsumgebung,

beim Entwurf mit zu berucksichtigen.

Fur die Systemsimulation auf der Ebene eines Simulators spricht aufgrund abstrahierter

Teilmodelle, dass eine komplexe Systemsimulation zu einer akzeptablen Rechendauer fuhrt.

Das meist eingeschrankte Angebot zur Modellbeschreibung des gewahlten Simulators kann

jedoch bei komplexen und komplizierten physikalischen Großen unweigerlich zu Model-

len mit reduzierter Genauigkeit fuhren. Hierfur wird angestrebt bei der Neuentwicklung

von Simulatoren geeignete Verhaltenssprachen mit einzubeziehen. So wurde beispielsweise

die digitale Hardware-Sprache VHDL um die analoge Verhaltensbeschreibung HDL-AMS

erweitert.

Bei der Problembeschreibung durch ein Glassbox-Modell kann das Modell, in Abhangigkeit

von der Problemstellung, genauso oder gar noch komplexer werden, als mit einem auf das

Problem zugeschnittenen Simulator. Blackbox-Modelle bieten hingegen den Vorteil einer

freiwahlbaren Modellstruktur. Diese hangt lediglich von der Umsetzung des mathemati-

schen Modells auf die konzentrierten Elemente des Simulators ab.

Aus Sicht der Designoptimierung des zu entwerfenden Produkts spielt die schnelle Variation

der Modellparameter eine entscheidende Rolle. Hier sind Modelle deren Parametern eine

physikalische Bedeutung zugeordnet werden kann klar den auf mathematischen Ansatzen

basierenden Modellen im Vorteil. Da die Blackbox-Modellierung beim Systementwurf meist

auf Simulationsergebnissen physikalisch optimal angepasster Simulatoren gewonnen wird,

bedeutet eine Variation des Systemverhaltens einen zusatzlichen Rechenaufwand. Dieser

lasst sich aber durch optimal zugeschnittene Algorithmen stark verkurzen.

Generell lasst sich feststellen, dass die Wahl der Modellbeschreibung (Zusammenhang zwi-

schen den Modellparametern und den physikalischen Parametern des System) und die

Wahl der Simulationsumgebung stark von den spezifischen Problemstellungen abhangt.

Beim Modellentwurf der Teilsysteme ist in jedem Fall in Hinblick auf die Rechenzeit eine

effiziente Modellbeschreibung notwendig.

Ein weiterer Aspekt fur die Wahl der Systembeschreibungsumgebung ist die Anwendbarkeit

fur Klein- und Mittelstandige Unternehmen (KMU). Hier sind in erster Linie kostengunsti-

ge Simulatoren gefragt bzw. die Simulationsumgebung auf moglichst wenige Simulatoren

zu begrenzen, die zudem eine breite Resonanz in der Industrie gefunden haben und ko-

stengunstig verfugbar sind.

3.3. KRITERIEN FUR DIE WAHL DES ANALOGSIMULATORS 25

Zur Auswahl stehen hier die Eingangs genannten Feld- und Netzwerksimulatoren.

Feldsimulatoren, die eine Option zur zusatzlichen Beschreibung elektrischer Komponenten

bzw. Netzwerke mit Hilfe von algebraischen Ausdrucken und/oder gewohnlichen Diffe-

rentialgleichungen (Makromodelle) haben, bieten sich hier an. Leider bieten die z.Z. auf

dem Markt erhaltlichen Feldsimulatoren nur eine eingeschrankte oder gar keine Beschrei-

bungsmoglichkeit.

Zur Sytemsimulation gekoppelter Problemstellungen werden deshalb im Moment vorwie-

gend Netzwerksimulatoren eingesetzt, die den Vorteil haben, dass sie bereits aus dem Schal-

tungsentwurf bekannt sind und dort erfolgreich eingesetzt werden. Sie unterstutzen mitt-

lerweile die Beschreibung von algebraischen Ausdrucken und differentiellen Großen und

erleichtern somit eine Erweiterung der Bauteilbiliothek .

Der Netzwerksimulator Saber bietet neben vielen Bibliothekselementen zusatzlich die Ver-

haltensmodellbeschreibungsprache MAST, die eine diskretisierte Beschreibung ahnlich die

eines Feldsimulatormodells unterstutzt. Netzwerksimulatoren sind aber i.d.R. nicht auf das

Losen von partiellen Differentialgleichungen zugeschnitten. Diese Option ist fur kleinere

Problembeschreibungen nutzlich, lost aber nicht das Problem der Modellkomplexitat.

Die Auswahl des Netzwerksimulators fiel in erster Linie nicht auf Saber, da sich fur die

Anwendbarkeit auf Personal Computern und ein freier Zugang zu Simulationsmodellen fur

kommerziell erhaltliche Bauelemente der Schaltungssimulator PSpice, nicht zuletzt auch

durch den vergleichsweise niedrigen Preis gegenuber seinen Konkurrenten, auf dem Schal-

tungsentwurfssektor im KMU-Bereich durchgesetzt hat. Die anderen genannten Simulato-

ren standen nicht zur Verfugung.

26

Kapitel 4

Blackbox-Modellentwurf zur

Beschreibung von Diffusionsprozessen

in einem Netzwerksimulator

Zur Modellierung und transienten Simulation von thermo-elektrischen Kopplungen in ei-

nem Schaltungssimulator mussen geeignete Simulationsmodelle generiert werden, die das

thermische und das elektrische (Koppel-)Verhalten innerhalb des (hier: mikroelektroni-

schen) Systems beschreiben.

Schaltungssimulatoren wie PSpice stellen bereits eine umfangreiche Bibliothek von elektri-

schen Komponenten zur Verfugung. Leider unterstutzen die Bibliothekselemente nicht die

Simulation von transienten thermo-elektrischen Kopplungen, so dass die elektrischen Mo-

delle modifiziert oder entsprechend neu modelliert werden mussen. Eine Modifizierung der

Bibliotheksmodelle erfordert oft zusatzliche Software-Tools (z.B. ’Device Equation Option’

bei PSpice) und entsprechende Erfahrung in der Anwendung. So lasst sich das transiente

thermo-elektrische Verhalten oft nur durch bereits bekannte, physikalisch-basierte Ersatz-

schaltbilder auf der Basis konzentrierter Elemente durch Glassbox-Modelle modellieren

(z.B. Bipolartransistor-Modell nach Gummel-Poon).

Zur Modellierung der elektrischen Systemkomponenten wird in dieser Arbeit der Weg ver-

folgt, diese durch Glassbox-Modelle unter Berucksichtigung der transienten thermischen

Kopplung neu zu modellieren. In Kapitel 6.1.1 wird die Glassbox-Modellgenerierung ex-

emplarisch fur einen Insulated Gate Bipolar Transisitor (IGBT) gezeigt.

Das thermische Verhalten von Systemkomponenten, wie z.B. das eines Bauteiltragers beste-

hend aus Substrat, Heatspreader und Kuhlkorper, ließe sich aufgrund bekannter physika-

lischer Gesetzmaßigkeiten (Warmeleitungsgleichung, Diffusionsprozeß) ebenfalls durch ein

27

28 KAPITEL 4. BLACKBOX-MODELLENTWURF

Glassbox-Modell beschreiben. Aufgrund der inneren Struktur eines ’thermischen’ Glassbox-

Modells, welches sich dann meist nur durch ein sehr aufwendiges Strukturmodell darstellen

ließe, erweist sich dieser Weg in Bezug auf die benotigte Speicherkapazitat und Rechendau-

er, bei einer transienten, thermo-elektrisch gekoppelten Systemsimulation, als nicht sehr

effizient. In Abschnitt 5.1 werden Glassbox-Modelle zur Bescheibung thermischer Aus-

gleichsprozesse diskutiert.

Der Ubergang von Glassbox-Modellen zu Blackbox-Modellen zur Beschreibung thermi-

scher Ausgleichsprozesse bietet den Vorteil, dass die innere Modellstruktur das thermische

Verhalten, aufgrund der frei wahlbaren Modellstruktur, wesentlich rechenzeiteffizienter be-

schreibt.

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Abb. 4.1. Beschreibung eines mathematischen Ansatzes in einem Netzwerksimulatordurch ein Ersatznetzwerk, dessen konzentrierte Elemente keine physikalische Relevanzmehr haben.

Ausgangspunkt bei der Beschreibung eines Blackbox-Modells ist ein durch Messung oder

Simulation gewonnener Signalverlauf y(t) eines Systems, der die Systemantwort auf ein

bekanntes Eingangssignal x(t) wiedergibt. Die Schwierigkeit bei der Beschreibung eines

Blackbox-Modells zur Simulation in einem Schaltungssimulator liegt nun darin, dass der

bekannte transiente Signalverlauf auf der einen Seite durch einen geeigneten mathemati-

schen Modellansatz zu beschreiben und auf der anderen Seite dieser mathematische Ansatz

in ein Netzwerk aus konzentrierten Bibliothekselementen des Schaltungssimulators abzubil-

29

den ist. Dies setzt die Wahl eines geeigneten mathematischen Modellbeschreibungsansat-

zes und die Kenntnis der Systemtheorie und das Ubertragungsverhalten der konzentrierten

Elemente des Schaltungssimulators voraus.

Da hier der zeitabhangige Temperaturverlauf y(t) durch eine mathematische Funktion zu

beschreiben ist, scheint fur den mathematischen Modellansatz eine Funktionsapproximati-

on mittels Linearkombination von Basisfunktionen in Hinblick auf die Abbildung auf ein

einfaches Ersatznetzwerk am geeignetsten. Der Vorteil dieses Ansatzes liegt darin, dass die

Basisfunktionen hk(t) so gewahlt werden konnen, dass sie den zu approximierenden Signal-

verlauf gut wiedergeben und die zugehorigen Ubertragungsfunktionen Hk(s) sich durch ein

geeignetes elektrisches Netzwerk abbilden lassen.

Durch Vergleich der Koeffizienten ak, τk der Basisfunktionen hk(t) mit den Modellparame-

tern des zugehorigen elektrischen Ersatznetzwerkes lasst sich der approximierte Signalver-

lauf durch ein Blackbox-Modell in einem Schaltungssimulator beschreiben. Den konzen-

trierten Elementen des Ersatznetzwerks (R,C, L, ...) lasst sich nun allerdings keine physi-

kalische Bedeutung mehr zuordnen (Abbildung 4.1).

Die Blackbox-Modellbildung in dieser Arbeit beschrankt sich auf thermische Ausgleichs-

prozesse deren Funktionsverlaufe durch eine Folge von aquidistanten/nicht aquidistanten

Wertepaaren y(t) = T [x(t)] innerhalb eines endlichen Zeitintervalls [a, b] beschrieben wer-

den. Das Systemverhalten wird durch bereits bekannte kausale und zeitinvariante Basis-

funktionen hk beschrieben, die sich durch konzentrierte Bibliothekselemente des Schal-

tungssimulators Pspice abbilden lassen. Als Basisfunktionen hk(t) eignen sich besonders

Funktionen, die eine Funktionsapproximation von Diffusionsverlaufen begunstigen. Fur die

Funktionsapproximation ist es beispielweise aus mathematischer Sicht besonders gunstig,

Basisfunktionen zu finden die ein Orthonormalsystem bilden. Fur diesen Fall wird die Sy-

stemmatrix zu einer Diagonalmatrix, welches die numerische Ermittlung der Koeffizienten

wesentlich vereinfacht.

In diesem Kapitel wird im Folgenden zunachst ein kurzer Uberblick uber die System-

und Funktionsidentifikation gegeben. Anschließend werden verschiedene Basisfunktionen

untersucht, mit denen sich ein othogonales (Laguerre-Funktion) und ein nicht orthogonales

(Exponentialfunktion) Funktionensystem abbilden lasst .

Voraussetzung fur die Blackbox-Modellierung ist, dass sich auf ein bekanntes, definiertes

Eingangssignal x(t) (hier: Impulsfunktion oder Sprungfunktion) das Ausgangssignalverhal-

ten linear verhalt. Das Ausgangsverhalten des Systems y(t) liegt dabei typischerweise als

Folge von diskreten Werten vor, die aquidistant oder auch nicht aquidistant sein konnen.

Ziel ist mit Hilfe der Systemtheorie das Ubertragungs- bzw. das Systemverhalten in ein Sy-


stem von Funktionen zu uberfuhren, so dass sich das Funktionensystem durch ein Blackbox-

Modell, dem konzentrierte Elemente zugrunde liegen, auf ein Ersatznetzwerk abbilden lasst.

4.1 Systemidentifikation

In der Systemtheorie werden Systeme durch moglichst wenige und einfache (idealisierte)

Kenngroßen beschrieben, die es erlauben eine Systemreaktion aus beliebig vorgegebenen

Eingangssignalen hinreichend genau zu berechnen. Die Kenngroßen sind dabei unabhangig

von der tatsachlichen technischen Realisierung des Systems. Die Ubertragungsfunktion ist

eine solche das System beschreibende Kenngroße. Obwohl in der Systemtheorie eigentlich

nicht die technische Realisierung des Systems von Interesse ist, sondern nur der mathema-

tische Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignalen gesucht wird, ist sie trotzdem

von großem Interesse, um auf die Realisierung der inneren Struktur schließen zu konnen.

[Mil95], [Wol85].

In Abbildung 4.2 ist schematisch ein technisches System mit seinen Ein- x(t) und Aus-

gangsgroßen y(t) dargestellt. Die Ausgangsgroße bezeichnet man auch als Antwort des

Systems (Systemantwort) auf ein Eingangssignal.

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Abb. 4.2. Schematische Darstellung eines technischen Systems. Die Verknupfung derEin- und Ausgangsgroßen des Systems lasst sich dabei in Form der Operatorbeziehungy(t) = T [x(t)] beschreiben.

Den Werten der Ein- xi(t) und Ausgangsgroßen yi(t) des Systems lassen sich die Vektoren

x(t) und y(t)

x(t) =

x1(t)

x2(t)...

xm(t)

, y(t) =

y1(t)

y2(t)...

yn(t).

(4.1)

zuordnen. Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsvektoren lasst sich allgemein

durch den Operarator T

y(t) = T[x(t)] (4.2)

darstellen.

4.1. SYSTEMIDENTIFIKATION 31

Um den Systembeschreibungsaufwand zu optimieren, werden die Systeme nach bestimmten

Merkmalen klassifiziert. Jede Klasse hat bestimmte gemeinsame Grundeigenschaften, die

fur das Verhalten des Systems und die rechnerische Behandlung wichtig sind. Tabelle 4.1

gibt einen Uberblick.

1. Linearitat (Superponierbarkeit)

2. Kausalitat

3. Zeitinvarianz (Zeitunabhangige Systeme)

4. Dynamische / Nicht dynamische Systeme

5. Ungedampfte (Schwingende) / Gedampfte (ab-/aufklingende) Systeme

6. Passive (keine aktiven inneren Quellen) / Aktive Systeme (aktive innereQuellen, gesteuerte Quellen)

7. Umkehrbare Systeme (Reziprozitat) und Symmetrie

Tab. 4.1. Klassifizierung der Systeme in Grundeigenschaften [Wol85] [Go81].

Diese Arbeit beschrankt sich auf die Beschreibung von linearen Systemen die kausal, zei-

tinvariant, gedampft, passiv und abklingend sind.

4.1.1 Lineare kontinuierliche Systeme

Fur die Analyse und Synthese von linearen kontinuierlichen Systemen werden in der Sy-

stemtheorie Ein- und Ausgangssignale benotigt. Hierfur bieten sich mathematisch deter-

minierte und in der Regel kontinuierliche Zeitfunktionen an.

Eine gegebene komplizierte Zeitfunktion (Ein-, Ausgangssignal) eines linearen Systems

lasst sich mittels Superposition in elementare Komponenten zerlegen. Die Komponenten

sind ihrerseits so einfach, dass sich mit ihnen die Signale beschreiben lassen. Diese elemen-

taren Komponenten haben somit den Charakter von Prufsignalen bei der Untersuchung

von Systemen. Zu den wichtigsten Prufsignalen gehoren die Impulsfunktion δ(t) (Dirac-

Impuls), die Spungfunktion σ(t) und die komplexe Exponentialfunktion ejωt. Sie sind wie

folgt definiert

δ(t) = limε→0

rs(t), rs =

{1ε

0 < t < ε

0 t < 0, t > 0(4.3)

σ(t) =

{0 t < 0

1 t ≥ 0−(4.4)


Die Impulsantwort y(t) = h(t) ist eine wichtige Kennfunktion zur Beschreibung von Syste-

men. Sie beschreibt die Systemreaktion auf einen Impuls x(t) = δ(t) am Systemeingang

h(t) = T[δ(t)]. (4.5)

Der Grundgedanke bei der Beschreibung eines Systems mittels Dirac-Impuls ist seine Aus-

blendeigenschaft zu nutzen. Das Eingangssignal x(t) wird dabei zunachst durch eine Stufen-

funktion so angenahert, dass sich das Signal als Summe von Rechteckstufen darstellen lasst.

Jeder dieser Rechteckimpulse erzeugt bei der Ubertragung eine Impulsantwort. Die Sum-

me dieser Impulsantworten stellt dann das Ausgangssignal y(t) naherungsweise dar. Die

Naherung wird um so besser, je kleiner die Impulsdauer ν(t) der Rechteckimpulse gewahlt

wird. Fur ν → 0 wird der Rechteckimpuls zum Diracimpuls (ν = 0 ⇒ ε)(Gleichung (4.3)).

Die Ausblendeigenschaft lasst sich fur das Eingangssignal x(t) in der Form

x(t) =

+∞∫−∞

x (τ) · δ (t − τ) dτ (4.6)

schreiben und ergibt fur das Ausgangssignal y(t) in Gleichung (4.2) eingesetzt

y(t) = T[

+∞∫−∞

x (τ) · δ (t − τ) dτ ] . (4.7)

Wird Gleichnug (4.5) in Gleichung (4.7) eingesetzt, erhalt man fur dτ → 0 das Faltungs-

integral

y(t) =

+∞∫−∞

x (τ) · h (t − τ) dτ. (4.8)

Durch Substituion der Integrationsvariablen mit einer neuen Variable zeigt sich, dass die

Faltung kommutativ ist

y(t) =

+∞∫−∞

x (t − τ) · h (τ) dτ . (4.9)

Der mathematische Zusammenhang in Gleichung (4.8) und (4.9) lasst sich auch mit dem

Faltungssymbol ′∗′y(t) = x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t) (4.10)

darstellen.

Die Losung der Systemantwort bietet im Frequenzbereich gegenuber dem Losungsansatz

im Zeitbereich (Losen des Faltungsintegrals) den Vorteil, dass die Systemantwort mathe-

matisch einfacher gelost werden kann. Der Nachteil, dass die Ein- und Ausgangssignale


zunachst in den Frequenzbereich transformiert und die Losung dann wieder in den Zeit-

bereich zurucktransformiert werden mussen, wird durch Transformationstabellen ausgegli-

chen.

Wahlt man als Eingangsfunktion x(t) die komplexe Exponentialfunktion ejωt, so wird Glei-

chung (4.9) mit x(t − τ) = ejω(t−τ) zu

y(t) =+∞∫−∞

ejω(t−τ) · h (τ) dτ = ejωt ·+∞∫

−∞

h (τ) · e−jωτ dτ

︸︷︷︸.

H (jω)

(4.11)

H(jω) heißt Ubertragungsfunktion und ist nur noch von ω abhangig. Ersetzt man τ durch

t so erhalt man die Fourier-Transformierte von h(t)

h(t) ◦ − • H(jω) =

+∞∫−∞

h (t) · e−jωt dt. (4.12)

Fur die Ein- und Ausgangssignale lassen sich ebenfalls die Fourier-Transformierten aufstel-

len

x(t) ◦ − • X(jω) =+∞∫−∞

x (t) · e−jωt dt

y(t) ◦ − • Y (jω) =+∞∫−∞

y (t) · e−jωt dt.

(4.13)

Setzt man diese in Gleichung (4.8) ein

Y (jω) =

+∞∫t=−∞

+∞∫τ=−∞

x (τ) · h (t − τ) · e−jωt dτ dt , (4.14)

vertauscht die Reihenfolge der Integration und erweitert den Integranden mit dem Faktor

(e−jωτ · ejωτ ) = 1

Y (jω) =

+∞∫τ=−∞

x (τ) · e−jωτ

+∞∫t=−∞

h (t − τ) · e−jω(t−τ) dt

dτ, (4.15)

so beschreibt das innere Integral {...} (nach einer Substitution von u = t− τ) H(jw) nach

Gleichung (4.11). Es folgt somit

Y (jω) =

+∞∫−∞

x (τ) e−jωτ · H (jω) dτ = X (jω) · H (jω) (4.16)


oder

H (jω) =Y (jω)

X (jω). (4.17)

Wird die Systemanalyse auf lineare, kausale, zeitinvarinate Systeme und Eingangssignale

beschrankt, lasst sich die Losung der Systemreaktion mit der Laplace-Transformation

H(s) =

+∞∫0−

h(t) · e−stdt • − ◦ h(t) =

+∞∫0−

H(s) · e−stds. (4.18)

berechnen, sofern die Stabilitatsbedingung

+∞∫0−

|h (t) | dt < K < ∞ (4.19)

nicht verletzt wird (d.h. die Fourier-Transformierte H(jω) der Impulsantwort existiert

bzw. alle Pole liegen links der jω-Achse oder auf der komplexen Achse). Die Laplace-

Transformation entspricht dann einer einseitigen Fourier-Transformation (0 < t < ∞).

Um dies zu kennzeichnen werden die Terme jω in Gleichung (4.16) durch die Terme s

ersetzt

Y (s) = X (s) · H (s) . (4.20)

Das Losen von Gleichung (4.20) im Frequenzbereich bietet den Vorteil gegenuber dem

Losen der Systemantwort im Zeitbereich, dass sie durch eine Multiplikation der transfor-

mierten Eingangs -und Ubertragungsfunktion im Frequenzbereich

y(t) = h(t) ∗ x(t) ◦ − • Y (s) = H(s) · X(s), s = σ + jω. (4.21)

berechnet werden kann.

Bei Kenntnis der Ubertragungsfunktion H(s) der konzentrierten Elemente des Schaltungs-

simulators lasst sich somit im Frequenzbereich auf eine moglichst einfache technische Rea-

lisierung des Systems zuruckschließen und auf Basis der Systemtheorie beschreiben. Dies

wird in Kapitel 5.2 fur die in Kapitel 4.3 untersuchten Basisfunktionen exemplarisch ge-

zeigt.

4.1.2 Zeitdiskrete Systeme

Oft liegen die Ein- und Ausgangssignale als zeitdiskrete aquidistante Funktionswerte vor.

In diesem Fall kann von einer Beschreibung kontinuierlicher Systeme und Signale (Laplace-

, Fourier-Transformation) zu einer Beschreibung von zeitdiskreten Systemen und Signalen

ubergegangen werden.


Beim Ubergang von linearen kontinuierlichen zu zeitdiskreten Systemen u(n) = u(nT ) wird

das Systemverhalten nicht mehr durch Differentialgleichungen beschrieben, sondern lasst

sich durch das Aufstellen von Differenzengleichungen abbilden

dN yn + dN−1 yn−1 + . . . + d0 · yn−N

− cQ xn−(N−Q)−D − . . . − c1 xn−(N−1)−D − c0 xn−N−D = 0 ; Q ≤ N, (4.22)

wobei M die Anzahl der aquidistanten Stutzstellen tn, n = 0, 1, ...,M , N, Q die Anzahl

der Koeffizienten dk, cm und D eine Totzeit Tt = D · T0, (Abtasttheorem T0 ≤ 12 fg

, T0

Abtastzeitschrittweite, fg hochste Frequenz im Spektrum des Signals) beschreiben.

Analog zu linearen kontinuierlichen Systemen gilt bei zeitdiskreten Systemen mit x(n) =

x(nT ) = ejnωT

H(jω) =y(n)

x(n)

∣∣∣x(n)=ejnωT

. (4.23)

Durch Einsetzen von

y(n) = H(jω) · ejnωT

y(n − 1) = H(jω) · ej(n−1)ωT

...

y(n − N) = H(jω) · ej(n−N)ωT

x(n) = ejnωT

x(n − 1) = ej(n−1)ωT

...

x(n − N) = ej(n−N)ωT (4.24)

in die Differenzengleichung (4.22) und mit D = 0

dN H(jω) · ejnωT + dN−1 H(jω) · ej(n−1)ωT + . . . + d0 H(jω) · ej(n−N)ωT

= cQ ejnωT + cQ−1 ej(n−1)ωT + . . . + c0 ej(n−N)ωT , (4.25)

einer Division von Gleichung (4.25) mit ejnωT , ausklammern von H(jω) auf der linken Seite

und auflosen nach H(jω) ergibt mit H(jω) = H(z = ejωT ) und dN = 1

H(z) =cQ z−(N−Q) + cQ−1 z−(N−(Q−1)) + . . . + c1 z−(N−1) + c0 z−N

1 + dN−1 z−1 + . . . + d1 z−(N−1) + c0 z−N(4.26)

oder

H(z) =Q(z)

P (z)=

cQ zQ + cQ−1 zQ−1 + . . . + c1 z + c0

zN + dN−1 zN−1 + . . . + d1 z + d0

. (4.27)


Der Koeffizient c0 beschreibt den Durchgriff eines sprungfahigen Systems und kann bei

nicht sprungfahigen Systemen zu Null gesetzt werden. Zur Bestimmung der Koeffizienten

dk, cm ist ein uberbestimmtes Gleichungssystem zu losen, was dem abgetasteten System

aus Gleichung (4.22) entspricht (s.a. Gleichung (A.5)).

Die Nullstellen des Nennerpolynoms P (z) aus Gleichung (4.27) entsprechen den Polstellen

z∞µ des Systems.

Mittels einer Partialbruchzerlegung lasst sich Gleichung (4.27) in eine Form bringen, die

es ermoglicht, sie mit Hilfe einer Transformationstabelle (Anhang A.3) in den Zeitbereich

zuruckzutransformieren

H(z) =Y (z)

X(z)=

cQ zQ + cQ−1 zQ−1 + . . . + c1 z + c0

(z − z∞N) (z − z∞(N−1)) . . . (z − z∞2) (z − z∞1)

=AN

(z − z∞N)+

AN−1

(z − z∞(N−1))+ . . . +

A1

(z − z∞1). (4.28)

Fur einfach vorliegende Polstellen bestimmen sich die Ak z.B. fur A1 und z = z∞1

A1(z = z∞1) =cQ zQ + cQ−1 zQ−1 + . . . + c1 z + c0

(z − z∞N) (z − z∞(N−1)) . . . (z − z∞2)= {H(z) · (z − z∞1)}z=z∞1 (4.29)

mit H(z) aus Gleichung (4.28).

Weist das Nennerpolynom P (z) mehrfache Polstellen z∞

H(z) =AL

(z − z∞)L+ . . . +

A2

(z − z∞)2+

A1

(z − z∞)1(4.30)

auf, sind die Ak wie folgt zu bestimmen

Ak =1

(L − k)!

dL−k

dzL−k{H(z) · (z − z∞)L}z=z∞ k = 1, ...L (4.31)

4.2 Funktionsidentifikation

Ausgangspunkt der Funktionsidentifikation ist eine Funktion y, die durch endlich viele

Wertepaare ti, yi = y(ti), i = 1, ...,M in einem beschrankten Intervall [a, b] beschrieben

wird und die durch eine bekannte Funktion y(t) zu approximieren ist [Smi68] [KS93] [RC93]

[PD91].

4.2. FUNKTIONSIDENTIFIKATION 37

Folgende Vereinbarungen zur Funktionsidentifikation werden getroffen:

· Die Funktion y(t) soll fur ein vorgegebenes System von N +1 linear unabhangi-

gen Basisfunktionen h0(t), h1(t), ..., hN(t) ∈ [a, b] mit dem Naherungsansatz

y(t) =N∑k

ak · hk(t) (4.32)

durch Linearkombination der Basisfunktionen hk(t) beschrieben werden,

· ferner wird vereinbart den Approximationsfehler e in der euklidischen-Norm

(L2-Norm)

‖e‖2 =√

eT · e =

√√√√ N∑i=1

|ei|2 → Min. (4.33)

zu beschreiben und hinsichtlich der Approximationsgute zu minimieren und

· die Funktion ist mit moglichst wenigen Polynomgliedern bestmoglich zu appro-

ximieren.

Fur M Funktionswerte yn und N Polynomglieder hk folgt fur M > N ein uberbestimmtes

lineares Gleichungssystem, da mehr Gleichungen als Unbekannte ak existieren.

Zur Approximation der diskret vorliegenden Signalverlaufe y(t) werden in dieser Arbeit

zwei numerische Losungsansatze verfolgt. Sie basieren auf der Methode der kleinsten Feh-

lerquadrate (Gauss’sche Fehlerquadrat Methode, LS) und auf der Losung mittels Sin-

gularwertzerlegung (SVD).

In Kapitel 5.3 werden diese hinsichtlich ihrer Approximationsgute fur verschiedene Basis-

funktionen und Signalverlaufe ausgewertet und diskutiert.

4.2.1 Lineare Approximation im Sinne der Methode der klein-

sten Fehlerquadrate (LS)

Fur die Approximation einer kontinuierlichen Funktion y(t) durch eine Funktion y(t) in

einem endlichen Zeitintervall [a, b] berechnet sich der Fehler in der euklidischen Norm zu

‖e‖2 = ‖(y(t) − y(t))‖2 =

b∫a

[(y(t) − y(t))]2 dt , (4.34)

wobei das Integral in Gleichung (4.34) auch als ein Skalarprodukt

〈u(t), v(t)〉 :=

b∫a

g(t) · u(t) · v(t) dt (4.35)


aufgefasst werden kann. Das Skalarprodukt lasst sich allgemein mit einer sogenannten

Gewichtsfunktion g(t) erweitern, die im allgemeinen g(t) = 1 gesetzt wird. Diese findet

Verwendung in Abschnitt 4.3.1.

Beim Ubergang zu zeitdiskreten Funktionen u(n) = u(n · T0) erhalt man

〈u, v〉 :=m∑

n=1

g(n) · u(n) · v(n) . (4.36)

Fur eine beste Approximation sind somit die Fehlerquadrate

‖y(t) − y(t)‖2 =M∑i=0

(y(ti) − y(ti))2 → Min. (4.37)

zu minimieren. Sie ergeben sich mit dem Naherungsansatz fur y aus Gleichung (4.32) zu

‖e‖2 = 〈y − y, y − y〉 = 〈y −N∑

k=0

ak · hk, y −N∑

k=0

ak · hk〉 . (4.38)

Die Minimierung des Fehlers fuhrt auf die notwendigen Bedingungen, die Differentiale d‖e‖2

daj

zu Null zu setzen und somit aus den N + 1 linearen Gleichungen die N + 1 Koeffizienten

aj der Approximation zu bestimmen. Somit ergibt sich nach [Kas00] mit Gleichung (4.38)

d‖e‖2

daj

= 〈 d

daj

(y −N∑

k=0

ak · hk), y −N∑

k=0

ak · hk〉 + 〈y −N∑

k=0

ak · hk,d

daj

(y −N∑

k=0

ak · hk)〉

= 〈−hj, y −N∑

k=0

ak · hk〉 + 〈y −N∑

k=0

ak · hk,−hj〉 .= 0, j = 0, 1, ..., N.

(4.39)

Fur reellwertige Funktionen ist das Skalarprodukt kommutativ. Die Losung in Gleichung

(4.39) vereinfacht sich dann zu

〈hj, y −N∑

k=0

ak · hk〉 =N∑

k=0

〈hj, hk〉 · ak = 〈hj, y〉 = 〈y, hj〉 (4.40)

und lasst sich als lineares Gleichungssystem

M · a = b (4.41)

mit

M =

〈h0, h0〉〈h0, h1〉 · · · 〈h0, hN〉〈h1, h0〉〈h1, h1〉 · · · 〈h1, hN〉

......

. . ....

〈hN , h0〉〈hN , h1〉 · · · 〈hN , hN〉

, a =

a0

a1

...

aN

, b =

〈y, h0〉〈y, h1〉

...

〈y, hN〉

(4.42)

4.2. FUNKTIONSIDENTIFIKATION 39

schreiben. Die Skalarprodukte in Gleichung (4.42) lassen sich nach Gleichung (4.36) fur

zeitdiskrete Funktionen entsprechend

〈hj, hk〉 :=M∑i=1

hj(ti) · hk(ti), (4.43)

〈y, hj〉 :=M∑i=1

y(ti) · hj(ti). (4.44)

losen.

Betrachtung der Losung fur ein orthogonales Funktionensystem

Das Losen des linearen Gleichungssystems wird numerisch am gunstigsten fur orthogonale

Basisfunktionen hk(t).

Eine unendliche Folge von Basisfunktionen h0(t), h1(t), h2(t), ..., hN(t) bildet ein Orthonor-

malsystem, wenn

〈hj, hk〉 =

∞∫0

hj · hk dt = 0, i = j (4.45)

〈hj, hk〉 =

∞∫0

hj · hk dt = 0, i = j (4.46)

gilt. Da fur 〈hj, hk〉 = 0 mit j = k die Systemmatrix M Diagonalgestalt annimmt, kann

direkt nach a aufgelost und die Koeffizienten

ak =〈hk, y〉〈hk, hk〉 k = j = 0, 1, 2, ..., N (4.47)

berechnen werden.

Ist dies nicht der Fall, kann man entweder nach dem Gram-Schmidtschen Orthogonali-

sierungsverfahren (Anhang A.2) die Basisfunktionen, in ein System orthogonaler Funk-

tionen uberfuhren1 oder das lineare Gleichungssystem z.B. nach dem Gauß-Eliminations-

Verfahren [WP95] [Sto83] numerisch losen. Bei letzteren ist es fur die numerische Losung

gunstig, wenn alle Zeilen- und Spalteneintrage der Systemmatrix in der gleichen Großen-

ordnung vorliegen und die Systemmatrix M diagonaldominat, d.h.

〈hk, hk〉 > 〈hj, hk〉, (4.48)

1Gilt fur beliebige linear unabhangige Basisfunktionen


ist. Ist das nicht der Fall, kann man dies mit einer Diagonalskalierung erreichen. Hierfur

sind die Eintrage der Systemmatrix Mk,j, die Koeffizienten ak und die Komponenten des

Ergebnisvektors b entsprechend

Mk,j =Mk,j√

Mk,k Mj,j

, bk =bk√Mk,k

, ak =ak√Mk,k

. (4.49)

zu transformieren bzw. ruckzutransformieren [Kas00].

4.2.2 Direkte Losung des uberbestimmten Gleichungssystems

(SVD)

Bei der numerischen Auswertung der Skalarprodukte kann sich die Kondition der System-

matrix verschlechtern. Fur die numerische Losung eines uberbestimmten Gleichungssy-

stems kann es dann gunstiger sein, das System direkt mit geeigneten, numerisch stabilen

Verfahren zu losen. Die Auswertung der Approximations- und Simulationsergebnisse der

Blackbox-Modelle in Abschnitt 5.3 wird zeigen, das dies unter bestimmten Randbeding-

ungen zutrifft.

Im Gegensatz zum vorangegangenen Abschnitt wird die Systemmatrix M direkt mit den

Basisfunktionen hk(ti) und der Ergebnisvektor b mit den y(ti) gefullt (k = 0, ..., N und

i = 1, ...,M))

h0(t1) h1(t1) · · · hN(t1)

h0(t2) h1(t2) · · · hN(t2)...

.... . .

...

h0(tM) h1(tM) · · · hN(tM)

·

a0

a1

...

aN

=

y(t1)

y(t2)...

y(tM)

. (4.50)

Das fur M > N uberbestimmte Gleichungssystem wird unter Verwendung der Singularwert-

zerlegung (Singular Value Decomposition (SVD)) gelost und der Fehler in der L2-Norm be-

rechnet. Beim SVD-Verfahren handelt es sich um ein numerisch stabiles Verfahren, das fur

uberbestimmte Systeme eine beste Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate

liefert [WP95] [GG88].

4.3 Untersuchung geeigneter Basisfunktionen

Auf die Modellierung von Diffusionsprozessen mittels Blackbox-Modellen wirkt es sich

gunstig aus, wenn die Basisfunktionen hk nach bestimmten Kriterien ausgewahlt werden.

So sollten diese aufgrund ihres Funktionsverlaufs z.B. den zeitlichen Verlauf der Temperatur

4.3. UNTERSUCHUNG GEEIGNETER BASISFUNKTIONEN 41

unterstutzen und sich zudem durch moglichst wenige und einfache konzentrierte Elemente

abbilden lassen. Numerisch positiv wirkt sich auf den Approximationsfehler aus, wenn

die Basisfunktionen orthogonal sind. Auf die Rechenzeit wirkt sich positiv aus, wenn die

Basisfunktionen so einfach sind, dass sie eine analytische Bestimmung der Skalarprodukte

erlauben und somit keine numerische Auswertung mehr stattfinden muss. Aus numerischer

Sicht ergeben sich folgende Kriterien fur die Wahl der Basisfunktionen:

· Unterstutzung der Funktionsverlaufe von Diffusionsprozessen

· Einfache Funktionen (analytische Auswertung der Skalarprodukte)

· Orthogonales Funktionensystem (reine Diagonalmatrix)

· Abbildung durch moglichst wenige und einfache konzentrierte Elemente

Zu den bekanntesten orthogonalen Funktionen gehoren die Fourier-, die Legendre- und die

Tschebyscheff-Funktion, mit denen sich ein vollstandiges orthonormales Funktionensystem

abbilden lasst [Mer96].

Die genannten Funktionen lassen sich unter Berucksichtigung der zusatzlichen Randbe-

dingungen aber nur schwer mit aktiven und/oder passiven Bibliothekselementen eines

Schaltungssimulators abbilden. So wird in [Hei95] die Beschreibung eines Verhaltensmo-

dells mittels Tschebyscheff-Polynome gezeigt, das sich auf den Schaltungssimulator PSpice

recht aufwendig abbilden lasst. Zur Darstellung eines Polynoms werden zwei stromgesteu-

erte und eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle, eine spannungsgesteuerte Polyquelle

und zwei MOS-Transistor-Modelle benotigt.

Anders ist dies fur die Polynome der modifizierten Laguerre-Funktion, die den Vorteil bie-

ten, dass zu ihnen eine einfache Laplace-Transformierte existiert, die sich gunstigerweise

durch wenige und einfache konzentrierte Elemente abbilden lasst und durch ihre exponen-

tiell abklingenden Funktionsverlaufe eine Funktionsapproximation von Diffusionsprozessen

unterstutzt.

Die thermische Warmeausbreitung in einem physikalischen Medium verhalt sich ahnlich

dem Funktionsverlauf der Exponentialfunktion. Obwohl die Exponentialfunktionen als Ba-

sisfunktionen kein Orthogonalsystem bilden, lasst sich widererwarten zeigen, dass sie die

Funktionsapproximation von Ausgleichsvorgangen unterstutzen. So lassen sich mit Hil-

fe der Exponentialfunktion gute Approximationsergebnisse innerhalb eines beschrankten

Intervals [0, b] in Bezug auf Diffusionsprozesse erzielen. Hinzu kommt, dass sie die Abbil-

dung durch wenige und einfache passive und aktive konzentrierte Bibliothekselemente des

Schaltungssimulators begunstigt.


Im folgenden werden nun zunachst die Polynome der Laguerre-Funktion und der Exponen-

tialfunktion zur Modellbildung fur Diffusionsprozesse vorgestellt.

Fur die Exponentialfunktionen wird zunachst die Modellbildung fur die Basisfunktion

hk(t) = 1 − e− t

τk untersucht. Die Zeitkonstanten τk = Tk

im Exponenten der Exponential-

funktion werden durch die Konstante T gestreckt. Durch optimale Wahl der Konstanten

T lasst sich der Approximationsfehler e (Gleichung (4.33)) minimieren. Hierfur gibt es

zahlreiche Optimierungsverfahren [WP95].

Abschließend wird auf ein Verfahren eingegangen, das auf den Mathematiker Prony zuruck-

geht. Der Algorithmus verwendet die Basisfunktionen hk(t) = et

τk , deren Zeitkonstanten

τk = 1αk

voneinander unabhangig bestimmt werden. Der Vorteil ist, dass bei der Losung

des Gleichungssystems die Zeitkonstanten τk gleich mitgeliefert werden.

Die Modellabbildung der untersuchten Polynome in einem Ersatznetzwerk durch konzen-

trierte Elemente behandelt Abschnitt 5.2.2.

4.3.1 Laguerre Polynome

Die Laguerre-Polynome

Lk(t) = et · dk

d tk(tk · e−t), k = 0, 1, 2, ..., N (4.51)

lassen sich mit der Rekursionsformel

Lk(t) =[(2k − 1 − t) Lk−1(t) − (k − 1)2 Lk−2(t)

](4.52)

berechnen. Mit der Normierung

λk(t) =1

k!Lk(t), k = 0, 1, 2, ..., N (4.53)

erhalt man im Intervall [0,∞] mit der Gewichtungsfunktion g(t) = e−t ein orthonorma-

les Funktionensystem [Mer96]. Die ersten drei Basisfunktionen der normierten Laguerre-

Polynome λk(t) lauten

λ0(t) = 1, λ1(t) = 1 − t, λ2(t) = 1 − 2t +1

2t2 (4.54)

und allgemein

λk(t) =1

k[(2k − 1 − t) λk−1(t) − (k − 1) λk−2(t)] . (4.55)

Das Skalarprodukt nach Gleichung (4.35) ergibt sich fur die normierten Laguerre-Polynome

zu

〈λj, λk〉 =

∫ ∞

0

e−t · λj(t) · λk(t) dt . (4.56)


Um die Laguerre-Polynome nun fur eine Funktionsapproximation nutzen zu konnen, wird

die Gewichtsfunktion g(t) = e−t in Gleichung (4.56) wie folgt aufgeteilt

〈λj, λk〉 =

∫ ∞

0

e−t2 λj(t) · e− t

2 λk(t) dt (4.57)

und Gleichung (4.57) mit g(t) = 1 zu

〈λj, λk〉 =

∫ ∞

0

yj(t) · yk(t) dt (4.58)

umgeformt. Wird die Zeitvariable t noch mit dem Faktor 2p gestreckt, so existiert fur diese

modifizierten Laguerre-Polynome

hk(t) = yk(2pt) =e−pt

k!Lk(2pt) = e−ptλk(2pt) , (4.59)

bei einer Impulserregung δ(t), die Laplace-Transformierte

L{hk(t)} =(s − p)k

(s + p)k+1, (4.60)

deren Basisfunktionen hk(t) sich durch ein Netzwerk aus konzentrierten Komponenten in

einem Schaltungssimulatormodell abbilden lassen

hk(t) = e−pt e2pt

k!

dk

dtk(tke−2pt) = e−pt

k∑i=0

(k

i

)(−2pt)i

i!. (4.61)

Der Faktor p kann als reziproker Wert einer Zeitkonstanten T

p =1

T(4.62)

gewertet werden und wird gemaß der Forderung aus Gleichung (4.32) den Fehler e zu

minimieren, optimiert.

Abbildung 4.3 stellt den Verlauf fur die ersten vier Basisfunktionen hk(t) = e−ptλk(2pt)

der modifizierten Laguerre Funktionen λk(t) = 1k!

Lk(t) mit p = 12

dar.

Die Koeffizienten a ergeben sich aus dem Verhaltnis des Vektors b und der Systemmatrix

M

a =b

M(4.63)

bzw.

ak =〈y, hk〉〈hk, hk〉 k = 0, 1, 2, ..., N. (4.64)


0 1 2 3 4 5

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h0

h1

h2

h3

Pol

ynom

e

h k(

t ) =

(e

-p t /

k! )

Lk(2

pt)

t

Abb. 4.3. Basisfunktionen hk(t) = e−ptλk(2pt), (k = 0, 1, 2, 3) der modifizierten La-guerre Funktionen λk(t) = 1

k!Lk(t) fur p = 12

Die Skalarprodukte 〈y, hk〉 und 〈hk, hk〉 werden gemaß Gleichung (4.43) und (4.44) genahert.

Die hk(t) werden rekursiv bestimmt mit

h0(t) = e−pt, h1 = e−pt(1 − 2pt), hk(t) = e−ptλk(2pt) (4.65)

und allgemein

hk(t) = e−pt 1

k[(2k − 1 − 2pt) λk−1(2pt) − (k − 1)λk−2(2pt)] (4.66)

oder

hk(t) =1

k[(2k − 1 − 2pt) hk−1(t) − (k − 1)hk−2(t)]. (4.67)

Die Funktion y(t) ist nun aber in einem endlichen Intervall [0, b] bekannt. Dies fuhrt zu

einem Verlust der Orthogonalitat (Bedingung [0,∞]) und somit zu einer nicht mehr diago-

nalen Systemmatrix M . Bei der numerischen Auswertung des Gleichungsystems zeigt sich

jedoch vorteilhaft fur die modifizierten Laguerre-Polynome, dass die Systemmatrix eine

sehr gute Kondition hat.

Die Bestimmung der Koeffizienten ak resultiert aus dem linearen Gleichungssystem nach

Gleichung (4.41).


4.3.2 Exponentialfunktion

Der Einsatz von Polynomen die auf der Exponentialfunktion basieren, verspricht eine ein-

fache numerische Bestimmung der Modellkoeffizienten und lasst sich zudem gut in einem

Ersatznetzwerk aus einfachen konzentrierten Elementen abbilden.

Zunachst wird die Exponentialfunktion mittels des ExpDecay-Polynoms

hk(t) = 1 − e− t

τk , τk =T

k, (T = const.) (4.68)

untersucht, wobei die Zeitkonstanten τk im Exponenten der Exponentialfunktion vom Po-

lynomgrad abhangig bestimmt werden.

0 1 2 3 4 50,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

h1

h2

h3

h4

h5

h6

Pol

ynom

e

h k (

t) =

1 -

e-

t / τ

k

t

Abb. 4.4. Basisfunktionen hk = 1 − e− t

τk , k = 1, 2, ..., 6 der ExpDecay-Funktion mitτk = T

k , T = 1

Anschließend wird das Polynom basierend auf der Exponentialfunktion eakt

hk(t) = et

τk , τk =1

ak

(4.69)

untersucht, wobei die Zeitkonstanten τk im Exponenten der Exponentialfunktion, nach dem

Prony-Ansatz, vom Polynomgrad unabhangig bestimmt werden.


4.3.2.1 Linear abhangige Zeitkonstanten

Nach Gleichung (4.32) ergibt sich mit den Polynomen, die auf der ExDecay-Funktion ba-

sieren, aus Gleichung (4.68)

y(t) =N∑

k=0

ak · hk(t) =N∑

k=0

ak · (1 − e− t

τk ). (4.70)

Die Skalarprodukte der Systemmatrix M in Gleichung (4.41) lassen sich fur die Polynome

im Intervall [a, b] mit k, j = 0, 1, 2, ..., N aufgrund ihrer einfachen Struktur analytisch

bestimmen

〈hk, hj〉 =

∫ b

a

(1 − e− t

τk ) · (1 − e− t

τk ) dt

=

∫ b

a

(1 − e− t

τk − e− t

τk + e−t

τk+τjτkτj ) dt

=

[t + τk e

− tτk + τj e

− tτj − τkτj

τk + τj

e−t

τk+τjτkτj

]b

a

(4.71)

und fur t ∈ [a = 0, b]

〈hk, hj〉 =

(

b + τk e− b

τk + τj e− b

τj − τkτj

τk+τje−b

τk+τjτkτj

)k > 0, j > 0

0 k = 0, j = 0(4.72)

Eine Orthogonalitatsprufung der Basisfunktonen hk(t) = 1 − e− t

τk und hj(t) = 1 − e− t

τj

mit den Zeitkonstanten τk = Tk

und τj = Tj

und T = 1 in Bezug auf das Skalarprodukt

ergibt fur k = j

〈hk(t), hj(t)〉 =

b∫a

[1 − e−k·t − e−j·t + e−(k+j)·t]dt =

t +e−k·t

k+

e−j·t

j− e−(k+j)·t

k + j|ba = 0 , (4.73)

dass die ExDecay-Funktion nicht orthogonal ist. Trotzdem lassen sich, wie in Kapitel 5.3

gezeigt wird, sehr gute Approximationsergebnisse erzielen.

Die Skalarprodukte der rechten Seite von Gleichung (4.41)

〈y, hj〉 =

∫ b

a

y(t) · (1 − et

τj ) dt (4.74)

sind numerisch auszuwerten. Durch Losen des linearen Gleichungssystems nach Gleichung

(4.41) werden die Koeffizienten ak ermittelt.


4.3.2.2 Linear unabhangige Zeitkonstanten (Prony-Reihe)

Eine andere Form der Bestimmung der Koeffizienten ak bietet die von Prony vorgeschlagene

Methode. Vorteil dieser Methode ist, dass die optimalen Zeitkonstanten τk im Exponenten

der Exponentialfunktion mit der Losung des linearen Gleichungssystems gleich mitgelie-

fert werden und nicht erst durch ein Optimierungsverfahren ermittelt werden mussen. Im

Gegensatz zum vorangegangenen Ansatz sind die Zeitkonstanten τk linear unabhangig von

der Polynomreihe [Ham73].

Nachteil dieser Methode ist, dass die Funktionswerte f(tn) der zu approximierenden Funk-

tion in aquidistanten Stutzstellen f(n) = f(n · T0) vorliegen mussen. Dies kann sich aber

gerade bei der Nutzung von transienten Simulationsergebnissen (z.B. Feldsimulation) als

ungunstig erweisen, da die Wahl der Simulationsschrittweiten T0 die Simulationsdauer be-

einflusst. So lasst sich die Simulationszeit und auch der Speicherbedarf erheblich verkurzen

bzw. herabsetzen, wenn die Simulationsschrittweite dem transienten Systemverhalten an-

gepasst wird. Es ist dann sinnvoll die Schrittweite bei einem kleinen Gradienten einer

Systemgroße groß zu wahlen, wahrend bei großem Gradienten die Schrittweite entspre-

chend kleiner zu wahlen ist, damit die Losung des nachsten Zeitschritts moglichst genau

berechnet werden kann.

Prony geht davon aus, dass sich eine Funktion y(t), die in aquidistanten Zeitschritten

zeitdiskret vorliegt, durch eine Exponentialreihe

y(t) =N−1∑k=0

ak hk = a0 et

τ0 +a1 et

τ1 + ...+aN−1 et

τN−1 , t = tn (n = 0, 1, ...,M − 1) (4.75)

beschreiben lasst, deren Terme zunachst von zwei Großen, den Konstanten αk = 1τk

und

einer Variablen t abhangen. Die Reihe wird nun mit

hk = eαkt = (eαk)t ≡ ρtk k = 0, 1, ..., N − 1 (4.76)

so umgestaltet, das die Basisfunktionen hk nur noch linear von der Variablen t, hier der

Zeit, abhangen

y(t) = a0 ρt0 + a1 ρt

1 + ... + aN−1 ρtN−1 . (4.77)

Jeder dieser Exponentialterme eαkt erfullt nun gerade eine lineare Differenzengleichung mit

konstanten Koeffizienten dk der Ordnung N , deren charakterische Wurzeln durch ρk = eαk

gegeben sind.

Die Funktion y(t), beschrieben durch die Funktionswerte y(tn), t = tn mit (n = 0, 1, ...,M−1), lasst sich als Differenzengleichung wie folgt schreiben:

y (N + n) + dN−1 · y (N − 1 + n) + dN−2 · y (N − 2 + n) + ... + d0 · y (n) = 0 (4.78)


Zum Bestimmen der Koeffizienten dk, (k = 0, 1, ..., N −1) der N Differenzengleichungen ist

das in Gleichung (4.80) dargestellte Gleichungssystems aufzustellen, wobei N die Anzahl

der Polynomterme beschreibt. Es werden M ≥ 2 N aquidistante Funktionswerte y(n) =

y(n · T0) mit der Abtastschrittweite T0 = const. benotigt.

Mit Gleichung (4.78) ergeben sich M Differenzengleichungen,

d0 · y(0) + d1 · y(1) + . . . + dN−2 · y(N−2) + dN−1 · y(N−1) = −y(N)

d0 · y(1) + d1 · y(2) + . . . + dN−2 · y(N−1) + dN−1 · y(N) = −y(N+1)

d0 · y(2) + d1 · y(3) + . . . + dN−2 · y(N) + dN−1 · y(N+1) = −y(N+2)

d0 · y(3) + d1 · y(4) + . . . + dN−2 · y(N+1) + dN−1 · y(N+2) = −y(N+3)

... +... +

... +... +

... =...

d0 · y(M−1) + d1 · y(M) + . . . + dN−2 · y(N+M−3) + dN−1 · y(N+M−2) = −y(N+M−1)

(4.79)

aus denen sich das folgende lineare Gleichungssystem ergibt

y(0) y(1) · · · y(N−1)

y(1) y(2) · · · y(N)

y(2) y(3) · · · y(N+1)

......

. . ....

y(M−1) y(N−(N−1)+M−1) · · · y(N−1+M−1)

·

d0

d1

d2

...

dN−1

=

−y(N)

−y(N+1)

−y(N+2)

...

−y(N+M−1)

(4.80)

Fur den Fall, dass exakt gleich viele Gleichungen wie Unbekannte dk vorliegen (M = N)

ergibt sich eine Persymmetrische Determinate2. Ist diese Determinate ungleich Null, lassen

sich die dk bestimmen.

Fur den Fall, dass mehr als 2 N Funktionswerte (M > 2 N) vorliegen, fuhrt dies auf ein

uberbestimmtes System. Die Unbekannten dk sind dann im Sinne der kleinsten Fehlerqua-

drate zu ermitteln.

Prony beobachtete nun, dass jedes eαk t die Differenzengleichung mit konstanten Koeffizi-

enten dk der Ordnung N erfullt, deren charakteristische Wurzeln ρk = eαk sind. Folglich

erfullt auch y(t) diese Differenzengleichung.

Mit den aus Gleichung (4.80) gewonnenen dk lassen sich die charakteristischen Wurzeln

ρ0, ρ1, ρ2, ..., ρN−1 bestimmen,

ρM + dN−1 · ρM−1 + dN−2 · ρM−2 + ... + d0 · ρM−N = 0 (4.81)

deren Losungen ρk, bereits die gesuchten Zeitkonstanten τk im Exponenten der Exponen-

tialfunktion der Polynome

τk =1

αk

=1

ln ρk

(4.82)

2Eine Determinante heißt Persymmetrische Determinante, wenn alle Eintrage, die rechtwinklig zur

Hauptdiagonalen stehen, den gleichen Wert des Hauptdiagonaleneintrags haben [Mui33].


liefern. Zum Losen der Koeffizienten ak wird mit

y(n) =N−1∑k=0

ak ρnk (4.83)

das folgende Gleichungssystem aufgestellt

ρ00 ρ0

1 · · · ρ0N−2 ρ0

N−1

ρ10 ρ1

1 · · · ρ1N−2 ρ1

N−1...

.... . .

......

ρM−20 ρM−2

1 · · · ρM−2N−2 ρM−2

N−1

ρM−10 ρM−1

1 · · · ρM−1N−2 ρM−1

N−1

·

a0

a1

...

aN−2

aN−1

=

y(0)

y(1)...

y(M − 2)

y(M − 1)

. (4.84)

Da fur ρ0k = 1 gilt, entspricht die Matrix in Gleichung (4.84) einer Vandermonde’schen

Determinaten

1 1 · · · 1 1

ρ10 ρ1

1 · · · ρ1N−2 ρ1

N−1...

.... . .

......

ρM−20 ρM−2

1 · · · ρM−2N−2 ρM−2

N−1

ρM−10 ρM−1

1 · · · ρM−1N−2 ρM−1

N−1

·

a0

a1

...

aN−2

aN−1

=

y(0)

y(1)...

y(M − 2)

y(M − 1)

. (4.85)

Fur eine effiziente Approximation der Funktion y(t) ist es anzustreben, dass mehr Stutz-

stellen M als Systemkoeffizienten N existieren. In diesen Fall sind mehr Gleichungen als

Unbekannte vorhanden und das Gleichungssystem wird uberbestimmt.

Das lineare Gleichungssystem aus Gleichung (4.85) lasst sich numerisch gut mit dem Ver-

fahren der ’Singularwertzerlegung’ (SVD) losen.

Die Losungen der charakteristischen Wurzel konnen auch konjugiert komplex werden. Fur

den Fall, dass kein schwingfahiges System abgebildet werden soll, werden nur die reellen

Anteile der Losungen benotigt. Dadurch treten die reellen Anteile der konjugiert komplexen

Losungen mehrfach auf. Die Anzahl der Polynomterme in Gleichung (4.75) lasst sich dann

gerade um diese doppelt auftretenden Terme reduzieren, ohne das die Genauigkeit der

Approximation beeinflusst wird.

Somit sind alle Koeffizienten ak und die Zeitkonstanten τk bestimmt und die Funktion y(t)

nach Gleichung (4.75) approximiert.

Anhang A.1 zeigt, dass unter Verwendung von diskret vorliegenden Funktionswerten

y(n), tn, n = 0, 1, ...,M das Verfahren von Prony unter bestimmten Randbedingung-

en auf das Verfahren der Z-Transformation ubertragen werden kann.

50

Kapitel 5

Makromodelle fur transiente

thermische Ausgleichsvorgange zur

Simulation in einem

Netzwerksimulator

Zur Simulation auftretender zeitabhangiger Temperaturverlaufe eines elektronischen Bau-

elementes, in allen erlaubten elektrischen Betriebszustanden, ist eine dynamische Kopplung

des elektrischen Modellverhaltens mit der Beschreibung seiner thermischen Eigenschaften

erforderlich. Fur die Beschreibung der thermischen Eigenschaften in einem Analogsimula-

tor wird bevorzugt versucht diese durch ein elektrisches Analogmodell zu ersetzen. Je nach

Problemstellung bieten sich hierfur Glassbox- und Blackbox-Modelle an. Beide Modelle

werden durch konzentrierte Elemente des Analogsimulators beschrieben.

5.1 Glassbox-Modelle

Warmeleitung

Die Ausbreitung von Warme in einem System kann grundsatzlich auf drei unterschiedliche

Arten erfolgen, uber Konvektion, Warmestrahlung und Warmeleitung. Innerhalb elektro-

nischer Bauelemente liegt i.a. reine Warmeleitung vor, die sich in einem Festkorper durch

das Fouriersche Gesetz

λ grad T = −j (5.1)

und den Energieerhaltungssatz

div j = w − cp ρ∂T

∂t(5.2)

51

52 KAPITEL 5. MAKROMODELLE FUR THERMISCHE AUSGLEICHSVORGANGE

und die daraus resultierende Warmeleitungsgleichung

div(λ grad T ) = λ∇2T + (∇λ)(∇T ) = −w + cp ρ∂T

∂t(5.3)

beschreiben lasst. Hierbei steht λ fur die Warmeleitfahigkeit, cp fur die spezifische Warme-

kapazitat, ρ fur die Dichte des Materials, j fur den Warmefluß, w fur die vorhandene

Warmequellendichte in einem Volumenelement und T fur die Temperatur.

Fur homogene isotrope Materialien, d.h. λ, cp, ρ sind konstant bzw. werden als von der

Temperatur unabhangig betrachtet, folgt aus der partiellen Differentialgleichung (5.3) die

spezielle Warmeleitungsgleichung

∇2T = −w

λ+

cp ρ

λ

∂T

∂t, (5.4)

die sich im stationaren Fall zur Poissongleichung (5.5a) und im quellenfreien Fall zur La-

placegleichung (5.5b)

a) ∇2T = −w

λ, b) ∇2T = 0 (5.5)

reduziert [GA92] [KS96].

Ersatznetzwerk fur die Warmeleitung

Haufig wird fur die Beschreibung des Warmeflusses in einem Festkorper nur der eindimen-

sionale Fall betrachtet. Hierfur reduziert sich die Gleichung (5.4) zu

∂2T

∂x2= −w

λ+

cp ρ

λ

∂T

∂t, (5.6)

wobei x fur die Ortskoordinate in Warmeausbreitungsrichtung steht.

Zur Beschreibung des thermischen Verhaltens mittels konzentrierter Elemente eines Ana-

logsimulators wird ein Vergleich mit der Beschreibung der elektrischen Leitung (Abbildung

5.1a) gemacht, um einen eventuellen Zusammenhang zwischen Warmeleitungs- und Lei-

tungsgleichung zu nutzen. Die Leitungsgleichung

∂2U

∂x2= C ′L′ ∂2U

∂t2+ (C ′R′ + G′L′)

∂U

∂t+ G′R′ U (5.7)

beschreibt das elektrische Verhalten eines Leiters.

Zunachst ergeben sich allerdings keine Analogien zwischen Warmeleitungs- und Leitungs-

gleichung, da beide Gleichungen zwei grundlegend verschiedene physikalische Prozesse

(Wellenleitung bzw. Diffusions- oder Ausgleichsprozess) beschreiben. In Gleichung (5.7)

beschreibt C ′ den Kapazitatsbelag, R′ den Widerstandsbelag, L′ den Induktivitatsbelag

und G′ den Querleitwertsbelag.

5.1. GLASSBOX-MODELLE 53

Unter dem Aspekt, dass es im Bereich der Warmeleitung in Festkorpern aber kein direktes

Analogon zum elektrischen Begriff der Induktivitat gibt und ein Volumenelement sich nicht

selbst, sondern nur durch Warmeableitung entwarmen kann, lasst sich dies rein formal

durch L′ = 0 und G′ = 0 beschreiben [PN00]. Damit reduziert sich die Leitungsgleichung

(5.7) zu∂2U

∂x2= C ′R′ ∂U

∂t(5.8)

und besitzt somit die gleiche Form1 wie die Warmeleitungsgleichung (5.6). Somit lasst

sich das Ersatzschaltbild fur die elektrische Leitung unter der oben genannten Uberlegung

(L′ = 0 und G′ = 0) auf die Beschreibung eines thermischen Pfads projezieren.

(a)

( : � �+ : � �

� : � �, : � �

� � � (b)

( : � � + : � �

� � �

� � ��

Abb. 5.1. (a) Ersatzschaltbild eines elektrischen Leiters fur ein Teilstuck der Lange∆l. (b) Ersatzschaltbild eines thermischen Pfads der Lange ∆l (L′ = 0, G′ = 0). Be-trachtung fur den quellenfreien Fall (w = 0).

Hierbei verhalt sich die Spannung U [V ] analog zur Temperatur T [K], der Strom I [A]

analog zum Warmestrom der elektrischen Verlustleistungsquelle PV [W ], die Widerstande

R [VA

] analog zu den thermischen Widerstanden Rth [ KW

] und die Kapazitaten C [AsV

] analog

zu den thermischen Kapazitaten Cth [WsK

].

Die thermischen Elemente Rth und Cth sind wie folgt

Rth =d

λ A, Cth = cp ρ d A (5.9)

mit d Schichtdicke und A Querschnittsflache definiert.

Eine Ahnlichkeit zwischen den Energieformen wie im Fall der Leitungs- und Warmeglei-

chung lasst sich auch entsprechend der Randbedingung auf weitere Energieformen, wie

Flussigkeitstransport, Magnetischer Kreis, Stabnetzwerke und die Teilchendiffusion erwei-

tern. So lassen sich die Beziehungen zwischen den Energieformen aufeinander ubertragen,

indem man die Korrespondenz zwischen den Potential- und Flußgroßen und den Material-

gesetzen hergestellt [Kas00].

1Kirchhoff (1845): ’Zwei verschiedene Energieformen laufen gleichartig ab, wenn die grundlegenden

Differentialgleichungen gleiche Form haben und die Rand- und Grenzbedingungen ubereinstimmen’[Gei61].


Transiente thermische Impedanz

Um den transienten Verlauf der Temperatur in den aktiven Schichten auch fur beliebi-

ge Verlustleistungsprofile PV (t) zu beschreiben, wird ein transienter scheinbarer Warme-

widerstand, die transiente thermische Impedanz Zth eingefuhrt [inc95] [Ins99]. Mit den

Uberlegungen aus dem vorangegangenen Abschnitt (Abbildung 5.1b) lasst sich ein einfa-

ches Modell einer Schicht fur die Warmeleitung mit der in Abbildung 5.2 dargestellten

thermischen Ersatzschaltung beschreiben.

; % . � /

& <

+ � � ( � �

Abb. 5.2. Einfachste Form einer thermischen Ersatzschaltung

PV beschreibt dabei den Warmestrom einer elektrischen Verlustleistungsquelle, TJ die

Temperatur in der aktiven Schicht, Rth und Cth die thermischen Großen des Systems.

∆T (t) = TJ − T0 beschreibt die Temperaturdifferenz zwischen der aktiven Schicht TJ

bezuglich der Anfangstemperatur T0. Stellt man die Knotengleichung fur die Ersatzschal-

tung auf

PV − ∆T (t)

Rth

− Cthd

dt∆T (t) = 0 , (5.10)

erhalt man eine gewohnliche, lineare Differentialgleichung

d

dt∆T (t) +

1

Rth · Cth

∆T (t) =PV

Cth

, (5.11)

die sich losen lasst mit

∆T (t) = A · (1 − e− t

Rth·Cth ) . (5.12)

Aus der zeitlichen Ableitung

d

dt∆T (t) =

A

Rth

· e− tRth·Cth (5.13)

lasst sichA

Rth · Cth

· e− tRth·Cth +

A

Rth · Cth

· (1 − e− t

Rth·Cth ) =PV

Cth

(5.14)

aufstellen und die Konstante A

A = PV · Rth (5.15)


ermitteln. Nach Einsetzen der Losung ergibt sich fur ∆T (t)

∆T (t) = PV · Rth · (1 − e− t

Rth·Cth ) (5.16)

und fur die transiente thermische Impedanz Zth(t)

Zth(t) =∆T (t)

PV

= Rth · (1 − e− t

Rth·Cth ) . (5.17)

Die Losung fur die transiente thermische Impedanz Zth(t) aus Gleichung (5.17) gilt nur

fur die Beschreibung einer Schicht. Ist ein mehrschichtiges System zu modellieren, ergibt

sich ein Ersatzschaltbild nach Abbildung 5.9. Das zugehorige Zth(t) wird entsprechend

dem Leitungsnetzwerk aufgestellt. Gleichung (5.18) beschreibt die transiente thermische

Impedanz Zth(s).

Zth(s) =1

s Cth,1 + 1Rth,1+ 1

s Cth,2+...+ 1Rth,n

(5.18)

fur die Losung im Laplace-Bereich.

� 0 � 2

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( $(

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( $ 0

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Abb. 5.3. Transiente thermische Impedanz


Die transiente thermische Impedanz charakterisiert in Abhangigkeit von der Pulsdau-

er d, der Pulsperiodendauer D und dem Betrag der Verlustleistungsquelle PV das tran-

siente thermische Verhalten Zth des physikalischen Aufbaus bzw. des Bauelementes. Der

transiente Warmewiderstand entspricht bei einem einmaligen Puls systemtheoretisch der

Sprungantwort und beinhaltet somit die vollstandige thermische Beschreibung des Systems

(Abbildung 5.3).

Mit Hilfe des Warmewiderstandes Zth lasst sich der Verlauf der Temperatur in der aktiven

Schicht TJ

TJ(t) = T0 +

∫ t

0

Zth(t − τ)dPV (τ)

dτdτ (5.19)

fur jedes beliebige Verlustleistungsprofil PV (t) berechnen [Mic92].

Ein gepulstes Verlustleistungsprofil PV (t) lasst sich z.B. als Summe von Sprungfunktionen

σ(t)

PV (t) =∑i=1

(−1)i−1 · σ(t − τi) (5.20)

beschreiben. Wird Gleichung (5.20) nach der Zeit abgeleitet

dPV (t)

dt=∑i=1

(−1)i−1 · δ(t − τi) (5.21)

und in Gleichung (5.19) eingesetzt, ergibt sich mit der allgemeinen Losung fur das Fal-

tungsintegral mit dem Dirac-Impuls δ(t)∫A(τ) · δ(t − τ) dτ = A(t) , (5.22)

fur TJ(t) allgemein

TJ(t) = T0 +∑i=1

(−1)i−1 · Rth · (1 − e− t−τi

Rth·Cth ) (5.23)

und fur eine, nach Abbildung 5.3 definierte, Pulsfolge mit τ gi = i · D und τu

i = τ gi + d

TJ(t) = T0 + Rth ·N−1∑i=0

((1 − e

− t−i·DRth·Cth )

∣∣∣i< t

D

− (1 − e− t−(i·D+d)

Rth·Cth )∣∣∣i< t−d

D

). (5.24)

In Abbildung 5.4 ist der Temperaturverlauf TJ(t) nach Gleichung (5.24) fur eine Pulsfolge

mit verschiedenen Pulsweiten d = 0.2s, 0.5s, 0.8s, 1s und konstanter Pulsperiodendauer

D = 1s dargestellt.


0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

d/D = 1

T [˚

C]

t [s]

d/D = 0.2

d/D = 0.5

d/D = 0.8

Abb. 5.4. Temperatur TJ(t) fur eine Pulsfolge mit verschiedenen Pulsweiten d undkonstanter Pulsperiodendauer D nach Gleichung (5.24)

5.1.1 Modell fur einen Stab

Betrachtet wird ein eindimensionaler Stab mit der Warmeleitfahigkeit λ, der spezifischen

Warmekapazitat cp und der Materialdichte ρ, dessen Materialien als homogen und isotrop

vorausgesetzt sind. Der Stab lasst dabei eine Warmeausbreitung nur in Langsrichtung x

zu (Abbildung 5.5).

Um den Stab in ein Ersatzschaltbild aus konzentrierten Elementen eines Analogsimulators

gemaß Abbildung 5.1 b zu uberfuhren, wird der Stab

& . 1 ) 5 $ � / & . 1 ) � $ � /

* 6 % % % �1� � �

Abb. 5.5. Modell des Stabes mit der Lange L und dessen Segmentierung

der Lange L dafur in n Segmente der Lange ∆ l unterteilt. Die thermischen Widerstande

und Warmekapazitaten der Segmente lassen sich durch ihre langenabhangigen Belage R′th,j


und C ′th,j

Rth =1

λ

∆ l

A= R′

th ∆ l (5.25)

Cth = ρ cp A ∆ l = C ′th ∆ l

mit ∆ l =L

n

angeben.

+ � � *( � � 6 + � � 6

+ � � $ �( � � * ( � � $ �

& . 1 ) 5 $ � / & . 1 ) � $ � /

Abb. 5.6. Ersatzschaltbild fur einen Stab der Lange L zur Berechnung der Tempera-turverteilung

Gemaß Gleichung (5.1) lasst sich der Zusammenhang zwischen Warmestrom J th und der

Temperatur Tj in den Segmenten durch

Tj+1 − Tj = R J th (5.26)

beschreiben. Aus der Betrachtung der Bilanz der Warmemenge (Gleichungen (5.1)) fur

ein Segment ergibt sich unter angenommener Quellenfreiheit im Segment w = 0 fur den

Warmestrom J th durch die Oberflachen in x-Richtung, dass die im Segment zeitlich ge-

speicherte Warmeenergie

Jth = Cd T

d t(5.27)

dem Warmestrom entspricht.

Die kontinuierliche Temperaturverteilung langs des Stabs wird durch die Mittelwerte der

Temperaturen in den einzelnen Segmenten, reprasentiert durch die Punkte x = j ∆ l,

ersetzt [Kas00].

Zum Berechnen des Temperaturverhaltens verwendet man entweder einen Analogsimulator

oder stellt gemaß der Knotenpotentialanalyse fur das Ersatzschaltbild die Netzwerkgleich-


nung (5.28)

2G −G 0 0

−G 2G −G 0

0 −G −2G. . .

.... . . . . . −G

0 0 · · · −G G

T1

T2

T3

...

Tn

+

C 0 0 0

0 C 0 0

0 0 C 0

. . ....

0 0 0 · · · C

d

d t

T1

T2

T3

...

Tn

=

−TSR

0

0

...

0

(5.28)

auf. Hierfur ist es jedoch notwendig die Spannungsquelle zusammen mit dem Widerstand

Rth,1 in eine aquivalente Stromquelle mit Innenwiderstand umzuwandeln.

Die Losung des Differentialgleichungssystems fur den Fall einer sprunghaften Tempera-

turanderung am Ort x = 0 beschreibt Gleichung (5.29)

T (j ∆l, t) = TS

(1 −

n∑i=1

αi Tij · e−λi t

)(5.29)

mit λi =2

R C

(1 − cos

2i − 1

2n + 1π

), Tij =

2√2n + 1

sin

(j

2i − 1

2n + 1π

)

und αi =n∑

j=1

Tij .

Mit steigender Anzahl n der Segmente verbessert sich die Nachbildung des zeitlichen Ver-

laufs und konvergiert gegen ihn. Die Genauigkeit nimmt allerdings nur linear mit der

Anzahl der Segmente zu [Kas00]. Fur eine ausreichende Genauigkeit werden in dem Simu-

lationsmodell also eine hohe Anzahl an konzentrierten Elementen benotigt, was mit einem

hohen Simulationsaufwand verbunden ist. D.h., diese Form eines physikalisch anschauli-

chen Simulationsmodells lasst sich nur einsetzen, wenn an die Genauigkeit keine besonderen

Anspruche gestellt wird.

Fur einen langen Stab (L → ∞) lasst sich das Temperaturverhalten auf eine sprunghaft

ansteigende Temperatur T = TS am Ort x = 0 die analytische Losung der Warmeleitungs-

gleichung am Ort x = L

T (x, t) = TS ·(

1 − erf

(x

2

√ρ cp

λ t

))(5.30)

angeben [Kas00].

Die Abbildungen 5.7a und b zeigen das Temperaturverhalten T (x, t) auf eine sprunghaft

ansteigende Temperatur T (0, t) = TS nach Gleichung (5.30) fur einen Kupferstab uber

der Zeit in Abhangigkeit von der Distanz zur Warmequelle und in Abhangigkeit von der

Warmeleitfahigkeit λ am Ort x = 1 mm.


(a)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

10 mm

5 mm

0.2 mm

x=1 mm

(T /

Ts)

[K

]

t [s]

(b)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x=1 mm

l =400 W/(mK)

100 W/(mK)

10 W/(mK)

2 W/(mK)

(T /

Ts)

[K

]

t [s]

Abb. 5.7. Temperaturverhalten T (x, t) auf eine sprunghaft ansteigende TemperaturT (0, t) = TS nach Gleichung (5.30) fur einen Kupferstab (λ = 400 W

m K , ρ = 8300 kgm3 ,

cp = 419 Wskg K ) uber der Zeit (a) in Abhangigkeit von der Distanz zur Warmequelle und

(b) in Abhangigkeit von der Warmeleitfahigkeit λ bei x = 1 mm.

5.1.2 1D-Modell fur einen 3D-Aufbau

Eine gangige Beschreibung zur analytischen Abschatzung des Temperaturverhaltens fur

einen Leistungshalbleiter in einem Gehause mit massivem Kuhlkorper lasst sich, sofern die

physikalischen Abmessungen und Materialdaten des zu modellierenden Aufbaus bekannt

sind, fur den eindimensionalen Fall mittels einer Segmentierung der Struktur in Teilvolu-

mina, gemaß Abbildung 5.8 in Richtung der Warmesenke beschreiben. Das Modell wird

auch als naturliches Ersatzschaltbild fur einen 3D-Aufbau bezeichnet, da es den Weg von

Warmequelle zur Warmesenke wiedergibt.

Bei der Segmentierung ist darauf zu achten, dass die Abstufung der Schichtdicken, durch

die die Warme hindurch geleitet wird, so gewahlt wird, dass sich in Richtung der Warme-

ausbreitung ein kontinuierliches Ansteigen der thermischen Warmekonstanten (Rth,i ·Cth,i)

ergibt. Sie sollten sich jeweils um den Faktor 2 bis 8 voneinander unterscheiden.

Der Effekt der Warmespreizung wird in der Praxis fur homogene Medien durch die An-

nahme eines Spreizwinkels α von ca. 40◦ berucksichtigt (Abbildung 5.8), sofern nicht nach-

folgende Schichten geringerer Leitfahigkeit die Warmeausbreitung behindern.

Schichten in denen Warme entsteht, also Bereiche der aktiven Epitaxialschicht werden

als unterhalb der Oberflache liegend angenommen. Die Effekte der Warmestrahlung und

Konvektion uber die Oberflachen des Aufbaus konnen als vernachlassigbar angenommen

werden, sofern die Warmeabfuhr (Kuhler) unterhalb des Substrats als ausreichend groß

dimensioniert wurde. TJunction gibt die Temperatur in der aktiven Schicht wieder, TCase


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2 � � �

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6 � � 3 4

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7 8 � � � � � �

7 2 � � �

9 �

�

Abb. 5.8. Fur einfache Strukturen lassen sich die thermischen Ersatzelemente direktaus dem physikalischen Aufbau ermitteln. (Darstellung nicht Maßstabsgetreu)

die der Gehausetemperatur. Sofern der Kuhler als ideal angenommen wird entspricht TCase

gleich der Umgebungstemperatur TAmbient.

Das Strukturmodell aus Abbildung 5.8 lasst sich nun durch das in Abbildung 5.9 dar-

gestellte elektrische Ersatzschaltbild abbilden. Die Leistung der Warmequelle PV (t) ent-

spricht hierbei einer Stromquelle, die Rth und Cth’s entsprechen den Warmewiderstanden

und Warmekapazitaten der jeweiligen Schichten. Die Spannungen die uber den Kapazitaten

abfallen entsprechen den jeweiligen Temperaturdifferenzen zwischen den Schichten.

+ � � *( � � *

; % . � /

&

+ � � 6

( � � 6 + � � $ � ( � � $ �4 � �

Abb. 5.9. Elektrisches Ersatzschaltbild zur vereinfachten Modellierung der Warme-leitung in einem physikalischen Aufbau nach Abbildung 5.8


Anhang A.7 diskutiert ferner die teildiskretisierte, dreidimensionale Modellierung fur einen

Leistungshalbleiter.

5.2 Blackbox-Modelle

Zum Entwurf von Blackbox-Makromodellen sind entweder Messergebnisse des bereits exi-

stierenden physikalischen Aufbaus und/oder Simulationsergebnisse eines Feldsimulators der

zu modellierenden Große (hier: Temperaturverlauf) notwendig. Dabei charakterisieren die

gewonnenen Temperaturverlaufe das thermische Verhalten an festen Orten. Von Interesse

sind hier meist die aktiven Epitaxieschichten, in denen sich i.d.R die Leistungstransistoren

befinden.

Bestimmung der transienten thermischen Impedanz Zth aus der Messung

Der transiente Warmewiderstand Zth gemaß Gleichung (5.16)

Zth(t) =∆T (t)

PV (t)(5.31)

lasst sich messtechnisch bestimmen, indem das Bauelement bei einer bekannten Verlustlei-

stung PV = const. solange betrieben wird, bis sich eine stationare Temperatur TJunction,1

in der aktiven Schicht gegenuber der Anfangstemperatur T0 (i.d.R. die Umgebungstempe-

ratur) eingestellt hat. Nach Abschalten der Verlustleistung beschreibt das Abkuhlen bzw.

Sinken der Temperatur in der aktiven Schicht das Verhalten des transienten Warmewider-

stands fur einen Impuls mit unendlicher Dauer.

Zur Messung der Temperatur bedient man sich z.B. einer in die aktive Schicht integrierten

Diode, die in Flußrichtung mit einem konstanten Strom I = const. betrieben wird. Unter

Kenntnis der physikalischen Parameter der Diode, was in dem Sperrsattigungsstrom IS der

Diode im wesentlichen zusammengefasst ist und unter der Annahme das IS = f(T ) von

der Temperatur nahezu unabhangig ist, kann aus der gemessenen Spannung UF ∼ f(T )

uber der Diode auf die Temperatur Tj in der aktiven Schicht zuruckgeschlossen werden

UF (T ) =k T

eln

IS

I↪→ T =

e

k

UF

ln IS

I

(5.32)

(k - Boltzmannkonstante, e - Elementarladung).

Eine andere Moglichkeit der Temperaturmessung bietet die Verwendung einer Thermoka-

mera, mit der die Warmestrahlung der Bauteiloberflache aufgenommen wird. Der Nachteil

dieser Methode gegenuber der integrierten Diode liegt zum einen in der niedrigen Aufnah-

megeschwindigkeit, die bei maximal 50 Hz liegt. Ausnahmen bieten hier die s.g. ’Scanner’

5.2. BLACKBOX-MODELLE 63

Kameras, die im Gegensatz zu einem CCD-Array nur einen CCD-Transistor haben. Da die

Oberflache mit einer Spiegeltechnik abgetastet wird, lasst sich hier bei nur einer Auflosung

von einem Pixel eine Abtastrate von 10 kHz erreichen. Zum anderen ist fur die Bestim-

mung der absoluten Temperatur ein Einschwarzen der Oberflache notwendig, was nicht

immer machbar oder erwunscht ist.

Bestimmung der transienten thermischen Impedanz Zth aus der Feldsimulation

Auch die Bestimmung der transienten thermischen Impedanz Zth aus der Feldsimulation

gestaltet sich ebenfalls gemaß Gleichung (5.31). In diesem Fall wird bei einer ’sprung-

haft’ anliegenden, konstanten Verlustleistung PV der zeitliche Verlauf der Temperatur TJ

(thermische Sprungantwort des Systems) ermittelt.

Den generellen Entwurfsablauf zur Ermittlung des transienten Warmewiderstandes Zth aus

der Feldsimulation fur ein thermisches Makromodell zeigt Abbildung 5.10.

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Abb. 5.10. Genereller Entwurfablauf fur ein thermisches Blackbox-Modell zur Er-mittlung des transienten Warmewiderstandes Zth = ∆T

PVaus der Feldsimulation

Zunachst wird unter der Annahme, dass die Materialdaten von der Temperatur unabhangig

sind, ein Feldsimulator-Modell des physikalischen Aufbaus erstellt. Dabei ist darauf zu ach-

ten, dass das Mikromodell aufgrund von Symmetrien und vernachlassigbaren Warmekopp-

lungen moglichst effizient reduziert wird. Zur Reduktion der Freiheitsgrade wird deshalb

ein linearisiertes Feldsimulator Modell mit folgenden Randbedingungen vorausgesetzt:


· die Materialdaten sind unabhangig von der Temperatur,

· es gilt Superponierbarkeit.

Bei der transienten Feldsimulation des Mikromodells interessieren jeweils nur die Mittel-

punkte der aktiven Epitaxie-Schichten, da diese naherungsweise die mittlere Bauteiltem-

peratur charakterisieren.

In diesen Punkten lasst sich das transiente thermische Verhalten aufgrund von Eigen-

erwarmung und von Warmekopplungen benachbarter Bauelemente zusammenfassend fur

das jeweilige elektrische Bauelement beobachten (Abbildung 5.11).

Aufgrund der Superponierbarkeit werden nacheinander alle aktiven und nicht vernachlassig-

baren Bauelemente bei gleicher Verlustleistung jeweils einmal im aktiven Zustand simuliert,

wahrend die anderen Bauelemente sich im ausgeschalteten Zustand befinden.

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Abb. 5.11. Thermische Koppelstrecke

Wie bereits erwahnt, interessieren nur die relevanten, ortsabhangigen Warmekopplungen.

Zur Modellierung der transienten Temperaturverlaufe werden nun mittels Partialbruchzer-

legung oder Funktionsapproximation die Systemparameter bestimmt. Aus den Systempa-

rametern werden die Werte der konzentrierten Elemente des Ersatzschaltbildes berechnet,

die das Verhalten des modellierten Warmepfads bestimmen.

5.2.1 Modell mit RC-Gliedern

Ein haufig verwendetes thermisches Blackbox-Modell zeigt Abbildung 5.12 [Sze97], [AP97],

[KZ94].

Die einzelnen RC-Glieder lassen sich systemtheoretisch durch Aufstellen der Ubertragungs-

funktion

Zth(s) =R1

(1 + s R1 C1)+

R2

(1 + s R2 C2)+ ... +

Rn

(1 + s Rn Cn)(5.33)

mittels einer Partialbruchzerlegung bestimmen.


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Abb. 5.12. Blackbox-Modell Ersatznetzwerk zur Modellierung der transienten ther-mischen Impedanz

Hierfur wird ein lineares Gleichungssystem unter Verwendung der Differenzengleichung aus

Gleichung (4.22) aufgestellt. Aus der Losung lasst sich die Ubertragungsfunktion H(s) in

Anlehnung an Gleichung (4.27) aufschreiben. Nach einer Partialbruchzerlegung

H(s) =A1

(s − s∞1)+

A2

(s − s∞2)+ ... +

An

(s − s∞n)(5.34)

konnen die Werte der konzentrierten Elemente (Vergleich mit Gleichung (5.33))

Ri = Ai , Ci =1

Ri

1

s∞i

(5.35)

direkt abgelesen werden. Die Nullstellen s∞i des Nennerpolynoms liefern dabei die Zeit-

konstanten s∞i = 1Ti

= 1Ri Ci

.

Eine Rucktransformation von Gleichung (5.33) in den Zeitbereich fur einen Sprung am

Eingang liefert fur das Netzwerk die Sprungantwort

Zth(t) =n∑

i=1

Ri ·(1 − e

− tRi Ci

). (5.36)

Diese Eigenschaft lasst sowohl eine einfache Ermittlung der Werte der konzentrierten Ele-

mente als auch die Berechnung von Temperaturverlaufen fur einfache Verlustleistungspro-

file zu.

5.2.2 Modellgenerierung mittels Linearkombination von Basis-

funktionen

Im Gegensatz zu dem im vorangegangenen Abschnitt 5.2.1 vorgestellten Blackbox-Modells

werden in diesem Abschnitt, unter Berucksichtigung der in Abschnitt 4.1 und 4.2 eingefuhr-

ten System- und Funktionsidentifikationsverfahren, die inneren Strukturen der Modelle, der

in Abschnitt 4.3 vorgestellten Ansatzfunktionen, systemtheoretisch auf Ersatznetzwerke

transformiert, so dass diese ebenfalls fur eine transiente Simulation in einem Analogsimu-

lator zur Verfugung stehen.


5.2.2.1 Modellentwurf mittels modifizierter Laguerre-Polynome

Die modifizierten Laguerre-Polynome hk(t) aus Gleichung (4.61) besitzen fur eine Impuls-

anregung x(t) = δ(t) die einfache Laplace Transformierte

L{hk(t)} =(s − p)k

(s + p)k+1, s > −p . (5.37)

Mit der in Gleichung (5.38) dargestellten Schreibweise

L{hk(t)} =1

s + p

(s − p

s + p

)k

=1

s + p·(

s − p

s + p

)· · ·(

s − p

s + p

)(5.38)

lasst sich die Laplace-Transformierte in Ubertragungsfunktionen bekannter, einfacher Ubert-

ragungsglieder (Tief-, Allpass-Glieder) zerlegen

L{hk(t)} = HTP (s) · HAP1(s) · ... · HAPk(s) (5.39)

und z.B. mit bekannten Grundgliedern aus der Analogrechnertechnik (Anhang A.6) dar-

stellen.

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Abb. 5.13. Makromodell unter Verwendung der modifizierten Laguerre-Polynomemittels einem Tiefpass und k Allpass-Glieder (Kaskadenschaltung).

Die Impulsantwort h(t) der modifizierten Laguerre-Polynome lasst sich somit nach Abbil-

dung 5.13 durch ein Netzwerk einer Kaskadenschaltung von einem Tiefpass erster Ordnung

(k = 0) und k Allpassen erster Ordnung (k ≥ 1) abbilden.

Hinter jedem Glied wird eine Zeitfunktion hk(t), (k = 0, 1, 2, ..., n) abgegriffen. Die Sum-

mation der gewichteten Anteile yk(t) = ak · hk(t) liefert dann die approximierte Funktion

y(t) = a0 · HTP (s) +k∑

i=1

ai · [HAP (s)]k . (5.40)


Das lineare Gleichungssystem aus Gleichung (4.63) liefert die Koeffizienten ak mit denen

die einzelnen Anteile der modifizierten Laguerre-Polynome zu gewichten sind. Die Kon-

stante p fuhrt zu einer Streckung der Zeitvariablen t und kann als reziprokter Wert einer

Zeitkonstanten T betrachtet werden. Die Konstante p ist fur alle Glieder gleich. Sie ist

gemaß der Forderung nach einer Minimierung des Approximationsfehlers e zu optimieren.

Operationsverstarkerbeschaltungen wurden fur den Aufbau von Analogrechnern entworfen.

Sie benotigen z.T. relativ viele diskrete Bauelemente, was der Forderung nach wenigen Ele-

mente gegenlaufig ist. Aus diesem Grund wird im folgenden, mit Hilfe der vielen passiven

und aktiven konzentrierten Bibliothekselemente eines Analogsimulators, ein Ersatznetz-

werk gesucht, welches die Beschreibung der Tiefpass- und Allpass-Anteile mit wenigen

konzentrierten Elementen ermoglicht.

Modell fur einen Tiefpass 1.Ordnung

Die Ubertragungsfunktion eines Tiefpass erster Ordnung lautet

HTP (s) = αp

s + p= α

1

1 + s RC, mit p =

1

RC. (5.41)

Aus der Analogrechnertechnik ist die Ubertragungsfunktion fur einen Tiefpass bekannt

(Gleichung (A.40))

HTP (s) =Y (s)

X(s)= −R2

R1

(1

1 + s CR2

)= − 1

R1

(R2

1 + s CR2

). (5.42)

Mit 1R1

= α und R2 = R lasst sich Gleichung (5.42) in die Form

HTP (s) = −α

(R

1 + s CR

)(5.43)

bringen. Wird α · X(s) als eine gewichtete, spannungsgesteuerte Stromquelle G1(s) =

α · UI(s) interpretiert, so lasst sich fur die Ausgangsspannung UC(s) aus Abbildung 5.14

UO(s) = UC(s) = (−α UI(s)) ·(

R

1 + s CR

)= −G1(s)

(R

1 + s CR

)(5.44)

schreiben. Der Term R1+s CR

in Gleichung (5.44) beschreibt dabei eine Parallelschaltung von

R und C. Ein Vergleich mit der im Anhang A.6 in Abbildung A.4 dargestellten aktiven

Operationsverstarkerbeschaltung ergibt, dass sich die Ubertragungsfunktion HTP (s) aus

Gleichung (5.42) durch eine in Abbildung 5.14 dargestellte Ersatzschaltung beschreiben

lasst.


Bei einem Sprung am Eingang uI verhalten sich die Spannungen uC = uO entsprechend

der Sprungantwort eines Tiefpass erster Ordnung.

UO(s) = UI(s)·HTP (s) =1

s·

1RC

s + 1RC

=1

s− 1

s + 1RC

•−◦ uO(t) = σ(t)·(1 − e

−tRC

)(5.45)

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Abb. 5.14. Ersatzschaltbild eines Tiefpass erster Ordnung

Die zweite, spannungsgesteuerte Spannungsquelle E2 mit der Gewichtung 1 wird benotigt,

um den Ausgang ggf. von einer nachfolgenden Schaltung zu entkoppeln. Sofern diese durch

eine nachfolgende Schaltung belastet wird.

Mit R = 1, C = 1p R

= 1p

und α = −1 (α: Gewichtungsfaktor der spannungsgesteuerten

Stromquelle G1) entspricht das dargestellte Netzwerk aus Abbildung 5.14 der Ubertra-

gungsfunktion H(s) des Tiefpass nach Gleichung (5.41).

Modell fur einen Allpass 1.Ordnung

Durch Umstellen der Ubertragungsfunktion lasst sich auch fur den Allpass erster Ordnung

eine Reduktion der konzentrierten Elemente erreichen. Ausgehend von der Ubertragungs-

funktion H(s) fur einen Allpass erster Ordnung mit p = 1RC

HAP (s) =s − p

s + p= −1 − s RC

1 + s RC(5.46)

(Operationsverstarkerschaltung Abbildung A.5 im Anhang A.6) lasst sich HAP (s) wie folgt

umformen

HAP (s) =UO(s)

UI(s)= −

[1 − s RC

1 + s RC

]= −

[2 − 1 + s RC

1 + s RC

]

= −[

2

1 + s RC− 1 + s RC

1 + s RC

]= 1 − 2

( 1RC

s + 1RC

). (5.47)

Dabei entspricht der Term(

1RC

s+ 1RC

)in Gleichung (5.47) der Ubertragungsfunktion HRC(s) =

UC(s)UI(s)

eines RC-Gliedes (Gleichung (A.37)), dessen Sprungantwort

UC(s) = UI(s) · HRC(s) =1

s− 1

s + 1RC

(5.48)


ist. Fur UO(s) aus Abbildung 5.15 ergibt sich somit fur einem Sprung am Eingang (UI(s) =1s) mit Gleichung (5.48) in Gleichung (5.47)

UO(s) = UI(s) · HAP (s) =1

s− 2

( 1RC

s (s + 1RC

)

)=

1

s− 2

(1

s− 1

s + 1RC

)(5.49)

bzw.

UO(s) = UI(s) − 2 UC(s)

• − ◦ uO(t) = uI(t) − 2uC(t) = σ(t) ·(1 − 2e

−tRC

), (5.50)

was der Ersatzschaltung aus Abbildung 5.15 entspricht.

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Abb. 5.15. Ersatzschaltbild eines Allpass erster Ordnung

Die Summe uI(t) − 2uC(t) in Gleichung (5.50) lasst sich dabei durch eine spannungsge-

steuerte Spannungsquelle (E2), die Spannung uC(t) durch ein RC-Glied modellieren. Die

Werte der konzentrierten Elemente R,C entsprechen denen des Tiefpass aus Gleichung

(5.37) (pT iefpass = pAllpass).

Modell fur einen Summierer

Die Summation mehrerer Eingangsgroßen UI,i(t) unter Berucksichtigung der Koeffizienten

ai

UO(t) =N∑

i=1

ai · UI(t) (5.51)

lasst sich mit der in Abbildung 5.16 dargestellten spannungsgesteuerten Spannungsquelle

E1 modellieren.

Blackbox-Modell mittels modifizierter Laquerre-Polynome k − ten Grades

Aus den oben beschriebenen Grundgliedern ergibt sich fur die Laquerre-Polynome k − ten

Grades das in Abbildung 5.17a dargestellte Ersatznetzwerk und dessen Beschreibung fur

den Analogsimulator PSpice (Abbildung 5.17b).


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Abb. 5.16. Ersatzschaltbild zur Modellierung der Funktion eines Summierer

Zur Bestimmung der Koeffizienten ai und der Konstanten p = 1RC

fur die Nachbildung

eines thermischen Ausgleichprozesses y(t)

y(t) = a0 ·(1 − e

−tRC

)+

k∑i=1

ai ·[1 − 2 e

−tRC

]k, (5.52)

muss der Funktionsverlauf y(t), der die Sprungantwort des Systems beschreibt, zunachst

nach der Zeit differenziert werden, da die Systembeschreibung nach Gleichung (4.60) fur

eine Impulsanregung gilt. Der differenzierte Funktionsverlauf y′(t) ist dann entsprechend

Abschnitt 4.2 zu approximieren.

Die Differentiation stellt eine weitere numerische Hurde dar, da die Daten nur an den jewei-

ligen Stutzstellen vorhanden sind und somit numerisch mit einem Verlust an Genauigkeit

zu rechnen ist. Am genauesten ist y′(t) fur die Punkte in der Mitte der ursprunglichen

Datenpunkte [Sto83].

Bei der Abbildung des Blackbox-Modells mittels der modifizierten Laguerre-Polynome lasst

sich der Aufwand an konzentrierten Elementen bei den Allpassgliedern um die jeweiligen

eingangsseitigen spannungsgesteuerten Spannungsquellen reduzieren, was zu einer Erspar-

nis von k Spannungsquellen bzw. k Schaltungsknoten fuhrt. Dies ist moglich, da die aus-

gangsseitigen Spannungsquellen des ersten Tiefpasses und der folgenden Allpasse bereits

den jeweiligen Eingang vom vorherigen Ausgang entkoppeln und auch die eingangsseitige

Spannungsquelle des Summierers die Signale uI,i vom Ausgang out abkoppelt.

5.2.2.2 Modellentwurf mittels Polynomen basierend auf der Exponentialfunk-

tion

Die Polynome hk(t) der Exponentialfunktion aus Gleichung (4.68) besitzen fur eine Impul-

sanregung x(t) = δ(t) die Laplace Transformierte

L{hk(t)} = αp

s + p=

1

(1 + s RC), mit p =

1

RC. (5.53)


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(b)

Abb. 5.17. (a) Ersatzschaltbild zur Modellierung der modifizierten Laquerre-Polynome k − ten Grades (R = 1, C = 1

p , αG1,TP = −1p , αE2,TP,AP = 1). (b) In

PSpice beschriebenes Makromodell fur die modifizierten Laquerre-Polynome k − tenGrades.


Mit der in Gleichung (4.70) dargestellten Schreibweise

L{yk(t)} =N∑

k=0

ak · 1

(1 + s RkCk)(5.54)

lasst sich die Laplace-Transformierte durch den bereits bekannten Tiefpass erster Ordnung

aus Abbildung 5.14 in ein Ersatznetzwerk uberfuhren.

Unter Verwendung von k-Tiefpassen und einem Summierer ergibt sich mit αk = α = −1,

pk = 1RkCk

fur Gleichung (5.54) ein Makromodell nach Abbildung (5.18).

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Abb. 5.18. Makromodell zur Modellierung eines transienten thermischen Ausgleich-vorgangs mittels Polynomen basierend auf der Exponentialfunktion

Hinter jedem Glied nach Abbildung 5.18 kann eine Zeitfunktion hk(t), (k = 0, 1, 2, ..., n)

abgegriffen werden. Eine Summation der gewichteten Anteile yk(t) = ak · hk(t) liefert die

zu approximierende Funktion f(t).

Das lineare Gleichungssystem aus Gleichung (4.63) liefert die Koeffizienten ak mit denen

die hk(t) zu gewichten sind.

Zur Beschreibung eines aktiven Tiefpass sind dabei zwei prinzipielle Ersatznetzwerke moglich.

Das Ersatznetzwerk aus Abbildung 5.19a benotigt dabei einen Schaltungsknoten weniger

und ist aus Rechenzeitgrunden dem Ersatznetzwerk aus Abbildung 5.19b vorzuziehen.

Fur den zweiten Tiefpass-Ansatz TP (2) ergibt sich systemtheoretisch

I(s) = UO(s) · s C , α UI(s) = I(s)

(R +

1

s C

)(5.55)

UO(s) = α UI(s)

(1

s C

1

R + 1s C

)= α UI(s)

( 1RC

s + 1RC

)= α UI(s)

(p

s + p

)(5.56)

5.3. VERGLEICH DER BASISFUNKTIONEN UND LOSUNGSVERFAHREN 73

(a)

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(b)

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Abb. 5.19. (a) Tiefpass erster Ordnung (TP (1)). (b) Tiefpass erster Ordnung (TP (2)).(R = 1, C = 1

p)

Ein Vergleich der Konstanten α in den Gleichungen (5.44) und (5.56) ergibt, dass α1 = −α2

ist. Dies folgt aus der Definition der spannungsgesteuerten Stromquelle G in PSpice. In

PSpice fließt der Strom in die Quelle, wahrend bei der spannungsgesteuerten Spannungs-

quelle E der Strom aus der Quelle fließt.

Aus den beiden Ansatzen (TP (1), TP (2)) gemaß Abbildung 5.19a und b folgenden die

entsprechenden Ersatznetzwerke (Abbildung 5.20a und 5.21a) und ihre Beschreibung fur

den Schaltungssimulator PSpice (Abbildung 5.20b und 5.21b).

5.3 Vergleich der untersuchten Basisfunktionen und

numerischen Losungsverfahren zur Ermittlung der

Modellparameter

Zur Beurteilung der untersuchten Basisfunktionen und numerischen Losungsverfahren zur

Ermittlung der Modellparameter aus Kapitel 4 werden zwei charakteristische Temperatur-

verlaufe herangezogen.

In Abbildung 5.22 sind diese beiden Temperaturverlaufe graphisch dargestellt. Sie beschrei-

ben das zeitliche Temperaturverhalten am Ort der Warmequelle (T1(t)) und am Ort einer

benachbarten Komponente (T2(t)). Interessant ist hier das unterschiedliche Anstiegsver-

halten. Es wirkt sich unterschiedlich auf die Approximationsgute bzw. auf den Modellie-

rungsaufwand der PSpice-Makromodelle aus.

Verglichen werden die Losungsverfahren Single Value Decomposition (SVD) und Least

Square (LS) untereinander in Abhangigkeit der in Abschnitt 4.3 beschriebenen Basisfunk-

tionen: Polynome der ExpDecay-Funktion und die Laguerre-Polynome. Fur die Polynome

der Exponentialfunktion wird noch das Losungsverfahren nach Prony in den Vergleich

miteinbezogen, das nur fur die Polynome der Exponentialfunktion gilt.


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(b)

Abb. 5.20. (a) Ersatzschaltbild zur Modellierung eines transienten thermischen Aus-gleichvorgangs mit k TP (1)-Gliedern. (b) In PSpice beschriebenes Makromodell nachAbbildung 5.20a mit k TP (1)-Gliedern.


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(b)

Abb. 5.21. (a) Ersatzschaltbild zur Modellierung eines transienten thermischen Aus-gleichvorgangs mit k TP (2)-Gliedern. (b) In PSpice beschriebenes Makromodell nachAbbildung 5.21a mit k TP (2)-Gliedern.


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. 2 4

. 2 -

. 2 5

. 2 6

4 2 1

4 � � � � 0 H � 2

&��

��&

*0�2

Abb. 5.22. Zur Bewertung der untersuchten Basisfunktionen und numerischenLosungsverfahren werden zwei charakteristische Temperaturverlaufe verwendet. Die bei-den Temperaturverlaufe ergeben sich durch Messung des zeitlichen Temperaturverhal-tens am Ort der Warmequelle (T1(t)) und am Ort einer benachbarten Komponente(T2(t)).

Tabelle 5.1 zeigt die Kombinationen der im folgenden untereinander verglichenen Polynome

und Losungsverfahren.

Lsgs.verf. Least Square Singular Value Decom. Prony

Polynome (LS) (SVD)

Laguerre X X

Decay-Exp. X X

Exp. X

Tab. 5.1. Kombinationen der untereinander verglichenen Polynome und Losungsver-fahren (Felder mit X).

Zur Bewertung der Approximationsgute wird der Approximationsfehler im Sinne des klein-

sten quadratischen Fehlers (L2 −Norm) fur alle Losungsverfahren bestimmt. Hierfur wird

der Betrag des Temperaturverlaufs T (t) auf den statischen Endwert (TEnd = T (t → ∞)),

der hier dem letzten vorliegendem Messwert entspricht, T (t) = T1,2

TEnd1,2normiert.

Fur die Losung der Modellparameter nach dem Verfahren von Prony werden aquidistante

Messwerte mit der Schrittweite 1 benotigt. Fur einen numerischen Vergleich der Losungs-

verfahren LS, SVD und Prony ist es deshalb notwendig die Zeit t auf t′ = ttd

zu normieren,

wobei td sich aus der aquidistanten Schrittweite des Temperaturverlaufs T (t) ermittelt.

Bei der Approximation eines Temperaturverlaufs mittels der Losungsverfahren LS und

SVD ist diese Normierung fur eine akzeptable Nachbildung nicht notwendig.


Fur Zeitschrittweiten (t < 10 ms) erweist es sich jedoch auch fur die letztgenannten Ver-

fahren als numerisch gunstig die Zeit ebenfalls zu normieren, da sonst die Systemmatrix,

aufgrund der in den gewahlten Basisfunktionen enthaltenen Exponentialfunktion, zu einer

oberen bzw. unteren Tridiagonalmatrix wird, die nur mit Null bzw. nur mit Eins besetzt

ist. Der Losungsvektor kann also beliebig schlecht werden.

Die Losungsverfahren werden in Abhangigkeit vom Polynomgrad (Anzahl der Polynom-

glieder) betrachtet, der fur den Grad des Blackbox-Modellierungsaufwandes steht. Fur

den jeweiligen Polynomgrad ergeben sich jeweils neue, beste Zeitkonstanten T . Sie werden

numerisch mittels dem Gradientenverfahren nach Brent ermittelt [WP95].

Vergleich der numerischen Losungsverfahren in Abhangigkeit bestimmter Ba-

sisfunktionen fur die Temperaturverlaufe T1(t), T2(t)

Eine Betrachtung der Fehlerquadrate ‖e‖2 in Abhangigkeit vom Polynomgrad N fur die

Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t) fur die jeweilige Polynom-Basisfunktion zeigt, dass die

Gute der Funktionsapproximation nicht nur vom Polynomgrad abhangt. Sie hangt vielmehr

auch von dem zu approximierenden Funktionsverlauf T (t) ab.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1 Temperaturverlauf T

1(t)

Temperaturverlauf T2(t)

||e||2

N

Abb. 5.23. Fehlerquadrat ‖e‖2 in Abhangigkeit vom Polynomgrad N fur die Tem-peraturverlaufe T1(t), T2(t). Polynomansatz mittels ExpDecay-Funktion. Losung derModellparameter nach SVD

Abbildung 5.23 zeigt das Fehlerquadrat ‖e‖2 unter Verwendung des Polynomansatzes mit-

tels ExpDecay-Funktion, deren Modellparameter numerisch nach dem in Abschnitt 4.2.2


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01



N

||e||2

(a)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

N

||e||2



(b)

Abb. 5.24. Fehlerquadrat ‖e‖2 in Abhangigkeit vom Polynomgrad N fur die Tem-peraturverlaufe T1(t), T2(t). (a) Polynomansatz mittels Laguerre-Funktion. Losung derModellparameter nach LS -Verfahren. (b) Polynomansatz mittels Exponentialfunktion.Losung der Modellparameter nach Prony.


vorgestellten Ansatz (’Single Value Decomposition’ (SVD)) ermittelt wurden. Abbildung

5.24a zeigt das Fehlerquadrat ‖e‖2 unter Verwendung des Polynomansatzes mittels Laguerre-

Funktion, deren Modellparameter numerisch nach dem in Abschnitt 4.2.1 vorgestellten

Verfahren (Least Square (LS )) ermittelt wurden. Abbildung 5.24b zeigt schließlich das

Fehlerquadrat ‖e‖2 unter Verwendung des Polynomansatzes mittels Exponentialfunktion,

deren Modellparameter numerisch nach dem in Abschnitt 4.3.2.2 vorgestellten Verfahren

von Prony ermittelt wurden.

Ein Vergleich der Abbildungen 5.23 , 5.24a und 5.24b lasst erkennen, dass fur Temperatur-

verlaufe mit flachem Temperaturanstieg (T2(t)) wesentlich weniger Polynomgrade benotigt

werden, um die gleiche Approximationsgute zu erzielen, als fur Temperaturverlaufe mit

abrupten, steilen Temperaturanstieg (T1(t)).

Ab einem Fehlerquadrat von ca. ‖e‖2 < 0.4·10−3 ist eine gute Ubereinstimmung des Ergeb-

nisses der Approximation mit dem Orignalverlauf zu beobachten. Diese wird fur die drei

dargestellten Ansatze fur den Temperaturverlauf T2(t) bereits mit wenigen Polynomglie-

dern erreicht. Fur den Temperaturverlauf T1(t) zeigt der Ansatz ’Laguerre-Funktion (LS )’

schon ab N = 7 Polynomgliedern eine gute Naherung. Bei den anderen beiden dargestellten

Ansatzen ergeben sich erst mit hoherem Polynomgrad N > 10 befriedigende Ergebnisse.

Es lasst sich festhalten, dass bei einem thermo-elektrisch gekoppelten System jeweils fur die

Approximation der Fremderwarmungen (T2(t)) wenige Polynomglieder (N ≥ 2) benotigt

werden, wahrend fur die Eigenerwarmungen (T1(t)) ab N ≥ 8 Polynomgliedern erst eine

ausreichende Approximation erreicht wird.

Da die Fremderwarmungen aber wesentlich haufiger (n·(n−1)-mal) auftreten als die Eigen-

erwarmungen (n-mal), lasst sich generell festhalten, dass der gewahlte Modellierungsansatz

auf eine effiziente Beschreibung des thermisch gekoppelten Gesamtsystems schließen lasst.

Vergleich der numerischen Losungsverfahren untereinander in Abhangigkeit

der Basisfunktionen fur die Temperaturverlaufe T1(t), T2(t)

Ein Vergleich der numerischen Losungsverfahren LS und SVD untereinander in Abhangig-

keit der Basisfunktionen ExpDecay- und Laguerre-Funktion fur die beiden Temperatur-

verlaufe anhand des Fehlerquadrat ‖e‖2 ist den Abbildungen 5.25a (T1(t)) und 5.26a (T2(t))

zu entnehmen. Die Abbildungen 5.25b und 5.26b zeigen die jeweils vom Polynomgrad N

abhangige, beste gewahlte Zeitkonstante T fur das kleinste Fehlerquadrat entsprechend

dem Polynomgrad N der Abbildung 5.25a bzw. 5.26a.

Fur den Temperaturverlauf T1(t) ergibt sich fur die ExpDecay- sowohl nach dem LS -

Verfahren, als auch nach dem SVD-Verfahren eine wesentlich schlechtere Approximation,


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

N

||e||2

ExpDecay (LS) Laguerre (LS) ExpDecay (SVD) Laguerre (SVD)

(a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 ExpDecay (LS) Laguerre (LS) ExpDecay (SVD) Laguerre (SVD)

N

T[s

]

(b)

Abb. 5.25. Vergleich der numerischen Losungverfahren LS und SVD fur dieExpDecay-Funktion und Laguerre-Funktion. Temperaturverlauf T1(t).(a) Fehlerquadrat‖e‖2 in Abhangigkeit vom Polynomgrad N (b) Zeitkonstante T (Gleichung (4.68) und(4.62) in Abhangigkeit vom Polynomgrad N .


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

||e||2

N


(a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30


T[s

]

N

(b)

Abb. 5.26. Vergleich der numerischen Losungsverfahren LS und SVD fur dieExpDecay-Funktion und Laguerre-Funktion. Temperaturverlauf T2(t).(a) Fehlerquadrat‖e‖2 in Abhangigkeit vom Polynomgrad N (b) Zeitkonstante T (Gleichung (4.68) und(4.62) in Abhangigkeit vom Polynomgrad N .


auch fur hohere Polynomgrade gegenuber der Laguerre-Funktion.

Fur die Laguerre-Funktion macht sich erst bei hoheren Polynomgraden (N ≥ 16) eine

bessere Approximationsgute unter Verwendung der SVD gegen uber der LS bemerkbar.

Fur eine akzeptable Approximation (‖e‖2 ≤ 3 · 10−4) reicht hier allerdings schon ein Poly-

nomgrad von N = 7 aus.

Wahrend die Zeitkonstante T fur den Polynomansatz ExpDecay-Funktion nach den LS -

und SVD-Verfahren unterschiedlich ermittelt wird, ergibt sich unabhangig vom numeri-

schen Losungverfahren jeweils nahezu die gleiche Zeitkonstante T fur eine beste Approxi-

mation mittels der modifizierten Laguerre-Polynome (Abbildung 5.26b).

Fur den Temperaturverlauf T2(t) zeigt sich, anders als fur den Temperaturverlauf T1(t),

dass sich fur die ExpDecay-Funktion nur nach dem LS -Verfahren eine wesentlich schlechte-

re Approximation, auch fur hohere Polynomgrade, gegenuber der ExpDecay-Funktion nach

dem SVD-Verfahren und der Laguerre-Funktion nach LS - bzw. SVD-Verfahren ergibt.

Fur die drei letztgenannten Ansatze wird schon bei einem niedrigen Polynomgrad (N ≥ 4:

ExpDecay (SVD), N ≥ 2: Laguerre (LS, SVD)) eine akzeptable Approximation erreicht

(Abbildung 5.26a).

Entsprechend den unterschiedlichen Verlaufen der ermittelten besten Fehlerquadrate erge-

ben sich jeweils unterschiedliche Werte fur die Zeitkonstante T der untersuchten Ansatze.

Es zeigt sich, dass das numerische Losungverfahren nach SVD fur die betrachteten Ba-

sisfunktionen in Abhangigkeit von den untersuchten Temperaturverlaufen gegenuber dem

Verfahren nach LS die besseren Modellparameter ermittelt.

Allgemein ist das SVD-Verfahren dem LS -Verfahren uberlegen, da es auch mit schlecht

konditionierten Matrizen noch gute Ergebnisse liefert.

Die Laguerre-Funktion fuhrt gegenuber der ExpDecay-Funktion im Allgemeinen zu besser

konditionierten Matrizen. Der Vorteil des SVD-Verfahrens wirkt sich allerdings erst bei

deutlich hoheren Polynomgrad aus (vgl. Temperaturverlauf T2(t), Abbildung 5.26a).

In Bezug auf das LS -Verfahren ist anzumerken, dass fur die zur Bestimmung des klein-

sten Fehlerquadrats (Ermittlung des Skalarprodukts) notwendige numerische Integration,

die Trapez-Regel verwendet wurde. Diese wurde herangezogen, da die zu approximieren-

den Temperaturverlaufe nur als zeitdiskrete Funktionen vorliegen. Der dadurch entstehen-

de Fehler kann deshalb dazufuhren, dass trotz steigender Polynomgliederzahl (Abbildung

5.26a), ab N = 18) das Fehlerquadrat wieder schlechter wird. Desweiteren lasst sich hier

beobachten, dass das Konvergenzverhalten des Fehlerqudrats von der vollstandigen Funkti-

onsbeschreibung (Zeitintervall in dem der Temperaturverlauf vorliegt) abhangig sein kann.

So nimmt hier das Fehlerquadrat mit steigendem Polynomgrad N fur den Temperatur-


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

N

||e||2

ExpDecay (SVD) Laguerre (LS) Exp. (Prony)

(a)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

N

||e||2

ExpDecay (SVD) Laguerre (LS) Exp. (Prony)

(b)

Abb. 5.27. Vergleich der Basisfunktionen untereinander unter Verwendung dergunstigsten numerischen Losungsverfahren. Fehlerquadrat ‖e‖2 in Abhangigkeit vomPolynomgrad N fur den Temperaturverlauf (a) T1(t) (b) T2(t)


verlauf T1(t) (Funktionsverlauf konvergiert im beschriebenen Zeitintervall bereits gegen

einen konstanten Wert) stetig ab, wahrend fur T2(t) (Funktionsverlauf ist im beschriebe-

nen Zeitintervall noch nicht gegen einen konstanten Wert konvergiert) der Fehler wieder

schlechter wird.

Im folgenden werden nur noch die Losungsverfahren nach SVD und Prony in die Untersu-

chung miteinbezogen.

Vergleich der Basisfunktionen untereinander, unter Verwendung der gunstig-

sten numerischen Losungsverfahren

Der Vergleich der drei Basisfunktionen untereinander fur die gunstigsten numerischen

Losungsverfahren nach SVD und Prony ist in den Abbildungen 5.27a fur den Tempe-

raturverlauf T1(t) und 5.27b fur den Temperaturverlauf T2(t) dargestellt.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

2

4

6

8

10

12

14



N'

N

Abb. 5.28. Tatsachlicher Polynomgrad N ′ uber dem angestrebten Polynomgrad N furdie beiden Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t), aufgrund einer Polynomgradreduzierungum die redundant konjugiert komplex auftretenden reellen Zeitkonstanten.

Fur den Verlauf ’Exp. (Prony)’ ist zu bemerken, dass der in den Abbildungen angegebene

Polynomgrad N nicht dem tatsachlichen Polynomgrad N ′ entspricht (N ′ ≤ N). Wie be-

reits in Abschnitt 4.3.2.2 erwahnt, werden die Zeitkonstanten τk voneinander unabhangig

bestimmt und konnen komplex werden. Bei den nachzubildenden Temperaturverlaufen


handelt es sich jedoch um schwingungsfreie Verlaufe, so dass nur die Realteile der Zeit-

konstanten benotigt werden. Der zunachst angestrebte Polynomgrad N reduziert sich dann

gerade um die redundanten konjugiert komplex auftretenden reellen Zeitkonstanten. Fur ei-

ne gemeinsame Darstellung mit den beiden anderen Losungsverfahren wird der angestrebte

Polynomgrad N als gemeinsame Basis gewahlt.

In Abbildung 5.28 ist der tatsachliche Polynomgrad N ′ uber dem angestrebten Polynom-

grad N fur die beiden Temperaturverlaufe aufgetragen.

Aus den Abbildungen geht hervor, dass mit Polynomen, die auf der Exponentialfunktion

basieren und deren Modellparameter ak und τk nach dem Losungsverfahren von Prony

berechnet werden, sich die untersuchten Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t) mit weniger

Polynomgliedern (N ≥ 7, s. Abbildung 5.27b und 5.28) akzeptabel nachbilden lassen.

In Bezug auf die anderen beiden Polynomansatzfunktionen und deren numerischen Losungs-

verfahren ist zu bemerken, dass diese fur einen Temperaturverlauf T2(t) mit weniger Poly-

nomgliedern (N ≥ 4: ExpDecay (SVD), N ≥ 2: Laguerre (LS, SVD)) auskommen, als das

zuvor diskutierte Verfahren nach Prony.

Verifikation der numerischen Approximation und der PSpice-Simulation in

Abhangigkeit von der Zeit t fur die Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t)

Die Verifikation der numerischen Approximation mittels der Verfahren ExpDecay-Funktion

(SVD)), Laguerre-Funktion (SVD) und Exponentialfunktion (Prony) in Abhangigkeit vom

Zeitverhalten fur die Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t) ist den Abbildungen 5.29a und

5.29c fur den Polynomgrad N = 8 aufgezeichnet.

Die Abbildungen 5.29b und 5.29d zeigen Ergebnisse der PSpice-Simulation der jeweiligen

Makromodelle mit den ermittelten Modellparametern.

Eine Verifikation zeigt, dass fur einen Polynomgrad N = 8 sich beide Temperaturverlaufe

sowohl numerisch als auch im Simulationsmodell akzeptabel mit dem Polynom-Reihenansatz

nachbilden lassen.

In den Abbildungen 5.29e und 5.29f sind die Ergebnisse der numerischen Approximati-

on mittels des Verfahrens Laguerre-Funktion (SVD) uber der normierten Zeit t′ fur die

Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t) in Abhangigkeit vom Polynomgrad N = 2, 4, 6, 8 dar-

gestellt.

Wie schon in den vorherigen Abschnitten diskutiert, ergeben sich fur die Temperatur-

verlaufe T1(t) und T2(t) erst ab einem Polynomgrad N ≥ 8 eine akzeptable Nachbildung

der Verlaufe.


(a)

0 20 40 60 80

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Org.: T1(t')

Approx.: ExpDecay (SVD) Approx.: Laguerre (SVD) Approx.: Exp. (Prony)T

(t')

[K]

t'

(b)

0 20 40 60 80

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Org.: T1(t')

PSpice: ExpDecay (SVD) PSpice: Laguerre (SVD) PSpice: Exp. (Prony)T

(t')

[K]

t'

(c)

0 20 40 60 80

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

t'

T(t

') [K

]

Org.: T2(t)

Approx.: ExpDecay (SVD) Approx.: Laguerre (SVD) Approx.: Exp. (Prony)

(d)

0 20 40 60 80

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

t'

T(t

') [K

]

Org.: T2(t')

PSpice: ExpDecay (SVD) PSpice: Laguerre (SVD) PSpice: Exp. (Prony)

(e)

0 20 40 60 80

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

T(t

') [K

]

t'

Org.: T1(t')

Approx.: N = 2 Approx.: N = 4 Approx.: N = 6 Approx.: N = 8

(f)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

t'

T(t

') [K

]

Org.: T2(t')

Approx.: N = 2 Approx.: N = 4 Approx.: N = 6 Approx.: N = 8

Abb. 5.29. Verifikation der (a) numerischen Approximation und (b) Pspice-Simulation fur ExpDecay-Funktion (SVD), Laguerre-Funktion (SVD) und Exp.-Funktion (Prony). Polynomgrad N = 8. Temperaturverlauf T1(t′) uber der Zeit t′ = t

td.

Verifikation der (c) numerischen Approximation und (d) Pspice-Simulation furExpDecay-Funktion (SVD), Laguerre-Funktion (SVD) und Exp.-Funktion (Prony). Po-lynomgrad N = 8. Temperaturverlauf T2(t′) uber der Zeit t′ = t

td.

Verifikation der numerischen Aproximation fur Laguerre-Funktion (SVD). Temperatur-verlauf (e) T1(t′) und (f) T2(t′) uber der Zeit t′ = t

td, Polynomgrade N = 2, 4, 6, 8.


Vergleich der numerisch bestimmten Koeffizenten ak und Zeitkonstanten τk

mittels der Losungsverfahren SVD und Prony

Im Unterschied zu den mit dem Prony-Verfahren ermittelten Zeitkonstanten τk sind die

nach dem SVD-Verfahren mit der ExpDecay-Funktion bestimmten Zeitkonstanten vonein-

ander abhangig.

Wie bereits in Abschnitt 4.3.2 (Gleichung (4.68)) beschrieben wird eine Zeitkonstante T

fur die beste Approximation bestimmt. Die Zeitkonstanten τk = Tk

sind dabei vom Poly-

nomgrad k abhangig.

(a)

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50

-20

-10

0

10

20

τ < 0

Exp. (Prony) ExpDecay (SVD)

a k

τ k (b)

0 200 400 600 800 1000

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

τ > k * tEnd

Exp. (Prony) ExpDecay (SVD)

a k

τ k

Abb. 5.30. Vergleich der numerisch bestimmten Koeffizenten ak uber Zeitkonstantenτk mittels der Basisfunktionsansatze / Losungsverfahren: ExpDecay (SVD) und Exp.(Prony) fur den Temperaturverlauf (a) T1(t) (b) T2(t). Polynomgrad N = 8

Beim Prony-Verfahren ergeben sich die Zeitkonstanten τk nach Gleichung (4.82) aus den

charakteristischen Wurzeln ρk der Koeffizienten dk der Differenzengleichung (4.80). Die Ab-

bildungen 5.30a und 5.30b lassen einen Vergleich der nach dem SVD-Verfahren ermittelten

Zeitkonstanten τk gegenuber den nach dem Prony-Verfahren gewonnenen Zeitkonstanten

in Abhangigkeit der beiden Temperaturverlaufe T1(t) und T2(t) zu.

Fur einen Vergleich werden jeweils die Betrage der Koeffizienten ak der numerischen Losung

uber den Zeitkonstanten τk fur den Polynomgrad N = 8 aufgetragen (Abbildung 5.30). Von

Interesse ist, ob die vom Polynomgrad abhangig bestimmten Zeitkonstanten im Verhaltnis

zu den nach dem Prony-Verfahren unabhangig vom Polynomgrad bestimmten Zeitkonstan-

ten ahnlich gewichtet sind. Die Werte der ermittelten Zeitkonstanten liegen, bis auf eine

Ausnahme, in beiden Verlaufen dicht beieinander. Die Gewichtung der Polynome gestal-

tet sich jedoch hochst unterschiedlich. Wahrend fur Verlauf T1(t) die Werte bis auf zwei

Ausnahmen dicht beieinander liegen, liegen sie fur Verlauf T2(t) weit auseinander.


Auffallig ist, dass bei der Prony-Losung jeweils eine Zeitkonstante ausreißt. Dies kann

moglicherweise auf numerische Artefakte, die bei der zweistufigen Ermittlung der Koef-

fizienten auftreten, zuruckgefuhrt werden. So liegt die Vermutung nahe, dass neben den

bereits aussortierten konjugiert komplexen Zeitkonstanten (Im{τ} = 0) weitere Zeitkon-

stanten nach folgenden Kriterien ausgeschlossen werden konnen:

· τ < 0 : exponentiell aufklingend,

· τ > k · tEnd : tEnd großter Zeitpunkt fur den Daten vorhanden sind,

k zu bestimmender Faktor fur einen Ausschluss,

· τ < tMin : tMin Abstand zwischen den Stutzpunkten.

Eine Untersuchung der o.g. Ausschlusskriterien ergab, anders als erwartet, dass die Zeitkon-

stanten mit negativen Vorzeichen (Abbildung 5.30a) als auch die sehr großen Zeitkonstan-

ten (Abbildung 5.30b) zur korrekten Abbildung fur den hier untersuchten Temperaturver-

lauf T2(t) nicht ausgeschlossen werden konnen. Lediglich das Kriterium fur Zeitkonstanten

die kleiner als der Stutzstellenabstand (τ < tMin, tMin) sind, konnen ohne Verringerung

der Approximationsgute ausgeschlossen werden.

Den Nichtausschluss der negativen Zeitkonstante aus Abbildung 5.30a lasst sich fur den

hier untersuchten Fall darauf zuruckfuhren, dass die Stutzwerte von T2(t) nur fur einen

begrenzten Bereich vorliegen in dem der Verlauf noch nicht gegen einen endlichen Stutz-

stellenwert konvergiert ist. Somit wird, fur sehr große Zeiten, der Anteil der Linearkombi-

nation der Basisfunktion mit der negativen Zeitkonstante den approximierten Verlauf von

T2(t) dominieren und zu einem exponentiell aufklingenden Verhalten des Temperaturver-

laufs fuhren. Solange aber die Zeiten des thermischen Lastwechsels klein gegenuber dieser

negativen Zeitkonstanten sind, wird es zu einer guten Nachbildung des approximierten

Temperaturverlaufs kommen.

Zum Vergleich kommt es im Fall von Temperaturverlauf T1(t), bei dessen Verlauf fur große

Zeiten die Stutzstellenwerte gegen einen endlichen Wert konvergieren, zu keinen negativen

Zeitkonstanten.

Generell lasst sich feststellen, dass die Heuristik aus Gleichung (4.68) fur eine gute Appro-

ximation gunstig gewahlt wurde.

Vergleich des Aufwands zur Netzwerkabbildung der Basisfunktionen in Ab-

hangigkeit vom Polynomgrad

Ein Vergleich der benotigten Anzahl konzentrierter passiver Netzwerkelemente bzw. die sich

dadurch ergebende Knotenanzahl zur Abbildung eines Polynoms gibt Ruckschluss auf den


Simulationsaufwand. Tabelle 5.2 zeigt, dass die Anzahl der benotigten Netzwerkelemente

mit steigendem Polynomgrad in Abhangigkeit von der gewahlten Basisfunktion und der

gewahlten Netzwerkabbildung abhangt.

Ersatzschaltbild (Modell) Netzwerkelemente Knoten

Laguerre-Polynom 5 + 3 · n 4 + 2 · nTP (1) 1 + 3 · n 2 + n

TP (2) 1 + 3 · n 2 + 2 · nRC-Netzwerk 2 · n n

Tab. 5.2. Vergleich des Aufwands zur Netzwerkabbildung der Basisfunktionen in Abhangig-keit vom Polynomgrad. Benotigte Anzahl konzentrierter passiver Netzwerkelementebzw. Knotenanzahl zur Abbildung eines Polynoms.

Die Anzahl der Netzwerkelemente bestimmt sich fur ein Laguerre-Polynom durch funf Netz-

werkelemente zur Abbildung des eingangsseitigen ersten Tiefpass-Gliedes, das unabhangig

vom Polynomgrad immer benotigt wird.

Fur n = 0 existiert nur noch der Tiefpass und der Summierer (Abbildung 5.17a). Mit

steigendem Polynomgrad addieren sich dann je Polynomgrad jeweils die 3 benotigten Ele-

mente R,C,E hinzu. Die Anzahl der benotigten Knoten wird ohne Berucksichtigung des

Bezugspotentialknoten bestimmt, da dieser immer benotigt wird.

0 5 10 15 20 25 30

0

20

40

60 Modell (Laguerre Polynome)

Modell (TP(1)

)

Modell (TP(2)

) Modell (RC-Netz)

Kno

tenz

ahl

Polynomgrad

Abb. 5.31. Verhaltnis Knotenanzahl zu Polynomgrad fur die Makromodelle unterVerwendung der Laguerre-, Exponentialfunktion und dem RC-Modell


In Abbildung 5.31 ist die Abhangigkeit der Modelle zur Bescheibung eines Laguerre-

Polynoms, der beiden Tiefpass-Netzwerke (TP (1), TP (2)) und des RC-Netzwerks in Abhangig-

keit vom Polynomgrad aufgetragen. Ein Vergleich der Netzwerke ergibt, dass die Anzahl der

Knoten der Modelle des Laguerre-Polynoms und des Tiefpass-Netzwerks TP (2) proprotio-

nal mit 2 ·n gegenuber den Modellen des Tiefpass-Netzwerks TP (1) und des RC-Netzwerks,

deren Knotenanzahl proportional mit n wachst, ansteigt.

Die Anzahl der verwendeten Netzwerkknoten steht indirekt fur den Losungsaufwand des

Gesamtnetzwerkes und ist somit auch ein Kriterium fur die Abschatzung der Simulations-

zeit. Mit steigendem Polynomgrad nimmt aber auch die Genauigkeit der Approximation

des Temperaturverlauf zu, so dass bei der Systemmodellierung zwischen Simulationsdauer

und -genauigkeit wiederum abzuwagen ist.

Kapitel 6

Makromodell Generierung und

Verifikation anhand des Beispiels

eines IGBT-Moduls

An einem IGBT-Modul (Insulated Gate Bipolar Transistor), dass z.B. zur Steuerung

von Antriebsmotoren in Bahnfahrzeugen eingesetzt wird, wird der Makromodellentwurf

eines thermo-elektrisch gekoppelten Simulationsmodells beispielhaft untersucht [MK99a]

[MK99b]. Das Modell ermoglicht dabei die transiente Simulation auf der Ebene des Schal-

tungssimulators PSpice. Abbildung 6.1a zeigt die physikalische Anordnung eines IGBT-

Moduls. Die IGBT-Module werden auf einem massiven Kuhler montiert und zu einer ’Mo-

tor Control Unit’ (MCU) zusammengefasst. Jedes IGBT-Modul besteht aus 6 ’Multi Chip

Modulen’ (MCM) auf denen sich die Leitungshalbleiter befinden. Auf jedem MCM befinden

sich jeweils 4 Transistoren und 4 schaltungstechnischbedingte Freilaufdioden (FD).

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(b)

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Abb. 6.1. (a) IGBT-Modul (physikalischer Aufbau). (b) Beschaltung der Phase U mitSteuereinheit und Motorersatzschaltbild eines 3 Phasenwechselrichters.

91

92 KAPITEL 6. MAKROMODELL GENERIERUNG UND VERIFIKATION

Das Simulationsmodell des Leistungsbauelementes wird in einem 3 Phasenwechselrichter

in Bruckenschaltung [Mic92] erprobt. Zur Steuerung des Motors in einem Gleichstromnetz

(z.B. Bahn) muss der Gleichstrom in drei phasenverschobene Wechselstrome gewandelt

werden. Mittels der IGB-Transistoren und einer entsprechenden Ansteuerung wird ein si-

nusformiger Motorstrom erzeugt. Die Schaltung dient unter anderem der Reduzierung der

Verlustleitung PV und dem Verschleiß von Motor und Steuereinheit. In Abbildung 6.1b ist

eine Phase des 3 Phasenwechselrichters herausgehoben dargestellt. Eine Phase besteht aus

zwei Transistoren und deren parallel geschalteten Freilaufdioden. Eine extern der MCU

liegende Steuereinheit (PWL-Control) taktet die Transistoren mit einer pulsweitenmodu-

lierten Spannung, die eine verlustleistungsarme Regelung der Motordrehzahl ermoglicht

[EW98]. Der Motor ist ersatzschaltbildmassig durch seine drei Motorwicklungen und Wick-

lungsinnenwiderstande dargestellt [Vog85].

Mit dem Simulationsmodell wird der thermische und elektrische Entwurf eines IGBT-

Moduls unterstutzt. Es ermoglicht eine Optimierung der thermischen Warmeabfuhr und

eine Verringerung der geometrischen Abmessungen bei Einhaltung der zulassigen Spezifi-

kationen.

6.1 Makromodell Generierung

Zum Entwurf eines Simulationsmodells fur das IGBT-Modul mittels geeigneter Makromo-

delle ist es notwendig, das gekoppelte thermo-elektrische Gesamtverhalten in sein elektri-

sches und thermisches Teilverhalten zu trennen.

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Abb. 6.2. Makromodellentwurf: Entkopplung des thermo-elektrischen Gesamtverhal-tens und Modellierung der physikalischen Teilverhalten unter Berucksichtigung der Kop-pelgroßen

6.1. MAKROMODELL GENERIERUNG 93

Unter Berucksichtigung der Koppelgroßen Temperatur T und Verlustleistung PV werden

im folgenden das elektrische und das thermische Teilmodell entwickelt.

6.1.1 Elektrisches Teilverhalten

Mit den Standard-Bibliothekselementen des Schaltungssimulators PSpice ist es zur Zeit

weder moglich eine sich betriebsbedingt zeitlich andernde Umgebungstemperatur zu be-

obachten, noch eine Selbsterwarmung eines Bauteils in einer transienten Simulation zu

berucksichtigen. Das elektrische Verhalten des IGB-Transistors ist deshalb neu zu model-

lieren. Mit dem Hintergrund, dass sich das elektrische Verhalten eines IGBT aufgrund

seiner physikalischen Struktur ersatzschaltbildmassig durch eine Darlingtonschaltung ei-

nes MOSFET- und eines Bipolartransistor interpretieren lasst (Abbildung 6.3a), wird zur

Modellbildung ein Glassbox-Modell verwendet [Bal98] [PT98].

(a)

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� A

� A

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� A

(b)

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Abb. 6.3. (a) Schnitt durch eine IGBT-Zelle und Ersatzschaltbild [PT97]. (b) Starkvereinfachtes IGB-Transitor Makromodell. Das Makromodell entspricht aufgrund seinerphysikalischen Struktur einer Darlingtonschaltung aus MOSFET- und Bipolatransistor.

Um die sich zeitlich andernde im Bauteil umgesetzte elektrische Verlustleistung und den

daraus resultierenden thermischen Einfluss auf die Umgebung in die Simulation mit einzu-

beziehen, wird das Bauteil mit jeweils einem zusatzlichen Koppeleingang fur die Tempera-

tur T und einem Koppelausgang fur die Verlustleistung PV erweitert (Abbildung 6.4).

Der pnp-Bipolartransistor (BJT) wird nach dem Modell von Gummel-Poon, der n-Kanal

MOS-Feldeffekttransistor (MOSFET) mittels des modifizierten Shichman-Hodges Modell

in PSpice implementiert [Kha91].

Die Spannung UGK steuert nahezu leistungslos den Drainstrom ID = f(UGK) des MOS-


FET. Uber die Stromverstarkungsbeziehung zwischen Kollektor und Basisstrom des BJT

BN =IC

IB

, (6.1)

wobei hier IB = ID und IC = IT gilt, wird der Transferstrom IT = f(UGK , T ) durch den

BJT

IT (UGK , T ) = BN(T ) · ID(UGK , T ) ·(1 +

UAK

UEA

), (6.2)

beschrieben. Die Steigung im Sattigungbereich der Ausgangskennlinien mit der Hilfsspan-

nung UEA (Early-Spannung) modelliert [PA88] [Sno88].

Das Ubertragungsverhalten des MOSFETs ID = f(UGK , T ) lasst sich durch Aufteilung in

einen Trioden- und Sattigungbereich analytisch beschreiben:

Triodenbereich: (UGK − Uth ≥ UDK)

ID(UGK , T ) = 2 · K(T ) · ((UGK − Uth(T )) · UDK − U 2DK

2

)(6.3)

Sattigungsbereich: (UGK − Vth) ≤ UDK)

ID(UGK , T ) = K(T ) · (UGK − Uth(T ))2 (6.4)

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Abb. 6.4. Vereinfachtes n-Kanal-IGBT Glassbox-Modell mit den erweitertenKoppelein- und ausgangen zur Berucksichtigung der Temperatur und der Verlustlei-stung.

Die Temperaturabhangigkeit des MOSFET und BJT wird uber die temperaturabhangigen

Stromverstarkungsfaktoren K(T )1 und BN(T ) beschrieben:

K(T ) =ε0 εr

2 d

W

Lµn,p(T ) = K(TAMB) ·

( T

TAMB

)KT

(6.5)

1εr: Relative Dielektrizitatskonstante des Gateoxids, d: Gateoxiddicke, W : Kanalweite, L: Kanallange


mit der Stromverstarkung K(TAMB) bei Zimmertemperatur TAMB = 300K und dem Tem-

peraturkoeffizienten KT und

BN(T ) = BN(TAMB) ·( T

TAMB

)XTB

(6.6)

mit der Stromverstarkung BN(TAMB) bei Zimmertemperatur TAMB = 300 K und dem

Temperaturkoeffizienten XTB.

Die Ursache fur die Temperaturabhangigkeit des MOSFET liegt bei Betrieb im Trioden-

bzw. Sattigungsbereich, d.h. bei starker Inversion, in der temperaturabhangigen Ladungs-

trager Beweglichkeit µn,p(T ) im Kanal

µn,p(T ) = µn,p(TAMB)( T

TAMB

)KT

(6.7)

sowie im Temperaturgang der Einsatzspannung Uth(T ). Die Temperaturabhangigkeit der

Einsatzspannung Uth(T ) lasst sich mit ausreichender Genauigkeit durch eine lineare Tem-

peraturabhangigkeit

Uth(T ) = Uth(TAMB) ·(1 + α · (T − TAMB)

)(6.8)

beschreiben. Der Temperaturkoeffizient der Einsatzspannung α hangt von der Substrat-

vorspannung, der Substratdotierung sowie vom gewahlten Gate-Material ab [Rei98].

Die Ursache fur die Temperaturabhangigkeit des BJT lasst sich Naherungsweise auf die

spannungsaquivalente Temperaturspannung UT = k Te

und die Temperaturabhangigkeit der

intrinsischen Ladungstragerdichte ni des Halbleiters zuruckfuhren.

Das temperaturabhangige Verhalten des BJT lasst sich mit Hilfe der Diode interpretieren.

Der Strom durch eine ideale Diode I ist zu

I = IS ·(e

UUT

−1)

(6.9)

definiert. Der Sattigungsstrom IS hangt dabei wie folgt von der Temperatur ab

IS(T ) = IS(TAMB) ·( T

TAMB

)XTI

·(e

e Wgk

·T−TAMBT ·TAMB

), (6.10)

mit dem Temperaturkoeffizienten XTI des Sattigungsstroms. Er wird durch die von der

Temperatur abhangigen Beweglichkeiten der Ladungstrager und die effektiven Zustands-

dichten in den Bandkanten in Abhangigkeit von Halbleitermaterial bestimmt.


Fur die Emitter-Basis Diode (p+n) eines PNP-BJT ermittelt sich IS(TAMB) z.B. zu 2

IS(TAMB) = A e n2i (T )

( 1

ND

√Dp

τp

). (6.11)

Er andert sich somit proportional zu n2i .

Die Stromverstarkung des BJT nimmt i.a. mit der Temperatur zu. Dies ist durch die unter-

schiedliche Dotierungsdichte in Emitter und Basis bedingt. Es kommt zu einem verringerten

Bandabstand ∆ Wg im Emitter, bedingt durch die hohe Dotierung, gegenuber der Basis.

Dies hat zur Folge, dass sich fur die intrinsischen Dichten in Emitter und Basis unterschied-

liche Temperaturabhangigkeiten ergeben. Da sich der Basisstrom IB aber proportional zu

n2i,E des Emitters andert, der Transferstrom IT sich jedoch proportional zu n2

i,B der Basis

verhalt, wirkt sich der verringerte Bandabstand ∆ Wg auf die Stromvertarkung BN

BN(T ) ∼ n2i,B

n2i,E

∼ e−∆ Wgk T (6.12)

aus. Durch Anpassen einer Geraden an die doppellogarithmische Darstellung von BN(T )

uber T (Gleichung (6.12)) wird der Temperaturkoeffizient XTB (Gleichung (6.6)) be-

stimmt.

Das temperaturabhangige Verhalten des IGBT lasst sich mittels der beiden Temperatur-

koeffizienten des BJT (XTB) und des MOSFET (KT ) modellieren. Aus der Summe dieser

beiden Anteile resultiert die temperaturabhangige Durchlaßcharakteristik des IGBT. Folg-

lich beinhaltet der IGBT einen negativen und auch einen positiven Temperaturkoeffizien-

ten. Bei niedrigen Stromen ist der IGBT durch einen negativen, zu hoheren Stromen hin

durch einen positiven Temperaturkoeffizienten gepragt [Fat94]. Hier zeigt sich ein deutlicher

Unterschied zum Leistungs-MOSFET, bei dem der Durchlasswiderstand mit zunehmender

Temperatur steigt [Vog97].

Bei der Bestimmung der Parameter fur den in Abschnitt 6.2.1 untersuchten IGBT ergab

sich fur den Temperaturkoeffizienten des BJT ein negativer Wert, dessen Betrag kleiner

ist als der Betrag des Temperaturkoeffizienten des MOSFET. Fur niedrige Strome ist der

Temperaturkoeffizient des MOSFET negativ, fur hohe Strome wird er positiv. Die Summe

der Temperaturkoeffizienten XTB + KT ist dabei großer Null.

Die Modellparameter (XTB, KT , Uth(TAMB), α, UEA, ...) wurden entsprechend den vor-

liegenden Kennlinienfeldern durch Variation der Parameter angepasst. Eine vollstandige

PSPICE -Beschreibung des IGBT-Makromodells befindet sich im Anhang A.9.2A: Flache des BJT, e: Elektronenladung, ND: Donatoren Dotierungsdichte, Dp: Diffusionskonstante

der Locher, τp: Locher Lebensdauer


6.1.2 Thermisches Teilverhalten

Zur Generierung des thermischen Teilmodells wird zunachst ein Feldsimulator-Modell er-

stellt. Unter Berucksichtigung der statischen und dynamischen Materialparameter (Tabelle

6.1) wird das Modell transient simuliert.

Abb. 6.5. Reduziertes Feldsimulatormodell (The4Sim) - IGBT-Modul mit einemMCM

Die thermische Voruntersuchung des IGBT-Moduls ergibt, dass die auf einem IGBT-

Modul montierten MCMs als voneinander thermisch isoliert betrachtet werden konnen.

Die Warmeabfuhr des Kupfer-Kuhlers ist ausreichend groß dimensioniert. Das Feldsimu-

latormodell kann somit erheblich im Umfang reduziert werden. Abbildung 6.5 zeigt das

bereits reduzierte Feldsimulatormodell, das mit dem Programm The4Sim [Rei94] erstellt

wurde. Es sind die IGBT-Transistoren und die zugehorigen Freilaufdioden auf einem MCM

zu erkennen (vgl. auch Abbildung 6.1a).

λ ρ cp d A

[ Wm K

] [ kgm3 ] [ Ws

kg K] [µm] [mm]

Si-Halbleiter (IGBT/FD) 150 2330 710 220 15x15/8x8

Cu-Beschichtung 390 8960 380 280 60x67

PbSn-Lot 63 11000 130 180 60x67

Al2O3-Substrat 35 3900 840 640 60x67

Cu-Kuhler 390 8960 380 5000 233x163

Tab. 6.1. Thermo-physikalische Materialparameter (Quelle: Fhg IZM, Berlin) der ver-wendeten Materialen und die geomerischen Abmessungen des Aufbaus gemaß Abbildung6.6.

Zur Modellierung des Feldsimulatormodells in The4Sim wurden die in Abbildung 6.6 an-

gegebenen Material- und Geometriedaten, sowie die gezeigte Schichtfolge verwendet. Der

Aufbau besteht aus einer zentralen Kupferplatte an deren Unterseite sich der Kuhler be-


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Abb. 6.6. Schematische Darstellung der Schichtfolge des physikalischen Aufbaus(Darstellung nicht Maßstabsgetreu)

findet. Auf der Kupfer-Basisplatte sind die MCM-Trager mit Blei-Zinn-Lot gelotet.

(a)

IGBT 2IGBT 1FD 1

FD 2

MCMBeobachtungs- punkt

Wärme-kopplung

(b)1 � 4 � - � 5 � 6 � . 1 � . 4 � . - � . 5 �

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Abb. 6.7. (a) Thermische Koppelstrecke (MCM Draufsicht). (b) Temperaturverhaltenuber der Zeit im Ort IGBT2 und IGBT1 aufgrund einer Anregung PV = 1 W im OrtIGBT2 bei einem Warmeubergangskoeffizienten h = 104 W

m2 K.

Als Tragermaterial wird Al2O3 Keramik verwendet. Der Keramiktrager wird zur besseren

mechanischen Kontaktierbarkeit mit einer dunnen Kupferschicht an der Unter- und Ober-

seite versehen. Auf dem Keramiktrager werden die elektrisch aktiven Bauelemente, die

aus Silizium bestehen gelotet. Die aktive Schicht (Epitaxie-Schicht) des Bauteils wird als

dicht unterhalb der Oberflache liegend berucksichtigt. Fur IGB-Transistoren und Freilauf-

dioden wurden die gleichen Schichtfolgen und -dicken sowie Materialdaten angenommen.

Sie unterscheiden sich lediglich in ihren lateralen Abmessungen.

6.2. VERIFIKATION DER MAKROMODELLE 99

Das Temperaturverhalten des physikalischen Aufbaus wird durch ein Blackbox-Modell ab-

gebildet. Deshalb werden bei der Auswertung der transienten Simulationsergebnisse nur

die thermischen Koppelstrecken zwischen den Mittelpunkten der aktiven Bauelementen

berucksichtigt (Abbildungen 6.7a und 6.7b).

Unter Verwendung der in Abschnitt 4.2 beschriebenen Verfahren werden die transienten

Simulationsergebnisse der ausgewahlten Warmekopplungen in Modelle entsprechend Ab-

schnitt 5.2 uberfuhrt.

6.1.3 Transientes, gekoppeltes thermo-elektrisches Modell

Das transiente, gekoppelte thermo-elektrische Modell fur das IGBT-Modul lasst sich aus

den entworfenen elektrischen und thermischen Teilmodellen nach Abbildung 6.8 zusam-

mensetzen.

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Abb. 6.8. Schematische Darstellung des transienten, gekoppelten thermo-elektrischenModells

Die zeitabhangigen Eigenerwarmungen und die Erwarmungen der Nachbarbauelemente

werden in die Simulation miteinbezogen. Alle koppelnden Teilerwarmungen werden auf-

grund der vorausgesetzten Superponierbarkeit aufsummiert. Die resultierende Temperatur

im Mittelpunkt der aktiven Schicht eines Bauteils beeinflusst somit das Verhalten des elek-

trischen Teilmodells.

6.2 Verifikation der Makromodelle

6.2.1 Elektrisches Makromodell-Verhalten

Der elektrische Teil des IGBT Makromodells wird mit dem in PSpice implementierten

Modell und den Messdaten der IGBT-Modul Applikation verifiziert [SC97].


Verifikation PSpice - Makromodell

Mit der in Abbildung 6.9 dargestellten Testschaltung wird das Kurzschlussverhalten zwi-

schen dem elektrischen Teil des IGBT-Makromodells und dem in PSpice implementierten

IGBT-Modell uberpruft.

U0 = 200V

5 n

UGK

PV

T UAK

IAK

UT

A

KG5

UT0 V = 25 °C1 V = 125 °C

^^{

PV 0 V = 1 W^

:

:

Abb. 6.9. Testschaltung zur Validierung des Kurzschlussverhaltens zwischen demelektrischen Teil des IGBT-Makromodells und dem in PSpice implementierten IGBT-Modells.

In Abbildung 6.10a ist das Ausgangskennlinienfeld fur das in PSpice implementierte IGBT-

Modell und das IGBT-Makromodell in Abhangigkeit von den Temperaturen T = 25, 75,

125◦C bei einer Gate-Steuerspannung UGK = 11V dargestellt. Ein Vergleich der beiden

Kennlinienfelder zeigt eine gute Ubereinstimmung des Makromodells mit dem PSpice-

Modell. Bei der Variation der Steuerspannung UGK = 9V, 11V, 13V fur eine feste Tempe-

ratur von T = 125◦C (Abbildung 6.10b) zeigt sich, dass die Makromodellparameter von

der Steuerspannung leicht abhangig sind. So liegt der Stromverlauf bei niedrigen Steuer-

spannungen oberhalb des PSpice-Modells und bei hoheren Steuerspannungen unterhalb des

PSpice-Modells. Bei der Bestimmung der Makromodellparameter ist somit der Betriebs-

zustand (im Pulsebetrieb) der Steuerspannung zu berucksichtigen.

Ein Vergleich des dynamischen Kurzschlussverhaltens des IGBT-Makromodells mit dem

PSpice-Modell bei einer Gate-Steuerspannung UGK = 11V ist in der Abbildung 6.11

dargestellt. In Abbildung 6.11a sind der Strom IAK durch den IGBT und die Anoden-

/Kollektorspannung UAK uber der Zeit aufgetragen. Dabei werden jeweils die Strom- und

Spannungsverlaufe fur das ungekoppelte IGBT-Makromodell mit dem PSpice-Modell fur

die konstanten Temperaturen T = 25◦C und T = 100◦C untereinander verglichen. Die

Temperatur T = 100◦C ergab sich aus der mittleren Temperatur fur den Schaltungsbe-

trieb mit dem


0 50 100 150 200

0

5

10

15

2075 ˚C

25 ˚C

TAmb.

= 125 ˚CUGK

= 11 V

IGBT Makromodel IGBT PSpice Model

I AK [

A]

UAK

[V]

(a)

0 50 100 150 200

0

5

10

15

20

25

30

35

40

11V

9V

UGK

= 13V

T = 125 ˚C

IGBT Makromodell IGBT PSpice Modell

I AK [

A]

UAK

[V]

(b)

Abb. 6.10. Vergleich des Ausgangkennlinienfeldes des elektrischen Teils des IGBT-Makromodells mit dem in PSpice implementierten Modell fur (a) UGK = 11V undT = 25, 75, 125◦C (b) T = 125

◦C und UGK = 10, 11, 12 V .


0.2000 0.2001 0.2002 0.2003

0

10

20

30

40

UGK

= 11 V

T = 100 ˚C

T = 25 ˚C

T = 25 ˚C

T = 100 ˚C

IGBT PSpice Modell [ungekoppelt] IGBT Makromodell [ungekoppelt] IGBT Makromodell [gekoppelt]

t [s]

I AK [

A]

199.97

199.98

199.99

200.00

200.01

UA

K [V]

(a)

0.2000 0.2001 0.2002 0.20030.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6T = 100 °C

T = 25 °C

UGK

= 11 V

T = 100 °C

T = 25 °C

IGBT PSpice Modell [ungekoppelt] IGBT Makromodell [ungekoppelt] IGBT Makromodell [gekoppelt]

t [s]

PV [k

W]

0

20

40

60

80

100

∆T

[K]

(b)

Abb. 6.11. Validierung des Kurzschlussverhaltens zwischen dem elektrischen Teil desIGBT-Makromodells und dem in PSpice implementierten IGBT-Modells: (a) StromIAK , Spannung UAK (b) Temperaturerhohung ∆T , Verlustleistung PV


PSpice-Modell. Die Verlaufe zeigen eine gute Ubereinstimmung. Zusatzlich sind noch die

Strom- und Spannungsverlaufe fur das gekoppelte IGBT-Makromodell dargestellt.

In Abbildung 6.11b sind die Verlustleistung PV und die Temperatur T uber der Zeit fur

die jeweiligen, oben beschriebenen Falle aufgetragen. Auch hier zeigen die Verlaufe eine

gute Ubereinstimmung.

Mit dem gekoppelten Makromodell lasst sich somit die vom Schaltungsbetrieb abhangi-

ge Verlustleistung und Temperatur des Bauelementes exakter gegenuber dem von einer

konstanten Bauteiltemperatur abhangigen PSpice-Modell ermitteln.

Verifikation: IGBT-Modul Applikation - Makromodell

Fur das kommerziell erhaltliche IGBT-Modul [SC97] wurden mittels der zur Verfugung

stehenden elektrischen Messdaten des Ausgangskennlinienfeldes die Makromodellparame-

ter bestimmt.

Abbildung 6.12a zeigt das statische Ausgangsverhalten IAK uber UAK fur eine konstante

Steuerspannung UGK = 15V in Abhangigkeit der Temperatur T = 25◦C und T = 125◦C.

Die Messdaten lagen nur fur einen eingeschrankten Bereich des Kennlinienfeldes vor. In der

eingeblendeten Darstellung ist somit nur das Stromverhalten fur niedrige Strome darge-

stellt. Hier hat der IGBT noch das Verhalten eines Leistungs-MOSFET (negativer Tempe-

raturkoeffizient). Mit zunehmendem Strom wird der Temperaturkoeffizient positiv, was in

der Darstellung gut zu erkennen ist (Großerer Strom fur T = 125◦C als fur T = 25◦C). Die

Temperaturkoeffizienten konnten zufriedenstellend fur das Makromodell ermittelt werden.

In Abbildung 6.12b ist das Ausgangsverhalten in Abhangigkeit der Steuerspannungen

UGK = 11V, 13V, 15V, 17V fur die konstante Temperatur T = 125◦C dargestellt. Die

Modellparameter wurden fur eine mittlere Steuerspannung von UGK = 15V bestimmt und

zeigen sowohl fur kleine und als auch große Strome eine zufriedenstellende Ubereinstim-

mung.

6.2.2 Thermisches Makromodellverhalten

Das thermische Verhalten des untersuchten IGBT-Moduls wird mittels der gemessenen

thermischen Impedanz verifiziert (Abbildung 5.3). Sie beschreibt das Verhaltnis von Tem-

peratur zu Verlustleistung fur verschiedene Taktraten, hier in der aktiven Schicht des

Halbleiterbauelements. In Abbildung 6.13 sind die Simulationsergebnisse der thermischen

Sprungantwort (single pulse, d → ∞) des Feldsimulatormodells fur IGBT und Freilauf-

Diode, die der thermischen Makromodelle und die Applikationsmessdaten des Datenblattes

des IGBT-Moduls dargestellt.


0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000

4000

5000 T = 125 °C

T = 25 °C

UGK

= 15 V

IGBT Makromodell Applikations Messdaten

I AK [A

]

UAK

[V]

0 1 2 3 4 5 6 70

500

1000

1500

2000

2500

3000

UGK

= 15 V

T = 125 °C

T = 25 °C

I AK [A

]

UAK

[V]

(a)

0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000 UGK

= 17V

UGK

= 15V

UGK

= 13V

UGK

= 11V

T = 125 °C

IGBT Makromodell Applikations Messdaten

I AK [A

]

UAK

[V]

0 1 2 3 4 5 6 70

400

800

1200

1600

2000

2400

2800 T = 125 °C

UGK

= 15 V

UGK

= 17 V

UGK

= 13 V

UGK

= 11 V

I AK [A

]

UAK

[V]

(b)

Abb. 6.12. Validierung des Ausgangskennlinienfeldes zwischen dem elektrischen Teildes IGBT-Makromodells und den Applikationsmessdaten des Datenblattes fur (a)UGK = 15V mit T = 25◦C, 125◦C und (b) T = 125◦C mit UGK = 11V, 13V, 15V, 17V .


1E-3 0.01 0.1 11E-3

0.01

0.1

single pulse

Diode

IGBT

Applikationsdaten Feldsimulatormodell Makromodell (therm.)

Z(t

h) J

C [

°C /

W ]

Pulsdauer d [s]

Abb. 6.13. Validierung des Verhaltens zwischen Applikationsmessdaten des IGBT-Modul Datenblattes, Ergebnissen der Feldsimulation und der thermischen Makromo-delle des IGBT-Moduls mittels der Zth-Kennlinien fur IGBT und Diode fur einen Pulsunendlicher Dauer (thermische Sprungantwort, single pulse fur d → ∞).

Ein Vergleich der Ergebnisse der Feldsimulation mit denen der thermischen Makromodelle

zeigt eine gute Ubereinstimmung.

Ein Vergleich der Ergebnisse der Messung und mit denen der Feldsimulation zeigt im

statischen Bereich eine gute Ubereinstimmung. Jedoch kommt es im dynamischen Bereich

(d < 20 ms) zu einer Abweichung, die im folgenden diskutiert wird.

Interpretation der Abweichungen zwischen Feldsimulation und Messung

Das thermische Verhalten eines Korpers (Gleichung (6.13) bei einer zugefuhrten elektri-

schen Verlustleistung PV lasst sich nach Kapitel 5.1 durch ein RC-Glied (Abbildung 6.14)

vereinfacht beschreiben.

; % . � /

&

+ � � ( � �

Abb. 6.14. Einfachste Form einer thermischen Ersatzschaltung

Die Impedanz des RC-Gliedes zeigt im stationaren Fall (ω → 0) nur eine Abhangigkeit von

Rth (Gleichung (6.14). D.h. bei einer stationaren Temperaturabweichung ist der thermische


Widerstand zu uberprufen.

Zth =1

jωCth

‖ Rth = Rth · 1

1 + jω RthCth

(6.13)

Der thermische Widerstand Zth wird dabei durch die Warmeleitfahigkeit λ, die Schichtdicke

d und die lateralen Abmessungen A = w · t bestimmt.

Zth(ω → 0) = Rth

Rth =1

λ

d

A(6.14)

Im dynamischen Fall (ω → ∞) wird die Impedanz von der Warmekapazitat Cth abhangig

(Gleichung 6.15).

Zth(ω → ∞) =1

jωCth

Cth = ρ · cp · d · A (6.15)

Da die Ergebnisse der Feldsimulation und Messung im statischen Fall relativ gut uberein-

stimmen, kann daraus geschlossen werden, dass Geometriedaten und Warmeleitfahigkeit

gut bestimmt wurden. Die Abweichungen im dynamischen Fall lassen sich deshalb nur

bedingt auf etwaige falsche Geometriedaten zuruckfuhren. Da die dynamischen Materi-

alwerte (ρ, cp) ebenfalls nur gering streuen, ergeben sich folgende Uberlegungen fur die

Abweichungen.

Zum einen kommt es aufgrund von Ungenauigkeiten bei der Messung bzw. der verwende-

ten Messmethode zu Abweichungen. Das gemessene Temperaturverhalten der Freilaufdiode

stimmt befriedigend mit den Ergebnissen der Feldsimulation uberein, was auf eine Messme-

thode zuruckgefuhrt werden kann, die den transienten Temperaturverlauf direkt, mittels

Analogien thermo-physikalischer Effekte (Abschnitt 5.2), in der Diode misst. Das gemesse-

ne Temperaturverhalten des IGBT stimmt allerdings nur im statischen Bereich gut mit der

Feldsimulation uberein. Im dynamischen Bereich kommt es, hin zu kleinen Zeiten, zu ei-

ner großen Differenz, welche vermutlich auf die Messmethode zuruckgefuhrt werden kann.

Da die Bauteiltemperatur des IGBT nicht, wie bei der Freilaufdiode, direkt im Bauteil

ermittelt werden kann, muss hier das Temperaturverhalten uber eine andere Messmetho-

de bestimmt werden. Hier bietet sich die Thermograhie an. Nachteil der Methode ist die

geringe Auflosung der Amplitude (ca. ∆T = 0.1 K) und der Zeit (ca. t > 20 ms fur eine

Flache bzw. t > 0.1 ms fur einen einzelnen Spot) des zu messenden Signals.

Zum anderen kommt es zu einer Anderung der thermo-physikalischen Materialwerte in den

Interfaces, aufgrund des technologischbedingten Aufbaus des MCMs. Eine Uberprufung

zeigte hier eine Abhangigkeit, die sich auf den dynamischen Bereich jedoch nur gering

auswirkt.


6.2.2.1 Einfluss von Substratschichtdicke, Geometriedaten und Warmeuber-

gangskoeffizienten auf das Temperaturkoppelverhalten

Zu beobachten ist, dass es im Zuge der Miniaturisierung nicht mehr nur zu einer Eigen-

erwarmung der aktiven Komponenten kommt, sondern auch durch Koppelerwarmung be-

nachbarter aktiver Komponenten eine Fremderwarmung die elektrische Funktion zusatzlich

mit beeinflusst.

0.01 0.1 1 10

1E-3

0.01

Z th (The4Sim Modell)

single pulse

IGBT [h=103 W/m²K, d

Al2O

3

=640 µm]


Al2O

3

=640 µm]


Al2O

3

=1.23 mm]


Al2O

3

=1.23 mm]

Z th

[ K

/ W

]

d [s]

Abb. 6.15. Per Feldsimulation (The4Sim) ermitteltes Temperaturverhalten desIGBT-Moduls gemaß Abbildung 6.6 fur PV = 1 W in Abhangigkeit von der Substrat-schichtdicke dAl2O3 [m] und des Warmeubergangskoeffizienten h [ W

m2K]

Um die thermische Beeinflussung elektrischer Komponenten, die auf einem Substrat mon-

tiert sind, fur den Entwurf von Multi-Chip-Modulen (MCM) charakterisieren zu konnen,

werden in diesem Abschnitt anhand von Feldsimulationsergebnissen die Einflusse, die sich

durch Variation der Substratschichtdicke, der Geometriedaten des MCM (Große, Lage der

Baugruppen zueinander) und des Warmeubergangskoeffizienten zeigen, diskutiert.

Die verwendeten Simulationsmodelle entsprechen dem Schichtmodell aus Abbildung 6.6,

die thermo-physikalischen Material- und die Geometriedaten der aus Tabelle 6.1.

Abbildung 6.15 zeigt die Simulationsergebnisse der thermischen Sprungantwort (single pul-

se) fur zwei verschiedene Substratdicken dAl2O3 = 0.64 mm, 1.23 mm in Abhangigkeit von

den Warmeubergangskoeffizienten h = 103 Wm2 K

und h = 104 Wm2 K

.


Es ist zu erkennen, dass

· fur kleine Zeiten d < 100 ms weder die Substratdicke noch der Warmeuber-

gangskoeffizient einen Einfluss auf das transiente thermische Verhalten haben,

· fur Zeiten 100ms < d < 1 s ist zu beobachten, dass der Warmeubergangskoeffi-

zient keinen Einfluss auf das transiente thermische Verhalten hat, wohl aber die

Substratdicke. Mit zunehmender Substratdicke verzogert sich die Entwarmung

des Aufbaus

· fur Zeiten d > 1 s macht sich nun auch der Warmeubergangskoeffizient be-

merkbar. Mit zunehmender Verbesserung der Warmeabfuhr (Großeres h) sinkt

die statische Temperatur (T (t), t → ∞) des Aufbaus bzw. verringert sich die

Anstiegszeit.

Zur Charakterisierung der Verhaltnisse zwischen Eigen- und Fremderwarmung in einem

MCM wird das in Abbildung 6.16 abgebildete Simulationsmodell (Schichtfolge, Schicht-

dicke und Materialdaten entsprechend Tabelle 6.1) verwendet. Die Komponenten werden

dafur nach Tabelle 6.2 zueinander angeordnet. D entspricht der Entfernung der Mittelpunk-

te der Komponentenflachen A in der aktiven Schicht (ca. 44µm unterhalb der Oberflache)

angenommen.

In Abbildung 6.17 sind jeweils die Eigenerwarmungen im Mittelpunkt der aktiven Kom-

ponente und die Fremderwarmungen in der benachbarten Komponente in Abhangigkeit

von der Flache A der Komponenten und der Distanz D der Mittelpunkte der Flachen der

Komponenten zueinander dargestellt.

Abb. 6.16. Parametrisierbares Modell (The4Sim) zur Charakterisierung des Fremd-zu Eigenerwarmung Verhaltnisses fur verschiedene Geometrische Anordnungen nachTabelle 6.2.


Distanz D Flache A

Modell [mm] [mm]

1 5 4x4

2 2.5 2x2

3 1.5 1x1

4 1.1 1x1

5 0.6 0.5x0.5

Tab. 6.2. Modellparameter zur Charakterisierung der Verhaltnisse zwischen Eigen-und Fremderwarmung in einem MCM entsprechend Abbildung 6.16.

Zur Bewertung des Koppelverhaltens ist in Abbildung 6.17 eine senkrechte strichpunktierte

Linie eingezeichnet, anhand der die Verhaltnisse zwischen Eigen- und Fremderwarmung fur

t = 10 ms miteinander verglichen werden.

1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

Modell 3

Modell 5

Modell 4

Modell 2

Modell 1

Zth [

W/K

]

A : Chip-OberfächeD : laterale Distanz zwischen Beobacht- ungspunkten

Modell 5

Modell 3 & 4

Modell 2

Modell 1

A

D

Eigenerwärmung Koppelerwärmung

t [s]

Abb. 6.17. Eigenerwarmungen im Mittelpunkt der aktiven Komponente und dieFremderwarmungen in der benachbarten Komponente in Abhangigkeit von der FlacheA der Komponenten und der Distanz D der Mittelpunkte der Flachen der Komponentenzueinander. PV = 1 W , h = 104 [ W

m2K].

Zuerkennen ist, dass fur Modell 1 die Fremderwarmung um ca. 3 Zehnerpotenzen kleiner

ist als die Eigenerwarmung, fur Modell 2 ca. 2 Zehnerpotenzen, fur Modell 3 ca. 1.5 Zeh-

nerpotenzen und somit vernachlassigt werden konnen. Fur die Modelle 4 und 5 liegt die


Fremderwarmung nur noch um den Faktor 0.1 bzw. 0.12 niedriger als die Eigenerwarmung

was bereits eine beobachtbare Beeinflussung der elektrischen Funktion zur Folge hat und

somit im Entwurfsprozess berucksichtigt werden muss.

Betrachtet man Modell 5 bei einer Taktfrequenz großer 100 Hz, so nimmt die Frem-

derwarmung, in Bezug auf die Eigenerwarmung, auf einen verschwindend kleinen Ein-

fluss ab. So ist fur t = 1 ms die Eigenerwarmung ca. 2 Zehnerpotenzen großer als die

Fremderwarmung und fuhrt somit zu keiner nennenswerten Beeinflussung der elektrischen

Funktion.

Die Abnahme der Distanz D zwischen den Mittelpunkten der Komponenten zueinander

hat zur Folge, dass diese immer kleiner werden mussen und bei entsprechend konstant

bleibender umgesetzter Leistung PV die Leistung pro Flache A steigt und somit auch die

Temperatur T zu nimmt.

Generell ist zu beobachten, dass mit Abnahme der Distanz der Komponenten zueinander

die transiente thermische Zeitkonstante des MCMs sinkt und sich eine thermo-elektrische

Koppelung nicht nur durch die Eigenerwarmung bemerkbar macht.

0 1 2 3 4 5

1E-3

0.01

0.1 Modell 4Modell 5

Modell 3

Modell 2

Modell 1

Eig

ener

wär

mun

g/Fr

emde

rwär

mun

g

D [mm]

Abb. 6.18. Fremd- zu Eigenerwarmungsverhaltnisse in Abhangigkeit von der Distanzder Mittelpunkte der Komponenten zueinander.

Abbildung 6.18 zeigt ein nahezu exponentielles Verhalten der Fremd- zu Eigenerwarmungs-

verhaltnisse in Abhangigkeit von der Distanz D.


6.2.3 Transientes, gekoppeltes thermo-elektrisches Modellverhal-

ten

Nachdem alle Komponenten durch konzentrierte Elemente des Schaltungssimulators PSpice

fur das vorliegende IGBT-Modul modelliert sind, kann das gekoppelte thermo-elektrische

Verhalten des IGBT-Moduls in einen 3 Phasenwechselrichterbetrieb untersucht werden. Die

Makromodelle werden gemaß Abbildung 6.19 miteinander verschaltet, wobei der Ubersicht-

lichkeithalber nur eine Phase (Phase U) und der entsprechende Teil der Motorersatzschal-

tung3 abgebildet ist.

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6 5 %

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Abb. 6.19. 3 Phasenwechselrichter und Motorersatzschaltung: SchaltungstechnischeKoppelung der thermischen und elektrischen Modelle, beispielhaft fur die Phase U dar-gestellt.

Betrieben wird der Motor bei einer Frequenz von 100Hz, was ebenfalls einer Taktfrequenz

von 100 Hz entspricht mit der die IBGTs angesteuert werden. Die oberen und unteren

IGBTs werden dabei invertiert durchgeschaltet. Zur Kurzschlussvermeidung sind kurzzeitig

beide IGBTs einer Phase ausgeschaltet (Abbildung 6.20a). Die Phasen U , V und W werden

3Motor-Modellparameterbestimmung s. Anhang A.8


jeweils um 120 Grad phasenverschoben betrieben, so dass sich ein sinusformiger Strom

durch die drei Motorwicklungen einstellt (Abbildung 6.20b).

(a)

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004

0

5

10

t [s]

0

5

10

0

5

10

0

5

10

0

5

10

0

5

10

Phas

e W

un

ten

Phas

e W

ob

enPh

ase

V

unte

nPh

ase

V

oben

Phas

e U

un

ten

Phas

e U

ob

en

(b)

0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25

-75

-50

-25

0

25

50

75I R

W

I RV

t [s]

-75

-50

-25

0

25

50

75

-75

-50

-25

0

25

50

75

I RU

Abb. 6.20. (a) 3 Phasenwechselrichter: Ansteuerpulse der Phase U , V und W (b) 3Phasenwechselrichter: Motorstrome durch die 3 Motorwicklungen. Die Strome durch dieWicklungen IRm,U

, IRm,Vund IRm,W

sind jeweils um 120◦ phasenverschoben.

Aus der in Abschnitt 6.2.2.1 gefuhrten Untersuchung ergab sich, das sich erst ab einer

Distanz D < 1 mm zwischen den Mittelpunkten der aktiven Flachen der gekoppelten

Komponenten fur die gewahlte Schichtstruktur eine transiente thermische Beeinflussung

fur Schaltzeiten t ≥ 10 ms relevant werden.

Fur das vorliegende IGBT-Modul ergibt sich somit, dass die Komponenten sich zwar gegen-

seitig langfristig gleichmaßig erwarmen (Globale Erwarmung des Systems), aber fur eine

kurzzeitige thermische Anderung der Bauteiltemperatur (Lokale Erwarmung der Kompo-

nente) die thermischen Zeitkonstanten zu groß sind. Somit hat bei einem Motorbetrieb von

f = 100 Hz die durch das Schalten der Komponenten erzeugte lokale Erwarmung keinen

kurzzeitigen, nennenswerten Einfluss auf die Nachbarkomponenten und somit auch nicht

auf die elektrische Funktion.

Um den Effekt der thermo-elektrischen Kopplung fur den Modellaufbau zu zeigen, wird

fur die weitere Untersuchung das beobachtete Fremd- zu Eigenerwarmungsverhaltnis nach

Modell 5 verwendet. Zur Betrachtung der transienten gekoppelten Einflusse auf das funk-

tionale thermische und elektrische Verhalten der IGB-Transistoren wird die thermische

Kopplung


· aufgebrochen, (Die Temperatur entspricht fur alle elektrischen Komponenten

der konstanten Umgebungstemperatur TAmb. = 25◦C),

· nur aus der Eigenerwarmung und

· aus der Superposition der Eigen- und Fremderwarmung

ermittelt.

Abbildung 6.21 zeigt den zeitlichen Verlauf der Bauteiltemperatur TU,o des oberen IGBTs

und die Verlustleistungen (PVU,o, PVU,u

) des oberen und unteren IGBTs der Phase U des 3

Phasenwechselrichters aus Abbildung 6.19 fur einen Motorbetrieb bei f = 100 Hz.

0.19 0.20 0.21 0.22

0

20

40

60

80

Eigen+Fremderwärmung

t [s]

PV [

kW]

0

50

100

150

200

ungekoppelt, TAmb.

= 25 °C

therm. gekoppelt, Eigenerwärmung therm. gekoppelt, Eigen + Fremderwärmung

Thermisch gekoppelt , IGBTU,o

, IGBTU,u

Fremd-erwärmung

Eigen-erwärmung

UGK

= 10 V

UAK

= 700 V

TU

,o [°

C]

Abb. 6.21. 3 Phasenwechselrichter: Temperaturverlauf TU,o des oberen IBGT inAbhangigkeit vom Schaltverhalten der oberen und unteren IGBTs der Phase U dar-gestellt durch die Verlustleistungen PVU,o

und PVU,uder beiden thermisch gekoppelten

Komponenten.

Der gewahlte Zeitausschnitt zeigt das bereits auf eine konstante mittelere Temperatur ein-

geschwungene System. Fur das ungekoppelte Modell ist die Verlustleistung keine Funktion


0.218 0.220 0.222 0.224 0.226

0

25

50

UGK

= 10 VU

AK = 700 V

ungekoppelt, TAmb.

= 25 ˚C therm. gekoppelt, Eigenerwärmung therm. gekoppelt, Eigen + Fremderwärmung

t [s]

I AK

U,o

[A

]

0

25

50

IAK

U,u [A

]

(a)

0.218 0.220 0.222 0.224 0.226

-50

-25

0

25

50

UGK

= 10 VU

AK = 700 V

ungekoppelt, TAmb.

= 25 ˚C therm. gekoppelt, Eigenerwärmung therm. gekoppelt, Eigen + Fremderwärmung

I R,U

[A

]

t [s]

(b)

Abb. 6.22. 3 Phasenwechselrichter (a) Strom IAKU,o, IAKU,u

und (b) Strom IRU.


der sich zeitlich andernden Umgebungstemperatur. Es kommt hier nur zu einer Tempera-

turanderung aufgrund der sich andernden Verlustleistung.

Bei dem thermisch gekoppelten Modellen nimmt die Temperatur nicht nur infolge der

Taktrate zu, sondern ist zusatzlich von der Verlustleistungsanderung abhangig.

Gut zu erkennen ist der Einfluss der Fremderwarmung aufgrund des Schaltens des unte-

ren IGBTs (IGBTU,u) auf den Temperaturverlauf des oberen IGBTs (TU,o). Obwohl die

Temperatur des oberen IGBTs sinkt (Abbildung 6.21 oben, Fremderwarmung) kommt es

wahrend den aktiven Zeiten des unteren IGBTs zu einer zusatzlichen Anhebung der Bau-

teiltemperatur.

In Abbildung 6.22a und Abbildung 6.22b sind die Strome durch den oberen und unteren

IGBT IAKU,ound IAKU,o

und der entsprechende Motorstrom IRUdargestellt. Auch hier

wird wieder in die drei o.g. Falle unterschieden. Entsprechend der Erwartung zeigt sich,

dass die Strome sich unter Berucksichtigung der thermischen Kopplung (Eigen- plus Frem-

derwarmung) gegenuber einer konstant angenommenen Bauteiltemperatur im ungekoppel-

ten Fall und im Fall der Berucksichtigung nur der Eigenerwarmung zusatzlich erhohen.

Aufgrund des kleinen thermischen Koppelverhaltnisses der Fremd- zu Eigenerwarmung

kommt es nur zu einer geringen temperaturbedingten Stromerhohung.

Fur die Dimensionierung zukunftiger stark miniaturisierter MCMs wird es mittels der

vorgestellten Methode moglich das transiente thermisch und elektrisch Verhalten komplexer

Systeme gekoppelt zu simulieren und entsprechend in der Entwurfsphase zu optimieren.

116

Kapitel 7

Anwendungen in der

Mikrosystemtechnik

Anwendungen fur das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren finden sich hauptsachlich

in den Bereichen, in denen in bestimmten Bauteilen einer miniaturisierten Baugruppe

hohe Verlustleistungen umgesetzt werden und diese, aufgrund ihrer unmittelbaren Nahe zu

anderen Bauteilen, deren zeitabhangige Funktion in bezug auf die Gesamtsystemfunktion

beeinflussen bzw. verandern.

Hierzu zahlen in erster Linie Baugruppen der Leistungselektronik, wie sie in der Steu-

erelektronik (Beleuchtung, Motorantriebe) zu finden sind. Hier kommt es aufgrund einer

Entwarmung uber die Bauteiltrager zu einer thermischen Kopplung. So werden z.B. auf-

grund der hohen zu schaltenden Leistungen in den (Steuer-)Systemen die Signale gepulst,

um das thermische System zu entlasten. So muss z.B. bei mikroelektronischen Steuerungs-

komponenten der Automobilelektronik ein Dauerstrom zur Steuerung eines Anlassermotors

vermieden werden, da es sonst zu einem Schmelzen der Lot-Bumps einer Flip-Chip Aufbau-

und Verbindungstechnologie kommt.

Eine weitere Anwendung ist im Bereich der funktionalen Kopplungen zu finden, bei der

z.B. eine geregelte Erwarmung durch einen benachbarten Heizwiderstand benotigt wird,

um das Funktionsverhalten, wie bei einem thermo-optischen Schalter, zu steuern [CW94].

Zunehmend spielen aber auch in anderen Systembereichen, wie z.B. in optischen Mikro-

systemen (Abschnitt 7.1) nicht nur die thermischen Kopplungen eine Rolle. So wird in ei-

nem optischen Mikrosystem durch die Verlustleistung des Lasers das mechanisch-optische

Gesamtsystem in seiner Funktion durch thermo-mechanische Kopplungen aufgrund der

Entwarmung und daraus bedingt der optische Weg mittels einer mechano-optischen Kopp-

lung in seiner Effizienz beeinflusst.

117

118 KAPITEL 7. ANWENDUNGEN IN DER MIKROSYSTEMTECHNIK

Mit der nachfolgenden Modellierung eines optischen Mikrosystems auf der Basis eines Ana-

logsimulators wird ein weiteres Beispiel fur die Anwendbarkeit des vorgestellten Verfahrens

auch auf andere physikalische Großen und deren Kopplungen in bezug auf eine transiente

Untersuchung des Systemverhaltens gezeigt.

7.1 Optisches Mikrosystem

Die Aufgabe des hier untersuchten optischen Mikrosystems ist, mittels eines refraktiven

mikrooptischen Faserschalters, das Ausgangssignal einer Laserdiode optional auf eine der

beiden Ausgangsfasern zu schalten [Kra99b] [Kra99a]. Abbildung 7.1 zeigt den, fur den

verwendeten refraktiven Faserschalter, optischen Aufbau.

Abb. 7.1. Refraktiver mikrooptischer Faserschalter (ohne Tragerkomponenten)

Der refraktive optische Schalter besteht aus

· einer Laserdiode als Lichtquelle (1),

· einem abbildendem System aus zwei refraktiven Linsen (2)(3),

· einem als Schaltelement fungierenden verschiebbarem Mikroprisma (4),

· einem abbildendem System, bestehend aus einer refraktiven und einer diffrak-

tiven Linse (5)(6), sowie

· aus zwei parallel angeordneten optischen Fasern als optische Ausgange (7).

Das Schaltprinzip beruht auf der Bewegung des Mikroprismas, welches sich auf einer Glas-

platte befindet. Die Bewegung des Mikroprismas wird piezo-elektrisch gesteuert. Abbildung

7.1. OPTISCHES MIKROSYSTEM 119

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Abb. 7.2. Aufbau des refraktiven mikrooptischen Faserschalters mit den notwendigenTragerkomponenten

7.2 zeigt schematisch den Aufbau des Mikrosystems unter Betrachtung aller notwendigen

mechanischen Komponenten (Trager, Halter).

Zur Charakterisierung des Gesamtsystemverhaltens wird eine optische Transmissionseffizi-

enz kopt definiert. Sie ist eine Funktion der Abweichungen der optischen Komponenten von

ihren optimalen Positionen im optischen Pfad. Sie wird durch den Koppelfaktor kopt.Pfad

beschrieben. Unter Berucksichtigung von noch bestehenden opto-physikalisch bedingten

Verlusten sowie herstellungsbedingten Toleranzen im Extremfall wird fur den Koppelfak-

tor im optimalen Fall ein Wert von 0.9 < kopt.Pfad < 1 angenommen.

Neben den herstellungsbedingten Toleranzen (in den geometrischen Abmessungen) der me-

chanischen Komponenten und den Toleranzen, die sich durch die verwendeten Aufbau- und

Verbindungstechniken (wie z.B. Loten, Kleben) ergeben, kommt es vor allem durch elektro-

thermisch induzierte mechanische Verformungen der mechanischen Komponenten des op-

tischen Mikrosystems zu einer zusatzlichen Beeinflussung des optischen Pfads kopt.Komp,i.

Die mechanischen Verformungen der Tragerkomponenten verursachen Verschiebungen ux,y,z

und Drehungen rotx,y,z der optischen Komponenten, was zu einer Verschlechterung der op-

tischen Transmissionseffizienz1 fuhrt.

1Die optische Transmissionseffizienz kopt (auch oft als optische Ubertragungs- oder Koppeleffizienz

bezeichnet) ist ein Maß fur die funktionale Ergiebigkeit eines optischen Mikrosystems. Im allgemeinen


Zur Modellierung des Funktionsverhaltens in dem Schaltungssimulator PSpice wird der

refraktive mikrooptische Faserschalter zunachst durch vier entkoppelte Teilmodelle ent-

sprechend Abbildung 7.3 beschrieben.

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Abb. 7.3. Vereinfachtes Modell des refraktiven mikrooptischen Faserschalters

So werden alle mechanischen Komponenten (wie Trager und Fassungen) innerhalb eines

mechanischen Subsystems zusammengefasst. Mit Ausnahme von der Laserdiode und dem

Piezosteller, die ihrerseits jeweils ein eigenes Teilmodell bilden. Das Verhalten der optischen

Komponenten wird durch ein optisches Subsystem beschrieben.

Das hier stark vereinfachte Modell der Laserdiode teilt die elektrische Leistung Pel, welche

der Leistung der Laserdiode entspricht, in eine optische und in eine thermische Leistung

auf. Wahrend die optische Leistung Popt,Laser auf das optische Subsystem wirkt, beeinflusst

die thermische Leistung Pth,Laser das mechanische Subsystem.

Das thermische und mechanische Verhalten des Mikrosystems wird mittels einer Feld-

simulation mit dem Feldsimulator ANSYS ermittelt. Basierend auf den Ergebnissen ei-

ner thermischen Simulation lassen sich die Verschiebungen und Rotationen der jeweiligen

Komponenten aus einer darauf folgenden thermo-mechanisch gekoppelten Simulation ex-

trahieren. Diese Großen beschreiben die Systemantwort des mechanischen Subsystems und

beeinflussen, unter Berucksichtigung der Umgebungstemperatur (Pth,Amb.), das optische

Subsystem.

Die Modellierung des optischen Subsytems des refraktiven mikrooptischen Faserschalters

basiert auf dem Programmpaket OSLO SIX (Optics Software for Layout and Optimation)

von Sinclair Optics. Es unterstutzt die Modellierung und Simulation mit einer Bauteil-

bibliothek, flexiblen Optimierungsalgorithmen und Moglichkeiten zur Modifikation und

gelten: kopt < 1 und Popt,out = kopt·Popt,in.


Erweiterung der Bibliothek. Letzteres erfolgt auf einer C-ahnlichen Makrosprache CCL

(Compiled Command Language).

Folgende Komponenten der OSLO Bibliothek wurden zur Modellierung des optischen Sub-

systems verwendet:

· Die Aspharen lagen als Bilbiothekselemente vor.

· Das Schaltprisma wurden uber geeignete Oberflachen modelliert, wobei dessen

unterschiedliche Schaltzustande von zwei Konfigurationen reprasentiert werden.

· Die diffraktiven Fokussier wurden als aspharische, computergenerierte Holo-

gramme (CGH) dargestellt.

· Die Laserdiode wurde als astigmatischer Gaußstrahler (mit unterschiedlichen

Divergenzen parallel bzw. senkrecht zum pn-Ubergang) modelliert.

· Die Koppeleffizienz der singlemode Fasern am Schalterausgang wurden mittels

eines Uberlappungsintegrals mit einer als Gaußtaille modellierten Fasermode

berechnet. Hierzu wurde eine geeignete OSLO-Analysefunktion verwendet, die

auch die Ankopplung an beliebige Modenfelder gestattet.

Das Teilmodell des Piezostellers antwortet auf ein Eingangssignal PPiezo, welche der erfor-

derlichen elektrischen Leistung fur die piezo-elektrisch auszulosende Bewegung des Mikro-

prismas entspricht, mit einer Verschiebung xp.

Die Systemantwort des optischen Subsystems wird durch die beiden optischen Ausgangs-

leistungen Popt,Faser1 und Popt,Faser2 der beiden Glasfasern modelliert.

Die Beschreibung der Koppeleffizienzen jeder einzelnen optischen Komponente in Abhangig-

keit von deren Verschiebungen ux,y,z und Rotationen rotx,y,z bezuglich des optischen Pfads

wird von OSLO mit der Option”Tolerancing Methode“mittels der Darstellung durch die

analytischen Funktionen gemaß Gleichung (7.1) und (7.2) unterstutzt

kopt.System = kopt.Pfad ·N∏i

kopt.Komp,i (7.1)


kopt.Komp,i =

= [Ai,x · u2x,i + Bi,x · ux,i + 1]

· [Ai,y · u2y,i + Bi,y · uy,i + 1]

· [Ai,z · u2z,i + Bi,z · uz,i + 1]

· [Ai,rotx · rot2x,i + Bi,rotx · rotx,i + 1]

· [Ai,roty · rot2y,i + Bi,roty · roty,i + 1]

· [Ai,rotz · rot2z,i + Bi,rotz · rotz,i + 1]. (7.2)

Die Ai,... und Bi,... entsprechen den von OSLO berechneten Koeffizienten zur Beschreibung

der Koppeleffizienzen.

Abb. 7.4. Stationares Ergebnis einer thermo-mechanisch gekoppelten Simulation mitdem Feldsimulator ANSYS fur den refraktiven mikrooptischen Faserschalter. Darge-stellt ist die Verschiebung in x-Richtung bei einer thermischen Verlustleistung der La-serdiode von 10mW .

Zur transienten gekoppelten Systemsimulation der o.g. Subsysteme des refraktiven mikro-

optischen Faserschalters auf der Basis des Schaltungssimulators PSpice werden die relevan-

ten Ergebnisse der thermischen bzw. thermo-mechanisch gekoppelten Simulation (ANSYS )

(Verschiebungen ux,y,z und Rotationen rotx,y,z) durch Blackbox-Modelle gemaß Abschnitt

5.2 abgebildet.

Das mechanisch-optisch gekoppelte Verhalten (OSLO) wird durch ein Blackbox-Modell

in PSpice (Gleichung(7.1) und (7.2)) beschrieben. Ferner werden auch das Verhalten der

Laserdiode und des Piezostellers durch Blackbox-Modelle beschrieben.

Abbildung 7.4 zeigt beispielhaft das Ergebnis einer stationaren thermo-mechanisch gekop-

pelten Simulation mit dem Feldsimulator ANSYS fur den refraktiven mikrooptischen Fa-


serschalter. Dargestellt sind die Verschiebungen in x-Richtung aufgrund einer thermischen

Verlustleistung der Laserdiode von 10mW .

(a)

0 2 4 6 8 10

-0.00018

-0.00016

-0.00014

-0.00012

-0.00010

-0.00008

-0.00006

-0.00004

-0.00002

0.00000

Modul 7Modul 6Modul 5Modul 4

Modul 3Modul 2

Modul 1

Feldsimulation Makromodell

u x [

mm

]

t [s]

(b)

0 2 4 6 8 10

-0.0000004

-0.0000002

0.0000000

0.0000002

0.0000004

0.0000006

0.0000008

0.0000010

0.0000012

t [s]

Feldsimulation Makromodell

Modul 4 bis Modul 7

Modul 3Modul 2

rot x [

mm

]

Abb. 7.5. Vergleich der Ergebnisse der transienten thermo-mechanischen gekoppeltenSimulation (ANSYS ) und die der Blackbox-Modelle (PSpice) fur (a) die Verschiebungenin x-Richtung ux und (b) die Rotationen rotx

Gegenstand der Untersuchung ist die Bestimmung der optischen Transmissionseffizienz und

der optischen Ausgangsleistung Popt,out bei einer vorgegebenen periodischen Impulsfolge des

Lasers (f = 1Hz) fur verschiedene Tastverhaltnisse ( tOn

tOff) und Signalleistungen (Pel).

0 4 8

0.23560

0.23565

0.23570

0.23575

0.23580

0.23585

0.23590

0.23595 t

on / t

off

90% / 10% 50% / 50% 10% / 90%

P Opt

.out [

W]

t [s]

Abb. 7.6. Transiente gekoppelte Systemsimulation: optische Ausgangsleistung Popt,out

bei einer Laserleistung von Pel = 0.5 W und den Tastverhaltnissen tOntOff

= 90%10% , 50%

50% , 10%90%

des Lasersignals

Abbildung 7.5 zeigt die Ergebnisse der transienten thermo-mechanischen gekoppelten Si-

mulation (ANSYS ) fur die Verschiebungen in x-Richtung ux und die Rotationen rotx und


die der Blackbox-Modelle (PSpice). Es zeigt sich, dass sich mit dem in Abschnitt 5.2 vor-

gestellten Verfahren auch ein thermo-mechanisches Verhalten beschreiben lasst.

Abbildung 7.6 zeigt die Ergebnisse der transienten gekoppelten Simulation fur die optische

Ausgangsleistung Popt,out bei einer Laserleistung von Pel = 0.5 W und den Tastverhaltnis-

sen tOn

tOff= 90%

10%, 50%

50%, 10%

90%des Lasersignals. Aufgrund der geringen Anderungen der optischen

Ausgangsleistung im Maximum des Signals ist der obere Bereich entsprechend herausge-

zoomt dargestellt.

Zu beobachten ist, dass aufgrund einer Erwarmung des Systems bedingt durch die thermi-

sche Verlustleistung, die sich aus dem eingeschalteten Lasersignal (Tastverhaltnis) ergibt,

die optische Transmission nach einer Aufwarmphase von der Laserleistung (Tastverhaltnis)

thermisch abhangt. Die optische Ausgangsleistung Popt,out verringert sich fur das untersuch-

te Mikrosystem bei einem Tastverhaltnis von tOn

tOff= 90%

10%gegenuber einem Tastverhaltnis

von tOn

tOff= 10%

90%um den Wert 10−4, was sicherlich keine großen Auswirkungen auf das

Systemdesign zur Folge hat. Gut zu erkennen ist der Einfluss des gekoppelten Simulations-

modells in Hinblick auf das transiente Verhalten der optischen Transmission.

(a)

0 2 4 6 80.23578

0.23580

0.23582

0.23584

0.23586

t [s]

f = 1 Hzton

/toff

= 50% / 50%P

el = 0.5 W

P opt.o

ut [

W]

(b)

0 2 4 6 8

0.4712

0.4714

0.4716

0.4718

f = 1 Hzton

/toff

= 50% / 50%P

el = 1W

P opt.o

ut [

W]

t [s]

Abb. 7.7. Transiente gekoppelte Simulation: optische Ausgangsleistung Popt,out furdas Tastverhaltniss tOn

tOff= 50%

50% des Lasersignals fur die Laserleistungen (a) Pel = 0.5 W

(b)Pel = 1 W

Die Abbildungen 7.7a und 7.7b zeigen beispielhaft die Ergebnisse der transienten gekop-

pelten Simulation fur die optische Ausgangsleistung Popt,out bei einem Tastverhaltniss vontOn

tOff= 50%

50%des Lasersignals fur verschiedene Laserleistungen Pel = 0.5 W, 1 W .

Zu beobachten ist, dass die optische Transmissionseffizienz kopt.System sich fur hohere Lei-

stungen, aufgrund des thermo-mechanisch-optischen Einflusses geringfugig verschlechtert

(kopt.System(0.5 W ) = 0.47165, kopt.System(1 W ) = 0.4715).

Mit dem vorgestellten Systemmodell lassen sich die elektrisch-thermisch-mechanisch-optisch-

7.2. ALLGEMEINE BEDEUTUNG 125

en Kopplungen in einer transienten Simulation gut beobachten und somit das Systemdesign

unterstutzten.

7.2 Allgemeine Bedeutung

Fur den Entwurf zukunftiger miniaturisierter Systeme zeichnet sich ab, dass Entwarmungs-

probleme eine zunehmende Bedeutung bekommen. Mit dem vorgestellten Verfahren wird es

moglich in der Designphase sich nicht mehr nur auf lokalbegrenzte Wechselwirkungen zwi-

schen den physikalischen Großen beschranken zu mussen. Es ermoglicht die Uberprufung

und Optimierung der im gesamten System auftretenden Wechselwirkungen sowohl im sta-

tischen, als auch vor allem im transienten Verhalten. Der große Vorteil des vorgestellten

Verfahrens beruht auf der Wahl der Simulationsumgebung. Da den Simulationsmodellen

konzentrierten Elementen eines Analogsimulators zugrunde liegen, lassen sich gerade tran-

siente thermische Kopplungen schnell sichtbar machen.

In zukunftigen Systemen ist zu erwarten, dass die Kopplung verschiedenster physikalischer

Großen komplexer werden, so dass eine rechnergestutzte Uberprufung unumganglich wird.

Der vorgestellte Modellierungsansatz lasst sich in einen automatisierten Prozess zur funk-

tionalen Beschreibung eines Systems einbinden. In einem automatisierten Optimierungs-

prozess konnen, je nach Spezifikation, die gewunschten Großen so weit angepasst werden

bis die physikalischen Funktionsgroßen ihre Toleranzgrenzen verlassen oder die funktionale

Spezifikationen erfullt ist.

Da sich mit den vorgestellten mathematischen Ansatzen nicht nur thermische Ausgleichs-

prozesse modellieren lassen, sondern auch andere physikalische Großen, lasst sich das Ver-

fahren fur einen erweiterten Anwendungsbereich nutzen.

126

Anhang A

Anhang

A.1 Ubertragung des Ansatzes von Prony auf die Z-

Transformation

Prony macht den folgenden Ansatz

yn = y(tn) =N−1∑k=0

ak · eαk·tn

mit ραkk ⇒ eαk·t = ρt

k

yn =N−1∑k=0

ak · ρtnk (A.1)

Dieser lasst sich interpretieren als die Losung der Differenzengleichung (Vergleich Gleichung

(4.78))

yM + dN−1 yM−1 + . . . + d0 yM−N = 0 , (A.2)

wobei Gleichung (A.3) das charakterische Polynom (Vergleich Gleichung (4.81))

ρM + dN−1 ρM−1 + . . . + d0 ρM−N = 0 (A.3)

beschreibt. Die Koeffizienten dk werden aus einem uberbestimmten Gleichungssystem (A.2)

bestimmt. Aus Gleichung (A.3) folgen die charakterischen Polynome ρk und damit die

Konstanten αk = ln ρk im Exponenten der Exponentialfunktion.

Wie bei dem in Abschnitt 4.3.2.2 beschriebenen Verfahren wird nun zu zeitdiskreten Sy-

stemen ubergegangen. Fur die Differenzengleichung ergibt sich nach Gleichung (A.4)

yn + dN−1 yn−1 + . . . + d0 · yn−N (A.4)

− cQ xn−(N−Q)−D − cQ−1 xn−(N−(Q−1))−D − . . . − c0 xn−N−D = 0; Q ≤ N,

127

128 ANHANG A. ANHANG

wobei M die Anzahl der aquidistanten Stutzstellen tn, N, Q die Anzahl der Koeffizienten

dk, cm und D eine Totzeit Tt beschreiben. D wird zu Null gesetzt.

Aus Gleichung (A.4) folgt fur n = 0, ...,M−1 Stutzwerte das in Gleichung (A.5) dargestellte

uberbestimmte Gleichungssystem

y−1 · · · y−N −x0−(N−Q) · · · −xn−N

y0 · · · y1−N −x1−(N−Q) · · · −x1−N

......

......

yN−1 · · · y0 −xN−(N−Q) · · · −x0

.... . .

......

...

yN−1+M−1 · · · yM−1 −xM−1+Q) · · · −xM−1

·

dN−1

...

d0

cQ

...

c0

=

−y0

−y1

...

−yN

...

−yN+M−1.

(A.5)

Gleichung (A.5) lasst sich auch wie folgt schreiben(MA MB

MC MD

)·(

aU

aL

)=

(bU

bL

)(A.6)

oder auch

MA · aU + MB · aL = bU (A.7)

MC · aU + MD · aL = bL (A.8)

Definiert man nun folgendes Signal

x(t) =

{1 (t ≤ 0)

0 (t > 0)(A.9)

am Eingang des Systems, so wird die Matrix MD zu Null und Gleichung (A.8) zu

MC · aU = bL (A.10)

bzw.

yN−1 · · · y0

.... . .

...

yN−1+M−1 · · · yM−1

·

dN−1

...

d0

=

−yN

...

−yN+M−1

. (A.11)

was dem Gleichungssystem aus Abschnitt 4.3.2.2, Gleichung (4.80) entspricht. Die dk wer-

den im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt.

Gleichung (A.4) lasst sich ebenfalls durch die Ubertragungsfunktion

H(z) =Y (z)

X(z)=

cQ · z−(N−Q) + . . . + c1 · z−(N−1) + c0 · z−N

1 + dN−1 · z−1 + . . . + d1 · z−(N−1) + d0 · z−N

=A1

z − z1

+A2

z − z2

+ · · · + AN

z − zN

, (A.12)

A.1. UBERTRAGUNG DES ANSATZES VON PRONY AUF DIE Z-TRANSFORMATION129

beschreiben bzw. durch eine Partialbruchzerlegung darstellten.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms zk entsprechen den Polstellen des Systems bzw. nach

Prony den zk = ρk = eαk aus Gleichung (4.76) aus denen ergeben sich die Zeitkonstanten

τk

τk =1

αk

=1

ln zk

. (A.13)

nach Gleichung (4.82) ergeben.

Die Rucktransformation in den Zeitbereich fur einfache Polstellen mit Gleichung (A.27)

1

z − zk

= • − ◦ σ(n − 1) · z(n−1)k (A.14)

und mit zk = eαk

1

z − eαk• − ◦ σ(tn−1 · eαkt(n−1) ; tn−1 := (n − 1) T (A.15)

fuhrt im Zeitbereich auf das Ubertragungsverhalten

H(z) • − ◦ h(tn) = A1 eαktn−1 + A2 eαktn−1 + ... + AN eαktn−1 (A.16)

Die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung Ak entsprechen den ak aus Gleichung (4.83)

und lassen sich nach Gleichung (4.84) losen.


A.2 Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahr-

en

Nach dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren [Mer96] lassen sich beliebige

linear unabhangige Basisfunktionen in ein System orthogonaler Funktionen uberfuhren.

Fur die nicht orthogonalen Basisfunktionen hk wird eine reziproke Basis konstruiert. Man

fuhrt Funktionen θj, j = 1, ..., N ein, die wie die hk, j = 1, ..., N Basen des Raumes X sind.

Die reziproken Basisfunktionen θj lassen sich als Linearkombination der Basisfunktionen

hk mit einem Koeffizienten γjk zu

θj =N∑

k=1

γjk hk (A.17)

schreiben und erfullen dabei die Orthogonalitatsbedingung

〈hk, θj〉 =N∑

k=1

γjk 〈hk, hj〉 = δkj =

{1 k = j

0 sonst. (A.18)

Die Gleichung A.18 lasst sich mit

Γ =

γ11 γ12 · · · γ1N

γ21 γ22 · · · γ2N

......

. . ....

γN1 γN2 · · · γNN

, ΦT =

〈h1, h1〉〈h1, h2〉 · · · 〈h1, hN〉〈h2, h1〉〈h2, h2〉 · · · 〈h2, hN〉

......

. . ....

〈hN , h1〉〈hN , h2〉 · · · 〈hN , hN〉

(A.19)

in Matrizenschreibweise mit der Einheitsmatrix I zu

Γ ΦT = I (A.20)

schreiben. Durch Umformen von Gleichung A.20 erhalt man die Koeffizienten γjk

Γ = ΦT −1(A.21)

und somit die reziproken Basisfunktionen θj .

Zur Bestimmung der Koeffizienten ak ist die Gleichung y(t) =∑N

j=1 aj hj mit den rezipro-

ken Basisfunktionen θk zu multiplizieren

〈y, θk〉 =∑N

j=1 〈hj, θk〉︸︷︷︸ aj

= δkj

(A.22)

und somit fur a

ak = 〈y, θk〉 =N∑

j=1

γkj〈y, hj〉 , k = 1, 2, ..., N (A.23)

A.3. TRANSFORMATIONS KORRESPONDENZEN DER Z-TRANSFORMATION 131

A.3 Transformations Korrespondenzen der Z-Trans-

formation

δ(n) ◦ − • 1 , f ur alle z (A.24)

δ(n − i) ◦ − • 1

zi, f ur alle z, i = 0, 1, ... (A.25)

σ(n) ◦ − • z

z − 1, |z| > 1 (A.26)

σ(n − 1) an−1 ◦ − • 1

z − a, |z| > |a| (A.27)

σ(n − 1)

(n − 1

i − 1

)an−1 ◦ − • 1

(z − a)i, |z| > |a|, i = 0, 1, ... (A.28)

σ(n) e−anT ◦ − • z

z − e−aT, |z| > e−aT (A.29)


A.4 Aktive und passive Netzwerkelemente

Element Strom-Spannungs-Beziehungen Eigenschaften

Zeitbereich - Laplace-Bereich

Widerstand u(t) = R i(t) U(s) = R I(s) Verlustbehaftet, nicht dynamisch

(R) i(t) = 1R

u(t) I(s) = 1R

U(s) linear, passiv umkehrbar, zeitunabhangig

Kondensator u(t) = 1C

∫i(t) dt U(s) = 1

s CI(s) Verlustfrei, dynamisch

(C) i(t) = C ddt

u(t) I(s) = s C U(s) linear, passiv umkehrbar, zeitunabhangig

Spule u(t) = L ddt

i(t) U(s) = s L I(s) Verlustfrei, dynamisch

(L) i(t) = 1L

∫u(t) dt I(s) = 1

s LU(s) linear, passiv umkehrbar, zeitunabhangig

Tab. A.1. Strom-/Spannungsbeziehung und Eigenschaften konzentrierter passiver Netz-werkelemente

�

�

(

�

�

+

��

�

Abb. A.1. Symbolische Darstellung konzentrierter passiver Netzwerkelemente

Element Ein-/Ausgangsbeziehung Eigenschaften

Spannungsgesteuerte Spannungsquelle E = α · UI Verlustfrei, gewichtet

(E) linear, zeitunabhangig

Spannungsgesteuerte Stromquelle G = α · UI Verlustfrei, gewichtet

(G) linear, zeitunabhangig

Tab. A.2. Ein-/Ausgangsbeziehung und Eigenschaften konzentrierter aktiver Netz-werkelemente

� > . � / � @ . � /

, * ) � ! � >

� > . � / � @ . � /' * ) � � >

Abb. A.2. Symbolische Darstellung konzentrierter aktiver Netzwerkelemente

A.5. BEISPIEL: RC-GLIED 133

A.5 Beispiel: RC-Glied

�( +

� . � /1 . � /

Abb. A.3. Schaltbild eines passiven Tiefpass (RC-Glied)

Ermittlung der Sprungantwort G(t)

x(t) = σ(t) =

{0 t < 0

1 t > 0y = G(t) y(t) = σ · g(t) (A.30)

Berechnung im Zeitbereich:

x(t) = R i(t) + y(t) i(t) = Cd uC

dt= C

d y(t)

dt(A.31)

Dgl.:

RC y(t) + y(t) = x(t) (A.32)

Losungansatz g(t) = y(t) fur t > 0 :

g(t) = y(t) = 1 − e−t

RC (A.33)

und mit der Anfangsbedingung uC(0) = 0 ergibt nach Gleichung(4.8) (Faltungsintegral)

y(t) = g(t) =

∫ +∞

−∞σ(t − τ) h(τ) dτ

g(t) =

∫ t

−∞σ(t − τ) h(τ) dτ +

∫ ∞

t

σ(t − τ) h(τ) dτ =∫ t

−∞h(τ) dτ ; h(τ) = σ e−τ

{0 τ < 0

e−τ t > 0, (A.34)

da fur τ < 0 h(τ) = 0 und σ(τ) = 1

g(t) =

∫ t

0

e−τ dτ = 1 − e−t (A.35)


Berechnung im Laplace-Bereich:

x(t) = σ(t) ◦ − • X(s) =1

s(A.36)

Aus Eingangs- und Ausgangsmasche folgt

Y (s) = H(s) = X(s) ·1

RC

s + 1RC

=1

s·

1RC

s + 1RC

=1

RC

s(s + 1

RC

) , (A.37)

die Partialbruchentwicklung ergibt

Y (s) =A1

s+

A2(s + 1

RC

) ; A1 = 1, A2 = −1 (A.38)

aus der die Sprungantwort folgt

Y (s) =1

s− 1

s + 1RC

• − ◦ h(t) = 1 − e−t

RC = (1 − e−t)|RC=1 . (A.39)

Problem: nicht ruckwirkungsfrei kaskardierbar

A.6. OPV-SCHALTUNGEN/ ANALOGRECHNERTECHNIK 135

A.6 OpV-Schaltungen/ Analogrechnertechnik

Aktiver Tiefpass erster Ordnung (PT1-Glied)

( * +

� . � /

"

?1 . � /

( 6

Abb. A.4. Operationsverstarkerbeschaltung eines aktiven Tiefpass-Gliedes

i1(t) = i2(t) + ic(t) =uR2(t)

R2

+ Cd

dtuR2(t)

◦ − • I1(s) = UR2(s)

(1

R2

+ s C

)X(s) = I1(s) R1 , Y (s) = −UR2(s)

H(s) =Y (s)

X(s)= −R2

R1

1

(1 + s C R2)(A.40)

mit x(t) = σ(t) ◦ − • X(s) = 1s

Y (s) = X(s) · H(s) =1

s·(−R2

R1

·1

R2C1

R2C+ s

)= −R2

R1

·(

A1

s+

A2

1R2C

+ s

)(A.41)

ergibt fur A1 = 1, A2 = −1

Y (s) = −R2

R1

·(

1

s− 1

1R2C

+ s

)• − ◦ y(t) = −R2

R1

·(1 − e

− tR2C

)(A.42)


Aktiver Allpass erster Ordnung

( 6

� . � /

"

?

1 . � /

( *

( L+

Abb. A.5. Operationsverstarkerbeschaltung eines aktiven Allpass-Gliedes

I2(s) =

(X(s) − I3

1s C

)R2

= −(Y (s) − I3

1s C

)R1

, I3(s) =X(s)(

R3 + 1s C

) (A.43)

nach X(s) und Y (s) auflosen und ins Verhaltnis setzen

H(s) =Y (s)

X(s)=

1 − R1‖2R1

(1 + s C R3)R1‖2R1

(1 + s C R3)=

1R1‖2

− 1R2

− s C R3

R2

1R1

+ s C R3

R1

, R1‖2 =R1 · R2

R1 + R2

(A.44)

Fur R1 = R2 = R3 = R, R1‖2 = R2

und T = C R

H(s) =1 − s T

1 + s T= −s − 1

T

s + 1T

(A.45)

mit x(t) = σ(t) ◦ − • X(s) = 1s

ergibt die Partialbruchzerlegung von Gleichung (A.45)

fur A1 = 1, A2 = −2 und somit die Sprungantwort

Y (s) = X(s) · H(s) =1

s·(−s − 1

T

s + 1T

)=

1

s− 2

s + 1T

(A.46)

• − ◦ y(t) = σ(t) ·(1 − 2 e−

tT

)fur t ≥ 0

A.7. 3D-MODELL FUR EINEN 3D-AUFBAU (TEILDISKRETISIERT) 137

A.7 3D-Modell fur einen 3D-Aufbau (Teildiskretisiert)

Mit diesem Modell lasst sich das thermische Verhalten eines Leistungshalbleiters, der mit

einer im Vergleich zum Silizium-Halbleiter dunnen Kleberschicht auf einen idealen Kuhler

gebondet ist, beschreiben [SL97]. Zur Modellbildung wird der physikalische Aufbau in drei

Bereiche, Silizium-HL, Kleber und Kuhler unterteilt. Der Bereich des Silizium-Halbleiters

wird dabei

> � � � � � � � M � � � �

� � � � � � � � � � � � �

L " = � � � � � � � � � � � � � �- � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � N � � � � �

Abb. A.6. Modell fur eine dreidimensionale Beschreibung eines physikalischen Auf-baus bestehend aus Silizium, Halbleiter, Kleberschicht und einem idealen Kuhler [SL97]

dreidimensional diskretisiert. Das Temperaturverhalten wird mittels eines ’Finiten Diffe-

renzen’ Ansatzes fur jedes Element unter Verwendung der Losung der Warmeleitungsglei-

chung

∆ Ti,j,k =cp ρ

λ(T0)

∂ Ti,j,k

∂ t− wi,j,k

λ(T0)(A.47)


entsprechend fur jedes Element mit

λ(Ti+1,j,k+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hi+ (hi− + hi+)(Ti+1,j,k − Ti,j,k)

+λ(Ti−1,j,k+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hi− (hi− + hi+)(Ti−1,j,k − Ti,j,k)

+λ(Ti,j+1,k+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hj+ (hj− + hj+)(Ti,j+1,k − Ti,j,k)

+λ(Ti,j−1,k+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hj− (hj− + hj+)(Ti,j−1,k − Ti,j,k)

+λ(Ti,j,k+1+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hk+ (hk− + hk+)(Ti,j,k+1 − Ti,j,k)

+λ(Ti,j,k−1+T0)+λ(Ti,j,k+T0)

hk− (hk− + hk+)(Ti,j,k−1 − Ti,j,k)

= (cp ρ)∂ Ti,j,k

∂ t− wi,j,k (A.48)

bestimmt. Die hi− und hi+ beschreiben die Distanz zwischen den Ti−1- und Ti-Knoten bzw.

den Ti- und Ti+1-Knoten in der x-Ebene. Entsprechendes gilt fur die Distanzen der y- und

z-Ebenen hj−,hj+,hk− und hk+.

Der Bereich des Klebers wird durch eine eindimenionale Schicht bestehend aus Widerstanden

modelliert, die die Warme von Halbleiter zum Kuhler leitet. Diese Vereinfachung ist zulassig,

wenn die Schicht des Kleber als wesentlich dunner als die des Siliziums (dKleber = 10...50m,

dSilizium = 400...600m) angenommen wird. Somit sind auch die thermische Kapazitat und

der laterale Warmetransport vernachlassigbar.

Warmequellen lassen sich, wenn sie sich uber mehrere Knoten erstrecken durch Ruckgabe

der durchschnittlichen Temperatur an die betroffenen Knoten realisieren. Hierfur werden

die Knoten parallel an der Warmequelle betrieben.

Der Konvektion uber die Oberflachen des Siliziums wird durch den Warmeubergangskoef-

fizienten h charakterisiert

wa = h (T − T0) (A.49)

wobei wa den konvektiven Warmefluß zur Umgebung beschreibt.

Da der Kuhler als ideal betrachtet wird, wird er durch die Summe der geerdeten Knoten

modelliert.

Voraussetzung fur die Anwendung dieser Methode ist der Zugang zu einem Analogsimulator

(hier: SABER) der eine diskretisierte Beschreibung unterstutzt. SABER lost die thermi-

schen und elektrischen Gleichungen simultan (’Direkte Losungsmethode’)

Vorteil dieses Modells ist, das der dreidimensionale Aufbau physikalisch beschrieben werden

kann und die thermo-elektrischen Kopplungen direkt im diskretisierten Element berechnet

A.7. 3D-MODELL FUR EINEN 3D-AUFBAU (TEILDISKRETISIERT) 139

werden. Zusatzlich lasst sich das temperaturabhangige Verhaltens der Warmeleitfahigkeit1

beim Entwurf berucksichtigen.

In Bezug auf die Rechenzeit ist die große Anzahl an Knoten zur Modellierung des Chips und

der ’Kleber’-Widerstande von Nachteil. Durch eine adaptive Diskretisierung unter Beach-

tung des Warmegradienten lasst sich zwar die Anzahl der benotigten Elemente reduzieren.

Doch stellt sich die Frage, ob es sinnvoll ist in einen Analogsimulators ein ’Finite Differen-

zen Verfahren’ zu implementieren. Zumal die Feldsimulatoren auf die Losung thermischer

Ausgleichsvorgange in diskretisierten Volumen optimal zugeschnitten sind.

1Z.B. nach Glasbrenner und Slack: λ(T )= 1a+b T+c T2 , z.B. fur Silizium: a = 0.03 K cm

W , b = 1.56 10−3 cmW

und c = 1.65 10−6 cmW K


A.8 Bestimmung der Modellparameter fur einen Asyn-

chronmotor

Zur Bestimmung der Motor-Modellparameter zur Simulation des 3 Phasenwechselrichterbe-

triebs wird das vereinfachte Modell aus Abbildung A.7 verwendet. Es zeigt die fur den im

Betrieb befindlichen Motor bei konstanter Drehfrequenz relevanten Parameter (Indukti-

vitat der Wicklungen Lm und der Widerstand Rm). Die Modellparameter bestimmen sich

aus den Gleichungen (A.50)-(A.53)

Ual,eff =Uzk√

2(A.50)

Ust,eff =Ual,eff√

2(A.51)

Ist,eff =P√

3 · Ual,eff · cosϕ(A.52)

Z =Ust,eff

Ist,eff

, Rm = Z · cosϕ , Lm =Z · sinϕ

2π f. (A.53)

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Abb. A.7. Modell und Modellgroßen zur Bestimmung der Modellparameter fur einenim Betrieb befindlichen Asynchronmotor bei konstanter Drehfrequenz

Wobei P die Maschinenleistung, ϕ die Phasenverschiebung, f die Motordrehfrequenz, Uzk

die Zwischenkreisspannung, Ual,eff die Aussenleiterspannung, Ust,eff die Strangspannung

und Ist,eff den Strangsstrom beschreibt [Fra96].

A.9. PSPICE-BESCHREIBUNG FUR EINEN IGBT 141

A.9 Pspice-Beschreibung fur einen IGBT

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P � � � � � �P � � � � � � � � � � � � � � � � � . 1 1 ' � M � . � . 1 � � M � . 'P � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . � ? � M � . P2 � � � � � � � � � � � M 0PP * K � � ( � � � � � � � �2 � � � � � � � $ � 1 M . �2 � � � � � � � J � � M 6 0 12 � � � � � � � R � * M � . 2 .2 � � � � � � � R � $ M . 2 32 � � � � � � � F M . 1 12 � � � � � � � = � M . 2 . .2 � � � � � � � * � M - 0 2 32 � � � � � � � � I M 6 2 5 . O 0 �PP ! % � " = � � ( � � � � � � � �2 � � � � � � J � � � M - 2 3 �2 � � � � � � ' � � M � . 2 32 � � � � � � ' � � M E . 2 5 32 � � � � � � J � � M .2 � � � � � � ' � M 2 1 1 62 � � � � � � � � � � � M 1 2 1 1 .PP * K � � " � � � � � �� " J F ; � * F C � D � S * � P � � � C C � E � � � � D > � � � � + R � * D T2 " J F ; � $ � C � D � S $ � 1 P � � � C C � � � � E � D > � � � � + R � $ D P � < � C = � > F > � I P C � > C C � � � � E � D P � � � � D D D T2 " J F ; � $ � � C J � � + J � � + J � � + � + J � � + J � D � S $ " C C J � � U M 1 D + � $ � C � D + * F C � D P $ C J � � + J � + � + J � � D P C . E J � � > J � � D D TPP ! % � " = � � " � � � � � �2 " J F ; � ' 4 C � + J � � D � S $ " C C J � � U M J � � D + � � � C C � � � � E � D > � � � � + ' � � P . 1 P C J � � � J � � D D P ' � + � � � C C � � � � E � D > � � � � + ' � � P . 1 P C J � � � J � � D D P ' � D T2 " J F ; � ' . C � + J � � D � S $ " C C J � � V M J � � E 2 . D + � � � C C � � � � E � D > � � � � + ' � � D P ' � + ' 4 C � + J � � D D T2 " J F ; � ' C � + J � � D � S $ " C C J � � U M J � � � 2 . D + � � � C C � � � � E � D > � � � � + ' � � D P ' � + ' . C � + J � � D D T2 " J F ; � J � � C � D � S J � � � P C . E � � � � � P C � � � � � � D T2 " J F ; � $ � C J � � + � + J � � D � S ' C � + J � � D P � � � C J � � � J � � + 4 D T2 " J F ; � $ � C J � � + J � + � + J � � D � S 4 P ' C � + J � � D P C C C J � � � J � � C � D D P C J � D D � C � � � C J � + 4 D > 4 D D T2 " J F ; � $ . C J � � + J � + � + J � � D � S $ " C C J � V M C J � � � J � � C � D D D + $ � C J � � + � + J � � D + $ � C J � � + J � + � + J � � D D T2 " J F ; � $ C J � � + J � + � + J � � D � S $ " C C J � � U M J � � C � D D + 1 + $ . C J � � + J � + � + J � � D D TPP * K � � ; � � � �� Q � � � � � � � � � � � M S $ � � C C � + � D + C � + � D + C � + � D + C � D + C � + ' D + C + ' D D T . � � � � � � � � � � � � � 4 � � � � � � � � � � � 0 � � � � � � � � � � � � � � - � � � � � � � � � � �; � � � � � � � � � 4 3 1 �, � � � � � � � � � . �P ! % � " = � � ; � � � �� Q � � ' � � � � � � M S $ C C � + ' D + C + ' D + C � D + C � + � D D T; Q � � � � � . �; Q � � � � � ' � . �, Q � � � � � . �, Q � � � � � ' � . �P ( � � ; � � � � Q $ � ! � � � � 1 Q $ � * � � � ' � � 1= Q ( � � ( � � 1 � � � � � � M S . � P � * � C $ C Q $ � ! D P C + ' D E $ C Q $ � * D P C � + ' D D TP2 � � �

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Lebenslauf

Name: Ralph Schacht

Geburtstag: 14.09.1962

Geburtsort: Dortmund

1969 − 1975 Galilei-Grundschule in Berlin

1975 − 1981 Leibniz-Gymnasium in Berlin

Dez. 81 Allgemeine Hochschulreife

1982 − 1986 Studium der Nachrichtentechnik an der Fachhochschule der Deut-

schen Bundespost in Berlin

Juli 86 Abschluss des Studiums der Nachrichtentechnik als

Ingenieur (grad.) der Nachrichtentechnik

1986 − 1988 Tatigkeit als technischer Angestellter am Institut fur Luft- und

Raumfahrttechnik an der Technischen Universitat Berlin

1988 − 1995 Studium der Elektrotechnik an der Technischen Universitat Berlin

Juli 95 Abschluss des Studiums der Elektrotechnik als

Diplom-Ingenieur der Elektrotechnik

1995 − 2001 Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter mit Lehraufgaben am

Forschungsschwerpunkt Technologien der Mikroperipherik an der

Technischen Universitat Berlin

seit Mai 2001 Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer Institut

fur Zuverlassigkeit und Mikrointegration in Berlin

150

Documents

Entwurf und Simulation von Makromodellen zur transienten ...webdoc.sub.gwdg.de/ebook/diss/2003/tu-berlin/diss/2002/schacht_ralph.pdf · Entwurf und Simulation von Makromodellen zur