Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 39, nº 1, e1701 (2017)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0186

Notas e Discussoescb

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Entendendo as limitacoes do uso das figuras de Lissajouspara medir a velocidade do som

Understanding the limitations of using Lissagous figures to measure the speed of sound

Theo Z. Pavan∗

Departamento de Fısica, Faculdade de Filosofia, Ciencia e Letras de Ribeirao Preto, Universidade de Sao Paulo,Ribeirao Preto, SP, Brasil

Recebido em 22 de Agosto, 2016. Revisado em 13 de Setembro, 2016. Aceito em 14 de Setembro, 2016.

Em artigo recente publicado nessa revista apresenta-se um metodo para determinar a situacao deressonancia em uma coluna de ar, para o calculo da velocidade do som, usando a tecnica de obtencao defase por curvas de Lissajous. Contudo, alguns aspectos teoricos necessarios para o melhor entendimentoda tecnica, bem como algumas limitacoes de seu uso podem ser mais bem explorados. Essa nota foiescrita com o objetivo de aperfeicoar esses aspectos, o que deve ser util para futuros leitores do artigo.Palavras-chave: Acustica, velocidade do som, figuras de Lissajous, tubo de Kundt, vibrometro LaserDoppler.

In a recent article in this journal there is a description of a method to determine the resonance of anair column, to calculate the speed of sound, using Lissajous curves. However, some theoretical aspectsto improve the understanding of this technique, as well as some limitations of its use can be betterexploited. This note was written with the aim of improving those aspects which should be useful forfuture readers of the paper.Keywords: Acoustics, speed of sound, Lissajous curves, Kundt’s tube, Laser Doppler vibrometer.

Durante a disciplina Fısica Experimental – Ondas,Fluıdos e Termodinamica para alunos do curso deFısica Medica da USP de Ribeirao Preto um grupode alunos apresentou o interessante artigo [1], o qualgerou uma frutıfera discussao. Resumidamente, oartigo apresenta um metodo para determinar a si-tuacao de ressonancia em uma coluna de ar, para ocalculo da velocidade do som no ar, usando a tecnicade obtencao de fase por curvas de Lissajous. Nessemetodo, o ponto de ressonancia foi assumido quandoa fase entre a tensao aplicada sobre um alto falante,trabalhando como pistao, posicionado proximo aextremidade aberta de um tubo e o sinal adquiridopor um microfone posicionado proximo ao falantefosse exatamente 90 graus. Durante a discussao,houve grande dificuldade por parte dos alunos nacompreensao do motivo de a ressonancia acontecerjustamente na situacao de 90 graus de defasagem,

∗Endereco de correspondencia: theozp@usp.br.

o que e o ponto fundamental do metodo. Posteri-ormente, lendo o artigo com mais calma, verifiqueique essa explicacao nao esta claramente colocada.Por esse motivo resolvi escrever essa nota a RevistaBrasileira de Ensino de Fısica, com o objetivo deaperfeicoar a compreensao do fenomeno por futurosleitores.

Consideremos que uma onda sonora plana e harmonicase propaga dentro do tubo de ar. Os deslocamentosde ar que surgem devido a passagem dessa onda nadirecao +x podem ser descritos como:

u (x, t) = U cos (kx− ωt+ φ) , (1)

sendo k o numero de onda, ω a frequencia angularda onda e φ a fase. Esses deslocamentos induzemmudancas locais na densidade do ar que podem serassociadas a mudancas de pressao. E possıvel mos-trar que a onda de pressao sonora correspondente aessa onda de deslocamento pode ser obtida por [2]:

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p(x, t) = −ρ0c2∂u

∂x, (2)

sendo ρ0 a densidade e c a velocidade do som nomeio. Portanto, as variacoes de pressao devido apropagacao dessa onda sao descritas como:

p (x, t) = P sen (kx− ωt+ φ) , (3)

com P = ρ0c2kU . Isso indica que as ondas de pressao

e deslocamento estao defasadas de 90 graus entre si.Consideremos essa onda sonora viajando em um

tubo finito, como o estudado em [1]. Ao encontrara extremidade fechada rıgida do tubo, essa ondasera refletida e o eco viajara da direcao -x. Esse eco,ao viajar todo o tubo e encontrar a extremidadeaberta, tambem sera refletido no caso em que o raiode abertura do tubo seja menor que o comprimentode onda [3]. Quando as ondas viajando em sentidosopostos se interferem de maneira construtiva emuma determinada regiao do espaco, a situacao deressonancia e atingida. Isso acontece quando os ecossucessivos reforcam a pressao na face do pistao (nonosso caso a face do alto-falante) [3]. Para isso ocor-rer, a velocidade da face do pistao deve ser maximano instante em que a velocidade de deslocamento daspartıculas de ar, em contato com o pistao, devido apassagem da onda tambem for maxima. Esse fatopode ser bem visualizado ao fazermos a analogiacom um balanco, que entra em ressonancia quandoa velocidade do braco de quem esta empurrandoe maxima no instante em que o balanco tambematinge sua maxima velocidade.

Assumindo que o sinal de voltagem aplicado aoalto falante esta em fase com o deslocamento dasua pelıcula, o maximo deslocamento da pelıcula do

alto-falante e atingido quando a voltagem maximae aplicada. Consequentemente, a velocidade de des-locamento da pelıcula esta defasada de 90 graus davoltagem aplicada. Como o microfone responde avariacoes de pressao, se assumirmos que a voltagemlida na sua saıda esta em fase com a velocidadede deslocamento das partıculas o sinal de voltagemaplicado ao alto-falante estaria defasado de 90 grausdo sinal do microfone, na situacao de ressonancia,como hipotese dos autores de [1].

Para explorar ainda mais esse metodo, fizemosum experimento similar ao proposto em [1]. Basica-mente, usamos um tubo cilındrico de acrılico com 4,5cm de diametro e 128 cm de extensao. Em uma dasextremidades do tubo foi colocado um alto-falantee um microfone. Em nosso experimento utilizamosambas as extremidades abertas, pois no lado opostoao alto-falante foi posicionado um vibrometro LaserDoppler (Ometron VQ-500-D-V, Bruel and KjærSound & Vibration A/S, Nærum, Dinamarca) paraadquirir a informacao de velocidade de deslocamentoda pelıcula do alto-falante. A montagem experimen-tal esta mostrada na Fig. 1. Para cada frequenciasonora emitida pelo alto-falante, na qual o sistemaentrou em ressonancia, foram adquiridas a volta-gem aplicada ao alto-falante, a voltagem de saıdado microfone e o sinal de saıda do vibrometro LaserDoppler. Para confirmar que o sistema atingia oponto de ressonancia foi distribuıdo po de isopor aolongo do tubo de acrılico, o que nos proporcionouum tubo de Kundt. Consideravamos que o sistemaestava em ressonancia no exato momento em que aspartıculas de isopor estavam com maxima amplitudede oscilacao.

Figura 1: Montagem experimental. Foi usado um tubo de ressonancia com ambas as extremidades abertas. Em uma dasextremidades do tubo foi posicionado um alto-falante e na outra um vibrometro Laser Doppler responsavel por detectaro movimento da pelıcula do alto-falante. Colocamos po de isopor no tubo para confirmar que o sistema entrava emressonancia.

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Figura 2: Curvas de Lissajous obtidas para diferentesfrequencias de ressonancia. Na coluna da esquerda estaoas figuras obtidas entre o sinal do vibrometro e o aplicadoao alto-falante, enquanto que na coluna da direita estao asfiguras entre o sinal de voltagem aplicado ao alto-falante eo lido pelo microfone. Os eixos das abscissas e ordenadasestao todos em Volts.

A Fig. 2 mostra as curvas de Lissajous obtidasentre o sinal de voltagem aplicado ao alto-falantee o lido pelo microfone, e tambem entre o sinal dovibrometro e o aplicado ao alto-falante.

Os graficos mostrados na coluna da direita daFig. 2 indicam que a fase entre o sinal do micro-fone e do alto-falante nao foi de 90° para todas asfrequencias em que o sistema entrou em ressonancia,

o que vai de encontro com a hipotese apontada pe-los autores em [1]. Para entender esses resultados,podemos analisar os graficos mostrados na colunada esquerda da Fig. 2. Esses graficos indicam quea fase entre o movimento da pelıcula e a voltagemaplicada ao alto-falante variou para as diferentesfrequencias usadas. Portanto, invalidando a ideia,que foi apontada nos paragrafos anteriores, de que avoltagem aplicada ao alto falante estaria sempre 90°defasada com relacao a velocidade de movimentode sua pelıcula. Dessa forma, podemos concluir quea fase entre voltagem aplicada ao alto-falante e omovimento de sua pelıcula esta intimamente rela-cionada a fase entre as voltagens do microfone ealto-falante. Vimos ainda que a relacao de fase dosinal aplicado ao falante e o deslocamento induzidoa pelıcula nao e trivial. Existe vasta literatura quetrata do tema; o leitor pode, por exemplo, consultar[4]. Outra complicacao e a fase entre a movimentacaoda pelıcula do microfone e sua voltagem de saıda,a qual tambem nao e uma funcao trivial. Portanto,verifica-se que determinar a fase entre voltagens apli-cada ao falante e lida pelo microfone na frequenciade ressonancia pode nao ser tao direta como umaanalise inicial sugere.

Entendo que o metodo proposto no artigo [1] einteressante, pois permite obter com boa precisaoa velocidade do som no ar sem a necessidade dedepender da acuidade auditiva do experimentadorpara determinar as frequencias de ressonancia, alemde envolver diferentes conceitos de diferentes areasda fısica basica. Contudo, a analise desenvolvidanessa nota mostra que a tecnica nao pode ser ge-neralizada para qualquer frequencia que o sistemaatinge a ressonancia.

Referencias

[1] F. Barauna, J. Furtado e S. Perez, Rev. Bras. EnsinoFısica 37, 3310 (2015).

[2] H.M. Nussenzveig, Curso de Fısica Basica 2:Fluıdos, Oscilacoes e Ondas, Calor (Editora Ed-gard Blucher, Sao Paulo, 2001).

[3] A.D. Pierce, Acoustics: An Introduction to Its Physi-cal Principles and Applications (Editora AcousticalSociety of America, Woodbury, 1989).

[4] W. Klippel and J. Schlechter, in: Anais do 121 AudioEngineering Society Convention (AES, New York,2006), p. 6882.

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0186 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 39, nº 1, e1701, 2017