Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 37, n. 3, 3310 (2015)www.sbfisica.org.brDOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731909

Medindo a velocidade do som utilizando figuras de Lissajous(Measuring the speed of sound using Lissajous figures)

Fatima Barauna, Joao Furtado, Silvana Perez1

Faculdade de Fısica, Universidade Federal do Para, Belem, PA, BrasilRecebido em 30/3/2015; Aceito em 31/5/2015; Publicado em 30/9/2015

Existem varias tecnicas para obter a velocidade do som no ar a temperatura ambiente, desde as mais simples,que envolvem a razao entre distancias percorridas e tempos ate as mais sofisticadas, associadas a fenomenososcilatorios. Neste trabalho propomos um aparato experimental de consideravel baixo custo para medir estavelocidade que envolve figuras de Lissajous e tubos ressonantes. Os fenomenos fısicos envolvidos no processopossibilitam ao estudante observar e se aprofundar no entendimento de varios conceitos de fısica ondulatoria,bem como discutir o conceito de superposicao de movimentos e pode ser desenvolvido por estudantes do cicloavancado de cursos de Fısica e Engenharias.Palavras-chave: velocidade do som, tubos ressonantes, figuras de Lissajous.

There are several techniques to obtain the sound velocity in air, from the very simple ones, which use therelation between distances and time, until the more sophisticated ones, associated with oscillatory phenomena.In this work we propose an experimental aparathus which involves the Lissajous figures and ressonance tubes.The physical phenomena that appear in the process allow the student to observe and understand several ondula-tory processes, as well as the superposition principle and can be applied to engenier and physics undergraduatestudents.Keywords: speed of sound, resonance tubes, Lissajous figures.

1. Introducao

Existe uma grande variedade de procedimentos experi-mentais para determinar a velocidade do som no ar.Em linhas gerais pode-se separar as diferentes tecnicasem duas grandes categorias, dependendo do processode medida [1]: as tecnicas diretas, que envolvem arazao entre distancias percorridas e intervalos de tempoe as tecnicas indiretas, que utilizam fenomenos ondu-latorios, como ressonancias e diferencas de fase paraobter os valores da velocidade do som.

Quando a analise e de cunho didatico e voltada aestudantes de ensino fundamental e medio que domi-nam conceitos basicos de cinematica e ondulatoria, osmetodos diretos sao mais recomendados [2,3]. Em par-ticular, Silva [1] propoe um procedimento experimentalbastante simples para medir a velocidade do som di-retamente, calculando a diferenca de tempo entre doissinais sonoros gerados simultaneamente mas que naochegam a um microfone ao mesmo tempo, pois percor-rem caminhos dife-rentes.

As medidas indiretas em geral pressupoem umco-nhecimento mais aprofundado de fenomenos ondu-

latorios, em particular do conceito de diferenca de faseentre ondas e o aparecimento de ondas estacionariasem tubos ressonantes [4]. Portanto, a utilizacao destastecnicas com estudantes de ensino fundamental e mediorequer atencao especial, de forma a garantir que a dis-cussao nao se torne muito tecnica em detrimento do en-tendimento fısico dos fenomenos que contribuem para oprocesso. Por outro lado, para estudantes de graduacaoem Fısica e areas afins, tais medidas reforcam o entendi-mento destes fenomenos e sao portanto mais recomen-dadas. Um exemplo classico de uma medida deste tipopode ser encontrado em diversas referencias, ja apare-cendo por exemplo em livros didaticos da decada de1930 [2]. No procedimento experimental utiliza-se umtubo transparente flexıvel e um diapasao de frequenciaconhe-cida. O experimento consiste em encher parcia-mente o tubo com agua, e fazer soar o diapasao. Con-forme se varia a quantidade de agua no tubo, encontra-se regioes de ressonancia da coluna de ar com o di-apasao. O estudo de ondas estacionarias em tubosfechados possibilita a determinacao da velocidade nosom no ar. Muito embora discuta aspectos importan-tes de fısica ondulatoria, tal experimento apresenta im-

1E-mail: silperez@ufpa.br.

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

3310-2 Barauna et al.

precisao na determinacao do ponto de ressonancia poisdepende da sensacao auditiva do experimentador na co-leta dos dados.

Uma maneira elegante de minimizar a imprecisaoacima citada consiste em obter a velocidade do somindiretamente utilizando figuras de Lissajous [5]. Atecnica foi proposta em meados da decada de 1960 [6]e utiliza um gerador de sinais com frequencia bem de-finida, li-gado a um alto-falante, e um microfone quecapta o som a distancia fixa do alto-falante. O sinalgerado e o recebido sao enviados a um osciloscopio queproduz as diversas figuras de Lissajous, conforme a di-ferenca de fase entre os dois sinais. Desta maneira,diminui-se conside-ravelmente a imprecisao na tomadade dados. Alem disso, a tecnica permite a discussaodos fenomenos ondulatorios por meio da soma de duasondas defasadas e a composicao dos movimentos naformacao das figuras.

Neste trabalho apresentaremos uma tecnica que uneaspectos das experiencias [2,6]. O arranjo experimentale razoavelmente simples e de baixo custo, com mate-rial em geral disponıvel em laboratorios didaticos. Osfenomenos fısicos envolvidos no processo possibilitamao estudante observar e se aprofundar no entendimentode varios conceitos de fısica ondulatoria, bem como dis-cutir o conceito de superposicao de movimentos, ne-cessario para a compreensao da formacao das diversasfiguras de Lissajous. Iniciaremos a apresentacao da ex-periencia com a abordagem teorica de tubos ressonantese figuras de Lissajous na sec. 2. A seguir descreveremoso aparato experimental na sec. 3. As discussoes seraoapresentadas na sec. 4. Finalizaremos o trabalho comas Conclusoes na sec. 5.

2. Abordagem teorica

Nesta secao apresentaremos os pre-requisitos teoricosnecessarios ao entendimento da experiencia.

2.1. Tubos Ressonantes

Sabe-se que cordas, membranas, laminas, barras, etc.,postas a vibrar podem produzir sons; colunas de artambem podem produzir sons, quando vibram adequa-damente. Assim sendo, e comum a utilizacao de tu-bos sonoros na obtencao de sons com determinadasfrequencias, que formam a famılia dos instrumentos desopro, como por exemplo, a flauta, o saxofone e o trom-bone.

Quando alguem sopra a extremidade aberta de umtubo, e gerada uma onda de compressao que se propagapelo seu interior, empurrando as moleculas de ar nelecontidas. Esta onda, propagando-se ao longo de umtubo de comprimento finito, e refletida na sua outraextremidade. Como resultado da interferencia da onda

incidente com a onda refletida, tem-se a formacao deuma onda estacionaria.

Este e o princıpio de funcionamento de um tuboressonante e ele e chamado aberto se possuir ambas ex-tremidades abertas. Caso uma das extremidades sejafechada, ele sera chamado tubo fechado.

Pode-se deduzir a expressao analıtica de uma ondaestacionaria, como a que surge dentro de um tuboressonante. Para construı-la, vamos admitir que doistrens de ondas senoidais unidimensionais (Fig. (1.a))propagam-se com mesma frequencia e amplitude, massentidos opostos. Matematicamente representamos es-tes dois trens de ondas por

y1(x, t) = y cos

[2π

λ(x− vt)

], (1)

e

y2(x, t) = y cos

[2π

λ(x+ vt)

], (2)

onde λ e v sao o comprimento da onda e sua veloci-dade, respectivamente. Alem disso, por simplicidadeconsidera-mos que as duas ondas possuem constante defase nula. De acordo com o princıpio da superposicao,a onda resultante e dada por

y = y1 + y2

= y

{cos

[2π

λ(x− vt)

]+ cos

[2π

λ(x+ vt)

]}= 2y cos

(2π

λx

)cos

(2π

λvt

). (3)

O padrao que se observa para o deslocamento agoranao e mais de uma onda se propagando e sim de umavariacao da amplitude de oscilacao ponto a ponto aolongo do espaco (Figs.(1.b) e (1.c)). Temos portantouma onda estacionaria. Para valores de x tais que

2πx

λ=

π

2,3π

2,5π

2· · ·

ou

x =λ

4,3λ

4,5λ

4· · ·

a amplitude e sempre nula. Em outras palavras, es-tes pontos estao sempre em repouso e sao denominadosnos. Ja para valores de x tais que

2πx

λ= 0, π, 2π · · ·

ou

x = 0,λ

2, λ · · ·

a amplitude de oscilacao e maxima e igual a 2y. Taispontos sao os ventres. Os nos, assim como os ventres,estao portanto, separados por meio comprimento deonda. Na Fig. (1.c) podemos observar o comporta-mento destes pontos.

Medindo a velocidade do som utilizando figuras de Lissajous 3310-3

Figura 1 - (a) Onda plana (1) com v/λ = 1; (b) e (c) Onda estacionaria (3) com v/λ = 1.

Caso a reflexao tenha lugar em uma extremidadefechada, o deslocamento das partıculas, nessa extremi-dade, deve necessariamente ser nulo. Logo, essa extre-midade e um no de deslocamento. A Fig. (2) apre-senta os dois primeiros modos de vibracao em um tubofechado. A primeira situacao na figura representa omodo fundamental de vibracao. Naturalmente, exis-tem outros modos de vibracao para este mesmo tubo(com frequencias multiplas inteiras e ımpares dessafrequencia fundamental). Estes modos secundarios devibracao sao denominados harmonicos.

Figura 2 - Modo fundamental e primeiro harmonico em um tubofechado.

Os harmonicos de um tubo fechado tem compri-mentos de onda 4L

3 , 4L5 , 4L

7 · · · e portanto frequenciasde 3, 5, 7 · · · vezes a frequencia fundamental, correspon-dente ao comprimento de onda da vibracao fundamen-tal, que para um tubo fechado de comprimento L eλ = 4L.

Como a distancia entre um no e o ventre seguinte eum multiplo impar de 1

4 do comprimento de onda, po-

demos escrever L = (2n− 1)λ4 ou λ = 4L2n−1 e portanto

as frequencias dos harmonicos sao

f2n−1 =(2n− 1)v

4L, (4)

onde n = 1, 2, 3 · · · A frequencia do som fundamen-tal ou primeiro harmonico (n = 1) e f1 = v

4L e assimpor diante. Daı podemos enunciar as ”Leis de Mar-senne”relativas aos tubos fechados:

1. O comprimento de onda do som fundamental emi-tido por um tubo fechado e o quadruplo do com-primento do tubo.

2. Os tubos fechados emitem apenas os harmonicosde ordem ımpar.

E importante ressaltar que todos os harmonicosestao presentes nas vibracoes de um tubo aberto, aopasso que nas vibracoes de um tubo fechado, apenasos harmonicos ımpares estao presentes. A qualidade outimbre do som emitido por um tubo fechado difere, pois,da de um tubo aberto, mesmo que, por uma escolhaadequada de comprimentos, as alturas ou frequenciasfundamentais sejam as mesmas.

2.2. Figuras de Lissajous

Figuras de Lissajous sao um exemplo classico de super-posicao de movimentos ondulatorios. Os primeiros es-tudos destas curvas foram desenvolvidos por Bowditche Lissajous durante o Seculo XIX [7]. Atualmente elassao utilizadas em diversas aplicacoes, tanto de cunhodidatico quanto tecnologico, como por exemplo paraobter a frequencia de um sinal desconhecido, ou deter-minar a diferenca de fase entre dois sinais [8].

Para entender como as figuras sao formadas, consi-dere que na placa horizontal de um osciloscopio e apli-cada uma tensao senoidal do tipo:

x = x0 cos(ωt), (5)

3310-4 Barauna et al.

e que na placa vertical e aplicada uma tensao de mesmafrequencia mas defasada de θ, ou seja,

y = y0 cos(ωt+ θ). (6)

A imagem formada na tela do osciloscopio corres-ponde a composicao dos dois movimentos. Matema-ticamente, ela e obtida ao eliminarmos o parametro tdo sistema de equacoes e apos algumas manipulacoesalgebricas chegamos a

x2

x20

+y2

y20− 2

xy

x0y0cos θ = sin2 θ. (7)

A Eq. (7) descreve, para um angulo θ qualquer, umaelipse cujos semieixos em geral tem direcoes que naocoin-cidem com as direcoes x e y. Em particular, paraθ = 0 obtemos (

x

x0− y

y0

)2

= 0,

ou seja, a elipse colapsa para a reta

y =y0x0

x.

Quando θ = π a reta obtida e

y = − y0x0

x.

Outra situacao interessante acontece quando θ = π2

ou θ = 3π2 . Neste caso, a elipse obtida tem seus eixos

coincidindo com os eixos coordenados. Em particular,quando as amplitudes dos dois sinais sao iguais, a elipsecolapsa para uma circunferencia.

A situacao onde as frequencias das tensoes aplicadassao diferentes leva a figuras mais complexas.

3. Descricao experimental

O aparato experimental usado na determinacao da ve-locidade do som e mostrado na Fig. (3). As ondas se-noidais sao geradas no gerador de sinais (G) e conecta-das ao canal vertical do osciloscopio. O sinal capturadopelo microfone (M), que corresponde a superposicao daonda incidente com a refletida, alimenta o canal hori-zontal. Agua e inserida no sistema de vasos comuni-cantes (V) de forma a controlar a coluna de ar. Sempreque a coluna tiver a altura necessaria para formar umharmonico dentro do tubo com a mesma frequencia daonda incidente, ocorre ressonancia entre os dois sinais,que se observa no osciloscopio pela formacao de aproxi-madamente uma circunferencia (situacao analoga a uti-lizacao de um diapasao). A escolha da frequencia nogerador de sinais deve levar em consideracao dois as-pectos: de um lado, os limites da audicao humana, deoutro a necessidade de se obter um numero consideravelde harmonicos dentro do tubo. Assim, foram utilizadosdois valores de frequencia: 1290 Hz e 2000 Hz.

Para a tomada dos dados, inicialmente a colunade agua no tubo fechado e elevada de modo que naose tenha nenhum harmonico dentro dele. A seguir acolu-na de agua deve descer lentamente ate que se ob-tenha o primeiro harmonico ou harmonico fundamen-tal (isso acontece quando a figura formada na tela doosciloscopio for aproximadamente uma circunferencia).Neste ponto e medida a altura da coluna de ar. Esteprocedimento e repetido sucessivamente, e as alturasdos harmonicos seguintes sao obtidas.

Figura 3 - Aparato experimental.

4. Resultados

As Tabelas 1 e 2 apresentam os dados com os resulta-dos obtidos para as frequencias no gerador de 1290 e2000 Hz.

Tabela 1 - Resultados experimentais para a frequencia de1290 Hz.

f = 1290 Hzn L (mm)1 59 (± 5)2 190 (± 5)3 323 (± 5)4 461(± 5)5 590 (± 5)

Tabela 2 - Resultados experimentais para a frequencia de2000 Hz.

f = 2000 Hzn L (mm)3 202 (± 5)4 289 (± 5)5 375 (± 5)6 460 (± 5)7 547 (± 5)8 632 (± 5)

Medindo a velocidade do som utilizando figuras de Lissajous 3310-5

Os graficos foram tracados para as duas situacoes(Figs. 4 e 5) e os valores obtidos pelo ajuste de curvalinear para a velocidade do som no ar foram de

v(f = 1290Hz) = 343, 9(±1, 8)m/s (8)

v(f = 2000Hz) = 346, 8(±0, 4)m/s (9)

Figura 4 - Grafico da altura da coluna de ar pelo harmonico, paraa frequencia de 1290 Hz.

Figura 5 - Grafico da altura da coluna de ar pelo harmonico, paraa frequencia de 2000 Hz.

Considerando portanto estes dois valores obtemosum valor para a velocidade do som como sendo

v = 345, 4(±1, 5)m/s (10)

Teoricamente, a velocidade do som no ar seco e dadapor [9]

vteo = 20, 05√Tk m/s, (11)

onde Tk e a temperatura ambiente na escala Kelvin.Considerando a temperatura ambiente na tomada dosdados como sendo de 299 K, obtemos o valor teorico de345,8 m/s, que concorda com o valor obtido experimen-talmente dentro da margem de erros.

5. Conclusoes

Neste trabalho apresentamos uma tecnica para medira velocidade do som no ar que envolve o uso de tubosressonantes e a construcao de figuras de Lissajous emosciloscopios. O aparato experimental proposto e deconsideravel baixo custo e pode ser obtido facilmenteem um curso de graduacao em Fısica e areas afins.

Ao fim do estudo o estudante devera estar maisfamili-arizado com o princıpio da superposicao de mo-vimentos utilizado para explicar a formacao das figurasde Lissajous.

A tecnica para obter a velocidade do som apresen-tou uma concordancia muito boa com os resultadosteoricos. Para o valor mais baixo de frequencia, ondenao foi possıvel obter muitos dados experimentais, oerro foi maior. Ja para o valor maior de frequencia osvalores concordaram mais ainda. Vale salientar que ovalor teorico utilizado na comparacao foi o do ar seco.Conforme a umidade do ar aumenta, o valor teoricotambem aumenta, influenciado pelo aumento da massamolar media das partıculas constituintes do ar [1]. Umavez que o experimento foi realizado em uma regiao comalta umidade do ar, observou-se tambem este efeito, emparticular para o valor de frequencia de 2000 Hz.

Referencias

[1] S.T. Silva, Propagacao do Som: Conceitos e Experi-mentos. Dissertacao de Mestrado, UFRJ, 2011.

[2] R.M. Sutton, Demonstration Experiments in Physics(Editora McGraw-Hill, EUA, 1938).

[3] J.C. Albergotti, Am. J. Phys. 49, 595 (1981); G.B.Karshner, Am. J. Phys. 57, 920 (1989); R.S. Worlandand D.D. Wilson, The Physics Teacher 37, 53 (1999);V.B. Barbetta, Revista Brasileira de Ensino de Fısica22, 447 (2000); I.H.S. Pettersen, The Physics Teacher40, 284 (2002); C.E. Aguiar, M.A. Freitas, L. Laudares,Anais do XVI Simposio Nacional de Ensino de Fısica,RJ (2005); R.M. Grala, E.S. Oliveira, A Fısica na Es-cola 6, 26 (2005); C.C. Carvalho, J.M. Santos e M.B.Marques, The Physics Teacher 46, 428 (2008).

[4] H.M. Nussenzveig, Curso de Fısica Basica 2 - Fluidos,Oscilacoes e Ondas, Calor (Editora Edgard BlucherLtda, Sao Paulo, 1999).

[5] E. Maor, Trigonometric Delights (Editora PrincetonUniversity Press, EUA, 2002).

[6] H.J. Wintle, Am. J. Phys. 31, 942 (1963); Jon P. Vic-kery, The Physics Teacher 3, 170 (1965); R.E. Berg andD.R. Brill, The Physics Teacher 42, 40 (2004).

[7] J. Lissajous, Annals de Chimie et de Phisique 51, 140(1849).

[8] J. Fleming e A. Hornes, Revista Brasileira de Ensinode Fısica 35, 3702 (2013) e referencias nele contidas.

[9] R.E. Cohen, D. Lide and G. Trigg A Physicist’s DeskReference (Springer, New York, 1981).