Ensayo Calculo1

8/16/2019 Ensayo Calculo1

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EnsayoFunciones y Limites

Calculo Diferencial e Integral

Facilitador: M.T. Nelson Paul Romero

Álvarez

Nombre del Alumno: Francisco JavierPérez Díaz

19 de May de 2016



Unidad I

Funciones y Limites

Funciones

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un

enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la

que nos permite er de un sólo ista!o su comportamiento global, de a"# su

importancia$ %on este tipo de funciones se aprenderá a reconocer e interpretar

sus caracter#sticas principales$ Una función es una relación entre dos con&untos

num'ricos, de tal forma que a cada elemento del con&unto inicial le corresponde

un elemento y sólo uno del con&unto final$ (e relacionan as# dos ariables

num'ricas que suelen designarse con )x* y )y*$ +ara er el comportamiento de

una función, f x - y, recurrimos a su representación gráfica sobre los e&es

cartesianos, en el e&e de abscisas ./01 la ariable independiente y en el de

ordenadas ./21 la independiente3 siendo las coordenadas de cada punto de la

gráfica .x, f.x11$ 4aciendo una tabla de alores, se representan los puntos

obtenidos, x en el e&e de abscisas ./01, f.x1 en el de ordenadas ./21$ 4ay unos

puntos que tienen especial inter's, los que la gráfica corta a los e&es

coordenados que para calcularlos son el corte con el e&e /2 donde los puntos

del e&e de ordenadas tienen abscisa 5, basta "acer x65 en la fórmula de la

función$ 2 en los cortes con el e&e /0 los puntos del e&e de abscisas tienen y65 y

estos se resuelen la ecuación f.x165$ 7ambi'n existen otros conceptos

importantes en este tema que ienen siendo el dominio y recorrido que cuando

es dada una función y6f.x1, en ella misma se llama dominio de f al con&unto de

alores que toma la ariable independiente, x$ (e indica como Dom f$ 2 el

dominio está formado, por tanto, por los alores de x para los que existe la

función, es decir, para los que "ay un f.x1$ +ara calcular el dominio se anali!an

las siguientes condiciones, que ienen siendo si la expresión anal#tica de la

función es un polinomio, el dominio son todos los números reales$ 2 si la

expresión anal#tica de la función es un cociente, el dominio son todos los reales

excepto los que anulan el denominador$ 7ambi'n si la expresión anal#tica de la

función es una ra#! cuadrada, el dominio está formado por los números reales

para los que el radicando es positio o cero$ 2 el recorrido es el con&unto de

alores que puede tomar la ariable dependiente, y, esto es el con&unto de las

imágenes$ (e representa como Im f$ Las funciones tambi'n tienen sus

propiedades especificas para poder funcionar como tal, ya que, como toda

formula o ecuación en la rama de las matemáticas tiene que cumplir ciertas



especificaciones para poder pasar, se puede decir e interpretar como una prueba

y solamente as# será álida y podrá cumplir su ob&etio como función$ 2 las

propiedades que tiene son la continuidad$ La primera idea de función continua es

la que puede ser representada de un solo tra!o, sin leantar el lápi! del papel$

%uando una función no es continua en un punto se dice que presenta unadiscontinuidad y esto se debe a que pueden presentarse ciertos motios y

ra!ones como cuando se presenta un salto, o la función no está definida en ese

punto, o si lo está queda separado, "ay un 8agu&ero8 en la gráfica$ La función no

está definida y su alor crece .o decrece1 indefinidamente cuando nos

acercamos al punto$ /tra propiedad que se presenta es cuando una función es

periódica y a que se debe esto, pues básicamente es cuando en la naturale!a y

en su entorno "abitual "ay fenómenos que se repiten a interalos regulares,

como el caso de las mareas, los p'ndulos y resortes, el sonido tambi'n es un

claro e&emplo y estas funciones que describen este tipo de fenómenos se dicenperiódicas$ Una función es periódica cuando su alor se repite cada e! que la

ariable independiente recorre un cierto interalo y el alor de este interalo se

llama periodo$ 7ambi'n existe otra propiedad que es la simetr#a y es cuando la

gráfica de algunas funciones puede presentar algún tipo de proporción que si se

estudia preiamente, facilita su dibu&o$ 2 para que una función sea sim'trica

respecto al e&e /2, tiene que corresponder a si f.9x1 6 f.x1$ En este caso la

función se dice )par*$ Una función es sim'trica respecto al origen de

coordenadas cuando f.9x1 6 9f.x1$ En este caso la función se dice )impar*$ Existe

otro elemento que es la tasa de ariación y crecimiento y la tasa de ariación oincremento de una función es el aumento o disminución que experimenta una

función al pasar la ariable independiente de un alor a otro y para una me&or y

más eficiencia resulta calcular la llamada tasa de ariación media, que nos indica

la ariación relatia de la función respecto a la ariable independiente$ El

crecimiento y decrecimiento es una caracter#stica de las funciones que se puede

isuali!ar fácilmente en las gráficas es la monoton#a$ %uando al aumentar el

alor de x aumenta el alor de y6f.x1, la gráfica 8asciende8 y se dice que la

función es creciente$ (i por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica

8desciende8, y la función decrece$ +recisando un poco más Una función escreciente en un interalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del mismo, si

x: ; x< entonces f.x:1 ; f.x<1 y será decreciente cuando si x:;x< entonces f.x:1

= f.x<1$ En las funciones existen los máximos y m#nimos$ 2 cuando es dada una

función continua en un punto x6a, se dice que presenta un máximo relatio, si a

la i!quierda de dic"o punto la función es creciente y la derec"a la función es

decreciente$ (i, por el contrario, la función es creciente a la i!quierda y



decreciente a la i!quierda "ay un m#nimo relatio$ (i se erifica que f.a1=f.x1 para

cualquier alor x del dominio, y no sólo para los alores de 8alrededor8, se "abla

de máximo absoluto en x6a$ 2 análogamente se dice que en a "ay un m#nimo

absoluto si f.a1 ; .f.x1 para cualquier x del dominio$ /tra caracter#stica de inter's

en las gráficas de las funciones es la concaidad, estudiar los interalos en losque la gráfica se cura "acia aba&o o "acia arriba$ Una función es cóncaa en un

interalo si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la cura queda

deba&o de ella, y conexa si queda por encima$ Los puntos del dominio en los

que la función pasa de cóncaa a conexa o iceersa, se llaman puntos de

inflexión$ Despu's de er una peque>a introducción sobre lo primordial en las

funciones iene lo que son las funciones en s#, las cuales existen < tipos,

algebraicas y trascendentales y comen!aremos por "ablar de las algebraicas,

que son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica,

siendo a la e! una función que satisface una ecuación polinómica cuyoscoeficientes son a su e! polinomios$ 2 estas pueden ser una función explicitas o

impl#citas$ Una función algebraica expl#cita es aquella cuya ariable y se obtiene

combinando un número finito de eces la ariable x y constantes reales a partir

de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, diisión, eleación a

potencias y extracción de ra#ces$ Entonces en las funciones explicitas es posible

obtener los datos de x por sustitución$ +or otro lado en las funciones impl#citas

no es posible obtener los datos de x por simple sustitución, por lo cual es

necesario efectuar operaciones$ Dentro de las funciones algebraicas podemos

nombrar a las funciones polinómicas$ Dic"as funciones tienen una granaplicación en la preparación de modelos que representan fenómenos reales,

tales como la distancia recorrida por un móil a elocidad constante, la compra

de cierta cantidad de ob&etos a un precio unitario, el salario de un traba&ador más

su comisión, entre otras$ La regla de correspondencia de la función polinómica

es un polinomio$ (i el grado de un polinomio es el exponente mayor de la

ariable, podemos "ablar de una función polinómica de tal grado$ De esta sigue

la función constante y es una función del tipo f.x16?, donde ? es un número real

cualquiera$ Fi&'monos en que el alor de de f.x1 es siempre ?,

independientemente del alor de x, se podr#a decir que aqu# no es dependiente ax como en otras graficas, donde para que exista alor de y se tiene que tener un

alor de x$ @s#, por e&emplo, si quisi'semos representar una cantidad que se

mantiene constante a lo largo del tiempo t, utili!ar#amos una función constante

f.t16?, en la que no aparece la ariable t, y solo se podr#a apreciar como una

larga l#nea "ori!ontal al e&e de las x$ 2 estas unas funciones algebraicas donde

su nombre lo dice, utili!an atributos de algebra y luego de aqu# ienen lo que son



las funciones trascendentales que ienen siendo una función que no satisface

una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su e! polinomios3 esto

contrasta con las funciones algebraicas, las cuales compensan dic"a ecuación$ 2

de&ándolo en me&ores otras palabras, una función trascendente es una función

que se extiende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada ent'rminos de una sucesión finita de operaciones algebraicas de suma, resta y

extracción de ra#ces$ Una función de una ariable es trascendente si es

independiente en un sentido algebraico de dic"a ariable$ 2 un e&emplo de esta

función iene siendo la función exponencial y se le llama de base a aquella cuya

forma gen'rica es f .x1 6 ax, siendo a un número positio distinto de :$ +or su

propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el

con&unto de los números reales$ En la ida cotidiana existen numerosos

fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial$ 7al sucede, por

e&emplo, en el aumento de un capital inertido a inter's continuo o en elcrecimiento de las poblaciones$ En sentido inerso, tambi'n las sustancias

radiactias siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para

originar otros tipos de átomos y generar energ#a y radiaciones ioni!antes$ Luego

existe otra que es llamada función logar#tmica que es aquella que gen'ricamente

se expresa como f .x1 66 logax, siendo a la base de esta función, que "a de ser

positia y distinta de :$ 2 la función logar#tmica es la inersa de la función

exponencial y iceersa$ 2 como la exponencial, la función logar#tmica se utili!a

con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias

naturales y las ciencias sociales$ Entre otros fines, se usa ampliamente paracomprimir a escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado

rápido, dificulta su representación isual o la sistemati!ación del fenómeno que

representa$ 2 por último está la función trigonom'trica, tambi'n llamada circular,

que es aquella que se concreta por la aplicación de una ra!ón trigonom'trica a

los distintos alores de la ariable independiente$ Existen seis clases de

funciones trigonom'tricas seno y su inersa, la cosecante3 coseno y su inersa,

la secante3 y tangente y su inersa, la cotangente$ +ara cada una de ellas

pueden tambi'n definirse funciones circulares inersas arco seno, arco coseno,

y as# sucesiamente$ 2 con esto emos lo que son las funciones, suspropiedades y en cuales funciones se derian, y claro no de&ando de lado en que

nos pueden ayudar, ya que, aunque no se les tome la importancia debida, las

usamos de manera indirecta sin saber que nos pueden ayudar en todo momento

y en algún problema que se nos presente$

Limites



Los l#mites son la "erramienta principal sobre la que construimos el cálculo$

Auc"as eces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos

pensar a qu' alor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese

punto .esto es el l#mite1$ /tras ocasiones, la función está definida en un punto,

pero puede aproximarse a un l#mite diferente$ 4ay muc"as, muc"as eces dondeel alor de la función es el mismo que el del l#mite en el punto$ De cualquier

manera, esto es una poderosa "erramienta cuando comen!amos a pensar en la

pendiente de una recta tangente a una cura$ La noción de l#mite tiene múltiples

acepciones$ +uede tratarse de una l#nea que separa dos territorios, de un

extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación$

+ara la matemática, un l#mite es una magnitud fi&a a la que se aproximan cada

e! más los t'rminos de una secuencia infinita de magnitudes$ Función, por su

parte, tambi'n coincide con el t'rmino anterior en lo que respecta a su origen$

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diersas cuestiones$ Eneste caso, nos interesa la definición de función matemática .la relación f de los

elementos de un con&unto @ con los elementos de un con&unto B1$ La expresión

l#mite de una función se utili!a en el cálculo diferencial matemático y refiere a la

cercan#a entre un alor y un punto$ +or e&emplo si una función f tiene un l#mite 0

en un punto t, quiere decir que el alor de f puede ser todo lo cercano a 0 que se

desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos$ Dentro de lo que

ser#a el l#mite de la función, tendr#amos que recalcar la existencia de una teor#a

muy importante$ En definitia, una función f con l#mite 0 en t quiere decir que

dic"a función tiende "acia su l#mite 0 cerca de t, con f.x1 tan cerca de 0 comosea posible pero "aciendo que x sea distinto de t$ De todas maneras, la idea de

cercan#a es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más

elementos$ %omo conclusión podemos tomar que aunque solo estos temas los

tomemos de )relleno* en nuestras clases de la escuela, no lo son, ya que tienen

su función espec#fica, como lo pueden ser en la ida real en los negocios, al

tratar de calcular si nuestro inersión es rentable o no, o en la f#sica, al momento

de deducir la tasa de tiempo ya sea de un ob&eto o algo mas ordinario, un

automóil, descubriendo cual es su ra!ón de cambio$

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