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APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL
PAULISTA
UNICEP
APONTAMENTOS DE CÁLCULO 1
ENGENHARIAS: COMPUTAÇÃO, ELÉTRICA E PRODUÇÃO
MATEMÁTICA, SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
TECNOLOGIA EM: MANUTENÇÃO DE AERONAVES
E PRODUÇÃO SUCROALCOOLEIRA
ADMINISTRAÇÃO
Edson de Oliveira
2010
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
Índice Introdução .......................................................................................................................... 03
A História do Cálculo Diferencial e Integral .................................................................. 04
Trigonometria .................................................................................................................... 06
Ângulos ................................................................................................................ 06
Seno, cosseno e tangente ..................................................................................... 08
Mudança de quadrante ......................................................................................... 10
Função seno, função cosseno e função tangente .................................................. 12
Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo ................................................. 13
Lei dos cossenos .................................................................................................. 16
Lei dos senos ........................................................................................................ 16
As Funções cotangente, secante e cossecante ...................................................... 17
Relações básicas .................................................................................................. 18
Funções trigonométricas inversas ........................................................................ 20
Exercícios propostos ............................................................................................ 22
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 26
Limites e continuidade ...................................................................................................... 27
Conceito intuitivo de limite ................................................................................. 27
Definição informal de limite ....................................................................... 28
Limite da função constante e da função identidade ..................................... 29
Leis básicas dos limites ....................................................................................... 30
Continuidade ........................................................................................................ 32
Limites laterais ..................................................................................................... 34
Funções elementares contínuas ............................................................................ 36
Leis básicas das funções contínuas ....................................................................... 36
Propriedade do Valor Intermediário ..................................................................... 37
Definição (continuidade num intervalo) ...................................................... 37
Teorema do Valor Intermediário ................................................................. 37
Exercícios propostos ............................................................................................. 38
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 42
Derivadas ............................................................................................................................ 43
Taxa de variação média ....................................................................................... 43
Taxa de variação instantânea ou derivada ........................................................... 45
Função derivada ................................................................................................... 48
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
Regras de derivação ............................................................................................. 48
Derivadas de ordem superior ............................................................................... 55
Exercícios propostos ............................................................................................ 56
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 64
Aplicações das derivadas .................................................................................................. 65
Crescimento e decrescimento ............................................................................... 65
Encontrando extremos relativos .......................................................................... 66
Concavidade ........................................................................................................ 69
Teste da derivadas segunda ................................................................................. 70
Esboço do gráfico de uma função ........................................................................ 72
Problemas de otimização ..................................................................................... 74
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 84
Limites infinitos; Teorema da Média; Funções hiperbólicas ........................................ 85
Limites quando x tende ao infinito ....................................................................... 85
Limites finitos quando x ±∞→ ............................................................................ 86
Funções polinomiais e racionais quando x tende ao infinito ................................ 89
O limite exponencial fundamental e os juros capitalizados continuamente ......... 92
Teorema do Valor Médio (TVM) ......................................................................... 93
Interpretação geométrica do TVM ............................................................. 95
Teorema de Rolle ........................................................................................ 94
Conseqüências Matemáticas ....................................................................... 95
Uma interpretação física do TVM .............................................................. 95
Funções hiperbólicas ............................................................................................ 95
Gráficos ........................................................................................................ 96
Identidades básicas ...................................................................................... 97
Outras funções hiperbólicas ........................................................................ 97
Outras identidades ...................................................................................... 98
Fórmulas de derivadas ................................................................................ 98
Funções hiperbólicas inversas .............................................................................. 99
Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas ................................................... 100
Exercícios propostos ............................................................................................. 101
Respostas dos exercícios propostos ...................................................................... 103
Referências bibliográficas .............................................................................................. 104
Apêndice I – Tabela de derivadas ................................................................................. 105
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
3
Introdução
Estes apontamentos foram escritos com o intuito de servir de material didático para a
disciplina Cálculo I e Matemática Aplicada, ministrada no ciclo básico dos cursos oferecidos
de Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Engenharia de Produção, Sistemas de
Informação, Matemática, Administração, Curso Superior de Tecnologia em Manutenção de
Aeronaves e Curso Superior de Tecnologia em Produção Sulcroalcooleira no Centro
Universitário Central Paulista – UNICEP.
Os assuntos são apresentados de modo suscinto e sem formalismos. Sempre que
possível, são mostradas as correspondentes idéias intuitivas e geométricas, como também,
aplicações e problemas práticos, resolvidos de forma detalhada. No final de cada tópico são
propostos diversos exercícios, com respostas, que exploram o conteúdo teórico esenvolvido,
além de complementar a aprendizagem.
Agradeço aos colegas da UNICEP que usaram versões preliminares deste texto e
apresentaram valiosas contribuições no que tange a correções e idéias de melhorias na
redação.
Espero contar com sugestões e apreciações de todos aqueles que vierem a fazer uso
deste material para melhorar o conteúdo ou a apresentação do texto.
A Márcia, Melissa e Viviane, com carinho.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
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A História do Cálculo Diferencial e Integral
O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal ou
simplesmente Cálculo, é um ramo importante da Matemática, desenvolvido a partir da
Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas, como a
inclinação de uma reta, e uma acumulação de quantidades, por exemplo, como a área abaixo
de uma curva ou o volume de um sólido. O Cálculo é empregado, entre outros, onde há
movimento ou crescimento e forças variáveis agem produzindo aceleração.
Quando se fala em origem do Cálculo Diferencial e Integral, os primeiros nomes que
aparecem são Isaac Newton e Gottifried Leibniz. Entretanto, se retomada desde o começo, a
história do Cálculo primeiramente se confronta com o nome do considerado maior
matemático do período helenístico e de toda a antiguidade, Arquimedes (287-212 a.C). Suas
maiores contribuições foram feitas no campo que hoje denominamos “Cálculo Integral”, por
meio do método que ficou conhecido como Método de Exaustão.
Os escritos matemáticos de Arquimedes foram divulgados na Europa, em várias
edições impressas em 1550 d.C, fazendo com que fosse retomado o estudo do Cálculo
Infinitesimal. Historicamente, o primeiro método a utilizar o Cálculo foi através das
Infinitesimais.
Nomes como Comandino, Maurolico, Luca de Valerio, e Stevin (1570-1585),
destacaram-se, pois continuaram a tradição arquimediana aplicando seus métodos na
determinação de áreas, volumes e centros de gravidade.
Alguns dados históricos mostram as primeiras aplicações do Cálculo foram para
determinar áreas, volumes e centros de gravidade, utilizando a Integral, mais propriamente a
Integral Definida.
Contudo, pode-se concluir que a noção de Integração surgiu primeiro que a noção de
diferenciação. Foi só com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo, de Barrow, que se
estabeleceu uma conexão entre os dois ramos do Cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo
Integral.
Em 1620, Galileu, um renascentista, procurou ir além dos gregos, os quais se
limitavam a estudar as grandezas geométricas da Astronomia, Óptica e Estatística. Galileu é o
primeiro a estudar áreas do conhecimento não abordadas pelos gregos clássicos, como
Cinemática, Dinâmica, Elasticidade. Foi assim que o Cálculo passou a ser aplicado a outras
áreas, como por exemplo, na Física.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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Depois de quase 100 anos desde a divulgação dos escritos de Arquimedes surgem
Newton e Leibniz, encontrando uma grande base matemático-física com cerca de 1000
resultados sobre Cálculo Infinitesimal. Assim surge a questão, será que então não se deve
atribuir a Newton e a Leibniz o surgimento do Cálculo? Observando os dados históricos
acima relatados, há muitos outros nomes, como citados anteriormente, envolvidos nessa
descoberta antes de Newton e Leibniz. Nomes que muitas vezes quando se fala sobre a
origem do Cálculo, quase nem são mencionados.
De modo bastante simplificado pode-se dizer que Leibniz, em 1684, iniciou
essencialmente o Cálculo Diferencial. Contudo, ao contrário do atual Cálculo Diferencial que
é baseado na noção de derivada, o Cálculo Diferencial de Leibniz era baseado na noção de
diferencial. Já Newton foi o primeiro a usar sistematicamente o Teorema Fundamental do
Cálculo Integral elaborado por Barrow, e demonstrou sua utilidade na descoberta de grande
quantidade de resultados em Matemática e Física. Essas descobertas foram feitas entre 1666 e
1676, mas a maioria só foi publicada após 1700.
As gerações de matemáticos que vieram após Newton, em grande parte, seguiram seus
passos, procurando novos resultados tanto nos aspectos técnicos como nas aplicações do
Cálculo a aspectos teóricos da Mecânica. Em 1700 ainda, apareceram oportunidades para um
uso mais prático do Cálculo na análise estática, dinâmica e termodinâmica das máquinas
industriais, das quais a cada dia eram solicitadas maior potência e velocidade. Nesse mesmo
ano, o Cálculo Infinitesimal desenvolveu-se principalmente através das descobertas de Euler,
o qual escreveu um livro sobre Cálculo Infinitesimal. Nessa época, entretanto, o padrão
científico do Cálculo ainda era muito baixo.
No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites, os quais descrevem
o valor de uma função em certo ponto em termos de valores de pontos. Ainda nesse século, o
cálculo foi abordado por Cauchy, Riemann e Weierstrass com um formalismo mais rigoroso.
Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço
euclidiano e ao plano complexo.
Dessa época até os dias atuais o Cálculo não cessou de se desenvolver teoricamente e
de ser aplicado a novas situações, sendo um instrumento matemático absolutamente
imprescindível para muitas áreas do conhecimento.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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Capítulo 1
Trigonometria
A trigonometria é a aparte da Matemática dedicada ao estudo das funções
trigonométricas e suas aplicações. Ela teve origem na antiga Grécia com o estabelecimento de
relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Além de ser
importante em vários ramos da Matemática, a trigonometria tem também muitas aplicações na
Física, Astronomia, Engenharia e Arquitetura. Ela constitui ferramenta indispensável para o
estudo de fenômenos periódicos de todas as espécies, abrangendo desde o movimento de
vaivém do pêndulo de um relógio até a revolução dos planetas ao redor do Sol. Na aviação e
navegação ela é absolutamente essencial para resolver problemas referentes a altitudes e
distâncias, usando triângulos retângulos.
1.1 Ângulos
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal com origem O e s uma
semi-reta, que originalmente coincide com o semi-eixo positivo dos x.
Se se girar a semi-reta s mantendo a origem O fixa, quando s coincidir pela primeira
vez com o semi-eixo positivo dos y, então s formará um ângulo reto com o semi-eixo positivo
dos x. A nonagésima parte desse ângulo é a unidade freqüentemente usada para a medida de
ângulos denominada grau.
Continuando a girar s, quando ela coincidir pela primeira vez com o semi-eixo
negativo dos x, formará um ângulo de 1800 com o semi-eixo positivo dos x.
Prosseguindo com a rotação de s, obtêm-se ângulos de medidas maiores, não
existindo um limite superior para elas. Dessa maneira, pode-se considerar ângulos tais como
4000 , 7600, etc. Um ângulo de 3600 é a medida para uma rotação completa.
Em diversas aplicações é necessário considerar ângulos negativos. Eles são obtidos
quando se gira a semi-reta s, a partir de sua posição original no semi-eixo positivo dos x, no
sentido horário. Quando s coincide pela primeira vez com o semi-eixo negativo dos y, forma-
se um ângulo α = – 900. Uma rotação completa no sentido horário tem medida –3600.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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Figura 1. O ângulo α é positivo para uma rotação anti-horária e negativo para uma rotação horária
Para o estudo da trigonometria, é conveniente introduzir uma outra unidade de
medida mais natural para ângulo, o radiano. Para isso, considera-se um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonal e fixa-se, nos dois eixos, a mesma unidade de
comprimento. É desenhada uma circunferência com centro O na origem do sistema de
coordenadas cujo raio é a unidade de comprimento dos eixos. Fixa-se nessa circunferência o
ponto A de coordenadas (1, 0).
Girando a semi-reta s a partir de sua posição original no sentido anti-horário, seja B
o ponto de interseção de s com essa circunferência. A medida em radianos do ângulo AOB
no centro da circunferência (Figura 2) equivale ao comprimento do arco que AOB forma no
círculo.
Figura 2. A medida α em radianos é o comprimento do arco entre A e B.
Uma circunferência cuja medida em graus é 360 tem comprimento 2π r, onde r é
o comprimento de seu raio. Assim:
3600 = 2π rad ou 1800 = π rad
Dessa forma:
1 rad = 0
2360
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π ≅ 570
Usualmente, omite-se a abreviação rad nas medidas expressas em radianos e o
ângulo é tratado como um número puro.
Exemplos
1. Converter 2π e
23 π em graus.
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Tem-se que π = 1800 . Assim, basta substituir nas expressões 2π e
23 π o valor de
π por 1800 :
2π =
21800
, ou seja, 2π = 900
23 π =
2180.3 , ou seja,
23 π = 2700
2. Converter 1200 e 3150 em radianos.
A partir de π = 1800 resulta 01 = π180
1 rad.
Assim, para converter 1200 graus em radianos basta efetuar o produto 180
120 π⋅ .
Portanto:
1200 = 180
120π rad ou 3
21200 π= rad
Similarmente:
3150 = 180
315 π⋅ =
180315π rad ou
473150 π
= rad
1.2 Seno, cosseno e tangente
Admite-se o sentido anti-horário como positivo. Considere uma circunferência com
centro O na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, cujo raio é a unidade
de comprimento dos eixos. Fixe nessa circunferência o ponto A de coordenadas (1, 0). Uma
circunferência com tais características é chamada circunferência trigonométrica. Seja B um
ponto sobre ela, de modo que o ângulo AOB tenha medida α radianos, conforme a Figura 3.
Figura 3. O cosseno e o seno como abscissa e ordenada de
um ponto B da circunferência trigonométrica
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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Define-se:
senα é a ordenada do ponto B, ou seja, senα = OD
cosα é a abscissa do ponto B, ou seja, cosα = OC
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OBC, segue:
sen2 α + cos2 α = 1
Usando as funções seno e cosseno, pode-se definir a função tangente de α , denotada
por tgα , como o quociente:
tg α = αα
cossen desde que cos α ≠ 0
Exemplo
Obter o seno e o cosseno dos arcos 2π ,
23π , π e 2π .
Observando os gráficos da Figura 4 conclui-se:
sen 2π = 1 sen π = 0 sen
23π = –1 sen 2π = 0
cos 2π = 0 cos π = –1 cos
23π = 0 cos 2π = 1
Figura 4. Ilustração dos senos e cossenos de 2π ,
23π , π e 2π
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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Certos valores das funções seno e cosseno podem ser obtidos a partir de figuras
geométricas, como por exemplo, o seno e cosseno de 300, 450 e 600. A Tabela 1 fornece os
senos, cossenos e tangentes desses ângulos.
Tabela 1. Seno, cosseno e tangente de 300, 450 e 600
x 300 450 600
sen 21
22
23
cos
23
22
21
tg
33
1 3
De um modo geral, os valores do seno, cosseno e tangente de ângulos podem ser
obtidos por tabelas, utilizando computadores ou calculadoras usando as teclas sin (seno)
cos (cosseno) e tan (tangente) .
Por exemplo, para se obter o valor do seno de 470, tecla-se na calculadora:
sin 47
e aparece no visor 0,731353701.
Deve-se observar que a calculadora deve estar programada em deg para o cálculo
em graus e em rad para o cálculo em radianos.
Para o cálculo do cosseno de 4
7π , tecla-se:
cos ( 7 × shift exp ÷ 4 ) =
e aparece no visor 0,707106781.
Para se calcular tg 5 (tangente de 5 radianos) tecla-se:
tan 5
cujo resultado é –3, 380515006.
1.3. Mudança de quadrante O seno e o cosseno de um ânguloα , como coordenadas de um ponto, têm sinais que
dependem do quadrante em que se encontram.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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11
Daí para 0 <α< 900 tem-se cosα > 0 e senα > 0; para 900 < α< 1800 tem-se
que cosα < 0 e sen α > 0; para 1800 < α < 2700 tem-se cosα < 0 e senα < 0 e para
2700 < α < 3600 tem-se que cosα > 0 e sen α < 0.
Pode-se relacionar os valores do seno e cosseno de um arco x do primeiro quadrante
com os valores do seno e cosseno de arcos em qualquer quadrante, do seguinte modo:
xsenxsen =− )(π xx cos)(cos −=−π
xsenxsen −=+ )(π xx cos)(cos −=+π
xsenxsen −=− )2( π xx cos)2(cos =−π
Se f(x) atinge os eixos coordenados a verificação é imediata. Caso contrário, o
resultado se verifica geometricamente em vista da congruência dos triângulos da Figura 5.
Estas fórmulas são conhecidas como redução do seno e do cosseno ao primeiro quadrante.
Figura 5. Mudança de quadrante
Desde que os arcos de medidas x− e x−π2 possuem a mesma extremidade, eles
possuem o mesmo seno e o mesmo cosseno. Daí tem-se:
xsenxsen −=− )( xx cos)(cos =−
ou seja, os valores de sen x e sen (–x) são opostos, portanto, y = sen x é uma
função ímpar e os valores de cos x e cos (–x) são iguais, portanto, y = cos x é uma função
par.
Decorre imediatamente da definição da tangente que se x é um arco do primeiro
quadrante:
xtgxtg −=− )(π xtgxtg =+ )(π
xtgxtg −=− )2( π xtgxtg −=− )(
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12
1.4 Função seno, função cosseno e função tangente
Para cada número real x, seja B o único ponto sobre a circunferência trigonométrica,
de modo que o arco AB tenha medida x radianos.
Para cada valor de x tem-se então, associado um único valor y = sen x e um único
valor y = cos x, que atingem um máximo +1 e um mínimo –1. Ficam assim definidas duas
funções :
sen : R → [-1, 1] e cos : R → [-1, 1]
x → y = sen x x → y = cos x
Se são adicionados 3600 ou 2π a qualquer ângulo x, os pontos da circunferência
unitária que representam x e 3600 + x são os mesmos e, portanto, possuem o mesmo seno e o
mesmo cosseno, ou seja:
sen(3600 + x) = sen x, cos(3600 + x) = cos x
Isso quer dizer que as duas funções y = sen x e y = cos x são periódicas com
período 3600 ou 2π .
De um modo geral, uma função f com domínio D é periódica se existe um número
real e positivo k tal que x + k está em D e f(x + k) = f(x), para todo x em D. Se existe um
menor real positivo k, ele é chamado período de f. Isso implica que o gráfico de f se repete a
intervalos sucessivos de amplitude k
Em virtude desse fato, os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, o conjunto dos
pontos do plano de coordenadas (x, sen x) e os pontos de coordenadas (x, cos x),
respectivamente, podem ser representados no intervalo [0,2π ] e depois repetidos em cada
intervalo de amplitude 2π .
Levando-se em conta os valores de sen x e cos x para x = 0, 2π , π ,
23π e 2π
obtidos no exemplo considerado em 1.2, são esboçados na Figura 6 os gráficos das
funções seno e cosseno.
( i ) ( ii )
Figura 6. (i) Gráfico da função seno e (ii) gráfico da função cosseno utilizando medida em radianos
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13
A tangente de um número real foi definida como a razão do seno para o cosseno desse
real. Com isso, pode-se definir a função tangente:
tg: D → R
x → y = tg x = xx
cossen
onde D = { x ∈ R: cos x ≠ 0} isto é, o conjunto dos números reais em que se excluem os
valores que anulam cos x.
O conjunto D ainda se escreve como D = { x ∈ R : x ≠ kπ + 2π , k ∈ Z }.
A variação da função tangente no intervalo ] –2π ,
2π [ obedece:
Tabela 2 - Variação da tangente no intervalo ] –2π ,
2π [
x –
2π
0
2π
tg x Não existe cresce 0 cresce Não existe
Para se obter o gráfico da função tangente, é suficiente esboçá-lo no intervalo ] –
2π ,
2π [ e repeti-lo em todos os quadrantes da forma ] –
2π + kπ ,
2π + kπ [, k ∈ Z. A função
tangente é periódica de período π .
Figura 7. Gráfico da função y = tg (x)
1.5. Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo
As definições do seno e cosseno foram dadas como coordenadas de ponto de uma
circunferência trigonométrica. De um modo geral, considera-se agora um ponto P com
coordenadas (x, y) em relação a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal de
origem O.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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14
Admite-se que o ponto P não coincide com O. Seja B o ponto em que o segmento
que liga O a P intercepta a circunferência trigonométrica e seja a o comprimento do
segmento OP. Será chamado de α o ângulo AOB
Os triângulos OBC e OPQ da Figura 8 têm os seus lados correspondentes proporcionais.
Figura 8. Seno e cosseno definidos em termos x, y e a
Desta maneira:
1|||| a
OCOQ
= e 1||
|| aBCPQ
=
Como OQ e OC têm o mesmo sinal e, da mesma forma, PQ e BC, então:
1cosax
=α
e 1senay
=α
e, conseqüentemente:
x = a cos α e y = a sen α
Escolha um triângulo retângulo, onde α é um de seus ângulos. Considere um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonal e tome o triângulo na posição da Figura 9.
Figura 9. Esquema para definir o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo α de um triângulo retângulo
As funções seno, cosseno e tangente de α são dadas por:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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15
sen α = ac
= hipotenusa
opostocateto cos α =
ab
= hipotenusa
adjacentecateto
tg α = bc =
adjacentecatetoopostocateto
Exemplos
a) Uma fonte de mel é descoberta por uma abelha a 1580 metros da colméia, num
ponto cujo ângulo medido no sentido anti-horário a partir da direção leste é 1400.
Quais são as coordenadas cartesianas da fonte?
Figura 10. Localização de uma fonte de mel para o exemplo (a)
Tem-se
a = 1580 cos 1400 = –1210,4
b = 1580 sen 1400 = 1015,6
b) Um peixe percorreu uma distância de 40 cm entre a superfície de um aquário e o
seu fundo seguindo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 300 com a
superfície. Qual é, aproximadamente, a profundidade alcançada pelo peixe?
Solução Chamando de x a profundidade, tem-se, de acordo com a Figura 11:
x = 40 sen 300 = 40 . 21 = 20
Logo, a profundidade alcançada pelo peixe é 20cm.
Figura 11. Esquema para a distância entre a superfície de um aquário e o seu fundo
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1.6 Lei dos cossenos
Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b, c e se α for o ângulo entre
os lados com comprimentos a e b, então:
c2 = a2 + b2 – 2a b cos α
A demonstração deste resultado é feita introduzindo um sistema de coordenadas
cartesianas com origem em C e o eixo x positivo ao longo de um dos lados do triângulo. As
coordenadas de A passam a ser (b, 0) e as de B, (a cosα , a senα ).
Figura 12. O quadrado da distância entre A e B fornece a lei dos cossenos
Portanto, o quadrado da distância entre A e B será:
2 2 2( cos ) ( )c a b a senα α= − +
a qual desenvolvida oferece a referida lei.
1.7 Lei dos senos
Uma outra maneira de relacionar lados e ângulos de um triângulo qualquer é a
conhecida lei dos senos, cujo enunciado está a seguir:
Em qualquer triângulo as razões dos lados para os ângulos opostos são iguais, isto é:
senCc
senBb
Asena
==
Exemplo
Dois homens puxam horizontalmente um corpo com cordas que formam um ângulo
de 450 . Um exerce uma força de 150 kgf e outro de 100 kgf. Calcular a intensidade resultante
R e o ângulo que faz com a primeira corda.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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17
Conhecendo–se as duas forças F1 e F2 e o ânguloα entre eles, é possível calcular a
resultante R.
FIGURA 13 . Esquema para a resultante de duas forças que formam um ângulo de α = 450
No triângulo ABD, pela lei dos cossenos, tem-se:
R2 = β−+ cos2 212
22
1 FFFF
Porém, β = 1800 – α ; então, cos β = – cos α e assim :
R2 = 2 21 2 1 22 cosF F F F α+ +
Daí, R2 =1502 + 1002 + 2 .150.100 cos 450 ou R é, aproximadamente, 231 kgf.
Pela lei dos senos:
0
100sen135 sen
Rγ
= ⇒ senγ = 231
135sen.100 0
⇒ γ ≅ 170 8’
1.8 As funções cotangente, secante e cossecante
Pode-se definir a função secante:
sec : F → R
x → y = sec x = xcos
1
onde F = { x ∈ R: x ≠ kπ + 2π , k ∈ Z }.
Também define-se:
cossec : D → R
x → y = cossec x = xsen
1
cotg : D → R
x → y = cotg x = xx
sencos
onde D = { x ∈ R: x ≠ kπ , k ∈ Z }.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
18
1.9 Relações básicas
Como conseqüências das definições acima, tem-se:
i) sec2x = 1 + tg2 x
ii) cossec2x = 1 + cotg2 x
Prova de (i)
xxx
xsenxxsenxtg x2
22
22
2
22 sec
cos1
coscos
cos11 ==
+=+=+
A justificativa de (ii) é similar.
Existem, ainda, fórmulas para a adição de arcos. São elas:
iii) cos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen y
iv) sen ( x + y ) = sen x cos y + sen y cos x
Observe que sen ( x + y ) é diferente de sen x + sen y. Veja por exemplo:
sen ( 300 + 600 ) = sen 900 = 1
sen 300 + sen 600 = 23
21+
A fórmula para o cálculo de sen ( x + y) é dada por (iv).
Substituindo a por x e y nas identidades (iii) e (iv), tem-se as seguintes relações
denominadas fórmulas do seno e cosseno do arco duplo:
v) cos 2a = cos2a – sen2a
vi) sen 2a = 2 sen a cos a
Exemplos
1) Sendo x um ângulo agudo do segundo quadrante e sen x = 1312 , determinar os
valores de cos x e tg x.
Solução
Tem-se:
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 – 2
1312
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⇒ cos2 x =
16925
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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19
Como no segundo quadrante o valor do cosseno de x é negativo, segue que:
cos x = – 16925 ⇒ cos x = –
135
Daí vem que tg x = xx
cossen = –
512 .
Então, cos x = – 135 e tg x = –
512 .
2) Se x é um ângulo tal que tg x = 2 e 2π < x <
23π , obter sen x e cos x.
Solução Tem-se:
tg x = xx
cossen ⇒ tg2 x =
2
2
sen1
xsen x−
⇒ 4 = 2
2
sen1
xsen x−
⇒ 4( 1 – sen2x) = sen2 x ⇒ sen2 x = 45
Sendo x um ângulo do segundo quadrante, então o valor do seno de x deve ser
negativo. Logo:
sen x = –54 ⇒ sen x = – 2
5 Assim
cos2 x = 1 – sen2x ⇒ cos2 x = 1 – 45
⇒ cos x = – 5
1
onde o sinal negativo foi considerado em virtude de 2π < x <
23π .
Portanto, sen x = – 25
e cos x = – 5
1 .
3) Mostrar que para todo x real:
i) sen (2π – x) = cos x
ii) cos (2π – x) = sen x
iii) tg (2π – x) = cotg x
De acordo com as fórmulas de adição de arcos e lembrando que y = sen x é uma
função ímpar e y = cos x é uma função par e sen 2π = 1 e cos
2π = 0, tem-se:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
20
i) sen (2π – x) = sen [
2π + (– x) ] = sen
2π cos(– x) + sen (– x) cos
2π = cos x
ii) cos (2π – x) = cos [
2π + (– x) ] = cos
2π cos(– x) – sen
2π sen (– x) = sen x
iii) tg (2π – x) =
xx
cossen =
xx
sencos = cotg x
4) Resolver a equação (sen x + cos x)2 = 1 para x ∈ [0, 2π ].
Solução Tem-se:
(sen x + cos x)2 = 1 ⇒ sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = 1
⇒ 1 + sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = 0
O seno se anula para valores múltiplos de π . Como, por hipótese, 0≤ x ≤ 2π , ou
seja, 0 ≤ 2x ≤ 4π , para que sen 2x = 0, o ângulo 2x deve assumir valores múltiplos de π
entre 0 e 4π . Logo:
2x = 0, π , 2π , 3π , 4π
Portanto, as soluções da equação são x = 0, x = 2π , x = π , x =
23π ou x = 2π .
1.10 Funções trigonométricas inversas
Conhece-se que 12=
πsen . Portanto, se se pede para achar um ângulo (medido em
radianos) cujo seno vale 1, imediatamente responde-se que um desses ângulos é 2π . Existem,
no entanto, infinitos outros ângulos com essa propriedade De fato, 2
5πsen = sen (–2π ) = 1.
Isto significa que a função de domínio R definida por y = sen x não admite inversa. Diversos
valores reais possuem o mesmo seno.
Porém, restringindo o domínio da função seno ao intervalo [– 2π ,
2π ] é possível definir
a sua inversa, denominada função arco seno e denotada por por arc sen.
Por exemplo, a igualdade:
12
senarc=π
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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21
equivale a dizer:
2π é o arco cujo seno é 1
Define-se para x ∈ [–1, 1] e y ∈ [– 2π ,
2π ] função arco seno através da sentença:
y = arc sen x ⇔ sen y = x
Exemplos
a) 21
6senarc=
π , pois 21
6=
πsen
b) – )1(2
−= senarcπ , pois 12
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
πsen
O gráfico da função arco seno está esboçado na Figura 14.
FIGURA 14. Gráfico da função y = arc sen x
Observe que como inversa da função y = sen x o gráfico da função y = arc sen x é simétrico
ao gráfico de y = sen x em relação à reta bissetriz y = x , do primeiro e terceiro quadrantes. Esta
propriedade de simetria é geral para todas as funções inversas.
A exemplo da função seno, para definir as inversas das funções cosseno e tangente, é
necessário restringir seus domínios a intervalos convenientes.
As inversas das funções y = cos x e y = tg x , denotadas por arc cos x e arc tg x,
respectivamente, são definidas por:
arc cos : [–1, 1] → [0, π ]
x → y = arc cos x ⇔ cos y = x
arc tg : R → ] –2π ,
2π [
x → y = arc tg x ⇔ tg y = x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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22
Seus gráficos estão esboçados nas Figura 15.
(i) (ii)
FIGURA 15. ( i ) Gráfico da função y = arc cos x; ( ii ) gráfico da função y = arc tg x
Se se quiser usar a calculadora para obter a medida do ângulo cujo seno vale 0,875,
ou seja, o valor de arc sen 0,875, utiliza-se a tecla sin-1. Tecla-se:
shift sin 0.875 =
e obtém-se, aproximadamente, 61,040.
Para calcular arc cos 0,672:
shift cos 0.672 =
e obtém-se, 47,780.
Para arc tg 2:
shift tan 2 =
cujo resultado é 63,430.
1.11 Exercícios propostos 1. Converter em graus:
a) 4
3π b) 4
5π c) 6
7π d) 1112π
2. Converter em radianos:
a) 1500 b) 3000 c) 2400 d) 1100
3. Sabendo que tg x = 3 e 0 < x < 900, obter sen x e cos x.
4. Achar o valor de x, sabendo que 900 < x < 1800:
a) tg x = -0,9 b) sen x = 0,72 c) cos x = -0,35
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
23
5. Determinar a área e o perímetro de um triângulo retângulo ABC cujo cateto AB
mede 10 cm e forma com a hipotenusa AC um ângulo de 300.
6. Num sistema de coordenadas cartesianas, considere os pontos A(0, 4) e B(2, 0). Obter a
tangente do ângulo obtuso que a reta pelos pontos A e B forma com o eixo x.
7. Calcular o valor de x nos triângulos:
8. Observando a figura abaixo, determinar os valores de tg a e tg b.
9. Uma barra vertical de 3 metros de comprimento produz uma sombra em um plano
horizontal. Os raios solares têm inclinação de 600 em relação ao plano horizontal.
Qual é o comprimento da sombra?
10. A inclinação de uma reta num sistema de coordenadas ortogonal é medida por
m = xy
∆∆ . Suponha que ∆ x e ∆ y são medidos e plotados na mesma unidade de
comprimento. O ângulo α obtido ao girar o eixo x no sentido anti-horário até ele
coincidir com a reta dada pela primeira vez é chamado ângulo de inclinação e tem um
valor que varia de 00 a 1800. Obter α nos seguintes casos:
a) ∆ x = 3 ∆ y = 3 b) ∆ x = –2 3 ∆ y = 2
11. A torre de Pisa na Itália tem 58,5 metros de comprimento. Em 1995, a distância entre a
projeção de seu topo no solo e o seu pé era 5,40 metros. Qual era, em 1995, o ângulo de
inclinação da torre?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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24
12. Para uma função periódica da forma y = M + R sen (wt + b), w > 0, o período vale T =
wπ2 , se as medidas são expressas em radianos e T =
w360 se expressam em graus,
enquanto a freqüência será π
=λ2w ou
360w
=λ , respectivamente. O valor |R| é a
amplitude. Encontrar os períodos, as freqüências e a amplitude das funções:
a) y = 3 + 2 sen ( t + 6π ) b) y = 4 – sen 3t
13. Um praticante do método de corridas, conhecido como o método de Cooper
balança cada um de seus braços ritmicamente enquanto corre, segundo a equação:
y = f(t) = 9π sen ( )2
38 ππ
−t
Determinar o período, a freqüência e a amplitude da oscilação.
14. Um caçador está sentado na plataforma construída numa árvore a 30 metros do chão. Ele
vê um tigre sob um ângulo de 300 abaixo da horizontal. A que distância está o tigre
do caçador?
15. Um avião decola e segue uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 350 com a
linha horizontal. Após ter voado 1000m, qual é a altura aproximada do avião ?
16. Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 600 com o chão. Que
altura ela atinge, sabendo-se que a escada tem comprimento de 18 metros? 17. Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em 5 unidades da posição de repouso e
solto no instante t = 0 para oscilar para cima e para baixo. Sua posição em qualquer
instante é dado por s = 5 cos t.
a) Qual a sua posição no instante t =4π ?
b) Em que instante s = 2,5 ?
18. Um corpo suspenso em uma mola é puxado para baixo e liberado. Seu deslocamento é
descrito por s = – t210cos251 . Qual é sua posição no instante t = 10 ?
19. Resolver no intervalo [0, 3600]:
a) cos4 x – sen4 x = 23 b) (sen x + cos x)2 = 2
20. Dado sen x = 54 ,
2π < x < π , obter :
a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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25
21. Mostrar que para todo x real:
a) sen2 2x =
2cos1 x− b) cos2
2x =
2cos1 x+
(Sugestão: fazer 2a = x nas fórmulas de transformação em produto)
22. Mostrar que :
a) sen 220 30’ = 2
22 − b) cos 220 30’ = 2
22 +
23. Mostrar que :
a) sen 150 = 2
32 − b) cos 150 = 2
32 +
24. Dados cos a = 6556 com 0 < a <
2π e sen b = –
54 com
23π < x < 2π , calcular:
a) cos (a + b) b) sen ( a + b)
25. Dados x = arcsen 53 e y = arcsen
135 com 0 < x <
2π e
2π < y < π , obter o valor
de cos (x + y).
26. Determinar o perímetro de um triângulo em que dois lados medem 6m e 10m e
formam entre si um ângulo de 1200.
27. Dois lados de um triângulo medem a = 2 m e b = 1m e os ângulos opostos a esses
lados indicam-se por A e B, respectivamente. Determinar o outro lado, sabendo que
A = 2B.
28. Num triângulo ABC, sabe-se que a = 8 2 e b = 8 3 . Se o ângulo B mede 600, determinar a medida do ângulo C.
29. Em um triângulo ABC, conhece-se as medidas a = 3 + 1, b = 2 e ∧
C = 300. Obter a
medida do lado c.
30. Conhecendo-se uma força F e uma inclinação x pode-se calcular imediatamente suas
componentes xF e yF (tangencial e normal).
A componente horizontal de uma força que atua sobre um corpo, sob um ângulo de
600 com a horizontal, é igual a 7,5 dinas. Calcular a força.
⇒= αcosxF
F αcosFFx =
⇒= αsenFF
y
αsenFFy =
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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26
1.12 Respostas dos exercícios propostos
1. a) 1350 b) 2250 c) 2100 d) 1650 2. a) 6
5π b) 3
5π c) 3
4π d) 1811π
3. sen x = 310
, cos x = 110
4. a) 1380 b) 133,950 c) 110,480
5. perímetro = 10 3 10+ área = 50 33
6) –2 7) i) 4 ii) 30
8. tg a = 0,8, tg b = -0, 8 9. 3
3 m 10. a) 450 b) 1500 11) 84,70
12. a) T = 2π , λ = π2
1 , |R| = 2 b) T =3
2π , λ = π23 , |R| = 1
13. T =43 , λ =
34 , |R| =
9π 14. 60m 15. 574m 16. 9 3 m≈ 15,6m
17. a) 2
25 b) 6π 18. 0,03 19. a) 150, 1650, 1950, 3450 b) 450, 1350
20. a) –2524 b) –
257 c) 24
7 24. a)
6554 b) – 5
13 25. 63
65−
26. 30cm 27. 1m 28. 750 29. 2 30. 15 dinas
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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27
Capítulo 2
Limites e continuidade
Trata-se a seguir, de forma intuitiva, uma idéia sobre limites a qual é usada para
estudar a noção de continuidade. A noção de limites tem também, grande utilidade na
formulação das definições de derivada e integral, temas essenciais no desenvolvimento do
Cálculo.
2.1 Conceito intuitivo de limite
Considere a função real y = f(x) definida por:
111)(
2
+=−−
= xxxxf , 1≠x
Observe na Tabela 3 o comportamento da função quando a variável x assume valores
cada vez mais próximos de 2, isto é, quando x tende a 1.
Tabela 3 – Comportamento da função f(x) para valores de x próximos de 1
x tende a 1 assumindo valores inferiores a 1
x 0,5 0,9 0,99 0,995 0,9999 0,99999
f(x) 1,5 1,9 1,99 1,995 1,9999 1,99999
x tende a 1 assumindo valores superiores a 1
x 1,5 1,2 1, 1 1,01 1,001 1,0001
f(x) 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001
A tabela indica que quando x tende a 1, o que quer dizer x se aproxima de 1, e indica-
se 1→x , tem-se que f(x) tende a 2 e denota-se 2)( →xf . Isto significa que para valores de x
bastante próximos de 1, f(x) estará tão próximo de 2 quanto quisermos.
Simbolicamente se expressa este fato por:
2)(lim1
=→
xfx
ou 211lim
2
1=
−−
→ xx
x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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28
2.1.1 Definição informal de limite
Seja y = f(x) definida em um intervalo aberto em torno de um ponto 0x , mas não
necessariamente no próprio 0x . Caso |)(| Lxf − se torne arbitrariamente pequeno quando x
assumir qualquer valor suficientemente próximo de (mas não igual a) 0x , diz-se que:
o limite de f(x) quando x tende a 0x é igual a L
Nessa situação, escreve-se:
Lxfxx
=→
)(lim0
2.1.2 Observações
i) Se existe o limite de f(x) quando x tende a 0x então esse valor L é único.
ii) Na determinação do limite de f(x), quando x tende 0x , não importa como f está
definida em 0x (nem mesmo se f está realmente definida) mas sim, como f se comporta para
valores de x nas proximidades de 0x .
Por exemplo, considere as funções:
11)(
2
−−
=x
xxf e 1)( += xxg
Seus gráficos estão representados na Figura 16.
Figura 16. Os gráficos de f e g são idênticos, exceto em x = 1 onde g não está definida
As funções f e g são iguais para todo Rx∈ , exceto para 1=x , onde a função g não
está definida. Apesar disso:
2)(lim)(lim11
==→→
xgxfxx
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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29
2.1.3 Limite da função constante e da função identidade
Apresentam-se abaixo duas funções que possuem limites em todos os pontos.
a) Na Figura 17 está representado o gráfico da função constante kxf =)( , k ∈ R.
Figura 17. Função constante y = f(x) = k
Do modo geométrico como foi introduzida a idéia de limite tem-se que kxf →)( se
0xx → , fato que se simboliza da seguinte forma:
kkxx
=→ 0
lim
Assim
55lim0
=→xx
, ππ =→ 0
limxx
, para qualquer valor de 0x
b) Considere a função f definida por xxf =)( (função identidade) cujo gráfico está
representado na Figura 18.
Figura 18. Função identidade f(x) = x
Da mesma maneira:
00
lim xxxx
=→
Assim
7lim7
=→
xx
, 4lim4
−=−→
xx
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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30
2.2 Leis de básicas dos limites
Suponha que existam Lxfxx
=→
)(lim0
e Mxgxx
=→
)(lim0
. Então:
(i) Lei da soma e da diferença
)]()([lim0
xgxfxx
±→
= )(lim0
xfxx→
± )(lim0
xgxx→
= ML ±
((ii) Lei do múltiplo constante
)(lim0
xfkxx→
= )(lim0
xfkxx→
= k L
(iii) Lei do produto
)]()([lim0
xgxfxx→
= )(lim0
xfxx→
)(lim0
xgxx→
= ML
iv) Lei do quociente
)()(lim
0 xgxf
xx→ =
)(lim
)(lim
0
0
xg
xf
xx
xx
→
→ = ML se 0≠M
v) Lei da potenciação
Se r e s são números inteiros e 0≠s então:
( )sr
xxxf )(lim
0→ = s
r
L
desde que sr
L seja um número real.
Note-se que as leis da soma e da diferença e do produto foram apresentadas para duas
funções, no entanto, elas se estendem para qualquer número de funções.
Desta forma, se n é um número inteiro e positivo:
n
xxx
0
lim→
= )....(lim0
xxxxx→
= xxxxxxxxx 000
lim...lim.lim→→→
= 000 .... xxx = nx0
Consequentemente, se k é uma constante tem-se:
n
xxxk
0
lim→
= n
xxxk
0
lim→
= nxk 0
Exemplos
a) Obter o valor de )174(lim 2
0
−+→
xxxx
.
)174(lim 2
0
−+→
xxxx
= 1lim7lim4lim000
2
xxxxxxxx
→→→−+ = 174 0
20 −+ xx
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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31
De um modo geral tem-se o seguinte resultado:
Se p(x) é um polinômio então o limite )(lim0
xpxx→
obtém-se substituindo x por 0x na
expressão de p(x),
Isto quer dizer que:
)(lim0
xpxx→
= p( 0x )
b) Calcular )453(lim 23
2−+−
→xx
x.
)453(lim 23
2−+−
→xx
x = 42.52.3 23 −+− = – 8
Na situação de função racional (quociente de dois polinômios):
Se )()(
xqxp é uma função racional então o limite
)()(lim
0 xqxp
xx→ obtém-se substituindo x por
0x nas expressões de p(x) e )(xq , se 0)( 0 ≠xq
Isto significa:
)()(lim
0 xqxp
xx→=
)()(
0
0
xqxp
, 0)( 0 ≠xq
c) Obter 3
2
1 23106lim
xxx
x −−+
−→
3
2
1 23106lim
xxx
x −−+
−→ = 3
2
)1(23)1(.10)1(.6
−−−−+− =
37
−
d) Calcular 2
65lim2
2 −+−
→ xxx
x.
Se x for substituído por 2 na expressão do limite tem-se a fração 00 , impossível de se
calcular e que é chamada de forma indeterminada.
Pode-se tentar calcular o limite usando fatoração. Observe que para 2≠x :
2
652
−+−
xxx
= 2
)3(.)2(−
−−x
xx = 3−x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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32
Conforme 2.1.2 (ii), visto que no cálculo do limite não interessa o que acontece
quando x = 2, vem:
2
65lim2
2 −+−
→ xxx
x = )3(lim
2−
→x
x = –1
2.3 Continuidade
Na determinação do limite )(lim0
xfxx→
não importa como f está definida em 0x (nem
mesmo se f está realmente definida). A única coisa que interessa é o comportamento de )(xf
nas proximidades de 0x .
Considere os gráficos das funções da Figura 19.
( i ) ( ii) ( iii) ( iv) Figura 19. Algumas funções reais
Constata-se que:
• No caso (i), quando 0xx → tem-se )()( 0xfLxf ≠→ ;
• Em (ii) não existe )(lim0
xfxx→
;
• Na situação (iii) existe Lxfxx
=→
)(lim0
, porém, 0(xf ) não está definida;
• Em (iv) tem-se que )()(lim 00
xfxfxx
=→
.
Com exceção do caso (iv) todas as outras funções apresentam interrupções em algum
ponto. O que caracteriza a ausência de interrupções é o fato de, para todo ponto 0x do
domínio, existir )(lim0
xfxx→
e esse valor ser igual à imagem )( 0xf .
Isso sugere a seguinte definição:
Uma função )(xf definida em um intervalo aberto contendo 0x é contínua em 0x se )()(lim 0
0
xfxfxx
=→
.
Desta maneira, três condições devem ser satisfeitas por :)(xfy =
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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33
1. )(lim0
xfxx→
;
2. )( 0xf existe, ou seja, f é definida no ponto 0x ;
3. O valor do limite coincide com o valor da imagem )( 0xf .
Portanto, a noção intuitiva de continuidade decorre da análise de seu gráfico. O gráfico
de uma função contínua não apresenta interrupções. Pontos onde ocorrem interrupções
denominam-se pontos de descontinuidade.
Uma função contínua em todos os pontos de seu domínio se diz contínua. Caso
contrário ela é descontínua.
Exemplos
1. A função 2)( xxf = é contínua para todo Rx∈ .
De fato:
)(lim0
xfxx→
= )(lim 020
2
0
xfxxxx
==→
2. A função ⎩⎨⎧
=≠
=2,02,
)(2
xxx
xf não é contínua no ponto 2=x .
Com efeito,
42)(lim 2
2==
→xf
x, porém, 0)2( =f que é um valor diferente do limite.
3. Analise a continuidade da função ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<=31
33)(
xsex
xsexxg .
Observe o gráfico da função )(xg , esboçado na Figura 20.
Figura 20. Gráfico da função g(x)
Conclui-se que não existe o limite )(lim3
xgx→
. Portanto a função não é contínua no
ponto x = 3.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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34
2.4 Limites laterais
No estudo da continuidade é conveniente a introdução de limite lateral, isto é, um
limite de )(xf quando x tende a um ponto 0x , através de valores em um único lado de 0x .
O gráfico da Figura 20 mostra claramente que 1)( →xf quando 3→x para valores
menores que 3 e, 2)( →xf quando 3→x por valores menores que 3.
De um modo geral, fixado 0x sobre a reta real x pode se aproximar de 0x de duas
maneiras: pela direita ou pela esquerda. Indica-se essas aproximações, respectivamente, por +→ 0xx e −→ 0xx .
Se 1)(lim0
Lxfxx
=+→
e 2)(lim0
Lxfxx
=−→
então os números 1L e 2L denominam-se,
respectivamente, limite à direita de f em 0x e limite à esquerda de f em e são referidos
coletivamente como limites laterais f em 0x .
Se )(lim0
xfxx→
existe, os dois limites laterais )(lim0
xfxx +→
e )(lim0
xfxx −→
existem e os três
limites têm o mesmo valor. Consequentemente, se os dois limites laterais existem, porém têm
valores diferentes então )(lim0
xfxx→
não pode existir.
Pode-se mostrar que o limite lateral satisfaz leis básicas similares às enunciadas em
2.2 para limites.
Por exemplo, se que existem Lxfxx
=+→
)(lim0
e Mxgxx
=+→
)(lim0
, então:
)]()([lim0
xgxfxx
±+→
= )(lim0
xfxx +→
± )(lim0
xgxx +→
= ML ±
e, assim por diante.
Exemplos
1. Investigue os limites laterais da função xxxf ||)( = quando 0→x . Existe
)(lim0
xfx→
?
A Figura 21 ajuda bastante nessa investigação. Observa-se que quando x se aproxima
de zero pela direita, f(x) se aproxima de 1 e, quando x se aproxima de zero pela esquerda, f(x)
se aproxima de –1.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
35
Figura 21 – Função com limites laterais diferentes e, portanto, sem limite em x = 0
Vê-se pois que os limites laterais existem:
)(lim0
xfx +→
= 1, )(lim0
xfx −→
= –1
Entretanto, esses limites laterais não coincidem, portanto não existe )(lim0
xfx→
.
2. Considere a função ⎩⎨⎧
>−≤
=1,31,2
)(2
xxxx
xf . Analise a continuidade da função no
ponto x = 1.
Solução
A Figura 22 mostra o gráfico de f(x).
Figura 22. Função contínua no ponto x = 1
Tem-se:
)(lim1
xfx +→
= 2 = )(lim1
xfx −→
Como os dois limites laterais existem e possuem o mesmo valor 2, segue que
)(lim1
xfx→
= 2. Ainda, visto que 21.2)1( 2 ==f então f está definida em x = 1. Desde que:
)(lim1
xfx→
= 2 = )1(f
conclui-se que f é contínua em x = 1.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
36
2.5 Funções elementares contínuas
A partir das leis básicas dos limites enunciadas em 2.2 justifica-se que as funções
polinomiais e as funções racionais são contínuas. A partir da lei da potenciação justifica-se a
continuidade da função n xxf =)( , x >0 .
A continuidade das funções seguintes, dadas como informação, são fáceis de serem
aceitas em virtude de suas representações gráficas não apresentarem interrupções:
• Função modular ||)( xxf = ;
• Funções trigonométricas;
• Funções trigonométricas inversas;
• Funções logarítmicas;
• Funções exponenciais.
2.6 Leis de básicas das funções contínuas
Seja Rc∈ uma constante, f e g funções contínuas com domínio comum D e Dx ∈0 .
Então:
a) gf ± , gf . são contínuas em 0x ;
b) Se 0)( 0 ≠xg então gf é contínua em 0x ;
c) A composta fog é contínua em 0x .
Exemplos
1. Em cada caso, f é contínua em seu domínio pelo motivo justificado.
a) 0|,|ln5||)( >+= xxxxf ( f é soma de funções contínuas)
b) xsenxxxf .)275()( 23 +−= (f é produto de funções contínuas)
c) Zkkxxsenxxxf ∈≠== ,,coscot)( π (f é quociente de funções contínuas)
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
37
2. As seguintes funções são contínuas por serem compostas de funções contínuas.
a) )1(ln)( 2 += xxf
f = hog ; xxg ln)( = , x > 0; 1)( 2 += xxh
b) )32()( 23 −+= xxsenxf
f = hog ; xsenxg =)( ; 32)( 23 −+= xxxh
2.7 Propriedade do Valor Intermediário
Funções contínuas em intervalos fechados apresentam propriedades de muita utilidade
em Matemática e suas aplicações. Uma delas é a Propriedade do Valor Intermediário que
assegura: se uma função contínua assume dois valores também assume todos os valores
intermediários.
Para enunciar formalmente essa propriedade necessita-se da seguinte definição.
2.7.1 Definição (Continuidade num intervalo fechado)
Um função f definida em um intervalo fechado [a, b] se diz contínua em [a, b] se é
contínua em ]a, b[ e, além disso:
)()(lim afxfax
=+→
e )()(lim bfxfbx
=−→
2.7.2 Teorema do Valor Intermediário (TVI)
Se )(xfy = é contínua em [a, b] e z está entre )(af e )(bf então existe c∈[a, b] tal
que )(cfz = .
Uma prova deste teorema encontra-se no Apêndice B de (ROGAWSKI, 2008).
Exemplo
1. O polinômio 3)( 3 −+= xxxf tem valor – 1 para x = 1 e tem valor 7 para x = 2 .
Como f é contínua segue do TVI que 0)( =xf para algum x entre 1 e 2, isto é, a equação
033 =−+ xx possui pelo menos uma solução entre 1 e 2.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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38
2.8 Exercícios propostos
1. 12lim5→x
é igual a 5 ou 12?
2. Determine:
a) )83(lim5
+→
xx
b) )10(lim2
+−→
yyy
c) 1123lim
2 +−
→ xx
x d)
xxx
x 2lim 31 +−→
3. Suponha que .3)(lim5
=→
xfx
Calcule:
a) 2
5)(lim xf
x→ b) )(lim
5xfx
x→ c)
)(1lim
5 xfx→
4. Suponha que 5)(lim2
=→
xfx
e 3)(lim2
−=→
xgx
. Calcule:
a) )()(lim2
xgxfx→
b) 32
)(limx
xgx→
c) )](7)(4[lim2
xgxfx
−→
5. Calcule os limites:
a) 12
34lim 2
2
3 −++−
→ xxxx
x b)
525lim
2
5 −−
→ xx
x c)
93lim 23 −
+−→ x
xx
d) 24lim
2
2 −−
→ xx
x e)
112lim
2
1 −+−
→ xxx
x f)
4127lim
2
4 −+−
→ xxx
x
6. Considere a função x
xsenxh =)( .
a) Faça uma tabela de valores de h quando x se aproxima de 0, em ordem
decrescente;
b) Estime o valor de )(lim0
xhx→
;
c) Fundamente a conclusão do item (b)construindo um gráfico de h próximo de.
0=x
7. Calcule x
xx
22lim0
−+→
.
Solução
Não se pode substituir 0=x e o numerador não apresenta fatores comuns evidentes.
Uma dica para resolver o limite é multiplicar tanto o numerador, quanto o denominador, pela
expressão conjugada 22 ++x obtida pela mudança de sinal entre as raízes quadradas:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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39
x
x 22 −+ = x
x 22 −+ . 2222
++++
xx =
)22(22++−+
xxx
= )22( ++xx
x = 22
1++x
Então:
x
xx
22lim0
−+→
= 22
1lim0 ++→ xx
= 220
1lim0 ++→x
= 22
1
8. Calcule os limites:
a) 33
lim0 −+→ x
xx
b) 34
5lim5 −+
−→ x
xx
c) 42lim
4 −−
→ xx
x
9. Em vista de sua ligação com retas tangentes e taxas de variação instantânea os limites da
forma:
h
xfhxfh
)()(lim0
−+→
são de suma importância, principalmente no estudo de derivada.
Calcule os limites a seguir para 0x e f dados:
i) 1;52)( 0 =+= xxxf
ii) 3;1)( 0 −== xx
xf
iii) 7;)( 0 == xxxf
10. Esboce o gráfico da função ⎩⎨⎧
≥<−
=1,
1,4)(
xxxx
xf .
a) Determine )(lim1
xfx +→
e )(lim1
xfx −→
;
b) Existe )(lim1
xfx→
? Justifique.
c) Determine )(lim2
xfx +→
e )(lim2
xfx −→
;
d) Existe )(lim2
xfx→
? Qual é esse valor?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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40
11. Verifique se a funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:
a) ⎩⎨⎧
>−≤+
=1,141,12
)(xxxx
xf ; 1=x
b) ⎩⎨⎧
=≠−
=2,7
2,1)(
2
xxx
xf ; 2=x
c) 39)(
2
−−
=x
xxf ; 3=x
12. Determine a para que a função ⎩⎨⎧
=≠−
=3,
3,12)(
xaxx
xf seja contínua para 3=x .
13. Justifique por que f é contínua nos casos:
a) xxxf ln32)( ++= b) xxsenxf cos)( = c) 1
)( 2 +=
xexf
x
14. Usando o resultado 1lim0
=→ x
xsenx
encontre:
a) x
xsenx
)(lim0
−→
b) x
pxsenx 0lim→
c) x
xsenxx
43lim0
−→
d) qxsenpxsen
x 0lim→
15. Seja )(xp o preço para postar uma encomenda pesando x quilogramas. Custa 10 reais por
1 kg ou menos, 12 reais para pesos entre 1 kg e 1,5 kg, inclusive para o último, 14 reais
para pesos entre 1,5 kg e 2kg, inclusive o último, e assim por diante.
a) Esboce o gráfico da função )(xp para ;30 << x
b) )(xp é uma função contínua? Justifique a sua resposta.
16. Um determinado país permite uma importação individual limitada a 600 dólares. O valor
)(xfy = do frete a ser pago, em função do valor x em dólares da importação é dada pela
tabela:
a) Represente graficamente a função )(xfy = ;
b) Especifique os pontos de descontinuidade no intervalo ]0, 500[.
x 600 ≤< x 12060 ≤< x 240120 ≤< x 500240 ≤< x f(x) 12 18 25 35
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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41
17. Considere um corpo que se movimenta numa trajetória com lei de movimento ).(tfs = A
velocidade instantânea v, no instante t é obtida por:
v = h
tfhtfh
)()(lim0
−+→
Uma pedra em queda livre a partir do repouso próximo à superfície da Terra cai
s = 4,9 2t metros em t segundos. Encontre a velocidade instantânea da pedra no instante t = 2.
18. Um foguete é lançado ao espaço e t segundos após decolar a sua altura é 3 2t pés. Qual é a
velocidade de ascensão do foguete 10 segundos após a decolagem?
19. Seja )(xC a função custo de produção de x unidades de um produto. Chama-se custo
marginal para a quantidade x = 0x o limite mC = h
xChxCh
)()(lim 00
0
−+→
.
Dada a função custo )(xC = 1000050 +x obtenha o custo marginal para x = 100.
20. Mostre que a equação 5,0=xsen possui pelo menos uma solução no intervalo [0, 2π ].
21. Teorema do Confronto Se )()()( xhxfxg ≤≤ para todo x em um intervalo aberto contendo 0x , exceto possivelmente em 0x , e se:
)(lim0
xgxx→
= )(lim0
xhxx→
= L
então )(lim0
xfxx→
= L.
Como exemplo, mostra-se que x
senxx
1lim0→
= 0 utilizando o Teorema do Confronto.
Observe que não se obtém o limite por substituição de x por 0, nem por manipulações
algébricas. Como todos os valores da função seno encontram-se entre -1 e 1 então 11≤
xsen
e, daí, para todo 0≠x :
||1||1 xx
senxx
senx ≤= ⇒ – || x ≤ ||1 xx
senx ≤
Desde que 0|| →x quando 0→x segue do Teorema do Confronto que:
x
senxx
1lim0→
= 0.
22. Usando o Teorema do Confronto calcule os seguintes limites:
a) x
xx
1coslim0→
b) xxx
7coslim 2
0→
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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42
2.9 Respostas dos exercícios propostos
1. 12 2. a) 23 b) -16 c) -2 d) 31 3. a) 6 b) 15 c)
31
4. a) -15 b) -125
3 c) 41 5. a) 72 b) 10 c)
61
− d) 4 e) 0 f) 1
6. a) b) 1 c)
8. a) 32 b) 6 c) 4 9. a) 2 b) 91
− c) 72
1
10. a) 1, 3 b) não existe c) 2, 2 d) 2
11. a) Sim; pois 3)1()(lim1
==→
fxfx
b) Não; pois 7)2(3)(lim2
=≠=→
fxfx
c) Não; a função não está definida para x = 3.
12. a = 5 13. a) soma de funções contínuas b) produto de funções contínuas
c) quociente de funções contínuas 14. a) -1 b) p c) -1 d) qp
15. a) b) Não; não existe )(lim xpax→
, para a = 1, 1,5, 2, 2,5 e 3
16. a) b) 60, 120, 240
17. 19,6 m/s 18. 60 pés/s 19. 50
20. f(x) = sen x é contínua no intervalo [0, ]2π e z = 0,5 está entre 0 e
2π = 1,57.... Daí, pelo
TVI existe c ∈[0, ]2π tal que sen c = 0,5. 22. a) 0 b) 0
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1
h(x) 0,993 0,973 0,941 0,897 0,841
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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43
Capítulo 3
Derivadas
Seja Q a quantidade vendida de um produto em função do tempo, isto é, Q = f(t). A
taxa de variação média dessa função representa uma medida de rapidez com que ela varia, em
média, entre dois valores t1 e t2, considerada da mesma forma que a velocidade média de um
carro mede a rapidez média com que ele se move entre dois instantes fixados.
Em muitos problemas deseja-se obter a rapidez com que a quantidade vendida varia,
em um dado instante t1, que corresponde ao conceito de velocidade de um carro em um
instante fixado.
Para se resolver problemas como este, é necessário o conceito de derivada, que será
desenvolvido neste capítulo.
3.1 Taxa de variação média
Uma partícula se movimenta de acordo com a equação horária s = f(t) = –50 + 4t,
com a posição média em metros e o tempo em segundos, no intervalo de tempo de t1 até t2, t1
< t2. O aumento de deslocamento é:
s∆ = f(t2) – f(t1)
Para se ter o aumento por unidade de tempo, divide-se por t∆ = t2 – t1:
12
12 )()(tt
tftfts
−−
=∆∆
Este quociente é chamado taxa de variação média de f(t) entre t1 e t2, ou velocidade
média no intervalo entre t1 e t2.
A idéia de taxa de variação média da distância em relação ao tempo pode ser
generalizada e, assim, aplicada para quaisquer variáveis de qualquer espécie.
Considere o seguinte problema:
Um cubo de metal com aresta x, medida em centímetros, é expandido uniformemente
como conseqüência de ter sido aquecido.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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44
Sendo V o volume do cubo então V = f(x) = x3. Com x aumentando, V também
aumenta e pode-se perguntar: como muda V em relação a uma variação de x? Para se
responder essa pergunta, considere duas medidas x1 e x2 da aresta com x1 < x2 . Então, ∆ x =
x2 – x1 é o aumento de x e ∆V = f(x2) – f(x1) é o aumento correspondente de V. A relação:
12
12 )()(xx
xfxfxV
−−
=∆∆
é o aumento do volume por unidade de aumento da aresta.
Diz-se que xV∆∆ é a taxa de variação de V quando x aumenta de x1 até x2. Por
exemplo, se x1 = 2 e x2 = 4, então ∆ x = 4 – 2 = 2 cm e ∆V = 43 – 23 = 64 – 8 = 56 cm3.
Logo:
xV∆∆ =
256 = 28 cm3/cm
Isso quer dizer que, em média, o volume cresceu 28 cm3 para cada cm de aumento da
aresta.
De um modo geral, seja y = f(x) qualquer função e sejam x1, x ∈ D(f) com x1 ≠ x. A
variação de y no intervalo entre x1 e x é ∆ y = f(x1) – f(x). Seja ∆ x = x1 – x. Então a razão :
1
1 )()(xx
xfxfxy
−−
=∆∆
é chamada taxa de variação média de f(x) entre x1 e x e representa a variação média
(aumento ou diminuição) no valor de f(x) por unidade que se acrescenta a x, entre x1 e x.
Do ponto de vista geométrico a razão xy
∆∆ é dada por
xy
∆∆ = tg 1α onde 1α é o
ângulo que a reta secante ao gráfico de y = f(x) pelos pontos (x1, f(x1)) e (x, f(x)) forma com
o eixo x, medido no sentido anti-horário. O valor tgα é chamado declividade ou coeficiente
angular da reta.
Figura 23. O coeficiente angular de uma reta
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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45
3.2 Taxa de variação instantânea ou derivada
Em muitos problemas, não é satisfatório considerar a média de uma taxa de variação,
mas sim uma taxa de variação instantânea, ou seja, a rapidez com que y = f(x) varia em um
dado ponto x1.
Considere a função f(x) = 5 x2. A taxa de variação média entre x1 e x, x1≠ x é:
1
1 )()(xx
xfxfxy
−−
=∆∆ =
1
21
2 55xx
xx−− =
1
21
2 )(5xxxx
−− =
1
11 ))((5xx
xxxx−
+− = )(5 1xx +
Figura 24. Taxa de variação média de uma função
Conforme foi visto acima: xy
∆∆ = tg 1α
Como se quer caracterizar a rapidez com que f(x) varia no ponto x, fixa-se o valor de
x1 e calcula-se a taxa de variação média entre x1 e x, para valores de x cada vez mais
próximos de x1 e distintos de x1.
À medida que x se aproxima de x1, o ponto variável Q(x, f(x) ) se aproxima do
ponto P = (x1, f(x1)). Quando isso acontece, a reta secante por P e Q muda de direção e se
aproxima de uma reta especial que passa pelo ponto P e é chamada de reta tangente ao
gráfico de y = f(x) neste ponto. É geometricamente intuitivo também que a declividade
m1= tgα 1 da reta secante se aproxima da declividade m = tgα da reta tangente.
Figura 25. Reta tangente ao gráfico de uma função
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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46
Em outras palavras:
m1 = α→
tgxx 1
lim
Visto que m1 = tgα 1 = 1
1 )()(xx
xfxf−− então tgα 1 =
1
1 )()(lim1 xx
xfxfxx −
−→
.
É também conveniente escrever x como x = x1 + h, h≠ 0. Dessa maneira, se x1 +
h → x1, então h → 0. Daí, pode-se reescrever a expressão acima como:
tgα 1 = h
xfhxf )()( 11 −+
Em muitas aplicações, a razão xy
∆∆ e seu limite não são interpretados como
coeficiente angular de uma reta tangente e sim como taxa de variação. Daí define-se :
Seja y = f(x) uma função e seja x1 ∈ D(f). Admita que exista:
0lim→h h
xfhxf )()( 11 −+
Então este valor é chamado taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de
variação, ou ainda, derivada de f(x) em x1 e é denotado por f ′ (x1) Assim:
f ′ (x1) = 0
lim→h h
xfhxf )()( 11 −+
As notações y′ (x1) ou )( 1xdxdy também são usadas.
Exemplos
1) a) Calcular a derivada da função f(x) = x2 no ponto x = x1 real.
b) Obter f ′ (2) e f ′ (–3)
a) h
xhxh
xfhxf 21
2111 )()()( −+
=−+ =
hxhhxx 2
12
121 2 −++ =
hhxh )2( 1 + = 2x1 + h
Então:
f ′ (x1) = 0
lim→h h
xfhxf )()( 11 −+ = 2x1
b) Para se obter f ′ (2) e f ′ (–3) é só substituir os valores 2 e 3 por x1 na última
expressão. Assim, f ′ (2) = 4 e f ′ (–3) = –6.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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47
2) Em um lago, a pressão p varia com a profundidade x de acordo com a
fórmula p = f(x) = 0,1 x + 1, p em atmosferas e x em metros. Qual é a taxa de variação da
pressão em relação à profundidade quando x = 2 ?
Solução A taxa de variação é a derivada f’ (2). Assim:
hfhf )2()2( −+ =
hh 2,11)2(1,0 −++ =
hh 2,11,02,1 −+ =
hh1,0 = 0,1
ou seja, f ′ (2) = 0,1.
Isso significa que o valor de p aumenta de 0,1 unidade a cada unidade de x, isto é, a
pressão aumenta de 0,1 a cada metro de profundidade.
A taxa de variação é, pois, 0,1 atmosfera/m.
3) Obter a derivada da função y = f(x) = |x| no ponto x = 0.
Solução
hfhf )0)0( −+ =
hhf )( =
hh ||
• para h > 0 tem-se 0
lim→h h
h || = 0
lim→h h
h = 1
• para h < 0 tem-se 0
lim→h h
h || = 0
lim→h h
h− = –1.
Isso quer dizer que, quando x se aproxima de 0 pelo lado direito, encontra-se a reta
tangente t1 de coeficiente angular 1 e, quando x se aproxima de 0 do lado esquerdo, encontra-
se a reta tangente t2 de coeficiente angular –1. Assim, tem-se duas posições limite para a reta
tangente no ponto x = 0. Nesse caso, diz-se que não existe a reta tangente e,
conseqüentemente, não existe a derivada da função y = | x | no ponto x = 0
Figura 26 . A função y = |x| não é derivável em x = 0 onde o gráfico tem um bico Observe que o gráfico da função forma um bico no ponto de abscissa x = 0. Em
geral, funções com esta característica em algum ponto não possuem derivada nesse ponto.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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48
3.3. Função derivada No caso da função f(x) = x2, foi visto que para cada x1 real, f ′ (x1) = 2 x1, isto é, a
derivada depende do valor de x1.
Para cada x número real arbitrário, pode-se considerar a função real f ′ definida por
f ′ (x) = 2x.
De um modo geral, se y = f(x) tem derivada em todos os pontos de um subconjunto
A⊂ D(f), pode-se definir uma função, chamada função derivada de f e indicada por 'f , do
seguinte modo:
'f : A → R
x → f ′ (x) = 0
lim→h h
xfhxf )()( −+
Se y = f(x) tem derivada em cada ponto de seu domínio D(f), então f ′ (x) é uma
função de x de mesmo domínio D(f).
Exemplo
Uma população constituída de 25000 indivíduos cresce de acordo com a
fórmula N(t) = 25000 + 45t2, onde o tempo é medido em dias. Encontrar a taxa de
crescimento da população em qualquer instante t.
Solução Deve-se obter a função derivada N ′ (t). Tem-se então:
htNhtN )()( −+ =
htht )4525000(])(4525000[ 22 +−++ = 90t + 45h
Daí, N ′ (t) = 90t e, por conseguinte, a taxa de crescimento da população num
instante arbitrário t é 90t indivíduos por dia.
3.4. Regras de derivação Nos exemplos acima, foram calculadas derivadas usando a definição. Viu-se, por
exemplo, que, se y = x2, então y′ = 2x.
De uma maneira geral, usando a definição de derivada e o desenvolvimento de (a +
b)n, chamado binômio de Newton, pode-se mostrar que:
( )'nx = n xn-1 se n ∈ N* (derivada da potência)
ou seja, a derivada de xn com relação a x é igual a n vezes a potência (n – 1) de x .
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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49
Com o auxílio de logaritmos, consegue-se mostrar que esta fórmula continua
verdadeira para todos os valores reais de n e todos os valores de x que pertencem ao domínio
de y = xn.
Assim:
( )4x ′ = 4x3 , ( )′7x = 7x6
Ainda:
21 )(1 −− −=′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ xx
x 32
2 2)(1 −− −=′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ xx
x
( ) 21
21
21 −
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′
xxx ( ) 31
32
3 2
32 −
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
′xxx
Se y = f(x) = ax + b é uma função polinomial de 1º grau, então a sua derivada é o
seu coeficiente angular, ou seja:
y = f(x) = ax + b ⇒ )(xfy ′=′ = a (derivada da função polinomial de 1º grau)
De fato,
y′ = f ’ (x) = 0
lim→h h
xfhxf )()( −+ = 0
lim→h h
baxbhxa )()( +−++ = 0
lim→h a
ah = a
Em particular, se f(x) é uma função constante, então a sua derivada é nula, isto é:
y = f(x) = b , b constante ⇒ )(xfy ′=′ = 0 ( derivada da função constante)
Além das regras acima, pode-se estabelecer outras que permitem calcular as
derivadas de funções de forma automática sem recorrer diretamente à definição. Suas
demonstrações são feitas utilizando a definição de derivada e as técnicas de limites e são, em
sua maioria, omitidas aqui.
Sejam as funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, onde x é medido em radianos. Então:
(sen x)´ = cos x (cos x)´ = – sen x (funções trigonométricas)
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
50
Para a função exponencial e logarítmica, tem-se:
(ex)´ = ex (ax)´ = ax ln a, a > 0 (exponencial)
(ln x)´ = x1 (loga x)´ =
x1 loga e, a > 0, a ≠ 1 (logarítmo)
Admita que as derivadas das funções y = g(x) e y = h(x) sejam conhecidas. Então, a
função y = g(x) + h(x), isto é, a soma de g(x) e h(x) tem derivada:
( )′+ )()( xhxg = (́ ) (́ )g x h x+ ( regra da soma)
Exemplos
1) Se y = sen x – cos x + ex, então y′ = cos x + sen x + ex
2) Se y = 5 x – x3 + ln x, então y′ = 51 x 5
4−
– 3x2 + x1
Para se derivar a função y = x3sen x, tem-se que aplicar a regra para derivar o produto
y = g(x) . h(x) de duas funções y = g(x) e y = h(x), isto é:
( )( ) . ( ) '( ) ( ) ( ) ( )g x h x g x h x g x h x′ ′= + (regra do produto)
Exemplos
1) Obter a derivada da função y = x3 sen x.
y′ = (x3)´ sen x + x3 (sen x)’ = 3x2 sen x + x3 cos x
2) Suponha que os lados u e v de um retângulo variem independentemente com o
tempo, ou seja, u = g(t) e v = h(t), onde u e v são medidos em metros e t em
segundos. Assim, a sua área é uma função do tempo dada por f(t) = g(t) . h(t).
Suponha que num certo instante u = 30 e esteja crescendo à razão de 3 metros
por segundo e, v = 20 e esteja decrescendo à taxa de 4 metros por segundo.
Nesse instante qual é a taxa de variação da área ?
Solução Deve-se obter f ′ (t), ou seja:
f ′ (t) = g′ (t) h(t) + g(t) h′ (t) = 3 . 20 + 30 . (–4) = 60 – 120 = –60
Portanto, a área decresce à razão de 60 m2/s.
Como caso particular da regra do produto, tem-se:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
51
( )′)(xfc = c f ′ (x) , c ∈ R (produto de uma constante por uma função)
De fato, ( )′)(xfc = c′ f(x) + c f ′ (x) = 0 . f(x) + c f ′ (x) = c f ′ (x)
Exemplo
1) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Achar a taxa na qual a área
A da superfície da mancha varia em relação ao raio r, quando r = 150m.
Solução A área é uma função de seu raio dada por A = A(r) = π r2. Quer-se achar
A′ (150). Tem-se:
A′ (r) = π (r2)´ = 2 π r, A′ (150) = 2 .π . 150 = 300 π
Logo, para cada aumento de 1m no raio a área aumenta de 300π m3.
2) Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em cinco unidades da posição de
repouso e solto no instante t = 0 para oscilar para cima e para baixo. Sua posição,
num instante t, é dada por s = 5 cos t , onde s é medida em metros. Qual é a sua
velocidade v no instante t = 4π segundos ?
Solução
Tem-se v = s′ (4π ) . Sendo s′ = – 5 sen t, então v = s′ (
4π ) = –
225 .
Portanto, sua velocidade é v = – 2
25 m/s.
Será apresentada a seguir uma regra importante, chamada regra da cadeia. Seja, por
exemplo, a função y = f(x) = 6x – 15 = 3( 2x – 5). Ela pode ser vista como a composta das
funções y = 3u e u = 2x – 5. Tem-se que:
3=dudy , 2=
dxdu , 6=
dxdy
Uma vez que 3. 2 = 6, observa-se que dxdy =
dudy .
dxdu . Isso não é coincidência.
Pensando na derivada como taxa de variação, é razoável esperar que y = f(u) muda três
vezes mais rápido que u e u = g(x) muda duas vezes mais rápido que x e, assim, que y
mude seis vezes mais rápido que x.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
52
De um modo geral, tem-se:
Se y = f(u) e u = g(x) e as derivadas dudy e
dxdu existem, então:
dxdy =
dudy .
dxdu ( regra da cadeia)
onde dudy é calculada em u = g(x).
Também, se y = f(u) e u = g(x) e as derivadas dudy e
dxdu então a função composta
definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:
)('))((')(')('' xgxgfugufy ==
Exemplos
1) A temperatura s em graus Fahrenheit de uma lata de soda limonada, que é posta
para esfriar em uma geladeira é dada como função do tempo por s = 40 + 30 e-2t,
onde t é medido em horas. Achar a taxa a qual está variando a temperatura da
soda limonada no instante t = 3 horas.
Solução Tem-se que s é uma função composta:
s = 40 + 30 eu, u = –2t
Então:
dtds =
duds .
dtdu = 30 eu . (–2) = – 60e-2t ⇒
dtds (3) = –0,149
ou seja, a taxa de variação da soda limonada é –0,1490 F /h.
2) Dada y = f(x) = 24 +x , obter y′ .
Solução
Tem-se que y = f(x) é a composta das funções y = u 21
e u = 4x + 2.
Assim:
y′ = dudy .
dxdu =
21 u 2
1−
. 4 = u
2 , isto é, y′ = 24
2+x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
53
Uma aplicação importante da regra da cadeia é a derivação de y = )(
1xg
. Ela pode
ser vista como uma função composta das funções y = u1 = u-1 e u = g(x). Daí:
dxdy =
dudy .
dxdu = –1 . u-2 . g′ (x) = – 2
1u
. g′ (x) = – 2)(1xg
. g′ (x)
Portanto:
′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
1xg
= – 2)(1xg
. g´ (x) (regra da função recíproca)
Combinando esta fórmula com a regra do produto, pode-se obter a regra do
quociente:
′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)()(
xgxf = 2)(
)().()().(xg
xgxfxgxf ′+′ ( regra do quociente)
De fato:
′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)()(
xgxf =
′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
1.)(xg
xf = f ′ (x) . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
1xg
+ ( )f x .′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
1xg
= f ′ (x) . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛)(
1xg
– 2)(1xg
. g′ (x) . ( )f x = 2
( ) ( ) ( )( ) ( )
f x g x f xg x g x′ ′
−
= 2)()().()().(
xgxgxfxgxf ′−′
Exemplos
1) Obter a derivada de y = tg x.
(tg x) ´ = ′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xx
cossen = 2
cos .cos sen .( )cos
x x x senxx
− − = 2 2
2
coscosx sen x
x+ =
x2cos1
isto é, (tg x)´ = x2cos
1 .
2) Uma curva de concentração de droga é dada por C = f(t) = tet
04,0
20 com C em
mg/ml e t em minutos. Obter f ′ (30).
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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54
Solução Deve-se calcular f ′ (30) . Tem-se:
f ′ (30) = 204,0
04,004,0
)(.)04,0(.20.20
t
tt
eete − = 204,0
04,0
)()04,01(.20
t
t
ete − = te
t04,0
)04,01(20 −
Portanto, f ′ (30) = –1,2 mg/ml/min.
Finalmente, será determinada a derivada de uma função inversa. Facilmente se
constata que a inversa da função f(x) = 21 x + 1 é a função 1−f (x) = 2x – 2. Calculando as
suas derivadas, tem-se :
f ′ (x) = 21 e ( )′−1f (x) = 2
ou seja, são recíprocas entre si.
Este fato pode ser demonstrado de um modo geral, isto é:
( )′−1f (x) = )(
1xf ′
O resultado fica fácil de ser memorizado mudando-se a notação:
dxdydy
dx 1= ( derivada da função inversa)
Exemplo
Dada y = f(x) = 7x – 5 obter dydx .
Solução dxdy = 7. Daí
dydx =
71 .
Para as funções trigonométricas inversas demonstra-se as seguintes regras:
1) arcsenxy = ⇒ 21
1'x
y−
= , 1|| <x
2) xy arccos= ⇒ 21
1'x
y−
−= , 1|| <x
3) arctgxy = ⇒ 211'x
y+
= , Rx∈
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
55
Exemplo
Se 3xarctgy = encontre y’.
)()(1
1' 323 x
dxd
xy ⋅
+= = 6
2
13
xx+
3.5 Derivadas de ordem superior
A derivada f ′ de uma função também é uma função e, como tal, a derivada de f ′
pode ser considerada. Assim, a função f ′ tem uma derivada em x ∈ D( f ′ ) se existe:
0lim→h
h
xfhxf )()( '' −+
Em outras palavras, é a derivada da derivada primeira. A nova função obtida dessa
maneira é chamada derivada segunda da função y = f(x). Procedendo de modo análogo, pode-
se considerar a derivada terceira, quarta, etc. Notações para essas derivadas no ponto x são :
y′′ (x), y′′′ x), y )4( (x), ... , y )(n (x) ou f ′′ (x), f ′′′ (x), f )4( (x), ..., f )(n x)
Exemplos
1) Determinar a derivada de ordem três da função y = f(x) = x23 . Qual é o seu
domínio?
Solução
y′ = 31
32 −
x
y′′ = (–31 ) (
32 ) 3
4−
x = (92− ) 3
4−
x
y′′′ = ( 34− ) (
92− ) 3
7−
x = 278 3
7−
x
As funções y′ , y′′ e y′′′ têm como domínio o conjunto de todos os números
reais exceto x = 0. O domínio da função y = f(x) = x23 é R.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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56
2) Uma certa espécie de tartaruga está ameaçada de extinção em virtude de
comerciantes estarem vendendo seus ovos como afrodisíaco. Após serem
tomadas várias medidas de preservação espera-se que a população de tartarugas
aumente de acordo com a regra N(t) = 2t3 + 3t2 – 4t + 1000, 0 ≤ t ≤ 10,
onde N(t) representa o tamanho da população ao final do ano t. A que razão
estará aumentando a taxa de crescimento da população de tartarugas ao final do
terceiro ano?
Solução Deve-se calcular N ′′ (3). Tem-se:
N ′ (t) = 6t2 + 6t – 4, N ′′ (t) = 12t + 6, N ′′ (3) = 42
Logo, a taxa de crescimento da população de tartarugas estará aumentando à razão de
42 tartarugas/ano/ano.
3.6 Exercícios propostos
1. A massa M do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t conforme a
expressão M = 30 – 4t, M em quilogramas e t em horas. Qual é a taxa de variação da massa
em relação ao tempo?
2. O volume de um cone circular reto de raio da base 0,6m depende da altura h.
a) Determinar V em função de h.
b) Determinar a taxa de variação de V em relação a h.
3. Uma caixa de água recebe água à razão de 12 l/min e, ao mesmo tempo há um escoamento
de água à razão constante de 5 l/min. Num dado instante, o volume de água contido na
caixa é 300 l.
a) Qual é o volume de água na caixa t minutos após esse instante?
b) Em quantos litros por minuto está aumentando o volume da caixa?
4. Dada a função y = 3x2 , calcular a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 1 e x2 = 3.
5. Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em metros a distância D, que varia
com o tempo, em segundos, conforme a fórmula D = 6t2.
a) Qual é a taxa de variação média de D entre os instantes t1 = 2 e t2 = 7?
b) Qual é a taxa de variação de D em relação a t no instante t = 2?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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57
6. Dada a função f(x) = 31 x3 –
25 x2 + 6x + 8.
a) Calcular f ′ (x)
b) Determinar o valor de x para que se tenha f ′ (x) = 0.
7. Um móvel se desloca obedecendo a função horária s = 4t2 + 12t + 25, onde s é dado em
quilômetros e t em horas. Determinar a sua velocidade no instante t = 4.
8. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que havia bactérias crescendo, a
população de bactérias continuou a crescer, mas em seguida, começou a decrescer. O
tamanho da população no instante t, em horas, era dado por P = 105 + 103t – 102t2.
Determinar a taxa de decrescimento da população nos instantes:
a) t = 0 b) t = 4 c) t = 10
9. O volume V = 34π r3 de um balão de forma esférica varia de acordo com o seu raio,
medido em centímetros. Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando
r = 40 cm? 10. O numero de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é
dado por q(t) = 30( 40 – t )2. A que taxa a água escoará ao final de 15 minutos? 11. A lei de Boyle diz que, a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V de um gás
confinado varia segundo a fórmula P = VC , onde C é uma constante. Se, para um
determinado gás, C = 180 e o volume V está aumentando, determinar a taxa de variação
de P em relação a V para um volume V = 15.
12. A lei de Charles para os gases afirma que, a uma pressão constante, o volume V ocupado
por um gás a uma temperatura T, em graus Celsius, é dado pela fórmula V = C ( 1 +
2731 T), C constante. Determinar a taxa de variação de T em relação a V.
13. O volume V de água em um reservatório durante o degelo da primavera é dado pela
fórmula V = 5000( 1 + t)2, onde 0 ≤ t ≤ 3, V medido em m3 e t em meses. A taxa de
variação do volume em relação a t é chamada taxa de fluxo para o reservatório.
a) Obter a taxa de fluxo no instante t = 1,5.
b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250m ?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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58
14. Um determinado tipo de peixe tem seu peso W relacionado com o seu comprimento
através da fórmula W = 10,375 L3, em que W é medido em quilogramas e L em metros.
A taxa de crescimento do comprimento é dtdL = 0,36 – 0,18 L, onde o tempo é medido
em anos. Estimar a taxa de crescimento de um peixe que pesa 20 kg.
15. Quando um prato de metal, de forma circular, é aquecido em um forno, seu raio aumenta a
uma taxa de 0,0125cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio é de
40cm?
16. Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão e o
volume estarão relacionados pela fórmula:
P = 2
2
Vbk
kaVkRT
−−
onde k, a, b e R são constantes. Obter dVdP .
17. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta é dada por s = t41+ ,
com s em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no
instante t = 6 segundos.
18. Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então sua
intensidade I(x) à profundidade de x metros é I(x) = k e-1,4x . A que taxa de intensidade
está variando em relação à profundidade a 3 metros?
19. Um objeto move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 34 2 +t , t ≥ 0. Para
que valores de t sua velocidade é 1m/s?
20. Uma proteína de massa m se decompõe em aminoácidos segundo a fórmula m(t) =
324+t
, onde t é medido em horas.
a) Determinar a taxa de variação média no intervalo [1, 2].
b) Qual é a taxa de variação no instante t = 3 ?
21. Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante K, a
temperatura T do corpo decresce segundo a lei T = K + C e-at, onde K, C e a são
constantes positivas e t o tempo. Obter a taxa de crescimento de T.
22. Partindo de uma quantidade inicial de 60mg, a quantidade de radio existente após t anos é
dada por q = 60 e-0,0004t. A que taxa estará decrescendo o radio daqui a 100 anos?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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59
23. O crescimento do número de bactérias, numa certa cultura, varia com o tempo de
acordo com a lei f(t) = 1500 e0,04t, onde t é medido em horas. A que velocidade está
crescendo o número de bactérias no instante t = 6?
24. Um barco ancorado no mar está indo para cima e para baixo. A distância vertical y, em
pés, entre o fundo do mar e o barco é dada pela função do tempo t, onde t é medido em
minutos, por y = 15 + sen(2π t). Achar a velocidade vertical v do barco no instante t
= 5.
25. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x de modo que, no instante t ≥ 0, a sua posição
é dada por s = sen (t2 + 1), s medido em metros e t em segundos. Determinar a velocidade
da partícula nos instante t = 3s.
26. Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento
limitado de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial N(t) =
te 16,0391400
−+, onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do
experimento. Qual é a velocidade da variação dessa população no vigésimo dia?
27. Derivação implícita Uma equação f(x, y) = 0, em geral, define y implicitamente como
função de x em algum intervalo. Por exemplo, a equação x y = 2, com x ≠ 0, define a
função y = x2 . A derivada dessa função é y′ = 2
2x− . Uma outra maneira de se obter
essa derivada é pensar em y como função de x na equação x y = 2, derivar ambos os
lados da equação com relação a x e resolver a relação obtida, explicitando y′ . Assim:
x y = 2 ⇒ x′ y + x y′ = 2′ ⇒ y + x y′ = 0 ⇒ x y′ = –y ⇒ y′ = xy−
Para conferir esse resultado como obtido pela derivação direta, lembre que y =x2 .
Daí, y′ = 2
2x− .
Como um outro exemplo, encontrar-se-á y′ se xy – 2x – 3y – 2 = 0. Derivando
ambos os membros em relação a x, tem-se y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 . Explicitando o valor de
y′ , vem:
x y′ – 3 y′ = 2 – y ⇒ (x – 3) y′ = 2 – y
isto é, y’ = 3
2−−
xy , x ≠ 3.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
60
28. Calcular y′ se: a) x2 – y2 – x = 1 b) 2x2 + 3x + y2 = 12
29. A área total da superfície de um paralelepípedo retangular com base quadrada de lado
y e altura x é dado por S = 2y2 + 4xy. Se S é constante, calcular dxdy sem explicitar y.
30. A área total de da superfície de um cilindro circular reto de raio r e altura h é dada por
S = 2π r2 + 2π rh. Se S é constante, obter dhdr .
31. No decorrer de uma experiência em um laboratório, derrama-se um líquido sobre uma
lâmina que toma a forma circular cujo raio r aumenta a uma taxa constante de 1,6 m/s.
Qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido quando r = 4m ?
32. O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200 cm3/min no instante em que suas
arestas têm 20cm de comprimento. A que taxa as arestas variam nesse momento?
33. A área de um triângulo eqüilátero decresce à razão de 4 cm2/min. Determine a taxa na
qual o comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 200 cm2.
34. Esboçar os gráficos das seguintes funções:
a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 16x2 + 50x + 5 c) y = –x3 + 4x + 6
35. Funções marginais Em Economia e Administração a variação de uma quantidade em
relação a outra pode ser descrita por um conceito médio ou marginal. Se C(x) é a função
custo de produção de x unidades o custo médio mC de produção de uma mercadoria
define-se por xxCCm)(
= . O custo marginal )(xCM é a derivada de C(x), ou seja,
)(xCM = )(' xC . De maneira análoga, se R(x) representa a função receita de vendas de de
x unidades de um produto definem-se xxRRm)(
= (receita média) e )(xRM =
)(' xR (receita marginal).
Considere a função custo total C(x) = x
x 504015 ++ , em reais, na produção de de x
molduras, para 0≥x . Encontre:
a) A função custo marginal;
b) A função custo marginal quando ;50=x
c) O custo para produzir a quadragésima primeira moldura.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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61
Solução
a) )(xCM = )(' xC = 2
5040x
− ;
b) )50(CM = 39,98 reais
c) O valor em reais da produção da .41a moldura é:
=− )40()41( CC 39,97 reais
Observe que as respostas de (b) e (c) diferem de 0,01. Este valor ínfimo ocorre visto
que, sendo )(xCM = )(' xC =h
xChxCh
)()(lim0
−+→
, então )(xCM ≅ h
xChxC )()( −+ para h
pequeno. Desta forma, para h = 1 tem-se )(xCM ≅ ).()1( xCxC −+ Portanto, o custo
marginal é aproximadamente igual à variação do custo ao se produzir uma unidade adicioanal
a partir de x unidades. Daí:
).40()41()40()140()41( CCCCCM −=−+≅
36. O valor em reais do custo total da produção de x unidades de uma certa mercadoria é
xxxC 29340)( ++= . Ache:
a) O custo marginal quando 72 unidades são produzidas;
b) O número de unidades produzidas quando o custo marginal é R$ 5,25.
37. Suponha que um líquido é produzido por um certo processo químico e a função custo, em
reais, de x litros do líquido dada por xxC 46)( += . Determine:
a) o custo marginal quando 18 litros são produzidos;
b) O número de litros produzidos quando o custo marginal é 80 centavos o litro.
38. Dada a função receita xxxR 9902)( 2 +−= obtenha:
a) A receita marginal quando ;50=x
b) A receita média.
39. Obtenha a receita marginal e a receita média:
a) xxR 8)( = b) xxxR 5002)( 2 +−=
40. Regra de L’Hôpital Certos limites cujos valores não são evidentes podem ser obtidos
usando a derivada, de acordo com uma regra especial denominada Regra de L’Hôpital,
que é a seguinte:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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62
Se =→
)(lim0
xfxx
0)(lim0
=→
xgxx
a expressão )()(
xgxf denomina-se forma indeterminada
00 e
se )()(lim
0 xgxf
xx→ existe então:
)()(lim
0 xgxf
xx→ =
)(')('lim
0 xgxf
xx→
Por exemplo, calcule o limite x
e x
x
1lim2
0
−→
.
O limite rtem a forma indeterminada da forma 00 . Assim:
x
e x
x
1lim2
0
−→
= 1
2lim2
0
x
x
e→
= 2.
Calcule os limites:
a) 20
cos1limx
xx
π−→
b) x
xsenx 0lim→
c) x
e x
x
1lim0
−→
d) 2
2
0
1coslimxx
x
−→
e) )1ln(
lim0 +
− −
→ xee xx
x f)
xx
x 2cos1lim
2
0 −→
41. Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) xsenxf 7)( = b) xxxf cos6)( = c) xsenxxxf 2)( −=
d) xsen
xxf−
=1
cos)( e) xxf sec)( = f) xxf seccos)( =
g) xgxf cot)( = h) xtgxxxxf 32 sec4)( −= i) 32)(
−−
=xxxf
j) 27ln5)( +−= xxxf k) xxxf ln)( 2= l) xexf x ln)( =
m) 53
75)(xx
xf −= n) 3 2)( xxf = o) 53
2)( xxxf −=
42. Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) 4)53()( −= xxf b) 32 )23()( +−= xxxf c) 2
)( xexf =
d) )34ln()( 2 +−= xxxf e) 132 2
)( +−= xxexf f) 2
2)( 3 xxexf +=
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
63
g) 374)( 23 +−−= xxxxf h) )4cos()()( 2 xxsenxf = i) xexxf ln)( =
k) 3 942)( +++= xxxf l) )2()( 32 += xsenxxf m) )(ln)( xsenxf =
n) )57(ln)( −= xxf o) ( )43
2 3)( −= xxf p) )3()( xtgxf = 43. Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) )53()( −= xarcsenxf b) )3
arccos()( xxf = c) )1()( 2 −= xarctgxf
44. Dada a função 1)47()( 2
2
++
=xxxf obtenha: a) )0('f ; b) )1('f .
45. Dada a função xxsenxf
2cos3)( = obtenha )
6(' πf .
46. Dada a função 3 25ln)( += xxf obtenha )2('f .
47. Obtenha a derivada terceira das seguintes funções:
a) xsenxf 3)( = b) xx eexf −+=)( c) a) xxsenxf 2cos2)( +=
48. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas.
a) 3)( xxf = , 1−=x b) 3
)( xexf = , 1=x
49. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1543 34 +=−+ xxyy no ponto P(1, –2).
50. Calcule ''y no ponto em que x = 0 e y = 1 dado 1543 34 +=−+ xxyy .
51. Se xxy 45 3 += calcule 'y , ''y e '''y .
3.7 Respostas dos exercícios propostos
1. -4 kg/h 2. a) 0,12π h b) 0,12π m3/m 3. a) V = 300 + 7t b) 7 l/min
4. 12 5. a) 54m/s b) 24m/s 6. a) x2 – 5x + 6 b) x = 2 ou x = 3
7. 44m/s 8. a) 103 bactérias/h b) 2 . 102 bactérias/h c) –103 bactérias/h
9. 6400π cm3/min 10. –1500 galões/min 11. –0,8 12.C
273
13. a) 25000m3/mês b) 15000m3/mês 14. 6,55 m/ano 15. π cm/min
16. 2)( kaVkRT−
− + 3
22Vbk 17. a) v = 0,4m/s b) a = –
1254 m/s2
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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64
18. –0,021k u.i./m 19. 0,5 s 20. a) – 65
u.m./h b) –32 u.m./h
21. –aC e-at 22. –0,023 mg/ano23. 76 bactérias/h 24. 2π pés/min
25. –5,03 m/s 26. 15 diosófilas/dia 28. a) 2 1, 02x y
y−
≠ b) 0,2
34≠
−− yy
x
29. yx
y+− xy −≠ 30.
dhdr =
hrr+−
2 31. 12,8 πm2/s
32. 1 cm/min 33. –0,2149 cm/min 36. a) R$ 3,75 b) 8
37. a) R$ 0,47 b) 6,25 litros 38. a) 790 b) 890
39. a) 8; 8 b) -4x + 500; –2x + 500 40. a) 2
2π b) 1 c) 1 d) 0 e) 2 f) 21
41. a) 7 cos x b) 6 cos x – 6 x sen x c) 1 – 2x sen x – x2 cos x
d) xsen−1
1 e) sec x tg x f) –cossec x cotg x g)–cossec2x
h) 8 sec x – 4 x2 sec x tg x – 3 x2 tg x – x3sec x i) 2)3(1
−−
x j) 75
−x
k) x (2 ln x – 1)
l) ex ln x + x
e x
m) 64
3515xx
+− n)
3
2x
o) 3531
xx− 42. a) 3)53(12 −x
b) )23)(32(3 2 +−− xxx c) 2
2 xex d) 34
)2(22 +−
−xx
x e) 132 2
)34( +−− xxex f) xe x 23 3 +
g) 2ln23 13 2
xe xx ++ i) )4()(4)4(cos)cos(2 22 xsenxsenxxx − j) xex
xxx ln2ln1−
k) 3 2)94(3
422
1+
++ xx
l) )2cos(3)2(2 343 +++ xxxsenxx m) cotg x n) 57
7−x
o) 4 2 34
3−x
p) 3 sec2(3x) 43. a) 24309
32 −+− xx
b) 29
1x−
− c) 22
224 +− xx
x
44. a) 56 b) 233 45. 34 46.
365 47. a) – 27 cos 3x b) ex – e-x
c) – 8 cos 2x + 8 sen 2x 48. a) y = 3x + 2 b) y = 3 e x + e – 3 49. 2917−
50. 343300)1,0('';
)34()512(12)24()34(
33
22223 −=
++−+ y
yxyxy
51. x
xy 215' 2 += ; 3
230''x
xy −= ; 52
330'''x
xy +=
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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65
Capítulo 4
Aplicações das Derivadas
Neste capítulo desenvolvem-se diversas aplicações cujas ferramentas básicas são as
derivadas. Utiliza-se a derivada primeira e segunda para analisar funções e seus gráficos.
Incluem-se também, técnicas para modelagem e resolução de problemas de otimização, ou
seja, problemas nos quais intervém a procura de máximos ou de mínimos. Por exemplo, ao se
aplicar uma droga a um paciente, busca-se maximizar seu potencial de ação e, ao mesmo
tempo, minimizar possíveis efeitos colaterais. Quando uma epidemia está em curso, as
autoridades tratam de otimizar uma estratégia para detê-la o mais rapidamente possível.
4.1 Crescimento e decrescimento
Verifica-se a seguir como o crescimento e o decrescimento de funções se vincula com
o conceito de derivadas.
Dada uma função y = f(x) derivável em um intervalo J = ]a, b[ tem-se:
• Se y = f(x) admite derivada positiva em todos os pontos de J então, nesses pontos,
a declividade é positiva, isto é, f ′ (x) > 0 e, portanto, a função é crescente.
• Se y = f(x) admite derivada negativa em todos os pontos de J então, nesses pontos,
a declividade é negativa, isto é, f ′ (x) < 0 e, portanto, a função é decrescente.
Figura 26. O sinal da derivada primeira de uma função
informa como a curva sobe ou desce
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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66
Exemplos
1) Determinar os intervalos onde f(x) = x2 é crescente e onde é decrescente.
Solução A derivada de f(x) = x2 é f ′ (x) = 2x.
Desde que f ′ (x) = 2x > 0, se x > 0 , e f ′ (x) = 2x < 0, se x < 0, então:
• f é crescente no intervalo ]0, +∞ [
• é decrescente no intervalo ] – ∞ ,0[.
Figura 27. A curva representativa de y = x2 decresce em ] –∞ ,0[
e cresce em ]0, +∞ [
2) O preço de uma certa ação na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido
após a sua compra por um investidor é dado por:
y = p(t) = 1)4(
1602 ++ t
t , 0≥t
(t em anos, p(t) em reais). Determine os intervalos onde o preço da ação está
aumentando e onde está diminuindo.
Solução
Tem-se:
y′ = 4
2
)4()4(2).160()4(160
tttt
++−+ = 4)4(
)4)(4(160t
tt+
−+ = 3)4()4(160
tt
+−
Daí, conclui-se que, no domínio de p(t), isto é, para t ≥ 2:
y′ > 0 se 0 ≤ t < 4 e y′ < 0 se t > 4
Assim, o preço cresce no intervalo [0, 4[ e decresce no intervalo ]4, +∞ [.
4.2 Encontrando extremos relativos Além de ser útil na determinação dos intervalos onde uma função é crescente ou
decrescente, a primeira derivada também é útil na localização de certos pontos do gráfico
onde a função atinge valores mais altos ou mais baixos que os correspondentes de pontos
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
67
localizados em sua proximidade. Os pontos onde localmente a função atinge valores mais
altos, são chamados pontos de máximos relativos e os pontos onde a função atinge valores
mais baixos denominam-se pontos de mínimos relativos.
A figura abaixo mostra alguns pontos com essas propriedades.
Figura 28. Existência de extremos relativos (i) e (ii) e ausência de extremos relativos (iii)
• No caso (i), f(x) atinge um valor máximo em x1 e, assim, x1 é um ponto de
máximo relativo.
• No caso (ii), f(x) atinge um valor mínimo em x2 e, assim, x2 é um ponto de
mínimo relativo.
• No caso (iii), a tangente atravessa o gráfico e o ponto x3 não é nem ponto de
máximo nem de mínimo relativo.
Como primeiro passo na procura de extremos relativos de uma função, considere uma
função y = f(x) derivável em um intervalo ]a, b[ que contém o ponto x = c, no qual f tem um
mínimo relativo.
Figura 29. Retas tangentes mostrando o sinal da derivada nas
proximidades de um ponto de mínimo relativo
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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68
Observe que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f deve mudar de negativa
para positiva quando é passada do lado esquerdo para o lado direito de x = c e, assim, no
ponto x = c, a reta tangente deve ser horizontal e, conseqüentemente, f ′ (c) = 0.
De modo semelhante, se f tem um ponto de máximo em x = c, então f ′ (c) = 0.
Esta análise fornece uma característica importante dos extremos relativos de uma
função derivável.
Em todo ponto x = c em que f tem um extremo relativo, deve-se ter f ′ (c) = 0.
Observe que, se x é um ponto que satisfaz a condição f ′ (c) = 0, não necessariamente
f tem um extremo relativo nesse ponto.
Por exemplo, a função y = x3 tem derivada y′ = 3x2 e f ′ (0) = 0. No entanto, f não
tem extremo relativo em x = 0.
Figura 30. A função y = x3 é derivável quando x = 0 mas não possui
um extremo nesse ponto
Considere a função y = f(x) = |x|. Ela não é derivável no ponto x = 0, porém, a função
possui um mínimo relativo nesse ponto.
Referiu-se a um ponto x ∈ D(f) que possa ser um extremo relativo como um ponto
crítico, isto é:
Um ponto crítico de uma função é qualquer x ∈D(f) tal que f ′ (x) = 0 ou f ′ (x) não
existe.
A Figura 31 apresenta o gráfico de uma função que possui pontos críticos em
x = x1, x2, x3 e x4. Observe que f ′ (x1) = f ′ (x2) = f ′ (x3) = 0 e f ′ (x4) não existe. Além
disso f tem um máximo relativo em x1 e x4 e um mínimo relativo em x3 ; o ponto x2 não dá
origem a extremo relativo.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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69
Figura 31. Algumas possibilidades para pontos críticos de uma função contínua
4.3 Concavidade
O crescimento da bactéria E. Coli em uma cultura pode ser representado pela
equação:
y = f(t) = 100 + 90t – 9t2, 0 ≤ t ≤ 10
t expresso em dias e y = f(t) mede o volume de microorganismos no instante t.
Tem-se f ′ (t) = 90 – 18t. Daí f ′ (t) = 0 se t = 5. O gráfico de f(t) está esboçado a
seguir.
Figura 32. O gráfico da função f(t) = 100 + 90t – 9t2 é côncavo para baixo
Analisando as taxas de variação de f(t) para t nas proximidades de t = 5, desde que a
inclinação da reta tangente ao gráfico mede a taxa de variação neste ponto conclui-se que:
• À esquerda de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de
microorganismos diminui;
• À direita de t = 5, quando t aumenta, a taxa de variação do número de
microorganismos aumenta.
Observe que o gráfico da curva se situa sempre abaixo de suas retas tangentes. Neste
caso, diz-se que ela é côncava para baixo.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
70
No caso em que a curva se situa sempre acima de suas retas tangentes, diz-se que ela
é côncava para cima. Dessa maneira, pode-se caracterizar a concavidade de uma curva do
seguinte modo. Seja f derivável no intervalo ]a, b[. Então:
• f é côncava para cima em ]a, b[ se f ′ é crescente em ]a, b[;
• f é côncava para baixo em ]a, b[ se f ′ é decrescente em ]a, b[.
Se uma função f tem derivada segunda pode-se utilizá-la para determinar os
intervalos de concavidade da função. Lembre que f ′′ (x) mede a taxa de variação da
inclinação f ′ (x) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x , f(x)). Logo, se f ′′ (x) > 0 em
um intervalo ]a, b[, então as inclinações das retas tangentes ao gráfico de f são crescentes
em ]a, b[ e daí f é côncava para cima em ]a, b[.
Analogamente, se f ′ (x) < 0 em ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[. Isso
pode ser resumido no seguinte:
• se f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para cima em ]a, b[;
• se f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, então f é côncava para baixo em ]a, b[.
Pode ocorrer que o valor da derivada f ′′ (x) passe, por exemplo, de decrescente em
um intervalo ]a, c[ para crescente em um intervalo adjacente ]c, b[, como na Figura 33. Neste
caso, diz-se que em x = c a função f possui um ponto de inflexão.
Figura 33. Ponto de inflexão
Assim :
Em um ponto de inflexão, tem-se f ′′ (x) = 0 e f ′′ muda de sinal.
4.4 – Teste da derivada segunda
Será visto a seguir como a derivada segunda f ′′de uma função f pode ser usada para
determinar se um ponto crítico é um extremo de f.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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71
Figura 34. A concavidade do gráfico informa sobre máximos e mínimos relativos
A função f, cujo gráfico está esboçado na Figura 34, tem um máximo relativo em x =
x1. Observe que o gráfico de f é côncavo para baixo nas proximidades deste ponto.
A função f tem um mínimo relativo em x = x2 e a sua concavidade nas proximidades
deste ponto é para cima.
Conforme se viu anteriormente, uma função é côncava para baixo num ponto x =
c se f ′′ (c) < 0 e é côncava para cima se f ′′ (c) > 0. Isso nos leva a enunciar o seguinte
resultado, conhecido como o teste da derivada segunda.
Teste da derivada segunda Uma função y = f(x) atinge um valor máximo em x =
c se f ′′ (c) < 0 e atinge um valor mínimo em x = c se f ′′ (c) > 0.
Exemplo
Um estudo de eficiência conduzido por uma indústria fabricante de aferidores de
pressão mostrou que o número de unidades montadas por um trabalhador médio, t horas após
começar o seu serviço às 7 horas da manhã, é dado por:
N(t) = – t3 + 5t2 + 13 t, 0 ≤ t ≤ 5
A que horas durante o turno da manhã o desempenho do trabalhador médio está no
pico de sua eficiência ?
Solução Calculando N ′ (t) e igualando a zero:
N ′ (t) = –3t2 + 10t + 13 = 0 ⇒ t = 133
( ponto crítico)
Calculando N ′′ (t), tem-se N ′′ (t) = – 6t + 10.
Como N ′′ (133
) = –16 < 0 no ponto crítico, tem-se um máximo. Logo, o pico da
eficiência ocorre 4h 20min após o início de seu horário de trabalho, ou seja, às 11h 20min.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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72
4.5 Esboço do gráfico de uma função
Os conhecimentos anteriores acerca de pontos críticos (extremos e pontos de
inflexão) são ferramentas muito úteis para o traçado de gráficos. Embora hoje em dia a
maioria dos gráficos sejam traçados com o auxílio do computador, o esboço de gráficos é
muito útil como forma de solidificar o entendimento dos conceitos básicos do presente
capítulo. Para o traçado do gráfico de uma função y = f(x) pode-se adotar os seguintes
procedimentos.
1) Se existir a derivada primeira f ′ (x), identificar os pontos x tais que f ′ (x) = 0.
Nos intervalos em que f ′ (x) > 0, tem-se que f(x) é estritamente crescente; onde
f ′ (x) < 0, tem-se que f(x) é estritamente decrescente.
2) Se existir a derivada segunda f ′′ (x), identifica-se os pontos em que f ′′ (x) = 0.
Nos intervalos em que f ′′ (x) > 0, a concavidade do gráfico de y = f(x) está
voltada para cima; onde f ′′ (x) < 0, a concavidade do gráfico de y = f(x) está
voltada para baixo. Nos pontos de abscissas x em que f ′′ (x) = 0, se a função
y = f ′′ (x) mudar de sinal, tem-se um ponto de inflexão.
Pelo teste da derivada segunda, se f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) > 0, então (x, f(x)) é um
ponto de mínimo relativo; se f ′ (x) = 0 e f ′′ (x) < 0, então (x, f(x)) é um ponto de
máximo relativo.
3) Calcula-se f(x) nos pontos críticos e nos pontos de inflexão.
Exemplo
Esboçar o gráfico de y = f(x) = x3 – 12x – 20.
Solução Calcula-se f ′ (x) e iguala-se a zero:
f ′ (x) = 3x2 – 12 = 0 ⇒ x = 2 ou x = – 2 ( pontos críticos)
Esboçando o gráfico de f ′ (x) = 3x2 – 12 tem-se:
Figura 35. Gráfico da derivada f ′ (x) = 3x2 – 12 da função y = x3 – 12x – 20
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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73
Portanto:
• f ′ (x) > 0 se x < –2 ou x > 2. Logo, no intervalo ] –∞ ,–2[ ou ]2, ∞ [ a função é
crescente.
• f ′ (x) < 0 se -2 < x < 2. Logo, no intervalo ] –2,2[ a função é decrescente.
Calcula-se f ′′ (x):
f ′′ (x) = 0 ⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
Tem-se que f ′′ (x) < 0 se x < 0 e f ′′ (x) > 0 se x > 0. Logo, o gráfico de f tem a
concavidade voltada para baixo se x < 0 e tem a concavidade voltada para cima se x > 0.
Como f ′′ muda de sinal no ponto x = 0, tem-se que x = 0 é um ponto de inflexão.
Nos pontos críticos, tem-se:
f ′′ (2) = 12 > 0; então x = 2 corresponde a um ponto de mínimo relativo.
f ′′ (–2) = –12 < 0; então x = –2 corresponde a um ponto de máximo relativo.
Calculando f(x) :
i) nos pontos críticos: f(2) = –36 e f(–2) = –4
ii) no ponto de inflexão, f(0) = –20
Um esboço do gráfico de f(x) está a seguir.
Figura 36. Gráfico da função y = f(x) = x3 – 12x – 20
4.5.1 Observação
Muitas vezes pode ocorrer que, ao tender x para 0x , o valor )(xf de uma função
aumente indefinidamente, ou decresça indefinidamente. É o caso da função x
xf 1)( = nas
proximidades de 0=x . Esses casos conduzem a limites que envolvam infinito, que serão
tratados no capítulo 5.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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74
4.6 Problemas de otimização
São muito usuais problemas práticos modelados por meio de alguma função y =
f(x), para os quais se deve determinar em que condições a variável x assume o valor
máximo ou o valor mínimo. Observe alguns exemplos.
1) Custo mínimo de uma construção Deseja-se construir na Universidade uma
sala destinada a exames e testes, com pé direito 3 m e uma área interna igual a
60 m2. A sala deverá ser retangular, com três paredes revestidas com azulejos
brancos e a última consistindo em uma divisória de vidro. O custo do metro
quadrado da divisória é 3 vezes o custo da parede azulejada e o custo desta é 200
reais o metro quadrado.
Obter as dimensões da sala de modo a minimizar o custo da construção.
Solução Seja x o comprimento da divisória de vidro (e da parede oposta), y o
comprimento de cada parede lateral em metros.
A área da superfície azulejada é 3x + 6y e, portanto, o seu custo é 200 (3x + 6y). Por
outro lado, sendo 3 . 200 = 600 reais o custo do m2 da divisória de vidro, seu custo será
600. 3. x = 1800x. Assim, o custo total da sala será dado por:
C = 200(3x + 6y) + 1800x = 2400x + 1200y
Como a área interna vale x . y = 60, tem-se que y = x
60 de onde segue que:
C = 2400x + 1200 x
60 = 2400x + x
72000
Determina-se os pontos críticos, ou seja, os valores para os quais C′= 0. Então:
C′ = 0 ⇒ 2400 – 2
72000x
= 0 ⇒ x2 = 2400
72000 ⇒ x = 30
A raiz negativa deve ser descartada, pois x > 0 ( x é medida de lado).
Calculando a derivada segunda da função C(x), vem que C′′ = 3
144000x
, de onde
segue que C′′ ( 30 ) > 0.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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75
Assim, x = 30 trata-se de um ponto de mínimo relativo. Agora, x = 30
implica y =306 .
Portanto, as dimensões da sala que minimizam o custo são 30 m e 306 m.
2) Minimização de distâncias Um navio A está a 65 km a leste do navio B e está
viajando para o sul a 15 km/h, enquanto o navio B está indo para o leste a uma velocidade de
10 km/h. Se os navios continuam seus cursos respectivos determinar a menor distância entre
eles e quando isto irá ocorrer.
Solução
Depois de t horas, A percorre 15t km e B percorre 10t km.
Figura 32. Desenho para a minimização de distâncias
Assim, do Teorema de Pitágoras decorre:
222 )15()1065( ttd +−=
Seja 2du = ; então:
22 225)1065( ttu +−= ⇒ ttu 450)10).(1065(2' +−−= = 1300650 −t
0'=u ⇒ t = 2
0650'' >=u ⇒ t = 2 é ponto de mínimo. Logo, quando t = 2 tem-se:
=2d 13152925 =⇒ d km
Por conseguinte, os navios estarão mais próximos um do outro 2 horas após e a uma
distância de 1315 km.
3) Caixa de volume máximo Quadrados são cortados de uma placa de papelão
retangular medindo 16 cm de largura por 30 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é
construída virando os lados para cima (Figura 33). Determinar o comprimento x dos lados dos
quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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76
Solução
Denota-se o volume da caixa sem tampa por V. De acordo com a Figura 33 vê-se que
a altura da caixa é de x centímetros, a largura é 16 – 2x centímetros e o comprimento 30 – 2x
centímetros.
Figura 33 – Caixa sem tampa recortando-se os cantos
Desta maneira:
xxxxxxV 480924)230()216( 23 +−=−−= , 40 ≤≤ x
Daí:
48018412' 2 +−= xxV
As soluções de 0'=V são 3
10=x e x = 12; desde que a função V possui somente um
ponto crítico 3
10=x no intervalo ]0, 4[, o máximo absoluto desejado para o volume V é o
maior de seus valores quando x = 0, 3
10=x ou x = 4. Por conseguinte o volume máximo é
aproximadamente 725,93 cm3, obtido cortando-se quadrados cujos lados medem 3
10=x cm.
4) Projetando uma lata de estanho Solicitou-se para projetar uma lata de estanho
com a forma de cilindro reto (sem tampa) com 8 cm3 de volume. Que dimensões exigirão
menos material?
Solução
Seja h a altura da lata cilíndrica e r o raio da base circular. Então:
hr 28 π= ou 2
8r
hπ
=
A área da superfície lateral é hrπ2 e a área da base é 2rπ . Portanto, a área total da
lata S solicitada é dada por:
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77
=S hrπ2 + 2rπ = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
82r
rπ
π + 2rπ = 216 rr
π+ , r > 0
Daí:
rr
S π216' 2 +−= para r > 0
A solução de 0'=S é 38π
=r ; logo, 38π
=r é o único ponto crítico para S. Visto
que:
π232'' 3 +=r
S
e, para 38π
=r , tem-se ''S = π6 > 0 então S atinge um mínimo absoluto quando 38π
=r cm
e 2
8r
hπ
= = 3
2π
cm.
5) Maximizando o lucro Uma questão fundamental para um produtor é a
maximização do lucro. O lucro )(xL é a diferença:
)()()( xCxRxL −=
onde )(xR é a receita total pela venda de uma quantidade x de bens e )(xC é o custo total para
a produzir a quantidade x.
Para achar os pontos críticos de L calcula-se as raízes da derivada:
)(')(')(' xCxRxL −= = 0
Assim:
)(')(' xCxR =
ou seja, as derivadas de )(xR e )(xC são iguais.
Portanto:
O máximo(ou mínimo) lucro ocorre quando o custo marginal é igual à receita
marginal.
Como exemplo, ache a quantidade que maximiza o lucro se a receita total e o custo
total são dados por 2003,05)( xxxR −= e xxC 1,1300)( += em que x é a quantidade e
10000 ≤≤ x unidades. Qual nível de produção dá o lucro mínimo?
Solução
A receita marginal é igual ao custo marginal se:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
78
)(')(' xCxR = ⇒ 1,1006,05 =− x ⇒ 650006,09,3
==x
Desde que:
3009,3003,0)()()( 2 −+−=−= xxxCxRxL
Vem que 50,967)650( =L reais.
Analisa-se em seguida os extremos 0=x e 1000=x :
0=x ⇒ 300)0( −=L
1000=x ⇒ 600)1000( =L
Portanto, se obtém o lucro máximo quando RMCM = o que ocorre na produção de
650 unidades e o lucro mínimo (um prejuízo) ocorre quando 0=x e, neste caso, o único
custo é 300 reais (custo fixo) e não há receita visto que .0)0( =R
2) Concentração aquosa no corpo humano O maior constituinte do corpo
humano é a água, que é muito eficiente na dissolução de sais devido ao fato de
suas moléculas combinarem-se com íons, dando origem a íons hidratados. A
presença de íons de hidrogênio em uma solução aquosa ( H+ e OH- ) é tal que, a
uma temperatura constante de 250, tem-se:
[H+] . [OH-] = 10-14
Para que concentração de [H+], a soma [H+] + [OH-] é minima?
Solução Seja [H+] = x , [OH-] = y e S = x + y. Como x y = 10-14, então
tem-se y = x
1410−
. Assim:
S = x + x
1410−
e daí S ′ = 1 – 2
1410x
−
. Igualando essa derivada a zero, segue:
S ′ = 0 ⇒ 2
1410x
−
= 1 ⇒ x2 = 10-14 ⇒ x = 10-7
Calculando a derivada segunda da função S encontra-se S ′′ = 3
1410.2x
−
. Visto que
S ′′ (10-7) = 2 . 107 > 0 conclui-se que a soma é mínima para x = 10-7.
Portanto, [H+] + [OH-] é mínima quando a concentração [H+] = 10-7.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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79
4.7 Exercícios propostos
1. A massa M do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t conforme a
expressão M = 30 – 4t, M em quilogramas e t em horas. Qual é a taxa de variação da massa
em relação ao tempo?
2. O volume de um cone circular reto de raio da base 0,6m depende da altura h.
a) Determinar V em função de h.
b) Determinar a taxa de variação de V em relação a h.
3. Uma caixa de água recebe água à razão de 12 l/min e, ao mesmo tempo há um escoamento
de água à razão constante de 5 l/min. Num dado instante, o volume de água contido na
caixa é 300 l.
a) Qual é o volume de água na caixa t minutos após esse instante?
b) Em quantos litros por minuto está aumentando o volume da caixa?
4. Dada a função y = 3x2 , calcular a taxa de variação média de f(x) entre x1 = 1 e x2 = 3.
5. Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em metros a distância D, que varia
com o tempo, em segundos, conforme a fórmula D = 6t2.
a) Qual é a taxa de variação média de D entre os instantes t1 = 2 e t2 = 7?
b) Qual é a taxa de variação de D em relação a t no instante t = 2?
6. Dada a função f(x) = 31 x3 –
25 x2 + 6x + 8.
a) Calcular f ′ (x)
b) Determinar o valor de x para que se tenha f ′ (x) = 0.
7. Esboçar os gráficos das seguintes funções:
a) y = x3 – 3x2 + 3 b) y = 16x2 + 50x + 5 c) y = –x3 + 4x + 6
8. Um móvel se desloca obedecendo a função horária s = 4t2 + 12t + 25, onde s é dado em
quilômetros e t em horas. Determinar a sua velocidade no instante t = 4.
9. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo em que havia bactérias crescendo, a
população de bactérias continuou a crescer, mas em seguida, começou a decrescer. O
tamanho da população no instante t, em horas, era dado por P = 105 + 103t – 102t2.
Determinar a taxa de decrescimento da população nos instantes:
a) t = 0 b) t = 4 c) t = 10
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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80
10. O volume V = 34π r3 de um balão de forma esférica varia de acordo com o seu raio,
medido em centímetros. Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando
r = 40cm?
11. O número de galões de água em um tanque, t minutos após o início de seu esvaziamento, é
dado por q(t) = 30( 40 – t )2. A que taxa a água escoará ao final de 15 minutos?
12. A lei de Boyle diz que, a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V de um
gás confinado varia segundo a fórmula P = VC , onde C é uma constante. Se, para um
determinado gás, C = 180 e o volume V está aumentando, determinar a taxa de variação
de P em relação a V para um volume V = 15.
13. A lei de Charles para os gases afirma que, a uma pressão constante, o volume V ocupado
por um gás a uma temperatura T, em graus Celsius, é expresso através da fórmula
V = C ( 1 + 2731 T), C constante. Determinar a taxa de variação de T em relação a V.
14. O volume V de água em um reservatório durante o degelo da primavera é dado pela
fórmula V = 5000( 1 + t)2, onde 0 ≤ t ≤ 3, V medido em m3 e t em meses. A taxa de
variação do volume em relação a t é chamada taxa de fluxo para o reservatório.
a) Obter a taxa de fluxo no instante t = 1,5.
b) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250m ?
15. Um determinado tipo de peixe tem seu peso W relacionado com o seu comprimento
através da fórmula W = 10,375 L3, em que W é medido em quilogramas e L em metros.
A taxa de crescimento do comprimento é dtdL = 0,36 – 0,18 L, onde o tempo é medido
em anos. Estimar a taxa de crescimento do peso de um peixe de 20 kg.
16. Quando um prato de metal, de forma circular, é aquecido em um forno, seu raio aumenta
a uma taxa de 0,0125cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio é de
40cm?
17. Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão e o
volume estarão relacionados pela fórmula:
P = 2
2
Vbk
kaVkRT
−−
onde k, a, b e R são constantes. Obter dVdP .
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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81
18. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta é dada por s = t41+ ,
com s em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no
instante t = 6 segundos.
19. Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então
sua intensidade I(x) à profundidade de x metros é I(x) = k e-1,4x . A que taxa de
intensidade está variando em relação à profundidade a 3 metros?
20. Um objeto move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 34 2 +t , t ≥ 0. Para
que valores de t sua velocidade é 1m/s?
21. Uma proteína de massa m se decompõe em aminoácidos segundo a função m(t) = 3
24+t
,
em que t é medido em horas.
a) Determinar a taxa de variação média no intervalo [1, 2].
b) Qual é a taxa de variação no instante t = 3 ?
22. Quando um corpo é envolvido por um líquido gelado de temperatura constante K, a
temperatura T do corpo decresce segundo a lei T = K + C e-at, onde K, C e a são
constantes positivas e t o tempo. Obter a taxa de crescimento de T.
23. Partindo de uma quantidade inicial de 60mg, a quantidade de radio existente após t anos é
dada por q = 60 e-0,0004t. A que taxa estará decrescendo o radio daqui a 100 anos?
24. O crescimento do número de bactérias numa certa cultura obedece a fórmula
f(t) = 1500 e0,04t, em que t é medido em horas. A que velocidade está crescendo o número
de bactérias no instante t = 6?
25. Um barco ancorado no mar está indo para cima e para baixo. A distância vertical y, em
pés, entre o fundo do mar e o barco é dada pela função do tempo t, onde t é medido em
minutos, por y = 15 + sen(2π t). Achar a velocidade vertical v do barco no instante
t = 5 min.
26. Uma partícula se desloca ao longo do eixo x de modo que, no instante t ≥ 0, a sua
posição é dada por s = sen (t2 + 1), s medido em metros e t em segundos. Determinar a
velocidade da partícula nos instante t = 3s.
27. Um biólogo constatou que o crescimento da população de drosófilas com um suprimento
limitado de alimentos poderia ser aproximado pelo modelo exponencial N(t) =
te 16,0391400
−+, onde t denota o número de dias transcorridos desde o começo do
experimento. Qual é a velocidade da variação dessa população no vigésimo dia?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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82
28. Derivação implícita Uma equação f(x, y) = 0, em geral, define y implicitamente como
função de x em algum intervalo. Por exemplo, a equação x y = 2, com x ≠ 0, define a
função y = x2 . A derivada dessa função é y′ = 2
2x− . Uma outra maneira de se obter
essa derivada é pensar em y como função de x na equação x y = 2, derivar ambos os
lados da equação com relação a x e resolver a relação obtida, explicitando y′ . Assim:
x y = 2 ⇒ x′ y + x y′ = 2′ ⇒ y + x y′ = 0 ⇒ x y′ = –y ⇒ y′ = xy−
Para conferir esse resultado como obtido pela derivação direta, lembre que y =x2 .
Daí, y′ = 2
2x− .
Como um outro exemplo, encontrar-se-á y′ se xy – 2x – 3y – 2 = 0. Derivando
ambos os membros em relação a x, tem-se y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 . Explicitando o valor de
y′ , vem:
y + x y′ – 2 – 3 y′ = 0 ⇒ x y′ – 3 y′ = 2 – y ⇒ (x – 3) y′ = 2 – y
isto é, y’ = 3
2−−
xy , x ≠ 3.
29. Calcular y′ se: a) x2 – y2 – x = 1 b) 2x2 + 3x + y2 = 12
30. A área total da superfície de um paralelepípedo retangular com base quadrada de lado
y e altura x é dado por S = 2y2 + 4xy. Se S é constante, calcular dxdy sem explicitar y.
31. A área total de da superfície de um cilindro circular reto de raio r e altura h é dada
por S = 2π r2 + 2π rh. Se S é constante, obter dhdr .
32. No decorrer de uma experiência em um laboratório, derrama-se um líquido sobre uma
lâmina que toma a forma circular cujo raio r aumenta a uma taxa constante de 1,6 m/s.
Qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido quando r = 4m ?
33. O volume de um cubo aumenta a uma taxa de 1200 cm3/min no instante em que suas
arestas têm 20cm de comprimento. A que taxa as arestas variam nesse momento?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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83
34. Uma firma que fabrica camisa estima que o custo total C(x), em reais, para fabricar x
camisas é dado pela equação 30
3100)(2xxxC ++= . Numa semana o rendimento total R(x),
em reais, é dado por 250
25)(2xxxR += em que x é o número de camisas vendidas.
a) Considerando que o número x de camisas vendidas numa semana é igual ao número
de camisas fabricadas, escrever uma equação para o lucro mensal L(x);
b) Obter o lucro maximal semanal.
35. A demanda ( relação entre o preço e a quantidade produzida) por entradas num parque de
diversões é dada por xxp 02,070)( −= onde p é o preço da entrada e x o número de
pessoas que freqüentam esse parque.
a) Sendo a receita )()( xpxxR = que valor de x maximiza a receita?
b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita?
c) Qual a receita máxima?
36. A equação de demanda de um certo produto é 40005,0)( +−= xxp . Obtenha a quantidade
com que o produtor deve trabalhar para que tenha lucro máximo sabendo que o custo é
dado por 201,025)( xxxC ++= .
37. Uma firma estima que o custo total C(x), em reais, para fabricar x unidades de um
determinado produto é dado pela equação 30
3100)(2xxxC ++= . Numa semana o
rendimento total )(xR , em reais, é dado pela lei 250
25)(2xxxR += , em que x é o número
de unidades vendidas.
a) Considerando que o número de unidades vendidas numa semana seja o mesmo
número de unidades fabricadas, escreva uma equação para o lucro semanal L(x);
b) Obtenha o lucro máximo semanal.
38. O custo total C da produção de certa encomenda é dado por 24240090000)( xxxC +−=
onde x é o número de unidades produzidas.
a) Encontre o custo marginal quando são produzidas 400 unidades;
b) Determinar quando o custo total é mínimo.
39. Dentre todos os retângulos de mesma hipotenusa h = 10 obter o de área máxima.
40. Um pedaço de arame de comprimento 40 cm é dobrado no formato de um retângulo.
Quais as dimensões do retângulo de área máxima?
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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84
41. Um fazendeiro tem 10m de grade para cercar três lados de um galinheiro de forma
retangular, o quarto sendo um muro já existente.Obter as dimensões para que a área ds
galinhas seja a maior possível.
42. Luiz tem 1000 metros de grade com os quais deseja construir um cercado retangular para
seu cachorrro. Quais as dimensões do cercado retangular de área máxima?
43. Um reservatório de água com a forma de um prisma reto de base quadrangular tem
volume 10m3. O custo do material usado na construção é R$ 100,00 o metro quadrado.
Que dimensões do reservatório minimizarão o custo?
44. Uma lata de forma cilíndrica circular reto deve ser construída para conter um volume fixo
de um certo líquido. Mostre que para minimizar a quantidade de material usado, a altura
do lado deve ser igual ao diâmetro da base.
4.8 Respostas dos exercícios propostos
1) -4 kg/h 2) a) V = 0,12π h b) 0,12π m3/m 3) a) V = 300 + 7t b) 7 l/min
4) 12 5) a) 54m/s b) 24m/s 6) a) x2 – 5x + 6 b) x = 2 ou x = 3
8) 44m/s 9) a) 103 bactérias/h b) 2 . 102 bactérias/h c) –103 bactérias/h
10) 6400π cm3/cm 11) –1500 galões/min 12) –0,8 13)C
273
14. a) 25000m3/mês b) 15000m3/mês 15) 6,55 m/ano 16) π cm/min
17) 2)( kaVkRT−
− + 3
22Vbk 18) a) v = 0,4m/s b) a = –
1254 m/s2 19) –0,021k u.i./m
20) 0,5 s 21) a) – 65
u.m./h b) –32 u.m./h 22) –aC e-at 23) –0,023 mg/ano
24) 76 bactérias/h 25) 2π pés/min 26) –5,03 m/s 27) 15 diosófilas/dia
29) a) 2 1, 02x y
y−
≠ b) 0,2
34≠
−− yy
x 30) yx
y+− 31)
dhdr =
hrr+−
2 32) 12,8 πm2/s
33. 1 m/s 34. a) =)(xL (– 250
252xx + ) – (
303100
2xx ++ ) = 1002237511 2 −+− xx b) 375
35. a) x = 1750, b) 35 reais c) 61 250 reais 36. R$ 3 316,70
37. a) 1007502222)( 2 −−= xxxL b) R$ 4025,00, na produção de 375 unidades por semana
38. a) 800 b) quando se produz 30 unidades 39. Catetos iguais a 25 m e área 25m2
40. quadrado de lado 10 cm 41. 2,5m por 5m 42. quadrado de lado 250 m
43. base e alturas iguais a 3 10 m
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85
Capítulo 5
Limites infinitos; Teorema da Média; Funções Hiperbólicas
Analisa-se abaixo os gráficos de funções com comportamento diferenciado quando x
se torna arbitrariamente grande ou se aproxima de algum ponto fora do domínio. Entre as
ferramentas empregadas estão as assíntotas horizontal e vertical. Essa análise conduz à
definição de limite infinito.
Este capítulo trata também do Teorem do Valor Médio que estabelece a taxa de
variação de uma função, ao longo de um intervalo, com a taxa instantânea de variação
(derivada) de uma função em um certo ponto do intervalo.
5.1 Limites quando x tende ao infinito
Considere a função x
xf 1)( = definida para todos os reais não nulos. Observe na
Tabela 4 o comportamento da função quando a variável x assume valores cada vez mais
próximos de 0.
Tabela 4 – Comportamento da função x
xf 1)( = para valores de x próximos de 0
x tende a 0 assumindo valores negativos
x -0,5 -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) -2 -5 -10 -100 -1000 -10000
x tende a 0 assumindo valores positivos
x 0,5 0,2 0, 1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 2 5 10 100 1000 10000
A tabela indica que quando x tende a 0, por valores positivos as imagens f(x) se tornam
cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Diz-se então que o limite de f(x), quando
x tende a zero, pela direita, é infinito (ou mais infinito) e escreve-se:
+∞==+→→ x
xfxx
1lim)(lim00
ou simplesmente ∞
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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86
Quando x tende a 0, por valores negativos as imagens f(x) se tornam cada vez menores,
ficando abaixo de qualquer valor fixado. Diz-se, neste caso, que o limite de f(x) quando x
tende a zero, pela esquerda, é menos infinito e escreve-se:
−∞==−
→→ xxf
xx
1lim)(lim00
Deve-se salientar que ∞+ e ∞− não são números reais. Deste modo, afirmações
como ∞=→
)(lim0
xfxx
e −∞=→
)(lim0
xfxx
não representam limites no sentido estrito da
definição. A notação ∞=→
)(lim0
xfxx
é apenas uma maneira abreviada de dizer que f(x)
aumenta além de qualquer cota fixada, quando x se aproxima de 0x . Ao se trabalhar com os
símbolos ∞+ e ∞− deve-se tomar muito cuidado em não tratá-los como números reais visto
que, se assim for feito podem surgir diversas contradições. Por exemplo, se ∞ 0 = 1 então ∞ 0
= 20 e daí, ∞ = 2, o que é uma contradição.
Se f(x) tende a +∞ ou –,∞ quando x rende a 0x , por um ou ambos os lados, diz-se
que x = 0x é uma assíntota vertical de f(x) . Assim, x = 0 é uma assíntota vertical da função
xxf 1)( = , conforme se vê no gráfico da Figura 36.
Figura 36. O eixo x é uma assíntota vertical de x
xf 1)( =
5.2 Limites finitos quando x ±∞→
Observe o gráfico da função x
xf 1)( = estabelecido na Figura 36. Quando x é positivo
e fica cada vez maior, x
xf 1)( = se aproxima cada vez mais de zero. Simbolicamente:
01lim)(lim ==∞→∞→ x
xfxx
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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87
Quando x é negativo e decresce ilimitadamente, o valor dex
xf 1)( = também
aproxima de zero. Simbolicamente:
01lim)(lim ==−∞→−∞→ x
xfxx
Generalizando, Lxfx
=∞→
)(lim significa que |)(| Lxf − se torna arbitrariamente
pequeno quando se toma x suficientemente grande. Da mesma forma Lxfx
=−∞→
)(lim significa
que |)(| Lxf − se torna arbitrariamente pequeno quando se toma x negativo com
|| x suficientemente grande.
A reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x) se:
Lxfx
=∞→
)(lim ou Lxfx
=−∞→
)(lim
De maneira análoga tem-se as definições evidentes de:
i) +∞=+∞→
)(lim xfx
ii) −∞=+∞→
)(lim xfx
iii) +∞=−∞→
)(lim xfx
iv) −∞=−∞→
)(lim xfx
Exemplos
1) Considere a função 354)(
−+
=xxxf .
Como o ponto de descontinuidade é 3=x tem-se:
+∞=+→
)(lim3
xfx
, −∞=−→
)(lim3
xfx
e, daí, 3=x é uma assíntota vertical de )(xf .
Ainda, visto que:
4)(lim =+∞→
xfx
= )(lim xfx −∞→
então a reta 4=y é uma assíntota horizontal de )(xf .
2) Esboce o gráfico da função 6332)(
−+
=xxxf .
Como a função não está definida para 2=x , o domínio de f é [,2][2,] ∞+∪∞− .
Portanto, analisa-se o comportamento de f separadamente nesses dois intervalos.
Calculando-se 'f e ''f encontra-se:
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88
2)63(21)('−−
=x
xf , 3)63(126)(''−
=x
xf
O denominador de )(' xf é positivo, logo, 0)(' <xf para todo 2≠x . Desta maneira
)(xf é decrescente para todo 2≠x e não possui pontos críticos.
Por outro lado, 0)('' >xf para todo 2>x e 0)('' <xf para 2<x . Por conseguinte,
o gráfico de f é côncavo para cima se 2>x e côncavo para baixo se 2<x . Apesar de
)('' xf mudar de sinal em 2=x não se rotula 2=x de ponto de inflexão porque 2 não
pertence ao domínio de f.
Procura-se agora as assíntotas da função. Desde que 32)(lim =
±∞→xf
x então
32
=y é uma
assíntota horizontal.
A reta 2=x é uma assíntota vertical porque )(xf tem laterais infinitos quando x
tende a 2:
+∞=+→
)(lim2
xfx
, −∞=−→
)(lim2
xfx
A curva representativa de )(xf intercepta o eixo x no ponto de abscissa 23
−=x , ou
seja, no ponto )0,23(− pois:
230320
63320 −=⇒=+⇒=
−+
⇒= xxxxy
Intercepta o eixo y no ponto de ordenada 21
−=y , isto é, no ponto )21,0( − .
Lembrando que )(xf é decrescente e côncavo para baixo se para todo 2<x e decrescente e
côncavo para cima se se 2>x , o gráfico tem a forma da Figura 37.
Figura 37. Gráfico da função 6332)(
−+
=xxxf
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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89
5.3 Observação
Se n é um número inteiro e positivo tem-se:
a) 01lim =±∞→ nx x
b) +∞=+∞→
n
xxlim
b) ⎩⎨⎧
∞−∞+
=−∞→ ímparénse
parénsexn
x ,,
lim
5.4 Funções polinomiais e racionais quando x tende ao infinito
Para estudar o comportamento de uma função polinomial e de uma função racional
quando ±∞→x , utiliza-se o seguinte:
)(lim 01
1 axaxa nn
nnx
+++ −−±∞→
L = nnx
xa±∞→
lim )0( ≠na
Para compreender o resultado, coloque nn xa em evidência:
01
1 axaxa nn
nn +++ −
− L = nn xa ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ −
nnn
n
xaa
xaa 011 L
Quando ±∞→x todos os termos entre parêntesis, exceto 1, tendem a zero. Desta
forma, quem decide o valor do limite é o termo nn xa .
Por conseguinte, no caso de funções racionais 0
11
01
1)(bxbxbaxaxa
xq mm
mm
nn
nn
+++
+++= −
−
−−
L
L :
0
11
01
1limbxbxbaxaxa
mm
mm
nn
nn
x +++
+++−
−
−−
±∞→ L
L = m
m
nn
x xbxa
±∞→lim =
m
n
ba
m
n
x xx
±∞→lim
Assim, no caso de funções racionais quem decide o valor do limite da função )(xq é o
termo mm
nn
xbxa
.
Exemplos
1. −∞→x
lim (2 )73 23 +− xx = −∞→x
lim 2 3x = 2 −∞→x
lim 3x = – ∞
2.
−∞→xlim (– 3 )1144 +− xx = )3(lim 4x
x−
−∞→ = – 3 4lim x
x −∞→ = –∞
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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90
3. 623548lim 47
37
+−−+
+∞→ xxxx
x = 7
7
38lim
xx
x +∞→ =
38lim
+∞→x =
38
4. 1211
2543lim 25
23
+−+−+
+∞→ xxxxx
x = 5
3
113lim
xx
x +∞→ =
113
2
1limxx +∞→
= 0
5. 7610
1439lim 3
24
−−+−−
−∞→ xxxxx
x = 3
4
109lim
xx
x −∞→ =
109 x
x +∞→lim = +∞
5.5 Exercícios resolvidos
1) Analise o comportamento da função 4
1)( 2 −−
=xxxf próximo do ponto x = 2 .
Solução
Se x→2 então 11→−x 0≠ e 042 →−x . Os gráficos do numerador 1)( −= xxn e
do denominador 4)( 2 −= xxd estão esboçados na Figura 38.
Figura 38 – (i) Gráfico da função 1)( −= xxn ; (ii) Gráfico da função 4)( 2 −= xxd
Próximo de 2=x o numerador )(xn se mantém sempre positivo porém, isto nçao
acontece com o denominador )(xd . Tem-se 0)( >xd se 2>x e 0)( <xd se 2<x .
Logo:
+∞=−−
=+→ 4
1lim 22 xx
x e −∞=
−−
=−→ 4
1lim 22 xx
x
2) Analise o comportamento da função 22 )4(1)(
−−
=x
xxg nas proximidades de x = 2 .
Solução
No exercício 1 o numerador se mantém positivo para todo x próximo de 2. Aqui, o
denominador também se mantém positivo já que é uma potência par. Assim, o sinal de )(xg é
positivo para todo x nas proximidades de 2, tanto pela esquerda como pela direita. Portanto:
+∞=−−
=→ 222 )4(
1limx
xx
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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91
3) Esboçar o gráfico de y = f(x) = x3 – x2 – x + 1.
Solução Calcula-se f ′ (x) e iguala-se a zero:
f ′ (x) = 3x2 – 2x – 1 = 0 ⇒ x = –
31 ou x = 1 ( pontos críticos)
Portanto:
• f ′ (x) < 0 se –31 < x < 1. Logo, no intervalo ] –
31 , 1[ a função é decrescente.
• f ′ (x) > 0 se x < –31 ou x > 1. Assim, no intervalo ] –∞ ,–2[ ou ]2, ∞ [ a função
é crescente.
Calcula-se f ′′ (x):
f ′′ (x) = 0 ⇒ 6x – 2 = 0 ⇒ x = 31
Tem-se que f ′′ (x) < 0 se x < 31 e f ′′ (x) > 0 se x >
31 . Assim, o gráfico de f tem a
concavidade voltada para baixo se x < 31 e tem a concavidade para cima se x >
31 .
Como f ′′ muda de sinal no ponto x = 31 , tem-se que este é um ponto de inflexão.
Nos pontos críticos, tem-se:
f ′′ (–31 ) = –4 < 0; então x = –
31 corresponde a um ponto de máximo relativo.
f ′′ (1) = 4 > 0; então x = 1 corresponde a um ponto de mínimo relativo.
Calculando f(x) :
iii) nos pontos críticos: f(–31 ) =
2732 e f(1) = 0;
iv) no ponto de inflexão, f(31 ) =
2716
Um esboço do gráfico de f(x) está a seguir.
Figura 39. Gráfico da função y = f(x) = x3 – x2 – x + 1
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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92
5.6 O limite exponencial fundamental e os juros capitalizados continuamente
Considere a função x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
11)( que comparece em curvas de crescimento, em
geral. Quando +∞→x a função 01→
x, porém, tal fração somada a 1 e o resultado elevado a
x não tem um valor de convergência evidente.
Observe a Tabela 4:
TABELA 4. Algumas aproximações x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
11)(
x x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11
102 2,70481 103 2,716924 104 2,718146 105 2,718268 106 2,718280
Pode-se provar que quando +∞→x o valor de x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11 se aproxima do número
irracional e = 2,718281828... , ou seja:
ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
11lim
Considere a seguinte fórmula que dá o montante, valor em reais acumulado após t
anos, se C reais são investidos a uma taxa de i, acumulada k vezes ao ano:
tk
kiCM ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 1
Imagine uma situação na qual o lucro se acumula continuamente, ou seja, se considera
a fórmula em que o número de períodos lucrativos por ano cresce indefinidamente.
Tem-se então a fórmula:
tk
k kiCM ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+∞→1lim
chamada de montante capitalizado continuamente. Fazendo hk
i 1= tem-se hik = e como
+∞→k é equivalente a +∞→h , vem:
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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93
tk
k ki⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→1lim =
thi
h h⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
11lim = tih
h h ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
11lim = tie
Por conseguinte, tieCM = .
De um modo geral, se C é capitalizado continuamente a uma taxa proporcional a uma
taxa i anual, pelo prazo de t anos, o montante é expresso pela função contínua:
tieCM =
Exemplo
Calcule o montante de uma aplicação de 10 000,00 a juros compostos à taxa de 9%
ao ano pelo prazo de 2 anos.
Solução
Sendo i = 0,09 e os juros capitalizados anualmente, então o montante será:
00,88111)09,01(00010 2 =+=M
Se os juros forem capitalizados semestralmente a uma taxa proporcional a 9% ao ano,
a taxa semestral será %5,4%29
= ao semestre e, por consegunite, o montante será:
18,92511)045,01(00010 4 =+=M
Se os juros forem mensalmente a uma taxa proporcional a 9% ao ano, a taxa mensal
será %75,0%129
= ao mês e, portanto, o montante será:
13,96411)0075,01(10000 24 =+=M
5.7 Teorema do Valor Médio (TVM)
Viu-se anteriormente que )(' xf é uma taxa de variação que responde quanto ao
crescimento de )(xf . Assim, )(xf está crescendo quando )(' xf > 0 e decrescendo quando
)(' xf < 0. Na demonstração deste fato utiliza-se um resultado teórico muito importante do
Cálculo, denominado Teorema do Valor Médio (TVM) que enuncia-se a seguir. Uma prova
do mesmo encontra-se em ROGAWSKI ( 2008, p.196, v.1.).
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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94
5.7.1 Teorema (TVM) Suponha f contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável em ]a, b[. Então existe
pelo menos um ponto [,] bac∈ de modo que:
ab
afbfcf−−
=)()()('
5.7.2 Interpretação geométrica do TVM Considere os pontos ))(,( afaP e ))(,( bfbQ no gráfico de f , conforme ilustrado na
Figura 38.
Se 'f existe em todo o intervalo aberto ]a, b[ então existe pelo menos um valor
[,] bac∈ tal que pelo ponto ))(,( cfcV do gráfico a reta tangente t é paralela à secante s por
P e Q , isto é:
coeficiente angular de r = coeficiente angular de s
Figura 38. O TVM sob um ponto de vista geométrico
Portanto, o significado geométrico do TVM estabelece-se da seguinte maneira: dada
uma secante ao gráfico de uma função derivável é sempre possível encontrar um ponto do
gráfico situado entre os dois pontos de interseção da secante com a curva representativa de
)(xf e tal que a a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante.
5.7.3 Teorema de Rolle
Um caso particular do Teorema do Valor Médio, em que )()( bfaf = denomina-se
Teorema de Rolle em homenagem ao matemático francês Michel Rolle (1652-1719).
Teorema Seja f contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável em ]a, b[ e
)()( bfaf = . Existe pelo menos um ponto [,] bac∈ de modo que 0)(' =cf .
Para uma demonstração ver ROGAWSKI ( 2008, p.186, v.1.).
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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95
5.7.4 Consequências matemáticas
1) Se 0)(' =xf em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.
Prova
Quaisquer que sejam 1x e 2x em I, com 21 xx < pelo TVM vem:
)('()(
12
)12 cfxx
xfxf=
−
−
para algum c entre 1x e 2x . Como )(' cf = 0 ao longo de I, decorre que )12 ()( xfxf − = 0, ou
seja, )()( 21 xfxf = , de onde decorre o resultado.
2) Se )(')(' xgxf = em todos os pontos de um intervalo I, então existe uma constante
C tal que Cxgxf += )()( para qualquer x em I.
Prova
Em cada Ix∈ a derivada da função diferença gfh −= é:
)(')(')(' xgxfxh −=
Daí, =)(' xh 0 para todo Ix∈ e, por conseguinte segue de (1) que Cxh =)( em I.
Consequentemente, Cxgxf =− )()( e, então, Cxgxf += )()( em I.
5.7.5 Uma interpretação física do TVM
Interprete o número ab
afbf−− )()( como variação média de f em [a, b] e )(' cf como
uma variação instantânea. O Teorema do Valor Médio diz que a variação instantânea em
algum ponto deve ser igual à variação média ao lonfo de todo o intervalo. Assim, se um carro
acelerando a partir do repouso leva meia hora para percorrer 35 km, sua velocidade média
no intervalo de segundos é de 705,0
35= km/h. Em algum momento durante a aceleração, o
velocímetro deverá marcar exatamente 70 km/h.
5.8 Funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são combinações especiais das funções xe e xe− e aparecem,
frequentemente, em problemas de matemática aplicada, engenharia e física.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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96
5.8.1 Definições A função seno hiperbólico, designada por senh x, e a função cosseno hiperbólico,
designada por cosh x, definem-se através das seguintes expressões:
2
xx eexsenh−−
= ; 2
coshxx eex
−+=
para todo x real.
5.8.2 Gráficos
O gráfico de y = cosh x, pode ser obtido mediante o processo denominado adição de
ordenadas. Para tanto, esboçam-se os gráficos de 2
xey = e 2
xey−
= e encontram-se a
ordenadas do gráfico de y = cosh x somando-se as ordenadas dos pontos dos outros dois
gráficos. De maneira similar obtém-se o gráfico de y = senh x adicionando as ordenadas dos
gráficos de 2
xey = e 2
xey−
−= .
Figura 39. (i) gráfico de y = cosh x; (ii) gráfico de y = senh x
É evidente pela Figura 39 que a imagem de cosh é o intervalo ]1, ∞ [ e a imagem de
senh é R.
Observe-se que a função cosseno hiperbólico é usada para descrever a forma de um
cabo ou corrente flexível cujos extremos encontram-se fixados numa mesma altura.
Figura 40 – Catenátia axay cosh=
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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97
Embora o cabo aparente uma forma parabólica, este não é o caso. Com a introdução de
um sistema de coordenadas pode-se verificar que a equação cartesiana da corrente satisfaz
uma lei do tipo axay cosh= em que a é um número real cujo gráfico denomina-se catenária.
5.8.3. Identidade básica Diversas identidades análogas às verificadas para as funções trigonométricas são
satisfeitas também pelas funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Por exemplo:
1cosh 22 =− xsenhx
De fato:
=− xsenhx 22cosh2
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + − xx ee – 2
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − −xx ee = 4
)2()2( 2222 xxxx eeee −− +−−++
= 4
)22 2222 xxxx eeee −− −+−++ = 144=
5.8.4 Outras funções hiperbólicas
Pode-se definir outras funções hiperbólicas em termos do cosseno hiperbólico e do
seno hiperbólico. Note-se que cada uma delas satisfaz uma relação similar à que satisfaz sua
correspondente função trigonométrica.
Define-se como abaixo as funções tangente, cotangente, secante e cossecante
hiperbólicas, designadas por tgh , cotgh, sech e cossech.
xx
xx
eeee
xxsenhxtgh −
−
+−
==cosh
0,coshcot ≠−+
== −
−
xeeee
xsenhxxgh xx
xx
0,21seccos ≠−
==−
xeexsenh
xhxx
xx eexxh −+
==2
cosh1sec
A Figura 41 apresenta um esboço do gráfico de y = tghx. Observe que x = 1 e x = –1
são assíntotas horizontais. Os traçados dos gráficos das demais funções são deixados como
exercício.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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98
Figura 41. Gráfico da tangente hiperbólica
5.8.5 Outras identidades
Estabelece-se em seguida algumas identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas
que são similares àquelas satisfeitas pelas funções trigonométricas. Pode-se estabelecer uma
série de outras. Diversas encontram-se na lista de exercícios propostos.
xgh
xtghcot
1=
xhxtgh 22 sec1 =−
xhxgh 22 seccos1cot =−
A primeira fórmula segue diretamente das definições de y = tgh x e y = cotgh x. Para
a justificativa da segunda divide-se ambos os membros da identidade básica
1cosh 22 =− xsenhx por cosh2 e utiliza-se as definições de tghx cotgh x:
1cosh 22 =− xsenhx ⇒ xx
xsenh22
2
cosh1
cosh1 =− ⇒ xhxtgh 22 sec1 =−
De modo análogo justifica-se a terceira fórmula.
5.8.6 Fórmulas de derivadas
As funções hiperbólicas senh x e cosh x são deriváveis como soma e quocientes de
funções deriváveis. Assim:
xxsenhdxd cosh= ; xsenhx
dxd
=cosh
Com efeito:
xsenhdxd =
'
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − −xx ee = xee xx
cosh2
=+ −
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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99
xdxd cosh =
'
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + −xx ee = xsenhee xx
=− −
2
Também:
xtghdxd = xh2sec
Para a a sua demonstração utiliza-se a regra do quociente como segue:
xtghdxd = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xxsenh
dxd
cosh= xh
xxxsenhx 2
22
22
seccosh
1cosh
cosh==
−
São deixadas como exercícios as justificativas das seguintes fórmulas;
xghdxd cot = xech2cos−
xhdxd sec = xtghxhsec−
xhdxd seccos = xghxh cotseccos−
5.9 Funções hiperbólicas inversas
Observando o gráfico do seno hiperbólico, esboçado na Figura 39 (ii), vê-se que se
trata de uma função crescente de x, e daí, possui uma inversa denotada por xsenharc .
Para todo x real o valor de xsenharc é o número real cujo seno hiperbólico é x.
Simbolicamente:
Rxyxsenhxsenharcy ∈=⇔= ,
O gráfico xsenharcy = está esboçado na Figura 42.
Figura 42. Gráfico da função seno hiperbólico inversa
Para definir as inversas das demais funções hiperbólicas é necessário restringir seus
domínios a intervalos convenientes. Por exemplo, xy cosh= não possui uma inversa em R
pois, para cada 1>y existem dois valores de x tal que yx =cosh . Porém, sua restrição a
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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100
valores não negativos de x possui uma inversa designada por xarcy cosh= satisfazendo
para todo 0≥y :
yxxarcy =⇔= coshcosh
O domínio da função é o intervalo [,1[ ∞+ e a imagem é [,0[ ∞+ O seu gráfico está
esboçado na Figura 43.
Figura 43. Gráfico da função cosseno hiperbólico inversa
Para as demais funções hiperbólicas inversas, os domínios e imagens estão
especificados a seguir:
xtgharcy = ; 1|| <x ; [∞+<<∞− y
xgharcy cot= ; 1|| >x ; 0≠y
xharcy sec= ; 1||0 <≤ x ; 0≥y
xharcy seccos= ; 0|| ≠x ; 0≠y
5.10 Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas
Apresentam-se a seguir as derivadas da funções hiperbólicas inversas.
1
1'2 +
=⇒=x
yxsenharcy ; todo x
;1
1'cosh2 −
=⇒=x
yxarcy 1>x
211'x
yxtgharcy−
=⇒= ; 1|| <x
211'cotx
yxgharcy−
=⇒= ; 1|| >x
21
1'secxx
yxharcy−
−=⇒= ; 10 << x
21||
1'seccosxx
yxharcy+
−=⇒= ; 0≠x
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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101
Exemplos
Calcule as derivadas da funções:
a) )3()( xsentgharcxf = b) )5cosh()( 2 xsenarcxxf =
Solução
a) ( ) )3sec(3)3(cos)3cos(33
)3(11)()3()( 2
'2
' xxxxsen
xsenxfxsentgharcxf ==
−=⇒=
b) )5cosh()( 2 xsenarcxxf = =⇒ )(' xf125
5)5cosh(22
2
−+
x
xxsenarcx
5.11 Exercícios propostos 1. Determine o limite de cada função quando: i) +∞→x e ii) −∞→x .
a) 51278)(−−
=xxxf b)
8391)( 2
3
+−
=x
xxf c)2734)(
2
−+
=xxxf
d)xx
xxxf24
12)( 3
3
−+−−
= e) 42
3)( 2 −++−
=xx
xxf f) 856
)( 2
3
+−−
=xx
xxf
2. Esboce o gráfico das funções descritas e indique as equações e os gráficos das assíntotas.
a) 3
1)(−
=x
xf b) 32)(
++
=xxxf c)
45)( 2 −
=x
xf
d) x
xxf 2)(2 −
= (Observe que x
x 22 − = x
x 2− )
3. Encontre as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f.
a) 9
1)( 2 −=
xxf b)
45)( 2
2
+=
xxxf c)
657)( 2 +−
=xx
xf d) 3223)( 2
2
−+++
=xxxxxf
4. Calcule os limites:
a) 20
72limxx
x
+→
b) 8
1lim8 −→ xx
c) 22 )2(
1lim−→ xx
d) 23 )3(
42limx
xx −
−→
5. Calcule os limites:
a) x
x x
211lim ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→ b)
x
x x
231lim ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→ c)
431limx
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→ d)
xx
x
)1ln(lim0
+→
6) Obtenha o montante de uma aplicação de 5000 reais a juros compostos capitalizados
continuamente:
a) anualmente b) semestralmente c) mensalmente
a uma taxa proporcional a 15% ao ano, durante 5 anos.
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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102
7. A que taxa de juros compostos continuamente um capital de R$ 2 000,00 produz um
montante de R$ 2 280,00 em 2 meses?
8. Suponha que se queira investir dinheiro em um certificado bancário para pagar a educação
de um filho estimado em R$ 120 000,00 em 10 anos. Quanto é necessário aplicar se o
investimento rende juros anuais de 9% compostos trimestralmente?
9. Uma cidade tem atualmente 3 000 habitantes e esse número cresce a uma taxa de 2% ao
ano. Qual será a população dessa cidade daqui a 10 anos?
10) Regra de L’Hôpital A regra enunciada no exercício 40 do capítulo 2 também se aplica
quando ∞→x , isto é:
Se =∞→
)(lim xfx
∞=→
)(lim0
xgxx
a expressão )()(
xgxf denomina-se forma indeterminada
∞∞
e se )()(lim
xgxf
x ∞→ existe então:
)()(lim
xgxf
x ∞→ =
)(')('lim
xgxf
x ∞→
No cálculo de limites deparamos frequentemente com outros tipos de expressões
indeterminadas ( sem significado), como: ∞−∞ , 0.∞ , 0∞ , ∞1 . Nesses casos procura-se
transformar o limite a formas mais convenientes, cujos resultados são conhecidos.
Calcule os seguintes limites:
a) xx ex3
lim∞→
b) x
xex −
∞→
2lim c) xx exlnlim
∞→ d)
15lim 2
2
−−
∞→ xx
x
11. Se 19
)(2
+=xxf mostra que f verifica as hipóteses do TVM no intervalo [– 1, 6] e
determine um número c ∈]–1, 6[ que satisfaça a conclusão do teorema.
12. Idem para a função 58)( 2 −−= xxxf para x no intervalo [1, 4].
13. Achar c como no Teorema de Rolle para 1)( 2 += xxf em que Rf →− ]1,1[: .
14. Idem para a função 1
2)( 2 +=
xxxf em que Rf →]3,
31[: .
15. Mostre que a função xsenxf =)( , π20 ≤≤ x tem uma raiz real entre 2π e
23π .
(Use o Teorema de Rolle)
16. Verifique as fórmulas:
a) xhxgh 22 seccos1cot =− b) xtghxtgh −=− )(
c) xxsenhxsenh cosh22 = d) xsenhxx 22cosh2cosh −=
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
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103
17. As fórmulas de adição satisfeitas pelo seno e cosseno têm análogas hiperbólicas:
ysenhxyxsenhyxsenh coshcosh)( +=+
ysenhxsenhyxyx +=+ coshcosh)(cosh
Demonstre estas identidades.
18. Mostre as seguintes fórmulas de derivadas:
a) ( )'cot xgh = xech2cos− b) ( )'sec xh = xtghxhsec−
c) ( )'cos xech = xghxech cotcos−
19. Calcule )(' xf para as seguintes funções:
a) )54cosh()( 2 += xxf b) xtghxsenhxf =)( c) )(lncosh)( xxf =
d) )85()( += xtghxf e) xtghxxf 2)( = f) )(cos)( xsenhxf =
20. Obtenha )(' xf para as seguintes funções:
a) )7()( xtgharcxf = b) )2()( xsenharcxf = c) )34(cosh)( 22 += xarcxxf
5.12 Respostas dos exercícios propostos
1.a) 32;
32 b) ∞+∞− ; c) ∞−∞+ ; d)
21;
21 −− e) 0; 0 f) ∞+∞− ;
3. a) x = 3, x = –3; y = 0 b) não tem assíntota vertical; y = 5 c) x = 2, x = 3; y = 0
d) x = –3, x = 1; y = 1 4. a) ∞+ b) não existe c) ∞+ d) ∞−
5 .a) 2e b) 6e c) 45
e d) 1 6. a) R$7 604,38 b) 7 716,51 c) 7 819,72
7. 6,77 a.m. 8. R$ 44 438,41 9. 3 657 10. a) 0 b) 0 c) 0 d) 1
11. c = 1 12. 7 13. c = 0 14. c = 1
19. a) )(' xf = )54(8 2 +xsenhx b) )(' xf = xhxtghxsenh sec+ c) )(' xf = )(ln1 xsenhx
d) )85(sec5)( 2' += xhxf = f) )(cos)(' xsenhsenxxf −=
20. a) )3(sec3)(' xhxf = b) 14
2)(2
'
+=
xxf c)
1168)(
4
'
−=
xxxf
a) b) c) d) 2.
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104
Referências Bibliográficas
BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocentistas. São Paulo: Interciência -
EDUSP, 1978.
BEZERRA, M. J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001.
BONGIOVANNI, D. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, 1993. v.1. HUGHES –
HALLETT et. al. Cálculo e aplicações, São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
IEZZI, G. et. al. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2001. v.1, 2.
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 2001.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções de uma
e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v.1.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v.1
APONTAMENTOS DE CÁLCULO I
Edson de Oliveira
105
Apêndice I - Tabela de Derivadas
1) 0'=⇒= ycy
2) ayaxy =⇒= ' 3) '.'. ukyuky =⇒= 4) ''' vuyvuy +=⇒+=
5) )'.()'.('. uvvuyvuy +=⇒=
6) y = vu ⇒ y ' = ( ) ( )
2
'.'.v
vuuv −
7) y = u α , ( )0≠α ')..(' 1 uuy −=⇒ αα
8) y ( ) '.ln.'1,0 uaayaaa uu =⇒≠≥= 9) '.' ueyey uu =⇒= 10) e
uuyuy aa log''log =⇒=
11)
uuyuy ''ln =⇒=
12) )'.ln.()'..(' 1 vuuuuvyuy vvv +=⇒= − ( u > 0) 13) '.cos'sen uuyuy =⇒= 14) '.sen'cos uuyuy −=⇒= 15) '.sec' 2 uuytguy =⇒= 16) '.cos'cot 2 uuecyguy −=⇒=
17) '..sec'sec utguuyuy =⇒= 18) '.cot.seccos'seccos uguuyuy −=⇒=
19) 21
''arcsenu
uyuy−
=⇒=
20) 21
''arccosu
uyuy−
−=⇒=
21) ( )21''u
uyarctguy+
=⇒=
22) ( )21''cot
uuyguarcy
+−
=⇒=
23) 1,1
''1,sec2
≥−
=⇒≥= uuuuyuuarcy
24) 1,1
''1,arccos2
≥−
−=⇒≥= u
uuuyuecuy
25) '.cosh'senh uuyuy =⇒= 26) '.senh'cosh uuyuy =⇒= 27) '.sec' 2 uuhytghuy =⇒= 28) '.cos'cot 2 uuechyghuy −=⇒= 29) )'.).((sec'sec utghuhuyhuy −=⇒= 30) )'.).(cotsec(cos'seccos ughuhuyhuy −=⇒=
31)1
''arcsen2 +
=⇒=u
uyhuy
32) 1,1
''arccos2
>−
−=⇒= u
uuyhuy
33) 21''u
uyuarctghy−
=⇒= , | u | < 1
34) 21''cotu
uyugharcy−
=⇒= , | u | > 1
35) 21
''secuu
uyuharcy−
=⇒= , 0 < u < 1
36) 21
''seccosuu
uyuharcy−
=⇒= , 0≠u