Elettrotecnica Modulo A Politecnico di Milano

1 Politecnico di Milano - Somedia

Introduzione ai circuiti elettrici

ELETTROTECNICA A

Il circuito elettrico

Politecnico di Milano - Somedia

Lezione 1



circuitocircuito




+-






Il circuito elettrico Componenti circuitali

un sistema costituito da

un insieme di dispositivi elettrici

collegati tra di loro in modo definito

un circuito elettricoun circuito elettrico




topologia del circuito

componenticomponenti

dispositividispositivi

elementi circuitalielementi circuitali



grandezze elettrichegrandezze elettrichefondamentali in un circuito:fondamentali in un circuito:

correnti

tensionipotenze





ELETTROTECNICA A

Le grandezze elettriche fondamentali


Lezione 1


Le grandezze elettriche fondamentali: Corrente


la corrente elettrica





la corrente elettrica

attraverso una superficie

la quantit di carica elettrica

che attraversa la superficie nellunit di tempo





1 ampere = 1coulomb/secondo




1C

1C


i = 1A i = -1A

++ +

++

+

+

++

+++


costante nel tempo

invariante

continua

i = 5 A i = 2 A


oppure

oppure



tempo varianteoppure nel tempovariabile

i = 10 e A- t /5

i = 0.5 sin ( t) A





tensione elettrica



la tensionetra due punti detti A e B

lenergia necessaria a spostare

dal punto B al punto A

una carica unitaria positiva

dWdq

=lavoro necessario per spostare una carica unitaria positiva da A ad B

lavoro necessario per spostare una carica unitaria positiva da B ad AAB

BA

Le grandezze elettriche fondamentali: Tensione



A

B


AB BA =




A

B

+

_ABV

A

B+

_

BAV


AB BA =


la tensione tra due punti misura in

si indica con la lettera V

volt

1 volt = 1 joule/coulomb


A+

-V

+

-



amperometro

dispositivo per la misura delle correnti di lato


A+

-

Le grandezze elettriche fondamentali: Lamperometro


dispositivo per la misura della tensione tra due punti


Le grandezze elettriche fondamentali: Il voltometro

V

+

-

voltometro



Le grandezze elettriche fondamentali: Potenza

potenza elettrica


la potenza elettrica istantaneascambiata da un elemento circuitale

con il resto della rete la quantit di energia elettrica

scambiata dallelemento nellunit di tempo

p (t ) =dWdt




1 watt = 1 joule/secondo1 watt = 1 joule/secondo

simbolo per il watt: W




ELETTROTECNICA A

Alcuni concetti di base



Lezione 1


Alcuni concetti di base - Dispositivi elettrici

dispositivi elettricidispositivi elettrici



A B




lato circuitale = dispositivolato circuitale = dispositivo




1 2 3

4 5 6

nodo = punto di connessione tra dispositivinodo = punto di connessione tra dispositivi




1 2

4 5

maglie




magliemaglie

2

5 6

3




magliemaglie

1 2

4 5 6

3




le correnti di latole correnti di lato

i AA




le tensioni di latole tensioni di lato

V 21l +A




le tensioni di nodole tensioni di nodo

e2

+

-

e6 =0




1

Resto del circuito

i1

i1 = 1A




1

Resto del circuito

i1

i = -1A1




1

Resto del circuito

VAB +

1 = 5V




1

Resto del circuito

V AB +

1 = - 5V




A Bi

+ V

convenzione degli utilizzatori




lanalisi circuitale ha come obiettivo

la determinazione delle correnticorrenti edelle tensioni elettrichetensioni elettriche nei circuiti




potenza ed energiapotenza ed energia




1

Resto del circuito

( )dW

p tdt

= ( ) dW dW dqp t v idt dq dt= = =




A Bi

+ V

p > 0 p < 0se assorbita se erogata

p(t)

V




p > 0 p < 0se erogata se assorbita

p(t)

A Bi

V +




1

Resto del circuito

W

[ ] ( )= 10

10t

tdttpWtt




correntetensione

potenza elettrica

circuiti elettricicircuiti elettrici

convenzioni di segnoconvenzioni di segno




ELETTROTECNICA A

La legge di Kirchhoff delle correnti

Le leggi di Kirchhoff


Lezione 3



analisi circuitale


analisi circuitaleanalisi circuitale

A

D

B

C

l = numero di latin = numero di nodi

(per questo esempio l = 6, n = 4)

l correnti di lato + l tensioni di lato = 2 l incognitel relazioni costitutive: l equazioni indipendenti



La legge di Kirchhoff delle correnti - Formulazione della KCL alle superfici chiuse

KCLLegge di Kirchhoff delle correntisia dato un circuito e siano specificate le convenzioni di segno

per tutte le correnti di un lato;

sia data inoltre una superficie chiusa che tagli il circuito.

La somma algebrica delle correnti che attraversano

la superficie chiusa , in ogni istante, uguale a zero.


A

D

B

C

1

3

5

6

24

i (t)

i (t)

i (t)

i (t)

1

3

5

6

i1 (t) i3 (t) i5 (t) + i6 (t) = 0

Dispositivi elettrici




LKCLKCKCLKCL




Secondo enunciato della KCLsia dato un circuito e siano specificate le convenzioni di segno

per tutte le correnti di un lato; la somma algebrica delle correnti

entranti in ciascun nodo in ogni istante uguale a zero.

La legge di Kirchhoff delle correnti - Formulazione della KCL ai nodi



A

D

B

C

1

3

5

6

24

i (t)

i (t)

i (t)

i (t)

1

3

5

6

i (t)4 i (t)2

i2 (t) i5 (t) + i6 (t) = 0




1 2

3

76

5

8

4

i (t)1 i (t)2

i (t)3

i (t)4

i (t)5 i (t)6 i (t)7

i (t)8

1 2

3

76

5

8

4

i (t)1 i (t)2

i (t)3

i (t)4

i (t)5 i (t)6 i (t)7

i (t)8

1 2

3

76

5

8

4

i (t)1 i (t)2

i (t)3

i (t)4

i (t)5 i (t)6 i (t)7

i (t)8

1 2

3

76

5

8

4

i (t)1 i (t)2

i (t)3

i (t)4

i (t)5 i (t)6 i (t)7

i (t)8

i1 (t) + i2(t) i7 (t) = 0

i2 (t) i4 (t) i 6 (t) + i7 (t) + i8 (t) = 0i2 (t) i5 (t) + i 6 (t) i7 (t) = 0




in un circuito di n nodi

lapplicazione delle KCL

permette la scrittura di

n -1 equazioni indipendenti




le equazioni relative lapplicazione delle KCL

in un circuito non dipendono

dalla natura particolare dei componenti

ma solo dalla

ossia dal modo in cui

topologia del circuito

i componenti sono connessi tra loro




le equazioni relative lapplicazione delle KCL

in un circuito sono sempre

equazioni algebriche

lineari

con coefficienti pari a 1, -1 o 0




ELETTROTECNICA A

La legge di Kirchhoff delle tensioni


Lezione 3


La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Formulazione della KVL alle maglie

Legge di Kirchhoff delle tensioniLegge di Kirchhoff delle tensioni

A

D

B

C

1

234

5

6

+ V (t) l1

_V (t)+2

+V (t)_ 4 l V (t) +5

+ V (t) l6

+_3V (t)


KVLLegge di Kirchhoff delle tensionisia dato un circuito e siano specificate le convenzioni di segno

per tutte le tensioni di tutti i lati; la somma algebrica delle tensioni

di lato incontrate lungo un qualsiasi cammino chiuso contenuto

nel circuito , in ogni istante, uguale a zero.




3 (t) 2 (t) + 5 (t) = 0A

D

B

C

1

234

5

6

+ V (t) l1

_V (t)+2

+V (t)_ 4 l V (t) +5

+ V (t) l6

+_3V (t)

A

D

B

C

1

234

5

6

+ V (t) l1

_V (t)+2

+V (t)_ 4 l V (t) +5

+ V (t) l6

+_V (t)3



Legge di Kirchhoff

il campo elettrico conservativo

non pi rigorosamente esattain condizioni tempo varianti

grandezze elettriche fortemente variabili nel tempo

il campo elettrico non conservativo

nei circuiti stazionari

grandezze elettriche non cambiano nel tempo

esatta


KVL


LKT LKT



1 (t) -2(t) +4 (t) -5 (t) = 0 6 (t) + 3(t) + 4 (t) 5 (t) = 02 (t) + 7 (t) +3 (t) = 0

1 2

3

76

5

8

4

+ V (t) l1 l V (t) +2

+ V (t) l3+ V (t) l8

l V (t) +4

+V (t)

_5+

V (t)_7

l +V (t)6

1 2

3

76

5

8

4

+ V (t) l1 l V (t) +2

+ V (t) l3+ V (t) l8

l V (t) +4

+V (t)

_5+

V (t)_7

l +V (t)6

1 2

3

76

5

8

4

+ V (t) l1 l V (t) +2

+ V (t) l3+ V (t) l8

l V (t) +4

+V (t)

_5+

V (t)_7

l +V (t)6

1 2

3

76

5

8

4

+ V (t) l1 l V (t) +2

+ V (t) l3+ V (t) l8

l V (t) +4

+V (t)

_5+

V (t)_7

l +V (t)6


La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Regola del taglio

lapplicazione della KVL

in un circuito di n nodi ed l latipermette la scrittura di

equazioni linearmente indipendenti

l n + 1


regola del taglio

cancellare 2 uno dei lati del primo cammino chiuso


11 nella rete Scrivere lequazione corrispondentescegliere un cammino chiuso

scegliendo il k-esimo percorso chiuso

44procedere in modo iterativo

in modo che non contenga nessuno dei k-1 latiprecedentemente eliminati

chiuso

non contenete il lato eliminato e scrivere la seconda equazione

scegliere un secondo cammino 33


Le equazioni relative allapplicazione delle KVL

dalla natura particolare dei componentiper un circuito non dipendono

i componenti sono connessi tra loro

ossia dal modo in cui


topologia del circuitoma solo dalla


in un circuito sono sempre

equazioni algebriche


lineari

con coefficenti pari a 1, -1 o 0

Le equazioni relative allapplicazione delle KVL


La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Formulazione della KVL di nodo / 1

l = 6, n = 4

VBDVADVAD

+ VAB

+

+

+

+VBC

VCD +

A

D C

B


La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Formulazione della KVL di nodo/2

eA,eB,eC : tensioni tra i nodi A, B e C e il nodo DeD = 0

+ VAB

+

+

+

+VBC

eC +

A

D C

B

eA eBeA

eD=0


KVLLegge di Kirchhoff delle tensioni del nodoin un circuito elettrico, la tensioni di lato ij per un dispositivoi cui morsetti sono collegati ai nodi i e j uguale alla differenza

tra le tensioni dei nodi i e j, ossia ij = e i - e j

La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Formulazione della KVL di nodo


La legge di Kirchhoff delle tensioni KVL - Formulazione della KVL di nodo

vAB = eA - eBvAD = eA - eD = eAvBD = eB - eD = eBvBC = eB - eCvDC = eD - eC = -eC

eA,eB,eC: tensioni tra i nodi A,B e C e il nodo D eD = 0

+ VAB

+

+

+

+VBC

eC +

A

D C

B

eA eBeA

eD=0



ELETTROTECNICA A

Il teorema di Tellegen

Lezione 3


Il teorema di Tellegen Matrice incidenza


matrice incidenzamatrice incidenza




i i ii i i i

i i i

+ + = + + = =

i

iiiii

=

Ai = 0

iiiii

=

iiiii

=

nrighe

nrighe

l colonnel colonne

iiiii

=

nrighe

l colonnel colonnematrice incidenza



Le leggi di Kirchhoff/passo 1

C A

A B

A B

B C

B C

e e e e e e e e e e

= = = = =



Le leggi di Kirchhoff/passo 2

A

B

C

e e e

=

1

2

3

4

5

v

=

=

C

B

Ae

eee

eAv T=


In un circuito in cui tutti i lati siano caratterizzati con la convenzione degli utilizzatori e di cuisia nota la topologia, ossia la matrice incidenza



convenzione degli utilizzatoriconvenzione degli utilizzatorimatrice incidenzamatrice incidenza

A, Ai = 0 e V = ATe




V =ATe

eAeBeCeD

=

1 0 0 -1

-1 1 0 0

0 1 -1 0

0 0 -1 1

0 0 1 -1

--1 0 1 0

Ai = 0 ==

i1i2i3i4i5i6

00000000

1 -1 0 0 0 -1

0 1 1 0 0 0

0 0 -1 -1 1 1

-1 0 0 1 -1 0

1 -1 0 0 0 -1

0 1 1 0 0 0

0 0 -1 -1 1 1

-1 0 0 1 -1 0


Il teorema di Tellegen Enunciato del teorema di Tellegen


i1 = 16Ai2= 10 Ai3= 6 A

i1 = 1Ai2= 2 Ai3= 3 A


Il teorema di Tellegen Enunciato del teorema di Tellegen


'1'2'3

V VV V

V V

= == = = =



Il teorema di Tellegen Teorema di Tellegen

Teorema di Tellegen

sia dato un circuito di l lati ed n nodi, sia

un insieme di valori di corrente di lato che soddisfino la KCL e sia

un insieme di valori di tensione di lato che soddisfino la KVL

per questo circuito: allora

i ={i1, i2, ,...., il }

{ }v , , ..., l = l

k kk

i=

=



Il teorema di Tellegen Dimostrazione del Teorema di Tellegen

vT i = (AT e)T i = eT (AT )T i = eT Ai = 0

Ai = 0 poich




soddisfacessero le KCL

singolarmente

soddisfacessero le KVL

abbiamo supposto che

le correnti

le tensioni




il principio di conservazione dellenergia elettricail principio di conservazione dellenergia elettrica

esprimeil teorema di Tellegenil teorema di Tellegen



Il teorema di Tellegen Conclusione

matrice incidenza

teorema di Tellegenteorema di Tellegen

leggi di Kirchhoffleggi di Kirchhoff



ELETTROTECNICA A



Lezione 2



Dispositivi elettrici Morsetti e terminali




i +V

-

Dispositivi elettrici Morsetti e terminali



Dispositivi elettrici Relazione costitutiva

2Dispositivi elettrici


+

-




Circuito

elettrico

i +V-

relazione costitutivarelazione costitutiva f ( , i, t ) = 0




Dispositivi elettrici Classificazione dei dispositivi

dispositivi dinamicidispositivi dinamicirelazione costitutiva di tipo integro - differenziale

algebrico o trascendente

dispositivi resistividispositivi resistivirelazione costitutiva di tipo



circuiti dinamicicircuiti dinamicicircuiti contenenti almeno un

dispositivo dinamico

linearilinearicircuiti resistivicircuiti resistivicircuiti contenenti solo dispositivi resistivi

Dispositivi elettrici Classificazione dei dispositivi



ELETTROTECNICA A

Esempi di dispositivi, 1


Lezione 2



Esempi di dispositivi Resistore

dispositivi resistivi lineari:

il resistoreil resistore



V

i

R

= RiLegge di ohm

G =R1

conduttanza del resistore

i = G

resistenza del resistore




20

-10 -5 0 5 10

i0

15

10

5

-5

-10

-15

-20

R = 4

R = 0.5

0.5 4

10

[ ]AV==R




la resistenza di un resistore si misura in

[ R ]= =Av

ohmohmla resistenza di un resistore

pari ad

la corrente pari ad

1 ohm

se quando la tensione ai morsetti pari ad 1 volt

1 ampere

[G] = = S -1




20

-10 -5 0 5 10

i0

15

10

5

-5

-10

-15

-20

ViR

V

pp(t) = ((t) = (tt)) ii((tt) > 0) > 0




definizione

chiamiamo dispositivi passivi quelli per cui,in ogni condizione di funzionamento, il prodotto

definizione

chiamiamo attivi tutti i dispositivi che non sono passivi

p = i 0p = i 0




Esempi di dispositivi Generatore di tensione

generatore ideale di tensionegeneratore ideale di tensione



V f (, t) = 0




V =5V

10

5

-5

-10

0

v

10

5

-5

-10

0

v

2 4 6 8 10

t

10-10 -5 5

i

0

0

f (v)= 0 = costantegeneratori costanti




V(t)

Generatori di tensione variabile nel tempo (t) = funzione (t)

10

5

-5

-10

0

V

10

5

-5

-10

0

V

2 4 6 8 10

t

102 8

i

0

04 6




A.C. alternated current v(t) = A sin(wt)


V(t)



V =5VV =5V




generatore ideale di correntegeneratore ideale di corrente

Esempi di dispositivi Generatore di corrente



f (i,t) = 0f (i,t) = 0i




f (i) = 0 generatori costanti i = costante

10

5

-5

-10

0

V

6

4

-2

-6

0

i

2 4 6 8 10

t

-2 2

i

0

04-4

2

-4

i = 3A





i(t)



i(t) = A sin ( t)


i(t)




i = 3A



ELETTROTECNICA A

Esempi di dispositivi, 2


Lezione 2



Esempi di dispositivi Corto circuito

corto circuitocorto circuito




= 0 = 0+

-V i

dispositivo con relazione costitutivaCorto circuitoCorto circuito




+

-V i

4

4

4

4

2

2

2

20

V

I

0

= Ri = Ri R = 0R = 0conCorto circuitoCorto circuito




circuito apertocircuito aperto




dispositivo con relazione costitutiva

+

-

V

i

Circuito apertoCircuito aperto

i = 0i = 0




+

-

V

i4

4

4

4

2

2

2

2

V

I

Circuito apertoCircuito aperto = Ri = Ri R = R = con

00




linterruttore si chiude allistante t1 linterruttore si apre allistante t2

t = t1 t = t2

interruttore idealeinterruttore ideale




voltometrovoltometroamperometroamperometro




voltometrovoltometrodispositivo per la misura della tensione tra due punti

i = 0i = 0_v+




amperometroamperometrodispositivo per la misura delle correnti

= 0 = 0_A+




relazione costitutivadispositividispositivi resistivi e dinamici

lineari e non lineariresistore

generatori indipendenti di tensione e corrente


1ELETTROTECNICA A

Metodo della matrice sparsa

Soluzione di circuiti resistivi


Lezione 4


per un circuito:


l = numero di lati, n = numero di nodiLKC (n -1) equazioni indipendentiLKT (l -n +1) equazioni indipendentiRelazioni costitutive l equazioni indipendenti2l incognite = l correnti di lato + l tensioni di lato

metodo della matrice sparsametodo della matrice sparsa




LKC

i1+ i2 = 0

i2 i3 i4 i5 = 0

i4+ i5 i6 = 0

LKT

1+ 2 3= 0 3 4 6 = 0 4 5 = 0

1= -202= 103 i23= 103 i34= 20 10-35 = 103i56= 2 103 i6




computazionale

un metodo ideale caratterizzato da

bassa complessit e basso costo

delle variabili pi significativecalcolo diretto

possibilit di calcolarea richiesta tutte le grandezze di lato


2Metodo della matrice sparsa


esigenza

tecniche e metodi pi efficenti

richiesta una profonda e dettagliata

dei fenomeni elettrici allinterno dei circuiti

compressione

soluzione manuale

soluzione automatica



ELETTROTECNICA A

Tecniche di riduzione


Lezione 4


Tecniche di riduzione Principio di equivalenza


in molti casi ci si limita a determinare

grandezze pi significativegrandezze pi significative




Sottocircuito A

Sottocircuito B

+V-

i

i

Sottocircuito B

+V-

Dispositivo Dequivalente ai

fini esterni

+V-

i

f (, i, t) = 0 Politecnico di Milano - Somedia


le grandezze di lato del circuito A non cambiano

se nella rete complessiva il sottocircuito B

viene sostituito con il dispositivo D,

ammesso che sia connesso in modo opportuno


Principio di sostituzionePrincipio di sostituzione


Tecniche di riduzione connessione serie


connessione serie

21 ii = 21 ii = 21 ii =


Tecniche di riduzione Connessione serie di resistori


AB

n n n

k k kk k k

k i R i R= = =

= = =

ABAB n

kk

R Ri =

= =

R1 = R2 = . . . = Rn = R

RAB = n R

se

allora


Tecniche di riduzione connessione parallelo


connessione paralleloconnessione parallelo

21 vv = 21 vv = 21 vv =


Tecniche di riduzione Connessione parallelo di resistori


AB

n n nk

kk kk k k

i i R R= = =

= = =

AB

n

kk

i G=

=


Tecniche di riduzione Connessione parallelo di resistori


ABAB n

kk

Ri

R=

= =

AB

n

kk

G G=

=

nRRRRRR n ===== AB21 ,Lse allora


Tecniche di riduzione Connessione di generatori









ELETTROTECNICA A

Formule utili nella soluzione manuale di circuiti resistivi



Lezione 4


Formule utili nella risoluzione manuale dei circuiti Il partitore di tensione


i n

kk

eiR

=

=

jj n

kk

R eR

=

=

partitore di tensionepartitore di tensione


Formule utili nella risoluzione manuale dei circuiti Il partitore di corrente

in i1i2+

-

partitore di corrente



Formule utili nella risoluzione manuale dei circuiti Il partitore di corrente

ini1i2+

-

ABj j

j j

i R R

= =

jj n n

jk k

k k

Gi i i

RR G= =

= =

AB AB n

kk

i R iR

=

= =



Formule utili nella risoluzione manuale dei circuiti Conclusioni

leggi di Kirchhoffleggi di Kirchhoffapplicazione

soluzione manualesoluzione manualedi circuiti resistivi

connessione in seriein parallelo resistoriresistori

metodo della matrice sparsa



ELETTROTECNICA A

Teorema di Thvenin

Soluzione di circuiti resistivi lineari. 1


Lezione

5


Teorema di Thnvenin Enunciato del teorema di Thvenin


Teorema di Thvenin

A

B

Circuito resistivolineare


Teorema di Thnvenin Enunciato del teorema di Thvenin

lato Thveninlato serie

non sempre esiste un equivalente Thvenin

il teorema di Thveninfornisce un metodo per trovare i valori

di resistenza e di tensione



Teorema di Thnvenin Calcolo dei parametri dellequivalente Thvenin

Calcolo dei parametri dellequivalenza Thvenin

la tensione dellequivalente Thvenin si calcola invece

determinando la tensione tra i morsetti A e B nel circuito che si intende sostituire,quando questi morsetti sono lasciati aperti

sostituendo a tutti i generatori indipendenti di tensioneun corto circuito

calcolando quindi la resistenza vista ai morsetti A e Bdel circuito che si ottiene

sostituendo a tutti i generatori indipendenti di correnteun circuito aperto

La resistenza del lato equivalente si calcola




f ( AB, i , t) = 0

AB= e T iRT







Calcolare lequivalente Thvenin ai morsetti A e B

=+= 6.1~

914

2727

TR

Soluzione di circuiti resistivi lineari. 1/1




AB i= 2 2 Ai ++

= = =+1164 2

2 31 13 4 2 6

113

AB V = =1 223 3





=+= 6.1~

914

2727

TRAB i= 2 2

AB V = =1 223 3






ELETTROTECNICA A

Teorema di Norton



Lezione

5


Teorema di Norton Enunciato del teorema di Norton


Teorema di NortonTeorema di Norton

A

B

Circuito resistivolineare


lato Nortonlato Norton

lato parallelolato parallelo

non sempre esiste un equivalente Norton

il teorema di Nortonfornisce un metodo per trovare i valori

di resistenza e di corrente




sostituendo a tutti i generatori indipendenti di tensioneun corto circuito

calcolando quindi la resistenza vista ai morsetti A e Bdel circuito che si ottiene

la corrente dellequivalente Norton si calcola invece

chiudendo i morsetti A e B su un corto circuitoe calcolando la corrente che circola nel corto circuito

sostituendo a tutti i generatori indipendenti di correnteun circuito aperto


Calcolo dei parametri dellequivalente Nortonla si calcolaresistenza del lato equivalente



Teorema di Norton Calcolo dei parametri dellequivalente Norton

( )ABAB

, ,

NN

f i ti aR

==

0



Teorema di Norton Calcolo dei parametri dellequivalente Norton



Teorema di Norton trasformazione serie - parallelo

RT = RN

eT = RNaNT

TN R

ea =



Calcolare lequivalente Norton ai morsetti A e B


=+=

1235

7575

NR




A4.052

.. ==cci






Trasformazioni triangolo stella

ELETTROTECNICA ASoluzione di circuiti resistivi lineari. 1


Lezione

5


Trasformazione triangolo - stella


RAB resistenza equivalente VISTA DAL GENERATOREAB

2 )()(Rtetp =


Connessione a stellaConnessione a stella




Connessione a triangoloConnessione a triangolo




eq

BAc R

RRr =eq

CBa R

RRr =eq

CAb R

RRr =

CBAeq RRRR ++=

ar

ARARAR

arar




Trasformazione stella - triangolo

eq

baC

eq

caB r

rrRrrrR ==

eq

cbA r

rrR =

cba rrreqr 111

1++=






RA +RB +RC = 2 + 1 + 1 = 4 kReq ==

==== 500k5.0412

eq

BAc R

RRr

==== 250k25.0411

eq

CBa R

RRr

==== 500k5.0412

eq

CAb R

RRr







+= k3//k5.1250ABR=+= 1250k1250ABR

W5.121250125)(

22

===ABREtp




+= k3//k5.1250ABR += k3//k5.1250ABR=+= 1250k1250ABR =+= 1250k1250ABR

W5.121250125)(

22

===ABREtp W5.12

1250125)(

22

===ABREtp




Conclusione

lati di tipo serielati di tipo parallelo

formule di trasformazioneformule di trasformazioneper i resistori

teorema di Thveninteorema di Norton



Esempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti

ELETTROTECNICA A

Principio di sovrapposizione degli effetti



Lezione

6




in un circuito elettrico lineare tutte le grandezze di lato

ossia tutte le correnti e tutte le tensioni di lato

sono sovrapposizione lineare

delle grandezze impresse dai generatori indipendenti

il principio di sovrapposizione

degli effetti


Esempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli effettiEsempio di applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti




i1 = i1 + i1 + i1i2 = i2 + i2 + i2i3 = i3 + i3 + i3i4 = i4 + i4 + i4




'4

'3

'2

'1 iiii A4

31233 ==

A49

1293'1 ==i

=== ===




''4

''3

''2

''1 iiii ===

A41=

123''

1 =i




A23

1292'''3 ==i

A21

1232'''4

'''2

'''1 ==== iii







021

41

43'''

4''

4'44 ==++= iiii

A321

41

49'''

1''

1'11 =++=++= iiii

021

41

43'''

2''

2'22 ==++= iiii

A223

41

43'''

3''

3'33 =+=++= iiii




risoluzione di circuiti con il principio

di sovrapposizione degli effetti

risoluzione di circuiti con il principio

di sovrapposizione degli effetti




vantaggi inalterata configurazione della retevantaggisoluzione di n circuiti con un solo generatore

Le potenze scambiate dai singoli dispositivicon il resto della retedalle grandezze impresse dai generatori indipendenticontenuti nel circuito

NON dipendono linearmente



ELETTROTECNICA A

Formula di Millman



Lezione

6


Formula di Millman



Formula di Millman

perchAB AB k

k k k kk

e i e R iR= =

ABn n n

kk

k kk k k

e iR R= = =

= = 1 1 1

0 AB

nk

kkn

kk

eRR

=

=

=

1

1

1



Formula di Millman



Formula di Millman

kkk

a iG =

k kk

i a R

= 1 kkG

R=1

k k ki a G=

n n nk

kk kk k k

a iG G= = =

= = 1 1 1

0

nk

kkn

kk

aG

i

G

=

=

=

1

1

1



ELETTROTECNICA A

Teorema del massimo trasferimento di potenza

Soluzione di circuiti resistivi lineari, 2


Lezione

6




teorema del massimo trasferimento di potenza



i

L

)(RR

teig +

=

L2L

2

L )()( R

RRteP

g

+=

0)(2

)(

)(2

)(1)(

3Lg

LL2

3L

L2

L

2

L

L

=

++

=

++=

RRRRR

te

RRR

RRte

RP

g

gg

0L

L =RP




PL RL= RgPL RL= Rg

gRteP

4)(2

LMAX = massima se




resistenza del caricouguale alla

resistenza del resistore interno al generatore

carico adattato



Conclusione

teorema delmassimo trasferimento di potenza

principio di sovrapposizione degli effetti

formula di Millman



ELETTROTECNICA A

Dispositivi a pi morsetti

Generatori pilotati e trasformatore ideale


Lezione

7






un dispositivo con n terminali detto n-polo

Dispositivi a pi morsetti n-poli

N = 2 bipolo

N = 3 tripolo

N = 4 quadripolo





sulla superficieLKCLKC 0 : 321 =++++ Niiii L






dispositivo con n morsetti


(n-1) correnti indipendenti

(n-1) tensioni indipendenti

relazione costituitiva (n-1) equazioni

Generatori pilotati e trasformatore ideale/1


dispositivo con n morsetti


(n-1) correnti indipendenti

(n-1) tensioni indipendenti

relazione costituitiva (n-1) equazioni

Generatori pilotati e trasformatore ideale/2


Dispositivi a pi morsetti n-porte

un dispositivo con 2n terminali

detto n-porte

se i morsetti del dispositivo sono accoppiati a due a due in modo tale che, per ciascuna coppia,

in un morsettonellaltrosia sempre uguale a quella uscente

la corrente entrante










N porte: 2N terminali




Un n porte pu essere visto comeun insieme di n bipoli la cui relazione costitutiva

sia interdipendente

Pt = P1+ P2 + .... + PN Pj = j ij



Metodi e tecniche per la soluzione di circuiti elettrici contenenti dispositivi a pi morsetti

tecniche per la risoluzione di retitecniche per la risoluzione di reti

con dispositivi con n morsetti

metodo della matrice sparsaapplicabile a reti contenenti qualsiasi tipo di dispositivo

metodo di riduzione

teorema di Thvenin

principio di sovrapposizione degli effetti

applicabili solo a reti lineari


1ELETTROTECNICA A

Generatori pilotati



Lezione

7

Generatori pilotati


generatori pilotatigeneratori pilotati


Generatori pilotati - Generatore di tensione controllato in corrente

generatore di tensione controllato in corrente

i

= =2 1

1 0


Generatori pilotati - Generatore di tensione controllato in tensione

i

= =2 1

1 0 i

= =2 1

1 0


generatore di tensione controllato in tensione

2Generatori pilotati - Generatore di corrente controllato in corrente

i i

= =2 1

1 0


generatore di corrente controllato in corrente

Generatori pilotati - Generatore di tensione controllato in tensione

i i= =

2 1

1 0


generatore di corrente controllato in tensione

Generatori pilotati - Generatore di corrente comandato in tensione

matrice sparsa

metodi di riduzione

teorema di thvenin e norton

sovrapposizione degli effetti

tecniche utilizzabili per circuiti contenenti generatori pilotati

generatori pilotati

dispositivi a due porte resisitivi lineari


generatori pilotatinon sono dei dispositivi attivi

i transitori

sono modelli ideali

consentono di creare modelli di componenti elettrici di grande utilit


Generatori pilotati - Generatore di corrente comandato in tensione


ELETTROTECNICA A

Trasformatore ideale



Lezione

7




trasformatore idealetrasformatore ideale

k

ki i

= = 1 2

11 2

( )( )P i k i i Pk

= = = = 1 1 1 2 2 2 2 21



( )( )P i k i i Pk

= = = = 1 1 1 2 2 2 2 21Generatori pilotati e trasformatore ideale



k

ki i

= = 1 2

11 2

( ) ( )( )k R k R ki= = 1 Ri= 2 2

( ) k k Ri= = 1 2 2 k Ri= 2 1ABR k R= 2



Conclusione

dispositivi a due porte

la cui relazione costitutiva resistiva e lineare

modelli di transitori e amplificatori operazionali

riproduzione del comportamento dei trasformatori

modelli idealimodelli ideali


1 Politecnico di Milano - Somedia Politecnico di Milano - Somedia

ELETTROTECNICA ADueporte resistivi

Relazione costitutiva dei due-porte resistivi, 1


Lezione

17

Politecnico di Milano - Somedia Politecnico di Milano - Somedia

Relazione costitutiva di dispositivi a due porte

Dueporte resistivi

Dispositivo con N morsetti

(N-1) correnti indipendenti

(N-1) tensioni indipendenti

Relazione costitutiva: (N-1) equazioni

0),,...,,,,,...,,,(

......

0),,...,,,,,...,,,(0),,...,,,,,...,,,(

132113211

132113212

132113211

=

==

teeeeiiiif

teeeeiiiifteeeeiiiif

NNN

NN

NN



N - porte

Un dispositivo con 2N terminali detto N-porte se i morsettidel dispositivo sono TUTTI accoppiati a due a due in modo tale che

per ciascuna coppia, la corrente entrante in un morsettosia sempre uguale a quella uscente dallaltro.

Quando ci si verifica, ciascuna coppia di morsetti detta porta

Dueporte resistivi



due-porte tempo-invarianti:

relazioni costitutive( , , , )( , , , )

f i if i i

==

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

00

relazioni costitutive ( , , , , )( , , , , )

f i i tf i i t

==

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

00

Dueporte resistivi



f i i = + + + + =2 21 1 22 2 21 1 22 2 2 0

relazioni costitutive

f i i = + + + + =1 11 1 12 2 11 1 12 2 1 0

Rjkjkj ,,

Dueporte resistivi



A B

= = =

11 12 11 12 1

21 22 21 22 2

i vi i = =

1 1

2 2

Av Bi 0+ + =

Dueporte resistivi



R i R i c= + +2 21 1 22 2 2 R i R i c= + +1 11 1 12 2 1

cRiv +=

Dueporte resistivi


La matrice resistenza

rappresentazione serie

cRiv +=

se 0 c i i= = =2 2 1 2 se 0 c i i= = =1 1 1 2

Dueporte resistivi



i1 = i2 = 0 c1 e c2poniamo calcolo dii1 = i2 = 0 1 = c1 = 10

2 = c2 = 10 se

Dueporte resistivi



2 se R ii

= =2211

0

2 se R ii

= =1111

0

1 11

2 21

10

10

i i i R

i i R

= = = =

= = =2 1 1

1 1

400 8 85010 2 250

Dueporte resistivi



1

1

se 0

se 0

R iiR ii

= =

= =

112

2

222

2

1 12

2 22

i i i R

i i R

= = = =

= = =1 2 2

2 2

100 10 2 2504010 8 850

Dueporte resistivi



v i = +

8 2 102 8 10

Dueporte resistivi



se c

i i c= = ==

1 11 2

2 20

Spenti i generatori indipendenti si calcola R

se

se

Ri

iRiRi

iRi

= == = ==

111

12

221

1

112

21

222

2

0

0

Dueporte resistivi



bai

RRivR +==

=011

112

bi

RivR ==

=012

212

bi

RivR ==

=021

121

bci

RRivR +==

=022

221

==2221

1211R Riv RRRR

+

+=bcb

bba

RRR

RRRRR

Dueporte resistivi


Rappresentazione parallelo

rappresentazione parallelo

i G G a= + +2 21 1 22 2 2i G G a= + +1 11 1 12 2 1

aGvi +=

Dueporte resistivi


La matrice conduttanza

aGvi +=

1 2 se 0a i = = =2 21 2 se 0a i = = =1 1

Dueporte resistivi



aGvi +=

se

iG iG

= ==

112

21

222

2

0 se

iG iG

= ==

111

12

221

1

0

spenti i generatori indipendenti a = 0

Dueporte resistivi



0b c

iG G G == = +222

2 1

0a c

iG G G == = +111

1 2 0c

iG G == = 221

1 2

0c

iG G == = 112

2 1

=

2221

1211

GGGG

GG

++=

cbc

cca

GGG

GGGGG

Dueporte resistivi



Relazione costitutiva dei due-porte resistivi, 2


Lezione

17


Relazione costitutiva dei dueporte resistivi

Dueporte resistivi

rappresentazioni di due-porte resistivi lineari


Rappresentazione ibrida

rappresentazione ibrida 1

matrice ibrida 1

h hh h =

11 12

21 22H

h i h i h i h

= + = +1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Dueporte resistivi


La matrice H

Dueporte resistivi


' '1 2

' '1 2

i h h i h h i

= + = +1 11 12

2 21 22

' ''

' 'h hh h =

11 12

21 22H matrice ibrida 2


La matrice H

rappresentazione ibrida 2( , )

( , )i i i i= =

1 1 1 2

2 2 1 2

rappresentazione ibrida 1( , )( , )

i i i i = =

1 1 1 2

2 2 1 2

Dueporte resistivi


La matrice H


=

2221

1211

hhhh

HH

2

1 1i

ih =

=2 20

1

2

hi =

=1 11 0

1

2 1i

h =

=1 20

2

1 2

ihi =

=2 10

Dueporte resistivi


La matrice trasmissione

2

2

t t ii t t i= =

1 11 12 2

1 21 22 2

Tt tt t =

11 12

21 22

Dueporte resistivi



2

' '

' '

T'

T'

i i

t t

t t

=

1

2 1

11 12

21 22

T =

Dueporte resistivi



0BiAv =+

Dueporte resistivi



0BiAv =+

=

k

kT 10

0

=

kk'T0

01

=

00

1 kA

=

k

B 11

00

2 k

i ik

= =

1

1 21

Dueporte resistivi



( ) R i i= = +

1 2

1 1 2

Ri Ri Ri Ri= + = +

1 1 2

2 1 2

R RR R

= RGB /= 0det

i iR R

+ = 1 1

2 2

1 1 0 0 01 0 0

Av + Bi = 0

Dueporte resistivi



Av + Bi = 0Av + Bi = 0

i= =

1

2 1

0 i= =

1

2 1

0

=

0

00

pR

=

0

00

pRRR

Dueporte resistivi

i i + =

1 1

2 2

1 0 0 0 00 1 0 0

i i + =

1 1

2 2

1 0 0 0 00 1 0 0

1 Politecnico di Milano - Somedia Politecnico di Milano - Somedia Politecnico di Milano - Somedia


Propriet dei due-porte


Lezione

17


Circuiti equivalenti di dispositivi a due porte

Dueporte resistivi

circuiti equivalenti di dispositivi a due porte



v Ri RR RR R

= = 11 12

21 22

Dueporte resistivi



i Gv GG GG G

= = 11 12

21 22

Dueporte resistivi



i h i h = +2 21 1 22 2rappresentazione ibrida 1

h i h = +1 11 1 12 2

Dueporte resistivi


Reciprocit

1det

'12

'21

1221

1221

1221

===

==

T

hh

hh

GG

RR

Dueporte resistivi


Reciprocit

Riv

12212221

1211

==

= RRRR

RRR

Riv

12212221

1211

==

= RRRR

RRR

v = Riv = Ri

Dueporte resistivi


Reciprocit

Gvi

G

==

= 1221

2221

1211 GGGGGG

Dueporte resistivi


Tipologie di connessione di due-porte

connessioni tra dispositivi a due porte

Dueporte resistivi


Tipologie di connessioni di due porte

collegamento serie di due dispositivi a due porte

Dueporte resistivi



collegamento parallelo di due dispositivi a due porte

Dueporte resistivi



collegamento in cascata di due dispositivi a due porte

Dueporte resistivi


Conclusione

dispositivi a due porte

matrici R,G,H,T

rappresentazione serie, parallelo, ibride 1 e 2, tramissione 1 e 2

reciprocit

simmetria

connessioni tra dispositivi a due porte

Dueporte resistivi


ELETTROTECNICA A

Simulazione circuitale

Analisi nodale


Lezione

8



Analisi nodale

simulazione circuitalesimulazione circuitale


SIMULATORI CIRCUITALI

programmi al calcolatore perla soluzione automatica di circuiti elettrici


Analisi nodale


SPICEsimulatore circuitale sviluppato

presso lUniversit di California a Berkeley nel 1971


Analisi nodale


Simulazione circuitale - SPICE

simulatore circuitalesimulatore circuitale

Analisi nodale


libreria di dispositivilibreria di dispositivi


Analisi nodale



Analisi nodale



Analisi nodale


Attribuiti generali

scrittura completamente automatica delle equazionia partire dalla netlist dingresso

applicabilit del metodo ad una classe ampia di circuiti

bassa complessit e peso computazionale

Metodi per la scrittura delle equazioni utilizzabilinella simulazione circuitale al calcolatore


Analisi nodale


metodo della matrice sparsa

implementazione di programmi automatici

grande quantitdi conti necessari alla soluzione


Analisi nodale


Analisi nodale +

Analisi nodale modificata

metodo di analisi circuitale tramite la determinazione delle (n-1) tensioni di nodo indipendenti

applicabile a tutti i circuiti per cui valgono le LK

procedura automatizzabile per la scritturadel sistema di equazioni risolutive


Analisi nodale


ELETTROTECNICA A

Analisi nodale

Analisi nodale


Lezione

8


Analisi nodale

Analisi nodale

dispositivo la cui relazione costitutiva tale per cuiad ogni fissata corrente, corrisponde unoe un solo valore di tensione di lato

dispositivo la cui relazione costitutiva tale per cuiad ogni fissata tensione di lato, corrisponde uno e un solo valore di corrente di lato

Dispositivo controllato in tensione

Dispositivo controllato in corrente


Analisi nodale Dispositivi controllati in tensione

Dispositivi controllati in tensioneAnalisi nodale


Analisi nodale

Analisi nodale Dispositivi controllati in corrente

Dispositivi controllati in corrente


Circuito controllato in tensione

Circuito controllato in corrente

circuito in cui TUTTI i componenti sono controllati in tensione

circuito in cui TUTTI i componenti sono controllati in corrente

Analisi nodale

Analisi nodale Dispositivi controllati in tensione


Analisi nodale

ANALISI NODALE per circuiti controllati in tensione

nellanalisi nodale si calcolano le tensioni

degli (n-1) nodi indipendenti e da questi si ricavano poi

tutte le tensioni e le correnti di lato significative

per molti circuiti (n-1) < 2l, e quindi lanalisi nodale

consente una considerevole riduzione

del carico computazionale

Analisi nodale


ANALISI NODALE per circuiti controllati in tensione

Scrittura di tuttele correnti di latoin funzione delle tensioni di nodo

Scrittura di (n-1) equazioniindipendenti relative alla

applicazione della LKC ad(n-1) nodi di circuito

(n-1) equazioni indipendentinelle (n-1) tensioni di nodoindipendenti del circuito

Soluzione del sistema

Calcolo delle grandezze di lato incognitein funzione delle tensioni di nodo

Analisi nodale

Analisi nodale


)(*

)(1

)(1

)(1

)(1

)(1

32

035

1

324

1

323

1

122

2

011

1

ee

eeR

i

eeR

i

eeR

i

eeR

i

eeR

i

=

=

=

=

=

=

Analisi nodale

Analisi nodale


1

3 01)(1)(1 35

324

323

=+ eR

eeR

eeR

)()(11 122

11

taeeR

eR

=

2 0)()(1)(1)(1 32324

323

122

=++ eeeeR

eeR

eeR

Analisi nodale

Analisi nodale


Analisi nodale/1

Analisi nodale


)(1 122

2 eeRi = )(1 12

22 eeRi =

Analisi nodale/2

Analisi nodale


Analisi nodale/3

Analisi nodale


Analisi nodale/4

Analisi nodale


coeff.ajj somma delle conduttanze dei resistori che hannoun morsetto collegato al nodo j

coeff.akj somma cambiata di segno delle conduttanze dei resistori con i morsetti connessi ai nodi j e k

coeff.termine noto bjsomma delle correnti impresse dai generatori di corrente con unmorsetto connesso al nodo j con la convenzione per cui sono positive le correnti entranti al nodo j

Analisi nodale

Analisi nodale


ANALISI NODALEANALISI NODALE

Circuiti contenenti solo generatori indipendentidi corrente e resistori ideali

il sistema in forma matricialeA e = b

pu essere compilato per ispezioneseguendo le precedenti regole

Analisi nodale

Analisi nodale


ELETTROTECNICA A


Analisi nodale


Lezione

8


Analisi nodale/1

Analisi nodale


Analisi nodale/2

Analisi nodale



Analisi nodale

analisi nodale modificata



i1

i2

Analisi nodale



1

4 1346

345

44

)(1)(11 aeeR

eeR

eR

=++

0)(11 1212

11

=++ ieeR

eR

2 0)(1

2122

=+ ieeR

3 1436

435

33

2 )(1)(11 aeeR

eeR

eR

i =+++

232

11

Eee

Ee

==

Analisi nodale



Analisi nodale



Analisi nodale



Per ogni lato controllato in tensione, scrittura della

corrente di lato in funzionedelle tensioni di nodo

per ciascuno degli m lati non controllati intensione, introduzione di una nuova

incognita corrispondente alla corrente dilato e scrittura della relazione costitutiva

Scrittura di (n-1) equazioniindipendenti relative alla

applicazione della LKC ad(n-1) nodi di circuito

(n-1+ m) equazioni indipendenti aventicome incognite le (n-1) tensioni di nodoindipendenti del circuito e le m correnti

dei lati non controllati in tensione

Soluzione del sistema

Calcolo delle grandezze di lato incognitein funzione delle tensioni di nodo

Analisi nodale


Analisi nodale modificata Scrittura della matrice per ispezione

Analisi nodale


Analisi nodale modificata Scrittura della matrice per ispezione

Analisi nodale


Conclusione

schema elettrico

metodi di soluzione

analisi nodale

sistema di equazioni gi in forma matriciale

Analisi nodale


ELETTROTECNICA A

Dispositivi lineari a tratti

Diodi ideali e dispositivi lineari a tratti


Lezione

9




Circuiti resistivi lineariCircuiti resistivi linearicircuiti composti da generatori indipendenti e

dispositivi resisitivi lineari

Circuiti resistivi non lineariCircuiti resistivi non linearicircuiti composti da generatori indipendenti e

dispositivi resisitividi cui almeno uno non lineare





diodo a semiconduttorediodo a semiconduttore

A

K

+VD-

ID




ELETTROTECNICA A

Soluzione di circuiti con un solo diodo



Lezione

9





c .c.c .c.

c .a.c .a.







mA10101010 23 === Di

W1.01010 2 == P




A

K

+VD-

ID



1ELETTROTECNICA A

Soluzione grafica di circuiti con dispositivi lineari a tratti



Lezione

9




Soluzione grafica di circuiti con diodi ideali



soluzione

determinare V e I




Soluzione di circuiti con un solo diodo Rete con due soli bipoli

IBB

+VB-

+V-

I

A B

IAA

+VA-

2Diodi ideali e dispositivi lineari a tratti





1

+-

A

+

V

_B

I

Soluzione di circuiti con un solo diodo Composizione serie e parallelo

2V +- 2V

V R I=






I = G V


A

2 +V-

B

2A

I

2A

3Diodi ideali e dispositivi lineari a tratti





riduzione grafica serie e parallelo

soluzione del circuito equivalente ad una maglia

soluzione grafica di circuiti con pi dispositivi lineari a tratti







Conclusione

diodo idealefamiglia dei dispositivi lineari a tratti

tecniche e i metodi utilizzabili peri circuiti resistivi lineari

utili anche nel caso di reti non lineari


ELETTROTECNICA A

Il condensatore

I dispositivi dinamici: induttori e condensatoriLezione

10


Relazione costitutiva di induttori e condensatori

I dispositivi dinamici: induttori e condensatori

induttore lineare condensatore lineare

di Cdt

=di Ldt

=


Il condensatore - Relazione costitutiva di induttori e condensatori

Q C=

I dispositivi dinamici: induttori e condensatori

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Elettrotecnica Modulo A Politecnico di Milano