Elettronica dello Stato Solido Lezione 10: Strutture a bande in …home.deib.polimi.it/ielmini/pdf/ESS10_I.pdf · Outline D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 10 2 • Il

Elettronica dello Stato Solido

Lezione 10: Strutture a bande in

due e tre dimensioni

Daniele Ielmini

DEI – Politecnico di Milano

[email protected]

mailto:[email protected]

Outline

2 D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 10

• Il reticolo reciproco

• Zone di Brillouin in 2D

• Zone di Brillouin in 3D

• Strutture a bande di semiconduttori reali

• Gap diretto e gap indiretto

• Conclusioni

Definizione di reticolo reciproco

• Dato un reticolo diretto (spazio reale)

R=n1a1+n2a2+n3a3, si consideri l’onda

piana eiK*r, dove r = vettore spaziale

qualunque

• In generale l’onda piana non ha la stessa

periodicità del reticolo diretto

• Reticolo reciproco = il reticolo di punti K

tali che eiK*r ha la stessa periodicità del

reticolo reale, cioè:

D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 10 3

1 2

iK R r iK r iK Re e e K R n

Costruzione del reticolo reciproco

• Un vettore K del reticolo reciproco

soddisfa K = m1b1+m2b2+m3b3, con:


2 31

1 2 3

3 12

1 2 3

1 23

1 2 3

2

2

2

a ab

a a a

a ab

a a a

a ab

a a a

2 i j ijb a

1 1 2 2 3 32 K R n m n m n m

Volume della cella unitaria

Reticolo reciproco in 1D

• 1D: il reticolo di passo a ha come reticolo

reciproco il reticolo di passo 2/a


k

+/a -/a

E

+2/a +3/a -3/a -2/a

Prima zona di Brillouin II ZB III ZB II ZB III ZB

+4/a

IV ZB

0


• 2D: il reticolo quadrato di passo a ha come

reticolo reciproco il reticolo quadrato di

passo 2/a


k1

+/a -/a +2/a +3/a -3/a -2/a

k2

0

Zone di Brillouin

• Le ZB si definiscono come celle di Wigner

Seitz del reticolo reciproco


k1

+/a -/a +2/a +3/a -3/a -2/a

k2

1

2

Zone di Brillouin




k1

+/a -/a +2/a +3/a -3/a -2/a

k2

1

2

Zone di Brillouin




k1

+/a -/a +2/a +3/a -3/a -2/a

k2

1

2

3

Zone di Brillouin in 2D

• Per arrivare alla n-esima zona, si possono oltrepassare solo n-1 piani di Bragg


Struttura a bande in 2D

• Elettroni liberi paraboloide

• È più facile trattarlo in due dimensioni usando il concetto di superficie di Fermi = superficie isoenergetica

• Significato fisico = contiene gli stati che vengono riempiti preferenzialmente dagli elettroni


2

2 2

1 22

E k km

k1

k2

E

Superficie di Fermi: elettroni liberi


k1

+/a -/a +2/a 0 -2/a

k2

Deformazione bande paraboliche

• La parabola degli elettroni liberi in 1D si

deformava a causa dell’apertura del gap

• Lo stesso accade per il paraboloide in 2D


k [m-1]

E [eV]

/a

D


k1

k2

Deformazione della superficie di Fermi

+/a -/a +2/a 0 -2/a


k1

k2

Elettroni quasi liberi

+/a -/a +2/a 0 -2/a


R. Diretto R. Reciproco IZB

Cubico

semplice

Cubico corpo

centrato (BCC)

Cubico facce

centrate (FCC)


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Sphere_-_monochrome_simple.svg






























































Zona di Brillouin dell’FCC

• Punti ad alta simmetria, di cui i principali sono:

– G = centro banda

– X = punto di simmetria lungo la direzione (100)

– L = punto di simmetria lungo la direzione (111)


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Brillouin_Zone_(1st,_FCC).svg

Superfici di Fermi in 3D


Struttura a bande in 3D


Nel caso di

semiconduttori

reali, le superfici di

Fermi non sono

immediate: può essere

preferibile studiare

l’andamento dell’energia

lungo le direzioni ad alta

simmetria, e.g. G-X e G-L

Ge, Si e GaAs


Ge Si GaAs

EG=0.66 eV EG=1.12 eV EG=1.42 eV

Banda di valenza

• Massimo della BV sempre in G (k=0)

• BV = 3 sottobande, di cui 2 degeneri in k = 0

(lacuna leggera e lacuna pesante) e una con

energia inferiore (banda di split-off)

• Bande essenzialmente isotrope presso k = 0


Ge Si GaAs

Banda di conduzione

• BC composta da varie sottobande

• Posizione del minimo diversa per i materiali:

– Ge punto L degenerazione = 8/2 = 4

– Si 80% di G-X degenerazione = 6

– GaAs G no degenerazione, minimo isotropo D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 10 22

Ge Si GaAs

Superfici di Fermi


• Forma della superficie isotropia/anisotropia delle masse efficaci (sfera = m* isotropa, ellissoide = m* anisotropa)

• Numero delle superfici degenerazione g dei minimi in BC

Ge Si GaAs

kx

ky

kz

ky

kz

kx kx

ky

kz

g = 8/2 = 4 g = 6 g = 1

Anisotropia della massa


• Nell’intorno del minimo, l’energia può essere scritta in forma parabolica:

• m*l = massa longitudinale = nella stessa direzione dell’asse k su cui si trova il minimo

• m*t = massa trasversale = nella direzione perpendicolare all’asse k su cui si trova il minimo

Si

kx

ky

kz

kx0

2 2 2

2 2 2

02 2 2

C x x y z

l t t

E E k k k km m m

kx kx0

EC

E

ky

EC

E

E* E*

Masse efficaci

• Si, Ge superfici di Fermi = ellissoidi di rivoluzione (per simmetria my = mz = m*t)

• Ge l’espressione di E è identica a quella del Si, ma al posto di kx, ky e kz si usa la terna delle diagonali

• GaAs massa unica isotropa, superficie di Fermi = sfera

• Banda di valenza masse isotrope m*hh, m*lh, m*so


2

2 2 2

2 * C x y zE E k k k

m

Masse efficaci in Si, Ge e GaAs

• Masse misurate a T = 4 K con la tecnica di risonanza di ciclotrone


Ge Si GaAs

m*l/m0 1.588 0.9163

m*t/m0 0.08152 0.1905

m*e/m0 0.067

m*hh/m0 0.347 0.537 0.51

m*lh/m0 0.0429 0.153 0.082

m*so/m0 0.077 0.234 0.154

Gap diretto e gap indiretto

• Semiconduttori a gap diretto (GaAs): massimo della BV e minimo della BC sono allo stesso k buone proprietà ottiche (assorbimento, emissione)

• Semiconduttori a gap indiretto (Ge, Si): massimo della BV e minimo della BC non sono allo stesso k proprietà ottiche non ottimali


k

E

k

E

Assorbimento in GaAs


k

E

hn

• Nell’assorbimento si conserva sia l’energia sia il momento

• Energia del fotone = hn > EG = 1.4 eV luce assorbita ha lunghezza d’onda di circa l = hc/E 800 nm q = 2/l 8x106 m-1

• Il contributo di momento del fotone è trascurabile rispetto al tipico valore dell’elettrone dell’ordine di una frazione di /a 1010 m-1

Assorbimento in GaAs


k

E

hn

2 22 2

2 2 G

e h

h E k km m

n 2

eq Gm h E

kn

1 1 1

eq e hm m m

Assorbimento in Si

• Per la conservazione del momento, l’elettrone

ha bisogno di un contributo dell’ordine di 1010

m-1, che il fotone non è in grado di fornire

necessario l’intervento di un fonone

(vibrazione termica reticolare) processo a

tre corpi, relativamente poco probabile D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 10 30

k

E

hn

Dipendenza dalla temperatura

• Il gap aumenta al diminuire della temperatura: è il risultato della contrazione termica e del rafforzamento dell’interazione tra siti atomici

• Parametri a e b di best fitting, disponibili in tabelle per i principali semiconduttori


2

0( ) ( )

G G

TE T E

T

a

b

Contrazione termica

• La distanza interatomica R* di equilibrio nel cristallo è determinata da una buca di potenziale asimmetrica R* si sposta verso 0 al diminuire della temperatura, perché il potenziale e l’autofunzione diventano sempre più simmetrici


R R*

energ

ia

Dall’atomo al cristallo


R R*

4N stati

4N elettroni

1s

2s

2p

3s

3p

Struttura elettronica

dell’atomo di Si

12N stati

4N elettroni

8N stati

8N elettr.

8N stati

0 elettr.

EG

BV

BC Energ

ia

N = numero celle

2N = numero atomi (base)

Il numero di stati include lo spin

Numero di bande e stati


•IZB = N stati k, dove N = numero celle

•Per ogni k = 4 BC + 4 BV

Conservazione del numero stati

• Atomi isolati: 2N atomi

– 3s: 2N atomi X 2 stati = 4N stati

– 3p: 2N atomi X 6 stati = 12N stati

– ________

– 16N stati

• Cristallo: N celle, 2N atomi (base)

– BC: 4N stati k X 2 stati spin = 8N stati

– BV: 4N stati k X 2 stati spin = 8N stati

– ________

– 16N stati


Conclusioni

• Il reticolo reciproco scandisce lo spazio k come il reticolo diretto scandisce lo spazio reale

• Zone di Brillouin = celle di Wigner Seitz del reticolo reciproco

• La prima ZB racchiude la totalità degli stati elettronici (rappresentazione in zona ridotta)

• Struttura a bande 3D secondo direzioni ad alta simmetria (punti G, X, L)

• Nozioni essenziali: posizione e degenerazione dei minimi/massimi, masse efficaci, gap diretto/indiretto


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