elettromagnetismo 2 (2017-2018);6 - lxmi.mi.infn.itlxmi.mi.infn.it/~ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Onde elettromagnetiche Equazione dell'onda Soluzione dell'equazione dell'onda

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Onde elettromagneticheEquazione dell'onda

Soluzione dell'equazione dell'ondaOnde piane. Polarizzazione

Lezione n. 34 – 15.05.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 345

Corrente superficiale• Una densità di corrente superficiale infinita genera un campo magnetico parallelo al piano della corrente e perpendicolare alla direzione della stessa• La legge di Biot e Savart implica che B non possa

essere parallelo a K e quindi By = 0• La componente Bx deve essere nulla per simmetria

• Infatti se u → −u deve anche essere B → −B• Ma la trasformazione della velocità può essereottenuta da una rotazione di π intorno all'asse x• Non cambia il segno di Bx e quindi Bx = 0

• Pertanto il campo magnetico è diretto lungo l'asse z• Sempre utilizzando la legge di Biot e Savart ci

si può convincere che

• Utilizziamo la legge di Ampère


Un'onda elettromagnetica• Consideriamo ancora l'esempio precedente

• Ignoriamo il campo elettrico generato dal piano di carica • Possiamo sempre immaginare che ci sia un altropiano di densità −σ che si muove con velocità –u

• Il piano è fermo per t < 0, inizia a muoversi a t = 0• Per t < 0 il campo magnetico è nullo• Per t > 0 il campo diventa B = μ0K/2

• Tuttavia per distanze x > vt il campo deve essere nullo• Chiamiamo v la velocità di propagazione del campo magnetico

• Visto dall'alto il campo magnetico appare come in figura• La regione di transizione fra B ≠ 0 e B = 0è determinata dal modo in cui il pianodi carica passa dallo stato di quiete al moto• Se l'accelerazione è molto rapida

la transizione è più netta

entranteuscente


Un'onda elettromagnetica• Nella regione di transizione c'è una variazionedel campo magnetico nello spazio e nel tempo• Studiamo la transizione con l'equazione di Maxwell

• Il rotore ha una sola componente non nulla• Le componenti Bx e By sono nulle

• Pertanto nella regione di transizione compareun campo elettrico

J ≠ 0 solo per z = 0


Un'onda elettromagnetica• Possiamo utilizzare anche l'altra equazione di Maxwell

• Dato che solo la componente z di B è diversa da zero → solo (∇×E)z ≠ 0

• La componente Ex potrebbe essere costante. La assumiamo nulla• Tutto il nostro ragionamento è definito a meno di campi costanti

• Possiamo calcolare il campo magnetico

• La variazione del campo elettrico genera a sua volta un campo magnetico• Le due relazioni trovate devono essere compatibili

• La velocità di propagazione è determinata dalle costanti ε0 e μ0


Un'onda elettromagnetica• Riassumiamo quanto abbiamo capito

• Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di motodel piano di carica genera un'onda elettromagnetica• L'onda viaggia con velocità

• Nelle immediate vicinanze della corrente superficiale il campo magnetico è generato dalla corrente superficiale

• Allontanandosi dalla sergente i campi sono generati dalle loro variazioni spazio-temporali

• Le variazioni del campo B generano localmente il campo E (Faraday)• Le variazioni del campo E generano localmente il campo B (Maxwell)

• I campi sono perpendicolari fra di loro• Perpendicolarità imposta dalle equazioni di Maxwell (introdotta dal rotore)

• I campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione• Vedremo che dipende dalle equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0

v risulta essere lavelocità della luce


Un'onda elettromagnetica• Supponiamo che dopo un tempo T lo strato di carica venga arrestato

• L'andamento della corrente nel tempo è stato come in figura• La corrente non genera più il campo magnetico• Si forma una zona senza campo

• Il campo generato nell'intervallo 0 ≤ t ≤ Tcontinua a viaggiare nelle due direzioni

• Complessivamente il fenomeno è stato• La corrente ha generato un'onda elettromagnetica

• Radiazione• Il campo si è disaccoppiato dalla sorgente

• I campi E e B si sostengono a vicenda• Propagazione

• Nelle regioni in cui i campi sono diversida zero è immagazzinata energia

• Questa energia proviene dal lavoro fatto per generare l'onda• Nello "spingere" la carica si deve vincere una "resistenza" di radiazione


Equazione dell'onda• Scriviamo adesso l'equazione di propagazione dei campi E e B dopo che l'onda è stata generata• Utilizziamo le equazioni di Maxwell nel vuoto con ρ = 0 e J = 0

• Si tratta di un sistema di equazioni differenziali accoppiate• Per disaccoppiare i campi E e B calcoliamo il rotore delle ultime due

equazioni• Utilizziamo l'identità (diapositiva )

• Applichiamola alla terza equazione

• Utilizziamo la quarta equazione

• È una forma compatta per indicare le tre equazioni

78877


Equazione dell'onda• Si può dimostrare che anche le componenti Bx, By, Bz del campo magnetico soddisfano la stessa equazione

• Inoltre verificheremo in seguito che anche il potenziale vettore A e il potenziale scalare φ soddisfano la stessa equazione dell'onda

• Da un punto di vista matematico si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali di tipo iperbolico

• Per risolverla occorre definire le condizioni iniziali

• Ad esempio nel caso unidimensionale


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Le equazioni trovate sono una generalizzazione a tre dimensioni dell'equazione dell'onda in una dimensione

• Com'è noto nel caso unidimensionale la soluzione generale è

• Naturalmente la funzione Ey = −μ0cKRT(x−ct) soddisfail nostro problema della corrente superficiale infinita

• Per correnti parallele ai piani x−y e x−z le soluzioniavrebbero potuto essere

• La caratteristica saliente di queste soluzioni è che il campo è costante sui piani perpendicolari alla direzione di propagazione• Nel caso in cui la direzione di propagazione sia arbitraria

u,v sono funzioni continue (con derivata continua)


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda uni-dimensionale utilizzando la trasformata di Fourier• La trasformata di Fourier è definita come

• Le formule precedenti sono facilmente generalizzabili al caso di una funzione di due variabili

• Calcoliamo le derivate di f(x,t)

• Introduciamo nell'equazione


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Pertanto la trasformata di f(x,t) deve soddisfare la seguente relazione

• Significa che

• D'altro canto

• Vediamo che ha proprietà simili a quelle di δ(x)• È quasi sempre nulla• Il suo integrale è finito• È una funzione singolare

• Utilizziamo la proprietà della funzione δ(x)

escluso il caso nel qual caso può essere qualsiasi

deve essere


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Applichiamo al nostro caso

• Otteniamo

• Poniamo

• Integriamo in dω


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Esaminiamo la soluzione trovata

• La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde• Un'onda che propaga nel senso positivo delle x• Un'onda che propaga nel senso negativo delle x

• È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde

• Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde• Sono funzioni sinusoidali

• I parametri ω e k non sono indipendenti ω = ± kc• Dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc

• La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali


Soluzioni dell'equazione dell'onda• Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali

• Abbiamo

• Inoltre

• Otteniamo


Onde piane e monocromatiche• Ritorniamo alle onde elettromagnetiche

• Abbiamo visto che i campi E e B soddisfano le equazioni

• In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda

• Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell

• La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche• Le equazioni ∇⋅E = 0 e ∇⋅B = 0 impongono che E e B sianoperpendicolari alla direzione di propagazione

• Le equazioni del rotore impongono che i campi E e B siano perpendicolarifra loro e i loro moduli collegati

• Consideriamo soluzioni del tipo E(r,t) = E0 e−i(kx – ωt)

• Un'onda che propaga lungo l'asse x• I campi E(r,t) e B(r,t) hanno lo stesso

valore sui piani perpendicolari all'asse x• Un'onda di questo tipo si chiama onda piana


Soluzioni: onde piane • In un'onda piana i campi E e B non cambiano spostandosi sul piano

• Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad un asse coordinato• I campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della proiezione di r nella direzione della normale al piano

• Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implicache le derivate abbiano una forma particolare

• Espressioni analoghe per le altre derivate• Specializziamo queste considerazioni all'operatore ∇ applicato a un'onda

piana (in coordinate cartesiane) o a una sua componente f(ζ)

ζ è la distanza del piano dall'origine


Soluzioni: onde piane • Utilizzando l'espressione dell'operatore ∇ trovata per l'onda piana possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell nel vuoto

• Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana • Moltiplichiamo per la quarta equazione

• Analogamente per la prima equazione si ha• Sommando le due equazioni

• Il differenziale dE è la variazione del campo elettrico se ci si muove nella direzione di propagazione o se varia il tempo• L'onda è trasversale alla direzione di propagazione

definiamo


Soluzioni: onde piane • Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava

• Il significato di queste equazioni è il seguente• In un'onda piana le variazioni dE e dB dovute a

spostamenti lungo ζ e/o a variazioni nel tempo sono perpendicolari a • È possibile verificare la condizione anche per campi con componente lungo ζ

• Ad esempio, il campo E può avere una componente lungo ζ uniforme

• Implica che anche

• Non sono onde che si propagano• Quindi i campi E e B di un'onda giacciono sul piano perpendicolare a

• Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ−η• I campi possono essere scomposti nelle componenti Eξ e Eη, Bξ e Bη

• Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda

inoltre

Significa che sono anche campi statici

ricordiamo la precedente


Soluzioni: onde piane • Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ

• Utilizziamo la terza e la quarta equazione• Moltiplichiamo vettorialmente la terza per

• Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta

• Eliminiamo B

• Analogamente per il campo B

Ci siamo ricondotti all'equazionedell'onda unidimensionale


Soluzioni: onde piane • Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale

• Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva )

• Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono• Un'onda che viaggia verso "destra": kζ−ωt• Un'onda che viaggia verso "sinistra": kζ+ωt

• Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e±i(…)

• La soluzione generale sarà data da

• Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A*• Definiamo ρ = |A| = |B| e δ = arg(A) = − arg(B)

• Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa)• Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno

• Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni

φ può essere kζ−ωt oppure kζ+ωt

sono anche monocromatiche

1294357


Soluzioni: onde piane • Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali

• Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali• Per tale motivo si indica la soluzione nella forma• La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ• Alla fine del calcolo si prende la parte reale

• Usiamo il vettore d'onda• La soluzione diventa

• Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo

• Le costanti E1ξ e E2ξ sono complesse• Per la componente Eη del campo si trova una soluzione analoga

• In forma vettoriale

• Il simbolo ∼ (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse


Soluzioni: onde piane • Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga

• Troviamo una relazione fra i vettori E1 e E2 e i vettori B1 e B2

• Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva )

• Calcoliamo le derivate

• Introduciamo nell'equazione di Maxwell

• Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc)

1036361

ricordiamo il campo E


Soluzioni: onde piane • Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z

• Il vettore E1 è nella direzione x• Il vettore B1 punta nella direzione y

• Il periodo dell'onda

• La lunghezza d'onda


Lo spettro delle onde elettromagnetiche


Lo spettro visibile


Polarizzazione dell'onda• L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x• L'onda è polarizzata linearmente• Naturalmente il vettore E può puntare in qualsiasi direzione• La direzione del vettore E è la direzione in cui è polarizzata l'onda

• Ad esempio polarizzazione "orizzontale", "verticale" oppure "obliqua"

• Si può costruire un'onda dalla sovrapposizione di altre due onde • Ad esempio due onde con polarizzazione diversa

• Scegliamo i due vettori Ea e Eb nel modo seguente (polarizzazione obliqua)


Polarizzazione dell'onda• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• Un onda di questo tipo è polarizzata linearmente• Consideriamo ad esempio

• È l'andamento temporale delcampo sul piano z = 0• La direzione del vettoreè sempre la stessa

• La lunghezza del vettoreoscilla


Polarizzazione dell'onda• Utilizziamo adesso altre due onde

• Il vettore Eb ha una parte immaginaria• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• In questo caso la polarizzazione è circolare• Studiamo il campo sul piano z = 0

• Il vettore E ruota in senso antiorario: polarizzazione sinistra • Se lo sfasamento è −π/2 E ruota in senso orario: polarizzazione destra


Polarizzazione dell'onda• Se le lunghezze di Ea e Eb sono differenti la polarizzazione è ellittica

• Calcoliamola parte reale

Documents

elettromagnetismo 2 (2017-2018);6 - lxmi.mi.infn.itlxmi.mi.infn.it/~ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Onde elettromagnetiche Equazione dell'onda Soluzione dell'equazione dell'onda