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Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Anno Accademico 2018/2019 Elettromagnetismo Campo di una spira circolare Potenziale Vettore Potenziale di una spira Lezione n. 21 – 19.3.2019

elettromagnetismo 2 (2018-2019);1ragusa/2018-2019/elettromagnetismo... · Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 89 Il potenziale vettore • Abbiamo già notato che il potenziale

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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2018/2019

Elettromagnetismo

Campo di una spira circolarePotenziale Vettore

Potenziale di una spira

Lezione n. 21 – 19.3.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 83

Campo magnetico di una spira• Calcoliamo il campo di induzione magnetica B in unpunto fuori dall’asse• La simmetria azimutale del problema consente di

scegliere il punto r sul piano x−z

• Consideriamo un tratto dl sul filo• È individuato dal vettore• Calcoliamo dr'

• Il contributo a B è

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 84

Campo magnetico di una spira

• Calcoliamo il prodotto vettoriale

• Il campo B è pertanto

• Notiamo innanzitutto che il termine proporzionale a è nullo• Basta fare la sostituzione φ' → x + π e si ottiene una funzione dispari in xintegrata da −π a +π• Pertanto

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 85

Campo magnetico di una spira

• Notiamo inoltre che

• Posto

• Otteniamo

• Le due espressioni I3/2 e X3/2 sono riconducibili a integrali ellittici• Vedi anche elettromagnetismo 1 diapositiva 219

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 86

Campo magnetico di una spira

• Trasformiamo gli integrali in una forma opportuna rispetto alle definizioni standard degli integrali ellittici• Prima di tutto operiamo un cambio di variabile: φ = π + 2t• I limiti di integrazione diventano• φ = 0 → t = −π/2 φ = 2π → t = +π/2. Inoltre dφ =2dt• La funzione trigonometrica: cos(π+2t) = −cos2t = −1 + 2sin2t• Chiamiamo A il radicando

• Definiamo

• Osserviamo che per 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r < ∞ abbiamo 0 ≤ k ≤1• Per l’integrale I3/2 otteniamo

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 87

Campo magnetico di una spira• Ricordiamo le definizioni degli integrali ellittici di primo e secondo tipo

• Da Gradshteyn Ryzhik 2007 3.617 otteniamo1

• Per l’integrale X3/2 osserviamo innanzitutto2

• Sostituendo

• 1I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik – Tables of Integrals, Series, and Products – Academic Press 2007• 2S. Datta – Electric and magnetic field from a circular coil using Elliptical integrals

– Physics Education September - October 2007 p. 203

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 88

Campo magnetico di una spira• In definitiva otteniamo

• Con

• Sostituendo

• In definitiva le componenti di B sono

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 89

Il potenziale vettore• Abbiamo già notato che il potenziale vettore è di scarsa utilità per i problemi elementari che trattiamo in questo corso• Vogliamo tuttavia familiarizzare un po' con questa nuova grandezza• Purtroppo il calcolo del potenziale vettore del filo infinito con la formula

introdotta nella diapositiva non è possibile• La corrente non va a zero all'infinito• Il calcolo del potenziale vettore per una spira circolare è complesso come lo

è stato il calcolo di B con gli integrali ellittici• È semplice solo sull'asse della spira• Non è sufficiente per calcolarne il rotore e quindi il campo B

• Tuttavia cerchiamo di capire la forma del potenziale vettore in alcuni semplici casi senza l'uso della formula integrale citata• Faremo il percorso inverso: noto il campo B troveremo il potenziale A !• Il caso più semplice è quello del potenziale vettore di un

campo magnetico B costante• Assumiamo B lungo l'asse z: Bz = B0, Bx = By = 0

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 90

Potenziale vettore di un campo costante

• Una possibile scelta potrebbe essere

• Una scelta alternativa

• O anche la media delle due soluzioni trovate

• Con una formulazione indipendente dall'orientamento di B

• Si verifica facilmente che

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 91

Potenziale vettore di un filo• Consideriamo un filo di raggio a percorso dauna corrente I• All'interno del filo la densità di

corrente J è uniforme e vale

• Ricordiamo la formula per il potenziale vettore

• Osserviamo preliminarmente che

• Sfortunatamente per la densità di corrente data la formula per Az diverge

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 92

Potenziale vettore di un filo• Infatti

• Facciamo il calcolo per un filo di lunghezza finita L

• In definitiva

• Possiamo anche scriverlo come

• Nel caso di filo infinito la costante è infinita• Come avveniva nel caso elettrostatico di un filo di carica

per

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 93

Potenziale vettore di un filo

• Calcoliamo il campo magnetico• La componente Bz è nulla (Ax = Ay = 0)

• Calcoliamo le componenti Bx e By

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Potenziale di una spira• Calcoliamo infine il potenziale vettore di una spira• Facciamo un calcolo utile per il futuro del nostro studio• Una formula approssimata per distanze grandi dal centro della spira• Analogo alla forma del dipolo elettrico• Sarà utile nello studio dei campi magnetici nella materia

• Utilizziamo una derivazione matematica utilizzando i vettori

• Sviluppiamo il denominatore

• Approssimando al primo ordine di r1/r

• Otteniamo

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 95

Potenziale di una spira

• Il primo termine è nullo• Sviluppiamo l'integrando del secondo termine• Utilizziamo l'identità A×(B×C) = B(A⋅C) – C(A⋅B)

• Inoltre

• Sommiamo le due equazioni• I termini r1(r⋅dr1) si elidono

• Utilizziamo la relazione trovata nel secondo integrale di A(r)

ordine scambiato

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 96

Potenziale di una spira

• Il primo integrale è ancora una volta un differenziale esatto• L'integrale su un cammino chiuso è nullo

• Definiamo il momento magnetico m del circuito

• Otteniamo l'espressione finale per il potenziale vettore di una spira (dipolo)

• Sottolineiamo che si tratta di una formula approssimata• Valida solo per r molto maggiore delle dimensioni del circuito• Approssimazione di dipolo• Il termine di monopolo è nullo

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 97

Il momento di dipolo magnetico

• Cerchiamo adesso di comprendere meglio il significatodella definizione di momento magnetico della spira • Specializziamolo al caso di una spira circolare

• Pertanto il momento magnetico è

• Il momento magnetico m è un vettore• Perpendicolare al piano che contiene la spira• Il modulo è uguale al prodotto della corrente per la superficie della spira

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 98

Esempio 2: una spira non piana• Consideriamo adesso la spira in figura• La corrente della spira è I• Supponiamo che tutti i segmenti abbiano la

stessa lunghezza w• Metà della spira giace nel piano x−z• L'altra metà della spira giace nel piano y−z

• La spira è equivalente a due spire piane• Le due correnti evidenziate in rosso e in blu

si elidono quando si combinano le due spire pianeper formare la spira iniziale

• Il momento magnetico delle due spire è semplice• Per la spira 1• Per la spira 2

• Il momento magnetico della spira composta dallespire 1 e 2 è pertanto

• Un vettore nel piano z−y, inclinato di 45o rispetto all'asse x e di modulo

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 99

Potenziale di una spira• Specializziamo al caso di un circuito con momento magnetico diretto lungo l'asse z• Ad esempio la spira dell'esempio precedente

• Le componenti del potenziale vettore sono

• Le linee di campo di A(r) sono circonferenze concentriche con l'asse z

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 100

Il campo magnetico del dipolo• Possiamo adesso calcolare il campo magnetico• È conveniente fare il calcolo in coordinate sferiche• Il potenziale vettore ha solo la componente Aφ

• Ricordiamo l'espressione del rotore in coordinate sferiche

• La componente Bφè nulla (Aθ = Ar = 0)

• Da confrontare con il campo del dipolo elettrico

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 101

Il campo magnetico del dipolo

• Le linee di campo sono come in figura

• Sottolineiamo che le formule dannoil campo a grandi distanze• A piccole distanze i campi sono molto

differenti

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 102

Forza fra due fili percorsi da corrente• Abbiamo iniziato la trattazione della magnetostatica citando la legge di Ampère sulla forza fra due fili percorsi da corrente (vedi diapositiva )

• Ricaviamo la legge di Ampère alla luce di quantofin qui studiato• Il campo magnetico di un filo infinito

• Le linee del campo B sono circonferenze• Nella posizione del filo 2 il campo magnetico vale• La forza sul secondo filo è

• Sostituendo il valore del campo magnetico B

• Il modulo della forza è quello della legge di Ampère

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 103

Forza e momento della forza • Abbiamo scritto l'espressione della forza su un circuito nella diapositiva

• Se il campo magnetico è uniforme si può fattorizzare l'integrale

• Abbiamo già notato che l'integrale di dl su un circuito chiuso è nullo• Concludiamo che in un campo magnetico uniforme la forza su una spira è nulla• Tuttavia in generale il momento delle forze non è nullo• Consideriamo la spira quadrata di lato w in figura• È percorsa da una corrente I; il momento magnetico è m• Può ruotare intorno ad un asse che giace sull'asse x• Il campo magnetico B è lungo l'asse z• Sui quattro lati agiscono le forze F1, F2, F3, F4

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 104

Forza e momento della forza • Calcoliamo il momento delle forze rispetto all'assedi rotazione della spira (asse x)• Le forze F1 e F3 sono lungo l'asse x• Il loro momento è nullo• Le forze F2 e F4 sono applicate nei punti individuati

dai vettori r2 e r4

• I momenti delle forze sono

• Il momento magnetico forma un angolo α−π/2 con l'asse y• L'angolo di m con l'asse z è θ = π/2 − (α−π/2) = π− α• Otteniamo pertanto

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Forza e momento della forza • Pertanto il momento delle forze è direttolungo l'asse delle x• La spira ruota in senso antiorario• Il momento magnetico si allinea con il

campo magnetico B• Quando B e m sono paralleli il momento è nullo

• Supponiamo di avere una spira con momento magnetico m allineato con il campo magnetico B• Applichiamo una forza meccanica per ruotare lentamente la spira• Il lavoro fatto dalla forza esterna bilanciando esattamente il momento della

forza magnetica è ( τext = −τ )

• Definiamo l'energia potenziale della spira nel campo magnetico dU = − dW

L'energia potenziale è definita a meno di una

costante