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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano
Anno Accademico 2017/2018
Elettromagnetismo
Applicazioni della legge di AmpèrePotenziale Vettore
Lezione n. 23 – 20.3.2018
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 70
Filo di raggio a percorso da corrente• Consideriamo un filo percorso da corrente• Non trascuriamo il raggio del filo• Supponiamo che la corrente sia dovuta
ad una densità di corrente uniformesulla sezione del filo
• Data la simmetria del problema le linee di campo sono delle circonferenze concentriche al filo• Possiamo utilizzare la legge di Ampère per calcolare il campo magnetico• All'esterno del filo r > a
• Uguagliando
• All'interno del filo r < a
2
SI d JS J aπ= ⋅ = =∫ J a
0S
d dμΓ
⋅ = ⋅∫ ∫B l J a 0Iμ= ( )2d rB rπΓ
⋅ =∫ B l
( ) 02 rB r Iπ μ= ( ) 0
2I
B rr
μπ
=
I
I
( ) 0 2
0
IJ r a
aJ rr a
π
⎧⎪⎪ = ≤⎪⎪= ⎨⎪⎪ >⎪⎪⎩
20
Sd J rπ⋅ =∫ J a ( )
20 0
2J r
B rr
μ ππ
= 002J r
μ= ( ) 0
22r
B r Ia
μπ
=
r
a
ra
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 71
Filo di raggio a percorso da corrente• Riepilogando
• Scriviamo adesso il campo in forma vettoriale
( ) 0
2I
B rr
μπ
= ( ) 022r
B r Ia
μπ
=r > a r < aI
r
a
x
y
φ
( ) 0 0
sin
ˆcos2 2
0
I Ir r a
r r φ
φμ μ
φπ π
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
B e
( ) 0 02 2
sin
ˆcos2 2
0
Ir Irr r a
a a φ
φμ μ
φπ π
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = <⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
B e
B
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 72
La spira "cosφ"• Consideriamo adesso il campo generato da due fili percorsi da corrente• La corrente nei due fili circola in senso opposto
• Consideriamo adesso i due fili sovrapposti• Nella regione di sovrapposizione la densità di corrente è nulla• Una regione vuota, senza materiale• Le densità di corrente che non si annullano sono come in figura• Trasportano una densità di corrente uniforme ma con versi opposti• Hanno una forma tale che la densità di corrente J varia come cosφ
• Consideriamo un punto nella regione J = 0• Dimostriamo che in questa regione il campo B ha solo la componente y• Inoltre il campo ha modulo costante• Ricordiamo che i campi dei due fili sono
a
r
I a
r
I
02sin
2x
IrB
aμ
φπ
= ∓ 02cos
2y
IrB
aμ
φπ
= ±
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 73
La spira "cosφ"
• Consideriamo in dettaglio la regione interna
• Campo uniforme diretto verso il basso
02sin
2x
IrB
aμ
φπ
= ∓ 02cos
2y
IrB
aμ
φπ
= ±
1 2x x xB B B= +
01 1 12
sin2x
IB r
aμ
φπ
=
02 2 22
sin2x
IB r
aμ
φπ
= −
( )01 1 2 22sin sin
2x
IB r r
aμ
φ φπ
= −
1 1 2 2sin sinr rφ φ=
0xB =
1 2y y yB B B= +
01 1 12
cos2y
IB r
aμ
φπ
= −
02 2 22
cos2y
IB r
aμ
φπ
=
( )02 2 1 12cos cos
2y
IB r r
aμ
φ φπ
= −
1 1 2 2cos cosr r dφ φ− =
022y
IB d
aμπ
= −
1r
1φ
2r
2φ
d
B
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 77
Operatore ∇ applicato due volte• Le relazioni viste nella diapositiva contengono solo derivate prime• Applicando due volte l'operatore ∇ si ottengono espressioni
con derivate seconde• Una "derivata prima" costruita con ∇ può essere• Uno scalare costruito con la divergenza ∇⋅A• Si può calcolare il gradiente ∇(∇⋅A)• Un vettore costruito con un gradiente ∇φ• Si può calcolare la divergenza ∇⋅(∇φ) • Si può calcolare il rotore ∇×(∇φ)• Un vettore costruito con un rotore ∇×A• Si può calcolare la divergenza ∇⋅(∇×A)• Si può calcolare il rotore ∇×(∇×A)
• L'elenco esaurisce tutte le possibilità• Alcune espressioni le abbiamo già incontrate• Nello studio dell'elettrostatica• Il gradiente della divergenza è poco utile in fisica• Le ultime due si possono facilmente calcolare in coordinate
cartesiane utilizzando la definizione esplicita di ∇• Con ∇2A si intende l'applicazione di ∇2 a ogni componente di A
= ∇2φ= 0
= 0= ∇(∇⋅A) − ∇2A
2
2 2
2
x
y
z
A
A
A
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
A∇
∇ ∇∇
113655
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 78
Operatore ∇ applicato due volte• Verifichiamo la relazione
• Ricordiamo le componenti di ∇×A
• Calcoliamo la divergenza
( ) 0⋅ × =A∇ ∇
( ) yzx
AAy z
∂∂× = −
∂ ∂A∇ ( ) x z
y
A Az x
∂ ∂× = −
∂ ∂A∇ ( ) y x
z
A Ax y
∂ ∂× = −
∂ ∂A∇
( )⋅ ×A∇ ∇ yzAA
x y z
⎛ ⎞∂∂∂ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠x zA A
y z x
⎛ ⎞∂ ∂∂ ⎟⎜+ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠y xA A
z x y
⎛ ⎞∂ ∂∂ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠22yzAA
x y x z
∂∂= −
∂ ∂ ∂ ∂
2 2x zA A
y z y x∂ ∂
+ −∂ ∂ ∂ ∂
2 2y xA Az x z y
∂ ∂+ −
∂ ∂ ∂ ∂
22z yA
xAx y z
∂−=
∂ ∂∂ ∂∂ 22
x zAy
Ay z x
∂−+
∂ ∂∂ ∂∂ 22
y xAz
A
z x y∂
−+∂ ∂∂ ∂
∂
( ) 0⋅ × =A∇ ∇
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 79
Il potenziale vettore• In elettrostatica l'osservazione che la circuitazione di E era nulla ha permesso di introdurre il potenziale elettrostatico• Ricordiamo la proprietà
• Assumiamo che il campo elettrico E abbia la forma
• Sottolineiamo che φ è determinato a meno di una costante• L'equazione di campo è automaticamente soddisfatta
• In magnetostatica si può procedere in modo analogo• Abbiamo visto che il campo magnetico B soddisfa l'equazione
• Questa equazione è soddisfatta automaticamente ponendo
• Il campo A prende il nome di Potenziale Vettore• Il campo A non è univocamente definito (è definito a meno di un gradiente)• Tutti i campi A → A + ∇φ producono lo stesso campo B
φ= −E ∇
0⋅ =B∇
= ×B ∇ Α
( ) 0φ× =∇ ∇
×E∇ ( ) 0φ× == −∇ ∇
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 80
Il potenziale vettore• Continuiamo il parallelo fra elettrostatica e magnetostatica• In elettrostatica, dopo avere posto E = −∇ φ, la legge di Gauss portava
all'equazione per il potenziale φ
• La legge di Gauss definisce il legame fra il campo E e la sua sorgente (la carica elettrica)
• Ripetiamo gli stessi passi nella magnetostatica• Esprimiamo B tramite il potenziale vettore
• Utilizziamo la legge di Ampère in forma differenziale
• Sostituendo B = ∇×A
• Nella diapositiva abbiamo visto che
( )0
ρφ
ε⋅ = −∇ ∇φ= −E ∇
0
ρε
⋅ =E∇ 2
0
ρφ
ε= −∇
= ×B ∇ Α
0μ× =B J∇
( ) 0μ× × =A J∇ ∇
( ) ( ) 2× × = ⋅ −A A A∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ( ) 20μ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇
78877
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 81
Il potenziale vettore
• Abbiamo già notato che il potenziale vettore A non è univocamente definito• Si può sommare un campo che è il gradiente di un campo scalare, ∇f(r), e
ottenere lo stesso campo B• Si può dimostrare che è sempre possibile trovare una funzione f(r) tale che
• Possiamo pertanto utilizzare la non univocità del potenziale vettore per imporre che ∇⋅A = 0 ed eliminare il primo termine dell'equazione• Pertanto l'equazione per A diventa
• Ribadiamo il significato di questa notazione (in coordinate cartesiane)• L'operatore laplaciano viene applicato indipendentemente a ciascuna delle tre componenti di A
• Matematicamente abbiamo tre equazioni di Poisson• Conosciamo le soluzioni
( ) 20μ⋅ − =A A J∇ ∇ ∇
( ) 0f⋅ + =A∇ ∇
20μ− =A J∇
20x xA Jμ= −∇ 2
0y yA Jμ= −∇ 20z zA Jμ= −∇
( ) ( )0
4k
k
JA dV
μπ
′′=
′−∫r
rr r
( ) ( )0
4dV
μπ
′′=
′−∫J r
A rr r
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 82
Il potenziale vettore
• L'integrale è esteso a tutto lo spazio• La condizione per la sua convergenza è che la densità di corrente J tenda a
zero all'infinito
• La densità di corrente tende a zero più velocemente di 1/r2• Il potenziale vettore risulta meno utile del potenziale elettrico• È una grandezza vettoriale (tre componenti; il potenziale elettrico solo una)• Comunque in casi particolari si può definire un potenziale magnetico scalare che ha qualche utilità per problemi con materiali magnetici
• Tuttavia il potenziale vettore è di fondamentale importanza• Come strumento teorico nello sviluppo dell'elettrodinamica• Nella trattazione dei problemi con forze elettromagnetiche in meccanica
quantistica• Per un circuito con un filo …
( ) ( )0
4dV
μπ
′′=
′−∫J r
A rr r
( )2 0r r→ → ∞J r
( ) 0
4 C
dI
μπ
′=
′−∫ rA r
r r( )
C
d dd I
′ ′⋅ ′′ →
′ ′− −∫ ∫J r a r
rr r r r
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 83
Teorema di Helmholtz• Vale la pena sottolineare alcuni aspetti matematici• Abbiamo trovato delle equazioni differenziali per i campi E e B• In entrambi i casi le equazioni definiscono il rotore e la divergenza del campo
• È legittimo chiedersi se matematicamente il problema è ben posto• Il teorema di Helmholtz assicura che quanto asseriamo è matematicamente consistente
Teorema di HelmholtzSia dato un campo vettoriale F(r) tale chea) ∇⋅F = ρ(r)b) ∇×F = J(r)c) Le funzioni ρ(r) e J(r) si annullano all'infinito più velocemente di 1/r2Sotto queste condizioni il campo F(r) è univocamente determinato e ha la forma
dove
U= − + ×F A∇ ∇
( ) ( )14
U dVρ
π
′′=
′−∫r
rr r
( ) ( )14
dVπ
′′=
′−∫J r
A rr r
irr sol≡ +F F
irr 0× =F∇sol 0⋅ =F∇Componente solenoidale
Componente irrotazionale
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 84
Il potenziale vettore• Abbiamo già notato che il potenziale vettore è di scarsa utilità per i problemi elementari che trattiamo in questo corso• Vogliamo tuttavia familiarizzare un po' con questa nuova grandezza• Purtroppo il calcolo del potenziale vettore del filo infinito con la formula
introdotta nella diapositiva non è possibile• La corrente non va a zero all'infinito• Anche il calcolo del potenziale vettore per una spira circolare è di poca
utilità• È semplice solo sull'asse della spira• Non è sufficiente per calcolarne il rotore e quindi il campo B
• Tuttavia cerchiamo di capire la forma del potenziale vettore in alcuni semplici casi senza l'uso della formula integrale citata• Faremo il percorso inverso: noto il campo B troveremo il potenziale A !• Il caso più semplice è quello del potenziale vettore di un
campo magnetico B costante• Assumiamo B lungo l'asse z: Bz = B0, Bx = By = 0
79381
0yzx
AAB
y z
∂∂= − =
∂ ∂0x z
y
A AB
z x∂ ∂
= − =∂ ∂ 0
y xz
y
A AB B
x
∂ ∂= − =
∂ ∂
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 85
Potenziale vettore di un campo costante
• Una possibile scelta potrebbe essere
• Una scelta alternativa
• O anche la media delle due soluzioni trovate
• Con una formulazione indipendente dall'orientamento di B
• Si verifica facilmente che
0yzx
AAB
y z
∂∂= − =
∂ ∂0x z
y
A AB
z x∂ ∂
= − =∂ ∂ 0
y xz
y
A AB B
x
∂ ∂= − =
∂ ∂
00 0x y zA A B x A= = =
0 0 0x y zA B y A A= − = =
0 0
1 10
2 2x y zA B y A B x A= − = =
0 0
1 12 2
= × = − ×A B r r B
0⋅ =A∇ 0× =A B∇
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 86
Potenziale vettore di un filo• Consideriamo un filo di raggio a percorso dauna corrente i• All'interno del filo la densità di
corrente J è uniforme e vale
• Ricordiamo la formula per il potenziale vettore
• Si vede immediatamente che
• Sfortunatamente per la densità di corrente data la formula per Az diverge• Tuttavia, matematicamente, Az è identico al
potenziale elettrostatico di un filo infinito di raggio a e densità lineare λ data da• Il potenziale è
( ) ( )101
14dV
μπ
=−∫
J rA r
r r
20 0x y z
iJ J J
aπ= = =
0 0x yA A= = ( ) ( )101
14z
z
JA dV
μπ
=−∫
rr
r r
20 0
02 2 2zJ a iμ μλ
ππε π π
= =
( )0
ln2
ra
λφ
πε′
= −r
2 2r x y′ = +
( ) 0 ln2z
rA i
aμπ
′= −r
x
y
zi
0x yJ J= =
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 87
Potenziale vettore di un filo
• Calcoliamo il campo magnetico• La componente Bz è nulla (Ax = Ay = 0)
• Calcoliamo le componenti Bx e By
( ) 0 ln2z
rA i
aμπ
′= −r
yzx
AAB
y z
∂∂= −
∂ ∂x z
y
A AB
z x∂ ∂
= −∂ ∂
y xz
A AB
x y
∂ ∂= −
∂ ∂
2 2r x y′ = +
0=
zx
AB
y∂
=∂
0 12
rir y
μπ
′∂= −
′ ∂0 12
yir r
μπ
= −′ ′
0 1 sin2ir
μφ
π= −
′
zy
AB
x∂
= −∂
0 12
rir x
μπ
′∂=
′ ∂0 12
xir r
μπ
=′ ′
0 1 cos2ir
μφ
π=
′
x
y B
φr ′
x
y
z
B
i
BB
0 1 ˆ2ir φ
μπ
=′
B e
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 88
Potenziale di una spira• Calcoliamo infine il potenziale vettore di una spira• Facciamo un calcolo utile per il futuro del nostro studio• Una formula approssimata per distanze grandi dal centro della spira• Analogo alla forma del dipolo elettrico• Sarà utile nello studio dei campi magnetici nella materia
• Utilizziamo una derivazione matematica utilizzando i vettori
• Sviluppiamo il denominatore
• Approssimando al primo ordine di r1/r
• Otteniamo
( ) 0 1
14C
dI
μπ
=−∫ r
A rr r
( )12
1 2 21 2 1 12r r
−−− = + − ⋅r r r r
1 11 2 2
11
r r
− ⎛ ⎞⋅ ⎟⎜− ≈ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠r r
r r
( ) 0 01 1 13
( )4 4C C
I Id d
r rμ μπ π
= + ⋅∫ ∫A r r r r r
1121
x
x≈ +
−
xy
zr
1r
122
1 12 2
11 2r
r r r
−⎛ ⎞⋅ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠r r
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 89
Potenziale di una spira
• Il primo termine è nullo• Sviluppiamo l'integrando del secondo termine• Utilizziamo l'identità A×(B×C) = B(A⋅C) – C(A⋅B)
• Inoltre
• Sommiamo le due equazioni• I termini r1(r⋅dr1) si elidono
• Utilizziamo la relazione trovata nel secondo integrale di A(r)
( ) 0 01 1 13
( )4 4C C
I Id d
r rμ μπ π
= + ⋅∫ ∫A r r r r r
( ) ( ) ( )11 11 1 1d d d× × = ⋅ − ⋅rr r r r rr rr
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1d d d⋅ = ⋅ + × ×r r r r r r r r r
( ) ( ) ( )11 1 1 1 1dd d⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⋅ +r r rrr r r r r
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1d d d⎡ ⎤⋅ = ⋅ − ⋅⎣ ⎦r r r r r r r r r
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12d d d⎡ ⎤⋅ = ⋅ + × ×⎣ ⎦r r r r r r r r r
ordine scambiato
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 90
Potenziale di una spira
• Il primo integrale è ancora una volta un differenziale esatto• L'integrale su un cammino chiuso è nullo
• Definiamo il momento magnetico m del circuito
• Otteniamo l'espressione finale per il potenziale vettore di una spira (dipolo)
• Sottolineiamo che si tratta di una formula approssimata• Valida solo per r molto maggiore delle dimensioni del circuito• Approssimazione di dipolo• Il termine di monopolo è nullo
( ) 01 134 C
Id
rμπ
= ⋅∫A r r r r ( ) ( )01 1 1 13
14 2 C C
Id d
rμπ
⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ + × ×⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫r r r r r r
( ) ( )01 13
14 2 C
Id
rμπ
= × ×∫A r r r r( ) ( )01 13 2
14 C
drIμ
π×= ×∫ rr rA r
1 12 C
Id= ×∫m r r
( ) 034 r
μπ
= ×r
A r m
1 0Cd =∫ r
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 91
Il momento di dipolo magnetico
• Cerchiamo adesso di comprendere meglio il significatodella definizione di momento magnetico della spira • Specializziamolo al caso di una spira circolare
• Pertanto il momento magnetico è
• Il momento magnetico m è un vettore• Perpendicolare al piano che contiene la spira• Il modulo è uguale al prodotto della corrente per la superficie della spira
1 12 C
Id= ×∫m r r
xy
z
θ 1dr1ra I
1 ˆ ˆcos sinx ya aθ θ= +r e e
11d
d dd
θθ
=r
r ( )ˆ ˆsin cosx y adθ θ θ= − +e e
1 1d×r r ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cosx y x ya adθ θ θ θ θ= + × − +e e e e
( )2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sinx y y x a dθ θ θ= × − ×e e e e ( )2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sinx y x y a dθ θ θ= × + ×e e e e 2ˆza dθ= e
2ˆ2 zC
Ia dθ= ∫m e 2ˆ2
2 z
Iaπ= e 2ˆ
zI aπ= e
m
312
d= ×∫m r J r1 1
12 CJS d= ×∫ r r 1J r
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 92
Esempio 2: una spira non piana• Consideriamo adesso la spira in figura• La corrente della spira è I• Supponiamo che tutti i segmenti abbiano la
stessa lunghezza w• Metà della spira giace nel piano x−z• L'altra metà della spira giace nel piano y−z
• La spira è equivalente a due spire piane• Le due correnti evidenziate in rosso e in blu
si elidono quando si combinano le due spire pianeper formare la spira iniziale
• Il momento magnetico delle due spire è semplice• Per la spira 1• Per la spira 2
• Il momento magnetico della spira composta dallespire 1 e 2 è pertanto
• Un vettore nel piano z−y, inclinato di 45o rispetto all'asse x e di modulo
x
y
z
x
y
z
w
w
I
12
1 ˆyw I=m e 1m
2m
m
1 2= +m m m ( )2 ˆ ˆy zw I= +e e
22 ˆzw I=m e
22w I=m
2
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 93
Potenziale di una spira• Specializziamo al caso di un circuito con momento magnetico diretto lungo l'asse z• Ad esempio la spira dell'esempio precedente
• Le componenti del potenziale vettore sono
• Le linee di campo di A(r) sono circonferenze concentriche con l'asse z
( ) 034 r
μπ
= ×r
A r m 03
ˆ4 z rμπ
= ×r
m e
ˆ ˆ ˆx y zx y z= + +r e e e
xy
z
φ⊥r
mr
A
( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz z x y zx y z× = × + +e r e e e e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz z x z yx y× = × + ×e r e e e e ˆ ˆy xx y= −e e
034x
yA
rμπ
= − m
034y
xA
rμπ
= m
0zA =
ˆ ˆx yx y= +e e
03sin
4rr
μφ
π⊥= − m
03
cos4
rr
μ φπ
⊥= m
( ) 03ˆ
4rr φ
μπ
⊥=A r m e
( ) 02
sinˆ
4 r φ
μ θπ
=A r m e
θ
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 94
Il campo magnetico del dipolo• Possiamo adesso calcolare il campo magnetico• È conveniente fare il calcolo in coordinate sferiche• Il potenziale vettore ha solo la componente Aφ
• Ricordiamo l'espressione del rotore in coordinate sferiche
• La componente Bφè nulla (Aθ = Ar = 0)
• Da confrontare con il campo del dipolo elettrico
( ) 02
sinˆ
4 r φ
μ θπ
=A r m e
( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆ ˆsin
sin sinr r
r
A A AA rA rA
r r r r rθ
φ φ θ θ φθθ θ φ θ φ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎟⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = − + − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦A e e e∇ +
( )1sin
sinrB Ar φθ
θ θ∂
=∂
03
2 sin cos4 sin rμ θ θπ θ
= m 03
2 cos4 rμ θπ
= m
( )1B rA
r rθ φ
∂= −
∂0
2
1 sin4r
r r rμ θπ
⎛ ⎞∂ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠m 0
2
1 1sin
4r rμ
θπ
⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠m
03
sin4
Brθ
μ θπ
= m 03
2 cos4rB rμ θπ
= m ( )3
0
1ˆ ˆ2 cos sin
4 rp
rθθ θ
πε= +E e e