Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Energia Elettrostatica. Conduttori. Conduttori in un campo elettrostatico

Lezione n. 7 – 20.10.2017

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 136

Energia del campo elettrico• Deriviamo la formula dell'energia del campo elettrico nel caso generale• Abbiamo visto nella diapositiva l'energia di un sistema di cariche

• Ricordiamo l'espressione del potenziale generato da una densità di carica ρ

• Utilizziamo la legge di Gauss in forma differenziale

• Si può dimostrare che per un campo scalare f e un campo vettoriale A

• Inseriamo nell'integrale

• Per campi che si annullano velocemente all'infinito il primo integrale è nullo

01

1 12 4

N

i j

iji j

q qU

rπε≠ =

= ∑ ( ) ( )1 2 3 31 2

0 1 2

1 12 4

V V

U d dρ ρ

πε=

−∫ ∫r r

r rr r

Passando a una distribuzione di carica ρ

( ) ( )1 32 1

0 1 2

14

V

dρ

φπε

=−∫r

r rr r

( ) ( ) 32 2 2

12

V

U dφ ρ= ∫ r r r ( ) ( ) 312

V

U dφ ρ= ∫ r r r

0

ρε

⋅ =E∇ ( ) 0ρ ε ⋅r E= ∇ ( ) 30

2V

U dε

φ= ⋅∫ r E r∇

( )f f f⋅ = ⋅ + ⋅A A A∇ ∇ ∇ ( )φ φ φ⋅ = ⋅ − ⋅E E E∇ ∇ ∇

82460

pertanto

( ) 3 30 0 0

2 2 2V V VU dV d d

ε ε εφ φ φ= ⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫E E r E r∇ ∇ ∇

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 137

Energia del campo elettrico

• Infatti, utilizzando il teorema della divergenza

• Se il prodotto φE tende a zero più velocemente di r2 l'integrale è nullo

• L'espressione per l'energia diventa

• Abbiamo così dimostrato che le formule viste in precedenza valgono per tuttii campi elettrostatici

• Osserviamo che U è anche l'energia associata con la data distribuzione di cariche ρ

( ) 3 30 0 0

2 2 2V V VU dV d d

ε ε εφ φ φ= ⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫E E r E r∇ ∇ ∇

( ) 3

V Sd dφ φ⋅ = ⋅∫ ∫E r E a∇

0r→∞⎯⎯⎯→

30

2 VU d

εφ= − ⋅∫ E r∇ φ= −E ∇ 30

2 VU d

ε= ⋅∫ E E r

30

2 VU d

ε= ⋅∫ E E r 3

EV

U dρ= ∫ r 20

2E Eε

ρ =

All'infinito l'elemento di superficie tende a

2da r d→ Ω

(2 ) 0E r εφ ε− + >∼ 1S

dr ε

φ ⋅∫ E a ∼

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 138

Conduttori• Fino ad ora abbiamo considerato esclusivamente materiali isolanti• In un materiale isolante ogni elettrone è legato ad un particolare atomo• Viceversa, in un conduttore, uno o più elettroni per ogni atomo sono liberi di

muoversi all'interno del materiale• Gli atomi hanno 1,2,3 … elettroni di valenza• Gli elettroni sono debolmente legati• Vengono "messi in comune"

• Gli ioni del metallo si dispongono a formare un reticolo cristallino

• Gli elettroni, delocalizzati, sono liberi di muoversi

• Per descrizioni accurate è necessaria la meccanica quantistica• Tuttavia questa semplice descrizione permette

di comprendere le principali caratteristichedi un conduttore

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 139

Conduttori• In un conduttore come il rame c'è un numero molto elevato di elettroni liberi • Ci sono circa 8.5 ×1022 elettroni/cm3

• Un conduttore ideale è schematizzato come una sostanza che può fornire un numero illimitato di cariche libere di muoversi• Abbiamo detto che la carica positiva rimane fissa• Se parte degli elettroni si spostano caricano più negativamente una regione• Lasciano una regione con un eccesso di carica positiva

• Naturalmente la disponibilità illimitata è una idealizzazione• Comunque il numero di elettroni liberi per cm3 è enorme• Circa 104 Coulomb!• Possiamo assumere che un conduttore si comporti sempre come un conduttore ideale

• Teniamo presente che a livello microscopico il conduttore è un sistema molto complicato e assolutamente non uniforme• Tuttavia quando noi parleremo di elementi di volume infinitesimi intenderemo

sempre volumi grandi su scala microscopica• Le grandezze sono valori medi che cancellano le non uniformità presenti su scala microscopica

Cu3

u

23

63.5

8.96g/cm

6.022 10

C

A

A

N

ρ

=

=

= ×

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 140

Conduttori in un campo elettrostatico• Naturalmente in elettrostatica tutte le cariche devono essere ferme• In presenza di cariche esterne le cariche all'interno di un conduttore si

spostano fino a raggiungere una condizione di equilibrio• La richiesta di equilibrio ci permette di stabilire alcune importanti condizioni• Il campo elettrico all'interno di un conduttore è nullo• Se così non fosse all'interno ci sarebbero cariche in movimento• Il conduttore può fornire un numero illimitatodi cariche elettriche

• Cerchiamo di capire meglio• Avviciniamo una carica +q a un conduttore scarico• Una quantità di carica negativa −q si spostasulle superfici più vicine alla carica esterna +q• Sulle superfici più lontane rimane una uguale quantità di carica +q rimane non neutralizzata• Possiamo dire che anche una carica positiva si è spostata• La carica esterna genera un campo E all'interno• Le cariche indotte generano un campo che cancella E• All'esterno i due campi sono presenti ancora e si sommano• Il processo è praticamente istantaneo

0=E

q

E

Cariche indotte

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 141

Conduttori in un campo elettrostatico• Un conduttore può essere carico o scarico• Un conduttore è scarico quando la carica totale su di esso è nulla• Naturalmente nel conduttore ci sono • Cariche positive (ioni del reticolo) • Cariche negative (elettroni)• Si compensano esattamente

• Un conduttore è carico quando la sua carica totale è diversa da zero• Può essere negativa: abbiamo aggiunto elettroni• Può essere positiva: abbiamo sottratto elettroni

• Sulla superficie di un conduttore le cariche si possono disporre in modo non uniforme• Consideriamo un campo uniforme• Introduciamo un conduttore scarico• Il campo elettrico esterno• Respinge le cariche positive a destra• Attira le cariche negative a sinistra• Il campo non è più uniforme

+++++++++

−−−−−−−−−

+++++++++

−−−−−−−−−

++++

++

+

−−

−−−−−

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 142

Conduttori in un campo elettrostatico• All'interno di un conduttore non ci sono cariche• Infatti per la legge di Gauss

• Sottolineiamo che all'interno ci sono cariche• Tuttavia ci sono un egual numero di cariche negative (elettroni) e cariche positive (ioni) che si neutralizzano esattamente

• Un corollario è che le cariche elettriche si dispongono sulla superficie• Le cariche si dispongono in modo da formare distribuzioni superficiali• Queste distribuzioni superficiali sono tali che il campo all'interno di un conduttore sia nullo

• Le cariche si dispongono sulla superficie perché quello è l'unico luogo dove possono essere ferme nonostante la presenza di una forza• Esistono infatti forze che tenderebbero a farle uscire dal conduttore• La pressione elettrostatica, la forza di +q• Tuttavia questa forza è neutralizzata dalle forze e dalle leggi microscopiche che rendono stabile il cristallo

0

ρε

⋅ =∇ Ε ma E = 0, quindi ne segue che ρ = 0

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 143

B

Conduttori in un campo elettrostatico• Continuiamo con le proprietà dei conduttori• Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore

è perpendicolare alla superficie• Se il campo avesse una componente tangenzialele cariche sentirebbero una forza e si muoverebbero

• La superficie di un conduttore è equipotenziale• La differenza di potenziale fra due punti arbitrari

A e B sulla superficie è

• Ma il campo E è perpendicolare a dl e pertanto Δφ = 0• L'interno del conduttore è allo stesso potenziale della superficie• La differenza di potenziale fra un punto sulla superficie e un punto all'interno del conduttore è

• Ma il campo E è nullo e pertanto Δφ = 0

A B

B

AdφΔ = ⋅∫ E l

0=E

AB

AdφΔ = ⋅∫ E l

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 144

Conduttori in un campo elettrostatico• Sottolineiamo ancora una volta che la carica si dispone sulla superficie del conduttore in risposta al campo elettrico generato da altre cariche• La carica sulla superficie del conduttore si dispone in modo da rendere nullo

il campo elettrico all'interno del conduttore• Il campo elettrico è la somma del campo generato dalla distribuzione superficiale e il campo delle altre cariche• Questo è vero in tutto lo spazio• Anche all'esterno del conduttore• Sulla superficie del conduttore si può utilizzare la legge di Gauss per trovare

la relazione fra il campo elettrico e la densità superficiale di carica• Il campo elettrico è perpendicolare alla faccia superiore• Dentro il conduttore è nullo• Il flusso sulla superficie laterale è nullo• Il flusso è

• Questa relazione vale sulle superfici dei conduttori• Si potrebbe inoltre dimostrare che la densità è più elevataquando il raggio di curvatura della superficie è piccolo• Il campo su una punta è molto intenso

EdAΦ =0

dqε

=0

dAσε

=0

ˆσε

=E n

E

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 145

Conduttori in un campo elettrostatico• Per un conduttore scarico• In risposta a una carica esterna compaiono

cariche indotte sulla superficie esterna• Per un conduttore carico• Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna• Finora abbiamo considerato conduttori omogenei• Ci chiediamo cosa succede se all'interno del conduttore c'è una cavità• Consideriamo un conduttore carico• Consideriamo una superficie all'interno del conduttore che racchiuda

completamente la cavità• Calcoliamo il flusso• All'interno del conduttore il campo è nullo

• Pertanto la carica all'interno della superficie è nulla• La carica nel conduttore (escluso la superficie) è zero• La carica nella cavità è zero• Anche la carica sulla superficie interna deve essere zero

+

+

+

+

+ + ++

+

++

+

dΦ = ⋅∫ E a 0d= ⋅ =∫ 0 a

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 146

Conduttori in un campo elettrostatico• Si può anche escludere che la carica sulla superficie interna sia composta da cariche positive e negative tali che la loro somma sia nulla• In tal caso infatti le linee di campo che originano da una

carica positiva dovrebbero chiudersi su una carica negativa• Inoltre la superficie interna è equipotenziale• Calcoliamo la circuitazione del campo • Lungo la linea di campo (cammino C1)

• Sulla superficie interna del conduttore (cammino C2)

• Pertanto l'integrale lungo il cammino chiuso C1 + C1 sarebbe diverso da zero

• In conflitto con il fatto che il campo elettrostatico è conservativo

+ −

++

+−−

−

1

0C

d φ⋅ = Δ ≠∫ E l

1 2

0C C

d d d⋅ = ⋅ + ⋅ ≠∫ ∫ ∫E l E l E l

1C

2

0C

d⋅ =∫ E l

2C

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 147

Schermo elettrostatico• Applichiamo i concetti fin qui illustrati ad un problema semplice e interessante• Consideriamo un guscio metallico sferico cavo, non necessariamente sottile• Consideriamo per iniziare il guscio scarico• Una carica +q all'interno, in posizione arbitraria• Cerchiamo di capire qualitativamente come è

il campo elettrico• Sappiamo che all'interno del conduttore, non nellacavità, il campo elettrico è nullo• Utilizziamo la legge di Gauss• Una superficie sferica S all'interno del conduttore• Il campo elettrico è nullo all'interno del conduttore• E quindi sulla superficie sferica S scelta per il calcolo del flusso• Naturalmente il flusso è nullo• Sarà pertanto nulla la carica totale all'interno della superficie S• Pertanto, oltre alla carica +q sarà presente una carica −q distribuita sulla superficie interna del conduttore cavo• La carica superficiale −q si distribuisce in modo che il campo generato da essa e dalla carica +q sia nullo all'interno del conduttore• Nessuna linea di campo continua dentro il conduttore

0S

dΦ = ⋅ =∫ E a

S

+q

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

0=E

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 148

Schermo elettrostatico• Abbiamo detto che il conduttore è scarico• Una quantità di carica +q deve essere comparsa• Non può essere all'interno: ρ = 0 (∇⋅E = 0)• Non può essere sulla superficie interna (Qtot = 0)• Deve essere sulla superficie esterna• Rimane da capire come è distribuita

• Deve essere distribuita uniformemente• Un guscio sferico e uniforme di carica • Il campo all'interno del guscio sferico di carica è nullo• In particolare è nullo all'interno del conduttore• Non modifica il campo nella cavità

• All'esterno il campo il campo elettrico sarà quello di una carica puntiforme +q posta nel centro del conduttore sferico cavo

• Nonostante la carica +q sia in un'altra posizione

+q

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

2

ˆ

4q

r Rrπε

= >r

E

+ +

+

+

+

+

+

+ +

+

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 149

Schermo elettrostatico• Abbiamo visto in precedenza che una caricaposta all'interno di un conduttore cavo generaun campo elettrico all'esterno che non risentedella reale posizione della carica all'interno• Nel caso del guscio sferico il campo esterno

è quello di una carica posta nell'origine• La posizione è fissata dalla simmetria dellaforma del conduttore

• Possiamo realizzare uno schermo completo?• Fare in modo che all'esterno non

ci sia campo elettrico • Una situazione complementare all'esempio precedente• Si, è possibile• Basta rimuovere la carica positiva esterna• Si collega il conduttore ad un altro conduttore molto più grande,posto al potenziale dell'infinito (vale a dire potenziale nullo)• Si dice che si collega a "terra" (ground)• La carica esterna positiva si sposta "ancora più lontano"• Il conduttore è adesso carico• La carica negativa scherma la carica q. Eesterno è nullo

+q

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

+ +

+

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

++

++

++

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 150

Equazioni di Poisson e di Laplace• Abbiamo espresso la legge di Gauss in forma differenziale

• Abbiamo inoltre visto che, dal momento che il campo elettrico è conservativopuò essere espresso tramite un potenziale

• Combinando le due equazioni

• L'operatore prende il nome di Laplaciano• L'equazione diventa

• Nello spazio vuoto, dove non esistono cariche, l'equazione diventa

• Abbiamo già detto che si tratta di una delle equazioni differenziali più importanti della fisica matematica

0

divρε

= ⋅ =E E∇

φ φ= − = −E grad ∇

0

ρφ

ε⋅ = − ⋅ =E∇ ∇ ∇

0

div divρ

φε

= − =E grad2⋅∇ ∇ = ∇

2

0

ρφ

ε= −∇ Equazione di Poisson

2 0φ =∇ Equazione di Laplace

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 151

Equazione di Laplace• Le equazioni scritte sono generali e non dipendono dal sistema di coordinate scelto• In coordinate cartesiane

• Le equazioni diventano

• Come vedremo in seguito è indispensabile definire le condizioni al contorno• Un aspetto delicato e spesso molto complicato• Reso più semplice dall'utilizzo di opportuni sistemi di coordinate• La soluzione di queste equazioni richiede metodi matematici avanzati• Non affronteremo sistematicamente il problema• Esamineremo solamente alcuni dei casi più semplici

ˆ ˆ ˆx y zx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e∇ 2

x x y y z z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ ∇ ∇

2 2 22

2 2 2x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∇

2 2 2

2 2 20

x y z

φ φ φ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 20x y z

φ φ φ ρε

∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 152

Funzioni armoniche• Per trovare una soluzione dell'equazione di Laplace è indispensabile definire le condizioni al contorno (Boundary Conditions)• Ad esempio, nelle equazioni differenziali ordinarie di secondo grado per

avere una soluzione unica era necessario definire due condizioni iniziali• Ad esempio, posizione e velocità iniziali per determinare univocamente la traiettoria di una particella determinata dalla seconda legge di Newton

• Nel caso delle equazioni differenziali alle derivate parziali la condizione iniziale assume una forma più complessa

• Supponendo che lo spazio di interesse sia delimitato da superfici, per trovare una soluzione occorre definire il valore di φ sulle superfici stesse• Una delle superfici può essere all'infinito

• Le soluzioni dell'equazione di Laplace prendono il nome di funzioni armoniche• Ne vedremo fra breve un'importante proprietà

2

2

dmdt

=r F ( ) 0 0

2

2t t t

m= + +

Fvr r

2 2 2

2 2 20

x y z

φ φ φ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 153

Funzioni armoniche• In pratica i campi elettrici si generano utilizzando elettrodi metallici posti a un definito potenziale• Esempi di campi elettrici

MWPC: Multiwire Proportional Chamber

GEM: Gas Electron Multiplier

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 154

Funzioni armoniche• Una importante proprietà delle funzioni armoniche• Data una funzione armonica φ(x,y,z) e una

sfera di superficie A centrata in x0,y0,z0

• Questa proprietà significa anche che una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali• Supponiamo, per assurdo, che abbia un minimo locale in r• Significa che in tutti i punti r′ di un intorno di r deve essere φ(r) < φ(r′)• Pertanto su tutti i punti r′ sulla superficie di una sfera contenuta

nell'intorno sarà φ(r′) > φ(r)• Incompatibile con la proprietà enunciata delle funzioni armoniche

• Ricordiamo la proprietà che in un campo elettrostatico non ci possono essere posizioni di equilibrio stabile

( ) ( )0 0, 01

, , ,A

x y z da x y zA

φ φ=∫y

z

x

Il valore medio di una funzione armonica su una sfera arbitraria è uguale al valore della funzione nel centro della sfera

( )0 0, 0,x y z

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 155

Equazione di Laplace• Veniamo al problema delle condizioni al contorno• Ci sono due modi per definire le condizioni al contorno per l'equazione di Laplace

• Condizioni di Dirichelet• Si fissa il valore di φ su tutte le superfici (conduttori) che delimitano lo

spazio di interesse• Se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie all'infinito sulla quale si fissa il valore del potenziale φ (di solito un valore nullo)

• Condizione di Neumann• Si definisce il valore della derivata normale ∂φ/∂n su tutte le superfici

(conduttori) che delimitano lo spazio di interesse• Specificare la derivata normale del potenziale equivale a definire il campo

elettrico sul conduttore • In ultima analisi, la densità di carica sul conduttore• Ancora una volta se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie all'infinito sulla quale la derivata normale ha, di solito, valore nullo

2 0φ =∇

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 156

Equazione di Laplace• Teorema di unicità delle soluzioni• Una volta fissate le condizioni al contorno la soluzione

dell'equazione di Laplace che le soddisfa è unica• Consideriamo una regione delimitata dallasuperficie "esterna" Se (eventualmente all'infinito) e da un certo numero di conduttori Sk

• I potenziali sulle superfici sono fissati dalle condizioni al contorno• Supponiamo che esistano due soluzioni Φ1 e Φ2 dell'equazione di Laplace

che assumono le stesse condizioni al contorno

• Anche la funzione Φd = Φ1 – Φ2 soddisfa l'equazione di Laplace• L'operatore laplaciano è lineare

• Inoltre sulle superfici Sk e Se

• Ma una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali• Pertanto concludiamo che Φd = 0 che implica a sua volta che Φ1 = Φ2

• La soluzione è unica

eS1S

2S 3S

kS

1φ

2φ 3φ

kφ

21 0Φ =∇ 2

2 0Φ =∇

2dΦ∇ ( )2

1 2= Φ − Φ∇ 2 21 2= Φ − Φ∇ ∇

( ) ( ) ( )1 2d k k kS S SΦ = Φ − Φ 0k kφ φ= − =

eφ

0 0 0= − =

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 157

Schermo elettrostatico• Il teorema di unicità ci permette di trovare un'altra proprietà dei conduttori

• Abbiamo infatti già osservato che la superficiedi un conduttore è una superficie equipotenziale• Il problema elettrostatico all'interno della cavità

è pertanto

• Pertanto una possibile soluzione è φ(x,y,z) = V0 in tutto lo spazio della cavità• Infatti se φ(x,y,z) è costante ∇2φ = 0: soddisfa l'equazione di Laplace• Soddisfa le condizioni al contorno• Il teorema di unicità mi assicura che la soluzione trovata è anche l'unica• Lo spazio interno è schermato dai campi elettrostatici esterni

Il potenziale all'interno di un conduttore cavo senza cariche all'interno è costante; il campo elettrico è nullo

2 0φ =∇ φ(S) = V0 → costante sulle superfici