Eletrotécnica Básica

Prof Marcus Fernandes Eletrotcnica Bsica

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Eletrotcnica Bsica

1. Resolues de Circuitos em corrente contnua

Definies:

a) Bipolo qualquer dispositivo eltrico com dois terminais; Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc.

Smbolo do bipolo:

b) Circuito Eltrico um conjunto de bipolos eltricos interligados;

c) Gerador de Tenso Contnua um dispositivo eltrico que impe uma tenso entre seus terminais, qualquer que seja o

valor da corrente.

Smbolo do Gerador de tenso contnua:

d) Gerador de Corrente Contnua um dispositivo que impe uma corrente, qualquer que seja o valor da tenso aplicada aos

terminais.

Smbolo do Gerador de corrente contnua:

e) Associao de Bipolos em Srie um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo,

obrigatoriamente, passa pelos outros.

V

- +

B1 B2 B3 B4


2

f) Associao de bipolos em paralelo um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a tenso aplicada a um ,

obrigatoriamente, aplicada aos outros.

g) Ligao de Bipolos em Estrela um conjunto de trs bipolos ligados de acordo com a figura abaixo

h) Ligao de Bipolos em Tringulo (delta) um conjunto de trs bipolos ligados conforme com a figura abaixo

B1 B2 B3 B4

B1

B2 B3

B1

B3

B2


3

Leis dos circuitos: o processo de resoluo de circuitos em corrente contnua baseia nas seguintes leis da Fsica:

a) Lei de Ohm: RVI = ou V = RI

b) 1 Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatrio das correntes que convergem para um mesmo n igual a zero;

(princpio: a energia no pode ser criada ou destruda)

= 0I I3 + I5 I1 I2 I4 = 0 I3 + I5 = I1 + I2 + I4

c) 2 Lei de Kirchhoff (lei das tenses): a soma algbrica das tenses ao longo de um caminho fechado igual soma

algbrica das quedas de voltagem existentes nessa malha

(princpio: a toda ao corresponde uma reao igual e

contrria). = RIE ou 0RIE = -E1+E2+E3=I1R1I2R2+I3r3-I4R4 -E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0

I5I1

I2

I4

I3

+ -

- +

+ -

+-+ -

+--

+


4

Anlise de Malhas para resoluo de circuitos Este processo vlido para circuitos planares (que podem ser

representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo

apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.

Exemplo 01:

1 Malha (ABEF): 100 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 I2) 2 Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 I1)

60 = 20I1 - 10I2 60 = 20I1 - 10I2 40 = -10I1 + 20I2 (x2) 80 = -20I1 + 40I2

140 = 30I2 I2 =140/30 = 4,67A

60 = 20I1 10 x 4,67 I1 = (60 + 46,7)/20 I1= 5,33A


5

Exemplo 02:

N A: I4 = I1 + I3 N B: I2 = I3 + I6 N C: I1 = I5 + I6 Malha ADCEF: E1 = I1R1 + I4R4 + I5R5 Malha BCD: E2 - E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5 Malha ABCD: -E6 = -I3R3 + I6R6 I4R4 - I5R5

Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos

ligados em Y em circuitos ligados em


6

em Y

321

21

RRRRRRa ++=

321

31

RRRRRRb ++=

321

32

RRRRRRc ++=

Y em

RcRcRaRbRcRaRbR ++=1

RbRcRaRbRcRaRbR ++=2

RaRcRaRbRcRaRbR ++=3

Exemplo 03:


7

2. Resolues de Circuitos em corrente alternada A quase totalidade dos sistemas eltricos trabalha com correntes e

tenses alternadas. Isto se deve ao fato de:

a) Ser mais fcil o transporte da energia para lugares distantes;

b) Ser econmica a transformao de nveis de tenso e de

corrente, de acordo com a necessidade;

c) Ser econmica a transformao de energia eltrica em

energia mecnica e vice-versa;

Fora Eletromotriz de um alternador elementar

m = Fluxo Mximo encadeado com a espira = Velocidade angular da espira (rad/seg) = t = ngulo formado pelo plano da espira com o plano

perpendicular s linhas de fluxo


8

= m.cost

dtde = para uma espira

tsen.ndt)tcos.(dndt

dne mm === mas: mm nE = ento: tsen.Ee m =

Funo peridica

y = f(t) peridica se assumir o mesmo valor f(t) para instantes espaados de T, 2T, 3T,...

ento y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT) T = perodo

Freqncia n de perodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)

T1f = ex.: para f = 60Hz T = 1/60 = 0,01667 seg

Ento ft2sen.Eef2T2

m ===


9

Freqncias usuais: 50Hz (Europa, Paraguai) 60Hz (Brasil, USA) 25Hz (alguns sistemas de trao eltrica) 250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 30 kHz (telegrafia sem fio) 150 kHz (Radiodifuso Ondas Longas) 500 a 1500 kHz (Radiodifuso Ondas Mdias - 200 a 600m) 30 MHz (Radiodifuso Ondas Curtas at 10m)

Fase e diferena de Fase

F(t) = A.sen(t+) (t+) = ngulo de Fase

Se duas grandezas senoidais )tsen(.Ee)tsen(.Ee22m2

11m1

=+=

tm a

mesma freqncia, a diferena de fase ou defasagem entre elas

em um dado instante ser: 2121 )t()t( =++ ex.: )30tsen(.75e

)30tsen(.100e2

1

=+=

30 (-30) = 60 a senide e1 passa pelos seus valores zero e mximo com avano de 60 sobre a senide e2


10

Quando duas ou mais grandezas

alternadas tm a mesma fase

elas se acham em concordncia

de fase ou simplesmente em

fase Quando a Diferena de fase

entre duas grandezas alternadas

for de 90 elas esto em

quadratura

Quando a diferena de fase for

de 180, esto em oposio

Valor Mdio A expresso que d o valor mdio de uma funo :

=T

0mdio dt)t(fT

1Y


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para a senide esse valor nulo para um ciclo, e por isso

definido para um semi perodo. Assim o valor mdio de

i=Im.sen pode ser achado integrando a senide de 0 a . [ ] mmm0m

0mdiom I637,0I.2)11(IcosId.sen.I1I ==+===

Analogamente: mmmdio V637,0V.2V ==

Valor eficaz

Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistncia R em t segundos: I2Rt Energia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma resistncia , a cada instante i2R

Assim: ==T

0

T

0

222t1.dt.iIdt.RiRtI sendo T=2 (perodo)

==2

0

22m2

0

22m2 dcos21

21

2Id.sen.I2

1I

mmm2m2

0

2m2 I707,02I

2II2

I22sen

4II

2====

=

analogamente: mm V707,02VV ==

OBS.: os voltmetros e ampermetros de corrente alternada indicam os valores eficazes de corrente e tenso


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Representao vetorial das Grandezas Senoidais

= t radianos 0x=0A.sent=Im.sent

Vantagens:

1. O vetor mostra as duas caractersticas que definem a senide:

o ngulo de fase e o valor mximo;

2. A diferena de fase entre as duas grandezas alternadas pode

ser representada vetorialmente. A figura

ao lado nos mostra o vetor OB em

avano de graus sobre o vetor AO. Se OB e AO representam os valores

mximos das voltagens e1 e e2, elas sero expressas por:

e1 = OB.sent e2 = OA.sen(t-)

3. A soma ou a diferena de duas ou mais grandezas senoidais

se reduz a uma composio de vetores.

)cos(.I.I.2III 12m2m12m21m2m0 ++=

O


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2m21m12m21m1

0 .cosI .cosIsen.Isen.Itan +

+=

Parmetros dos circuitos de C.A

Resistncia

Unidade: (ohm) Carga Resistiva ou carga hmica

Indutncia

Unidade: H (Henry)

Carga Indutiva

Capacitncia

Unidade: F (Farad)

Carga Capacitiva

Lei de Ohm para os circuitos de C.A

Consideremos uma bobina c/ resistncia eltrica R e indutncia L:


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sRA=

Passando-se uma corrente eltrica nessa bobina aparecer um

fluxo magntico dados por: = Li Se i varivel, tambm ser! aparecer uma f.e.m. de auto induo dada por:

( )dtdiLdt

Liddtde ===

na figura anterior, temos ento:

dtdi

dtdiLRiv += derivada da corrente eltrica em relao

ao tempo.

Uma bobina que tem uma resistncia R e uma indutncia L representada conforme abaixo:

Se o circuito tem elevada resistncia eltrica e indutncia

desprezvel, o representamos apenas pela resistncia, e dizemos

que o circuito puramente hmico ou puramente resistivo.


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Se ocorrer o inverso, isto , se a resistncia por desprezvel em

relao ao efeito da indutncia, e dizemos que ele puramente

indutivo.

Ex.: enrolamento de mquinas eltricas, transformadores, etc.

Se forem considerados tanto a resistncia quanto a indutncia do

circuito, ento ele ser denominado circuito indutivo ou circuito RL.

Circuito puramente hmico L = 0 R 0 R

viRivdtdiLRiv ==+=

Supondo v = Vmax.sent Rtsen.Vi max =

tsen.ItsenRVi maxmax ==

Quando a tenso for mxima, a corrente tambm ser:

0


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tsen.ItsenRVitsen.Vv maxmaxmax ===

Dizemos ento que as duas senides esto em fase entre si ou

que a corrente e a voltagem ento em fase num circuito puramente

hmico.

RVIR

V707,0I.707,0RVI efefmaxmaxmaxmax ====

Concluso: os circuitos puramente hmicos, quando alimentados

por corrente alternada, apresentam o mesmo

comportamento do que quando alimentados por corrente

contnua. A freqncia das correntes alternadas no

influencia os fenmenos que se processam no circuito.

Circuito puramente Indutivo L 0 R 0 dt

diLvdtdiLRiv =+=

Nos circuitos puramente indutivos toda tenso aplicada aos

seus terminais equilibrada pela f.e.m. de auto-induo.

Dado:

( ) ( )dt

tsendI.Ldttsen.IdLvtsen.Ii maxmaxmax ===

cos = sen(+90) cos30 = sen(/6 +90) 0,866 = 0,866

tcos.I.Lv max = )90tsen(.I.Lv max +=

0


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Isto , essa voltagem tambm alternada senoidal com valor

mximo igual a LImax, defasada 90 em adiantamento em relao corrente alternada do circuito.

Vmax = LIMax 0,707 Vmax = 0,707 LIMax Vef = LIef Vef = XLIef XL = L = 2fL Reatncia indutiva (anloga resistncia) Unidade da reatncia: (Ohms) Observamos que a reatncia Indutiva funo da freqncia e da

indutncia: fX LX

Concluso: Sempre que uma corrente alternada atravessa um

circuito puramente indutivo (de reatncia XL = 2fL), tem-se uma queda de tenso dada por Vef = XL.Ief, defasada de 90 em adiantamento em relao

corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma

voltagem alternada senoidal aos terminais se um

reatncia XL de um circuito puramente indutivo, verifica-se a passagem de uma corrente eltrica de valor Ief = Vef/XL ,defasada de 90 em atraso em relao tenso.


18

Exemplos:

1) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H

alimentado por uma tenso cujo valor eficaz 110v e cuja

freqncia 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada

que circula nesse circuito.

XL=2fL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4 Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584A Ief = 584mA

2) No problema anterior, traar o diagrama vetorial e

representao senoidal da tenso e corrente eficaz.

Ex.: v = 50.sen(30t + 90)

i = 10.sen30t

3) Num circuito puramente hmico, aplicou-se uma voltagem dada

por v=120.sen(314t). Se a resistncia total do circuito mede 10, calcule qual dever ser a leitura de um ampermetro se corretamente inserido no circuito.


19

Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A

Reviso de Nmeros Complexos

1j1j 2 == Z1 = 6 Z4 = -3 + j2

Z2 = 2 j3 Z5 = -4 j4 Z3 = j4 Z6 = 3 + j3


20

Outras formas dos nmeros complexos

== cosZxZxcos

== senZyZysen

Z = x + jy = |Z|cos + j|Z|sen = |Z|(cos +jsen) Tg = y/x

xyarctg= 22 yxZ +=

argumento de Z Mdulo ou valor absoluto de Z

A frmula de Euler, ej = (cos jsen), possibilita outra forma para representao dos nmeros complexos, chamada

forma exponencial:

Z = x jy = |Z|(cos jsen) = |Z|ej

A forma polar ou de Steinmetz para um nmero complexo Z bastante usada em anlise de circuitos e escreve-se

|Z| onde aparece em graus Esses quatro meios de se representar um nmero complexo esto

resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da

operao a ser efetuada. Forma retangular Z = x jy 3 + j4 Forma Polar Z = |Z| 553,13 Forma exponencial Z = |Z|ej 5ej53,13 Forma trigonomtrica Z = |Z|(cos jsen) 5(cos53,13+jsen53,13)


21

Conjugado de um nmero complexo

O conjugado Z* de um nmero complexo Z = x + jy o nmero complexo Z* = x jy Ex.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2 Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 j4 Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 j10

Na forma polar, o conjugado se Z = |Z| Z*= |Z|- Na forma Z = |Z|[cos() + jsen()] o conjugado de Z Z* = |Z|[cos(-) + jsen(-)] Mas cos()=cos(-) e sen(-) = -sen(), ento Z* = |Z|[cos() - jsen()] ex.: Z = 730 Z* = 7-30 Z = x + jy Z* = x - jy Z = |Z|ej Z* = |Z|e-j Z = |Z| Z* = |Z|- Z = |Z|(cos + jsen) Z* = |Z|(cos - jsen)

Z1=3 + j4 Z1*=3 j4 Z2=5143,1 Z2*=5-143,1

O conjugado Z* de um nmero complexo Z sempre a imagem de

Z em relao ao eixo real, como mostra a figura.


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Soma e diferena de nmeros complexos Para somar ou subtrair dois nmeros complexos, soma-se ou

subtrai-se separadamente as partes reais e imaginrias dos

nmeros na forma retangular. Z1=5-j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-28)=2j10 Z2=-3j8 Z1Z2=[5(-3)]+j[(-2)(-8)]=8+j6

Multiplicao de nmeros complexos O produto de dois nmeros complexos, estando ambos na

forma potencial ou na forma polar:

Z1=|Z1|ej1=|Z1|1 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(1+2) Z2=|Z2|ej2=|Z2|2 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)1+2

O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os

nmeros complexos como se fossem binmios: Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2 = (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

ex. 01: Z1 = 5ej/3 Z1Z2 = (5.2)ej(/3-/6) = 10ej/6 Z2 = 2e-j/6

ex. 02: Z1 = 230 Z1Z2 = (5.2)[30+(-45)] Z2 = 5-45 Z1Z2 = 10-15


23

Diviso de nmeros complexos

)21(j21

2j2

1j121 eZ

ZeZeZ

ZZ

== forma exponencial

)(ZZ

ZZ

ZZ

2121

2211

21 =

= forma polar

A diviso na forma retangular se faz multiplicando-se

numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

222212212121

2222

2211

21

yx)xyxy(j)yyxx(

jyxjyx

jyxjyx

ZZ

+++=

++=

Exemplos:

1) Z1=4ej/3, Z2=2ej/6 6j6j

3j

21 e2

e2

e4ZZ

==

2) Z1=8-30, Z2=2-60 == 304602308

ZZ21

3) Z1=4-j5, Z2=1+j2 513j6

2j12j1

2j15j4

ZZ21 =

+=

Transformao: forma polar forma retangular 5053,1 = 50(cos53,1 + jsen53,1) = 50x0,6 + j50x0,7997 = 30 + j40 100-120 = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50 - j86,6


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Circuito puramente Capacitivo

Se v = Vmax.sent q = Cv

dt)tsen.V(dCdt

)Cv(ddtdqi max ===

i = .C.Vmax.sen(t + 90) i = Imax.sen(t + 90)

Se Imax = .C.Vmax 0,707.Imax = 0,707..C.Vmax

Ief = .C.Vef ou efef IC1V =

C

C

XfC21

XC1

=

=

Reatncia Capacitiva

A corrente num circuito puramente capacitivo est 90 adiantada

em relao tenso

OBS.: num circuito indutivo: f XL corrente

f XC corrente Se f=0 XC = capacitor no deixa passar corrente DC


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Circuito RL ou indutivo

Praticamente consiste de um circuito puramente hmico de

resistncia R em srie com um circuito puramente indutivo de

indutncia L

A corrente i ao atravessar a resistncia R, provoca uma queda de tenso dada por VR=Riem fase com a corrente i.

A corrente i ao atravessar a indutncia L, determina uma queda de tenso indutiva Vx = XLi, defasada de 90 em adiantamento sobre a corrente i.

A queda de tenso total atuante entre os terminais do circuito

dada pela soma vetorial de VR e VX:

)XR(i)iX()Ri(VVVVVV 2L222L22X2RXR +=+=+=+=ZiVXRiV 2L2 =+= Z = impedncia do circuito

Z um nmero complexo da forma: Z= R+jXL = R+jL


26

Considerando-se Z numa representao grfica, teremos:

RXarctgR

Xtg LL == Na forma polar podemos escrever:

= ZZ 2L2 XRZ +=

RXarctg)L(RZ L22 +=

Circuito RC ou Capacitivo

Se i igual a 1 ampere, teremos:

== C1jRjXRZ C

C1XR

Xarctg Cc =

=

ZXarcsen C=

ZRarccos=

Na forma polar: =

+= ZR

XarctgC1RZ C

22


27

Outra forma da lei de Ohm:

E = (R+jX)I

22 XRZ += RXarctg=

= ZZ RXarctgXRZ 22 +=

Exemplos:

1) Um circuito RL srie de R=20 e L=20mH tem uma impedncia de mdulo igual a 40 . Determinar o ngulo de defasagem da corrente e tenso, bem como a freqncia do circuito.

Z = R+jXL = |Z| 40.cos + j40.sen Z = 20+jXL = 40 = arccos 20/40 = arccos 1/2 = 60 XL = 40.sen60 = 40x0,866 XL = 34,6 XL = 2fL f = XL/2L 34,6/(6,28 x 0,02) f = 34,6/0,1256 f = 275,5Hz

E = ZI


28

2) Um circuito srie de R = 8 e L = 0,02H tem uma tenso aplicada de v = 283.sen(300t+90). Achar a corrente i.

XL = L = 300x0,02 = 6 Z = 8 +j6 Vef = 0,707 x 283 1010068 22 ==+ Vef = 200 = arctg 6/8 = 36,9 V = 20090 Z = 1036,9

=== 1,53209,3610

90200ZVI

)1,53t300sen(.220i += 3) Dados v = 150.sen(5000t+45) e i = 3sen(5000t-15),

construir os diagramas de fasores e da impedncia e

determinar as constantes do circuito (R e L) v = 0,707x15045 = 106,0545 I = 0,707x3-15 = 2,12-15

3,43j25)866,0j5,0(50Z

)60senj60(cos5060501512,24505,106

IVZ

+=+=+==

==

XL = 2fL = L = 43,3 L = 43,3/5000 L = 8,66mH R = 25


29

Circuito RL srie

Concluso: O circuito RL em srie se comporta exatamente como

um circuito RL que tenha resistncia hmica igual a

R = R1 + R2 e reatncia indutiva XL = XL1 + XL2.

Assim sendo Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)

Ou na forma fasorial:

21212

212

21 RRLLarctg)LL()RR(ZZ +

++++==


30

Circuito RC srie

Concluso: o circuito RC srie se comporta exatamente como um

circuito RC que tenha resistncia hmica igual a R =R1 + R2

e reatncia capacitiva 21

2C1CC C1

C1XXX +=+=

Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2)

+++=+++= 21212C1C21 C1

C1j)RR()XX(j)RR(

ou na forma fasorial:

2121

2

21

221 RR

C1

C1

arctgC1

C1)RR(ZZ +

+

+++==


31

Podemos ento generalizar:

V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT

ZT = Z1 + Z2 + Z3 Generalizando:

Circuito Paralelo

T321321321T Z

1Z1

Z1

Z1VZ

VZV

ZVIIII =

++=++=++=

321T Z1

Z1

Z1

Z1 ++=

generalizando

...Z1

Z1

Z1

Z1

321T+++=

O inverso da impedncia de um circuito chamada de

Admitncia, cujo smbolo Y. Ento no circuito acima teremos: IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3)

IT = YTV YT = Y1 + Y2 + Y3

ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...


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Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito

igual ao produto da tenso total aplicada aos seus terminais pela

admitncia total equivalente.

Portanto a Admitncia equivalente de qualquer nmero de

admitncias em paralelo igual a soma das admitncias

individuais.

Z = R jX +jX reatncia indutiva (XL) -jX reatncia capacitiva (-Xc)

Analogamente:

Y = G jB G Condutncia B Susceptncia

+jB Susceptncia capacitiva (BC) -jB Susceptncia indutiva (-BL)

Unidades de Y, G e B MHO ou ou -1 Como a corrente I pode estar adiantada, atrasada ou em fase com V, conseqentemente, 3 casos podem ocorrer: 1 Caso

V = |V| V = |I|

R0ZI

VZ ===

A impedncia do circuito uma resistncia pura de R ohms

G0YY

IY ===

A admitncia do circuito uma condutncia pura de G mhos


33

2Caso: O fasor corrente est atrasado de um ngulo em relao tenso

V = |V| I = |I|(-)

)(IVZ

=

LjXRZ +=

A impedncia de um circuito com fasores V e I nesta situao consta de uma resistncia e uma reatncia indutiva em srie

= V)(IY

LjBG)(Y =

A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia indutiva em paralelo

3Caso: O fasor corrente est avanado de um ngulo em relao tenso

V = |V| I = |I|(+)

)(IVZ +

=

LjXRZ +=

A impedncia do circuito consta de uma resistncia e uma reatncia capacitiva em srie

+= V)(IY

LjBG)(Y =

A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia capacitiva em paralelo


34

Converso Z - Y Forma polar: dado Z=553,1

)53,1(2,01,5351

Z1Y ===

Forma Retangular: Y = 1/Z

22 XRjXR

jXRjXR.jXR

1jXR

1jBG +=

+=+=+

2222 XRXjXR

RjBG +++=+ 22 XR

RG +=

22 XRXB +

=

Z = 1/Y

22 BGjBG

jBGjBG.jBG

1jBG

1jXR +=

+=+=+

2222 BGBjBG

GjXR +++=+ 22 BG

GR +=

22 BGBX +

=

Exemplos: 1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitncia equivalente Y.

)]1,53sen(j)1,53[cos(2,0)1,53(2,01,5351

Z1Y +====

Y = 0,12 j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS outro mtodo

( ) MHOS12,0169 3XR RG 22 =+=+= ( ) MHOS16,0169 4XR XB 22 =+=+= Y = 0,12 - j0,16


35

2) No circuito srie abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das quedas de tenso igual tenso aplicada

ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 j6 ZT = 4 j3

52534Z 22T ==+= == 9,364

3arctg ZT = 4 j3 = 5(-36,9) Impedncia Capacitiva

=== 9,3620)9,36(50100

ZVIT

V1 = IZ1 = 2036,9 x 4 = 8036,9 = 80(cos36,9+jsen36,9) = 64 + j48 V2 = IZ2 = 2036,9 x 390 = 60126,9 = 60(cos126,9+jsen126,9) = -36 + j48 V3 = IZ3 = 2036,9 x 690 = 120(-53,1) = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 j96 V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 j96) V = 100 + j0 = 1000


36

3) Achar a corrente total e a impedncia total do circuito paralelo abaixo, traando o diagrama de fasores:

Z1 = 100

=+= 1,53534arct43Z 222

)9,36(1086arct68Z 223 =+=

)9,36(10050

1,535050

010050

ZV

ZV

ZVIIII

321321T

++

=++=++== 50 + 10(-53,1) + 536,9 = 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9] = 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] = (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5 = )45,18(81,1515

5arctg515 22 =

+

Logo: === 45,1816,3)45,18(81,15050

IVZT

T ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1

=== 05010050

ZVI1

1 )1,53(101,535050

ZVI2

2 ===

=== 9,365)9,36(10050

ZVI3

3

Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalente


37

4) As duas impedncias Z1 e Z2 da figura abaixo esto em srie com uma fonte de tenso V = 1000. Achar a tenso nos terminais de cada impedncia e traar o diagrama dos fasores

de tenso.

Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4) Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4

Zeq = 45,1865,12124arctg412 22 =+

)45,18(9,745,1865,120100

ZVIeq

===

V1 = IZ1 = 7,9(-18,45)x10 = 79(-18,45) = 75 - j25 V2 = IZ2 = [7,9(-18,45)]x[4,4763,4]

= 35,3(45) = 25 + j25 Verifica-se que:

V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 1000


38

5) Calcular a impedncia Z2 do circuito srie da figura abaixo:

6020)15(5,2

4550IVZeq =

== Zeq = 20(cos60 + jsen60) = 10 + j17,3 Como Zeq = Z1 + Z2: 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 Z2 = 10 5 + j17,3 j8

Z2 = 5 + j9,3 6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito srie-

paralelo abaixo

14,814,142j1410j5)10j(510Zeq =+=++=

)14,8(07,714,814,140100

ZVIeq

T ===

)14,8(07,7x10j5)10j(5I.ZV10j5

)10j(5Z TABABAB +==+=

)54,71(16,310j)14,8(07,7x10j5)10j(5

10jVI AB1 =

+==

)46,18(32,65)14,8(07,7x10j5)10j(5

5VI AB2 =

+==


39

7) Achar a impedncia equivalente e a corrente total do circuito

paralelo abaixo

2,0j5j1Y1 == 2,0jj5

15jj

xj5jxj1

2 ===

0866,0j05,066,8j51Y2 =+=

0866,0j05,010066,8j5

66,85)66,8j5(

)66,8j5)(66,8j5()66,8j5(

22 ==+=+

067,0151Y3 ==

1,0j10j1Y4 == 1,0jj10

110j

jxj10j

xj12 ===

Yeq = 0,117 j0,1866 = 0,22(-58) IT = V.Yeq =(15045)[0,22(-58)]=33(-13)

=== 5855,4)58(22,01

Y1Zeq

eq


40

8) Determinar a Impedncia do circuito paralelo abaixo

=== 3663,06050

245,31VIY Teq

Yeq = 0,63(cos(-36)+jsen(-36) = 0,51 j0,37 Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, ento:

37,0j51,0)12,0j16,0(1,0Y3j41

101YY 11eq =+++++=

Y1 = 0,51 j0,37 0,1 0,16 +j0,12 = 0,25 j0,25

)45(35,025,025,0arctg25,025,0Y 221 =+=

=== 4535,01

Y1Z1

1 Z1 = 2,8645 = 2 + j2


41

9) Dado o circuito srie-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.

22AB 434j35,0j2,04j3

12j1

51Y +

++=++=

34,0j32,016,0j12,05,0j2,0YAB =++=

)7,46(467,032,034,0arctg34,032,0Y 22AB =

+=

56,1j47,17,4614,2)7,46(467,01

Y1ZAB

AB +====

Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,4262,1

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Eletrotécnica Básica