ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA

Przykład wprowadzajacyPodstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwa

Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowejCharakterystyki liczbowe zmiennej losowej

ELEMENTY RACHUNKUPRAWDOPODOBIENSTWA

Agnieszka Rossa

Agnieszka Rossa ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA



Szkic wykładu

1 Przykład wprowadzajacy2 Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwa

Przestrzen zdarzen elementarnychZdarzenie losowe i rodzina zdarzen losowychAksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobienstwaPrzestrzen probabilistyczna i zmienna losowa

3 Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowejRozkład zmiennej losowej skokowejRozkład zmiennej losowej ciagłej

4 Charakterystyki liczbowe zmiennej losowejPodziałWartosc oczekiwanaWariancja i odchylenie standardowe




Przykład 1 (wprowadzajacy)

W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy, Daniel i NicolasBernoulli udali sie do Petersburga, gdzie odkryli pewnaciekawostke, nazwana potem paradoksem petersburskim.

1. Rozpatrzmy pewna gre losowa, polegajaca na rzucaniumoneta. Przypuscmy, ze gracz opłaca swój udział w grzepewna suma pieniedzy K (np. wyrazona w $).

2. Gracz rzuca moneta i jesli wypadnie rewers (przyjmijmydalej, ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.

3. Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.4. Jesli w nastepnym rzucie wypadnie reszka, wówczas

wygrywa podwojona kwote, w przeciwnym razie powtarzarzut moneta (czyli powtarza kroki 3-4, az uzyska reszke).

Pytanie: Jaka sume K powinien zapłacic gracz przedprzystapieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?




























3. Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.

4. Jesli w nastepnym rzucie wypadnie reszka, wówczaswygrywa podwojona kwote, w przeciwnym razie powtarzarzut moneta (czyli powtarza kroki 3-4, az uzyska reszke).


























Odpowiedz brzmi – nieskonczona! Innymi słowy, zadnasuma pieniedzy nie jest wystarczajaca zapłata za udziałw tej grze.

Z powyzszego wynika, ze gra petersburska nie mapraktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferzeciekawostek.Aby jednak zrozumiec odpowiedz na zadane pytanietrzeba poznac podstawowe pojecia zwiazane ze zmiennalosowa i jej charakterystykami.Pojecia te naleza do podstawowych zagadnien rachunkuprawdopodobienstwa. Beda one przedmiotem dalszychrozwazan.





Odpowiedz brzmi – nieskonczona! Innymi słowy, zadnasuma pieniedzy nie jest wystarczajaca zapłata za udziałw tej grze.Z powyzszego wynika, ze gra petersburska nie mapraktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferzeciekawostek.

Aby jednak zrozumiec odpowiedz na zadane pytanietrzeba poznac podstawowe pojecia zwiazane ze zmiennalosowa i jej charakterystykami.Pojecia te naleza do podstawowych zagadnien rachunkuprawdopodobienstwa. Beda one przedmiotem dalszychrozwazan.





Odpowiedz brzmi – nieskonczona! Innymi słowy, zadnasuma pieniedzy nie jest wystarczajaca zapłata za udziałw tej grze.Z powyzszego wynika, ze gra petersburska nie mapraktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferzeciekawostek.Aby jednak zrozumiec odpowiedz na zadane pytanietrzeba poznac podstawowe pojecia zwiazane ze zmiennalosowa i jej charakterystykami.

Pojecia te naleza do podstawowych zagadnien rachunkuprawdopodobienstwa. Beda one przedmiotem dalszychrozwazan.





Odpowiedz brzmi – nieskonczona! Innymi słowy, zadnasuma pieniedzy nie jest wystarczajaca zapłata za udziałw tej grze.Z powyzszego wynika, ze gra petersburska nie mapraktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferzeciekawostek.Aby jednak zrozumiec odpowiedz na zadane pytanietrzeba poznac podstawowe pojecia zwiazane ze zmiennalosowa i jej charakterystykami.Pojecia te naleza do podstawowych zagadnien rachunkuprawdopodobienstwa. Beda one przedmiotem dalszychrozwazan.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzestrzen zdarzen elementarnych

Niech Ω (czyt. omega) oznacza zbiór wszystkichmozliwych wyników pewnego eksperymentu losowego.

Zbiór Ω nazywamy przestrzenia zdarzen elementarnycheksperymentu losowego.

Elementy zbioru Ω oznaczamy symbolem ω i nazywamyzdarzeniami elementarnymi.





















Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzykłady przestrzeni zdarzen elementarnych

Przykład 2.

Rozwazmy eksperyment polegajacy na pojedynczymrzucie moneta. Zbiór Ω wszystkich mozliwych wynikówtego eksperymentu ma postac Ω = O, R, gdzieO, R sa zdarzeniami elementarnymi oznaczajacymiodpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia teoznaczymy umownie symbolami: ω1 = O, ω2 = R.

Przykład 3.Niech eksperyment polega na rzucie kostka szesciennado gry. Mamy wtedy:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,

gdzie ω1=1,. . . ,ω6=6 sa zdarzeniami elementarnymi.






Przykład 2.Rozwazmy eksperyment polegajacy na pojedynczymrzucie moneta.

Zbiór Ω wszystkich mozliwych wynikówtego eksperymentu ma postac Ω = O, R, gdzieO, R sa zdarzeniami elementarnymi oznaczajacymiodpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia teoznaczymy umownie symbolami: ω1 = O, ω2 = R.


Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,







Przykład 2.Rozwazmy eksperyment polegajacy na pojedynczymrzucie moneta. Zbiór Ω wszystkich mozliwych wynikówtego eksperymentu ma postac Ω = O, R, gdzieO, R sa zdarzeniami elementarnymi oznaczajacymiodpowiednio wyrzucenie orła lub reszki.

Zdarzenia teoznaczymy umownie symbolami: ω1 = O, ω2 = R.


Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,







Przykład 2.Rozwazmy eksperyment polegajacy na pojedynczymrzucie moneta. Zbiór Ω wszystkich mozliwych wynikówtego eksperymentu ma postac Ω = O, R, gdzieO, R sa zdarzeniami elementarnymi oznaczajacymiodpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia teoznaczymy umownie symbolami: ω1 = O, ω2 = R.

Przykład 3.

Niech eksperyment polega na rzucie kostka szesciennado gry. Mamy wtedy:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,








Przykład 3.Niech eksperyment polega na rzucie kostka szesciennado gry.

Mamy wtedy:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,









Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,









Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,

gdzie ω1=1,. . . ,ω6=6 sa zdarzeniami elementarnymi.Agnieszka Rossa ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA





W przykładach 2 i 3 przestrzen Ω jest zbiorem skonczonym.Przykład 4.

Wrócmy do gry petersburskiej. Zauwazymy, zeeksperyment ten mozna opisac jako rzucanie moneta domomentu wyrzucenia reszki.Przestrzen zdarzen elementarnych Ω ma w tym przypadkupostac:Ω = R, OR, OOR, OOOR, OOOOR, . . .,gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR . . .to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.Zauwazymy, ze zbiór Ω jest nieskonczony, ale przeliczalny(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).







Wrócmy do gry petersburskiej. Zauwazymy, zeeksperyment ten mozna opisac jako rzucanie moneta domomentu wyrzucenia reszki.

Przestrzen zdarzen elementarnych Ω ma w tym przypadkupostac:Ω = R, OR, OOR, OOOR, OOOOR, . . .,gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR . . .to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.Zauwazymy, ze zbiór Ω jest nieskonczony, ale przeliczalny(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).







Wrócmy do gry petersburskiej. Zauwazymy, zeeksperyment ten mozna opisac jako rzucanie moneta domomentu wyrzucenia reszki.Przestrzen zdarzen elementarnych Ω ma w tym przypadkupostac:Ω = R, OR, OOR, OOOR, OOOOR, . . .,gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR . . .to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.

Zauwazymy, ze zbiór Ω jest nieskonczony, ale przeliczalny(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).







Wrócmy do gry petersburskiej. Zauwazymy, zeeksperyment ten mozna opisac jako rzucanie moneta domomentu wyrzucenia reszki.Przestrzen zdarzen elementarnych Ω ma w tym przypadkupostac:Ω = R, OR, OOR, OOOR, OOOOR, . . .,gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR . . .to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.Zauwazymy, ze zbiór Ω jest nieskonczony, ale przeliczalny(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).






Przykład 5.Rozwazmy inny eksperyment polegajacy na pomiarzeczasu oczekiwania w przychodni na wizyte u lekarza(mierzony np. w godzinach).

Przestrzen Ω jest tu przedziałem liczb rzeczywistych [0,8].

W tym przypadku Ω jest zbiorem nieskonczonym,poniewaz w przedziale [0,8] miesci sie nieskonczeniewiele liczb rzeczywistych.

Ponadto, zbiór Ω jest nieprzeliczalny.
































Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaZdarzenie losowe i rodzina zdarzen losowych dla zbioru Ω co najwyzejprzeliczalnego

Jezeli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawieraskonczona lub przeliczalna liczbe elementów, to kazdypodzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym.

Rodzine wszystkich zdarzen losowych danego ekspery-mentu oznaczac bedziemy symbolem Z.W przypadku eksperymentu polegajacego na pojedyn-czym rzucie moneta (zob. przykład 2), rodzina Z zdarzenlosowych jest postaci:

Z = O, R,Ω, ∅,

gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.Rodzine Z tworza tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, łaczniez samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.






Jezeli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawieraskonczona lub przeliczalna liczbe elementów, to kazdypodzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym.Rodzine wszystkich zdarzen losowych danego ekspery-mentu oznaczac bedziemy symbolem Z.

W przypadku eksperymentu polegajacego na pojedyn-czym rzucie moneta (zob. przykład 2), rodzina Z zdarzenlosowych jest postaci:

Z = O, R,Ω, ∅,







Jezeli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawieraskonczona lub przeliczalna liczbe elementów, to kazdypodzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym.Rodzine wszystkich zdarzen losowych danego ekspery-mentu oznaczac bedziemy symbolem Z.W przypadku eksperymentu polegajacego na pojedyn-czym rzucie moneta (zob. przykład 2), rodzina Z zdarzenlosowych jest postaci:

Z = O, R,Ω, ∅,

gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.

Rodzine Z tworza tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, łaczniez samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.






Jezeli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawieraskonczona lub przeliczalna liczbe elementów, to kazdypodzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym.Rodzine wszystkich zdarzen losowych danego ekspery-mentu oznaczac bedziemy symbolem Z.W przypadku eksperymentu polegajacego na pojedyn-czym rzucie moneta (zob. przykład 2), rodzina Z zdarzenlosowych jest postaci:

Z = O, R,Ω, ∅,






Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzykład rodziny zdarzen losowych

W przypadku eksperymentu polegajacego na rzuciekostka do gry (zob. przykład 3) rodzina Z jest znacznieliczniejsza. W jej skład wchodza wszystkie podzbioryjedno-, dwu-, trzy-, cztero- i piecioelementowe, a ponadto,cały zbiór Ω oraz zbiór pusty. Mamy wiec:

Z = 1, . . . , 6, 1,2, . . . , 1,6,

2,3, . . . , 2,6, 3,4, . . . , 3,6, 4,5, 4,6, 5,6,

1,2,3, . . . , 1,2,3,4, . . . , 1,2,3,4,5, . . . ,Ω, ∅.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaZdarzenie losowe i rodzina zdarzen losowych dla zbioru Ω nieprzeliczalnego

Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jakw przykładzie 5), wówczas nie kazdy jego podzbiórnazywamy zdarzeniem losowym.

Ograniczenie to wynika stad, ze zdarzeniom losowymbedziemy chcieli przyporzadkowac dalej miareprawdopodobienstwa.Aby mozliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.bezatomowej miary prawdopodobienstwa, rodzina Z musibyc nieco ubozsza rodzina podzbiorów zbioru Ω (jest niapewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadkunieprzeliczalnego zbioru Ω nie bedzie omawiane.






Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jakw przykładzie 5), wówczas nie kazdy jego podzbiórnazywamy zdarzeniem losowym.Ograniczenie to wynika stad, ze zdarzeniom losowymbedziemy chcieli przyporzadkowac dalej miareprawdopodobienstwa.

Aby mozliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.bezatomowej miary prawdopodobienstwa, rodzina Z musibyc nieco ubozsza rodzina podzbiorów zbioru Ω (jest niapewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadkunieprzeliczalnego zbioru Ω nie bedzie omawiane.






Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jakw przykładzie 5), wówczas nie kazdy jego podzbiórnazywamy zdarzeniem losowym.Ograniczenie to wynika stad, ze zdarzeniom losowymbedziemy chcieli przyporzadkowac dalej miareprawdopodobienstwa.Aby mozliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.bezatomowej miary prawdopodobienstwa, rodzina Z musibyc nieco ubozsza rodzina podzbiorów zbioru Ω (jest niapewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).

Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadkunieprzeliczalnego zbioru Ω nie bedzie omawiane.






Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jakw przykładzie 5), wówczas nie kazdy jego podzbiórnazywamy zdarzeniem losowym.Ograniczenie to wynika stad, ze zdarzeniom losowymbedziemy chcieli przyporzadkowac dalej miareprawdopodobienstwa.Aby mozliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.bezatomowej miary prawdopodobienstwa, rodzina Z musibyc nieco ubozsza rodzina podzbiorów zbioru Ω (jest niapewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadkunieprzeliczalnego zbioru Ω nie bedzie omawiane.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaAksjomatyczna definicja prawdopodobienstwa

Kazdemu zdarzeniu losowemu A ∈ Z mozna przypisacmiare prawdopodobienstwa P(A), zwana prawdopodo-bienstwem zdarzenia A.

Własnosci, jakimi powinna sie charakteryzowac miaraprawdopodobienstwa, okreslaja nastepujace trzyaksjomaty:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1,2. P(Ω) = 1,3. jesli A1,A2, . . . ∈ Z sa parami rozłacznymi zdarzeniami

losowymi, tzn. Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j , to:

P (∪∞i=1Ai ) =∞∑i=1

P (Ai ) .






Kazdemu zdarzeniu losowemu A ∈ Z mozna przypisacmiare prawdopodobienstwa P(A), zwana prawdopodo-bienstwem zdarzenia A.Własnosci, jakimi powinna sie charakteryzowac miaraprawdopodobienstwa, okreslaja nastepujace trzyaksjomaty:



P (∪∞i=1Ai ) =∞∑i=1

P (Ai ) .







1. 0 ≤ P(A) ≤ 1,

2. P(Ω) = 1,3. jesli A1,A2, . . . ∈ Z sa parami rozłacznymi zdarzeniami


P (∪∞i=1Ai ) =∞∑i=1

P (Ai ) .







1. 0 ≤ P(A) ≤ 1,2. P(Ω) = 1,

3. jesli A1,A2, . . . ∈ Z sa parami rozłacznymi zdarzeniamilosowymi, tzn. Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j , to:

P (∪∞i=1Ai ) =∞∑i=1

P (Ai ) .









P (∪∞i=1Ai ) =∞∑i=1

P (Ai ) .





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaKlasyczna definicja prawdopodobienstwa Laplace’a

Jesli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawiera njednakowo prawdopodobnych zdarzen elementarnych,sposród których k sprzyja zajsciu zdarzenia losowego A, toprawdopodobienstwem P(A) zdarzenia A jest iloraz liczbyzdarzen sprzyjajacych do łacznej liczby zdarzen, czyli:

P(A) =kn.

Wrócmy do przykładu 3. Rozwazmy zdarzenie losowe Apolegajace na wyrzuceniu parzystej liczby oczek w rzuciekostka szescienna. Przestrzen Ω składa sie tu z szesciujednakowo prawdopodobnych zdarzen elementarnych.Liczba zdarzen sprzyjajacych zajsciu zdarzenia A wynosi 3(sa to: ω2=2, ω4=4, ω6=6). Stad P(A)= 3

6 = 12 .





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaKlasyczna definicja prawdopodobienstwa Laplace’a

Jesli przestrzen zdarzen elementarnych Ω zawiera njednakowo prawdopodobnych zdarzen elementarnych,sposród których k sprzyja zajsciu zdarzenia losowego A, toprawdopodobienstwem P(A) zdarzenia A jest iloraz liczbyzdarzen sprzyjajacych do łacznej liczby zdarzen, czyli:

P(A) =kn.

Wrócmy do przykładu 3. Rozwazmy zdarzenie losowe Apolegajace na wyrzuceniu parzystej liczby oczek w rzuciekostka szescienna. Przestrzen Ω składa sie tu z szesciujednakowo prawdopodobnych zdarzen elementarnych.Liczba zdarzen sprzyjajacych zajsciu zdarzenia A wynosi 3(sa to: ω2=2, ω4=4, ω6=6). Stad P(A)= 3

6 = 12 .





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzestrzen probabilistyczna i zmienna losowa

Przestrzenia probabilistyczna danego eksperymentulosowego nazywamy trójke:

(Ω,Z,P).

Przestrzen probabilistyczna jest formalnym zapisem(reprezentacja) eksperymentu losowego.

Zmienna losowa (rzeczywista) X nazywamy odwzoro-wanie przyporzadkowujaca kazdemu zdarzeniuelementarnemu ω ze zbioru Ω liczbe rzeczywista, w takisposób, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej b podzbiór:

ω : X (ω) < b

jest zdarzeniem losowym, tj. nalezy do rodziny Z.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzestrzen probabilistyczna i zmienna losowa

Przestrzenia probabilistyczna danego eksperymentulosowego nazywamy trójke:

(Ω,Z,P).

Przestrzen probabilistyczna jest formalnym zapisem(reprezentacja) eksperymentu losowego.

Zmienna losowa (rzeczywista) X nazywamy odwzoro-wanie przyporzadkowujaca kazdemu zdarzeniuelementarnemu ω ze zbioru Ω liczbe rzeczywista, w takisposób, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej b podzbiór:

ω : X (ω) < b

jest zdarzeniem losowym, tj. nalezy do rodziny Z.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaPrzykład zmiennej losowej

Przykład 6.Załózmy, ze zorganizowano gre polegajaca na rzuciekostka do gry (zob. przykład 3). Jesli gracz wyrzuci 6oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.

W ten sposób okreslilismy zmienna losowa X (wygrana),która przyporzadkowuje zdarzeniom elementarnymω1, ω2, . . . , ω6 wartosci rzeczywiste −2 lub 10 w naste-pujacy sposób:

X (ω1) = X (ω2) = X (ω3) = X (ω4) = X (ω5) = −2, X (ω6) = 10,

gdzie ω1 =1, ω2 =2,. . . ,ω6 =6.Dla uproszczenia oznaczen wartosci zmiennej X oznaczasie symbolem xi i okresla mianem realizacji zmiennej X .






Przykład 6.Załózmy, ze zorganizowano gre polegajaca na rzuciekostka do gry (zob. przykład 3). Jesli gracz wyrzuci 6oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.W ten sposób okreslilismy zmienna losowa X (wygrana),która przyporzadkowuje zdarzeniom elementarnymω1, ω2, . . . , ω6 wartosci rzeczywiste −2 lub 10 w naste-pujacy sposób:

X (ω1) = X (ω2) = X (ω3) = X (ω4) = X (ω5) = −2, X (ω6) = 10,

gdzie ω1 =1, ω2 =2,. . . ,ω6 =6.

Dla uproszczenia oznaczen wartosci zmiennej X oznaczasie symbolem xi i okresla mianem realizacji zmiennej X .






Przykład 6.Załózmy, ze zorganizowano gre polegajaca na rzuciekostka do gry (zob. przykład 3). Jesli gracz wyrzuci 6oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.W ten sposób okreslilismy zmienna losowa X (wygrana),która przyporzadkowuje zdarzeniom elementarnymω1, ω2, . . . , ω6 wartosci rzeczywiste −2 lub 10 w naste-pujacy sposób:

X (ω1) = X (ω2) = X (ω3) = X (ω4) = X (ω5) = −2, X (ω6) = 10,

gdzie ω1 =1, ω2 =2,. . . ,ω6 =6.Dla uproszczenia oznaczen wartosci zmiennej X oznaczasie symbolem xi i okresla mianem realizacji zmiennej X .






Przykład 7.W podobny sposób, jak w przykładzie 6, mozemyzdefiniowac zmienna losowa X bedaca wygrana w grzepetersburskiej (zob. przykład 1).

Mozliwe realizacje tej zmiennej sa nastepujace:

X (ω1) = 2, X (ω2) = 4, X (ω3) = 8, X (ω4) = 16 itd.

gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR, . . . .






Przykład 7.W podobny sposób, jak w przykładzie 6, mozemyzdefiniowac zmienna losowa X bedaca wygrana w grzepetersburskiej (zob. przykład 1).Mozliwe realizacje tej zmiennej sa nastepujace:

X (ω1) = 2, X (ω2) = 4, X (ω3) = 8, X (ω4) = 16 itd.

gdzie:ω1 = R, ω2 = OR, ω3 = OOR, ω4 = OOOR, . . . .





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaZmienne losowe – podział

Ze wzgledu na zbiór wartosci przyjmowanych przez zmiennalosowa wyrózniamy:

– zmienne losowe skokowe (inaczej – dyskretne),

– zmienne losowe ciagłe.

Jesli zbiór wartosci zmiennej losowej jest co najwyzejprzeliczalny, to taka zmienna nazywamy skokowa,w przeciwnym przypadku zmienna nazywamy ciagła.





Podstawowe pojecia rachunku prawdopodobienstwaZmienne losowe – podział

Ze wzgledu na zbiór wartosci przyjmowanych przez zmiennalosowa wyrózniamy:

– zmienne losowe skokowe (inaczej – dyskretne),

– zmienne losowe ciagłe.

Jesli zbiór wartosci zmiennej losowej jest co najwyzejprzeliczalny, to taka zmienna nazywamy skokowa,w przeciwnym przypadku zmienna nazywamy ciagła.




Rozkład zmiennej losowej skokowejRozkład zmiennej losowej ciagłej

Podstawowe charakterystyki funkcyjneRozkład zmiennej losowej skokowej

W odniesieniu do zmiennej losowej skokowej okreslenie jejrozkładu prawdopodobienstwa sprowadza sie do podaniafunkcji rozkładu prawdopodobienstwa, tj. do podaniaprawdopodobienstw pi , z jakimi zmienna losowa X przyj-muje kolejne realizacje xi , czyli:

pi = P(X = xi), i = 1,2, . . . .

Rozkład ten czesto przedstawia sie w postacitabelarycznej:

realizacje xi zmiennej X x1 x2 . . . xk . . . razem

prawdopodobienstwa pi p1 p2 . . . pk . . . 1





Podstawowe charakterystyki funkcyjneRozkład zmiennej losowej skokowej

W odniesieniu do zmiennej losowej skokowej okreslenie jejrozkładu prawdopodobienstwa sprowadza sie do podaniafunkcji rozkładu prawdopodobienstwa, tj. do podaniaprawdopodobienstw pi , z jakimi zmienna losowa X przyj-muje kolejne realizacje xi , czyli:

pi = P(X = xi), i = 1,2, . . . .

Rozkład ten czesto przedstawia sie w postacitabelarycznej:

realizacje xi zmiennej X x1 x2 . . . xk . . . razem

prawdopodobienstwa pi p1 p2 . . . pk . . . 1





Podstawowe charakterystyki funkcyjnePrzykład rozkładu zmiennej losowej skokowej

W przykładzie 6, dotyczacym wygranej X w wysokosci -2lub 10 zł, rozkład prawdopodobienstwa ma postac:P(X = −2) = 5

6 , P(X = 10) = 16

lub tabelarycznierealizacje xi zmiennej X −2 10 razem

prawdopodobienstwa pi56

16 1

W przykładzie 7 rozkład prawdopodobienstwa wygranej Xjest postaci:

P(X =2)=12, P(X =4)=

12·12

=14, P(X =8)=

12·12·12

=18

itd.

lub tabelarycznierealizacje xi zmiennej X 2 4 8 16 . . . razem


14

18

116 . . . 1







6 , P(X = 10) = 16



16 1


P(X =2)=12, P(X =4)=

12·12

=14, P(X =8)=

12·12·12

=18

itd.



14

18

116 . . . 1







6 , P(X = 10) = 16



16 1


P(X =2)=12, P(X =4)=

12·12

=14, P(X =8)=

12·12·12

=18

itd.



14

18

116 . . . 1







6 , P(X = 10) = 16



16 1


P(X =2)=12, P(X =4)=

12·12

=14, P(X =8)=

12·12·12

=18

itd.



14

18

116 . . . 1





Podstawowe charakterystyki funkcyjneDystrybuanta zmiennej losowej

Inna, wazna funkcja opisujaca rozkład zmiennej losowej X(zarówno skokowej, jak i ciagłej) jest dystrybuanta,tj. funkcja F okreslona dla dowolnej, rzeczywistej wartoscib jako:F (b) = P(ω : X (ω) < b), w skrócie F (b) = P(X < b).

Dla kazdego rzeczywistego b dystrybuanta F (b) podajeprawdopodobienstwo okreslone dla podzbioru zdarzenelementarnych ω : X (ω) < b (na mocy definicji zmiennejlosowej podzbiór ten jest zdarzeniem losowym, a tymsamym ma przyporzadkowane prawdopodobienstwo).

Dla zmiennej losowej skokowej wartosc dystrybuanty F (b)mozna obliczyc, sumujac prawdopodobienstwa pi dla tychrealizacji xi , które sa mniejsze od b, czyli F (b) =

∑xi<b pi .









∑xi<b pi .









∑xi<b pi .





Podstawowe charakterystyki funkcyjneInterpretacja dystrybuanty

Dystrybuanta F w zadanym punkcie (oznaczonym tu przezb, choc argument tej funkcji oznaczany jest czesto symbo-lem x) informuje, jakie jest prawdopodobienstwo, zezaobserwujemy realizacje zmiennej losowej mniejszaod zadanej wartosci b.

Wrócmy do przykładu 7. Dystrybuante w ustalonympunkcie b, np. dla b =10 $, mozemy interpretowac w tymprzykładzie jako prawdopodobienstwo zdarzenia, zewygrana bedzie mniejsza od 10$, czyli:

F (10)=P(X <10)=P(X =2)+P(X =4)+P(X =8)=12

+14

+18

=78,

a wiec prawdopodobienstwo, iz wygrana w grze peters-burskiej bedzie mniejsza niz 10$ jest wysokie, równe 7

8 .





Podstawowe charakterystyki funkcyjneInterpretacja dystrybuanty

Dystrybuanta F w zadanym punkcie (oznaczonym tu przezb, choc argument tej funkcji oznaczany jest czesto symbo-lem x) informuje, jakie jest prawdopodobienstwo, zezaobserwujemy realizacje zmiennej losowej mniejszaod zadanej wartosci b.Wrócmy do przykładu 7. Dystrybuante w ustalonympunkcie b, np. dla b =10 $, mozemy interpretowac w tymprzykładzie jako prawdopodobienstwo zdarzenia, zewygrana bedzie mniejsza od 10$, czyli:

F (10)=P(X <10)=P(X =2)+P(X =4)+P(X =8)=12

+14

+18

=78,

a wiec prawdopodobienstwo, iz wygrana w grze peters-burskiej bedzie mniejsza niz 10$ jest wysokie, równe 7

8 .





Podstawowe charakterystyki funkcyjneWłasnosci dystrybuanty

Własnosci dystrybuanty:

1. jest funkcja niemalejaca,

2. jest co najmniej lewostronnie ciagła,

3. wartosci dystrybuanty F daza do 1, gdy argument funkcjidazy do∞ oraz do 0, gdy argument funkcji dazy do −∞,

4. P(a ≤ X < b) = F (b)− F (a).










4. P(a ≤ X < b) = F (b)− F (a).










4. P(a ≤ X < b) = F (b)− F (a).










4. P(a ≤ X < b) = F (b)− F (a).










4. P(a ≤ X < b) = F (b)− F (a).





Podstawowe charakterystyki funkcyjneRozkład zmiennej losowej ciagłej

Dla zmiennej losowej ciagłej nie jest mozliwe opisanie jejrozkładu prawdopodobienstwa poprzez podanie prawdo-podobienstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyliprzez podanie prawdopodobienstw P(X = x) dla mozli-wych realizacji x .

Nawiasem mówiac, w przypadku zmiennej ciagłejprawdopodobienstwa takie sa równe 0.Mozna jednak okreslic prawdopodobienstwa przyjmowaniaprzez zmienna ciagła wartosci z ustalonych przedziałówliczbowych.Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ciagłejwykorzystujemy tzw. funkcje gestosci.






Dla zmiennej losowej ciagłej nie jest mozliwe opisanie jejrozkładu prawdopodobienstwa poprzez podanie prawdo-podobienstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyliprzez podanie prawdopodobienstw P(X = x) dla mozli-wych realizacji x .Nawiasem mówiac, w przypadku zmiennej ciagłejprawdopodobienstwa takie sa równe 0.

Mozna jednak okreslic prawdopodobienstwa przyjmowaniaprzez zmienna ciagła wartosci z ustalonych przedziałówliczbowych.Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ciagłejwykorzystujemy tzw. funkcje gestosci.






Dla zmiennej losowej ciagłej nie jest mozliwe opisanie jejrozkładu prawdopodobienstwa poprzez podanie prawdo-podobienstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyliprzez podanie prawdopodobienstw P(X = x) dla mozli-wych realizacji x .Nawiasem mówiac, w przypadku zmiennej ciagłejprawdopodobienstwa takie sa równe 0.Mozna jednak okreslic prawdopodobienstwa przyjmowaniaprzez zmienna ciagła wartosci z ustalonych przedziałówliczbowych.

Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ciagłejwykorzystujemy tzw. funkcje gestosci.






Dla zmiennej losowej ciagłej nie jest mozliwe opisanie jejrozkładu prawdopodobienstwa poprzez podanie prawdo-podobienstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyliprzez podanie prawdopodobienstw P(X = x) dla mozli-wych realizacji x .Nawiasem mówiac, w przypadku zmiennej ciagłejprawdopodobienstwa takie sa równe 0.Mozna jednak okreslic prawdopodobienstwa przyjmowaniaprzez zmienna ciagła wartosci z ustalonych przedziałówliczbowych.Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ciagłejwykorzystujemy tzw. funkcje gestosci.






Funkcje gestosci zmiennej losowej ciagłej definiujemywzorem:

f (x) = limh→0

P(x ≤ X < x + h)

h.

Wartosc f (x) mozemy interpretowac jako prawdopodo-bienstwo zaobserwowania realizacji zmiennej X w prze-dziale [x , x + h) przy załozeniu, ze długosc h przedziałudazy do 0, przy czym prawdopodobienstwo to okresla siew przeliczeniu na jednostke długosci (stad dzielenie przezh w powyzszym wyrazeniu).






Funkcje gestosci zmiennej losowej ciagłej definiujemywzorem:

f (x) = limh→0

P(x ≤ X < x + h)

h.

Wartosc f (x) mozemy interpretowac jako prawdopodo-bienstwo zaobserwowania realizacji zmiennej X w prze-dziale [x , x + h) przy załozeniu, ze długosc h przedziałudazy do 0, przy czym prawdopodobienstwo to okresla siew przeliczeniu na jednostke długosci (stad dzielenie przezh w powyzszym wyrazeniu).





Podstawowe charakterystyki funkcyjneDystrybuanta zmiennej losowej ciagłej

W przypadku zmiennej losowej ciagłej zachodzi:

P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx .

Zauwazymy, ze przyjmujac a = −∞, otrzymujemy:

P(−∞ < X < b) = P(X < b) =

∫ b

−∞f (x)dx .

Z powyzszego wynika, ze dystrybuante F zmiennejlosowej ciagłej mozna zapisac wzorem:

F (b) =

∫ b

−∞f (x)dx .







P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx .


P(−∞ < X < b) = P(X < b) =

∫ b

−∞f (x)dx .


F (b) =

∫ b

−∞f (x)dx .







P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx .


P(−∞ < X < b) = P(X < b) =

∫ b

−∞f (x)dx .


F (b) =

∫ b

−∞f (x)dx .




PodziałWartosc oczekiwanaWariancja i odchylenie standardowe

Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowejPodział

Podstawowymi charakterystykami liczbowymi (inaczej parame-trami) rozkładu zmiennej losowej skokowej i ciagłej sa:

– wartosc oczekiwana E(X ),

– wariancja D2(X ),

– odchylenie standardowe D(X ).
































Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowejWartosc oczekiwana

Wartoscia oczekiwana zmiennej losowej (o ile istnieje)nazywamy liczbe, oznaczona umownie symbolem E(X ),zdefiniowana wzorem:

E(X ) =

∑i xi · pi , dla zmiennej losowej

skokowej,∫ +∞−∞ x · f (x)dx , dla zmiennej losowej

ciagłej,

gdzie pi ≡ P(X = xi) dla i = 1,2, . . . oznacza funkcje rozkładuprawdopodobienstwa zmiennej losowej skokowej, natomiastf (x) dla x ∈ R oznacza funkcje gestosci zmiennej losowejciagłej.





Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowejWariancja i odchylenie standardowe

Wariancja zmiennej losowej jest wartosc oczekiwana kwadratuodchylen zmiennej losowej od jej wartosci oczekiwanej, czyli:

D2(X ) = E(X − E(X ))2.

Zauwazymy, ze oznaczajac Y = (X − E(X ))2, wariancje D2(X )mozemy obliczac jako wartosc oczekiwana zmiennej losowej Y .Stad, przez analogie do formuły na wartosc oczekiwana, mamy:

D2(X ) =

∑i(xi − E(X ))2 · pi , dla zmiennej skokowej,∫ +∞−∞ (x − E(X ))2 · f (x)dx , dla zmiennej ciagłej.

Odchyleniem standardowym D(X ) nazywamy pierwiastekkwadratowy z wariancji, czyli: D(X ) =

√D2(X ).







D2(X ) = E(X − E(X ))2.


D2(X ) =



√D2(X ).







D2(X ) = E(X − E(X ))2.


D2(X ) =



√D2(X ).





Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowejPrzykład obliczania wartosci oczekiwanej i odchylenia standardowego

W przykładzie 6 wartosc oczekiwana wygranej wynosi:E(X ) =

∑2i=1 xipi = −2 · 5

6 + 10 · 16 = 0 zł.

Wielkosc ta informuje, jaka jest przecietna wygranaprzypadajaca na pojedyncza gre w przypadku, gdybypowtarzac te gre wielokrotnie (a dokładniej – nieskoncze-nie wiele razy).Poniewaz przecietna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,a wiec gre mozemy uznac za sprawiedliwa.Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosza:D2(X ) =

∑2i=1 (xi − E(X ))2 pi =

(−2− 0)2 · 56 + (10− 0)2 · 1

6 = 20, D(X ) =√

20 ≈ 4,5 zł,co oznacza, ze wygrane w pojedycznych grach odchylajasie od wartosci przecietnej, równej 0 zł, srednio o ok. 4,5zł.







∑2i=1 xipi = −2 · 5

6 + 10 · 16 = 0 zł.

Wielkosc ta informuje, jaka jest przecietna wygranaprzypadajaca na pojedyncza gre w przypadku, gdybypowtarzac te gre wielokrotnie (a dokładniej – nieskoncze-nie wiele razy).

Poniewaz przecietna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,a wiec gre mozemy uznac za sprawiedliwa.Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosza:D2(X ) =

∑2i=1 (xi − E(X ))2 pi =

(−2− 0)2 · 56 + (10− 0)2 · 1

6 = 20, D(X ) =√








∑2i=1 xipi = −2 · 5

6 + 10 · 16 = 0 zł.

Wielkosc ta informuje, jaka jest przecietna wygranaprzypadajaca na pojedyncza gre w przypadku, gdybypowtarzac te gre wielokrotnie (a dokładniej – nieskoncze-nie wiele razy).Poniewaz przecietna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,a wiec gre mozemy uznac za sprawiedliwa.

Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosza:D2(X ) =

∑2i=1 (xi − E(X ))2 pi =

(−2− 0)2 · 56 + (10− 0)2 · 1

6 = 20, D(X ) =√








∑2i=1 xipi = −2 · 5

6 + 10 · 16 = 0 zł.

Wielkosc ta informuje, jaka jest przecietna wygranaprzypadajaca na pojedyncza gre w przypadku, gdybypowtarzac te gre wielokrotnie (a dokładniej – nieskoncze-nie wiele razy).Poniewaz przecietna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,a wiec gre mozemy uznac za sprawiedliwa.Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosza:D2(X ) =

∑2i=1 (xi − E(X ))2 pi =

(−2− 0)2 · 56 + (10− 0)2 · 1

6 = 20, D(X ) =√







Wracajac do gry petersburskiej (zob. przykłady 1 i 7),skorzystamy z analogicznej formuły:∑∞

i=1 xipi = 2 · 12 + 4 · 1

4 + 8 · 18 + . . . = 1 + 1 + 1 + . . . =∞.

Suma ma w tym przypadku nieskonczenie wiele wyrazów,kazdy równy 1, co oznacza, ze suma jest nieskonczona.Odpowiadajac ponownie na pytanie w przykładzie 1,stwierdzamy, ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,przystepujac do gry, wpłacił poczatkowa kwote K , bedacarównowartoscia powyzszej sumy.Wniosek: Zadna suma pieniedzy nie jest wystarczajacazapłata za udział w grze petersburskiej (mimo, ze w grzewysokie prawdopodobienstwo maja jedynie małe wygrane,np. mniejsze niz 10 $).







i=1 xipi = 2 · 12 + 4 · 1

4 + 8 · 18 + . . . = 1 + 1 + 1 + . . . =∞.

Suma ma w tym przypadku nieskonczenie wiele wyrazów,kazdy równy 1, co oznacza, ze suma jest nieskonczona.

Odpowiadajac ponownie na pytanie w przykładzie 1,stwierdzamy, ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,przystepujac do gry, wpłacił poczatkowa kwote K , bedacarównowartoscia powyzszej sumy.Wniosek: Zadna suma pieniedzy nie jest wystarczajacazapłata za udział w grze petersburskiej (mimo, ze w grzewysokie prawdopodobienstwo maja jedynie małe wygrane,np. mniejsze niz 10 $).







i=1 xipi = 2 · 12 + 4 · 1

4 + 8 · 18 + . . . = 1 + 1 + 1 + . . . =∞.

Suma ma w tym przypadku nieskonczenie wiele wyrazów,kazdy równy 1, co oznacza, ze suma jest nieskonczona.Odpowiadajac ponownie na pytanie w przykładzie 1,stwierdzamy, ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,przystepujac do gry, wpłacił poczatkowa kwote K , bedacarównowartoscia powyzszej sumy.

Wniosek: Zadna suma pieniedzy nie jest wystarczajacazapłata za udział w grze petersburskiej (mimo, ze w grzewysokie prawdopodobienstwo maja jedynie małe wygrane,np. mniejsze niz 10 $).







i=1 xipi = 2 · 12 + 4 · 1

4 + 8 · 18 + . . . = 1 + 1 + 1 + . . . =∞.

Suma ma w tym przypadku nieskonczenie wiele wyrazów,kazdy równy 1, co oznacza, ze suma jest nieskonczona.Odpowiadajac ponownie na pytanie w przykładzie 1,stwierdzamy, ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,przystepujac do gry, wpłacił poczatkowa kwote K , bedacarównowartoscia powyzszej sumy.Wniosek: Zadna suma pieniedzy nie jest wystarczajacazapłata za udział w grze petersburskiej (mimo, ze w grzewysokie prawdopodobienstwo maja jedynie małe wygrane,np. mniejsze niz 10 $).


Documents

ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA