Elementy kinematyki Wprowadzenie

dr inż. Romuald Kędzierski

Założenia:

Ciało, które można traktować jako punkt materialny, poruszało się po torze krzywoliniowym. W chwili początkowej znajdowało się w punkcie A, po upływie pewnego czasu znalazło się w punkcie B, natomiast w chwili końcowej znalazło się w punkcie C.

Obserwator znajdował się w punkcie O.

Wartości wektorów prędkości chwilowych w punktach A, B, C spełniały zależność:

Tor ruchu

Wnioski: przemieszczenie całkowite jest sumą wektorów przemieszczeń cząstkowych.

Uwaga:

Przemieszczenie (przesunięcie):

wektor łączący położenie początkowe i końcowe ciała,

jego punkt przyłożenia znajduje się w położeniu początkowym ciała,

jego wartość jest równa długości odcinka łączącego położenie początkowe i końcowe ciała,

zmiana wyboru punktu odniesienia O nie zmienia wektora przemieszczenia ciała.

Droga:

wielkość skalarna (liczba dodatnia),

jej wartość jest równa długości toru zakreślonego przez poruszające się ciało.

Prędkość średnia

Szybkość średnia

Wielkość skalarna definiowana, jako iloraz przebytej drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Wielkość wektorowa definiowana, jako iloraz przemieszczenia ciała i czasu, w którym to nastąpiło.

Uwaga:

Przyspieszenie średnie

Wielkość wektorowa definiowana, jako iloraz zmiany prędkości ciała i czasu, w którym to nastąpiło.

Dlatego:

Uwaga:

Jeżeli dana jest zależność zmian położenia ciała od czasu:

to:

-prędkość ciała jest pochodną zmian położenia ciała liczoną względem czasu:

-przyspieszenie ciała jest pochodną zmian prędkości liczoną względem czasu:

Bezruch jest formą ruchu, tylko …

trochę bardziej stabilną!

Prędkość

w różnych układach odniesienia

dr inż. Romuald Kędzierski

Klasyczne prawo dodawania prędkości

Przyjęte oznaczenia:

- tzw. prędkość unoszenia, jest prędkość, z jaką układ ruchomy porusza się względem układu nieruchomego.

Np. prędkość, z jaką jadący pociąg porusza się względem powierzchni Ziemi.

- tzw. prędkość własna, jest prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym, zmierzona w tym układzie.

Np. prędkość pasażera spacerującego w jadącym pociągu, zmierzona względem podłogi pociągu.

- tzw. prędkość wypadkowa, jest prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym zmierzona w układzie nieruchomym.

Np. prędkość pasażera spacerującego w jadącym pociągu, zmierzona względem powierzchni Ziemi.

Klasyczne prawo dodawania prędkości

Jeżeli wartości prędkości unoszenia i własnej są wielokrotnie mniejsze od wartości prędkości światła w próżni:

to:

Uwaga:

Gdyby było na przykład:

to:

Prędkość względna

Dwa ciała A i B poruszają się względem powierzchni Ziemi z prędkościami wynoszącymi odpowiednio:

Założenie:

gdzie:

Prędkość ciała A względem ciała B wyraża zależność:

natomiast prędkość ciała B względem ciała A wyraża zależność:

Wniosek:

ale:

Większość technologii ma świetlisty awers, ale …

życie dało im rewers –

czarną rzeczywistość !

Stanisław Lem

Równanie ruchu jednostajnego i jednostajnie zmiennego

prostoliniowego

Równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego

Założenie:

Punkt materialny porusza się wzdłuż jednej z osi układu współrzędnych (np. osi X) ze stałą prędkością.

Jego położenie na tej osi w danej chwili czasu t opisuje równanie:

- wektor położenia początkowego.

Wartość jego współrzędnej określa położenie ciała na osi X (względem początku osi) w chwili początkowej.

- wektor prędkości ciała

Zwrot zgodny ze zwrotem osi X dodatnia współrzędna prędkości

Zwrot przeciwny do zwrotu osi X ujemna współrzędna prędkości

Równanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego

Założenie:

Punkt materialny porusza się wzdłuż jednej z osi układu współrzędnych (np. osi X) ze stałym do przyspieszeniem.

Jego położenie na tej osi w danej chwili czasu t opisuje równanie:

- wektor położenia początkowego.

Wartość jego współrzędnej określa położenie ciała na osi X (względem początku osi) w chwili początkowej.

- wektor prędkości początkowej ciała

Zwrot zgodny ze zwrotem osi X dodatnia współrzędna prędkości

Zwrot przeciwny do zwrotu osi X ujemna współrzędna prędkości

Zależność wektora położenia ciała od czasu.

Równanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego

- wektor przyspieszenia ciała.

Zwrot zgodny ze zwrotem osi X dodatnia współrzędna przyspieszenia

Zwrot przeciwny do zwrotu osi X ujemna współrzędna przyspieszenia

Uwaga:

Ruch jednostajnie przyspieszony:

oba wektory mają takie same zwroty, a tym samym takie same znaki współrzędnych

Ruch jednostajnie opóźniony:

oba wektory mają takie przeciwne zwroty, a tym samym przeciwne znaki współrzędnych

Zależność wektora prędkości ciała od czasu.

Uwaga:

Znaki współrzędnych wektorów prędkości początkowej i przyspieszenia określa się w taki sam sposób, jak w przypadku zależności wektora położenia od czasu

trwania ruchu!

Aby w pełni opisać ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy, należy użyć zarówno zależności wektora położenia od czasu,

jak i zależności wektora prędkości od czasu!

Przykłady układania równań opisujących ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy.

Założenie:

Punkt materialny porusza się wzdłuż osi X, która wyskalowana jest w metrach.

Punkt A:

Graficzna interpretacja wykresu v=f(t)

Figura o pewnym

polu P

Pole tej figury jest miarą przebytej drogi przez ciało w ciągu czasu Δt !

Uczony jest człowiekiem, który wie o rzeczach

nieznanych innym i …

nie ma pojęcia o tym, co …

Albert Einstein

znają wszyscy!

Ruch po

okręgu

dr inż. Romuald Kędzierski

Wektor prędkości chwilowej

Jego kierunek jest styczny do toru w danym jego punkcie.

Styczna do okręgu jest prostopadła do kierunku promienia okręgu.

Podstawowe wielkości związane z ruchem po okręgu.

Okres obiegu: jest to czas, w ciągu którego dany okrąg zostanie przebyty raz dookoła.

Częstotliwość obiegu: określa ile razy w ciągu jednej sekundy okrąg zostanie przebyty dookoła.

Związek pomiędzy okresem obiegu a częstotliwością

Założenie:

Punkt materialny porusza się po okręgu ze stałą co do wartości prędkością.

Tzw. ruch „jednostajny” po okręgu.

Wartość wektora tzw. prędkości liniowej:

Iloraz drogi przebytej w czasie ruchu po okręgu i czasu, w którym został przebyta.

Np.:

Wartość wektora tzw. prędkości kątowej:

Iloraz zakreślonego kąta w czasie ruchu po okręgu i czasu, w którym to nastąpiło.

Na przykład:

Związek pomiędzy wartościami prędkości liniowej i prędkości kątowej:

Ruch zmienny po okręgu - wprowadzenie

W ruchu jednostajnym po okręgu:

W ruchu zmiennym po okręgu:

Na przykład:

Przyspieszenie związane ze zmianą wartości prędkości kątowej nazywa się przyspieszeniem kątowym.

Michał Heller

Choć może nie zawsze sobie to

uświadamiamy, to …

właśnie postęp nauki zmienia oblicze świata!