Elementi di teoria degli insiemi e

funzioni tra insiemi

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Il concetto di insieme

Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non

riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente:

• Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti,

determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro

pensiero, concepiti come un tutto unico.

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Elementi di un insieme

Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maius-

cole

A,B,C,D, · · ·mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole

a,b,c,d, · · ·

Se a è un elemento di A scriviamo

a ∈ A (a appartiene a A)

Se invece b non appartiene a A, si scrive:

b /∈ A

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Simboli e notazioni

• Quando un insieme A possiede un numero finito di el-

ementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo

indicheremo con il simbolo

#(A) = numero degli elementi dell’insieme A

Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli

: tale che

∃ esiste

∀ per ogni

⇒ implica

⇔ se e solo se

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Come definire un insieme

• Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè esi-

bendo i suoi elementi.

Esempio: l’insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive

come

A = {0,1,2,3,4,5}In questo esempio #(A) = 6

• Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè

a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi.

Esempio: se denotiamo con N l’insieme dei numeri natu-

rali, allora l’insieme A definito sopra si può ridefinire come

A = {n ∈ N : n ≤ 5}5 / 50

• L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si

indica con /0.

Esempio: l’insieme A formato da tutti i numeri naturali si-

multaneamente maggiori e minori di 5

A = {n ∈ N : n > 5 e n < 5}= /0

Esempio: l’insieme A formato da tutti i gli uomini che sono

padri dei loro padri

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Inclusione

Si considerino gli insiemi

A = {a,b,c,d}, B = {a,b,d}Si ha

x ∈ B ⇒ x ∈ A

Questo può essere riscritto nel modo seguente:

B ⊆ A

e dice che l’insieme B è contenuto nell’insieme A

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Operazioni tra insieme

Consideriamo gli insiemi

A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8}

Unione: A∪B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}

Esempio: A∪B = {0,1,2,3,5,6,7,8}

Intersezione: A∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}

Esempio: A∩B = {2,3}

Differenza: A\B = {x ∈ A : x /∈ B}

Esempio: A\B = {1,5,7}

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Complementare

Sia

A ⊆ B

• il complementare di A rispetto a B è:

CB(A) = {x ∈ B : x /∈ A}= B\A

Esempio:

A = {1,2,3,5,7} B = {1,2,3,5,7,9,11}

CB(A) = {9,11}

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Diagrammi di Venn

A BB IntersezioneA∩B

A B UnioneA∪B

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Diagrammi di Venn

A B DifferenzaA\B

A B ComplementareCB(A)

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Esercizio

Siano A,B ⊆ C. Dimostrare le formule di De Morgan:

CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B)

CC(A∩B) = CC(A)∪CC(B)

N.B. Dati due insieme A e B si ha che

A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊆ A

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CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B) Soluzione

C

A BA∪B

CC(A∪B)

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CC(A∪B) = CC(A)∩CC(B) Soluzione

A B

C

CC(A) A B

C

CC(B)

CC(A)∩CC(B)A B

C

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Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B indichiamo con

(a,b)

una coppia ordinate dove a ∈ A e b ∈ B.

• Il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme

A×B = {(a,b) : a ∈ A e b ∈ B}

di tutte le coppie ordinate.

Se #(A) e #(B) sono finite, allora

#(A×B) = #(A) ·#(B)

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Esempio

Se

A = {1,2}, B = {a,b,c}

A×B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

A

b b

1 2

B

b

b

b

a

b

c

b(1,a)

b

b

b

b

b

A×B

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Insiemi numerici fonamentali

I numeri naturali

N= {0,1,2, . . . ,n, . . .}

I numeri interi

Z= {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}

I numeri razionali

Q={ m

n: m,n ∈ Z, n 6= 0, m e n sono primi tra loro

}

• primi tra loro vuol dire che il M.C.D. tra m e n è 1

6

9=

2

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I numeri reali

Un insieme numerico fondamentale è quello dei numeri re-

ali indicati con

R

Non diamo una definizione formalmente rigorosa dell’insieme

dei numeri reali.

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I numeri reali

Qui ci accontentiamo di dire che operativamente possiamo

identificare l’insieme dei numeri reali R con i punti di una

retta su cui sono fissati l’origine O, corrispondente al valore

0, l’unità di misura u ed il verso.

0

bu

b

1 2 3−1−2−3

b

4

7

b b

√2 π

√2, π /∈Q

I numeri reali non razionali si chiamano irrazionali19 / 50

√2 è irrazionale

Supponiamo che

√2 =

a

b, a,b primi tra loro

⇒ 2 =a2

b2⇒ 2 b2 = a2 ⇒ a2 è pari

⇒ a è pari ⇒ a = 2c ⇒ 2b2 = 4c2 ⇒ b2 = 2c2

⇒ b2 è pari ⇒ b è pari

Quindi a e b sono entrambi divisibili per 2 il che è in con-

traddizione con l’ipotesi cha a e b siano primi tra loro

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I numeri reali

Sull’insieme R sono definite due operazioni: la somma ed

il prodotto

a,b 7→ a+b

a,b 7→ a b

• Le due operazioni soddisfano le seguenti proprietà:

commutativa a+b = b+a ab = ba

associativa a+(b+ c) = (a+b)+ c a(bc) = (ab)c

elemento neutro a+0 = a a 1 = a

inverso a+(−a) = 0 se a 6= 0, a

(

1

a

)

= 1

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I numeri reali

• Vale inoltre una proprietà che coinvolge le due oper-

azioni:

distributiva (a+b)c = ac+bc

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Ordinamento dei numeri reali

• In R è definito un ordinamento totale indicato con il sim-

bolo

6

tale che ∀ a,b ∈ R:

a 6 b oppure b 6 a

• Questo ordinamento verifica le seguenti proprietà:

riflessiva a 6 a

antisimmetrica se a 6 b e b 6 a allora a = b

transitiva se a 6 b e b 6 c allora a 6 c

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Ordinamento dei numeri reali

• Valgono le seguenti relazioni tra l’ordinamento di R e le

operazioni di somma e prodotto:

• se a 6 b ⇒ a+ c 6 b+ c ∀c ∈ R

• se a 6 b e c > 0 ⇒ a c 6 b c

• se a 6 b e c < 0 ⇒ a c > b c

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Definizione di funzione

Una funzione possiamo intenderla come un apparecchio

di

Input-Output (Ingresso-Uscita)

Input → Output

Questo avviene secondo una legge univoca:

gli stessi Input danno sempre gli stessi Output

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Esempio

• Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal

valore di un’altra grandezza, si ha una funzione.

• La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di

dipendenze.

• Si consideri un termometro in una posizione fissa.

La temperatura segnata non sarà sempre la stessa, ma

varierà con il tempo, ad esempio con l’escursione termica

giornaliera o stagionale.

Quindi la temperatura dipende dall’istante in cui viene mis-

urata. Ciò rappresenta una funzione:

Istante → Temperatura

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Definizione di funzione

Siano A, B due insiemi

• Una funzione

f : A → B

è una legge che a ogni elemento a ∈ A associa un unico

elemento b ∈ B. Si scrive

f (a) = b

• b si chiama immagine di a attraverso f

• L’insieme A è detto dominio di f

• L’insieme B si chiama codominio di f

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Esempio

Siano

A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}

Definiamo f : A → B come

f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2

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Diagramma di una funzione

f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2

A B

a b c d 1 2 3

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Esempio di non funzione

A B

a b c d 1 2 3

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Funzioni surgettive

• Sia

f : A → B

una funzione. Diremo che f è surgettiva (o suriettiva) se:

∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A t.c. f (x) = y

In altre parole f è surgettiva se

Im(f ) = f (A) = {y ∈ B : y = f (x) per qualche x ∈ A}= B

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Funzione non surgettiva

f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2

A B

a b c d 1 2 3

Im(f ) = {1, 2} 6= B

Quindi f non è surgettiva32 / 50

Funzioni iniettive

• Sia

f : A → B

una funzione. Diremo che f è iniettiva se:

∀ x1,x2 ∈ A f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

• Equivalentemente se

∀ x1,x2 ∈ A x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

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Funzione non iniettiva

f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 1 , f (d) = 2

A B

a b c d 1 2 3

a 6= c mentre f (a) = f (c) = 1

Quindi f non è iniettiva.34 / 50

Esercizio

Siano

A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}

(i) Definire una funzione f : A → B surgettiva

(ii) Definire una funzione f : B → A iniettiva

(iii) ∃ una funzione f : B → A surgettiva?

(iv) ∃ una funzione f : A → B iniettiva?

(v) Definire una funzione f : A → A iniettiva e surgettiva

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Definire una funzione f : A → B surgettiva

A B

a b c d 1 2 3

f (a) = 1 , f (b) = 2 , f (c) = 3 , f (d) = 2

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Definire una funzione f : B → A iniettiva

B A

1 2 3 a b c d

f (1) = b , f (2) = c , f (3) = a

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∃ una funzione f : B → A surgettiva?

No Affinché la funzione f : B→A sia surgettiva ci dovrebbe

essere almeno un elemento di B per ogni elemento di A,

cioè si dovrebbe avere:

#(B)≥ #(A)

B A

1 2 3 a b c d

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∃ una funzione f : A → B iniettiva?

No poiché

#(A)> #(B)

Infatti, dovendo ogni elemento di A avere un’immagine in

B, necessariamente almeno due elementi di A dovranno

avere la stessa immagine.

A B

a b c d 1 2 3

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Definire una funzione f : A → A iniettiva e

surgettiva

A A

a b c d a b c d

f (a) = d , f (b) = c , f (c) = b , f (d) = a

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Funzioni bigettive

• Sia f : A → B. Diremo che f è bigettiva (o corrispon-

denza biunivoca) se f è surgettiva e iniettiva.

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Funzioni definite tra gli insieme numerici

• Sia

f : N→ N

definita da:

f (n) = 2n

• Questa funzione è surgettiva?

No Infatti 2n è sempre un numero pari, quindi l’immagine

della funzione non contiene numeri dispari

• Questa funzione è iniettiva?

Si

f (n1) = f (n2) ⇒ 2n1 = 2n2 ⇒ n1 = n2

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Composizione di funzioni

Ag−−→ B

f−−→ C

x 7→ g(x) 7→ f (g(x))

• Si chiama funzione composta

f ◦g : A → C

la funzione definita da:

(f ◦g)(x) = f (g(x))

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Esempio

Sia

f : R → R

x 7→ f (x) = x2

e siag : R → R

x 7→ g(x) = x+1

• (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+1) = (x+1)2

• (g◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2 +1

(f ◦g)(x) 6= (g◦ f )(x)

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Esempio

Sia

f : R → R

x 7→ f (x) = x+2

e siag : R\{0} → R

x 7→ g(x) =1

x

• f ◦g : R\{0} g−−→ Rf−−→ R

x 7→ 1

x7→ 1

x+2

• g◦ f : Rf−−→ R

g−−→ R

−2 7→ −2+2 = 0 ✟✟7→

g◦ f non si può definire45 / 50

Funzione inversa

Sia A un insieme. La funzione identità di A, generalmente

indicata col simbolo IA, è la funzione

IA : A → A

x 7→ IA(x) = x

• Sia

f : A → B

Diremo che f ammette funzione inversa (o è invertibile) se

esiste

g : B → A

(i) g◦ f = IA (ii) f ◦g = IB

Se tale inversa g esiste, viene indicata con il simbolo f−1

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Funzione inversa

Proprietà Sia

f : A → B

Allora f è invertibile se e solo se f è bigettiva

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Esempio

Sia A = {a,b,c,d}. Definiamo f : A → A come segue:

f (a) = b, f (b) = c, f (c) = d, f (d) = a

A A

a b c d a b c d

La sua inversa f−1 : A → A è

f−1(a) = d, f−1(b) = a, f−1(c) = b, f−1(d) = c48 / 50

Esempio

f : R → R

x 7→ x2

Questa funzione non è invertibile.

Non è ingettiva:

f (x) = f (−x)

Non è surgettiva:

Im(f ) = {x ∈ R : x ≥ 0} 6= R

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Esempio

Denotiamo con

R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}

Allora la funzione

f : R+ → R+

x 7→ x2

è bigettiva e quindi invertibile

L’inversa, f−1 : R+ → R+ è tradizionalmente indicata col

nome di radice quadrata e simbolo√

x

• R+ f−−→ R+ f−1

−−→ R+

x 7→ x2 7→√

x2 = x

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