Elementi di Logica introduzione...Elementi di logica logica dei predicati : introduzione Per quanto visto in precedenza il metodo delle tabelle di verità consente di verificare se

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Prof. Calogero Contrino

Elementi di Logica

introduzione

Corso multimediale di matematica

06/05/2014

modus ponens


Prof Calogero Contrino

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Elementi di logica

tautologie notevoli

a b a → b (a → b) ∧ a ((a → b) ∧ a) → b

F

F

F

V

⊤ ((a → b) ∧ a ) → b

F

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V

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F

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F

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V

V

In forma discorsiva la tautologia si può così esprimere:

se una proposizione a implica una proposizione b allora la verità della proposizione a

implica la verità della proposizione b .

F

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V

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V

F

F

F

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modus tollens



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Elementi di logica

tautologie notevoli

a b ﹁ b ﹁ a a → b (a → b) → (﹁b) ((a → b) → (﹁b)) → (﹁a)

V

V

V

V

⊤ ((a → b) ∧ (﹁ b)) → (﹁ a)

F V

F F

V V

V F

F

V

F

V

V

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F

F

V

V

F

V

V

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F

In forma discorsiva il modus tollens si può così esprimere:

se una proposizione a implica una proposizione b e se la proposizione b è falsa allora la

proposizione a è falsa

F

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reductio ad abdsurdum



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Elementi di logica

tautologie notevoli

a b ﹁ a ﹁ b a → b a → (﹁b) (a → b) ∧ (a→ (﹁b)) ((a → b) ∧ (a →(﹁ b))) → (﹁ a)

⊤ ((a → b) ∧ (a →(﹁ b))) → (﹁ a)

F V

F V

V F

V F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

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F

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V

V

V

F

In forma discorsiva la reductio ad absurdum si può così esprimere:

se una proposizione a implica contemporaneamente una proposizione b e la sua

negazione (contraddizione) allora la proposizione a implica la negazione di a

F

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F F

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi

Le tautologie appena verificate rivestono un notevole interesse perchè la loro struttura rivela

alcune delle più importanti modalità di ragionamento valide.

Possiamo, molto brevemente, definire il ragionamento come un procedimento discorsivo che

partendo da alcune premesse perviene ad una conclusione.

Questo tipo di procedimento può sostanzialmente svolgersi con due modalità differenti:

• ragionamento induttivo - procedimento che da premesse particolari arriva ad una

conclusione generale.

• ragionamento deduttivo - procedimento che da premesse generali arriva ad una

conclusione particolare.

Nei ragionamenti matematici viene sostanzialmente impiegato il metodo deduttivo, il metodo

induttivo, in questa disciplina, serve per formulare ipotesi e congetture che devono comunque

essere passate al vaglio del metodo deduttivo per verificarne la validità.

(n.d.r. non si deve confondere l’ induzione matematica, particolare procedimento dimostrativo legato ai numeri naturali che si

studierà al terzo anno, con il ragionamento induttivo).



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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi

Alla base di ogni ragionamento sta il concetto di conseguenza logica tale concetto può

essere, in breve, così esemplificato :

Posto che siano vere una o più proposizioni (semplici o composte) dette premesse , ciò

comporta automaticamente la verità di un’altra proposizione detta conclusione.

Tale concetto fu usato fin dall’antichità in modo implicito sia nelle argomentazioni filosofiche che nelle prime

dimostrazioni matematiche . Il suo uso esplicito risale agli stoici mentre il termine «consequentia » venne

usato per la prima volta da Severino Boezio autore della tarda romanità.

È fondamentale osservare che la verità della conclusione deriva dalle premesse

semplicemente perché si tratta di un’affermazione particolare che implicitamente è contenuta

nelle premesse (affermazioni generali), il ragionamento ha il solo scopo di evidenziarla,

(letteralmente dal latino de-duco : portar fuori).

Effettueremo nel seguito un breve rassegna dei modi di ragionamento validi che derivano dalle

tautologie esaminate in precedenza.

Partendo dalla formula proposizionale si costruirà la regola del ragionamento che ne

scaturisce. Nella regola una linea orizzontale separa le premesse dalla conclusione che nella

formula è il secondo operando dell’implicazione principale (talvolta l’unica implicazione presente nella

formula) .

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi: sillogismo ipotetico

Si esamina per primo il metodo di ragionamento detto «sillogismo ipotetico», esso ha come

supporto la tautologia che esprime la proprietà transitiva dell’implicazione materiale.

((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)

In forma discorsiva il ragionamento si può così esprimere :

formula regola

a → b b → c

a → c

1)

(a → b) ∧ ( b → c ) a → c ((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)

Per effettuare la verifica si faccia riferimento alla seguente tabella di verità, partendo dal

presupposto che a → b e b → c siano entrambe vere e quindi sia vero il loro prodotto

logico .

Pertanto essendo a → c la conseguenza, pur potendo essere vera o falsa, deve essere

necessariamente vera altrimenti anche la tautologia risulterebbe falsa e non sarebbe più tale .

V

F

V

V

V

F F

È valido quindi l’enunciato della regola 1) .

se a allora b , se b allora c dunque se a allora c

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi: contrapposizione

Si esamina il metodo di contrapposizione, esso ha come supporto l’omonima tautologia.

(a → b) → ((﹁b )→ (﹁a))


formula regola

a → b

(﹁b )→ (﹁a)

a → b (﹁b )→ (﹁a) (a → b) → (﹁b )→ (﹁a)

Pertanto essendo (﹁b ) → (﹁a) la conseguenza, pur potendo essere vera o falsa, deve essere


V

F

V

V

V

F


presupposto che a → b sia vera .

F

2)


se a allora b , ma non a dunque non b

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi: modus ponens

Si esamina il metodo del «modus ponens», esso ha come supporto l’omonima tautologia .

(a → b) ∧ a → b


formula regola

a

b

a → b

(a → b) ∧ a b (a → b) ∧ a → b

Pertanto essendo b la conseguenza. pur potendo essere vera o falsa, deve essere


V

F

V

V

V

F



presupposto che a → b ed a siano entrambe vere e sia quindi vero il loro prodotto logico .

F

3) se a allora b , ma a dunque b

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi: modus tollens

Si esamina il metodo del «modus tollens», esso ha come supporto l’omonima tautologia .

(a → b) ∧ (﹁b) → (﹁a )


formula regola

﹁b ﹁a

a → b

(a → b) ∧ (﹁b ) ﹁a (a → b) ∧ (﹁b ) → (﹁a)

Pertanto essendo ﹁a la conseguenza pur potendo essere vera o falsa deve essere


V

F

V

V

V

F

Per effettuare la verifica, come al solito, si faccia riferimento alla seguente tabella di verità,

partendo dal presupposto che a → b e ﹁b siano entrambe vere e sia quindi vero il loro

prodotto logico.

F


4) se a allora b , ma non b dunque non a

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Elementi di logica

tautologie e metodi di ragionamento validi: reductio ad absurdum

Si esamina il metodo «della reductio ad absurdum», esso ha come supporto l’omonima

tautologia .

(a → b) ∧ (a → (﹁b)) → (﹁a )


formula regola

a → (﹁b)

﹁a

a → b

(a → b) ∧ (a → (﹁b)) ﹁a (a → b) ∧(a → (﹁b)) → (﹁a )

Pertanto essendo ﹁a la conseguenza pur potendo essere vera o falsa deve essere


V

F

V

V

V

F


presupposto che a → b e ﹁b siano entrambe vere e sia quindi vero il loro prodotto logico .

F

5)


se a allora b , se a allora non b dunque non a

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Elementi di logica

modi di ragionamento validi : conseguenza logica

A conclusione di quanto visto sui modi di ragionamento validi occorre effettuare una importante

puntualizzazione sul concetto di conseguenza logica ..

Nelle formule e nelle corrispondenti regole che esprimono i singoli ragionamenti validi, le

proposizioni sono indicate, sia nelle premesse che nella conclusione, con lettere che sono

simboli (vuoti contenitori).

Si ha una conseguenza logica quando essa è verificata in ogni interpretazione (contesto

possibile)

Pertanto si può affermare che :

Il valore di verità effettivo delle singole premesse e della conclusione deriva dal

riferimento ad un contesto particolare concreto o astratto (attribuzione di significato);

A tal proposito si osservi che:

la validità del ragionamento è accertato a prescindere dal particolare contesto, esso è

valido in qualsiasi contesto purchè le singole proposizioni stiano tra di loro in

determinate relazioni (espresse dai connettivi logici).

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Elementi di logica

logica dei predicati : introduzione

Per quanto visto in precedenza il metodo delle tabelle di verità consente di verificare se una

proposizione composta, comunque complessa , sia sempre vera ( tautologia o legge logica) ..

Ma ancora non si è data risposta al seguente domanda fondamentale:

Inoltre le tautologie ci hanno consentito di individuare singole modalità di ragionamento valide.

è possibile verificare che una data proposizione sia una legge logica attraverso una ”catena“

di ragionamenti logicamente corretti che riconduca il giudizio di verità su di essa a quello su

un’altra proposizione posta in precedenza ? Ci sono cioè delle forme di ragionamento che ci

permettono di concludere che se una data proposizione a è vera allora la verità di una

proposizione b è conseguenza logica della verità della proposizione a ?

Inoltre si osservi che le proposizioni sono un tipo molto riduttivo di frasi ben formate di un

dato linguaggio, si ricordi che esse sono frasi costituite da termini invariabili ( costanti ), mentre

è proprietà fondamentale di ogni linguaggio la costruzione di frasi ben formate che

contengono termini variabili: le frasi aperte .

Esse possono essere analizzate da un punto di vista logico solo se si considera la loro

struttura interna e non considerando la frase come un “ unicum ”.

Andremo ora ad esaminare qualche aspetto riguardo alla trattazione da un punto di vista

logico delle frasi aperte dette altrimenti predicati.

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Elementi di logica

logica dei predicati : i predicati come funzioni

Riportiamo a titolo di esempio le seguenti frasi aperte:.

è evidente che i termini variabili nelle frasi in questione sono rispettivamente tizio ed x ed è

altrettanto evidente che per tali frasi non si può pronunciare un giudizio di verità.

Se però ai termini variabili di volta in volta vengono sostituiti termini che sono elementi di un

determinato insieme di riferimento (insieme universo o dominio ), che nel primo caso è un

determinato gruppo di persone e nel secondo caso l’insieme dei numeri naturali o un suo

sottoinsieme, allora le frasi si trasformano automaticamente in proposizioni vere o false (a

seconda che l’elemento costante che sostituisce la variabile rispetti le proprietà dell’enunciato

o meno ).

tizio ha gli occhi verdi x è un numero primo

Dal punto di vista del valore di verità le frasi aperte si comportano come una usuale funzione

in cui l’argomento è costituito dalla variabile presente nella frase che, avendo assunto uno

specifico valore (termine appartente al dominio) attribuisce alla frase (divenuta una

proposizione) o il valore «vero» o il valore «falso» .

Per tale motivo le frasi aperte, associate agli elementi di un particolare dominio, sono anche

dette funzioni proposizionali.

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Elementi di logica

operazioni logiche con i predicati

Si ha la seguente

Le frasi aperte riportate in precedenza costituiscono l’esemplificazione più elementare delle

funzioni proposizionali. In esse è presente un solo termine variabile.

definizione

Dato un predicato a(x) dipendente da una variabile x ∈ D , con D insieme di riferimento

(insieme universo o dominio ), dicesi insieme di verità di a(x) l’insieme A ⊆ D costituito

dagli elementi di D per cui a(x) risulta vero.

A questo punto è opportuno formulare il seguente

Assegnati due distinti predicati della stessa variabile a(x) , b(x) , ognuno dei quali ha

rispettivamente gli insiemi di verità A e B in un assegnato dominio D, qual è l’insieme di

verità del predicato che si ottiene componendo i due predicati con uno qualsiasi dei

connettivi logici in precedenza incontrati nell’ambito della logica delle proposizioni ?

problema

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Elementi di logica

operazioni logiche con i predicati: esempio

Per dare risposta al precedente quesito si faccia riferimento al seguente

esempio

Nell’ambito degli alunni del nostro istituto (dominio) si considerino i seguenti predicati:

siano A e B i rispettivi insiemi di verità, dato il predicato

c(x) : x è un alunno che l’anno passato ha conseguito la media del nove e ha riportato

nove in matematica

a(x) : x è un alunno che l’anno passato ha conseguito la media del nove.

b(x) : x è un alunno che l’anno passato ha riportato nove in matematica .

c(x) : a(x) ∧ b(x) cioè

la risposta è facilmente ottenuta con la teoria degli insiemi tenendo presente che alla

congiunzione logica dei due predicati corrisponde una operazione d’intersezione tra i relativi

insiemi di verità.

D A

B C

ci si chiede : qual è l’insieme di verità del predicato C(x) ?

La situazione è illustrata dal seguente diagramma di Eulero-Venn .

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Elementi di logica

operazioni logiche tra predicati

Quanto osservato con l’esempio precedente ha una validità di carattere generale, si ha cioè:

Ad agni operazione logica tra predicati corrisponde una opportuna operazione o sequenza

di operazioni tra i rispettivi insiemi di verità.

OPERAZIONI LOGICHE OPERAZIONI INSIEMISTICHE

A ∩ B

A ∪ B

CD A

(CD A) ∪ B

A ∧ B

A ∨ B

﹁ A

A → B

Si riporta di seguito un quadro riassuntivo di corrispondenza per le operazioni logiche

fondamentali, facilmente verificabile come esercizio .

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la frase precedente è stata ottenuta mediante il connettivo se … allora con a(x) che funge da

antecedente e b(x) che funge da conseguente .



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Elementi di logica

Implicazione logica tra predicati

Si considerino i seguenti predicati :

a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .

b(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .

c(x) = se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 allora x è un numero

naturale divisibile per il numero naturale 2 .

Implicazione logica

Assegnati due predicati a(x) , b(x) , con x appartenente ad un dato dominio D, se ogni

valore di x che rende vero a(x) , rende vero b(x) allora si dice che b(x) è una conseguenza

logica di a(x) o che a(x) implica logicamente b(x) e si scriverà : a(x) ⇒ b(x) .

Si consideri ora il seguente predicato :

Si osservi che :

Inoltre ogni x che rende vero a(x) rende vero

b(x).

Quando ciò accade la verità di b(x) è legata alla verità di a(x) nelle modalità di una

conseguenza . Si ha in proposito la seguente definizione

Tale situazione non si verifica sempre .



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Elementi di logica

Implicazione logica tra predicati : esempi

Si noti che se in un’implicazione logica si scambia antecedente con conseguente non è detto

che si ottenga un’altra implicazione logica, a(x) ⇒ b(x) non è sempre vero che

b(x) ⇒ a(x) . Si riportano in proposito i seguenti esempi:

cioè se si ha

esempio 1

Dati i predicati:

a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .

b(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .

Si possono considerare le due implicazioni:

a(x) ⇒ b(x) se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 allora x è

un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 .

:

b(x) ⇒ a(x) se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 2 allora x è

un numero naturale divisibile per il numero naturale 4 .

La prima è vera, la seconda è palesemente falsa ed eventualmente si potrà così scrivere:

b(x) ⇒ a(x)

:



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Elementi di logica

Coimplicazione logica

esempio 2

Dati i predicati: a(x) = x è un triangolo con due lati congruenti . b(x) = x è un triangolo con due angoli congruenti .

Si possono considerare le due implicazioni:

a(x) ⇒ b(x) se x è un triangolo con due lati congruenti allora x è un triangolo con

due angoli congruenti.

:

b(x) ⇒ a(x) se x è un triangolo con due angoli congruenti allora x è un triangolo

con due lati congruenti.

Che sono entrambe vere .

In tale situazione si ha la seguente definizione .

:

equivalenza (coimplicazione )logica

Dati due predicati a(x) , b(x), con x appartenente ad un dato dominio D, se ogni valore di x

che rende vero a(x) , rende vero b(x) e se contemporaneamente ogni valore di x che rende

vero b(x) , rende vero a(x) allora si dice che a(x) e b(x) sono logicamente equivalenti,

oppure che per a(x) e b(x) si ha una coimplicazione logica e si scriverà : a(x) ⇔ b(x) .

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Infatti ogni numero

divisibile per 6 è pari ma i numeri divisibili per 6 non

esauriscono tutti i numeri pari.(diagramma di Eulero–Venn a lato) .

Si considerino gli insiemi di verità A della premessa a (x) e B

della conseguenza b(x),



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Elementi di logica

Implicazione logica : insiemi di verità

esempio 3

Dati i predicati: a(x) = x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 6 . b(x) = x è un numero naturale pari .

Si costruisca il seguente predicato:

c(x) = se x è un numero naturale divisibile per il numero naturale 6 allora x è un numero

naturale pari.

Per quanto visto in precedenza, anche l’implicazione logica può essere interpretata con la

teoria degli insiemi . Esamineremo tale aspetto introducendo un esempio .

Il predicato c(x) afferma l’esistenza dell’ implicazione logica

infatti la divisibilità per 6 implica contemporaneamente la divisibilità per 3 e per 2

quest’ultima essendo un criterio per riconoscere un numero pari .

a(x) ⇒ b(x)

D = ℕ

B

A

si ha che A ⊂ B .

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B



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Elementi di logica

Coimplicazione logica : insiemi di verità

Nell’ implicazione logica la premessa vera (o le premesse vere)

La considerazione precedente ha una validità generale e pertanto si può affermare che

D

B

A

Se si è in presenza di una coimplicazione logica a(x) ⇔ b(x) si ha contemporaneamente :

A ⊆ B B ⊆ A cioè : ⋀ A = B

D

rappresentazione insiemistica di premessa e conclusione

a(x) ⇔ b(x) a(x) ⇒ b(x)

implicazione e coimplicazione logica

A A

B B

è (sono) sempre contenuta

(contenute) nella conclusione vera .



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Elementi di logica

quantificatori

In algebra sono già state incontrate frasi del tipo «per ogni x ….» (simbolo ), «esiste almeno

un x…»(simbolo ), attribuisce una data proprietà a tutti gli elementi di un insieme di

riferimento rappresentato da una data variabile , invece assicura invece che ci sono elementi

di un dato insieme di riferimento che hanno una data proprietà.

Esiste un preciso procedimento di calcolo meccanico dei predicati in presenza di variabili

vincolate, che è il corrispettivo delle tabelle di verità per le proposizioni , ma non ce ne

occuperemo in questa sede .

è detto quantificatore universale, mentre è detto quantificatore esistenziale.

I due operatori di fatto operano sui predicati (frasi aperte) una chiusura, ci danno cioè delle

informazioni sull’insieme di verità.

Si dice in tal caso che la variabile o le variabili presenti in un predicato sono quantificate (sono

vincolate da operatori detti quantificatori).



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Elementi di logica

Sistemi ipotetico-deduttivi

Ci occuperemo invece anche se in maniera molto succinta ed intuitiva, di cosa si intende in

matematica per sistema ipotetico-deduttivo.

Lo scopo è quello di formare negli alunni un’ idea di massima, mentre la comprensione

concetto e del metodo impiegato maturerà lungo il corso degli studi, in cui se ne vedrà

continuamente l’ esemplificazione.

Al termine del 5° anno si avranno le conoscenze e gli strumenti adeguati per effettuare un

approfondimento sul tema.



25/8

Elementi di logica

Struttura di un sistema ipotetico-deduttivo

Un sistema di deduzione (ipotetico- deduttivo) si costruisce nella sua struttura con i passi

indicati nelle tabelle che seguono :

Introduzione di un linguaggio preciso e rigoroso.

scelta di un alfabeto scelta di un lessico

scelta di una grammatica

costruzione di frasi ben formate .

scelta, tra le frasi ben formate, di alcune proposizioni da porre alla base della teoria da

sviluppare delle quali si accetta la verità per convenzione . Tali proposizioni vengono detti

assiomi, esse parlano delle proprietà dei termini primitivi della teoria e li definiscono in

modo implicito .

scelta di alcune regole , dette regole di deduzione o d’ inferenza, per mezzo delle quali si

ricavano nuove proposizioni il cui valore di verità e necessariamente legato a quello di

proposizioni precedenti . Tali regole costituiscono la sintassi del sistema formale .

definizioni di tutti gli altri termini della teoria mediante i termini primitivi.



26/8

Elementi di logica

Applicazione del metodo deduttivo

Tale metodo consiste nell’applicare inizialmente le regole d’inferenza agli assiomi per

ricavare nuove proposizioni detti teoremi quindi si itera il procedimento ricavando con

l’ausilio dei primi teoremi nuovi teoremi.

Costruito il sistema si applica ad esso il metodo deduttivo.

La sequenza di applicazione delle regole di deduzione per ottenere un teorema si dice

dimostrazione o derivazione.



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Elementi di logica

Un esempio di sistema ipotetico-deduttivo

Si voglia costruire un gioco ( metafora di un sistema ipotetico-deduttivo ) nel seguente modo

: si scelgono due simboli : ♣ ♠ SCELTA DELL’ALFABETO

si raggruppano i simboli in terne secondo l’ordine di

estrazione collocandoli da destra verso sinistra .

p.e . : ♣ ♠ ♣

COSTRUZIONE DI FRASI BEN FORMATE

si inseriscono in un’urna un certo numero di simboli ♣ e

uno stesso numero di simboli ♠ quindi per ogni

giocatore si estraggano a caso in sequenza tre simboli .

SCELTA DEL LESSICO E DELLA GRAMMATICA

si stabilisce una terna vincente : ♣ ♠ ♠ SCELTA DEGLI ASSIOMI

Si riporta un esempio che nella sua semplicità chiarisce abbastanza i concetti esposti in

precedenza. Nell’esposizione che segue di volta in volta saranno individuati i momenti

corrispondenti ai precedenti passi .



28/8

Elementi di logica


si stabiliscono le regole che determinano tutte le altre

terne vincenti :

SCELTA DELLE REGOLE D’INFERENZA

1. sostituendo nelle terne vincenti ciascun simbolo

ovunque con l’altro, si ottiene ancora una terna

vincente.

2. nelle terne vincenti scambiando il primo col secondo

simbolo da sinistra si ottiene ancora una terna

vincente.

Nel sistema così costruito se ♣ , ♠ sono dei simboli astratti e le operazioni di estrazione sono

azioni anch’esse di tipo astratto (convenzionali, cioè che possono rappresentare qualsiasi cosa o

azione che soddisfi alle proprietà degli assiomi ) si avrà un sistema formale se invece sono

realmente rispettivamente i semi fiori rosso e picche rosso e si ha una effettiva estrazione con

le modalità descritte si avrà un sistema materiale . Ovviamente tale sistema materiale

soddisfa tutte le proprietà del sistema formale di cui realizza una esemplificazione, ne

costituisce cioè un modello o come si dice anche una interpretazione.



29/8

Elementi di logica


Si ha come conseguenza immediata del sistema così costruito (Teoria) il seguente

dimostrazione

Data la teoria T la terna ♠ ♣ ♣ è vincente teorema 1

applicando la regola di deduzione 1) all’ assioma : la terna ♣ ♠ ♠ è vincente

si ottiene : ♣ è vincente ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ la terna

Dal sistema, partendo dal teorema appena dimostrato si può dedurre il seguente

La terna ♠ ♣ ♠ è vincente teorema 2

applicando la regola di deduzione 2) al teorema 1: si ottiene :

♣ è vincente ♠ ♣ ♠ ♣ applicando la regola di deduzione 1) alla proposizione A A

si ottiene infine : ♠ è vincente ♣ ♣ ♣ ♠ ♠

♣ la terna

la terna

dimostrazione

la terna ♠ ♣ ♣ è vincente



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Elementi di logica

La nascita dei sistemi assiomatici formali ( logico – formali )

Il metodo esemplificato in precedenza ha mosso i suoi passi fin dalla antica civiltà greca

consentendo ad Euclide di codificare, seppur con numerose imperfezioni, un primo sistema di

questo tipo nell’opera «Gli elementi». Avendo, tale sistema, come universo di riferimento la

geometria (ma non solo) nella nostra esperienza normale con le relazioni di tipo spaziale esso

è un sistema materiale (facendo riferimento ad enti ben precisi).

Il concetto di sistema formale di deduzione (sistema assiomatico) nascerà soltanto a fine

ottocento proprio dall’esame critico dell’opera di Euclide da parte di David Hilbert nel lavoro

«Gründlagen der Geometrie».

Hilbert partendo con lo scopo di eliminare le imperfezioni logiche presenti nell’opera di Euclide

realizza in realtà un sistema logico formale ove gli enti geometrici di Euclide diventano dei

termini di un discorso puramente astratto e le relazioni geometriche delle semplici relazioni

logiche tra tali termini.



31/8

Elementi di logica

Ie proprietà degli assiomi nei sistemi ipotetico-deduttivi

Gli assiomi oltre ad adempiere al compito di definire in forma implicita gli enti primitivi della

teoria(caratterizzazione degli enti primitivi ) devono avere le seguenti proprietà:

compatibilità : essi devono essere non contraddittori, cioè da essi non può derivare una

affermazione e la sua negazione;

completezza : il numero dei postulati deve esser tale da poter derivare da essi tutti i teoremi del

sistema ;

indipendenza : nessun assioma può essere dedotto dagli altri , cioè non deve accadere che un

postulato sia anche un teorema;

consistenza : l’insieme dei postulati deve avere un modello (una interpretazione) questa proprietà

ovviamente si riferisce ai sistemi formali .



32/8

Elementi di logica

I teoremi nei sistemi ipotetico deduttivi

Come si è visto in precedenza dagli assiomi, attraverso regole di deduzione, derivano altri

enunciati veri detti teoremi ( dal greco antico « » , nel linguaggio comune spettacolo,

festa, e anche precetto, schema, regola e infine in Aristotele teoria, meditazione, osservazione

disinteressata ).

Dal punto di vista esclusivamente tecnico (cioè della logica matematica ) il teorema è una

implicazione logica , di cui è verificabile la verità, tra due predicati detti rispettivamente ipotesi

e tesi.

Indicando con la lettera I l’ipotesi e con la lettera T la tesi , simbolicamente un teorema sarà

cosi indicato: I ⇒ T .

Di un teorema è possibile distinguere :

l’enunciato: la totalità della frase che esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare ;

l’ipotesi: la parte della frase che esprime il contenuto dell’ antecedente ( che si suppone vero)

dell’implicazione logica ;

la tesi : la parte della frase che esprime il contenuto del conseguente (che deve essere verificato)

dell’implicazione logica ;

la dimostrazione: il procedimento deduttivo (ragionamento) che verifica la verità della tesi come

conseguenza logica della verità dell’ ipotesi (e della teoria nel suo complesso);

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Per una retta r e per un punto P non appartenente ad essa passa uno ed un solo piano.

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Logica

I teoremi nei sistemi ipotetico deduttivi

nota

Non sempre accade che l’enunciato di un dato teorema sia formulato nella forma canonica

dell’implicazione logica. È però utile abituarsi ad individuare correttamente ipotesi e tesi

formulando l’enunciato nella forma canonica : I ⇒T.

Evidentemente tale enunciato non è posto nella forma canonica, essa può però essere

ottenuta trasformando l’enunciato in uno logicamente equivalente nel seguente modo :

allora per essi passa

uno e un solo piano .

Se sono assegnati una retta r e un punto P non appartenente ad essa

Dalla forma canonica così ottenuta appare più facile distinguere l’ipotesi dalla tesi nella

formulazione non canonica.

l’ipotesi tesi

Si riporta nel seguito un esempio; sia dato il seguente

teorema

Per una retta r e per un punto P non appartenente ad essa passa uno ed un solo piano

Si rifletta infine sul fatto che nei due enunciati è implicita la presenza del quantificatore

universale .

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La dimostrazione di un teorema è, come si è visto in precedenza, il ragionamento che

partendo dalla verità dell’ipotesi porta a concludere la verità della tesi servendosi delle regole

di deduzione e tenendo conto degli assiomi.



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Elementi di logica

le dimostrazioni nei sistemi ipotetico deduttivi : metodo diretto

Vi sono diversi modi di condurre la dimostrazione di un teorema; ne esamineremo solamente

due : la dimostrazione diretta e la dimostrazione per assurdo .

dimostrazione diretta

Una dimostrazione si dice diretta se procede nel seguente modo :

tiene conto degli assiomi e di teoremi precedentemente dimostrati

applica, ripetutamente , la proprietà transitiva dell’implicazione logica

esempio

Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3. Si ha :

I : n è divisibile per 6 , T : n è divisibile per 3 . Si deve verificare la verità di I ⇒ T

si ha successivamente :

I : n è divisibile per 6 ⇒ n = 6m, m ∈ N ⇒ n =( 3∙2) m ⇒ n = 3∙(2m) ⇒ T : n è divisibile per 3

e per la proprietà transitiva dell’implicazione logica : ⇒

c.v.d. : come volevasi dimostrare Leggasi c.d.d.: come dovevasi dimostrare

n è divisibile per 3 n è divisibile per 6 Si termina sempre la dimostrazione con uno tra gli acronimi c.d.d. o c.v.d. o q.e.d.

q.e.d. : quod erat (esset) demostrandum

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Alla luce di ciò, è più

comodo fare un cambio di notazione e invertendo i ruoli di a e ﹁ a si può scrivere la seguente

formula equivalente alla 1) :

.

per il principio

del terzo escluso deve essere vera T

Il metodo indiretto di riduzione all’assurdo (raa) si articola nel seguente modo :

, si nega (si falsifica) la tesi, cioè si ritiene vero il predicato

﹁ T

Questo modo di ragionare può essere esposto nei seguenti termini per una più facile

comprensione : se l’ipotetica verità di una proposizione (o predicato) a implica una

contraddizione (b ∧ (﹁ b)) allora è vera la negazione di a ( a è falsa).



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Elementi di logica

le dimostrazioni nei sistemi ipotetico deduttivi : riduzione all’assurdo

che è tradotto nella formula :

Si è visto in precedenza che la modalità della reductio ad absurdum può essere espressa col

seguente schema di ragionamento :

{( a → b ) [ a → (﹁ b )]} ∧ ( ﹁ a ) ⇒

se a allora b , se a allora non b dunque non a ;

(﹁ a → ⊥) ⇒ a

dimostrazione per riduzione all’assurdo (raa)

dovendo verificare la verità di : I ⇒ T

si dimostra per via diretta l’implicazione (﹁ T ) ⇒ ( ﹁ I )

la conseguenza della precedente implicazione porta alla contraddizione della verità di: I ∧ (﹁ I )

osservando che tale contraddizione deriva dall’aver assunto la verità di ﹁ T ,

Quest’ultima forma è utilizzata nella dimostrazione per assurdo come nel seguito illustrato.

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Si dimostra per assurdo il teorema precedentemente dimostrato per via diretta di cui si

ricorda l’enunciato :

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Logica

Dimostrazione con metodo raa : esempio

esempio

Si riporta nel seguito un esempio di applicazione del metodo raa

un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3.

Si neghi la tesi, si supponga cioè che sia vera ﹁ T , vale a dire : n non è divisibile per 3.

Sia n un numero naturale divisibile per 6 ( I deve essere vera cioè : n = 6m , m ∈ ℕ ).

Ma essendo 6 = 3∙2, segue che n ≠ 3∙2∙m, cioè n non è divisibile per 6 e quindi è vera ﹁ I.

Ritenere vera la negazione della tesi (﹁ T) , cioè che il numero n non è divisibile per 3 ha

portato alla contraddizione dell’ipotesi (﹁ I ) cioè il numero n è divisibile per sei) , pertanto

la tesi deve essere vera cioè il numero n è divisibile per 3. q.e.d.

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È utile, a tale scopo, riportare nel seguito i possibili enunciati che si possono ottenere dal

teorema diretto I ⇒T :

Supponiamo che un dato enunciato del tipo I ⇒T risulti vero, detto tale enunciato teorema

diretto , da esso si possono ottenere altri enunciati, che sono detti teoremi derivati; ci si

chiede se l’eventuale verità di tali nuovi teoremi sia assicurata dalla verità del teorema diretto.

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Logica

Teoremi derivati

teorema reciproco o inverso

Si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi si ha cioè : T ⇒ I

teorema contronominale o contrapposto :

Si ottiene scambiando l’ipotesi con la negazione della tesi e la tesi con la negazione

dell’ ipotesi si ha cioè : ﹁ T ⇒ ﹁ I

teorema contrario

Si ottiene sostituendo all’ipotesi e alla tesi le rispettive negazioni si ha cioè: ﹁ I ⇒ ﹁ T

teoremi derivati

Si analizza nel seguito ciascuna tipologia .

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È utile, a tale scopo, riportare nel seguito i possibili enunciati che si possono ottenere dal

teorema diretto I ⇒T :

Supponiamo che un dato enunciato del tipo I ⇒T risulti vero, detto tale enunciato teorema

diretto , da esso si possono ottenere altri enunciati, che sono detti teoremi derivati; ci si

chiede se l’eventuale verità di tali nuovi teoremi sia assicurata dalla verità del teorema diretto.

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Logica

Teoremi derivati


Si ottiene scambiando l’ipotesi con la tesi si ha cioè : T ⇒ I

teorema contronominale o contrapposto :

Si ottiene scambiando l’ipotesi con la negazione della tesi e la tesi con la negazione

dell’ ipotesi si ha cioè : ﹁ T ⇒ ﹁ I

teorema contrario

Si ottiene sostituendo all’ipotesi e alla tesi le rispettive negazioni si ha cioè: ﹁ I ⇒ ﹁ T

teoremi derivati

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Logica

Teoremi derivati : teorema reciproco o inverso

Esempio 1


il teorema inverso T ⇒ I non sempre è vero, quindi di

volta in volta dovrà eventualmente essere dimostrato.

Sia vero il teorema diretto I ⇒T

Se un numero naturale è divisibile per 4 allora esso è divisibile per 2 .

teorema diretto (vero) :

teorema inverso (falso) :

Se un triangolo ha due lati congruenti allora esso ha due angoli congruenti .

Se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso ha due lati congruenti.

A chiarimento di quanto affermato, si riprendono due esempi che abbiamo analizzato in

precedenza .

Se un numero naturale è divisibile per 2 allora esso è divisibile per 4 .


teorema inverso (vero) :

Esempio 2

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Logica

Teoremi derivati : teorema contronominale

Esempio

teorema contronominale

il teorema contronominale ﹁ T ⇒ ﹁ I è sempre vero. Sia vero il teorema diretto I ⇒T

Se un triangolo è rettangolo allora la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al

quadrato costruito sull’ipotenusa.


teorema contronominale (vero) :

A chiarimento di quanto affermato, si riporta un

Se in un triangolo la somma dei quadrati costruiti su una delle possibili coppie di lati

(eventuali cateti) non è uguale al quadrato costruito sul terzo lato (eventuale potenusa) allora

il triangolo non è rettangolo .

È vera pertanto la seguente affermazione che è nota come

la verità di un teorema implica la verità del suo contronominale e viceversa prima legge delle inverse

si omette la dimostrazione dell’enunciato precedente dal quale consegue immediatamente che

la verità del teorema contronominale implica la verità del teorema diretto .

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Logica

Teoremi derivati : teorema contrario

teorema contrario

, il teorema contrario ﹁ I ⇒ ﹁ T non è sempre vero ed

anche in questo caso bisognerà eventualmente di volta in volta dimostrarlo.

Sia vero il teorema diretto I ⇒T

A chiarimento di quanto affermato, si riportano i seguenti esempi

Esempio 1

Se un numero naturale è divisibile per 4 allora esso è divisibile per 2 . teorema diretto (vero) :

teorema inverso (falso) :

Se un triangolo ha due lati congruenti allora esso ha due angoli congruenti .

Se un triangolo non ha due angoli congruenti allora esso non ha due lati congruenti.


teorema inverso (vero) :

Esempio 2

Se un numero naturale non è divisibile per 4 allora esso non è divisibile per 2 .

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Logica

Teoremi derivati : condizione per l’esistenza del teorema contrario

osservazione

Dato il teorema diretto I ⇒T se esso ammette il suo inverso T ⇒ I , cioè se I ⇔T, per

quanto visto in precedenza è vero il contronominale dell’inverso quindi ﹁ I ⇒ ﹁ T cioè è

vero il teorema contrario del primo.

In merito alle condizioni per l’ esistenza del teorema contrario è opportuno fare la seguente

modi di dire tipici

Concludiamo con una precisazione sui seguenti modi di dire che si incontrano spesso negli

enunciati dei teoremi .

• « condizione necessaria»

• « condizione necessaria e sufficiente»

• « condizione sufficiente»

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Questo legame può essere

espresso in due modi diversi, il primo :

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Logica

Teoremi : precisazioni su alcuni modi di dire

I modi di dire precedenti sono legati al concetto di implicazione logica .Se ne illustra nel

seguito il significato

basta che (è sufficiente che) a(x) sia vero ( x appartenente ad A ) perché sia vero b(x).

questo modo di dire evidenzia il ruolo di a(x) nell’affermare che

A ⊂ B

Si consideri una implicazione logica tra predicati a(x) ⇒ b(x).

D B

A

Essere un numero divisibile per 6 costituisce condizione sufficiente perchè il numero sia

divisibile per 2 : cioè la divisibilità per 6 assicura la parità del numero , per cui si ha:

A chiarimento si ripropone un esempio precedente utilizzando il nuovo lessico.

condizione sufficiente perchè un numero sia divisibile per 2 è che il numero sia divisibile per

6 , cioè: I ⇒T

con I : il numero sia divisibile per 6 e T : il numero sia divisibile per 2

A

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il legame può essere così

espresso in modo diverso :

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Logica


questo modo di dire evidenzia il ruolo di b(x) nell’affermare che

B ⊃ A

Per la stessa implicazione logica tra predicati a(x) ⇒ b(x) ,

D B

A

Essere un numero divisibile per 2 costituisce condizione necessaria perchè il numero sia

divisibile per 6 : cioè per garantire la divisibilità per 6 deve essere assicura la parità del

numero , per cui si ha:

A chiarimento si ripropone l’ esempio precedente utilizzando ancora il nuovo lessico.

condizione necessaria perchè un numero sia divisibile per 6 è che il numero sia divisibile per

2 , cioè: I ⇒T

con I : il numero sia divisibile per 6 e T : il numero sia divisibile per 2

è necessario ( ma non basta ) che b(x) sia vero ( x appartenente a B ) perchè sia

vero A(x).

A

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A chiarimento si ripropone un esempio già proposto : il seguente teorema «Se un triangolo è

isoscele allora ha due angoli congruenti» ed il suo inverso sono entrambi veri.

Avendosi, in questo caso

contemporaneamente

Si consideri una coimplicazione logica tra predicati a(x) ⇔ b(x).

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Logica


condizione necessaria e sufficiente perché a(x) sia vero ( x appartenente ad A ) è che

sia vero b(x) ( x appartenente a B ) .

questo modo di dire evidenzia il ruolo di a(x) e b(x)

nell’affermare che A = B

D B

A

Pertanto il fatto che un triangolo abbia due angoli congruenti costituisce condizione

necessaria e sufficiente perchè esso sia isoscele , per cui è vero il seguente enunciato :

condizione necessaria e sufficiente perchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli

congruenti, cioè: I ⇔T

con I : il triangolo isoscele e T : il triangolo a due angoli congruenti

a(x) ⇒ b(x) e b(x) ⇒ a(x) ,

Pertanto si può

esprimere tale situazione utilizzando il terzo modo di dire indicato in precedenza :

A

i due predicati assumono entrambi

scambievolmente il ruolo di antecedente (ipotesi) e conseguente (tesi).

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Elementi di Logica introduzione...Elementi di logica logica dei predicati : introduzione Per quanto visto in precedenza il metodo delle tabelle di verità consente di verificare se