Elementi di Calcolo delle Probabilitµa - 2. Partewebmath2.unito.it/paginepersonali/sergio.console/...Elementi di Calcolo delle Probabilitµa - 3. Parte ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

Elementi di Calcolo delle Probabilit a - 2. Parte

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA – 2. Parte.

Argomenti svolti:

• Calcolo delle probabilita: definizione frequentista, soggettivista e assiomatica (usodelle proprieta dell’unione, dell’intersezione e del complementare); probabilita condizion-ata, legge del prodotto e indipendenza stocastica.

ESERCIZI ESEMPLIFICATIVI

1. Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Si descriva lo spazio deicampioni quando (a) i semi non sono presi in considerazione, (b) solo i semi sonopresi in considerazione.

2. (a) Qual e la probabilita di fare doppio 2 con una coppia di dadi non truccati?

(b) Qual e la probabilita di fare doppio 2 con una coppia di dadi truccati in modoche nel 50% dei casi esca 6 (e gli altri numeri siano ugualmente probabili)?

(c) Qual e la probabilita di totalizzare 4 con una coppia di dadi non truccati?

3. Un impiegato pensa di avere 2 possibilita su 3 di non avere una promozione, 1 su2 di avere un aumento e 1 su 4 di avere entrambi.

(a) Qual e la probabilita che l’impiegato abbia almeno una tra una promozione eun aumento?

(b) Qual e la probabilita che abbia un aumento se ha una promozione?

4. Se A e l’evento che un astronauta appartiene alle forze armate, T e l’evento chee stato un pilota collaudatore e W che e uno scienziato ben istruito, esprimere informa simbolica ciascuna delle seguenti probabilita:

(a) la probabilita che un astronauta che e stato un pilota collaudatore appartengaalle forze armate;

(b) la probabilita che un astronauta che appartiene alle forze armate sia uno scien-ziato ben istruito ma non sia mai stato un collaudatore;

(c) la probabilita che un astronauta che non e uno scienziato ben istruito sia statoun pilota collaudatore;

(d) la probabilita che un astronauta che appartiene alle forze armate ma che none mai stato un pilota collaudatore sia uno scienziato ben istruito.

Scienze Naturali 1 Istituzioni di Matematiche


5. Con riferimento all’esercizio precedente, esprimere a parole le seguenti probabilita:

a) P (A | W ); d) P (Ac ∩ W | T ) ;b) P (W | Ac); e) P (A | W ∩ T );c) P (Ac | T c); f) P (A | W ∪ T )

6. Dati P (A) = 0.60, P (B) = 0.40 e P (A ∩ B) = 0.24, verificare che

(a) P (A | B) = P (A) e quindi A e indipendente da B ;

(b) P (B | A) = P (B) e quindi B e indipendente da A ;

(c) P (A | Bc) = P (A) e quindi A e indipendente da Bc ;

(d) P (B | Ac) = P (B) e quindi B e indipendente da Ac .

7. Si faccia riferimento alla tabella dell’esercizio 6 della 1. parte. Scelgo una personaa caso.

(a) Quale la probabilita che una femmina veda “Friends” piu di 15 volte al mese?

(b) Essere una femmina e vedere “Friends” piu di 15 volte al mese sono stocasti-camente indipendenti?

8. La probabilita che un autobus da Torino a Sestriere parta in orario e 0.80, e laprobabilita che parta in orario e arrivi in orario e 0.72.

(a) Qual e la probabilita che un autobus che parte in orario arrivi anche in orario?

(b) Se la probabilita che un tale autobus arrivi in orario e di 0.75, qual e laprobabilita che un autobus che arriva in orario sia anche partito in orario?

9. Le probabilita che una moglie e un marito siano viventi tra 20 anni sono rispet-tivamente 0.9 e 0.8. Trovare la probabilita che tra vent’anni (a) siano entrambiviventi, (b) nessuno dei due sia vivo, (c) almeno uno dei due sia vivo.

10. Un autore pensa di avere probabilita di 3/5 che il suo libro non abbia successodi critica e di 1/3 che non abbia successo di vendita. Egli pensa di avere unaprobabilita almeno del 95% che non abbia nessuno dei due successi. Ha ragione?



ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA – 3. Parte.

Argomenti svolti:

• Calcolo delle probabilita: formula della probabilita totale, teorema di Bayes,distribuzioni di probabilita.

ESERCIZI ESEMPLIFICATIVI e di riepilogo

1. Tre persone tirano al bersaglio. Le probabilita di fare ‘‘centro” sono, per ciascunodei tre tiratori uguali a 0.75 , 0.80 , 0.90. Qual e la probabilita che

(a) tutti e tre i tiratori colpiscano il bersaglio;

(b) almeno uno dei tre i tiratori colpisca il bersaglio.

2. Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Sia A l’evento “e uscito un re”e sia B l’evento “e uscito un picche”. Descrivere a parole gli eventi:

(a) A ∪ B , (b) A ∩ Bc , (c) Ac ∩ Bc

e in simboli gli eventi

(d) “e uscita una carta che non e il re di picche”,

(f) “e uscito il re di picche”,

(g) “e uscito un picche oppure un re”.

3. La cuoca della signora Rebaudengo e molto distratta. Ha preparato 15 tortini salatiper le 15 persone invitate a cena, ma in 5 di essere ha messo lo zucchero invecedel sale. Tra gli ospiti vi sono un onorevole e una contessa che, per la signoraRebaudengo sono di massimo riguardo. Qual e la probabibilita che ad entrambitocchi un tortino con lo zucchero?

4. Un professore di matematica dice ai suoi studenti che le probabilita sono di 4 a 1che uno studente che studia di volta in volta passi l’esame, ma le sue possibilita disuperare l’esame sono tre volte superiori a quelle di uno studente che non studiadi volta in volta. Inoltre immagina che il 60% dei suoi studenti studi di volta involta.

Qual e la probabilita che uno studente che supera l’esame studi di volta in volta?



5. Supponiamo che nell’esame di istituzioni di matematiche, la meta degli studentisuperi la prova scritta, e il 35% superi scritto e orale.

Qual e la probabilita che uno studente ammesso all’orale (cioe che ha superato laprova scritta), lo superi?

6. Un uomo d’affari ha due segretarie, Rosa e Gina. La probabilita che un dato giorno,Rosa sia assente e del 0.08 e che lo sia Gina del 0.07, mentre la probabilita che losiano entrambe e del 0.02.

(a) Qual e la probabilita che almeno una delle segretarie sia assente?

(b) Qual e la probabilita che almeno una delle segretarie sia presente?

(c) Qual e la probabilita che solo una delle segretarie sia presente?

(d) Qual e la probabilita che se Rosa e assente lo sia anche Gina?

(e) Sono stocasticamente indipendenti gli eventi che Rosa sia assente e che Ginasia assente?

7. Ci sono 2 possibilita su 3 che un noto maratoneta keniota partecipi alla maratonadi Torino. Se partecipa, la probabilita che un atleta italiano vinca la maratona edello 0.2, se non partecipa dello 0.4.

Qual e la probabilita che un atleta italiano vinca la maratona di Torino?

8. Un appassionato del tavolo da gioco calcola di avere 2 possibilita su 50 che esca il24, 1 su 2 che esca il rosso e 2 su 100 che escano entrambi.

(a) Qual e la probabilita che esca il 24 oppure il rosso (almeno uno dei due)?

(b) Qual e la probabilita che esca il 24 se esce il rosso?

(c) Gli eventi “esce il 24” e “esce il rosso” sono stocasticamente indipendenti?

9. In un Gran Premio di Formula 1 la probabilita di pioggia e del 30%. La probabilitache il pilota Mazzacane vinca se piove e dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.

(a) Qual e la probabilita che vinca Mazzacane?

(b) Qual e la probabilita che ci sia stata pioggia, se ha vinto Mazzacane?

10. Il giardiniere del cavalier Pautasso non e affidabile: la probabilita che, in assenzadel cavalier Pautasso, si scordi di bagnare le pregiate piante di rosa e di 2/3. Lerose sono molto delicate: se bagnate hanno una probabilita di sopravvivenza di3/4; se non bagnate di 1/2.

(a) Qual e la probabilita di sopravvivenza delle rose in assenza del cavalier Pau-tasso?



(b) Se il cavalier Pautasso torna a casa e trova le sue rose vive, qual e la probabilitache il giardiniere non abbia bagnato le rose?

11. Tre urne sono identiche nel loro aspetto esteriore. La prima contiene 20 pallinebianche, la seconda 10 bianche 10 nere, la terza 20 nere. Si sceglie un’urna a casoe se ne estrae una pallina bianca. Qual e la probabilita che la pallina sia estrattadalla prima urna?

12. Essendo di corsa per prendere il treno, Genoveffa prende acaso 2 libri gialli tascabilida uno scaffale che ne contiene 15. Di questi libri 4 li ha gia letti. Qual e laprobabilita che prenda 2 libri che non ha letto?

13. Un controllore sale su un autobus. Statisticamente si e osservato che la probabilitaun passeggero non abbia il biglietto e p = 0.05. Con quale probabilita il controlloretrova 2 persone senza biglietto tra le 30 che si trovano sull’autobus?

14. Se due carte sono scelte a caso senza ripetizione da un mazzo con 52 carte, deter-minare la probabilita che siano entrambi assi.

15. Ripetere l’esercizio precedente immaginando di estrarre una carta, guardarla ereinserirla nel mazzo, prima di estrarre la seconda carta.

16. Supponendo che la probabilita di una nascita maschile e femminile sia uguale,determinare la probabilita che in una famiglia con 4 figli ci sia (a) almeno unragazzo, (b) almeno un ragazzo e una ragazza.

17. Ogni giorno arrivo alla fermata dell’autobus alle ore 8. Sia p = 0.2 la probabilitache l’autobus arrivi entro 5 minuti. Qual e la probabilita che in mese (30 giorni)l’autobus non arrivi mai entro 5 minuti?

18. Supponiamo che la probabilita che una persona creda a un pettegolezzo sulla vitaprivata di un uomo politico sia dello 0.1. Qual e la probabilita che la sesta personache sente questo pettegolezzo, sia la prima a crederci?


Successioni

SUCCESSIONI

Argomenti svolti:

• Successioni (successioni aritmetiche e geometriche), cenni sui modelli matematici.


1. La costruzione di una diga su un torrente ha dato luogo alla formazione di un laghettodella capienza di circa 12000 m3 d’acqua. Ma il torrente sbarrato immette mediamentenel bacino 200 m3 di detriti l’anno. Dopo quanti anni la capienza del laghetto sararidotta alla meta di quella iniziale?

2. (a) Determinare il termine generale Sn di una successione geometrica tale che S0 = 20e S10 = 60;

(b) Provare che la successione Cn =√

n non e ne aritmetica , ne geometrica.

3. Determinare ragione e valore iniziale della successione geometrica Sn = tale cheS5 = 21 e S6 = 14.

4. Stabilire se i numeri 81, 27, 9, 3 sono i termini iniziali di una progressione aritmeticao geometrica e, in caso affermativo, determinare i due termini successivi.

5. Una colonia di batteri raddoppia ogni 10 giorni. Se dopo 10 settimane abbiamo 20milioni di batteri, quanti ne avevamo all’inizio?

6. Nella fase di lavaggio di una lavatrice sono immessi 90 g di detersivo. In ognirisciacquo viene eliminato il 96% di detersivo. Quanti risciacqui sono necessari affincherimanga meno di 0.1 g di detersivo?

7. Suppongo che la legge che regola la crescita nel tempo di una colonia di microor-ganismi sia discreta con una cadenza di un giorno e sia una progressione geometrica. Sedopo 5 giorni i microorganismi sono 9000 e dopo 8 giorni 72000, qual e la ragione dellaprogressione geometrica? Dopo quanto tempo i microorganismi sono 1 milione?

8. Una colonia di microorganismi raddoppia ogni 14 giorni. Se dopo 40 settimane neabbiamo 30 milioni, quanti microorganismi avevamo all’inizio?

9. Si consideri una successione che ha i seguenti due termini: A2 = 3, A7 = 15.a) Scrivere il termine generale nel caso in cui si tratti di una successione aritmetica.b) Scrivere il termine generale nel caso in cui si tratti di una successione geometrica.

10. In un vivaio ogni anno muoiono circa il 25% delle piante presenti. Da quante nuovepiantine bisogna partire per avere 300 piante di 5 anni?


Geometria analitica/concen trazioni

GEOMETRIA ANALITICA/CONCENTRAZIONI

Argomenti svolti:• Elementi di calcolo vettoriale.• Retta nel piano.• Soluzioni e concentrazioni.


1. Determinare le equazioni delle rette verificanti le seguenti ipotesi:

a) passante per il punto (−1, 2) e parallela alla retta di equazione y = −2x + 4;

b) passante per il punto (−1, 2) e perpendicolare alla retta di equazione y =−2x + 4;

c) passante per il punto (1, 4) e parallela alla retta di equazione 2x − 3y + 7 = 0;

d) passante per il punto (−1, 0) e perpendicolare alla retta di equazione x+2y−5 =0.

2. Calcolare l’area del triangolo individuato dai punti del piano A = (1, 1), B = (0, 1)e C = (1, 2).

3. Dati i punti A = (1, 2) e B = (−1, 3) determinare le coordinate del punto mediodel segmento AB e del punto simmetrico di A rispetto a B .

4. Determinare l’equazione della retta per A = (1, 2) e B = (−1, 3).

5. Determinare l’equazione della retta per A = (1, 2) perpendicolare alla retta per ipunti B = (−1, 3) e C = (2, 5).

6. Determinare la distanza del punto B = (−1, 3) dalla retta di equazione 2x+3y = 1.

7. Determinare la distanza tra le rette parallele x + 2y = 1 e x + 2y = 0.

8. Dire se il punto A = (0,4) appartiene alla retta tangente nell’origine alla circon-ferenza di equazione

x2 + y2 − 2x = 0.

9. Determinare l’equazione della retta tangente nell’origine alla circonferenza di equazionex2 + y2 − 2y = 0.


Geometria analitica/concen trazioni

10. Determinare l’equazione della retta tangente nell’origine alla circonferenza di equazionex2 + y2 − 4x − 1 = 0.

11. Si hanno due soluzioni A e B (del medesimo solvente e del medesimo soluto) con-centrate rispettivamente al 4% e al 20%. Quanto solvente devo aggiungere perottenere una terza soluzione, diciamo C, concentrata al 15%?

12. A 5 litri di una soluzione al 4% aggiungo una certa quantita di solvente fino aportare la concentrazione all’1.5%. Quanto solvente ho aggiunto?

13. In quali proporzioni bisogna mescolare due soluzioni rispettivamente al 3% e all’8%per ottenere una soluzione al 4%?

14. Ho 2 litri di soluzione al 1%. Verso un litro di un’altra soluzione e ottengo unasoluzione al 3%. Qual e la concentrazione della soluzione versata?

15. Si dispone di 2, 9 kg di una soluzione concentrata al 30%. Calcolare la quantitadi solvente che si deve aggiungere per portare la concentrazione al 20%.

ESERCIZI DI RIEPILOGO

1. Per fissare nell’ambito dei 5 giorni lavorativi di una settimana la data di un esame,un docente chiede ai 5 studenti che devono sostenerlo di scegliere uno (e un solo)giorno della settimana.

Qual e la probabilita che gli studenti scelgano lo stesso giorno?

2. Supposto che la probabilita che il Brasile vinca un campionato del mondo di calciosia dello 0.25, qual e la probabilita che il Brasile

(a) vinca 2 volte di seguito;

(b) vinca nel 2014 e nel 2022;

(c) vinca nel 2014 oppure nel 2022;

(d) non vinca per tre edizioni consecutive.

3. In un piccolo hotel con 8 stanze ci sono 5 televisori che sono installati a richiestacon un piccolo supplemento. Se c’e una probabilita del 50% che un ospite vogliala televisione in camera, qual e la probabilita che un giorno in cui tutte le stanzesono occupate, ci sia piu richiesta di televisori che apparecchi disponibili?


CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE – 1. Parte

Calcolo differenziale e integrale – 1. Parte.

Argomenti svolti:

• Derivate: regole di derivazione, significato geometrico della derivata.


1. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

y =π

x+ ln(2), y = 3

√x − 2x2 + x3 , y = xex ,

y =x − 2x2 − 5

, y = sinx cosx , y =sin2 x − x cos x

sinx,

y =4 − x

xex , y = 3x4 − 2

3√

x, y = x cos x .

2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

y = xe2x , y = (2x2 − 1) cos(2x − 1) , y = ln(x2 − 5) ,

y =sin(x − 3)(x + 1)2 , y = ln

(x − 3

x3 − x + 5

), y = 5e−x2

,

y = ln(

x − 2x2 − 5

), y = 3x4 −

23√

x, y = 5

√x3 − x + 5 .

3. Siano f (x) = x3 − 2x e g(x) = sin(x).

(a) Scrivere le espressioni analitiche delle funzioni y = f [g(x)] e y = g[f(x)].

(b) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di y = g[f(x)] nel punto diascissa 0.

4. Determinare l’equazione della retta tangente alla curva

y = x − x3

nel punto di coordinate (1, 0).

5. Determinare l’equazione della retta tangente alla curva y = sin(x2) + 3 nel suopunto P = (0, 3).




Argomenti svolti:

• Crescenza e decrescenza di funzioni.• Massimi e minimi relativi.


Studiare la crescenza e decrescenza delle seguenti funzioni mettendo in evidenza iloro punti di massimo e minimo relativi:

1) y = x√

x + 1 ,

2) y =ex

x,

3) y =√

sin x ,

4) y = x3 − 3x2 − 9x + 1 ,

5) y =√

x2 − 1 ,

6) y =16x

− 2x ,

7) y = ex2,

8) y =x

1 + x2 ,

9) y =1x

+ ln(x) .


CALCOLO DIFFERENZIALE - 3. Parte

Calcolo differenziale – 3. Parte.

Argomenti svolti:

• Limiti di funzioni, forme indeterminate, regola di de L’Hopital.• Asintoti orizzontali e verticali.


1. Calcolare:

limx→1

( √x − 1√x2 − 1

), lim

x→0

( x

sin x

), lim

x→0

(x2

sinx

),

limx→−1

(x + 1x3 + 1

), lim

x→−1

(x3 + 1x + 1

), lim

x→1

(√x − 1

x4 − 1

).

2. Calcolare:

limx→−1

ln(x + 1), limx→−1

ln(1 − x2), limx→+∞

(ex + sin x) , limx→+∞

xex,

limx→−∞

(ex + x) , limx→−∞

xex, limx→+∞

x ln x, limx→−∞

x ln(x),

limx→+∞

ln(x2)ex, limx→0

ln(x2)ex, limx→+∞

(ex − x) , limx→+∞

(ex − ln(x)) ,

3. Calcolare:

limx→+∞

(x2 − 50x − 87

), lim

x→+∞

(6x4 − 3x2 + 3−5x4 + 8x − 3

), lim

x→+2

(x2 − 5x + 6x3 − 8x + 8

),

limx→+∞

(x5

ex

), lim

x→−∞

(ln(1 − x)

x17

), lim

x→0

(x2 − x

x3 − 3x

).

4. Calcolare separatamente il limite sinistro e il limite destro e quindi il limite bilaterodelle seguenti funzioni composte:

limx→0

e1x , lim

x→1ln

(3

11−x

).

5. Calcolare:

limx→+∞

ln(√

x + 1√x − 1

), lim

x→+∞ln (x + 3 cosx) , lim

x→−∞10x2+sin3 x.


CALCOLO DIFFERENZIALE - 3. Parte

6. Studiare gli asintoti orizzontali e verticali della funzione:

f(x) =x3 − 2x2 − x + 22x3 − 4x2 − 6x

.

7. Studiare gli eventuali asintoti (orizzontali e verticali) della funzione g(x) =ex + 2x2 − 9

.

8. Riesaminare le funzioni degli esercizi del foglio “Calcolo differenziale - 2. Parte”determinadone gli asintoti e disegnandone il grafico.

9. Determinare gli asintoti orizzontali e verticali della funzione

y =log(1 + x)

x.


y =x − 2

x2 − 3x + 2.


y =x2 − 94x − x2 .


y =ex

x2 − 4.




Argomenti svolti:

• Primitive o integrali indefiniti.• Integrali definiti, teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli - Barrow) e

aree mediante gli integrali definiti.• Equazioni differenziali.


1. Calcolare le primitive delle funzioni:

y = e(3x+2) − cos(2x) , y =√

x + x2 +1x

,

y = x3 − 2x−3 +√

3x + 2 , y = (3x + 1)3/4 .

2. Determinare la primitiva della funzione y = sin(2x) +3x3 − x4 tale che y(1) = 1.

3. Determinare l’area della parte limitata di piano delimitata dalla parabola y =14x2 e

dalla retta 3x − 2y − 4 = 0.

4. Calcolare l’area della parte limitata di piano compresa tra il grafico della funzione espo-nenziale , l’asse y e la retta y = 3.

5. Determinare l’area della parte finita di piano delimitata dalla parabola y = x2 − 7x e edalla retta y = x .

6. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra l’asse x e il grafico della funzioney = 1 − x3 nell’intervallo [0, 2].

7. Calcolare l’area della parte limitata di piano compresa tra le funzioni y = x3 e y =1x

ela retta x = 2.

8. Calcolare l’area della parte limitata di piano compresa tra le rette x = −1, x = 1, l’assex e il grafico della funzione

y = 3x2 − x − 2.

9. Calcolarea l’area compresa tra l’asse x , le rette y = −1 e y = 1 e il grafico della funzione

h(x) =1ex

− 1.



10. Calcolare ∫ 3

−2

15

cos(πx)dx.

11. Calcolare l’area della parte limitata di piano compresa tra la parabola y = 5x − 4x2 e labisettrice del primo quadrante.

12. Trovare l’area della parte limitata di piano compresa tra la parabola y = 2 − 3x2 − 5x ela retta y = x − 7.

13. Determinare l’area della parte limitata di piano delimitata dalla curva y = x − x2 edall’asse delle x .

14. Determinare la primitiva della funzione

y = x3 − sin(2x)

tale che y(0) = 1.

15. Determinare la primitiva della funzione y =1x2 − x2 + cos(2x) tale che y(1) = 1.

16. Data l’equazione differenziale4y = xy′,

dire se

(a) y = x4 e una soluzione;(b) trovare la soluzione generale.

17. Verificare che le funzioni y = x2 + cx sono soluzioni dell’equazione differenziale

xy′ − x2 − y = 0

e trovare la soluzione tale che y(1) = 0.

18. Determinare la soluzione dell’equazione differenziale

y′

x= y

tale che y(0) = 1.


y′ =x + 1

y.


y′ = (x − 1)(y + 1)

tale che y(1) = 2.


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