Electromagnetismo e Optica´ ProblemasLei de Coulomb. Campo El´ectrico 1.1 - Um conjunto de quatro cargas iguais de QCcada uma delas esta´ colocada nos v´ertices de um quadrado

Electromagnetismo e OpticaProblemas

Ana M. MartinsInstituto Superior Tecnico

2008

Contents

1 Lei de Coulomb. Campo Electrico 2

2 Potencial electrico 4

3 Condensadores 6

4 Dielectricos 8

5 Corrente electrica 9

6 Magnetostatica 11

7 Inducao electromagnetica 14

8 Ondas electromagneticas 17

9 Exames 19

10 Formulario 26

1

Chapter 1

Lei de Coulomb. CampoElectrico

1.1 - Um conjunto de quatro cargas iguais de Q C cada uma delas estacolocada nos vertices de um quadrado de lado l.

a) Determine a forca exercida numa carga pontual de 2Q C situada nocentro do quadrado.

b) Suponha que uma das cargas dos vertices e removida. Determine quala forca a que a carga central ficara submetida.

Dados: Q = 2 µC, l = 20cm.

1.2 - A densidade linear de carga na barra representada na fig.1.1 e dadapor � = 2.10�3x C.m�1, onde x e a distancia medida a partir da extremidadeA da barra. Qual a carga total na barra cujo comprimento e L = 2m? Quala forca exercida sobre uma carga pontual q = �10�3C situada sobre o eixodos xx no ponto x = 5m?

1.3 - Uma esfera de raio R m esta carregada, sendo ⇢ = 2.10�2r C.m�1

a densidade volumica de carga. Qual a carga total na esfera?

1.4 - Uma carga Q esta uniformemente distribuıda ao longo de uma barrade comprimento L. Determine a intensidade do campo electrico num pontoP situado sobre a recta bissectriz da barra e distando |z| desta. Use este re-sultado para calcular o campo criado por uma barra infinita, uniformementecarregada com a distribuicao de carga �, sobre um ponto P a uma distancia|z| da mesma.

2

1.5 - Um anel circular e fino de raio R esta uniformemente carregadocom uma carga total q.

a) Determine o campo electrico criado por este anel num ponto P, situadosobre o seu eixo de simetria, a uma distancia |z| do seu centro. Calcule olimite para |z| >> R.

b) Determine qual a forca exercida sobre uma carga q0colocada no ponto

P?.Dados: R = 3cm, q = 10�3Coul , q

0= 10�2Coul, |z| = 4cm .

1.6 - Uma carga Q esta uniformemente distribuıda numa esfera de raioR. Determine o campo electrico criado por esta carga em qualquer ponto doespaco. Estude a continuidade do campo sobre a superfıcie da esfera.

1.7 - Uma esfera condutora de raio R esta carregada com a carga Q.Determine o campo electrico criado por esta carga, em qualquer ponto doespaco. Estude a continuidade do campo sobre a superfıcie da esfera.

3

Chapter 2

Potencial electrico

2.1 - Calcule o trabalho necessario realizar para trazer uma carga electricapositiva, q, desde infinito ate a distancia l, de uma outra carga q. Qual aenergia potencial electrica armazenada nesta distribuicao de carga?

2.2 - Determine o trabalho necessario realizar para deslocar uma cargapontual q, de um ponto A que dista r

A

de uma carga pontual Q, ate ao pontoB que dista r

B

desta mesma carga. Sera o trabalho dependente do trajectoda carga q? Justifique a resposta.

2.3 - Determine o potencial electrico V (r) em qualquer ponto do espacopara as distribuicoes de carga consideradas nos problemas 2) e 3) da Serie2 e estude a continuidade da funcao potencial sobre a superfıcie esferica deraio R.

2.4 - Considere dois condutores esfericos, concentricos e imersos no vacuo.Um interior de de raio R1 e outro exterior com a forma de uma coroa esfericade raios R2 e R3, fig.4.1. Sabendo que o condutor interior se encontra aopotencial V1 e o exterior ao potencial V2, determine:

a) A funcao potencial electrico V (r) e o campo electroestatico no espacoentre os condutores.

b ) A carga electrica q1, contida no condutor interior e a carga electricaq2,int contida na superfıcie interior do condutor exterior.

2.5 - Determine a energia electroestatica de uma esfera de raio R, uni-formente electrizada em superfıcie com uma carga q, por dois processos dife-

4

rentes.

2.6 - Determine a energia electroestatica de uma esfera de raio R, unifor-mente electrizada em volume com uma carga q, por dois processos diferentes.

2.7 - Um cabo coaxial e constituıdo por dois condutores infinitos, cujaseccao transversal se representa na fig. 3.1, e que estao separados pelo vacuo.Suponha que o condutor (a) se encontra ao potencial V

a

. Determine:a) O campo electrico e o potencial electoestatico entre os dois condutores.b) A carga por unidade de comprimento, �

a

do condutor interior.c) A energia electroestatica por unidade de comprimento, contida entre

os dois condutores.

2.8 - Considere um dipolo electrico formado pelas cargas pontuais (+q)e (�q) cujo momento dipolar e ~p = q~d, onde ~d e o vector posicao de (+q) emrelacao a (�q). Usando coordenadas polares, alinhando o dipolo segundo osemieixo positivo Oz e colococando a origem no ponto intermedio entre asduas cargas, mostre que:

a) O potencial electrico criado pelo dipolo num ponto P , cujo vectorposicao e ~r = r~e

r

, vem dado por V (r) = ~p. ~er

4⇡✏0r2.

b) O campo electrico criado pelo dipolo no ponto P vem dado por~Ep

= p

4⇡✏0r3(2cos✓ ~e

r

+ sin✓ ~e✓

).

c) Suponha agora que o dipolo electrico se encontra em presenca de umcampo electrico uniforme ~E. Determine o torque (momento da forca) a queo dipolo fica submetido.

5

Chapter 3

Condensadores

3.1 - Considere um condensador plano, suposto ideal, constituıdo por duasarmaduras iguais, planas e paralelas de area S, a distancia d uma da outra,electrizadas com as cargas, q1 e q2 = �q1. Determine:

a) O campo electroestatico e a d.d.p. potencial electrico entre as ar-maduras.

b) O potencial electrico no espaco entre as armaduras em funcao dadistancia x a uma das armaduras.

c) A capacidade do condensador.

3.2 - Considere o condensador esferico representado na fig.4.1, constituıdopor dois condutores esfericos, concentricos, imersos no vacuo, um interior deraio R1 e outro exterior de raios R2 e R3. Sabendo que os dois condutoresestao carregados com as cargas q1 e q2, respectivamente, determine:

a) O potencial electrico de cada condutor. Qual a carga na superfcieinterior do condensador (2).

b) A capacidade do condensador.

3.3 - A fig.4.2 representa a seccao tranversal de um condensador cilındricono vacuo. Supondo que �1 e a densidade de carga electrica por unidade decomprimento no condutor interior e que o condutor exterior esta ligado aterra, determine:

a) O potencial electrico do condutor interior.b) A capacidade do condensador por unidade de comprimento.c) A energia armazenada no condensador por unidade de comprimento.

6

3.4 - Considere dois condensadores de capacidades C1 e C2, em ambosexistindo influencia electrica total entre as armaduras. Prove que:

a) A associacao em serie dos dois condensadores equivale a um conden-sador unico de capacidade equivalente, C = C1C2/(C1 + C2).

b) A associacao em paralelo dos mesmos, tera uma capacidade equiva-lente, C = C1 + C2.,

3.5 - Considere dois condensadores de capacidades C1 e C2, ligados emserie.

a) Suponha que os dois condensadores estao inicialmente descarregados eque no instante t = 0 se liga uma bateria de d.d.p. V , como mostra a fig.4.3.Determine para cada condensador, as cargas nas armaduras e a d.d.p. entreelas quando o equılibrio e atingido.

b) Admita que apos a situacao descrita na alınea anterior, se invertem asligacoes do condensador (1), mantendo V constante. Calcule os novos val-ores das cargas e as d.d.p. nos condensadores, quando o equilıbrio e atingido.

3.6 - Considere um condensador plano, suposto ideal, constituıdo porduas armaduras iguais, planas e paralelas de area S, a distancia d uma daoutra, electrizadas com as cargas, q1 e q2 = �q1. Sabendo que o meio entreas armaduras e constituıdo por um dielectrico Linear, Homogeneo e Isotropo(LHI) de permitividade dielectrica relativa ✏

r

, determine:a) O campo electroestatico e a diferenca de potencial electrico entre as

armaduras.b) A capacidade do condensador.c) As densidades superficiais de carga de polarizacao.

d ) A energia electroestatica armazenada no condensador.

7

Chapter 4

Dielectricos

4.1 - Considere uma esfera de raio R, uniformemente electrizada em su-perfıcie com uma densidade de carga �, imersa num dielectrico de permitivi-dade dielectrica ✏. Determine:

a) O campo electroestatico num ponto a distancia r do centro da esfera.b) As densidades de carga de polarizacao.

4.2 - Mostre que as linhas de forca do campo electroestatico sofrem umarefraccao na superfıcie de separacao, nao electrizada, de dois dielectricos depermitividades ✏1 e ✏2, dada por tg(✓1)

tg(✓2)= ✏1

✏2, onde ✓

i

(i = 1, 2) e o angulo que

o campo electrico ~Ei

faz com a normal a superfıcie de separacao no meio depermitividade ✏

i

.

4.3 - Um dielectrico LHI, de permitividade electrica ✏ e com forma para-lelipipedica, encontra-se em presenca de um campo electrico ~E uniforme,paralelo a face [ABCD) como mostra a fig.5.1 ( o campo faz um angulo ✓com a nomal exterior da face [DCGH]). Determine:

a) Qual a polarizacao no dielectrico.b) A densidade superficial de carga de polarizacao nas faces [ABFE] e

[DCGH]?

8

Chapter 5

Corrente electrica

5.1 - Uma carga pontual q, roda numa orbita circular de raio r, com veloci-dade angular !. Qual a corrente produzida por esta carga em movimento?

5.2 - Num condutor cilındrico de cobre, de raio R, altura h e resistivi-dade ⇢

c

, o campo electrico no seu interior e funcao da distancia r do pontoconsiderado ao eixo do cilindro, segundo a equacao: ~Ee = (E0 + kr)~e

r

parar < R, onde E0 e k sao constantes positivas.

Determine o vector densidade de corrente ~J(r) e a intensidade de cor-rente I(r), que atravessa uma superfıcie cilindrica de raio r, no interior dofio, fig.6.1

5.3 - Um disco isolante de raio R esta carregado com uma densidadesuperficial de carga uniforme �. O disco roda em torno do eixo de simetriaque lhe e perpendicular, com velocidade angular !. Determine:

a) A densidade de corrente ~j(r) num ponto a distancia r do centro dodisco.

b) A corrente i originada pelo movimento do disco.

5.4 - Uma placa quadrada de um material homogeneo, de lados l e deespessura desprezavel, tem dois lados opostos ligados a dois electrodos comomostra a fig.6.2. Sabe-se que a resistencia da folha entre os dois electrodos eR.

a) Determine qual seria a resistencia se a placa fosse substituıda por outraplaca quadrada, de igual espessura, do mesmo material e com lados 2l.

b) Suponha que a d.d.p. entre os electrodos e nos dois casos igual a V .

9

Determine a intensidade do campo eletrico no interior da placa.Nota: os electrodos em contacto com a placa passam tambem a ter com-

primento 2l.

5.5 - Considere um condutor cilindrico, oco, compreendido entre os raiosr1 e r2 e altura h, cuja condutividade e �c

, ver fig.6.3. Determine a resistenciaentre:

a) Dois electrodos colocados sobre as bases e com a forma destas.b) Dois electrodos cilındricos, de raios r1 e r2, coincidentes com as su-

perfıcies cilındricas limıtrofes do condutor.

5.6 - Considere o condutor representado na fig.6.4, percorrido por umauma corrente electrica estacionaria. Prove que sao iguais as intensidades dacorrente atraves das duas seccoes S

A

e SB

do condutor.

5.7 - Dois electrodos esfericos de raios r1 e r2 estao em contacto comdois codutores (1) e (2), de condutividade �1 e �2, como mostra a fig.6.5.Determine a resistencia R entre os dois electrodos em funcao das resistenciasR1 e R2 dos condutores (1) e (2).

5.8 - Prove que em qualquer ponto de um condutor homogeneo e emregime estacionario se tem: ⇢ = 0.

10

Chapter 6

Magnetostatica

6.1 - Calcule o campo de inducao magnetica criado por um fio rectilıneo,infinito, percorrido por uma corrente electrica estacionaria de intensidadei = 2A, a distancia d = 1m do fio.

6.2 - Mostre a partir do resultado do problema anterior que o campo deinducao magnetica nao e conservativo.

6.3 - Calcule o campo de inducao magnetica no centro de uma espiraquadrada de lado l = 10cm, percorrida por uma corrente electrica esta-cionaria de intensidade i = 3A.

6.4 - Calcule a forca por unidade de comprimento, exercida entre dois fiosinfinitos, paralelos e distanciados de d = 1m, quando estes sao percorridospor correntes iguais i1 = i2 = 2A, no mesmo sentido.

6.5 - Considere uma espira circular de raio R situada no plano xOy,centrada na origem e percorrida por uma corrente electrica estacionaria deintensidade i. Determine o campo de inducao magnetica ~B num ponto doeixo dos zz, a distancia z da origem O. Particularize para z = 0 e desenheno plano yOz as linhas de forca de ~B.

6.6 - Calcule o campo de inducao magnetica no centro de um disco circu-lar de raio R, uniformemente electrizado em superfıcie com uma carga totalQ, que roda com velocidade angular ! em torno do seu eixo principal desimetria.

11

6.7 - Um condutor cilındrico de raio R = 2cm, com o seu eixo desimetria orientado segundo o eixo Oz, possui no seu interior um campode inducao magnetica dado, em coordenadas cilındricas, por ~B = kr~e

✓

,com k = 5 ⇤ 10�3T.m�1. Aplicando as equacoes fundamentais do campomagnetico da corrente estacionaria no vacuo, determine a intensidade dacorrente atraves de uma seccao recta do condutor.

6.8 - Considere dois fios rectilıneos infinitos, paralelos ao eixo Oz e per-corridos pelas correntes estacionarias i1 e i2, como se mostra na fig.8.1.

a) Determine o campo de inducao magnetica na origem O.b) Calcule a forca magnetica sofrida por uma carga pontual q = 10nC, na

origem O, supondo que esta se desloca com uma velocidade ~v = 1Km.s�1~uy

.

6.9 - A fig.8.2 representa dois fios infinitos paralelos entre si, perpendic-ulares ao plano xOy e percorridos por correntes iguais i = 2A, no mesmosentido. Calcule a expressao do campo magnetico total em qualquer pontodo eixo dos xx e determine o valor de x onde este campo e maximo.

6.10 - Considere um cabo coaxial infinito, constituıdo por dois condutorescilındricos, separados por um meio dielectrico de permeabilidade magneticaµ0, percorrido por uma corrente electrica estacionaria i. Determine o campode inducao magnetica ~B em funcao da distancia ao eixo do cabo coaxial.

6.10 - Considere um fio rectilıneo, infinito e uma espira quadrada, com-planares e percorridos pelas correntes i1 e i2 como mostra a fig.8.3. Deter-mine:

a) A forca exercida sobre a espira quadrada, devido a interaccao magneticacom o fio rectilıneo.

b) O fluxo do campo ~B criado pelo fio rectilıneo, atraves da espiraquadrada.

c) O coeficiente de inducao mutua entre os dois circuitos em presenca.

6.11 - Considere duas espiras circulares de raio R, coaxiais, paralelas en-tre si e separadas da distancia d. Prove que L11 > L12.

6.12 - Dois circuitos circulares concentricos de raios R1 e R2, sendoR1 << R2, sao colocados de forma a que os seus planos formem entre si

12

um angulo ↵. Determine o coeficiente de inducao mutua entre os dois cir-cuitos..

6.13 - Calcule o campo de inducao magnetica no interior de um solenoidede comprimento infinito, com n espiras por unidade de comprimento, per-corrido por uma corrente electrica estacionaria i.

6.14 - Calcule o coeficiente de auto-inducao, por unidade de compri-mento, de um solenoide infinito de raio R e com n espiras por unidade decomprimento.

13

Chapter 7

Inducao electromagnetica

7.1 - Considere um solenoide infinito, cilındrico de raio R1 e com n1 espi-ras por unidade de comprimento, fig.9.1. No seu interior coloca-se um outrosolenoide de comprimento l2, de raio R2 e com n2 espiras por unidade de com-primento. Determine o coeficiente de inducao mutua entre os dois solenoides.

7.2 - Um disco condutor de raio R, roda com uma velocidade angular!, em torno do eixo de simetria que e perpendicular ao seu plano, numaregiao em que existe um campo ~B, uniforme e alinhado segundo o dito eixo.Determine a d.d.p. entre o centro e a periferia do disco.

7.3 - Uma barra condutora desliza sem atrito, com velocidade ~v constantesobre um condutor com a forma de U fig.9.2. A resitencia electrica da barrae R e a das restantes partes do circuito e desprezavel. Perpendicularmenteao plano do circuito e aplicado um campo ~B uniforme.

a) Calcule a intensidade e o sentido da corrente electrica induzida que vaipercorrer o circuito condutor.

b) Calcule a potencia mecanica que e necessario fornecer para fazer deslizara barra e discuta a conservacao de energia.

7.4 - Uma espira quadrada de lado l e resistencia R, esta encontra-senuma regiao do espaco onde existe um campo ~B uniforme, mas variavel notempo, dado por ~B(t) = B0(1 + ↵t)~u

z

, fig.9.3. Determine o valor da intensi-dade da corrente induzida na espira.

7.5 - A fig.9.4 mostra uma espira quadrada de lado l = 20cm que roda em

14

torno de um dos seus eixos, com uma velocidade angular ! = 100⇡rad.s�1,na presenca de um campo de inducao magnetica ~B uniforme perpendiculara posicao ocupada pela espira no instante t = 0 e cuja intensidade e 0.5T .Determine

a) O fluxo do campo de inducao magnetica atraves da espira em funcaodo tempo.

b) O valor e o sentido da corrente induzida na espira, sabendo que setatem uma resistencia electrica R = 2 Ohm, usando dois processos diferentes.

c) A energia dissipada na espira, por efeito de Joule, ao fim de 2 minutos.

7.6 - Considere um fio infinito e uma espira quadrada de lado l com-planares sendo o primeiro percorrido por uma corrente i1, fig. 9.5. Admitaainda que a espira tem uma resistencia electrica R e que se desloca para adireita animada de um movimento uniforme de velocidade ~v. Determine:

a) O fluxo �(t) atraves da espira devido ao campo ~B criado pela correntei1.

b) O campo electrico induzido no lado AB num instante generico t.c) A corrente i2 induzida na espira, usando dois processos diferentes.

7.8 - Considere um enrolamento deN espiras percorrido por uma correnteestacionaria i, colocado sobre um volume toroidal de ferro macio (sendo esteassimilado a uma substancia linear de permeabilidade magnetica relativa µ

r

)tal com indicado na fig.10.1. Determine o campo de inducao magnetica sobreuma linha de forca media, nas seguintes situacoes:

a) O toro e contınuo.b) O toro tem um entreferro de comprimento �.

7.9 - A fig.10.2 representa a refraccao de uma linha de forca do campode inducao magnetica ~B na superfıcie de separacao de dois meios de perme-abilidades magneticas µ1 e µ2. Mostre que no caso de a superfıcie nao serpercorrida por correntes, se verifica a seguinte relacao:

tg✓1

tg✓2= µ1

µ2

7.10 - Considere o circuito magnetico da fig.10.3 constıtuido por ummaterial ferromagnetico de permeabilidade magnetica relativa µ

r

= 8000.a) Diga quantos valores diferentes de ~B e ~H existem?b) Calcule os valores de ~B e ~H ao longo da linha de forca media.

15

c) Determine o coeficiente de inducao mutua entre os dois enrolamentos.

7.11 - Considere de novo o Problema 1, supondo agora que o circuitomagnetico tem uma seccao recta de espessura h. Determine o coeficiente deauto-inducao do enrolamento supondo que:

a) Nao existe entreferro.b) Existe um entreferro de comprimento �.

7.12 - Considere um ıman permanente (�m

= 0), cilındrico e infinito,com uma magnetizacao ~M0 uniforme e orientada segundo o eixo do ıman.Supondo que pretende substituir este ıman por um solenoide infinito, comn espiras por unidade de comprimento, diga qual a corrente que o deverapercorrer para obter no seu interior o mesmo campo de inducao magnetica~B.

7.13 - Considere o circuito RL representado na fig.11.1. No instante t = 0fecha-se o interruptor I aplicando-se, deste modo, uma d.d.p. v0 constante.Determine as expressoes para as intensidades de corrente i(t) e para as d.d.p.aos terminais da resistencia e da bobine.

7.14 - Considere o circuito da fig.11.2, onde um condensador com umacarga inicial q0 e descarregado a partir do instante t = 0, atraves de umcircuito com uma resistencia R. Determine as expressoes para as d.d.p aosterminais do condensador e a intensidade de corrente no circuito para t � 0.

7.15 - Considere o circuito representado na fig.11.3 onde I representa uminterruptor que se encontra inicialmente fechado e que e aberto quando t = 0.

a) Determine a carga armazenada no condensador antes da abertura dointerruptor.

b) Determine a variacao de carga por unidade de tempo no condensadorpara t � 0.

c) Prove que a variacao de energia no condensador e igual a dissipacaode energia na resistencia R.

16

Chapter 8

Ondas electromagneticas

8.1 - Dado um campo electrico, no vacuo,~E = E

y

~ey

com Ey

= E0 cos[k(c t� x)],sendo E0 = 0.5V.m�1, k = 2⇡m�1 e c uma constante.

a) Verifique que este campo satisfaz a equacao de onda e obtenha o valorde c.

b) Obtenha as dimensoes fısicas e o significado fısico de k.c) Calcule o campo de inducao magnetica desta onda.d) Calcule o vector de Poynting.

8.2 - Mostre que no caso de uma onda com polarizacao circular o vectorde Poynting permanece constatnte (nao variando com z nem com t).

8.3 - Uma onda electromagnetica possui um campo electrico dado por:

~E(z, t) = 20 cos(6⇥106t�2z+ ⇡

6 )~ex+20 cos(6⇥106t�2z+ 2⇡3 )~ey(V.m

�1)

a) Determine a velocidade de propagacao e o vector de onda.b Caracterize o estado de polarizacao.c) Determine o campo magnetico ~H.d) Determine a densidade de energia electromagnetica transportada e a

intensidade da onda.

8.4 - Uma onda electromagnetica plana e monocromatica, propaga-se novacuo. O seu campo de inducao magnectico e dado por:

17

~B(~r, t) = 10�6(~ex

+ 2~ey

+B0~ez) cos(! t+ 3x� y � z)(V.m�1)

a) Determine a direccao de propagacao, o comprimento de onda e afrequencia angular.

b) Determine a componente segundo ~uz

do campo de inducao magnetica.c) Determine o campo electrico e o vector de Poynting.

8.5 - Uma onda electromagnetica monocromatica, propaga-se num meioem que a permitividade e a permeabilidade relativas sao dadas por ✏

r

= 4 eµr

= 1. O seu campo electrico e dado por:

~E(z, t, ) = 200 cos(6⇥ 106 t+ kz + ⇡

3 ) ~ex

(V.m�1)

a) Determine a frequencia angular, a velocidade de propagacao e o vectorde onda.

b) Caracterize o estado de polarizacao da onda.c) Determine o seu campo de inducao magnetica.d) Determine o valor medio da densidade de energia electromagnetica

transportada por esta onda e a sua intensidade.e) Supondo que esta onda incide segundo o angulo ✓

i

= ⇡/3, relativa-mente a normal a uma superfıcie plana de area A = 20m2 determine o valormedio da energia por unidade de tempo, que incide na superfıcie.

18

Chapter 9

Exames

Teste Duracao: 1.5 horas

Justifique todas as suas respostas.

Grupo I (6 valores)

Na fig.1 mostra-se o corte transversal de um condensador cilındrico decomprimento L, constituıdo por duas armaduras coaxiais. A armadura in-terior e um cilindro condutor de raio R1 e a exterior e uma coroa clındricacondutora compreendida entre os raios R3 e R4. Entre R1 e R2 encontra-seuma coroa cilındrica de um material dielectrico LHI, de permitividade ✏. Aarmadura interior esta carregada com carga +q e a exterior com carga �q.Sabe-se que L >> R4 e por isso despreze os efeitos das extremidades.

a) (1 val.)Determine o campo electrico ~E nos pontos que distam r do eixode simetria do condensador e tal que R1 < r < R2 ou R2 < r < R3.

b) (0.5 val) Qual a carga nas superfıcies interior e exterior da armaduraexterior?

c) (1 val) Estude a continuidade do campo electrico nas superfıcies cilındricasde raios R2 e R3.

d) (1 val) Determine as densidades superficiais de carga de polarizacao,�

01 e �

02, nas superfıcies interior e exterior do material dielectrico. Qual a

carga total de polarizacao contida no dielectrico?e) (1 val) Determine a capacidade C do condensador e mostre que ela pode

ser encarada como a associacao em serie de dois condensadores de capacidadesC1 e C2. Determine C1 e C2.

f) (1.5 val) Determine a energia electrostatica armazenada no condensadorusando dois processos distintos.

19

Exame 1: Duracao 3 horas

Justifique todas as suas respostas.

Grupo I (5 valores)

A fig.1 mostra o corte transversal de um condensador esferico, constituıdopor duas armaduras concentricas. A armadura interior e uma esfera condu-tora de raio R1 e a exterior e uma coroa esferica condutora compreendidaentre os raios R3 e R4. Entre R1 e R2 encontra-se uma coroa esferica de ummaterial dielectrico LHI, de permitividade ✏ = 6 ⇥ ✏0. A armadura interioresta carregada com carga +q e a exterior com carga �q. Calcule:

a) (1val) A carga na superfıcie esferica de raio R4.b) (1 val.) O campo electrico ~E nos pontos que distam r do centro do

condensador e tal que R1 < r < R3.c) (1 val) As densidades superficiais de carga de polarizacao, �

01 e �

02, nas

superfıcies interior e exterior do material dielectrico. Qual a carga total depolarizacao contida no dielectrico?

d) (1.5 val) A capacidade C do condensador e mostre que ela pode serencarada como uma associacao em serie de dois condensadores de capacidadesC1 e C2. Determine C1 e C2.

e) (0.5 val) Sabendo que R1 = 1 cm,R2 = 1.2 cm,R3 = 1.3 cm,R4 =1.6 cm, q = 6 nC, ✏0 = 8.85 ⇥ 10�12 C2N�1m�2, determine a energia elec-trostatica armazenada no condensador.

Grupo II (5 valores)

Considere um condutor cilındrico, linear, homogeneo e isotropo, de alturah e condutividade �

c

, representado na fig.2. Aplica-se uma d.d.p. V0 entreas superfıcies cilındricas interior e exterior: a superfıcie de raio a e mantidaao potencial V = V0, enquanto que a superfıcie exterior de raio b e mantidaao potencial V = 0. O condutor esta global e localmente neutro.

a) (2 val) Usando coordenadas cilındricas (⇢, ✓, z) mostre que ~E(~r) =i

2⇡�ch⇢~e⇢

.b) (2 val) Calcule a corrente i e o potencial V (~r), em funcao dos dados

do problema, i.e., de �c

, a, b, h, V0.c) (1val) Qual a resistencia R do condutor?(~rV = @V

@⇢

~e⇢

+ 1⇢

@V

@✓

~e✓

+ @V

@z

~ez

).

20

Grupo III (5 valores)

Considere uma espira condutora, rectangular, de resistencia R que rodacom velocidade angular ! constante, em torno do eixo OX, fig.3. A espiraencontra-se numa regiao do espaco em que o campo magnetico e constante edado por ~B = B0~ez

a) (2 val) Suponha que no instatante t = 0 a espira se encontra no planoXOY . Determine o fluxo magnetico �(t) atraves do circuito e a corrente i(t)que percorre a espira?

b) (2 val) Qual a forca magnetica sentida pela espira quando !t = ⇡/2?Relacione o sentido desta forca com o sentido de rotacao da espira. Qual oefeito desta forca?

c) (1 val) Qual a potencia mecanica media que e preciso fornecer a espirapara manter a velocidade angular constante?

Grupo IV (5 valores)

Considere uma onda plana monocromatica que se propaga num meio cujapermeabilidade magnetica relativa e µ

r

= 1 e cujo campo electrico e dadopor

~E(~r, t) = �E0 cos(!t� kx)~ey

+ E0 cos(!t� kx+3⇡

2)~e

z

(9.1)

onde E0 = 0.4⇥ 10�9 V/m, ! = 5⇥ 105rad/s e k = 2⇥ 10�3m�1.a) (1 val) Qual a direccao e sentido de propagacao da onda. Verifique que

o campo electrico e transversal a direccao de propagacao da onda.b) (1 val) Qual o comprimento de onda e qual a permitividade electrica

do meio?c) (1 val) Caracterize o estado de polarizacao da onda?d) (1 val) Determine o campo magnetico da onda.e) (1 val) Qual fluxo de energia e.m. que atravessa, por unidade de tempo,

uma superfıcie de area A = 2m2, que faz um angulo ✓ = ⇡/6 com a direccaode propagacao da onda?✏0 = 8.85⇥ 10�12C2N�1m�2 ; µ0 = 1.26⇥ 10�6WeberA�1m�1.

21

Exame 2: Duracao: 3 horasJustifique todas as suas respostas.

Grupo I (5 valores)

Considere um condensador plano, constituıdo por duas armaduras planasquadradas de lado l, separadas de d e tendo no seu interior dois dielectricos depermitividades ✏1 e ✏2, fig.1. A armadura superior esta ao potencial V = V0

e a inferior ao potencial V = 0. Admita que as dimensoes das armaduras saomuito superiores a d e despreze os efeitos das extremidades.

a) (1.5 val) Usando o teorema de Gauss determine o campo electrico nointerior de cada um dos dielectricos em funcao de V0 e de d.

b) (1.5 val) Qual a capacidade C do condensador? Mostre que esta podeser encarada como uma associacao em paralelo de dois condensadores decapacidades C1 e C2 e determine-as.

c) (1 val) Determine as densidades superficiais de carga de polarizacao,nas superfıcies superior e inferior dos dielectricos (1) e (2).

d)(1 val) Sabendo que d = 2mm, l = 1cm, ✏1 = 10⇥ ✏0, ✏2 = 5⇥ ✏0, V0 =12V , determine a energia electrostatica armazenada no condensador. ✏0 =8.85⇥ 10�12C2N�1m�2.

(~rV = @V

@x

~ex

+ @V

@y

~ey

+ @V

@z

~ez

).


Considere o semi-anel condutor, linear, homogeneo e isotropo, de alturah e condutividade �

c

, representado na fig.2. Aplica-se uma d.d.p. V0 entreas superfıcies planas S1 e S2: a superfıcie S1 e mantida ao potencial V = 0,enquanto que a superfıcie S2 e mantida ao potencial V = V0. O condutoresta global e localmente neutro.

a) (2 val) Usando coordenadas cilındricas (⇢, ✓, z) mostre que ~E(~r) =V02⇡⇢~e✓.

b) (2 val) Calcule a corrente i e o potencial V (~r), em funcao dos dadosdo problema, i.e., de �

c

, a, b, h, V0.c) (1val) Qual a resistencia R do condutor?(~rV = @V

@⇢

~e⇢

+ 1⇢

@V

@✓

~e✓

+ @V

@z

~ez

).


22

Uma espira quadrada, condutora, de lado a, resistencia R e cujo coefi-ciente de auto-inducao L ⇡ 0, desloca-se com velocidade ~v = v~e

x

constante eatravessa uma regiao do espaco, quadrada, onde existe um campo magneticouniforme e dado por ~B = B0~ez, ver fig.3. Suponha que no instante t = 0 olado BC da espira coincide com o eixo OY .

a) (1.5 val) Determine a corrente i que percorre a espira entre os instantest = 0 e t = a/v. Qual o sentido da corrente?

b) (1.5 val) Qual a forca magnetica a que a espira fica submetida quandoentra na regiao quadrada? Qual o efeito desta forca?

c) (1 val) Mostre que o trabalho mecanico necessario realizar por unidadede tempo, para manter constante a velocidade ~v, e igual a potencia dissipadapor efeito de Joule.

d)(1 val) Usando a lei de Lenz explique qual deve ser o sentido da correntei induzida na espira quando esta comeca a sair da regiao quadrada. Tendoem atencao o sentido da corrente e por analogia com (b) explique, sem fazercalculos, qual a forca magnetica a que a espira fica submetida a saıda daregiao quadrada.



r


~E(~r, t) = E0 cos[!t� k(

p3

2y � 1

2z)]~e

x

(9.2)

onde E0 = 0.5 V/m, ! = 6.5⇥ 106rad/s e k = 3.1⇥ 10�2m�1.a) (1 val) Qual a direccao e sentido de propagacao da onda. Verifique que


do meio?c) (1 val) Caracterize o estado de polarizacao da onda?d) (1 val) Determine o campo magnetico ~H da onda.e) (1 val) Qual fluxo de energia e.m. que atravessa, por unidade de tempo,

uma superfıcie de area A = 2m2 perpendicular a direccao de propagacao daonda?✏0 = 8.85⇥ 10�12C2N�1m�2 ; µ0 = 1.26⇥ 10�6WeberA�1m�1.

23

Exame 3 Duracao: 3 horasJustifique todas as suas respostas.

Grupo I (5 valores)

Considere um condensador plano, constituıdo por duas armaduras planasquadradas de lado l, separadas de d e tendo no seu interior dois dielectricos depermitividades ✏1 e ✏2, fig.1. A armadura superior esta ao potencial V = V0

e a inferior ao potencial V = 0. Admita que as dimensoes das armaduras saomuito superiores a d e despreze os efeitos das extremidades.

a) (1.5 val) Usando o teorema de Gauss determine o campo electrico nointerior de cada um dos dielectricos em funcao de V0 e de d.

b) (1.5 val) Qual a capacidade C do condensador? Mostre que esta podeser encarada como uma associacao em paralelo de dois condensadores decapacidades C1 e C2 e determine-as.

c) (1 val) Determine as densidades superficiais de carga de polarizacao,nas superfıcies superior e inferior dos dielectricos (1) e (2).

d)(1 val) Sabendo que d = 2mm, l = 1cm, ✏1 = 10⇥ ✏0, ✏2 = 5⇥ ✏0, V0 =12V , determine a energia electrostatica armazenada no condensador. ✏0 =8.85⇥ 10�12C2N�1m�2.

(~rV = @V

@x

~ex

+ @V

@y

~ey

+ @V

@z

~ez

).


Considere um condutor de altura d e condutividade �c

, com a forma semi-circular representada na fig.2. Sejam a e b os raios menor e maior do condutor.Aplica-se uma d.d.p. V0 entre as superfıcies semicirculares: a superfıcie BECe mantida ao potencial V = V0, enquanto que a superfıcie exterior AFD emantida ao potencial V = 0. O condutor esta global e localmente neutro.

a) (1.5 val) Obtenha a equacao da continuidade para este condutor. Ex-plique o seu raciocinio.

b) (1.5 val) Qual a corrente i que atravessa o condutor?c) (1 val) Determine o potencial V (~r), o campo electrico ~E(~r) e a densi-

dade de corrente electrica ~J(~r) em qualquer ponto do condutor.

24

d) (0.5 val) Qual a resistencia R do condutor?e) (0.5 val) Qual a energia dissipada por efeito de Joule ao fim de um

intervalo de tempo �t.


Considere uma espira condutora, rectangular, de resistencia R que rodacom velocidade angular ! constante, em torno do eixo OX, fig.3. A espiraencontra-se numa regiao do espaco em que o campo magnetico e constante edado por ~B = B0~ez

a) (2 val) Suponha que no instatante t = 0 a espira se encontra no planoXOY . Determine o fluxo magnetico �(t) atraves do circuito e a corrente i(t)que percorre a espira?

b) (2 val) Qual a forca magnetica sentida pela espira quando !t = ⇡/2?Relacione o sentido desta forca com o sentido de rotacao da espira. Qual oefeito desta forca?

c) (1 val) Qual a potencia mecanica media que e preciso fornecer a espirapara manter a velocidade angular constante?



r


~E(~r, t) = �E0 cos(!t� kx)~ey

+ E0 cos(!t� kx+3⇡

2)~e

z

(9.3)

onde E0 = 0.4⇥ 10�9 V/m, ! = 5⇥ 105rad/s e k = 2⇥ 10�3m�1.a) (1 val) Qual a direccao e sentido de propagacao da onda. Verifique que


do meio?c) (1 val) Caracterize o estado de polarizacao da onda?d) (1 val) Determine o campo magnetico da onda.e) (1 val) Qual fluxo de energia e.m. que atravessa, por unidade de tempo,

uma superfıcie de area A = 2m2, que faz um angulo ✓ = ⇡/6 com a direccaode propagacao da onda?✏0 = 8.85⇥ 10�12C2N�1m�2 ; µ0 = 1.26⇥ 10�6WeberA�1m�1.

25

Chapter 10

Formulario

Campo conservativo:RC

~E · d~r = 0 para qualquer percurso fechado C.~E = �~r�, ~r^ ~E = 0, � e o potencial electrico.

Lei de Coulomb: Para cargas pontuais ; ~F12 =q1q2

4⇡✏0r212~er

. ~F12 = �~F21.

Campo electrico: Para uma carga pontual ; ~E = q

4⇡✏0r2~er

. Para uma

distribuicao de carga d ~E = dq

4⇡✏0r2~er

.

Potencial electrico: Com respeito a um ponto de referencia ~rref

e:�(~r)� �(~r

ref

) = �R~r

~rref~E · d~r.

Lei de Gauss: (Forma integral)RS

~E · d~S = Q/✏0, Q e a carga totalcontida na superfıcie fechada S. (Forma diferencial) ~r · ~E = ⇢/✏0

Equacao de Poisson: r2� = �⇢/✏0. Equacao de Laplace: r2� = 0.

Energia electrostatica: We

= 12

RV

⇢ �dV = 12

RV

✏E2dV .

Condensadores: C = Q/V ; We

= 12CV 2.

Polarizacao: ~P = ✏0�e

~E, onde �e

e a susceptibilidade electrica dodielectrico. Carga superficial de polarizacao: �

p

= ~P · ~n.

Corrente: i = dQ

dt

=RS

~J.~dS. Densidade de corrente: ~J = ⇢~v.

26

Equacao da continuidade: ~r · ~J + @⇢

@t

= 0.

Lei de Ohm: ~J = �c

~E (forma microscopica); V = Ri (forma macroscopica).

Lei de Joule: P = iV .

Forca de Lorentz: ~F = q ~E+q~v^ ~B. Forca de Laplace: ~dF = i~dl^ ~B.

Lei de Biot-Savart: ~dB = µ0

4⇡i

~

dl^~rr

2 .

Lei de Faraday: ✏ = �d�dt

= �Ldi

dt

; � fluxo magnetico e L coeficiente deauto-inducao.

Magnetizacao: ~M = �m

~H; �m

: susceptibilidade magnetica do material.

Equacoes de Maxwell na forma diferencial:

~r · ~D = ⇢ (Lei de Gauss)~r · ~B = 0 (Nao ha cargas magneticas).~r^ ~E = �@

~

B

@t

, (Lei de Faraday).~r^ ~H = ~J + @

~

D

@t

, (Lei de Ampere).

Equacoes constitutivas : ~D = ✏0 ~E + ~P = ✏ ~E; ~B = µ0( ~H + ~M) = µ ~H.

Onda plana monocromatica: ~E = ~E0ei(!t�~

k·~r), ! = vk; v = 1p✏µ

;

~E =q

µ

✏

~H ^ ~n.

Polarizacao circular ou elıptica : � = ⇡/2 ! direita; � = �⇡/2 !esquerda.

Teorema de Poynting: �@uem@t

= r · ~S.

Vector de Poynting: ~S = ~E ^ ~H.

Densidade de energia electromagnetica:uem

= ue

+ um

= 12~E · ~D + 1

2~H · ~B.

27

Teorema de Stokes:HC

~F · ~dl =R R

S

(~r^ ~F ) · ~dS.

Teorema de Gauss :R R

Sf~F · ~dS =

R R RV

(~r · ~F )dV :

Duplo produto externo: ~a ^ (~b ^ ~c) = (~a · ~c) ~b� (~a ·~b) ~c.

Elemento de volume: Coordenadas esfericas: dv = r2sin✓ d✓ d� dr;Coordenadas cilındricas: dv = ⇢ d⇢ d✓ dz.

28

Campo conservativo:RC

~E.d~r = 0 para qualquer percurso fechado C.~E = �~r�, ~r^ ~E = 0, � e o potencial electrico.


4⇡✏0r212~er

. ~F12 = �~F21.

Campo electrico: Para carga pontual ; ~E = q

4⇡✏0r2~er

. Para distribuicoes

de carga d ~E = q1

4⇡✏0r2~er

.


e:�(~r)� �(~r

ref

) = �R~r

~rref~E · d~r.


~E.d~S = Q/✏0, Q e a carga total con-tida na superfıcie fechada S. (Forma diferencial) ~r · ~E = ⇢/✏0



= 12

RV

⇢ �dV = 12✏0

RV

E2dV .


= 12CV 2.


~E, onde �e

e a susceptibilidade do dielectrico.

Carga superficial de polarizacao: �p

= ~P · ~n.

Deslocamento electrico: ~D = ✏0 ~E + ~P .Campo conservativo:

RC

~E · d~r = 0 para qualquer percurso fechado C.~E = �~r�, ~r^ ~E = 0, � e o potencial electrico.


4⇡✏0r212~er

. ~F12 = �~F21.

Campo electrico: Para uma carga pontual ; ~E = q

4⇡✏0r2~er

. Para uma

distribuicao de carga d ~E = dq

4⇡✏0r2~er

.


e:�(~r)� �(~r

ref

) = �R~r

~rref~E · d~r.

29


~E · d~S = Q/✏0, Q e a carga totalcontida na superfıcie fechada S. (Forma diferencial) ~r · ~E = ⇢/✏0



= 12

RV

⇢ �dV = 12

RV

✏E2dV .


= 12CV 2.


~E, onde �e

e a susceptibilidade electrica dodielectrico. Carga superficial de polarizacao: �

p

= ~P · ~n.

Corrente: i = dQ

dt

=RS

~J.~dS. Densidade de corrente: ~J = ⇢~v.

Equacao da continuidade: ~r · ~J + @⇢

@t

= 0.

Lei de Ohm: ~J = �c

~E (forma microscopica); V = Ri (forma macroscopica).

Lei de Joule: P = iV .

Forca de Lorentz: ~F = q ~E+q~v^ ~B. Forca de Laplace: ~dF = i~dl^ ~B.

Lei de Biot-Savart: ~dB = µ0

4⇡i

~

dl^~rr

2 .

Lei de Faraday: ✏ = �d�dt

= �Ldi

dt

; � fluxo magnetico e L coeficiente deauto-inducao.

Magnetizacao: ~M = �m

~H; �m

: susceptibilidade magnetica do material.

Equacoes de Maxwell na forma diferencial:

~r · ~D = ⇢ (Lei de Gauss)~r · ~B = 0 (Nao ha cargas magneticas).~r^ ~E = �@

~

B

@t

, (Lei de Faraday).~r^ ~H = ~J + @

~

D

@t

, (Lei de Ampere).

30

Equacoes constitutivas : ~D = ✏0 ~E + ~P = ✏ ~E; ~B = µ0( ~H + ~M) = µ ~H.

Onda plana monocromatica: ~E = ~E0ei(!t�~

k·~r), ! = vk; v = 1p✏µ

;

~E =q

µ

✏

~H ^ ~n.

Polarizacao circular ou elıptica : � = ⇡/2 ! direita; � = �⇡/2 !esquerda.

Teorema de Poynting: �@uem@t

= r · ~S.

Vector de Poynting: ~S = ~E ^ ~H.

Densidade de energia electromagnetica:uem

= ue

+ um

= 12~E · ~D + 1

2~H · ~B.

Teorema de Stokes:HC

~F · ~dl =R R

S

(~r^ ~F ) · ~dS.

Teorema de Gauss :R R

Sf~F · ~dS =

R R RV

(~r · ~F )dV :

Duplo produto externo: ~a ^ (~b ^ ~c) = (~a · ~c) ~b� (~a ·~b) ~c.

Elemento de volume: Coordenadas esfericas: dv = r2sin✓ d✓ d� dr;Coordenadas cilındricas: dv = ⇢ d⇢ d✓ dz.

31

Documents

Electromagnetismo e Optica´ ProblemasLei de Coulomb. Campo El´ectrico 1.1 - Um conjunto de quatro cargas iguais de QCcada uma delas esta´ colocada nos v´ertices de um quadrado