Electrodin amica Cl asica - Sitios WP del Departamento de

Electrodinamica ClasicaNotas para seguir la materia Fısica Teorica 1

Licenciatura en Fısica - UBA

Segundo cuatrimestre de 2017

Ricardo A. DepineDepartamento de Fısica

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires

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3 de mayo de 2018

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Why repeat all this? Because there are new generations born everyday. Because there are great ideas developed in the history of man, andthese ideas do not last unless they are passed purposely and clearlyfrom generation to generation.

Richard Feynman, The Meaning of It All (1963)

Presentacion

(en elaboracion).

La manera tradicional de estudiar Teorıa Electromagnetica consiste en dividirla en dospartes: primero campos estaticos y luego campos variables en el tiempo. Si bien estadivision refleja la historia del Electromagnetismo y es la que usa la inmensa mayorıa delos textos dirigidos a una Licenciatura o a un Master en Fısica, en el curso vamos a dejarlade lado. A continuacion, algunos comentarios sobre la plausibilidad de abandonar la zonade confort ofrecida por la division campos estaticos vs campos variables en el tiempo.

En primer lugar, la experiencia indica que en la division campos estaticos vs camposvariables en el tiempo, los problemas estaticos ocupan mas de la primera mitad de uncurso cuatrimestral. Si a esto sumamos el agravante de que la fısica de estos problemasno tiene casi novedades respecto a la que ya se vio en Fısica 3, es muy facil caer en latentacion de empezar a ver la materia como una Fısica 3 con herramientas matematicasmas complicadas, que para colmo casi no se emplean en los problemas dinamicos que seestudian en la segunda parte de la materia. La experiencia tambien indica que la segundaparte de la materia queda muy apretada y casi ni se llegan a ver fenomenos dinamicosque juegan un papel clave en todas las frontera de investigacion del siglo XXI, comopor ejemplo los diversos aspectos que involucran radiacion electromagnetica, incluyendogeneracion, deteccion, transmision, confinamiento e interaccion con la materia.

En segundo lugar, la division campos estaticos vs campos variables en el tiempo, pre-senta un panorama inicial, que repite el panorama visto en cursos elementales, donde loscampos electricos y magneticos son dos entidades separadas. Solamente hacia el final,ambas entidades son amalgamadas por la Relatividad Especial y la transformacion deLorentz.

En tercer lugar, la Teorıa Electromagnetica resulta particularmente atrayente comoprimer curso de Fısica Teorica debido a que se pone en evidencia que los campos tienenpropiedades que usualmente se han venido asociando exclusivamente a la materia. Comoveremos, los campos tienen energıa, cantidad de movimiento, impulso angular ... es de-

v

cir, son conceptos dinamicos, entes con tanto derecho a la existencia como las partıculasmateriales y no un concepto matematico que ayuda a entender la fısica, como sucede porejemplo en el caso del campo de velocidades en un fluido o el campo de temperaturas enun medio material, donde estos campos son simplemente una funcion de las coordenadasespaciales y del tiempo. Y resulta que en la parte estatica el concepto de campos es enrealidad superfluo. Toda la electrostatica esta contenida en principio en la ley de Coulombpara la fuerza entre dos cargas y en la ley de superposicion. De la misma manera, toda lamagnetostatica esta contenida en la ley de Ampere para la fuerza entre dos corrientes. Ladivision de la ley de Coulomb como “carga produce campo” mas “campo actua sobre otracarga”, puede ser conveniente pero desde el punto de vista conceptual no es para nadanecesaria. Lo mismo es aplicable a la division de la ley de Ampere en “corriente estacio-naria produce campo” mas “campo actua sobre otra corriente estacionaria”. El conceptode campo adquiere su verdadera importancia solamente en el caso de fenomenos variablesen el tiempo, donde surge como una necesidad para preservar las leyes de conservacionde la energıa y del impulso.

Mas alla de la division campos estaticos vs campos variables en el tiempo, la electrostati-ca, la magnetostatica y la “amalgama” dinamica de campos electromagneticos se puedenunificar bajo una idea que, siguiendo a Sommerfeld, podrıamos llamar problema de lasuma. En el problema de la suma todo se reduce a sumar (integrar) sobre distribucionesde fuentes (cargas y corrientes) conocidas. En contraste con el problema de la suma,hay muchos problemas, llamados problemas de valores de contorno (o de condiciones defrontera o de borde), donde hay medios materiales o contornos que contienen distribucio-nes de cargas y corrientes desconocidas En estos casos tenemos que ingeniarnoslas paraconocer los campos en todo lugar e instante.

Como ejemplo tıpico de problema de valores de contorno consideremos una distribucionde cargas conocida frente a un conductor conectado a tierra o a una baterıa. En estecaso las cargas en el conductor no se conocen, justamente dependen del voltaje de labaterıa y de la distancia entre el conductor y las fuentes conocidas. Cualquier problemade interaccion de radiacion con cuerpos materiales tambien es un problema de valores decontorno, donde las fuentes externas solo se conocen a traves de los campos incidentes,mientras que las fuentes inducidas en el cuerpo material son en principio desconocidas,solo se conocen a posteriori porque dependen del valor del campo total. En los cursoselementales se estudian problemas que son por lo general problemas de suma. En cambio,en un curso avanzado como Fısica Teorica 1, ademas de los problemas del primer tipo, hayque aprender metodos nuevos, especialmente adecuados para los problemas del segundotipo. Estos metodos, como el de la funcion de Green, el de imagenes o el de separacionde variables, son importantes en toda la Fısica Teorica, no solamente en electrodinamica,aunque tradicionalmente le toca a Fısica Teorica 1 introducirlos.

Si bien el campo de aplicacion de la electrodinamica clasica es muy amplio, no esinfinito. Otra motivacion de abandonar la manera tradicional de ensenanza es poderincluir un panorama resumido de donde estan los lımites conocidos de aplicacion de lateora, impuestos por la mecanica cuantica. En cuanto a los lımites desconocidos, estaran

vi

relacionados con el altamente probable descubrimiento de nuevas observaciones que harıanque toda la electrodinamica (clasica o cuantica) se torne incompleta, para luego renovarseen una nueva unificacion. Una vieja historia para la Ciencia, cuya mayor fortaleza residejustamente en el rechazo de dogmas y en su esencia renovadora.

Electrodinamica en el siglo XXI (a completar).

conexion con cuantica, materia condensada, termodinamica, etc.(a completar).

plan (a completar).

Indice general

Presentacion IV

1. De la observacion a la teorıa 1

1.1. La base experimental de la teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Ecuaciones macroscopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Expresiones integrales de las EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Relaciones constitutivas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Linealidad y superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8. Modelo de Lorentz-Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8.1. Dispersion anomala y absorcion resonante . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2. Comportamiento a bajas frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.3. σ versus ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.4. Comportamiento a altas frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Causalidad y dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10. Extension analıtica a frecuencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11. Relaciones de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12. Fuentes libres e inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.13. Respuesta no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.14. Propiedades mecanicas de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.14.1. Conservacion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

vi

INDICE GENERAL vii

1.14.2. Energıa, teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

En el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Doble idealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

En medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Vector de Poynting complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Superposicion e interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Energıa de formacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.14.3. Cantidad de movimiento: tensor de Maxwell . . . . . . . . . . . . 35

Formulacion en el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Controversia Abraham–Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Presion electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Presion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.14.4. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bibliografıa 40

2. Campos en regiones sin fuentes 42

2.1. Dependencias temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2. Desacoplando las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1. En el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2. Medio isotropo aquiral no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.3. Modos electromagneticos, autofunciones y autovalores . . . . . . . 46

2.2.4. Medio periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.5. Medio isotropo aquiral homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3. Base de Fourier espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4. Medio isotropo aquiral homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1. Relacion de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2. Visualizando las autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3. Estructura de la onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

viii INDICE GENERAL

2.4.4. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.5. Densidad de energıa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.6. Recapitulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5. Medio homogeneo isotropo quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5.1. Representacion de Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.2. Ecuaciones con divergencia y transversalidad . . . . . . . . . . . . 58

2.5.3. Ecuacion maestra D ~Fω = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.4. Proyeccion de D ~Fω = 0 en la base de ondas planas . . . . . . . . . 59


2.5.6. Polarizaciones permitidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.7. Poder rotatorio del medio quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.8. Estructura de la onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.9. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.10. Densidad de energıa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6. Medio homogeneo electricamente anisotropo . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6.1. Ecuaciones con divergencia y transversalidad . . . . . . . . . . . . 66

2.6.2. Ecuacion maestra D ~Eω = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.3. Proyeccion de D ~Eω = 0 en la base de ondas planas . . . . . . . . 67


2.6.5. Sistema para los ejes principales del tensor ε . . . . . . . . . . . . 68

2.7. Pulsos y haces limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7.1. Paquete plano 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.7.2. Haz monocromatico localizado espacialmente . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografıa 78

3. Problemas de frontera 79

3.1. Preexistentes inductores vs adicionales inducidos . . . . . . . . 80

3.2. Conservacion de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

INDICE GENERAL ix

3.3. Contornos con simetrıa cilındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.1. Separacion de variables parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.2. Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) como potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3.3. Condiciones de contorno para Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) . . . . . . . . . 87

Dos medios isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Contorno conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4. Problema de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4.1. Campos incidentes, reflejados y transmitidos . . . . . . . . . . . . 94

3.4.2. Condiciones de contorno para representaciones integrales . . . . . 95

3.4.3. Matrices de reflexion y de transmision . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.4. Consecuencias cinematicas (geometricas) . . . . . . . . . . . . . . 98

3.4.5. Amplitudes reflejadas y transmitidas . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.6. Incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.7. Comportamiento general de los coeficientes de Fresnel . . . . . . . 102

Materiales no magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Materiales magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4.8. Reflexion total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.9. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografıa 109

4. Problemas con fuentes 110

4.1. Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2. Transformaciones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.1. Medida de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2. Medida de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3. Ecuaciones de onda con fuente para los campos . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4. Potenciales vectoriales de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

x INDICE GENERAL

4.5. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6. Fuentes armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7. Aproximaciones para campos fuera de las fuentes . . . . . . . . . . . . . 120

4.7.1. Aproximacion cuasi-estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.7.2. Aproximacion multipolar o de onda larga . . . . . . . . . . . . . . 121

4.7.3. Aproximacion de onda larga para campos de radiacion . . . . . . 124

n=0 −→ dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.8. Aspectos matematicos de la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.8.1. Problema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.8.2. Causalidad en ondas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Problema de valores iniciales en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Problema con fuente en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8.3. Problema de valores iniciales en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8.4. Problema con fuente en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8.5. Funcion de Green para la ecuacion de ondas 3D . . . . . . . . . . 128

4.9. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Bibliografıa 129

Capıtulo 1

De la observacion a la teorıa

¿De que trata FT1? De la Electrodinamica Clasica, sintetizada en forma de axiomashace ya mas de 150 anos por James Clerk Maxwell. Estos axiomas, leyes o postulados,hoy conocidos como ecuaciones de Maxwell (EM) del electromagnetismo, representanla formalizacion ideal, coherente y simple de evidencias experimentales recogidas por lahumanidad durante milenios, empezando por observaciones hechas por diversas civiliza-ciones de la antiguedad.

De la antiguedad provienen, entre otras cosas, los dos nombres de la teorıa: electro ymagnetismo. Electro (ηλεκτρν) significa ambar, porque los griegos habıan descubiertoque con el ambar se puede hacer lo mismo que hacemos cuando juntamos pelusitas opapelitos con un peine o una regla de plastico frotada en la ropa. Y magneto provienende Magnesia, el nombre de una ciudad griega ubicada en en Tesalia, una region dondeabunda la magnetita o piedra iman, un mineral de hierro (Fe3O4, oxido ferroso-diferrico)que puede exhibir magnetizacion natural.

A los descubrimientos antiguos se suman las numerosas observaciones realizadas du-rante la revolucion cientıfica, aproximadamente entre 1600 y 1800, por estudiosos comoGilbert, Franklin, Coulomb, Galvani, etc. En este momento se comienza a consolidar elmetodo cientıfico y fenomenos como el arcoiris o el rayo, antes reservados a magos ydivinidades, pasaron a ser explicados mediante el metodo inductivo-deductivo, con unlenguaje matematico preciso y sometidos solo al arbitraje de la experimentacion. Porcierto, el arcoiris y el rayo resultaron ser fenomenos electromagneticos.

Durante el siglo XIX aparecen nuevas evidencias, con experimentos de Volta, Oersted,Biot, Savart, Ampere, Gauss, Faraday, etc. . . . y finalmente Maxwell, que con su trabajodio legitimidad al concepto de campos, que en la parte estatica es solamente un adornoinnecesario, y unifico todos los fenomenos electricos y magneticos conocidos hasta elmomento en un sistema de ecuaciones que pone en evidencia no solamente la relacionentre electricidad y magnetismo, sino tambien que los campos electricos y magneticos sonen realidad dos aspectos de un mismo campo: el campo electromagnetico. La unificacionde Maxwell fue doble, porque las viejas leyes de la Optica resultaron una consecuencia de

1

2 CAPITULO 1. DE LA OBSERVACION A LA TEORIA

las ecuaciones electromagneticas. Maxwell fue un genio que ademas de su inmenso aportea la unificacion electromagnetica fue uno de los creadores de la mecanica estadıstica y dela teorıa cinetica y que si no hizo mas cosas fue porque murio a las 48 anos. En opinionde Richard P. Feynman (The Feynman Lectures on Physics, Volume II), el trabajo deMaxwell sera recordado como el acontecimiento mas importante del siglo XIX:

From a long view of the history of mankind - seen from, say, tenthousand years from now - there can be little doubt that the mostsignificant event of the 19th century will be judged as Maxwell’s dis-covery of the laws of electrodynamics. The American Civil War willpale into provincial insignificance in comparison with this importantscientific event of the same decade.

Y seguramente Feynman tenga razon, porque i) la teorıa de Maxwell es la primera granteorıa unificadora de la fısica despues de Newton; ii) describe una de las cuatro inter-acciones fundamentales del universo actualmente conocido; y iii) fue sostenida por suautor a pesar de que no satisfacıa la familiar y bien establecida invariancia galileana dela mecanica clasica. La no invarianza galileana de las ecuaciones de Maxwell (EM) jus-tamente resulto uno de los impulsos mas potentes para desarrollar la relatividad especialde Einstein.

En 1865 Maxwell publico el trabajo A Dynamical Theory of the Electromagnetic Fielddonde demostro que los campos electromagneticos pueden viajar por el espacio comoondas a una velocidad sospechosamente parecida a la de la luz. Que este cociente fueramuy cercano a 3 108 m/s, tan parecido al valor aceptado entonces para la velocidad de laluz, hizo que Maxwell escribiera: “I think we now have strong reasons to believe, whethermy theory is a fact or not, that the luminiferous and the electromagnetic medium are one”(carta a Faraday).

Tuvieron que pasar varias decadas hasta que los logros de Maxwell fueran conocidosy claramente aceptados. Al principio muchos, incluido Faraday y el propio Maxwell, senegaban a admitir la existencia de interacciones entre cuerpos lejanos sin que mediarala intervencion de un medio material. Ası surgio el “eter”, un medio que supuestamentellenaba todo el espacio, incluyendo el vacıo. Una de las experiencias mas importantespara confirmar la teorıa de Maxwell llego casi dos decadas despues. Y fue hecha por elfısico aleman Heinrich Hertz, quien demostro experimentalmente la existencia de ondaselectromagneticas. La frecuencia de las ondas que produjo Hertz era muy distinta a lafrecuencia de la luz, pero sin embargo tenıan la misma velocidad de propagacion que laluz.

El trabajo de Maxwell tambien desencadeno muchısimos intentos por detectar “su”eter. Los trabajos de esa epoca, entre los que se cuentan los de Albert A. Michelson,dieron lugar a confusas y contradictorias interpretaciones que continuaron hasta que en1905 Albert Einstein publico su Teorıa Especial de la Relatividad. Numerosas predic-ciones de Maxwell se fueron confirmando experimentalmente, como la relacion entre el

1.1. LA BASE EXPERIMENTAL DE LA TEORIA 3

ındice de refraccion de un medio dielectrico y ciertas magnitudes electromagneticas delmedio (Ludwig Boltzmann, 1875), la relacion entre la conductividad de un material y sureflectividad, la presion que sufre un cuerpo iluminado, etc.

Rol de la Teorıa Electromagnetica Clasica en el siglo XXI (a completar).

interaccion radiacion materia, frontera, rels const., generalidades y detalles en casos sen-cillos (a completar).

1.1. La base experimental de la teorıa

Aunque nuestros sentidos estan bastante limitados para detectar campos electromagneti-cos, las transformaciones de energıa producidas por los campos siempre se pueden poneren evidencia a traves de sus interacciones con los cuerpos cargados. La fuerza sobre unacarga puntual q que al tiempo t ocupa la posicion ~x y se mueve con velocidad ~v en nues-tro sistema de referencia, viene dada, en el sistema gaussiano (cgs) de unidades, por laecuacion de fuerza de Lorentz

~F = q( ~E +~v

c× ~B) . (1.1)

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo. Estamos usando un concepto ideal, el decarga puntual, es decir: un cuerpo cargado, de dimensiones extremadamente pequenasen comparacion con la distancia tıpica en la que se observan variaciones de campo. Lascantidades ~E(~x, t) y ~B(~x, t) son funciones vectoriales de las coordenadas y el tiempo: elcampo electrico y el campo magnetico (a veces tambien llamado induccion magnetica)respectivamente. Estas funciones describen totalmente el campo electromagnetico en elvacıo y dependen de la distribucion de fuentes que como sabemos son las cargas y lascorrientes. El comportamiento de ~E(~x, t) y ~B(~x, t) esta regido por las ecuaciones deMaxwell que, en el vacıo y en el sistema cgs de unidades, se pueden enunciar comoel siguiente sistema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂ ~B

∂ t(~x, t) , (1.2)

~∇× ~B(~x, t) =1

c

∂ ~E

∂ t(~x, t) +

4π

c~J(~x, t) , (1.3)

~∇ · ~B(~x, t) = 0 , (1.4)

~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t) , (1.5)

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo y las fuentes se representan mediante lasfunciones ρ(~x, t), la densidad de carga electrica por unidad de volumen, y ~J(~x, t), ladensidad de corriente por unidad de volumen.

Si bien las fuentes se representan mediante las dos magnitudes ρ(~x, t) y ~J(~x, t), hay unaunica fuente fundamental que es la carga. La carga es la que da origen a los campos, las


corrientes son producidas por el movimiento de las cargas. En una region con portadoresdiscretos (electrones, iones, etc.), la corriente resulta

~J =∑i

niqi~vi (1.6)

donde ni es la concentracion del portador i, qi es la carga electrica del portador i y ~vila velocidad media del portador i. Para distribuciones de carga continuas representadaspor una densidad de carga ρ(~x, t) y cuyo movimiento se puede describir por un campovectorial de velocidades ~v(~x, t),

~J = ρ~v . (1.7)

Ambos resultados son completamente similares a los obtenidos en mecanica de fluidos.

La relacion ~J = ρ~v exige anadir a las ecuaciones de Maxwell ecuaciones dinamicassuplementarias que permitan relacionar la velocidad de transporte de las cargas con lasfuerzas que las mueven, es decir los campos. Ası se procede por ejemplo para estudiarflujos electronicos en el vacıo.

El vector ~J(~x, t) es un flujo de corriente, es decir, ~J · n da representa la carga porunidad de tiempo (corriente) que pasa a traves del elemento de area da en la direccionde la normal n. Si n es la normal exterior de un volumen V limitado por una superficiecerrada S, la integral de ~J · n da a traves de S representa la carga que escapa de V porunidad de tiempo. Si esta cantidad es positiva, entonces la carga total en el interior deV disminuye y la derivada temporal de la carga neta debe ser negativa. Como no hayfuentes ni sumideros de carga, escribimos el siguiente balance

d

dt

∫V

ρ dV = −∮S

~J · n da . (1.8)

Pasando la integral de superficie a una integral de volumen y teniendo en cuenta que elprincipio de conservacion de la carga debe ser local, es decir, tiene que valer en cualquierregion, por mas pequena que sea, obtenemos

~∇ · ~J +∂ρ

∂ t= 0 . (1.9)

Esta expresion se conoce como ecuacion de continuidad. Observar que cuando decimosque en todo experimento la carga electrica neta se conserva, en realidad queremos decirque si la carga neta en un volumen V aumenta (disminuye), esto se debe a que hay unflujo de corriente que entra (sale) por las paredes que rodean a V y esto nos lleva a laexpresion integral (1.85) o a la expresion diferencial (1.9). Tomando divergencia en ambosmiembros de la ecuacion de Ampere-Maxwell (1.3), recordando que la divergencia de unrotor es nula, intercambiando el orden de derivadas espaciales y temporales y usando laley de Gauss (1.5), es facil ver que la ecuacion de continuidad (1.9) esta contenida en lasecuaciones de Maxwell.

Reconocemos los siguientes resultados experimentales:

1.2. ECUACIONES MACROSCOPICAS 5

i) cuando puede emplearse la ley de Faraday, la ecuacion (1.2) se convierte enella (y el signo es la ley de Lenz). Sin embargo, notar que la ecuacion (1.2) esmucho mas amplia que la ley de Faraday, porque no requiere de la existencia deun circuito material (por eso se la conoce como ley de Faraday generalizada). Enotras palabras, todo campo magnetico variable en el tiempo da lugar a un campoelectrico rotacional.

ii) la ecuacion (1.3) es el enunciado matematico de la ley de Ampere-Maxwell (con el

termino con ~J debido a Ampere y el termino con ∂ ~E∂ t

, la corriente de desplazamiento,debido a Maxwell).

iii) la ecuacion (1.5) es el enunciado de la ley de Gauss.

iv) la ecuacion (1.4) es el enunciado matematico de la inexistencia de monopolosmagneticos.

1.2. Ecuaciones macroscopicas

Teniendo presente que las ecuaciones (1.2)-(1.5) valen en el vacıo y que para resolverlas

debemos especificar todas las fuentes ρ y ~J , se plantea ahora el problema de incluir el tra-tamiento de medios materiales. Desde el punto de vista microscopico, un medio materiales una gran cantidad de fuentes individuales, las partıculas cargadas de cada atomo. En-tonces, las fuentes ρ y ~J tendran dos contribuciones: una proveniente de las fuentes libres,ρL y ~JL, que puedo poner o sacar a voluntad y otra proveniente de las fuentes ligadas, ρa y~Ja, asociadas con la estructura microscopica de cada substancia, fuentes sobre las que notengo mucho control y que ademas dependen de la configuracion de campos. Es claro quela solucion de las ecuaciones microscopicas es imposible para volumenes macroscopicosde materia. Una esfera de oro de diametro 300 nm (tamano muy pequeno, menor que lalongitud de onda de la luz azul) contiene mas de 108 atomos y en estas escalas nadie estainteresado en el comportamiento detallado de los campos, con sus enormes variacionesen los espacios interatomicos, sino en el promedio en volumenes grandes comparados conel volumen ocupado por un atomo o una molecula. A estos campos promediados se losllama campos macroscopicos y como se vio en cursos elementales, las ecuaciones paralos campos macroscopicos se pueden escribir exclusivamente en funcion de las fuenteslibres, a costa de tener que introducir dos nuevos campos: ~D(~x, t) y ~H(~x, t). Las llamadasecuaciones de Maxwell macroscopicas son

~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂ ~B

∂ t(~x, t) , (1.10)

~∇× ~H(~x, t) =1

c

∂ ~D

∂ t(~x, t) +

4π

c~JL(~x, t) , (1.11)

~∇ · ~B(~x, t) = 0 , (1.12)

~∇ · ~D(~x, t) = 4πρL(~x, t) . (1.13)


Las ecuaciones macroscopicas sin fuentes, (1.10) y (1.12) se escriben igual que las corres-

pondientes ecuaciones microscopicas (1.2) y (1.4). Los nuevos campos ~D(~x, t) y ~H(~x, t)

son modificaciones introducidas a ~E(~x, t) y ~B(~x, t) por las densidades de polarizacion y

de magnetizacion, ~P y ~M respectivamente:

~D = ~E + 4π ~P , (1.14)

~H = ~B − 4π ~M . (1.15)

A estas ecuaciones debemos agregar ahora las relaciones constitutivas del medio material

~D = ~D( ~E, ~B) , (1.16)

~H = ~H( ~E, ~B) , (1.17)

y en medios conductores se agrega la ley de Ohm generalizada

~Jc = ~Jc( ~E, ~B) (1.18)

para la corriente de conduccion ~Jc asociada con los portadores de carga del propio medio.Las dependencias con ~E y ~B indicadas en las relaciones (1.16) - (1.18) pueden incluir lahistoria previa, como sucede en materiales ferromagneticos que exhiben histeresis. Estoquiere decir que las ecs. (1.16) - (1.18) no son necesariamente funciones en el sentidomatematico.

1.3. Expresiones integrales de las EM

Todas las propiedades de los campos electromagneticos descriptas por el sistema deecuaciones diferenciales (1.10)-(1.13) se pueden obtener tambien a partir de un sistemaequivalente de ecuaciones integrales que surge de aplicar los teoremas de Gauss (para ladivergencia) y de Stokes (para el rotor).

Consideremos una region del espacio V limitada por la superficie cerrada S, con dael elemento de area en S y n la normal exterior al volumen V . Integrando miembro amiembro en el volumen V las ecuaciones (1.12) y (1.13) se obtiene∮

S

~D · n da = 4π

∫V

ρL d3x , (1.19)∮S

~B · n da = 0 , (1.20)

que dicen que el flujo de ~D a traves de la superficie cerrada S es proporcional a la cargalibre neta contenida en V (ley de Gauss) y que no hay flujo neto de ~B a traves de unasuperficie cerrada (no existen monopolos magneticos).

Analogamente, consideremos la superficie abierta S (normal n) apoyada en la curva

cerrada C (elemento de arco ~dl). El signo de n se elige segun el sentido de circulacion en

1.4. CONDICIONES DE CONTORNO 7

C, usando la regla del tirabuzon. Integrando miembro a miembro el flujo superficial de lasecuaciones (1.10) y (1.11) a traves de la superficie abierta S, se obtienen las siguientesexpresiones integrales de la ley de Ampere-Maxwell y de la ley de induccion de Faraday∮

C

~H · ~dl =1

c

∫S

[4π ~JL +∂ ~D

∂ t] · n da , (1.21)∮

C

~E · ~dl = − 1

c

∫S

∂ ~B

∂ t· n da . (1.22)

Si en el sistema de referencia usado C es un contorno fijo, el operador ∂∂ t

puede salir dela integral ∮

C

~E · ~dl = −1

c

∂

∂ t

∫S

~B · n da , (1.23)

y se obtiene una ley de Faraday donde la fem inducida en C es proporcional a la variaciontemporal de flujo. La derivada parcial hace referencia a que se trata de la variaciontemporal de flujo concatenada por un contorno fijo, pero los experimentos de Faradaymuestran que la relacion (1.23) vale sin importar el origen de la variacion de flujo, quepor ejemplo tambien podrıa tener origen en deformaciones de C. Para hacer referencia aambas variaciones de flujo, la ley de Faraday integral se suele escribir con una derivadatotal de la siguiente manera∮

C

~E · ~dl = −1

c

d

dt

∫S

~B · n da . (1.24)

Un comentario similar vale para las variaciones de flujo de ~D en la expresion integral dela ley de Ampere-Maxwell (1.21).

1.4. Condiciones de contorno

La manera mas elegante de incluir discontinuidades en cualquier fenonemo es a travesdel concepto de distribucion, introducido por Schwartz en 1950 (tres cuartos de siglodespues que las ecuaciones de Maxwell). Como puede verse por ejemplo en [1], las discon-tinuidades de los medios materiales se pueden tratar de manera rigurosa y muy sencillacuando se admite que todas las operaciones diferenciales que aparecen en las ecuaciones deMaxwell son validas en el sentido de distribuciones. Una alternativa a las distribuciones,menos rigurosa si bien muy difundida, consiste en usar las formas integrales (1.19)-(1.22)para obtener relaciones de continuidad (o no) entre las componentes de los campos enaquellos lugares en que hay cambios bruscos de las propiedades fısicas de los medios.

Consideremos la superficie de separacion entre los medios 1 y 2. Si aplicamos (1.19)-(1.20) en el volumen de un pastillero con tapa y bases paralelas a la superficie, mitad del


pastillero en el medio 1 y la otra mitad en el medio 2, obtenemos las siguientes condicionesde contorno para las componentes normales de los campos ~D y ~B

( ~D2 − ~D1) · n = 4πσL , (1.25)

( ~B2 − ~B1) · n = 0 , (1.26)

donde n es el versor normal que apunta del medio 1 al medio 2 y σL es la densidadsuperficial de cargas, una cantidad que difiere de cero solamente cuando las cargas estanestrictamente confinadas a la superficie.

Analogamente, si aplicamos (1.21)-(1.22) en una espira plana muy achatada, con ladosmenores perpendiculares a la superficie (paralelos a n) y lados mayores tangentes a lasuperficie, un lado mayor en el el medio 1 y el otro lado mayor en el medio 2, obtenemoscondiciones de contorno para las componentes tangenciales de los campos ~E y ~H

n× ( ~E2 − ~E1) = 0 , (1.27)

n× ( ~H2 − ~H1) =4π

c~KL , (1.28)

donde ~KL es la densidad superficial de corriente, una cantidad que por definicion solamen-te tiene componentes en la direccion paralela a la superficie. Observar que para hablar decomponentes tangenciales se necesitan dos direcciones linealmente independientes, ambasnormales a n. En la aplicacion de (1.21)-(1.22) a la espirita plana podemos pensar queestas direcciones son s1, un versor normal al plano de la espirita, y s2 = s1 × n.

Por lo general, las cargas y corrientes libres se distribuyen por todo el volumen de unaregion y en estos casos tanto σ2D

L en (1.25) como ~KL en (1.28).

Si bien las ecs. (1.25)-(1.28) son condiciones de contorno en la superficie, determinanel caracter de los campos en todo el espacio. Como ejemplo, considere la reflexion deuna onda electromagnetica plana (ver problema 1.3) que incide oblicuamente sobre unconductor perfecto. ¿Que se puede decir sobre la amplitud de la onda electromagneti-ca reflejada, cuando el campo electrico incidente es perpendicular al plano de incidencia?¿Hay cargas superficiales? ¿Hay corrientes superficiales? Si la respuesta es afirmativa, cal-cularlas. ¿Que sucede cuando la onda electromagnetica incidente tiene su campo electricocontenido en el plano de incidencia?

1.5. Relaciones constitutivas

La necesidad de escribir ecuaciones tan generales como (1.16) - (1.18) es una mani-festacion de nuestra ignorancia o de nuestra pereza para investigar las leyes que rigen elcomportamiento de las fuentes microscopicas en presencia de campos electromagneticos.Quizas por este motivo, en la gran mayorıa de textos de electrodinamica las relacionesconstitutivas se presentan y discuten de una manera conceptualmente deficiente o direc-tamente erronea. El panorama es completamente similar al que se encuentra cuando se

1.5. RELACIONES CONSTITUTIVAS 9

estudia la deformacion de un cuerpo material sometido a fuerzas externas. En el caso demedios continuos deformables son necesarias relaciones constitutivas, (como por ejemplo,la ley de Hooke) que describan la relacion entre las fuerzas aplicadas y la deformacion delos materiales , o la relacion entre el tensor de los esfuerzos y el campo de velocidades enmecanica de fluidos. En cambio, en la electrodinamica macroscopica son necesarias rela-ciones constitutivas que describan como se deforman las distribuciones de carga atomicadel medio material cuando en dicho medio se aplican campos electromagneticos. Es claroque en ambos casos es la estructura microscopica de la materia la que determina las rela-ciones constitutivas. El estudio de las relaciones (1.16) - (1.18) a partir de las propiedadesmicroscopicas del medio pertenece al dominio de la fısica de la materia condensada, aquılas supondremos conocidas, ya sea a traves de modelos teoricos o experimentalmente, paratodo material que interactue con campos electromagneticos e incluso a veces entraremosen ese terreno fronterizo entre tantas areas de la fısica llamado fısica de materiales.

Una de las deficiencias mas comunes que se encuentra en textos de electrodinamicaclasica y que es conveniente erradicar consiste en presentar las relaciones constitutivasde una manera mas sencilla que (1.16) - (1.18), por ejemplo reemplazando (1.16) por~D = ~D( ~E), (1.17) por ~H = ~H( ~B) y (1.18) por ~Jc = ~Jc( ~E), una presentacion objetableporque entre otras cosas: i) no respeta la invarianza relativista, ii) restringe la aplicacion dela electrodinamica, una disciplina que nacio cumpliendo la invariaza relativista, a sistemasde referencia privilegiados y iii) parece indicar que los campos electrico y magneticoson entidades independientes, cuando en realidad el concepto fundamental es el campoelectromagnetico gobernado por las ecuaciones (1.10)-(1.13).

La respuesta electromagnetica de los medios materiales, es decir, la forma de las re-laciones (1.16) - (1.18), permite clasificar los materiales mediante criterios tales comolinealidad versus no–linealidad, isotropıa versus anisotropıa, homogeneidad versus inho-mogeneidad, dispersion o no dispersion, tanto espacial como temporal y muchos otros.

La mayorıa de los materiales naturales ordinarios tiene una respuesta lineal en unamplio rango de intensidades y frecuencias de los campos aplicados. Esto es ası debidoa que los campos generados por las fuentes termicas usuales son mucho menores que loscampos necesarios para arrancar un electron exterior de su orbita (≈ 109 V/cm parael atomo de hidrogeno). En cambio, si se usan fuentes muy intensas, esperamos que elmaterial deje de comportarse linealmente. Por ejemplo, un laser pulsado, que puede darpicos de campo del orden de 1010 o 1011 V/cm, es capaz de destruir una muestra, lo quesin dudas es un comportamiento drasticamente no lineal.

Sin llegar a extremos donde se destruya la muestra, los comportamientos no lineales sepueden observar en ciertos materiales cuando se usan laseres con campos electromagneti-cos del orden de 108 V/cm, valor comparable al de los campos interatomicos. Teniendoen cuenta que el primer laser se construyo en el ano 1960, no debe sorprendernos que elelectromagnetismo no lineal haya empezado a estudiarse a partir del ano 1961, cuando sedescubrio, usando un laser de rubı, el fenomeno de generacion de segunda armonica [2].En el experimento original, esquematizado en la figura 1.1, el pulso de un laser de lon-


gitud de onda 694.3 nm (rojo) y con potencia de 3 joules en un milisegundo, se focalizaen un cristal de cuarzo. Para demostrar que con estas intensidades el cuarzo se comportacomo no lineal, la radiacion transmitida se analizo con un espectrometro (el prisma en lafigura) y se registro en una placa fotografica, donde se observa una mancha muy intensaque corresponde a luz roja con la misma longitud de onda que la luz incidente, y unamancha muy debil que corresponde a radiacion violeta con longitud de onda mitad, 347.2nm, es decir el doble de frecuencia de la luz incidente. La senal de segunda armonica eratan debil que los correctores tipograficos de la revista Physical Review Letters la con-fundieron con una basurita de la placa fotografica y la eliminaron. Por suerte los autoreshabıan senalado el lugar donde deberıa estar la mancha violeta con una flecha, que es launica evidencia que aparece hoy en dıa en la version online del trabajo [2] (se recomiendasu lectura).

La aparicion del laser y el descubrimiento de la generacion de segunda armonica die-ron un gran impulso al estudio de la electrodinamica macroscopica no lineal [3, 4], unanueva rama que comprende a la llamada Optica No Lineal [5] y en la que se enmarcanhasta la fecha al menos nueve premios Nobel de Fısica y Quımica. Los fenomenos elec-tromagneticos no lineales pueden dar grandes beneficios (y tambien algunas limitaciones)en numerosas aplicaciones que van desde cirugıa ocular hasta la generacion de pares defotones entrelazados que exhiben fenomenos opticos cuanticos. Para una descripcion deaplicaciones comerciales, ver [6].

1.6. Relaciones constitutivas lineales

Otra de las deficiencias comunes de los textos de electrodinamica clasica en lo que arelaciones constitutivas lineales se refiere es dar a enteder, implıcita o explıcitamente, quela relacion entre campos “secundarios” (por ejemplo, ~D(~x, t)) y “primarios” (por ejemplo,~E(~x, t)) se cumple punto a punto ~x y en cada instante de tiempo t. Pero esto claramenteno es cierto, en particular la causalidad requiere que todo observable fısico consideradoefecto (en este contexto, los campos o las distribuciones de carga inducidas), medido en elinstante t (presente), dependa de valores de los observables fısicos considerados causa (eneste contexto, los campos inductores), en instantes anteriores (pasado). A este compor-

Figura 1.1: Esquema del experimento de generacion de segunda armonica.

1.6. RELACIONES CONSTITUTIVAS LINEALES 11

tamiento tambien se lo puede llamar no localidad temporal. Ademas de la no localidadtemporal, la dependencia entre dos magnitudes puede ser tambien espacialmente no local,es decir que el observable fısico considerado efecto aca puede depender no solamente delos valores locales del observable fısico considerado causa, si no tambien de sus valoresvecinos. Por ejemplo, en una cadena de cuentas elasticas, la fuerza restitutiva en un dadositio depende de las deformaciones locales y tambien de las deformaciones de sus vecinoscercanos. Con mas razon entonces para fuerzas electomagneticas, que actuan a distancia,por lo general no puede esperarse que las relaciones constitutivas se cumplan punto apunto ~x y en cada instante t, es decir que, en general, las relaciones constitutivas de unmedio lineal son no locales con respecto al tiempo y al espacio y se pueden escribir de lasiguiente manera [10]

~D(~x, t)=

∫d3x′ dt′

[εEB(~x ′, t′) · ~E(~x− ~x ′, t− t′) + ξEB(~x ′, t′) · ~B(~x− ~x ′, t− t′)

](1.29)

~H(~x, t)=

∫d3x′ dt′

[ζEB(~x ′, t′) · ~E(~x− ~x ′, t− t′) + νEB(~x′, t′) · ~B(~x− ~x ′, t− t′)

](1.30)

donde εEB(~x, t), ξEB(~x, t), ζEB(~x, t) y νEB(~x, t) son tensores de segundo orden, que sepueden representar con matrices de 3 × 3. La no–localidad temporal se refiere a que enel instante t los campos inducidos ~D y ~H (y obviamente tambien las fuentes inducidas),

dependen de los valores de ~E y ~B en todos los instantes t′ anteriores a t. De manerasimilar, la no–localidad espacial se refiere al hecho de que en la posicion ~x, los campos ~Dy ~H (y las fuentes inducidas) dependen de los valores de ~E y ~B en puntos vecinos ~x ′.

La no–localidad temporal es una consecuencia de la causalidad y serıa raro que noestuviera presente en todo medio material. En cambio, la no–localidad espacial puedeaparecer en ciertas interfases, cuando el medio tiene escalas caracterısticas muy chicascomparadas con la longitud de onda [7], en objetos metalicos de tamano menor o delorden que el camino libre medio de los electrones [8] y por lo general se puede despre-ciar, especialmente para longitudes de onda en el rango visible o mayores. Las relacionesconstitutivas de un medio lineal y espacialmente local son entonces

~D(~x, t) =

∫dt′[εEB(~x, t′) · ~E(~x, t− t′) + ξEB(~x, t′) · ~B(~x, t− t′)

](1.31)

~H(~x, t) =

∫dt′[ζEB(~x, t′) · ~E(~x, t− t′) + νEB(~x, t′) · ~B(~x, t− t′)

](1.32)

que tienen la forma de convoluciones entre los tensores constitutivos y los campos. Ycomo la transformada de Fourier de la convolucion de dos funciones es proporcional alproducto de las transformadas de Fourier de cada una de las funciones (la constante deproporcionalidad depende de la normalizacion especıfica empleada para definir la trans-formada de Fourier), entonces resulta muchısimo mas comodo y conveniente manejar lasrelaciones constitutivas de los medios lineales en el dominio de la frecuencia angular ω ydel vector de onda k, las variables de Fourier conjugadas a la coordenada temporal t y ala coordenada espacial ~x respectivamente. Vemos que para medios espacialmente locales,


solo la frecuencia angular ω resulta relevante. Una vez aclarado este punto, tomamos lastransformadas de Fourier temporales de las ecuaciones (1.31) y (1.32) para ası llegar a quelas relaciones constitutivas de un medio lineal y espacialmente local tienen la siguienteforma

~Dω(~x) =εEB(~x, ω) · ~Eω(~x) + ξEB(~x, ω) · ~Bω(~x) (1.33)

~Hω(~x) =ζEB(~x, ω) · ~Eω(~x) + νEB(~x, ω) · ~Bω(~x) (1.34)

con ~Eω(~x), ~Bω(~x), ~Dω(~x) y ~Hω(~x) las transformadas de Fourier temporales de los camposelectromagneticos y εEB(~x, ω), νEB(~x, ω), ξEB(~x, ω) y ζEB(~x, ω) proporcionales (a travesdel factor que corresponda en el teorema de convolucion) a las transformadas de Fou-rier temporales de los tensores constitutivos εEB(~x, t′), νEB(~x, t′), ξEB(~x, t′) y ζEB(~x, t′)respectivamente.

Por convencion escribiremos la dependencia temporal de cualquier cantidad F (~x, t) enterminos de su transformada de Fourier Fω(~x) de la siguiente manera

F (~x, t) =

∫ ∞−∞

Fω(~x) e−i ωtdω , (1.35)

es decir, con un factor −i en la exponencial y sin ningun factor 2π. Ası la trasformadase escribe como una integral con un factor +i en la exponencial y dividida por 2π yla constante que aparece en el teorema de convolucion vale 2π. Multiplicando ambosmiembros de las ecs. (1.33) y (1.34) por el factor e−i ωt queda claro que la relacion entrecampos “secundarios” y “primarios” se cumple punto a punto y en cada instante detiempo solamente en el dominio frecuencial y para medios espacialmente locales. Notarque en el dominio frecuencial las dependencias temporales son armonicas y debido a losfactores complejos los campos “primarios” y “secundarios” no estan necesariamente enfase.

La ecuaciones (1.33) y (1.34) (y todas las relaciones constitutivas dadas hasta ahora)

fueron escritas en terminos de ~E y ~B, para poner en evidencia el papel de estos camposcomo campos fundamentales o primitivos y el papel de ~D y ~H como campos derivadoso inducidos (representacion EB, o de Boys–Post). Por razones historicas, en la practicatambien se usan otras representaciones, como la de Tellegen

~Dω(~x) = εEH(~x, ω) · ~Eω(~x) + ξEH(~x, ω) · ~Hω(~x) (1.36)

~Bω(~x) = ζEH(~x, ω) · ~Eω(~x) + µEH(~x, ω) · ~Hω(~x) (1.37)

con nuevos tensores constitutivos εEH(~x, ω), µEH(~x, ω), ξEH(~x, ω) y ζEH(~x, ω) que sonlas transformadas de Fourier temporales de sus correspondientes tensores constitutivosTellegen εEH(~x, t), ξEH(~x, t), ζEH(~x, t) y µEH(~x, t) que pueden obtenerse en terminos delos tensores BP.

El medio material por excelencia que se trata en la inmensa mayorıa de textos deelectromagnetismo es el medio dielectrico lineal, aquiral e isotropo, en donde ~P es paralelo

1.7. LINEALIDAD Y SUPERPOSICION 13

a ~E y ~M es paralelo a ~B y en este caso las relaciones constitutivas toman la simple formaque se ve en Fısica 3

~Dω(~x) = ε(~x, ω) ~Eω(~x) (1.38)

~Bω(~x) = µ(~x, ω) ~Hω(~x) (1.39)

con ε la permitividad electrica y µ la permeabilidad electrica. Es claro que en el vacıoε = 1 y µ = 1 (en el sistema de unidades gaussiano que estamos usando ε y µ no

tienen unidades, ~E y ~D tienen las mismas unidades y tambien ~B y ~H tienen las mismasunidades). Si el medio es conductor, al medio conductor se le suele agregar la ley de Ohm

~J (cond)ω (~x) = σ(~x, ω) ~Eω(~x) (1.40)

con σ la conductividad electrica. Para medios isotropos pasivos con perdidas, y comoconsecuencia de la convencion de signos usada para la exponencial en la ec. (1.35), esposible probar mediante consideraciones energeticas que los parametros constitutivos ε yµ caen en el semiplano superior del plano complejo mientras que σ cae en el semiplanoderecho del plano complejo.

1.7. Linealidad y superposicion

Desde un punto de vista matematico, las ecuaciones de Maxwell en el vacıo son un sis-tema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden. En el vacıo formanun sistema lineal, en consecuencia los campos satisfacen el Principio de Superposicion.Si ~E1, ~B1 son los campos cuando las unicas fuentes son ρ1 y ~J1 y ~E2, ~B2 son los camposcuando las unicas fuentes son ρ2 y ~J2, entonces los campos en presencia simultanea de lasfuentes ρ1, ~J1, ρ2 y ~J2 son ~E1 + ~E2 y ~B1 + ~B2.

No puede afirmarse lo mismo para campos y fuentes libres en un medio material. Esto esası porque si bien las ecuaciones de Maxwell en un medio material aparentan formalmenteser un sistema lineal, para que valga el principio de superposicion es necesario que el mediose comporte linealmente, es decir que las ecuaciones constitutivas sean lineales.

De lo dicho anteriormente se desprende que si en una region del vacıo se cruzan loshaces provenientes de dos fuentes laser distintas, en dicha region se suman los camposelectromagneticos individuales, sin modificarse la propagacion de ambos haces (no habrıaefecto espada laser de Star Wars). Sin embargo, en Electrodinamica Cuantica se prediceun lımite a partir del cual el campo electromagnetico en el vacıo se comporta de manerano lineal. Esto sucede cuando la energıa combinada de dos fotones es capaz de crearmateria, como un par electron-positron. Este lımite, conocido como lımite de Schwinger ,corresponde a un valor de campo electrico

ES =m2ec

3

qe~' 1.32× 1018 V/m,ES =

m2ec

3

qe~' 1.32× 1018 V/m, (1.41)

donde me es la masa del electron, qe la carga elemental y ~ la constante de Planckreducida.


1.8. Modelo de Lorentz-Drude

Las caracterısticas fısicas esenciales de la densidad de polarizacion inducida en undielectrico lineal no magnetico se pueden predecir soprendentemente bien con un modelopropuesto en 1878 por el cientıfico holandes Hendrik Antoon Lorentz (Premio Nobelde Fısica 1902) . Este modelo postula que cada componente armonica de la radiacionincidente en la materia induce dipolos que oscilan a la misma frecuencia que los camposinductores. Si bien Lorentz no sabıa nada sobre electrones y nucleos, ya que estos recienfueron descubiertos durante los anos 1897 1911 por Thomson y Rutherford, estos dipolosinducidos tienen su origen en los desplazamientos relativos entre electron y nucleo.

Consideremos un material compuesto por N atomos por unidad de volumen. En au-sencia de campos externos, el electron de masa m y carga −e esta en su posicion deequilibrio de manera tal que la distribucion total de cargas tiene simetrıa esferica y enconsecuencia es nulo su momento dipolar. Cuando esta situacion es perturbada por loscampos de frecuencia ω y de baja intensidad (comparada con la energıa de ligadura delelectron al resto del atomo) aparece sobre el electron una fuerza elastica restitutiva yotra fuerza disipativa que tiene en cuenta la transferencia de energıa entre el electron yotros grados de libertad (no especificados) del material. La ecuacion de movimiento deeste electron en presencia de campos externos es

md2~x

dt2= −mνd~x

dt−mω2

0~x+ ~Fωe−i ωt ,

donde ~Fω es la fuerza ejercida sobre el electron por los campos externos ~Eωe−i ωt y ~Bωe−i ωt

~Fω = −e( ~Eω +~v

c× ~Bω) , ~v =

d~x

dt

Un tratamiento mas detallista deberıa modificar ~Fω para incluir los campos efectivos per-cibidos por el electron debido los campos de atomos vecinos (efecto menos importantecuanto menos denso sea el material, en gases por ejemplo). Tambien serıa interesante po-der explicitar los valores de ω0 y ν, un camino que nos llevarıa a incluir la masa efectiva delsistema electron-nucleo y la constante elastica de la fuerza restauradora experimentadapara pequenos desplazamientos. Pero para entender los mecanismos basicos del compor-tamiento de la materia en presencia de campos electromagneticos tantos detalles no sonnecesarios y tomaremos este modelo como un modelo “de juguete”, con parametros feno-menologicos (ω0, ν, campos efectivos, etc.) que seran ajustados para que coincidan con

las respuestas medidas. Como | ~B| ≈ | ~E| y el movimiento del electron ligado es no relati-vista, |~v|/c 1, despreciamos la parte magnetica en la fuerza de Lorentz y la ecuacionde movimiento queda

d2~x

dt2+ ν

d~x

dt+ ω2

0~x = − e

m~Eω e−i ωt . (1.42)

La solucion estacionaria es ~xωe−i ωt, con

~xω = − e

m

~Eωω2

0 − ω2 − iνω.

1.8. MODELO DE LORENTZ-DRUDE 15

El factor de proporcionalidad complejo entre ~xω y ~Eω indica que el momento dipolaratomico ~pωe−i ωt = −e~xωe−i ωt esta en general desfasado del campo inductor. Si el electronconsiderado en la ec. (1.42) fuese el unico electron perturbado, el momento dipolar atomicodarıa una polarizacion por unidad de volumen

~Pω = N~pω = Ne2

m

~Eωω2

0 − ω2 − iνω= χ(ω) ~Eω , (1.43)

con χ(ω) la susceptibilidad electrica. En cambio, si el atomo tiene Z electrones que pue-den ser perturbados por los campos inductores y estos Z electrones no tienen todos lasmismas fuerzas elasticas y disipativas, sino que los fj de la clase j tienen parametrosfenomenologicos ωj, νj, con

∑j fj = Z, entonces la contribucion de todos ellos a la

polarizacion por unidad de volumen es

~Pω = Ne2

m

∑j

fj ~Eωω2j − ω2 − iνjω

= χ(ω) ~Eω , (1.44)

con χ(ω)

χ(ω) = Ne2

m

∑j

fjω2j − ω2 − iνjω

. (1.45)

La permitividad electrica ε(ω)

ε(ω) = 1 + 4πχ(ω) = 1 + 4πNe2

m

∑j

fjω2j − ω2 − iνjω

, (1.46)

tambien es compleja, ε(ω) = εR(ω) + iεI(ω), indicando un desfasaje entre ~Dω = ε(ω) ~Eωy ~Eω. Cuando el problema se resuelve en el marco de la mecanica cuantica, tambien seobtiene el resultado 1.46, pero reinterpretando las cantidades fj, ωj y νj.

1.8.1. Dispersion anomala y absorcion resonante

Para la gran mayorıa de los dielectricos las constantes de amortiguamiento νj sonmucho menores que las frecuencias de resonancia ωj, segun 1.46. Luego, para frecuenciasalejadas de las frecuencias de resonancia, ε resulta real y su parte imaginaria solo cobraimportancia en regiones ω ≈ ωj. Para estudiar el comportamiento de ε(ω) notamos que

fjω2j − ω2

=

> 0 ω < ωj,

< 0 ω > ωj.

Para frecuencias menores que la menor frecuencia de resonancia todos los terminos enla sumatoria de 1.46 son positivos y ε(ω) > 1. Aumentando la frecuencia, cada vez que


ω supera un valor ωj cambia de signo el termino j-esimo y cuando la frecuencia superaa la mayor frecuencia de resonancia, la sumatoria en 1.46 es negativa y entonces resultaε(ω) < 1. Cuando ω → ωj el termino j-esimo se hace puramente imaginario y aparecencambios bruscos. En la figura 1.2 se ejemplifica el comportamiento de ε(ω) para el casoZ = 2, f1 = f2 = 1, ω1 = 2 1012 s−1, ω2 = 4 1012 s−1, ν1 = .2 1012 s−1, ν2 = .04 1012 s−1 yA = 4πNe2/m = 2 10−12 s.

Figura 1.2: ε(ω) calculado con la expresion (1.46), parametros Z = 2, f1 = f2 = 1, ω1 = 2 1012 s−1,

ω2 = 4 1012 s−1, ν1 = .2 1012 s−1, ν2 = .04 1012 s−1 y A = 4πNe2/m = 2 10−12 s.

Las zonas en que ε(ω) es una funcion creciente se llaman de dispersion normal mientrasque las zonas en que ε(ω) es una funcion decreciente se llaman de dispersion anomala.Vemos que: i) siempre hay dispersion normal, excepto en las proximidades de una re-sonancia; y ii) εI es apreciablemente distinto de cero solamente cuando hay dispersionanomala. Veremos que si εI > 0 los campos entregan energıa al medio, por eso la zona dedispersion anomala tambien se conoce como zona de absorcion resonante.

1.8.2. Comportamiento a bajas frecuencias

El comportamiento del medio en el lımite estatico depende fuertemente de la existenciao no de electrones libres. Si el material es un dielectrico no conductor, no hay electroneslibres y la menor frecuencia de resonancia es distinta de cero. En este caso el lımite de laexpresion 1.45 cuando ω → 0 coincide con el valor de la susceptibilidad electrica calculadaen el caso estatico. En cambio si el medio es conductor, la menor frecuencia de resonanciaes nula y tanto la susceptibilidad como la permitividad electrica son singulares cuandoω → 0. Para entender este comportamiento supongamos que hay f0 electrones con ω0 = 0y separemos el termino singular de la sumatoria en 1.46

ε(ω) = εb(ω) + i4πNe2f0

mω(ν0 − iω), (1.47)

con εb(ω), la contribucion de todos los dipolos relacionados con electrones ligados, nosingular cuando ω → 0. En medios lineales conductores y para campos armonicos se

1.8. MODELO DE LORENTZ-DRUDE 17

cumple la ley de Ohm ~J = σ ~E y entonces la ley de Ampere-Maxwell queda

~∇× ~Hω =4π

c~J +

1

c

∂ ~Dω

∂ t=

4π

cσ ~Eω − i

ω

cεb ~Eω = −iω

c(εb + i

4πσ

ω)︸︷︷︸

ε(ω)

~Eω . (1.48)

Si en vez de separar las contribuciones de los electrones libres (σ) y ligados (εb) atri-buimos todas las propiedades de polarizacion a la permitividad electrica ε se otendrıauna expresion identica, excepto que el termino entre parentesis serıa reemplazado por ε.Comparando con 1.47 llegamos a la siguiente identificacion

4πσ

ω=

4πNe2f0

mω(ν0 − iω),

es decir

σ =Ne2f0

m(ν0 − iω). (1.49)

Este resultado fue obtenido por Drude (1900). Nf0 es el numero de electrones libres porunidad de volumen. Para el cobre Nf0 ≈ 1028 y ν0 ≈ 4 1013s−1. Esto quiere decir que paraeste material (y tıpicamente para todos los metales) la conductividad a bajas frecuenciases esencialmente real e independiente de la frecuencia, con la corriente en fase con elcampo. Este comportamiento se observa hasta mas alla de las microondas, ω ≈ 1011 s−1.A mayores frecuencias la conductividad es compleja y varıa con ω de la forma indicadapor 1.49.

1.8.3. σ versus ε

El lado derecho de la ecuacion (1.48) muestra que para medios lineales todas las contri-buciones a la densidad de corriente no asociadas con fuentes externas vienen representadaspor un termino proporcional a la transformada de Fourier temporal del campo electrico~Eω(~x). Tambien muestra que la corriente de desplazamiento y la corriente provenientede la ley de Ohm y producida por los portadores tienen formalmente la misma categorıaporque ambas estan incluidas en la cantidad

ε(~x, ω) = εb(~x, ω) +i 4π σ(~x, ω)

ω, (1.50)

que entonces juega el papel de una constante dielectrica o permitividad efectiva a la que sele pueden atribuir todas las propiedades constitutivas del medio conductor. En frecuenciasaltas, la distincion entre conductores y aislantes es artificial y las propiedades constitutivasdel medio pueden representarse con una permitividad electrica compleja ε(ω) o con unapermitividad electrica compleja εb(ω) y una conductividad compleja σ(ω). La constantedielectrica efectiva no distingue entre corrientes de conduccion y de polarizacion, lo cual


refleja el hecho fısico de que para campos oscilantes no existe diferencia fundamentalentre conductores y dielectricos. Esto es ası porque en un movimiento oscilatorio todas lascargas estan localizadas, la separacion entre corriente libre y de conduccion es imposibley la unica combinacion que tiene sentido es la suma de ambas. Justamente la segundacontabilidad se basa en nunca considerar corrientes libres en un conductor y usar comoconstante dielectrica la constante efectiva, como se hizo en el modelo de Lorentz. Hay quetener cuidado porque es comun usar el mismo sımbolo ε(~x, ω) tanto para el parametroconstitutivo asociado solamente con cargas de polarizacion ligadas como para la constanteefectiva representada por la ec. (1.50). Para no equivocarse hay que recordar que se tratade dos maneras de hacer contabilidad y que ambas maneras difieren en como se trata elmovimiento de los portadores de cargas.

1.8.4. Comportamiento a altas frecuencias

Para frecuencias mucho mayores que la maxima frecuencia de resonancia la permitivi-dad electrica 1.46 toma la forma

ε = 1−ω2p

ω2, (1.51)

con ωp la frecuencia del plasma

ω2p =

4πNZe2

m, (1.52)

que depende del numero NZ de electrones por unidad de volumen. En medios con pre-dominio de electrones libres y baja disipacion (todos los ωj y los νj cero) 1.51 vale en ungran rango de frecuencias, incluyendo ω < ωp. Es el caso de la ionosfera o de plasmaspoco densos. Para ω < ωp, ε < 0, mientras que para ω > ωp, ε > 0.

La alta reflectividad de los metales a frecuencias opticas y aun mayores se debe a uncomportamiento similar al del plasma poco denso. La permitividad electrica del metalviene dada por 1.47, que para frecuencias ω ν0 se puede aproximar por

ε(ω) = εb(ω)−ω2p

ω2, (1.53)

con ωp ahora la frecuencia de plasma asociada con los electrones de conduccion.

1.9. Causalidad y dispersion

Pasemos la sencilla ec. (1.38) al dominio temporal. Primero multiplicamos miembroa miembro por e−i ωt e integramos temporalmente entre −∞ e ∞. Segun (1.35), el lado

1.9. CAUSALIDAD Y DISPERSION 19

izquierdo resulta ~D(~x, t). Del lado derecho escribimos ε(~x, ω), producto del factor 2π queviene de la convolucion por la transformada de ε(~x, t′), como

ε(~x, ω) =

∫ ∞−∞

ε(~x, t′) ei ωt′dt′ , (1.54)

invertimos el orden de integracion e integramos primero en ω. Ası resulta

~D(~x, t) =

∫ ∞−∞

ε(~x, t′) ~E(~x, t− t′) dt′ . (1.55)

Cuando se pasa la ec. (1.39) del dominio frecuencial al temporal, se obtiene un resultadoanalogo

~B(~x, t) =

∫ ∞−∞

µ(~x, t′) ~H(~x, t− t′) dt′ . (1.56)

Las expresiones (1.55) y (1.56) enfatizan que las sencillas relaciones constitutivas repre-sentadas por las ecs. (1.38) y (1.39) no son validas instante a instante, independientementede la dependencia temporal involucrada, sino que solamente son validas en el dominiofrecuencial. Y esto es ası porque mas alla de las leyes de la electrodinamica, en cualquiersistema lineal y causal la relacion entre una magnitud fısica considerada causa C(t) y otramagnitud fısica considerada efecto E(t) se escribe siempre en la forma

E(t) =

∫ ∞−∞

G(t, t′) C(t′) dt′ , (1.57)

con G la funcion de transferencia. Si ademas el sistema es temporalmente invariante, Gno depende del origen temporal, G(t, t′) = G(t− t′) y entonces

E(t) =

∫ ∞−∞

G(t− t′) C(t′) dt′ =

∫ ∞−∞

G(τ) C(t− τ) dτ , (1.58)

que tiene la forma de las convoluciones de las eqs. (1.31) y (1.32). Observemos que en laseqs. (1.31) y (1.32) ya estaba incluida la hipotesis de medios temporalmente invariantes:implıcitamente habıamos supuesto que las propiedades del medio eran independientes deltiempo.

Vemos que expresiones como (1.55) y (1.56) son manifestaciones de la causalidad: en la

representacion que estamos usando, ~E(~x, t) es la causa para el efecto ~D(~x, t), con funcion

de transferencia ε(~x, τ) Analogamente, ~H(~x, t) es la causa (al menos matematicamente

hablando, fısicamente es al reves) para el efecto ~B(~x, t), con funcion de transferenciaµ(~x, τ). Es interesante notar que ε(~x, ω) y µ(~x, ω), proporcionales a las transformadasde Fourier de las funciones de transferencia ε(~x, τ) y µ(~x, τ), son tambien funciones detransferencia en el dominio frecuencial, ya que, segun (1.38) y (1.39), representan elcociente entre efecto y causa. Esta es una consecuencia general de la relacion causal(1.58), que implica que e(ω) = g(ω) c(ω), con c(ω) la transformada de Fourier de la


causa, e(ω) la transformada de Fourier del efecto y g(ω) 2π veces la transformada deFourier de la funcion de transferencia G(τ).

Si una relacion es causal, no puede haber efecto anterior a la causa, luego

G(τ) ≡ 0 para τ < 0, (1.59)

condicion que permite escribir g(ω) como

g(ω) =

∫ ∞−∞

G(τ) eiωτ dτ =

∫ ∞0

G(τ) eiωτ dτ . (1.60)

Por ser ε(~x, τ) y µ(~x, τ) funciones de transferencia

ε(~x, τ) ≡ 0, µ(~x, τ) ≡ 0, τ < 0 . (1.61)

Este comportamiento de toda funcion de transferencia de un sistema causal impone rela-ciones bastante inesperadas entre la parte real e imaginaria de la correspondiente funcionde transferencia en el espacio frecuencial. Por ejemplo, veremos que para el sistema des-cripto por las ecs. (1.38) y (1.39), este comportamiento impone la soprendente conclusionde que si se mide la parte real de ε(~x, ω), es innecesario medir su parte imaginaria yviceversa. Y lo mismo ocurre para la parte real e imaginaria de µ(~x, ω).

Si una funcion C(t) (causa o efecto) describe una magnitud fısica real, C(t) = C∗(t) yentonces su transformada de Fourier c(ω) satisface

c(ω) = c∗(−ω) . (1.62)

Esta propiedad permite representar magnitudes reales de manera sencilla sin invocarfrecuencias negativas de la siguiente manera

C(t) =

∫ 0

−∞c(ω) e−iωt dω +

∫ ∞0

c(ω) e−iωt dω

=

∫ ∞0

c(−ω′) eiω′t dω′ +∫ ∞

0

c(ω) e−iωt dω

=

∫ ∞0

[c(ω) e−iωt + c∗(ω) eiωt

]dω . (1.63)

Escribiendo la funcion compleja c(ω) = r(ω) como “modulo por e a la i fase”

c(ω) = r(ω) eiθ(ω) ,

entonces

C(t) =

∫ ∞0

r(ω)

[eiθ(ω) e−iωt + e−iθ(ω) eiωt

]dω =

∫ ∞0

r(ω) cos[θ(ω)− ωt] dω , (1.64)

una expresion que si bien no invoca frecuencias negativas, exige desempaquetar la ampli-tud compleja c(ω) en dos magnitudes reales, la amplitud r(ω) y la fase θ(ω).

1.10. EXTENSION ANALITICA A FRECUENCIAS COMPLEJAS 21

1.10. Extension analıtica a frecuencias complejas

La relacion de causalidad (1.59) permite extender al plano complejo la funcion g(ω),hasta este momento definida solamente para valores reales de ω a traves de la relacion(1.60). Para verlo, notemos que para valores complejos de ω = ωR + iωI , la funciong(ωR + iωI)

g(ωR + iωI) =

∫ ∞−∞

G(τ) eiωRτ e−ωIτ dτ ,

existe y esta bien definida en todo el semiplano superior ωR > 0, pues teniendo en cuentaque τ > 0, esta integral converge debido a que converge (1.60). Con esta definicion, larelacion de causalidad tambien asegura la existencia de la derivada de g(ωR + iωI) entodo el semiplano superior

dg

dω=

∫ ∞−∞

eiωRτ G(τ) iτ e−ωIτ dτ ,

pues aunque el integrando esta multiplicado por iτ , la exponencial real tiende a ceromucho mas rapidamente que cualquier potencia de τ . La conclusion es que tanto la funciong(ωR+ iωI) como su derivada existen y estan bien definidas en todo el semiplano superiorωR > 0, en consecuencia g(ω) es analıtica en este semiplano. En otras palabras, si unsistema es lineal, temporalmente invariante y causal, entonces la transformada de Fourierg(ω) de la funcion G(τ), definida originalmente solo para valores reales de la variable ω,es el valor de contorno sobre el eje real de una funcion g, de variable compleja ω y sinsingularidades (analıtica) en todo el semiplano superior.

La causalidad impone fuertes restricciones a las funciones de transferencia y en conse-cuencia, a todos los parametros constitutivos de un medio lineal, independientemente delfenomeno fısico que se trate. Si nuestro modelo es correcto, tiene que satisfacer estas res-tricciones. Consideremos la susceptibilidad electrica χ(ω) del modelo de Lorentz-Drude,eq. (1.45). Es evidente que las singularidades de χ(ω) satisfacen ω2 + iνjω − ω2

j = 0, esdecir que toman los valores

ω = −iνj2±√ω2j − (

νj2

)2 ,

expresion que comprueba que las singularidades de χ(ω) estan efectivamente en el semi-plano inferior.

G(t) para Lorentz–Drude (a completar).

1.11. Relaciones de Kramers-Kronig

Consideremos la siguiente integral en un contorno C del plano complejo∮C

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′,


donde el contorno C esta formado por: C1) una recta sobre el eje real desde −∞ hastaω− ε, con ε→ 0; C2) una semicircunferencia de radio ε con centro en ω que penetra en elsemiplano superior; C3) de nuevo el eje real desde ω+ ε hasta∞ y C4) una circunferenciade radio R→∞ que finalmente encierra el semiplano superior. Supongamos que g(ω) notiene singularidades sobre el eje real, tal como es el caso de la susceptibilidad electrica χ(ω)dada por la expresion 1.45 para materiales sin electrones libres, aunque el tratamiento queveremos a continuacion puede luego tambien extenderse a este caso. Con esta hipotesis,el integrando g(ω

′)/(ω

′ − ω ) no tiene singularidades ni en en el contorno C ni en suinterior. Entonces, segun el teorema de Cauchy-Goursat, la integral debe ser nula∮

C

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′=

∫C1

+

∫C2

+

∫C3

+

∫C4

= 0 .

Para la susceptibilidad electrica χ(ω) (ec. 1.45) de materiales sin electrones libres laintegral sobre C4 tiende a cero cuando R→∞, pues g(ω)→ 1/R2 y entonces la integrales del orden de 2πR/R3. En otros sistemas para los cuales la integral sobre C4 no tiendea cero cuando R → ∞, existe un procedimiento alternativo llamado substraccion quepermite llegar a resultados similares a los que veremos a continuacion. Con esta nuevahipotesis, y teniendo en cuenta que la suma de las integrales sobre C1 y C3 tiende al valorprincipal de Cauchy

lım

ε→ 0

∫ ω−ε

−∞

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′+

lım

ε→ 0

∫ ∞ω+ε

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′= P

∫ ∞−∞

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′,

tenemos que

P

∫ ∞−∞

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′+

lım

ε→ 0

∫C2

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′= 0 .

Sobre C2 se puede hacer la siguiente parametrizacion

ω′ − ω = ε ei φ , con φ desde π hasta 0 ,

con lo cual dω′= iε ei φ dφ y la integral sobre C2 resulta −iπg(ω). Finalmente, resulta

P

∫ ∞−∞

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′ − iπg(ω) = 0 ,

y entonces

g(ω) =1

iπP

∫ ∞−∞

g(ω′)

ω ′ − ωdω

′. (1.65)

Esta es una expresion para g(ω) en terminos de una integral que tambien contiene a g(ω).Lo mas interesante para nosotros es la existencia del factor 1/i, que muestra la ıntimarelacion que existe entre la parte real e imaginaria de g(ω) = gR(ω) + igI(ω)

gR(ω) =1

πP

∫ ∞−∞

gI(ω′)

ω ′ − ωdω

′, (1.66)

1.11. RELACIONES DE KRAMERS-KRONIG 23

gI(ω) = − 1

πP

∫ ∞−∞

gR(ω′)

ω ′ − ωdω

′. (1.67)

Para causa C(t) y efecto E(t) reales, c(ω) = c∗(−ω), e(ω) = e∗(−ω), luego g(ω) =e(ω)/c(ω) satisface g(ω) = g∗(−ω) y entonces su parte real gR(ω) es una funcion par ysu parte imaginaria gI(ω) es una funcion impar. En este caso las expresiones anterioresse reescriben exclusivamente en terminos de frecuencias positivas

gR(ω) =2

πP

∫ ∞0

ω′gI(ω

′)

ω ′2 − ω2dω

′, (1.68)

gI(ω) = −2ω

πP

∫ ∞0

gR(ω′)

ω ′2 − ω2dω

′. (1.69)

Estas relaciones de dispersion fueron encontradas independientemente por H. A. Kramersen 1927 y por R. Kronig en 1926 para la permitividad electrica ε(ω), pero como hemosvisto son aplicables a cualquier funcion de transferencia g(ω) representativa de un pro-ceso fısico lineal, temporalmente invariante y causal. Para reproducir los resultados deKramers-Kronig, identificamos la susceptibilidad electrica χ(ω) con g(ω) y usando que

χ =ε− 1

4π=εR − 1

4π+ i

εI4π

,

llegamos a

εR(ω)− 1 =2

πP

∫ ∞0

x εI(x)

x2 − ω2dx , (1.70)

εI(ω) = −2ω

πP

∫ ∞0

εR(x)− 1

x2 − ω2dx . (1.71)

Las relaciones de Kramers-Kronig muestran que no puede existir un medio dispersivo conparametro constitutivo ε(ω) puramente real, es decir que si el medio es dispersivo debeser εI(ω) 6= 0 (la parte imaginaria de los parametros constitutivos esta relacionada con laabsorcion, como se vera en los balances energeticos). Esto es ası porque si εI(ω) = 0, dela eq. (1.70) se obtiene que εR(ω) = 1 para todas las frecuencias. Analogamente, si haydispersion en algun rango de frecuencias, debe ser εI(ω) 6= 0, es decir, tiene que haberabsorcion, por lo general en otro rango de frecuencias.

Para obtener las relaciones de Kramers-Kronig 1.70-1.71 y las mas generales que sededucen de 1.65 se hizo la hipotesis que la integral sobre C4 en 1.65 tiende a cero cuandoR→∞. Supongamos que esto no se cumple y que en cambio g(ω) tiende a una constanteg0 cuando |ω| → ∞. Esta situacion se puede tratar facilmente desarrollando relacionescomo 1.65 para la funcion g(ω) − g0, que sigue siendo analıtica en todo el semiplanosuperior, pero que ahora tiende a cero cuando |ω| → ∞. Puede suceder que este procesode substraccion tenga que ser aplicado varias veces, por ejemplo, si cuando |ω| → ∞, g(ω)tiende a una funcion lineal g0 + g1ω, entonces las ecuaciones del tipo 1.65 se aplican ala funcion g(ω)− g0 − g1ω. Desde este punto de vista, las relaciones de Kramers-Kronig1.70-1.71 son relaciones substraıdas una vez, pues se aplico 1.65 para (ε− 1).


1.12. Fuentes libres e inducidas

Ademas de la ecuacion de continuidad (1.9) obtenida para las fuentes totales, es po-

sible obtener tambien una ecuacion de continuidad para las fuentes libres ~JL y ρL queintervienen en las ecuaciones de Maxwell macroscopicas. Para esto tomamos divergenciaen la ec. (1.11) usando la ec. (1.13) resulta

~∇ · ~JL +∂ρL∂ t

= 0 , (1.72)

de donde concluimos que las fuentes ligadas ρa = ρT − ρL y ~Ja = ~JT − ~JL tambiensatisfacen una ecuacion de continuidad. El subındice a (a de atomico) para las fuentesligadas recuerda que se trata de fuentes que provienen de la naturaleza atomica de lamateria.

Aplicando divergencia en la definicion (1.14) del campo inducido ~D y rotor en la defi-

nicion (1.15) del campo inducido ~H se obtiene que las fuentes ligadas vienen dadas porlas siguientes expresiones

ρa = −~∇ · ~P (1.73)

~Ja = c ~∇× ~M +∂ ~P

∂t. (1.74)

1.13. Respuesta no lineal

Cuando los materiales se comportan linealmente su respuesta no depende de la intensi-dad de los campos inductores. En cambio, ciertos materiales naturales tienen respuestasque, aun para campos relativamente debiles, dependen de la intensidad de los campos.En estos casos, la densidad de polarizacion ~P se divide en la suma de una parte lineal ~PLque se trata como las respuestas lineales de la seccion anterior, mas otra parte no lineal~PNL.

Para ejemplificar el tratamiento de ~PNL, por simplicidad suponemos aquı localidad es-pacial y que la densidad de polarizacion inducida solamente depende del campo electrico.Escribiendo ~PNL como una serie de potencias de los campos

~PNL(~x, t) = ~P(2)NL(~x, t) + ~P

(3)NL(~x, t) + · · · , (1.75)

donde cada termino ~P(m)NL (~x, t) depende de potencias m−esimas de los campos, resulta

~PNL(~x, t) =

∫∫χ

(2)E (~x, t1, t2) · ~E(~x, t− t1) ~E(~x, t− t2) dt1 dt2

+

∫∫∫χ

(3)E (~x, t1, t2, t3) · ~E(~x, t− t1) ~E(~x, t− t2) ~E(~x, t− t3) dt1 dt2 dt3 + · · · (1.76)

1.13. RESPUESTA NO LINEAL 25

donde χ(2)E (~x, t1, t2) y χ

(3)E (~x, t1, t2, t3) se conocen respectivamente como susceptibilida-

des lineales de segundo y tercer orden. Si bien la transformada de Fourier evitaba laconvolucion temporal para la parte lineal ~PL, ahora no simplifica el tratamiento de laspolarizaciones de orden mayor. Esto es ası porque cada integrando ~E(~x, t− t′) en (1.76)

es una integral de Fourier de la forma (1.35). Entonces, el termino cuadratico ~P(2)NL(~x, t)

en la eq. (1.76) se escribe

~P(2)NL(~x, t) =

∫∫χ

(2)E (~x, t1, t2) ·

∫~Eω1(~x)e−i ω1(t−t1)dω1

∫~Eω2(~x)e−i ω2(t−t2)dω2 dt1dt2 . (1.77)

Integrando primero sobre las variables dt1 y dt2 y tomando la transformada de Fouriertemporal de la funcion resultante, se obtiene una expresion para la componente armonicade ~P

(2)NL(~x, t)

~P(2)NLω=

∫∫χ

(2)E (~x, ω;ω1, ω2) · ~Eω1(~x) ~Eω2(~x) dω1dω2 , (1.78)

donde el tensor χ(2)E (~x, ω;ω1, ω2) que multiplica a la dıada ~Eω1

~Eω2 es

χ(2)E (~x, ω;ω1, ω2) = χ

(2)E (~x, ω1, ω2) δ(ω − ω1 − ω2) (1.79)

con

χ(2)E (~x, ω1, ω2) =

∫∫χ

(2)E (~x, t1, t2) ei (ω

′t1+ω′′t2) dω1dω2 . (1.80)

Un tratamiento similar se aplica a los siguientes terminos de la serie (1.75) y la transfor-

mada de Fourier de ~PNL queda

~PNLω = ~P(2)NLω + ~P

(3)NLω + ~P

(4)NLω + · · · . (1.81)

La transformada del termino cubico con los campos ~P(3)NL(~x, t) resulta

~P(3)NLω=

∫∫ ∫χ

(3)E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) · ~Eω1(~x) ~Eω2(~x) ~Eω3(~x) dω1dω2dω3 , (1.82)

donde el tensor tridimensional χ(3)E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) que multiplica a la trıada ~Eω1

~Eω2~Eω3

es

χ(3)E (~x, ω;ω1, ω2, ω3) = χ

(3)E (~x, ω1, ω2, ω3) δ(ω − ω1 − ω2 − ω3) (1.83)

con

χ(3)E (~x, ω1, ω2, ω3) =

∫∫χ

(3)E (~x, t1, t2, t3) ei (ω1t1+ω2t2+ω3t3) dω1dω2dω3 . (1.84)

La polarizacion nolineal de segundo orden definida en la eq. (1.78) causa diversos fenome-nos de mezclado de campos variables con distinta frecuencia tales como la rectificacionoptica (generacion de campos quasi-estaticos a una frecuencia que es la diferencia entre


las frecuencias de dos campos con frecuencias muy similares, χ(2)E (~x, ω ≈ 0;ω1, ω2 ≈ −ω1)

es la susceptibilidad relevante), generacion de segunda armonica (generacion de campos a

una frecuencia doble, χ(2)E (~x, ω = 2ω1;ω1, ω1) es la susceptibilidad relevante), o generacion

de suma y diferencia (se obtienen campos con una frecuencia igual a la suma o a la dife-

rencia de la frecuencia de los campos de entrada, intervienen χ(2)E (~x, ω = ω1±ω2;ω1,±ω2)

es la susceptibilidad relevante).

No es casual que las primeras observaciones sistematicas de fenomenos no linealeshayan sido desencadenadas por la construccion de los primeros laseres. El fenomeno degeneracion de segundo armonico optico, por ejemplo, fue observado en 1961 cuando seobtuvo luz verde al exponer una muestra de cuarzo a la luz infrarroja proveniente de unlaser de rubı (el primer laser, fabricado en mayo de 1961, era de rubı).

1.14. Propiedades mecanicas de los campos

El concepto de campo, entendido como una funcion de las coordenadas espaciales y deltiempo, aparece en muchas ramas de la fısica y si bien puede resultar conveniente, por logeneral no siempre es imprescindible para interpretar los diversos fenomenos. Es lo quesucede en electrostatica y en magetostatica, donde la division de la ley de Coulomb enla suma de dos esquemas, “carga produce campo” mas“campo actua sobre otra carga”,no es necesario desde el punto de vista conceptual. Lo mismo es aplicable a la divisionde la ley de Ampere en la suma de esquemas “corriente estacionaria produce campo”mas “campo actua sobre corriente”, esta division no es conceptualmente necesaria. Enelectrodinamica, en cambio, el concepto de campo se puede interpretar teoricamente comouna consecuencia necesaria para preservar las leyes de conservacion en sistemas mecanicosde partıculas cargadas. Y esta es otra buena razon para zambullirnos en la parte dinamicadesde un principio, sin pasar antes obligatoriamente por la parte estatica. Veremos acontinuacion que los campos en cada region del espacio tienen asociadas propiedadesmecanicas que pueden ser intercambiadas con el entorno y que esto da lugar a “principios”de conservacion (o balances) para magnitudes como la energıa, la cantidad de movimientoo el impulso angular de sistemas combinados de campos y partıculas cargadas.

1.14.1. Conservacion local

Los principios de conservacion para cualquier magnitud fısica deben ser locales, esdecir, tienen que valer en cualquier region, por pequena que sea. Por ejemplo, cuandodecimos que la carga electrica neta se conserva, en realidad queremos decir que si aumenta(disminuye) la carga neta en un volumen V esto se debe a que hay un flujo de corriente queentra (sale) por las paredes que rodean a V y esto nos lleva a la ecuacion de continuidad(1.9). Esta ecuacion tiene dos terminos porque no hay fuentes o sumideros de carga, perosi los hubiera deberıamos incluir en el balance un tercer termino que justamente describa

1.14. PROPIEDADES MECANICAS DE LOS CAMPOS 27

cuanta carga se crea o se destruye en cada punto debido a estas hipoteticas fuentes osumideros. Si el aumento de carga (∂ρ

∂ t> 0) es mayor que el flujo entrante a traves de las

superficies lımites (−~∇ · ~J) entonces en la region hay fuentes y en vez de igualar a cerola ecuacion anterior, hay que igualarla a una cantidad positiva que represente la cargaaportada por estas fuentes.

Dicho esto, pensemos ahora que hacemos un balance de energıa electromagnetica en unsistema de partıculas cargadas. Si la energıa electromagnetica se conservara por sı sola,entonces esperarıamos que hubiera una ecuacion de conservacion de la misma forma quela que acabamos de ver para las cargas, por ejemplo

∂u

∂ t+ ~∇ · ~S = 0 , (1.85)

donde ∂u/∂ t serıa la variacion temporal de energıa electromagnetica por unidad de vo-

lumen y ~∇ · ~S serıa el flujo de energıa electromagnetica por unidad de tiempo saliente atraves de las superficies lımites. Pero en fısica sabemos que la energıa se transforma y enestas transformaciones lo que se tiene que conservar es la energıa total, no solamente laenergıa electromagnetica. De esta manera, esperamos que en la ec. (1.85) haya un tercertermino que justamente tenga en cuenta estas transformaciones, que deben ser vistas comosumideros o fuentes de energıa electromagnetica. En un sistema con campos y partıculascargadas la unica manera en que se podrıa gastar la energıa electromagnetica serıa inter-actuando sobre las partıculas, es decir realizando trabajo sobre el sistema de partıculascargadas. Entonces esperamos que el principio de conservacion (o mas adecuadamente, elbalance) de energıa electromagnetica se exprese de la siguiente manera

−∂u∂ t

= W + ~∇ · ~S , (1.86)

donde W es el trabajo por unidad de tiempo y por unidad de volumen efectuado por loscampos sobre las cargas. Esta ecuacion nos dice que la disminucion de energıa electro-magnetica por unidad de tiempo y por unidad de volumen (−∂u

∂ t) se debe a dos cosas: i) a

un flujo de potencia electromagnetica (energıa por unidad de tiempo) saliente a traves de

las superficies lımites (~∇ · ~S); y ii) a que los campos gastan su energıa en realizar trabajosobre las cargas.

Las consideraciones hechas para el balance de energıa siguen siendo validas para elbalance de otras cantidades mecanicas en cualquier sistema de campos y partıculas car-gadas. Por ejemplo, si la componente x de la cantidad de movimiento asociada con loscampos se conservara, en vez de u en (1.85) tendrıamos px, la densidad de momento lineal

electromagnetico por unidad de volumen, y en vez de ~S en (1.85), tendrıamos otro vectorpara representar el flujo de la componente x de momento lineal electromagnetico que porunidad de tiempo y por unidad de superficie sale de la region que estamos considerando.Pero si los campos gastan su momento lineal x en hacer fuerza sobre las partıculas, enton-ces no siempre podremos atribuir una disminucion de px a un flujo de momento saliente,sino que habra que admitir que puede haber fuentes o sumideros de px, asociados con


dichas fuerzas. Como el momento lineal es un vector, esperamos encontrar tres vectoresde flujo, uno para cada componente, lo que equivale a decir que esperamos un balancecomo en la ec. (1.86), pero con un tensor de flujo, en vez de un vector.

A la ec. (1.85), obtenida a partir de argumentos fısicos muy amplios, le falta el ingre-diente electrodinamico. Este ingrediente es la ley de fuerzas de Lorentz, que dice que lapotencia (trabajo por unidad de tiempo) transferida por los campos ~E y ~B a una carga

que se mueve con velocidad ~v es q~v · ~E y que la potencia por unidad de volumen transferidapor los campos a una distribucion continua de cargas y corrientes es ~J · ~E, que representauna disminucion de energıa electromagnetica convertida en otras formas de energıa, comomecanica o termica. Notar que el termino magnetico de la fuerza de Lorentz, perpendicu-lar a la velocidad, no contribuye en esta transferencia de potencia. Con este ingredienteelectromagnetico, esperamos entonces que el balance de energıa electromagnetica tengala forma

−∂u∂ t

= ~J · ~E + ~∇ · ~S . (1.87)

Si bien los campos fueron postulados para explicar las fuerzas de Coulomb y de Am-pere, las ecuaciones de Maxwell que gobiernan el comportamiento de los campos no daninformacion explıcita sobre las fuerzas o la energıa del sistema, A continuacion vamos ahacer teorıa con algunos ingrediente importantes de especulacion para ver si es posibleencontrar expresiones adecuadas para u y ~S. Como todo proceso especulativo en fısica,los resultados quedaran sometidos a la validacion experimental.

1.14.2. Energıa, teorema de Poynting

Para explicitar la cantidad ~J · ~E que nos brinda conexion entre nuestras especulacionesteoricas y las ecuaciones de Maxwell macroscopicas, restemos miembro a miembro elproducto escalar entre ~H y la ley de Faraday (1.10) y el producto escalar entre ~E y laley de Ampere (1.11). Se obtiene el siguiente resultado

~H · (~∇× ~E)− ~E · (~∇× ~B) = −1

c~H · ∂

~B

∂t− 1

c~E · ∂

~D

∂t− 4π

c~J · ~E , (1.88)

que usando la identidad vectorial

~∇ · ( ~E × ~H) = ~H · (~∇× ~E)− ~E · (~∇× ~H) , (1.89)

se puede reescribir como

c

4π~∇ · ( ~E × ~H) +

c

4π[ ~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t] = − ~J · ~E , (1.90)

comparando con la ec. (1.87), parece natural identificar

~S =c

4π~E × ~H , (1.91)


conocido como vector de Poynting, como el vector que da la potencia electromagnetica porunidad de area que sale de una region a traves de sus superficies lımites (este vector fueencontrado independientemente primero por Nikolay Umov en 1874 y luego, en 1884, porOliver Heaviside y John Henry Poynting). Tambien parece natural identificar la cantidad

∂u

∂ t=

1

4π( ~E · ∂

~D

∂t+ ~H · ∂

~B

∂t) , (1.92)

con la variacion por unidad de tiempo de la densidad de energıa electromagnetica upor unidad de volumen. La identificacion termino a termino parece una especulaciontolerable, pero es una especulacion al fin. Otra especulacion consiste en aceptar (1.91)

como definici’on de ~S, cuando en realidad la ec. (1.90), obtenida a partir de las ecuaciones

de Maxwell, solamente aparece ∇ · ~S, es decir que ~S esta definido a menos de un rotor.Claro que cuando se hacen balances en regiones cerradas, solamente esta involucradala divergencia de ~S, porque la integral de volumen se transforma en una integral desuperficie, en este caso no hay objeciones. En cambio habrıa objeciones cuando se usa(1.91) para calcular flujos de potencia por unidad de area en regiones abiertas. Estaeleccion es la mas comun y su plausibilidad esta apoyada por argumentos relativistas ypor la experiencia que hasta el momento indica que las definiciones (1.91) y (1.92) danresultados concordantes con las cantidades medidas.

Con las expresiones (1.91) para ~S y (1.92) para ∂u/∂ t, la ecuacion de continuidad(1.87) recibe el nombre de Teorema de Poynting y establece que localmente la suma de

energıa mecanica y electromagnetica se conserva siempre que ~J = 0.

En el vacıo

Notemos tambien que a partir de las ecuaciones de Maxwell macroscopicas no se obtuvouna expresion para la densidad de energıa electromagnetica u por unidad de volumen encualquier medio, sino para la derivada temporal de u. Para el vacıo, en cambio, ~D = ~E,~H = ~B y entonces

~E · ∂~E

∂t=

1

2

∂

∂t( ~E · ~E) , ~B · ∂

~B

∂t=

1

2

∂

∂t( ~B · ~B) ,

con lo cual

∂u

∂ t=

1

8π

∂

∂t

(E2 +B2

),

y entonces

u =1

8π

(E2 +B2

). (1.93)

En forma integral, el balance de potencia se escribe

dUmdt

+dUcdt

= −∮S

~S · n da =potencia que entra a V

a traves de la superficie lımite(1.94)


donde

dUmdt

=

∫V

[ ~J(~x, t) · ~E(~x, t)] d3x (1.95)

(el subıdice m por mecanico) es la potencia total que los campos entregan a todas laspartıculas cargadas en el volumen V , Uc es la energıa de los campos en V y el signo menosen (1.94) esta relacionado con la eleccion de ~S para representar el flujo de potencia salientedel volumen V .

Doble idealizacion

Un resultado similar al de (1.93) se obtiene para el caso doblemente ideal de una va-riacion temporal puramente armonica en un medio lineal no dispersivo, con εR y µRindependientes de la frecuencia y εI y µI necesariamente iguales a cero (sin perdidas,como ya se vera). Caso ideal, primero, porque corresponde a tensores constitutivos ε(~x, t)y µ(~x, t) en el analogo de las ecs. (1.29) y (1.30), proporcionales a funciones δ de Diracespaciales y temporales. Y caso ideal, segundo, porque nunca se tiene una variacion tem-poral puramente armonica. Pero bueno, idealicemos para entender (1.97) y lo que dicenmuchos libros. Como ya notamos anteriormente, solamente en este caso las ecuacionesconstitutivas (1.38) y (1.39) se cumplen instante a instante y entonces se puede repetirun procedimiento similar al del vacıo,

~E · ∂~D

∂t=ε

2

∂

∂t( ~E · ~E) , ~H · ∂

~B

∂t=µ

2

∂

∂t( ~H · ~H) ,

y en (1.92) se puede identificar u como

u =1

8π

(εE2 + µH2

). (1.96)

Si bien no entraremos en detalles, es conveniente saber que esta cantidad admite unainterpretacion termodinamica que resulta ser [11] la diferencia entre la energıa internadel medio por unidad de volumen, con campos y sin campos, manteniendo la densidad yla entropıa del medio constantes.

En medios materiales

En los medios materiales las cosas se complican porque hay que involucrarse con laestructura atomica. En el mundo macroscopico podemos no hacerlo, pero en ese casotransferimos nuestra ignorancia a las ecuaciones constitutivas. No es difıcil convencernosde que en medios materiales no es por lo general trabajo sencillo integrar temporalmente(1.92) y obtener una ecuacion como (1.93) para u. Primero, porque las cosas se complicanformalmente aun para el caso relativamente simple de un medio lineal y espacialmentelocal como el descripto por las ecs. (1.31) y (1.32). Para evitar las convoluciones, se impone


pasar al espacio transformado de Fourier y, si resulta adecuado, esto lleva naturalmente ahacer balances para cada componente armonica involucrada. Y segundo, porque cuandono se puede ignorar la dispersion tampoco se puede ignorar la disipacion asociada conla parte imaginaria de los parametros constitutivos. Y si hay disipacion, hay que tenercuidado con la interpretacion termodinamica para u.

Para estudiar la disipacion, continuamos con la idealizacion monocromatica pero con-sideramos un medio dispersivo con parametros constitutivos en general complejos. Porsimplicidad elegimos un medio dielectrico lineal, aquiral e isotropo. Prestemos atencion albalance de potencia promedio en una region sin fuentes libres. El promedio temporal enun ciclo de la cantidad −∇ · ~S en (1.87) representa el flujo neto de potencia entrante enpromedio por los contornos. Si las amplitudes de los campos monocromaticos interioresse mantienen constantes, es claro que, en ultima instancia, este flujo es entregado porlas fuentes exteriores para mantener los campos y compensar la potencia disipada en laregion considerada. Luego, el promedio temporal de −∇ · ~S, igual al promedio temporalde ∂u/∂t, es el calor disipado por unidad de tiempo y unidad de volumen.

Antes de encarar el calculo, notemos que en las ecuaciones constitutivas (1.38) y (1.39),

aparecen las transformadas de Fourier (complejas) ~Fω(~x) de los campos ~F (~x, t), mientrasque (1.92) es una forma cuadratica en los campos reales. Como por lo general la notacion

exponencial es mas comoda para tratar dependencias armonicas, decimos que ~F (~x, t) es

la parte real de la cantidad compleja ~Fω(~x) e−i ωt. Pero debido a que Re z2 6= (Re z)2,es necesario tomar parte real antes de reemplazar los campos en (1.91), (1.92) o en

cualquier otra cantidad cuadratica en los campos. Un camino seguro: sustituir ~E(~x, t) por

[ ~Eω(~x) e−i ωt + ~E∗ω(~x) ei ωt]/2 y ∂ ~D/∂t por [−iωε(ω) ~Eω(~x) e−i ωt + iωε∗(ω) ~E∗ω(~x) ei ωt]/2, lo

mismo para ~H(~x, t) y ∂ ~B/∂t. Procediendo de esta manera, del primer producto en (1.92)se obtiene

1

4

iω | ~Eω|2

[ε∗(ω)− ε(ω)

]+ 2ω Im

[ε(ω) ~Eω · ~Eω e−i 2ωt

] ,

del segundo cuadrado se obtiene

1

4

iω | ~Hω|2

[µ∗(ω)− µ(ω)

]+ 2ω Im

[µ(ω) ~Hω · ~Hω e−i 2ωt

] ,

y ∂u/∂t queda

∂u

∂ t(~x, t) =

ω

8π

εI | ~Eω|2 + µI | ~Hω|2 + Im

[ε ~Eω · ~Eω e−i 2ωt + µ ~Hω · ~Hω e−i 2ωt

] , (1.97)

donde ~Fω(~x), ε(ω, ~x), etc fueron perdiendo sus dependencias funcionales por cuestionesde espacio.

Los dos primeros terminos del lado derecho de la ec. (1.97) son independientes deltiempo y ası tenemos un flujo neto de potencia entrante, que de acuerdo con la primeraley de la termodinamica corresponde a un aumento de la energıa del sistema en forma de


calor. Si Q representa el calor disipado por unidad de tiempo y de volumen, entonces

Q = 〈∂u∂ t

(~x, t)〉 =ω

8π

εI | ~Eω|2 + µI | ~Hω|2

. (1.98)

En cambio, los terminos entre corchetes cuadrados del lado derecho de la ec. (1.97), tienenpromedio temporal nulo y representan transformaciones cıclicas de energıa entre distintosgrados de libertad electromagneticos. Si tomamos un modelo circuital, los terminos conpromedio temporal no nulo representan la potencia disipada en las partes reactivas delsistema, mientras que los terminos con promedio temporal nulo representan la potenciaque oscila entre partes capacitivas e inductivas.

Para medios que en ausencia de campos variables estan en equilibrio termico, conoci-dos como medios pasivos, la segunda ley de la termodinamica impone restricciones a ladireccion de transferencia de calor. Para estos medios debe ser Q ≥ 0 y entonces debecumplirse que

εI ≥ 0 y µI ≥ 0 . (1.99)

En cambio, para medios activos, tambien conocidos como medios con ganancia, las partesimaginarias de los parametros constitutivos pueden ser negativas. Los medios activos noestan en equilibrio termico, la poblacion de sus niveles de energıa no satisface la estadısticade Maxwell-Boltzmann, sino que sus estados atomicos excitados estan mas poblados queel estado de mas baja energıa. Esta inversion de poblacion se logra entregando energıa almedio, un proceso conocido como bombeo optico en la tecnologıa laser. Como medios acti-vos se pueden utilizar gases (mezclas de helio y neon, nitrogeno, argon), semiconductores,vidrios, haces de electrones, etc.

Aunque es un detalle que paso desapercibido hasta el momento, notar que las condi-ciones que estamos discutiendo para medios activos o pasivos valen cuando el signo dela exponencial en la componente armonica de una funcion temporal es como en la eq.(1.35), es decir, cuando usamos e−i ωt.

A la conclusion (1.99) se le puede objetar haber sido obtenida para una dependenciatemporal armonica pura, un caso idealizado sin existencia fısica concreta. En un casoreal, donde los campos tienen localizacion temporal debida al encendido y apagado deuna fuente, ~F (~x, t) tiende a cero suficientemente rapido cuando t → ±∞. La cantidadrelevante en este caso no es la disipacion media por unidad de tiempo, sino la disipaciontotal durante la duracion del campo. Para hacer el calculo transformamos los campos

~E(~x, t) =

∫ ∞−∞

~Eω(~x) e−i ωtdω ,∂ ~D

∂t(~x, t) =−i

∫ ∞−∞ω ε(ω) ~Eω(~x) e−i ωtdω ,

con expresiones analogas para la parte magnetica en (1.92). Notar que las cantidades~Fω involucradas satisfacen la condicion (1.62) y que segun lo discutido en antes de laec. (1.68), las partes reales de los parametros constitutivos son funciones impares de la


frecuencia. El aporte electrico a la integral temporal de ∂u/∂t resulta proporcional a latriple integral ∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞ω ε(ω) ~Eω(~x) · ~Eω ′(~x) e−i (ω+ω′)tdω dω′ dt . (1.100)

Integrando primero en el tiempo y usando que∫ ∞−∞

e−i (ω+ω′)t dt = 2πδ(ω + ω′) . (1.101)

luego de integrar en ω′ y usar (1.62), la integral (1.100) resulta

− i2

∫ ∞−∞ω ε(ω) | ~Eω(~x)|2 e−i (ω+ω′)tdω . (1.102)

con | ~Eω(~x)|2 = ~Eω(~x) · ~E∗ω(~x). La integral que contiene a la parte real de ε(ω) es nulatiene integrando impar y se anula. Repitiendo pasos similares para el aporte magnetico,vemos que la integral temporal de ∂u/∂t, que de acuerdo con la ecuacion de balancerepresentarıa el flujo de energıa entrante, serıa cero si los parametros constitutivos notuvieran parte imaginaria. En otras palabras, que la disipacion de energıa de los campos,o sea, la absorcion del medio, esta determinada por las partes imaginarias de ε(ω) y deµ(ω). Incluyendo factores dejados de lado, la integral de ∂u/∂t resulta∫ ∞

−∞Q dt=

1

8π

∫ ∞−∞ω[εI | ~Eω|2 + µI | ~Hω|2

]dω =

1

4π

∫ ∞0

ω[εI | ~Eω|2 + µI | ~Hω|2

]dω (1.103)

una expresion que muestra que las partes imaginarias de los parametros constitutivos demedios pasivos son siempre positivas.

Vector de Poynting complejo

Observar que el promedio temporal del producto de dos cantidades armonicas a(t) yb(t) expresadas en notacion compleja se puede calcular sin necesidad de pasar por laexpresion real, como hicimos para obtener primero (1.97) y luego (1.98). El proceso desumar el complejo conjugado y dividir el resultado por dos se puede evitar si se utiliza lasiguiente identidad

〈a(t) b(t)〉 =1

2Re a(t) b∗(t) . (1.104)

Notar ademas que la cantidad

1

2Im a(t) b∗(t) . (1.105)

representa la parte oscilante, con promedio cero, del producto a(t) b(t) de dos cantidadesarmonicas expresadas en notacion compleja. A veces es conveniente expresar el producto


de dos magnitudes reales pero escritas en forma compleja, que deberıa ser real, como unproducto entre dos valores complejos teniendo en cuenta que el complejo resultante tieneparte real igual al promedio temporal del producto de las dos magnitudes reales y parteimaginaria igual a la parte oscilante. Por ejemplo, se puede definir un vector de Poyntingcomplejo

~S =c

8π~E × ~H∗ , (1.106)

cuya parte real da el flujo neto de potencia por unidad de area, independiente del tiempo,y su parte imaginaria da el flujo de potencia por unidad de area que entra y sale a travesde una dada superficie, con promedio cero en un perıodo. Notar que ~S en (1.106) es una

magnitud distinta al ~S en (1.91), aunque por comodidad se haya usado la misma notacion.

Superposicion e interferencia

Observar que tanto ~S como u dependen cuadraticamente de los campos y que en con-secuencia, si en una region del espacio convergen campos electromagneticos provenientesde fuentes distintas , la densidad de energıa resultante no es la suma de las densidadesde energıa asociadas con cada fuente individual.

Energıa de formacion

Veamos el caso de distribuciones localizadas que producen campos que lejos de lasdistribuciones tienden asintoticamente a cero al menos como |~x|−2 (ası se comportaban loscampos estaticos). Bajo estas condiciones hagamos el balance de energıa electromagneticaen todo el espacio. La integral de volumen que tiene la divergencia se transforma en unaintegral de superficie que tiende a cero muy lejos de las fuentes y entonces el balancequeda ∫

todo el

espacio

~J · ~E dV = − 1

8π

∫todo el

espacio

∂(E2 +B2)

∂t) dV . (1.107)

Esta igualdad nos dice que toda la energıa de los campos se gasta en realizar trabajosobre las cargas y analogamente, si hacemos trabajo sobre las cargas para formar unadeterminada configuracion, este trabajo mecanico va a quedar almacenado como energıade los campos y la expresion del lado derecho de (1.107) coincide con la expresion obtenidaen cursos elementales para la energıa de formacion de un sistema de cargas y corrientesestacionarias. En cambio, para campos que lejos de las fuentes dependen como |~x|−1

(campos de radiacion), la integral de volumen de la divergencia en 1.87 no se anulanunca, por mas que extendamos la integral a todo el espacio y entonces siempre se escapaenergıa del sistema en forma de radiacion.


1.14.3. Cantidad de movimiento: tensor de Maxwell

Como ya hicimos para la densidad de energıa electromagnetica u, buscamos una expre-sion para el balance local de impulso lineal en un sistema de campos y partıculas cargadasen movimiento. Si para la energıa, una cantidad escalar, el flujo esta representado por elvector ~S

∂u

∂ t+∂um∂ t

= −~∇ · ~S . (1.108)

para el impulso, una cantidad vectorial (tres cantidades escalares), el flujo esta repre-

sentado mediante el tensor←→T , es decir, por un vector para cada componente cartesiana

de la variacion de impulso lineal de los campos por unidad de tiempo y por unidad devolumen. Entonces, el balance de cantidad de movimiento debe tener la forma

∂~p

∂t+∂~pm∂t

= ~∇ ·←→T =

momento que entra a V

a traves de la superficie lımite. (1.109)

La diferencia de signo se debe a que ~S da el flujo saliente, mientras que por razones

historicas←→T esta asociado al flujo entrante.

Las ecuaciones de Maxwell no hacen referencia ni a fuerzas ni a momentos. Sin embargo,la ley de Newton junto con la fuerza de Lorentz por unidad de volumen permite escribirla variacion de la densidad de impulso lineal de las partıculas cargadas por unidad detiempo como

∂~pm∂t

= (ρ ~E +1

c~J × ~B) , (1.110)

y esta expresion debe servir como punto de partida para transformar el lado derecho dela ec. (1.109) en dos terminos, uno con la divergencia de un tensor, asociado al flujo demomento entrante, y otro con una derivada parcial, asociado a la densidad de impulsolineal de los campos por unidad de volumen. Integrando miembro a miembro en el volumende una region cerrada la igualdad del balance (1.109), el lado derecho conduce a unaintegral de superficie que deberıamos identificar con la fuerza neta ejercida para cambiarel impulso lineal total del sistema limitado “material+campos”

variacion de impulso total︷︸︸︷d~Pmdt

+d~Pcdt︸︷︷︸

(mecanico + campos)

=

∮ ←→T · n da . (1.111)

Formulacion en el vacıo

No existe una manera consistente de obtener expresiones para ∂~p/∂t y←→T en un medio

material. Las distintas formulaciones propuestas para satisfacer el balance de la ec. (1.109)


difieren en como se contabiliza el aporte de la parte electromagnetica y el aporte delmaterial y esta contabilidad puede depender de cada situacion particular. Es un debateabierto que se enmarca en la llamada “controversia Abraham-Minkowski” [12–17] y cuyosresultados estan sometidos en cada caso a confirmacion experimental.

A continuacion haremos una formulacion microscopica, suponiendo que ρ y ~J en la ec.(1.110) son las fuentes totales. Partiendo de la fuerza de Lorentz por unidad de volumen,se escriben, mediante las ecuaciones de Maxwell microscopicas, las fuentes en terminosde los campos y ası resulta

ρ ~E +1

c~J × ~B =

1

4π[(~∇ · ~E) ~E + (~∇× ~B)× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t× ~B] =

1

4π[(~∇ · ~E) ~E − ~B × (~∇× ~B)− 1

c

∂( ~E × ~B)

∂t+

1

c~E × ∂ ~B

∂t] =

1

4π[(~∇ · ~E) ~E − ~B × (~∇× ~B)− 1

c

∂( ~E × ~B)

∂t− ~E × (~∇× ~E) + (~∇ · ~B) ~B] =

1

4π[(~∇ · ~E) ~E − ~E × (~∇× ~E)] +

1

4π[(~∇ · ~B) ~B − ~B × (~∇× ~B)]− 1

4πc

∂( ~E × ~B)

∂t.

Segun lo discutido anteriormente, si se pudieran escribir los terminos entre corchetescuadrados de la ultima lınea como la divergencia de un tensor, se podrıa identificarel ultimo termino como la derivada temporal de la densidad volumetrica ~p de impulsolineal asociado con los campos electromagneticos, directamente proporcional al vector dePoynting y que es constumbre notar como ~g en vez de ~p

~g =1

4πc~E × ~B =

~S

c2. (1.112)

Para ver que los terminos entre corchetes cuadrados son en realidad la divergencia dealgo, analizamos la componente i del corchete con campos electricos (ındices repetidos sesuman)

[(~∇ · ~E) ~E − ~E × (~∇× ~E)]i =∂

∂xj[EiEj −

1

2~E · ~E δi j] . (1.113)

Haciendo lo mismo con la componente i del corchete con campos magneticos, llegamos a

la forma del balance 1.109 siempre que se defina←→T como

Ti j =1

4π[EiEj −

1

2~E · ~E δi j] +

1

4π[BiBj −

1

2~B · ~B δi j] . (1.114)

El tensor←→T se conoce como tensor de los esfuerzos de Maxwell. Como referencia, la

componente i de la version integral en el balance (1.111) resulta

d~Pmdt

]i+d~Pcdt

]i

=

∮Ti jnj da , (1.115)


donde nj es la componente j del versor en direccion de la normal exterior del elementoda de la superficie que limita al volumen V .

Al mismo resultado se puede llegar de otra manera (mas transparente para hacer enel pizarron) que consiste en formar una suma de cuatro terminos, cada uno ıntimamente

relacionado con una ecuacion de Maxwell; i) − ~E × (~∇ × ~E + 1c∂ ~B∂t

) (con Faraday), ii)

− ~B× (~∇× ~B− 1c∂ ~E∂t

) (con Ampere), iii) ~E(~∇· ~E) (con Gauss), y iv) ~B(~∇· ~B) (con la leyde inexistencia de monopolos). Esta suma da la fuerza de Lorentz por unidad de volumeny usando (1.113) y reescribiendo una derivada temporal se obtiene el balance (1.109),

donde ~p (notado ~g) viene dado por (1.112) y←→T por (1.114).

Controversia Abraham–Minkowski

En medios materiales donde la presencia de los campos da lugar a densidades de pola-rizacion y de magnetizacion, ~P (~x, t) y ~M(~x, t), siempre parece conveniente explicitar lasfuentes libres, porque son las que se controlan directamente. En esta idea se enmarca laformulacion hecha por Hermann Minkowski en 1908, que repite los pasos realizados pre-viamente, pero partiendo de las ecuaciones de Maxwell macroscopicas y de la expresionde la fuerza de Lorentz por unidad de volumen sobre las fuentes libres. En la formulacionde Minkowski se obtienen expresiones distintas, tanto para la densidad volumetrica deimpulso lineal asociada con los campos electromagneticos (comparar con (1.112))

~gM =1

4πc~D × ~B 6=

~S

c2. (1.116)

como para el tensor de los esfuerzos (comparar con (1.114))

TMi j =1

4π[EiDj −

1

2~D· ~E δi j] +

1

4π[BiHj −

1

2~B · ~H δi j] . (1.117)

Max Abraham objeto (1909) las expresiones de Minkowski y ası dio comienzo a un debateque lleva mas de un siglo y continua hasta el presente (ver resumen historico en http:

//bit.ly/2gDsxcT). Ciertos argumentos relativistas parecen indicar que en un medioen reposo ~g esta dado por la ec. (1.112), pero la cuestion no esta aclarada, tal comomuestran discusiones muy recientes [12–17]. ¿Cuales son la expresiones correctas, (1.112)y (1.114) o (1.116) y (1.117)? ¿O son todas correctas pero describen cosas distintas?Como los avances cientıficos y las tecnicas disponibles en el siglo XXI permiten estudiarinteracciones radiacion - materia en el nivel atomico, quizas ya estemos muy cerca deresponder estas preguntas, tanto teorica como experimentalmente.

Presion electrostatica

Si en la ec. (1.115) se anula la integral en la superficie cerrada, entonces la componentei del impulso total (mecanico y de los campos) del sistema en la region V se conserva, tal

http://bit.ly/2gDsxcT




como ocurre para distribuciones localizadas con campos que tiendan a cero al menos como|~x|−2 cuando se hace el balance de impulso lineal en todo el espacio (como los camposestaticos).

Por lo general la integral en la superficie cerrada no es cero. En este caso, el integrandocambiado de signo, −Ti jnj da, representa la componente i del momento por unidad detiempo (fuerza) que sale de la region V con normal exterior n. Esta fuerza en general noesta en la direccion de n: su proyeccion a lo largo de n vale −Ti jnj ni da, lo que indica que−Ti jni nj es una presion sobre el elemento da (si la cantidad es positiva) o una tension(si la cantidad es negativa).

En el caso de campos estaticos no hay variacion del impulso asociado a los campos yentonces la integral de superficie es justamente la fuerza que actua sobre las partıculasen la region V . En muchas situaciones estaticas es mas facil calcular la fuerza sobreun objeto material usando el tensor de Maxwell. Como primer ejemplo consideremos lafuerza ejercida sobre un conductor cargado con las cargas en equilibrio. Sabemos queexiste un campo electrico, que las cargas estan distribuıdas en la superficie del conductor,que el campo electrico en el interior del conductor es nulo y que justo en la superficie estadirigido en la direccion de la normal. Llamemos E al campo en la superficie (proporcionala la densidad superficial de carga) y consideremos un elemento de area ∆A. Por simetrıa,la direccion de la normal local n tiene que ser uno de los ejes principales del tensor deMaxwell, tomemos un sistema de coordenadas con el eje z en esta direccion, con x e ysobre la superficie. En este sistema tenemos (ver ecuacion 1.114)

←→T =

1

4π

−12E2 0 0

0 −12E2 0

0 0 12E2

.

El balance de la componente z del impulso lineal (ec. 1.111) en un recinto limitado poruna caja de altura infinitesimal y tapas paralelas al elemento de superficie, con la tapasuperior en el exterior del conductor y la tapa inferior en el interior del mismo, se escribe

d~Pmdt· z =

∮ ←→T · n da =

∮Tzzda =

1

8πE2∆A ,

porque la contribucion d~Pc/dt es cero, no solamente porque estamos en un caso estatico,sino porque el volumen de la region considerada es cero. Vemos entonces que en las paredesdel conductor hay una presion igual a

1

8πE2 = Eσ/2 = 2πσ2 ,

pues σ = E/(4π), tal como se demuestra usando la ley de Gauss.

Presion de radiacion

Como segundo ejemplo consideremos la fuerza ejercida sobre una vela fotonica ideal,completamente absorbente, sometida a la accion de la radiacion proveniente del Sol.

http://bit.ly/2w4xIbA


Hagamos el balance del impulso lineal (ec. 1.111) en la direccion normal a la vela y como enel ejemplo anterior tomamos una caja de altura infinitesimal, con tapas paralelas a la vela,una tapa del lado no iluminado con normal exterior z y la otra tapa del lado iluminadocon normal exterior −z. Si se considera que la radiacion solar incide normalmente, esuna buena aproximacion suponer que los campos electricos y magneticos para cualquiercomponente espectral de frecuencia ω estan en fase, tienen la misma amplitud, son ambosparalelos a la superficie y son perpendiculares entre sı. Tomamos entonces ~E = E0 cosωt x,~H = E0 cosωt y y obtenemos (ver ecuacion 1.114) que el tensor de Maxwell resultadiagonal. El unico elemento de de este tensor que interviene en el balance de momentolineal en la direccion de la normal a la vela es Tzz, que vale cero del lado no iluminado

y Tzz = −E20

4πcos2 ωt del lado iluminado, con normal exterior −z. Cuando el volumen

de prueba tiende a cero, tambien tiende a cero d~Pc/dt en (1.115) y como la integral desuperficie del lado no iluminado es cero, el unico aporte a la fuerza por unidad de areaejercida sobre la vela en la direccion z es

−Tyy = +E2

0

4πcos2 ωt ,

es decir que la radiacion absorbida empuja siempre a la vela. El promedio temporal de lafuerza por unidad de area se conoce como presion de radiacion y en este caso vale

Prad =E2

0

8π.

Con las mismas hipotesis, pero para una vela perfectamente reflectante, el valor de lapresion de radiacion aumenta al doble del valor correspondiente al caso perfectamenteabsorbente.

En el interior de las estrellas, a temperaturas de varios millones de grados, la presionde radiacion toma valores extremadamente altos y el flujo de momento juega un papelmuy importante, tanto en la estabilidad de una estrella como en su explosion cuando setransforma en supernova y muere.

1.14.4. Momento angular

(a completar).

Bibliografıa

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Capıtulo 2

Campos en regiones sin fuentes

Las ecuaciones de Maxwell son ocho ecuaciones diferenciales acopladas, de primer or-den, en derivadas parciales y no homogeneas que rigen el comportamiento de cuatrocampos, es decir, doce funciones escalares de ~x y t. Las inhomogeneidades del sistema,consecuencia directa de la existencia de fuentes, son consideradas datos del problema ypueden tener dependencias espaciales y temporales bastante arbitrarias. Las relacionesconstitutivas reducen el numero de incognitas escalares de doce a seis, pero aun ası elproblema sigue siendo muy complejo. En palabras de Max Planck [1]

When we turn our attention to the general case of electrodyna-mics. . . our first impression is surprise at the enormous complexityof the problems to be solved.

Dada la complejidad del problema, serıa deseable que la sistematizacion comience en-foncandose en situaciones simplificadas para luego ir aumentando gradualmente el nivelde dificultad a la vez que se van incorporando nuevas herramientas y nuevos conceptospropios de un curso de fısica teorica. Siguen esta filosofıa todos los libros tradicionalesde electromagnetismo que eligen empezar con problemas estaticos. Y como estos librosestan pensados para cursos anuales, la experiencia indica que la mitad de un curso cua-trimestral se dedica a problemas estaticos y la otra mitad se reparte entre el formalismocovariante y aspectos simplificados de la verdadera electrodinamica. En este curso se-guiremos la filosofıa mencionada, pero con otras etapas. Como “situacion simplificada”inicial, exploraremos el comportamiento de los campos en regiones sin fuentes y sin con-tornos, simplificaciones importantes, tanto en sentido matematico como fısico. Y la rutapara ir aumentando gradualmente el nivel de dificultad e incorporar nuevas herramien-tas y nuevos conceptos sera dividida en etapas que incorporen primero los problemas defrontera y luego las fuentes. Sistematizar el tratamiento teorico a traves de las etapasmencionadas resulta completamente natural si observamos que en el vacıo o en medioscon relaciones constitutivas lineales, el problema electrodinamico es lineal y entonces lasolucion mas general se escribe como suma de soluciones convenientemente elegidas del

42

2.1. DEPENDENCIAS TEMPORALES 43

sistema homogeneo (sin fuentes, primera etapa), mas la solucion particular (con fuen-tes, segunda etapa). Una vez entendidos los comportamientos y las dificultades de estasetapas, estaremos en condiciones de tratar problemas electrodinamicos de interes actualsin haber perdido nada fundamental de los problemas estaticos, que pasaran a ser vistoscomo un caso particular.

A continuacion desarrollaremos la primera etapa. En ella exploraremos que solucionesestan permitidas por las ecuaciones de Maxwell y las relaciones constitutivas cuando nohay fuentes libres, sin olvidarnos que en un medio material ya estamos tratando fuentes:las inducidas, a las que en cualquier momento podremos explicitar simplemente invocando(1.73) y (1.74). Prestaremos especial atencion a identificar bases del espacio de solucionesdel problema homogeneo, al que trataremos como un subespacio del espacio de Hilbert.Mediante el uso de bases podemos adoptar una vision “geometrica” afın al lenguajefamiliar de los espacios de dimension finita. Los elementos de un espacio de Hilbertabstracto a veces se llaman ”vectores” (no confundir con caracter vectorial de los campos)y a los elementos de la base se los suele llamar “modos”. Los desarrollos de los campos yla formulacion de problemas en terminos de elementos de una base del espacio de Hilbertpermiten una formulacion elegante y rigurosa de la electrodinamica clasica y tambienseran fundamentales cuando haya que aplicar los principios de la mecanica cuantica asistemas clasicos de campos continuos.

2.1. Dependencias temporales

Para simplificar el problema, y sin perdida de generalidad, es conveniente elegir unabase de funciones del tiempo para representar cualquier variacion temporal de los campos.Para medios lineales ya vimos que la eleccion mas conveniente es la base de Fourierque va mejor con las convoluciones inherentes a las no-localidades. En el vacıo puedehaber situaciones donde convienen otras bases, pero lo comun es usar tambien la base deFourier. Supongamos entonces que escribimos cualquier campo ~F (~x, t) en terminos de su

transformada de Fourier ~Fω(~x), de manera similar a la ecuacion escalar (1.35). Entonces

el campo ~F (~x, t) es una suma de funciones elementales ~Fω(~x) e−i ωt. En problemas dondehay fuentes externas cuyos campos llegan hasta la region que estamos considerando, laamplitud ~F (~x, t) queda determinada por el contenido frecuencial de las fuentes, comoen todo problema “forzado estacionario”. En cambio, si no hay fuentes que impongansu dependencia temporal, la frecuencia de la funcion elemental ~Fω(~x) e−i ωt sera unamagnitud a determinar que representara las distintas maneras en que a los campos “lesgusta” oscilar en la region en estudio (modos propios electromagneticos del medio). Y estosmodos dependeran de las relaciones contitutivas, de la homogeneidad o inhomogeneidaddel medio, etc. No deberıa sorprendernos que los modos surjan de resolver problemas deautovalores y autovectores, no de una matriz como en pequenas oscilaciones de MecanicaClasica, sino de un operador diferencial.

44 CAPITULO 2. CAMPOS EN REGIONES SIN FUENTES

2.2. Desacoplando las ecuaciones de Maxwell

Una manera de poner orden en el complejo problema mencionado al comienzo de lapagina 42 es ver si es posible desacoplar las ecuaciones de Maxwell y obtener ecuacionesque involucren solamente a un campo ~F (~x, t) o solamente a la transformada de Fourier

temporal de un campo ~Fω(~x).

2.2.1. En el vacıo

En ausencia de medio material las ecuaciones constitutivas son triviales y no hacefalta usar transformadas de Fourier temporales para simplificarlas. Los campos ~E(~x, t) y~B(~x, t) siempre satisfacen la ecuacion de ondas clasica. Para verlo se toma rotor en (1.2),

se intercambia el orden de derivacion, se usa (1.3), la identidad ~∇×~∇× ~A = ~∇(~∇· ~A)−∇2 ~Ay finalmente (1.5) y ası se obtiene

~∇× ~∇× ~E = −1

c

∂(~∇× ~B)

∂ t= − 1

c2

∂2 ~E

∂ t2,

~∇ (~∇ · ~E)︸︷︷︸=0

−∇2 ~E = − 1

c2

∂2 ~E

∂ t2.

Analogamente, partiendo de (1.3) se llega a

~∇× ~∇× ~B =1

c

∂(~∇× ~E)

∂ t= − 1

c2

∂2 ~B

∂ t2,

~∇ (~∇ · ~B)︸︷︷︸=0

−∇2 ~B = − 1

c2

∂2 ~B

∂ t2.

Ambos campos son solucion de la ecuacion de ondas clasica (ecuacion de ondas deD’Alambert)

(∇2 − 1

c2

∂2

∂t2

) [ ~E(~x, t)~B(~x, t)

]= 0 . (2.1)

El operador entre parentesis se llama dalambertiano. En el espacio de Fourier esta ecua-cion tiene la forma

D ~Fω(~x) = 0 , (2.2)

con D = ∇2 + ω2

c2un operador diferencial vectorial, de segundo orden, lineal, que actua

sobre la parte espacial de los campos y que depende de la frecuencia. Observamos queen este caso el problema desacoplado en el espacio de Fourier equivale a encontrar lassoluciones no triviales del operador D y que si la inversa de este operador lineal estuviera

2.2. DESACOPLANDO LAS ECUACIONES DE MAXWELL 45

siempre definida, entonces las soluciones serıan siempre las triviales. Luego, la condicionpara que en el vacıo haya funciones ~Fω(~x) distintas de cero en ausencia de fuentes libres,debe coincidir con la condicion para que el operador lineal D no tenga inversa. Cuandoencontremos la dependencia espacial de ~Fω(~x) veremos que la condicion para que el ope-rador lineal D no tenga inversa impone una condicion (llamada relacion de dispersion)

sobre la frecuencia. Luego, ~Fω(~x) en regiones sin fuentes es solucion de (2.2) solo para elconjunto de frecuencias ω para el que D−1 no esta definido. Notar que por tratarse de unproblema lineal homogeneo, las soluciones ası obtenidas no tienen energıa definida.

2.2.2. Medio isotropo aquiral no homogeneo

A continuacion vamos a repetir el procedimiento de 2.2.1, pero en vez de hacerlo en elvacıo lejos de las fuentes consideraremos un medio dielectrico lineal, isotropo y aquiral,es decir un medio convencional (µR > 0) con relaciones contitutivas como las ecs. (1.38)y (1.39). Es claro que para medios lineales isotropos todos los tensores constitutivosεEH, µEH, ξEH y ζEH deben ser proporcionales al tensor identidad. Cuando los tensoresmagnetoelectricos ξEH y ζEH no son identicamente nulos, se dice que el medio es bi–isotropo (por costumbre se reservo la denominacion de isotropo a los medios aquirales,es decir medios con ξEH = ζEH = 0). A diferencia de 2.2.1, la presencia de un mediomaterial impone pasar al espacio de frecuencias temporales y ası manejar las relacionesconstitutivas de una manera sencilla.

Consideremos primero que el medio no es homogeneo. Proyectando en la base de Fouriertemporal y luego de simplificar el factor e−i ωt, las ecuaciones de Maxwell adoptan la forma

~∇× ~Eω(~x) = iω

cµ(~x, ω) ~Hω(~x) , (2.3)

~∇× ~Hω(~x) = −iωcε(~x, ω) ~Eω(~x) , (2.4)

~∇ ·[µ(~x, ω) ~Hω(~x)

]= 0 , (2.5)

~∇ ·[ε(~x, ω) ~Eω(~x)

]= 0 . (2.6)

Usando las dos ecuaciones con rotor, de primer orden y que acoplan ~Eω con ~Bω y ~Hω

con ~Dω, y las ecuaciones constitutivas, que acoplan ~Dω con ~Eω y ~Hω con ~Bω, siemprees posible obtener una ecuacion diferencial de segundo orden para un solo campo. Porejemplo, si se despeja ~Hω(~x) de (2.3)

~Hω(~x) = −i c

ω µ(~x)~∇× ~Eω(~x) , (2.7)

y se reemplaza en (2.4), se obtiene la siguiente ecuacion maestra para el campo ~Eω

1

ε(~x)~∇×

[ 1

µ(~x)~∇× ~Eω(~x)

]=(ωc

)2~Eω(~x) . (2.8)


Analogamente, si se despeja ~Eω(~x) de (2.4) y se reemplaza en (2.3), se obtiene la ecuacion

maestra para el campo ~Hω

1

µ(~x)~∇×

[ 1

ε(~x)~∇× ~Hω(~x)

]=(ωc

)2~Hω(~x) . (2.9)

Notar que debido a la simetrıa de las ecuaciones de Maxwell, se pasa de una ecuacionmaestra a la otra haciendo las sustituciones ~Hω ↔ ~Eω y ε↔ µ. Si se definen operadoresΘE y ΘH

ΘE ≡1

ε(~x)~∇× 1

µ(~x)~∇× , ΘH ≡

1

µ(~x)~∇× 1

ε(~x)~∇× , (2.10)

las ecuaciones maestras (2.8) y (2.9) adoptan la misma forma

ΘF~Fω(~x) =

(ωc

)2~Fω(~x) , (2.11)

con F = E,H. Se deja como ejercicio obtener las ecuaciones maestras para los campos~Dω y ~Bω.

2.2.3. Modos electromagneticos, autofunciones y autovalores

Las ecuaciones (2.8) y (2.9) (o (2.11)) parecen ecuaciones de autovalores para el ope-

rador ΘF : las autofunciones ~Fω(~x) representan la distribucion espacial para los campos~Fω(~x) permitidos y sus autovalores ω2/c2 estan relacionados con las frecuencias a las quelos campos pueden oscilar en ausencia de fuentes. Si el medio fuera no dispersivo, es decir,si ε y µ no dependieran de la frecuencia, esta interpretacion serıa correcta. Sin embargo,en un medio material real siempre esta presente la dispersion. Luego, ΘE y ΘH siempredependen de la frecuencia a traves de ε y µ.

Por lo tanto, para medios reales, el autovalor (frecuencia) no aparece solamente enel lado derecho de las ecuaciones, tambien aparece en el lado izquierdo, dentro de losoperadores. Estos problemas de autovalores generalizados son muy parecidos a los pro-blemas de autovalores del algebra lineal, con dos diferencias a notar: estan planteados enespacios vectoriales de funciones, de dimension infinita, y el operador puede depender delautovalor.

Notar el paralelismo con la evolucion de sistemas mecanicos con muchas partes movilesque se apartan del equilibrio en ausencia de fuerzas externas. Dicho problema mecanicose reduce a encontar los autovectores y autovalores de una matriz, los autovectores estanrelacionados con la distribucion espacial de las coordenadas generalizadas en cada modo,mientras que los autovalores estan relacionados con la frecuencia de oscilacion de todaslas partes moviles en cada modo. La ausencia de fuerzas externas en el problema mecanicocorresponde a la ausencia de fuentes libres el el problema electromagnetico, las fuerzasrestitutivas internas en el problema mecanico se corresponden con las fuentes inducidas

2.2. DESACOPLANDO LAS ECUACIONES DE MAXWELL 47

en el medio en el problema electromagnetico y en vez de autovectores y autovalores deuna matriz tenemos autofunciones y autovalores de un operador lineal.

Todos los problemas electromagneticos desacoplados que en el espacio transformadode frecuencias temporales se escriben en la forma ΘF

~Fω = λ~Fω de un problema deautovalores (la forma de las ecuaciones (2.8) y (2.9)), se pueden reescribir de maneraalternativa en la forma (2.2) que ya usamos en 2.2.1, es decir, como un operador diferencialD = ΘF − λI (I el operador identidad ) aplicado a la parte espacial del campo igual acero. En espacios vectoriales de dimension infinita, la nocion de autovalores se generalizamediante el concepto de espectro. El espectro es el conjunto de escalares λ para el queD−1 = (Θ− λI)−1 no esta definido, esto es, el conjunto de escalares para el que existen

autofunciones ~Fω no triviales. De la misma manera se usa el concepto de espectro, en elsentido de autovalores generalizados, para otros operadores lineales D que aparecen paraotros medios y que no tienen necesariamente la forma ΘF −λI del problema canonico deautovalores.

El estudio de estos temas pertenece a la rama de la matematica llamada teorıa es-pectral, un termino que se refiere a las teorıas que generalizan la teorıa de vectores yvalores propios de una matriz cuadrada a una teorıa mas amplia de operadores en cier-tos espacios matematicos. La teorıa esta conectada con la de funciones analıticas debidoa que las propiedades espectrales de un operador estan relacionadas con las funcionesanalıticas del parametro espectral (en la discusion anterior, ω, o λ). La teorıa espectral esun campo extremadamente rico con aplicaciones en muchas areas fısicas de gran interesactual. Es muy atractiva especialmente desde el punto de vista formal porque brinda unenfoque unificador que sirve de marco para problemas matematicos muy diversos, comopor ejemplo ecuaciones en derivadas parciales, calculo de variaciones, geometrıa, analisisestocastico, etc.

2.2.4. Medio periodico

Un caso particular de los medios inhomogeneos discutidos en 2.2.2 son los medios conparametros constitutivos periodicos. Estos medios han atraıdo gran interes en los ultimosanos, tanto en ciencia basica como aplicada porque debido a los avances en nanotecno-logıa, hoy en dıa es posible construir materiales periodicos artificiales, llamados cristalesfotonicos, con periodicidades muy pequenas. Los cristales fotonicos fueron propuestos du-rante la decada de 1990, con el fin de inhibir la emision espontanea atomica (un fenomenode origen cuantico que se pensaba que era intocable) y para obtener localizacion fotonica(confinar la radiacion). Como en los cristales naturales, las periodicidades pueden ser enuna, dos o tres direcciones.

Se puede ver [2] que la periodicidad de estos materiales afecta el movimiento de losfotones de manera analoga a como la periodicidad de un cristal semiconductor afecta elmovimiento de los electrones. Cuando el medio es periodico, los operadores en las ecs.(2.8) y (2.9) tambien lo son. En estas condiciones se puede aplicar el Teorema de Bloch


y explicitar una base muy particular de soluciones, llamadas estados de Bloch, caracte-rizados por bandas de frecuencias permitidas y prohibidas. La aparicion de los cristalesfotonicos dio un nuevo impulso a tecnicas electromagneticas para medios periodicos, queno habıan sido antes exploradas por su dificultad y posiblemente porque se considerabanejercicios academicos sin ningun interes practico.

2.2.5. Medio isotropo aquiral homogeneo

Cuando el medio es homogeneo, las ecuaciones maestras (2.8) y (2.9) como ası tambien

las ecuaciones maestras para la parte espacial de los campos ~Dω y ~Bω tienen todas lamisma forma

∇2 ~Fω = −ω2

c2ε µ ~Fω , (2.12)

es decir,

∇2 ~Fω +ω2

c2ε µ ~Fω = 0 , (2.13)

conocida como ecuacion de Helmholtz. En este caso, el operador diferencial asociadoresulta D = ∇2 + ω2

c2ε µ.

2.3. Base de Fourier espacial

Una vez desacopladas las ecuaciones de Maxwell en el medio infinito (sin contornos)generico que estamos tratando, se debe resolver el problema homogeneo (2.2) para eloperador diferencial D que opera solamente sobre las coordenadas espaciales (operadorvectorial de segundo orden y lineal para todo medio lineal). Como D es un operador vec-

torial y como ~Fω(~x) es un vector en C3, en general (2.2) representa un sistema homogeneode 3 ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales acopladas. Las incognitas deeste sistema son las 3 componentes de ~Fω(~x), tres funciones de tres variables. Para fijar

ideas podrıamos pensar que son las tres componentes cartesianas ~F(x)ω (x, y, z), ~F

(y)ω (x, y, z)

y ~F(z)ω (x, y, z) (el supraındice denota la componente). Si la fısica del problema ası lo pi-

diera (para un medio infinito y sin fuentes libres por ahora no lo pide), tambien podrıausarse una base distinta a la cartesiana (base cilındrica o base esferica, por ejemplo) .Si se usan coordenadas esfericas y base esferica ρ, θ, φ, las incognitas del sistema (2.2)

serıan las 3 componentes ~F(ρ)ω (ρ, θ, φ), ~F

(θ)ω (ρ, θ, φ) y ~F

(φ)ω (ρ, θ, φ). Notar que la forma de

los operadores depende del sistema de coordenadas.

Sabemos que las soluciones no triviales del problema homogeneo (2.2) aparecen cuan-do el operador D−1 no esta definido. El siguiente paso entonces sera explicitar dichascondiciones en terminos de la frecuencia ω, relacionada con los autovalores. Tal como

2.3. BASE DE FOURIER ESPACIAL 49

se hizo en la seccion 2.1, donde se eligio una base de Fourier para representar cualquiervariacion temporal de los campos, a continuacion tambien usaremos un base de Fourierpara representar dependencias espaciales bastante arbitrarias de la magnitud ~Fω(~x) enterminos de tres variables conjugadas kx, ky y kz (frecuencias espaciales), analogas a lafrecuencia temporal ω

~Fω(~x) =

∫ ∞−∞

~Fω;~k ei~k·~x d3k , (2.14)

con ~k ≡ (kx, ky, kz) y ~Fω;~k la transformada de Fourier espacial de ~Fω(~x). Notar que latriple sıntesis espacial que se hace en (2.14) se corresponde con la sıntesis de Fouriertemporal definida en (1.35), excepto por el signo opuesto en las variables conjugadas ω

y ~k. La eleccion de signos opuestos en ambas definiciones es arbitraria, pero es comunhacerla para que la sıntesis de ~F (~x, t),

~F (~x, t) =

∫ ∞−∞

dω

∫ ∞−∞

~Fω;~k ei(~k·~x−ωt) d3k , (2.15)

quede expresada como combinacion de ondas planas armonicas

~Fω;~k ei(~k·~x−ωt) (2.16)

“progresivas” en la direccion del vector ~k (pero no necesariamente progresivas segun losejes coordenados).

La representacion (2.14) tiene por el momento poca fısica. Para que ~Fω(~x) realmente seala parte espacial de un modo electromagnetico, tiene que satisfacer el problema homogeneo(2.2) con el operador D que corresponda al medio material particular en estudio. La

ventaja de usar la representacion (2.14) reside en que ~Fω(~x) se escribe como suma de

funciones elementales ~Fω;~k ei~k·~x. Pero dada una direccion ~k, no toda orientacion del vector

~Fω;~k ni toda relacion entre ~k y ω es posible. Primero porque hay restricciones impuestaspor (2.2) y segundo porque hay restricciones impuestas por las ecuaciones de primerorden con divergencia, que se perdieron en el camino cuando desacoplamos las ecuaciones

de Maxwell. Dado que las funciones elementales ~Fω;~k ei~k·~x son ortogonales en el espacio

de Hilbert, el siguiente paso sera forzar que estas funciones de la base cumplan la fısicaque todavıa no hemos impuesto, ası nos aseguraremos que la combinacion lineal (2.14)tambien la cumplira.

A continuacion daremos ejemplos de las restricciones que algunos medios materiales deinteres actual imponen a la representacion de ondas planas (2.14). Es decir, obtendremos

las polarizaciones y los vectores de onda ~k permitidos por las ecuaciones de Maxwell y porlas relaciones constitutivas. Estas restricciones sirven para elegir los ladrillitos elementalesque hay que usar para sintetizar ~Fω(~x) a partir de (2.14). Notar que cuando D se aplica

a la representacion integral (2.14), solo actua sobre la exponencial ei~k·~x del integrando,

porque ~Fω;~k es una amplitud vectorial compleja que solo depende de ω y ~k. Luego, la


derivada parcial con respecto a x formalmente equivale a multiplicar el integrando de(2.14) por ikx, la derivada parcial con respecto a y equivale a multiplicar por iky, la deri-vada parcial con respecto a z equivale a multiplicar por ikz, el operador ∇ formalmenteequivale a multiplicar por i~k, etc. Luego, el sistema homogeneo de 3 ecuaciones diferen-ciales lineales en derivadas parciales acopladas representado por (2.2) se transforma enun sistema homogeneo de 3 ecuaciones algebraicas lineales acopladas, con incognitas las3 componentes cartesianas de ~Fω;~k. Para que este sistema algebraico tenga solucion, eldeterminante del sistema debe ser nulo, una condicion que fija los autovalores y conducea la llamada relacion de dispersion ~k(ω). Una vez encontrados los autovalores, se obtienenlos autovectores, que como en todo problema de modos no tienen la norma definida.

2.4. Medio isotropo aquiral homogeneo

2.4.1. Relacion de dispersion

Para que (2.14) sea solucion de (2.2) introducimos el operador diferencial D en larepresentacion integral y pedimos que el resultado sea nulo en todo el espacio∫ ∞

−∞(−~k ·~k +

ω2

c2εµ) ~Fω;~k ei(

~k·~x−ωt) d3k = 0 . (2.17)

En este caso, podemos usar las relaciones de ortogonalidad entre exponenciales espacia-les y proyectar la condicion (2.17) en la base (2.15). Operativamente, el procedimiento

consiste en multiplicar miembro a miembro la eq. (2.17) por e−i~k ′ ·~x, ~k ′ = (k ′x, k

′y, k

′z), e

integrar el resultado en todo el espacio. Al integrar en la variable x se obtiene una deltade Dirac δ(kx − k ′x) y analogamente para integraciones en x e y. El resultado de la inte-

gracion en todo el espacio es entonces proporcional a la delta tridimensional δ(~k − ~k ′).Ası, cuando se realiza la integracion en d3k indicada en (2.17), y se reemplaza ~k ′ por ~ken el resultado, se obtiene

(−~k ·~k +ω2

c2εµ) ~Fω;~k = 0 . (2.18)

Vemos entonces que la proyeccion en la base de ondas planas transforma la ecuacion dife-rencial (2.2) en el sistema de ecuaciones algebraicas (2.18) para las componentes cartesia-

nas de la amplitud compleja ~Fω;~k. Como los vectores ~Fω;~k son transversales, ~k · ~Fω;~k = 0,

una de las componentes cartesianas de ~Fω;~k se puede tomar igual a cero (la paralela a~k) y en ese caso (2.18) se reduce a un sistema de dos ecuaciones algebraicas para las

cantidades complejas Eω;~k · e1 y Eω;~k · e2, con e1 y e2 dos direcciones transversales a ~k yperpendiculares entre sı. Se trata de un sistema muy particular, porque las dos ecuacionesalgebraicas no estan acopladas, la matriz del sistema es diagonal y los elementos de ladiagonal son iguales al parentesis a la izquierda de la ec. (2.18). Por este motivo, la con-dicion para tener soluciones no triviales de la componente segun e1 es igual a la condicion

2.4. MEDIO ISOTROPO AQUIRAL HOMOGENEO 51

para tener soluciones no triviales de la componente segun e2. Y entonces cualquier com-ponente transversal de los vectores de amplitudes complejas de todos los campos en labase de ondas planas armonicas en un medio homogeneo isotropo aquiral deben satisfacerla misma relacion de dispersion

~k ·~k = k2x + k2

y + k2z =

ω2

c2εµ . (2.19)

De los cursos de ondas se sabe que toda onda plana armonica (2.16) con una relacion dedispersion como la ec. (2.19) tiene velocidad de fase vϕ = k/ω = c/

√ε µ. Luego, tenemos

que concluir que el ındice de refraccion de este medio viene dado por

n =√εµ. (2.20)

Cuando se descubrio la relacion (2.20) fue una gran sorpresa. Realmente era completamen-te inesperado que el ındice de refraccion, una magnitud que describe aspectos geometricosde las trayectorias de los rayos en un medio, estuviera relacionada con fenomenos electri-cos y magneticos asociados a la magnetita (el oxido ferroso-diferrico) y a la atraccion depequenos objetos mediante ambar. Esta sorpresa vino de la mano de la unificacion de lavenerable teorıa de la Optica con las recientemente unificadas leyes del electromagnetis-mo.

2.4.2. Visualizando las autofunciones

La relacion (2.20) muestra que: i) para frecuencias donde la parte imaginaria de los

parametros constitutivos ε y µ es despreciable, el vector ~k de “frecuencias espaciales” estaen una esfera del espacio conjugado a las variables espaciales; ii) la triple integracion end3k indicada en (2.17) se reduce a una integracion doble en el espacio conjugado, porque

si se fijan dos componentes de ~k, la tercera tiene que tomar el valor determinado por(2.19). De esta manera, la representacion integral de ~Fω(~x) se puede reescribir como

~Fω(~x) =

∫ ∞−∞δ(−~k ·~k +

ω2

c2εµ) ~Fω;~k ei

~k·~x d3k . (2.21)

La base e1, e2, contenida en el plano perpendicular a ~k, permite explicitar el caractervectorial de ~Fω;~k = F

(1)

ω;~ke1 +F

(2)

ω;~ke2 y dividir el integrando de (2.21) en dos contribuciones

~Fω(~x) =

∫ ∞−∞δ(−~k ·~k +

ω2

c2εµ)F

(1)

ω;~kei~k·~x e1 d3k +∫ ∞

−∞δ(−~k ·~k +

ω2

c2εµ)F

(2)

ω;~kei~k·~x e2 d3k . (2.22)

En las integrales (2.21) y (2.22) se mantiene la triple integracion en d3k, pero la delta de

Dirac del integrando se ocupa de que los valores de ~k esten siempre en la misma esfera del


espacio conjugado, a pesar de que sus componentes cambian. Notar que e1 y e2 quedandentro del integrando porque son versores perpendiculares a ~k (dependen de ~k).

Cuando es necesario explicitar cuales son las componentes independientes del vector~k, la doble valuacion de las raıces cuadradas involucradas en el despeje que surge de(2.19) para la componente dependiente tiene como consecuencia que la integral en (2.21)se divida en la suma de dos integrales. Por ejemplo, si kx y kz se consideran variablesindependientes, la variable dependiente se despeja como

k(±)y = ±

√ω2

c2εµ− k2

x − k2z , (2.23)

y entonces (2.21) resulta

~Fω(~x)=

∫ ∞−∞

~F(+)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(+)y y)dkxdkz +

∫ ∞−∞

~F(−)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(−)y y)dkxdkz . (2.24)

Los dos terminos del lado derecho representan variaciones bastante arbitrarias en x y enz, pero tienen una caracterıstica muy bien definida en su dependencia con la variabley (elegida como dependiente): la primera integral esta asociada con campos progresivosrespecto a la direccion +y, mientras que la segunda esta asociada con campos regresivosrespecto a la direccion +y. Si bien estamos estudiando soluciones del sistema de ecuacioneshomogeneo, es decir, los campos permitidos en regiones sin fuentes, no se debe olvidarque los campos fueron creados por fuentes y la ubicacion de estas fuentes es la querige la presencia o ausencia de cada termino en (2.24). Por ejemplo, si a la zona enestudio llegan campos procedentes de una unica fuente localizada en el entorno de unaregion con y → +∞, la representacion integral en dicha zona solamente puede tener eltermino que represente un flujo de potencia regresivo segun el eje y y es facil ver que paramedios ordinarios (µR > 0), esta condicion excluye al primer termino del lado derechode (2.24). Analogamente, si la zona en estudio es perturbada por campos procedentes deuna unica fuente localizada en el entorno de una region con y → −∞, la representacionintegral en la zona en estudio solamente puede tener el termino que represente un flujode potencia progresivo segun el eje y y para medios ordinarios (µR > 0) esta condicionexcluye al segundo termino del lado derecho de (2.24). Si a la zona en estudio llegancampos procedentes de dos fuentes, una localizada en y → +∞ y otra en y → −∞, larepresentacion integral en la zona en estudio tendra los dos aportes, el progresivo y elregresivo segun el eje y.

De la misma manera, si en las integrales de (2.22) se explicitan las componentes inde-

pendientes del vector ~k, cada integral se divide en contribuciones progresivas y regresivas.Si continuamos considerando kx y kz como variables independientes, entonces (2.22) tiene

cuatro integrales, una progresiva y otra regresiva por cada direccion transversal a ~k

~Fω(~x)=

∫ ∞−∞F

(1+)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(+)y y) e1 dkxdkz +

∫ ∞−∞F

(2+)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(+)y y) e2 dkxdkz +∫ ∞

−∞F

(1−)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(−)y y) e1 dkxdkz +

∫ ∞−∞F

(2−)ω; kx,kz

ei(kxx+kzz+k(−)y y) e2 dkxdkz (2.25)

2.4. MEDIO ISOTROPO AQUIRAL HOMOGENEO 53

2.4.3. Estructura de la onda plana

Para investigar las orientaciones relativas entre los vectores ~Fω;~k que corresponden a losdistintos campos, usamos las ecuaciones de Maxwell recordando que para las representa-ciones (2.15), el operador ~∇ equivale a multiplicar dentro de la integral por i~k y la derivadatemporal equivale a multiplicar dentro de la integral por −iω. Usando la ortogonalidadde las exponenciales, se obtienen las siguientes relaciones entre las diversas amplitudesvectoriales complejas ~Fω;~k y el vector ~k (comparar con las ecuaciones (2.3)-(2.6))

~k × ~Eω;~k =ω

cµ ~Hω;~k , (2.26)

~k × ~Hω;~k = −ωcε ~Eω;~k , (2.27)

~k · ~Bω;~k = µ~k · ~Hω;~k = 0 , (2.28)

~k · ~Dω;~k = ε~k · ~Eω;~k = 0 . (2.29)

Supongamos por simplicidad que los parametros constitutivos del material a la frecuenciaω son reales y que ε µ > 0, ~k ∈ R3. De las ecs. (2.28)-(2.29) se deduce que todas las am-plitudes vectoriales correspondientes a la base de ondas planas (2.16) son perpendiculares

a ~k

~k · ~Eω;~k = ~k · ~Hω;~k = ~k · ~Dω;~k = ~k · ~Bω;~k = 0 , (2.30)

es decir que en un medio homogeneo isotropo aquiral la base de ondas planas es transversalpara todos los campos. La ec. (2.26) relaciona ~Hω;~k con ~Eω;~k

~Hω;~k =c

ω

~k × ~Eω;~k

µ, (2.31)

que muestra que para materiales naturales con µ > 0 los vectores ~k, ~Eω;~k y ~Hω;~k formanuna terna derecha. En cambio, para materiales con µ < 0 (y tambien ε < 0, para que siga

valiendo que ~k ∈ R3), los vectores ~k, ~Eω;~k y ~Hω;~k forman una terna izquierda, una situa-cion comun para metamateriales [3], materiales artificiales construidos con parametrosconstitutivos sintonizables por diseno.

2.4.4. Vector de Poynting

Tomando la parte real en (1.106), obtenemos el promedio temporal del vector de Poyn-

ting asociado con el elemento de la base identificado por la etiqueta (ω; ~k)

〈~Sω;~k〉 =c

8πRe ~Eω;~k × ~H∗

ω;~k=

c2

8πωµRe ~Eω;~k × (~k × ~Eω;~k)

∗ =c2

8πωµ| ~Eω;~k|

2 ~k , (2.32)

que para ~k real resulta paralelo o antiparalelo a ~k, dependiendo de que µ > 0 (fase y flujode potencia viajan en la misma direccion) o que µ < 0 (fase y flujo de potencia viajan


en direcciones opuestas). Si ~k no es real, por ejemplo si los parametros constitutivosson complejos, entonces al hacer el producto con el conjugado indicado en (1.106), lasexponenciales espaciales de la base (2.16) no se cancelan completamente y el promedio

temporal del vector de Poynting asociado con el elemento de la base etiquetado por (ω; ~k)resulta

〈~Sω;~k〉 =c2

8πω| ~Eω;~k|

2 e−2~kI ·~x Re~kµ

. (2.33)

Se puede probar [4] que cuando se cumple la condicion

Re

ε

|ε|+

µ

|µ|

> 0 , (2.34)

el flujo medio de potencia asociado con el elemento de la base etiquetado por (ω; ~k) estaorientado en direccion paralela a la direccion de propagacion de la fase de la onda. Encaso contrario, el flujo medio de potencia asociado con el elemento de la base etiquetadopor (ω; ~k) esta orientado en direccion opuesta a la direccion de propagacion de la fase dela onda y se dice que el medio tiene velocidad de fase negativa o tambien que es un medioizquierdo, una nomenclatura que hace referencia a la orientacion de la terna de vectores~k, ~Eω;~k y ~Hω;~k y que se ha generalizado a pesar de que induce a confusion porque, adiferencia de lo que ocurre en los medios quirales, el medio no tiene ningun sentido degiro asociado con su estructura interna.

2.4.5. Densidad de energıa electromagnetica

Volviendo a ~k real y parametros constitutivos reales, calculemos el valor medio tem-poral de la densidad de energıa electromagnetica por unidad de volumen asociado con elelemento de la base (2.16) identificado por la etiqueta (ω; ~k)

〈u〉 =1

16πRe ( ~Eω;~k · ~D

∗ω;~k

+ ~Bω;~k · ~H∗ω;~k

) . (2.35)

Usando las relaciones constitutivas y las relaciones entre amplitudes vectoriales complejasde los distintos campos, se obtiene que ambos terminos en (2.71) dan la misma contribu-cion. Concluimos que en este medio la densidad de energıa esta equi-repartida entre loscampos electricos y magneticos) y vale

〈u〉 =ε

8π| ~Eω;~k|

2 . (2.36)

Es instructivo observar que los resultados 2.32 y 2.36 son consistentes con el conceptode velocidad de propagacion de la energıa en la direccion (fija en el espacio) ~k, que hastael momento no ha sido explicitado. Con este fin, observemos que si la energıa realmentese propaga con velocidad ve, entonces la energıa que fluye a traves de una superficie

2.5. MEDIO HOMOGENEO ISOTROPO QUIRAL 55

A perpendicular a la direccion de propagacion en un intervalo de tiempo ∆t debe ser< S > A∆t. Pero como hemos supuesto que no hay disipacion ni otros mecanismos detransferencia entre energıa electromagnetica y otras formas, esta cantidad debe ser igual ala energıa contenida en el volumen del cilindro generado por la translacion de la superficieA en la direccion paralela a n y de longitud ve∆t. Igualando ambas cantidades resulta

< u > Ave ∆t =< S > A∆t ,

de donde obtenemos una expresion para ve

ve =< S >

< u >. (2.37)

Esta ultima relacion no supone ninguna hipotesis sobre la forma de los campos y debevaler para todo problema de transporte conservativo unidimensional. Para la base deondas planas (2.16), reemplazando 2.32 y 2.36 en 2.37, se obtiene que ve = c/n, quecoincide con la velocidad de fase en el medio.

2.4.6. Recapitulacion

Volviendo a lo que se dijo al comienzo de la pagina 42, las relaciones constitutivas redu-cen el numero de incognitas escalares de doce a seis. Para la base de ondas planas usadapara el medio homogeneo isotropo aquiral estudiado en esta seccion, hemos visto que paracada etiqueta (ω; ~k) la onda plana representada por (2.16) tiene 12 grados de libertad: 6

por las 3 componentes cartesianas complejas de ~Eω;~k y 6 por las 3 componentes cartesia-

nas complejas de ~Hω;~k. Pero las ecuaciones de Maxwell con divergencia eliminan 4 gradosde libertad (las componentes longitudinales) mientras que las ecuaciones con rotor que

relacionan ~Hω;~k con ~Eω;~k eliminan otros 4 ( ~Hω;~k o ~Eω;~k). Aparentemente quedan entonces4 grados de libertad, por ejemplo las dos amplitudes complejas que son necesarias paradescribir el campo electrico transversal. Como las fases de ambas amplitudes complejasdependen del origen de tiempos, sin perder generalidad podemos elegir una fase igual acero. Vemos ası que la onda plana monocromatica en el medio homogeneo isotropo aquiralqueda caracterizada por tres grados de libertad. En la mayorıa de los casos, y tal comose vio en el capıtulo de polarizacion del curso de ondas, estos tres grados de libertadsuelen ser las amplitudes |Eω;~k · e1| y |Eω;~k · e2| (con e1 y e2 dos direcciones transversales

a ~k y perpendiculares entre sı) y la fase relativa entre las cantidades complejas Eω;~k · e1

y Eω;~k · e2. Una vez especificados estos tres grados de libertad, queda determinada laintensidad y la polarizacion del elemento de la base.

2.5. Medio homogeneo isotropo quiral

Los medios bi–isotropos mas abundantes en la naturaleza son los medios quirales,caracterizados por coeficientes magnetoelectricos no nulos y que satisfacen ξEH = ζ∗EH. Se


puede demostrar que todo medio cuya estructura interna no puede superponerse con suimagen especular esta caracterizado por relaciones constitutivas quirales que privilegianun sentido de giro sobre el opuesto. Un simple ejemplo de medio isotropo quiral en escalamacroscopica es una caja de tornillos comunes (roscas derechas). Los tornillos no tienenninguna orientacion particular y cuando se gira la mezcla en cualquier angulo no se puedenotar el cambio. Si bien cada tornillo cambia su orientacion, siempre hay otro tornillo quetoma su lugar, al menos en sentido estadıstico: decimos que el medio es rotacionalmentesimetrico. Pero si el revoltijo de tornillos es observado en un espejo, todos los tornillosdejan de tener rosca derecha y cuando se los gira en sentido horario se desenroscan:decimos que el medio no puede superponerse con su imagen especular, o que el medioes quiral. Para una discusion introductoria a la relacion entre simetrıas y parametrosconstitutivos ver [5].

Las ecuaciones constitutivas de un medio isotropo quiral se suelen escribir en el dominiofrecuencial en la forma conocida como ecuaciones de Drude-Born-Fedorov

~Dω = ε( ~Eω + β ~∇× ~Eω) (2.38)

~Bω = µ( ~Hω + β ~∇× ~Hω) . (2.39)

Los parametros ε, µ y β (la quiralidad) son funciones de ω y el medio isotropo aquiralde la seccion anterior corresponde a β = 0. El interes en este tipo de medios esta parti-cularmente motivado por avances de la fısica de polımeros, por la fabricacion de nuevosmateriales compuestos con sorprendentes propiedades y por el papel fundamental quejuegan en Biologıa las grandes moleculas organicas, que como el ADN tienen generalmen-te asociado un sentido de giro. Todos los organismos terrestres sintetizan sus proteınasde forma casi exclusiva a partir de la version levogiro de los distintos aminoacidos. Muyrecientemente los astronomos encontraron la primera molecula quiral (oxido de propileno)en el espacio interestelar [6], un descubrimiento que abre la exploracion de los procesosquımicos que formaron las biomoleculas del Universo.

Las relaciones de Drude-Born-Fedorov no solo describen lo que sucede en medios for-mados por grandes cadenas organicas con sentido de giro asociado a su estructura mi-croscopica, sino que son aun mas generales. Se aplican a cualquier medio constituıdo conelementos que no tienen simetrıa de reflexion. Los medios formados por helices izquierdaso derechas son un ejemplo, pero lo mismo ocurre con cualquier otro medio formado porobjetos que difieren de su imagen especular. La raız griega de la palabra quiral significamano, en alusion a que la mano izquierda no coincide con su imagen especular, que esla mano derecha. Un medio quiral siempre tiene asociado un sentido izquierdo o derechoen su microestructura y esto da lugar a que las ondas polarizadas circularmente tenganvelocidades de propagacion distinta, segun tengan sentido de giro izquierdo o derecho.Este fenomeno es la base de lo que se conoce como actividad optica: una onda linealmen-te polarizada entra en un medio quiral, se propaga, y al salir del mismo se compruebaque ha rotado su direccion de vibracion. El medio no es anisotropico, porque la rotacionde la onda linealmente polarizada es la misma en todas las direcciones. Esperamos en-tonces que las ecuaciones de dispersion para la base de ondas planas no dependan de la


direccion de propagacion y veremos que, a diferencia del medio aquiral considerado en laseccion anterior, las ecuaciones de dispersion para la base de ondas planas dependen dela polarizacion.

2.5.1. Representacion de Tellegen

Los rotores de las ecs. (2.38)-(2.39) explicitan que estan involucradas circulaciones delos campos, pero nos apartan de la representacion de Tellegen (ver (1.36) - (1.37)). Parafamiliarizarnos con la representacion de relaciones constitutivas mas usada en fısica demateriales, reescribiremos las ecuaciones de Drude-Born-Fedorov en la forma de Tellegen.Partiendo de (2.38) y usando la ley de Faraday

~Dω(~x) = ε ~Eω(~x) + βε~∇× ~Eω(~x) =

ε ~Eω(~x) + iω

cβεµ( ~Hω(~x) + β~∇× ~Hω(~x)) =

ε ~Eω(~x) + iω

cβεµ ~Hω(~x) + i

ω

cεµβ2(−iω

c~Dω(~x)) =

ε ~Eω(~x) + iω

cβεµ ~Hω(~x) +

ω2

c2εµβ2 ~Dω(~x) ,

y reagrupando terminos en ~Dω(~x)

(1− ω2

c2εµβ2) ~Dω(~x) = ε ~Eω(~x) + i

ω

cβεµ ~Hω(~x) . (2.40)

Analogamente, partiendo de (2.38) y usando la ley de Ampere, se obtiene

(1− ω2

c2εµβ2) ~Bω(~x) = µ ~Hω(~x)− iω

cβεµ ~Eω(~x) . (2.41)

Las ecuaciones (2.40) y (2.41), obtenidas a partir de las ecuaciones de Drude-Born-Fedorov, se pueden poner en la forma de las ecuaciones (1.36)–(1.37) de la representacionde Tellegen dividiendo miembro a miembro por el factor (1− ω2

c2εµβ2).

Por ser un medio isotropo los tensores magnetoelectricos de este medio quiral sondiagonales y los elementos diagonales satisfacen

ξ = ζ∗ = iω

c

βεµ

1− k2aβ

2(2.42)

(condicion de reciprocidad). El parametro

ka =ω

c

√εµ (2.43)

coincide con el modulo del vector de onda cuando β = 0, es decir, para un medio aquiral(por eso el subındice a). Las ecuaciones (2.40) y (2.41) tambien ponen en evidencia larelacion que existe entre los parametros ε y µ de la representacion de Tellegen (llamemoslosεT y µT ) con los parametros constitutivos de la representacion DBF (2.38)-(2.39)

εT =ε

1− k2aβ

2µT =

µ

1− k2aβ

2(2.44)


2.5.2. Ecuaciones con divergencia y transversalidad

Usando que ~∇ · ~Dω = 0 (no hay fuentes libres), de la ecuacion constitutiva 2.38 se

obtiene que ~∇ · ~Eω = 0. Analogamente, a partir de ~∇ · ~Bω = 0 y usando la ecuacionconstitutiva 2.39 se obtiene que ~∇ · ~Hω = 0. Esto ya nos anticipa que, al igual que enel medio isotropo aquiral, todos los campos seran transversales al vector ~k de la base deondas planas introducida en las ecs. (2.15), (2.14) y (2.16).

2.5.3. Ecuacion maestra D ~Fω = 0

Para obtener ecuaciones de ondas desacopladas para los campos en este medio repeti-mos un procedimiento similar al empleado para obtener (2.13): tomamos rotor en la leyde Faraday, usamos las ecuaciones constitutivas y luego la ley de Ampere

~∇× ~Eω = iω

c~Bω = i

ω

c

1

1− k2aβ

2

[µ ~Hω − i

ω

cβεµ ~Eω

],

~∇× (~∇× ~Eω) = iω

c

1

1− k2aβ

2

[µ ~∇× ~Hω︸︷︷︸−i ω

c~Dω︸︷︷︸

−i ωc ε (~Eω+β~∇×~Eω)

− iω

cβεµ~∇× ~Eω

]

=k2a

1− k2aβ

2~Eω + 2β

k2a

1− k2aβ

2~∇× ~Eω .

Finalmente, usando que ~∇ · ~Eω = 0 y definiendo

γ2 =k2a

1− k2aβ

2, (2.45)

obtenemos la siguiente ecuacion de ondas para ~Eω(~x)

∇2 ~Eω + 2βγ2~∇× ~Eω + γ2 ~Eω = 0 , (2.46)

que tiene la forma de la ec. (2.2)

D ~Fω = 0

con

D = ∇2 + +2βγ2~∇×+γ2

un operador diferencial de segundo orden que actua sobre las coordenadas espaciales yque se reduce al operador de Helmholtz cuando β = 0 (aquiral). De manera similar se

demuestra que ~Bω, ~Hω y ~Dω tambien satisfacen D ~Fω = 0.


2.5.4. Proyeccion de D ~Fω = 0 en la base de ondas planas

Repitiendo el triple analisis de Fourier de la dependencia espacial de las magnitu-des ~Fω(~x) en terminos de las tres variables conjugadas representadas por el vector ~k =(kx, ky, kz), de manera identica al procedimiento usado en (2.15), (2.14) y (2.16), intro-ducimos el nuevo operador diferencial D en la representacion integral (2.15) y pedimosque el resultado sea nulo en todo el espacio. Siguiendo los pasos utilizados para proyectarla ec. (2.17), proyectamos el nuevo resultado en la base (2.15) y ası obtenemos el analogode la ec. (2.18)

−k2 ~Fω;~k + 2iβγ2~k × ~Fω;~k + γ2 ~Fω;~k = 0 . (2.47)

De nuevo encontramos que la proyeccion en la base de ondas planas transforma la ecuaciondiferencial (2.2) en un sistema de ecuaciones algebraicas. Pero ahora el sistema (2.47) para

las componentes cartesianas de la amplitud compleja ~Fω;~k no es diagonal, como era el

sistema (2.18), sino que acopla las dos componentes transversales de ~Fω;~k en la basegeometrica formada por los versores e1 y e2, ambos perpendiculares a la direccion de laetiqueta espacial ~k. Escribiendo

~Fω;~k = F(1)

ω;~ke1 + F

(2)

ω;~ke2,

haciendo el producto vectorial ~k × ~E = −k F (2)

ω;~ke1 + k F

(1)

ω;~ke2 y operando, el sistema

acoplado de ecuaciones algebraicas (2.47) se reescribe

(γ2−k2)F(1)

ω;~k− 2 i β γ2k F

(2)

ω;~k= 0

2 i β γ2k F(1)

ω;~k+ (γ2−k2)F

(2)

ω;~k= 0

. (2.48)


Por ser un sistema homogeneo, la condicion para la existencia de ondas planas en elmedio quiral es que el determinante del sistema (2.48) sea cero. Pidiendo esta condicionse obtiene la relacion de dispersion k(ω) en forma implıcita

(γ2− k2)2 − 4 β2 γ4k2 = 0 , (2.49)

que por ser bicuadratica anticipa que hay dos pares de soluciones permitidas. En cadapar las soluciones tienen el mismo valor de |k| pero signos opuestos y representan ondasque viajan en direcciones opuestas. Resolviendo la ecuacion 2.49 se obtiene

kI = ± ka1− βka

, (2.50)

kD = ± ka1 + βka

. (2.51)


2.5.6. Polarizaciones permitidas

A cada una de las soluciones (2.50) y (2.51) le corresponde una relacion distinta entre

las componentes transversales F(1)

ω;~ky F

(2)

ω;~k, como puede verse despejando F

(1)

ω;~k/F

(2)

ω;~kde la

primera ecuacion del sistema 2.48

F(1)

ω;~k

F(2)

ω;~k

= −2 i β γ2k

γ2−k2,

y usando la relacion de dispersion

γ2 − k2 = ±2 β γ2k ,

resulta

F(1)

ω;~k

F(2)

ω;~k

= ±i , (2.52)

es decir que la base de ondas planas permitidas por el medio quiral para el campo ~Fω;~k

corresponde a ondas circularmente polarizadas en sentidos contrarios. Es facil ver quepara la solucion kI es F

(2)

ω;~k= i F

(1)

ω;~k, mientras que para la solucion kD es F

(2)

ω;~k= −i F (1)

ω;~k.

Resulta ası que la base de ondas planas etiquetada por (ω; ~k) se forma por la union dedos bases: una corresponde al subespacio circularmente polarizado en sentido derecho (D)y otra al subespacio circularmente polarizado en sentido izquierdo (I) y entonces

~Fω;~k = F(D)

ω;~k(e1 − i e2) + F

(I)

ω;~k(e1 + i e2) , (2.53)

(se estan usando bases D e I que no estan normalizadas). Si el medio quiral tiene asociadoun sentido de giro derecho, β > 0 y los elementos de la base I se propagan con menorvelocidad de fase (mayor k) que los elementos de la base D. Los elementos de la base D y losde la base I, por ser ortogonales, pueden propagarse sin interferir entre sı. Observar que enlos medios aquirales la base de ondas planas etiquetada por (ω; ~k) tambien se formaba porla union de dos bases: una correspondiente al subespacio 1 y otra al subespacio 2. Ambossubespacios eran ortogonales, pero se comportaban de la misma manera, viajaban con lamisma velocidad de fase y tenıan un rol intercambiable, permitiendo ası la propagacion decualquier estado de polarizacion. En cambio, en los medios quirales los campos solamentepueden tener polarizacion circular izquierda o derecha para cualquier etiqueta (ω; ~k) delas variables conjugadas.

Para frecuencias donde la parte imaginaria de los parametros constitutivos ε, µ y β esdespreciable, el vector ~k de “frecuencias espaciales” solamente puede estar en dos esferasdel espacio conjugado: en la esfera de radio kD, donde los campos transversales tienenamplitud vectorial compleja F

(D)

ω;~k(e1 − i e2) y en la esfera de radio kI , donde los campos


transversales tienen amplitud vectorial compleja F(I)

ω;~k(e1 + i e2). Ası, la representacion

integral de ~Fω(~x) se puede escribir

~Fω(~x) =

∫ ∞−∞δ(−~k ·~k + [k(D)(ω)]2

)F

(D)

ω;~k(e1 − i e2) ei

~k·~x d3k +∫ ∞−∞δ(−~k ·~k + [k(I)(ω)]2

)F

(I)

ω;~k(e1 + i e2) ei

~k·~x d3k , (2.54)

analoga a (2.21) en el sentido de que la triple integracion en d3k indica que van cambiando

las componentes de ~k), pero las deltas en los integrandos indican que los valores de |~k| semantienen siempre en las esferas D e I.

Cuando es conveniente explicitar las componentes independientes del vector ~k, apareceun doble signo en las componentes dependientes de ~kI y de ~kD, obtenidas a partir de lasecuaciones (2.50) y (2.51). Luego, cada una de las integrales en (2.54) da lugar a una sumade otras dos integrales y ası se obtiene una representacion integral con cuatro terminos,cada uno asociado a las etiquetas D+, I+, D−, e I−, la primera etiqueta referida ala polarizacion (derecha o izquierda) y la segunda referida al caracter progresivo (+) oregresivo (-) en la direccion que corresponde a la variable conjugada considerada comodependiente. Ası se obtiene una expresion analoga a (2.25). Notar que tanto en (2.21) comoen (2.54), ası como en todas las expresiones donde se explicitan direcciones transversales a~k, los versores e1 y e2 dependen de las variables de integracion y por lo general no puedensalir fuera de las integrales. Esto queda claro cuando se observa que una vez elegido e1

en el plano perpendicular a k, la otra direccion queda determinada por e2 = k × e1, queevidentemente depende de la direccion del vector ~k que aparece en la exponencial dentrode cada integral. En este sentido, estamos ante un abuso de notacion, que se pone mas enevidencia cuando observamos que e2 en el segundo integrando de (2.25) (que corresponde

a ~k+, progresivo), no es por lo general igual al e2 en el cuarto integrando de (2.25) (que

corresponde a ~k−, regresivo).

2.5.7. Poder rotatorio del medio quiral

Usando (2.43), las ecuaciones (2.50) y (2.51) se pueden reescribir en la forma

kI =ω

c

√εµ

1− βka=ω

cnI , kD =

ω

c

√εµ

1 + βka=ω

cnD , (2.55)

con

nI =

√εµ

1− βka, nD =

√εµ

1 + βka, (2.56)

los ındices de refraccion para ondas circularmente polarizadas I y D.

Tal como se ve en los cursos elementales de ondas, los medios con ındices de refracciondistintos para polarizaciones circulares opuestas tienen la capacidad de rotar la direccion


de vibracion de las ondas planas linealmente polarizadas que los atraviesan y se conocentambien como medios opticamente activos. El angulo de giro, proporcional a la distanciaL recorrida y a la diferencia de ındices de refraccion I y D, resulta

∆θ = (kI − kD)L

2, (2.57)

y usando (2.50) y (2.51)

∆θ = Lβk2

a

1− β2 k2a

, (2.58)

cantidad que depende de la frecuencia, tanto explıcita como implıcitamente (a traves delos tres parametros constitutivos del medio isotropo quiral).

2.5.8. Estructura de la onda plana

Tal como se hizo en 2.4.3, para explicitar las orientaciones relativas y las amplitudescomplejas de los distintos campos, conviene trabajar con cada elemento de la base porseparado, porque para cada onda plana con vector de onda ~k y frecuencia ω las ecuacionesde Maxwell con rotor toman la forma

~k × ~Eω;~k =ω

c~Bω;~k , (2.59)

~k × ~Hω;~k = −ωc~Dω;~k . (2.60)

Para relacionar campos distintos correspondientes a un mismo elemento de la base,elegimos a continuacion escribir todos los campos en terminos del campo electrico. Enun medio aquiral, y gracias a la forma sencilla de las relaciones constitutivas, la relacionentre ~Eω;~k y ~Hω;~k se obtenıa inmediatamente tanto a partir de la ley de Faraday, ver(2.26), o a partir de la ley de Ampere, ver (2.27). Aunque ahora no es tan inmediato, elproceso tambien requiere usar las relaciones constitutivas. Por ejemplo, reescribiendo laecuacion constitutiva (2.41) se obtiene

µ ~Hω = (1− ω2

c2εµβ2) ~Bω + i

ω

cβεµ ~Eω , (2.61)

y usando la ley de Faraday (2.59), se obtiene que la relacion entre ~Eω;~k y ~Hω;~k para ondasplanas en el medio quiral resulta

µ ~Hω;~k = (1− k2aβ

2)~k × ~Eω;~k

ω/c+ i

ω

cβεµ ~Eω;~k , (2.62)

con ka definido en (2.43). Para una onda I, ~E(I)

ω;~k= CI (e1I + i e2I), con CI una constante

compleja que juega el papel de F(I)

ω;~ken (2.54)

~kI × ~E(I)

ω;~k= CI ~kI × (e1I + ie2I) = −i kI ~E(I)

ω;~k, (2.63)


y entonces

µ ~H(I)

ω;~k= −i kI (1− k2

aβ2)~E

(I)

ω;~k

ω/c+ i

ω

cβεµ ~E

(I)

ω;~k=

−i ~E(I)

ω;~k

[(1− k2

aβ2)kIω/c− ω

cβεµ

]= −i ~E(I)

ω;~k

√εµ ,

y ası resulta

~H(I)

ω;~k= −i

~E(I)

ω;~k√µ/ε

. (2.64)

Para una onda D, ~E(D)

ω;~k= CD (e1D − i e2D), con CD una constante compleja que juega el

papel de F(D)

ω;~ken (2.54),

~kD × ~E(D)

ω;~k= CD ~kD × (e1D − ie2D) = i kI ~E

(D)

ω;~k. (2.65)

Reemplazando en la relacion constitutiva

µ ~H(D)

ω;~k= i kD (1− k2

aβ2)~E

(D)

ω;~k

ω/c+ i

ω

cβεµ ~E

(D)

ω;~k=

i ~E(D)

ω;~k

[(1− k2

aβ2)kDω/c

+ω

cβεµ

]= i ~E

(D)

ω;~k

√εµ ,

resulta

~H(D)

ω;~k= +i

~E(D)

ω;~k√µ/ε

. (2.66)

El campo magnetico asociado a cada modo se obtiene a partir de (2.59)

~B(I)

ω;~k= −i

√εµ

1− βka~E

(I)

ω;~k, ~B

(D)

ω;~k= i

√εµ

1 + βka~E

(D)

ω;~k, (2.67)

y el desplazamiento electrico a partir de (2.60)

~D(I)

ω;~k=

εI︷︸︸︷ε

1− βka~E

(I)

ω;~k, ~D

(D)

ω;~k=

εD︷︸︸︷ε

1 + βka~E

(D)

ω;~k. (2.68)

Por ultimo, haciendo el cociente entre las ecs. (2.68) y las ecs. (2.64)-(2.66) se obtiene

~B(I)

ω;~k=

µI︷︸︸︷µ

1− βka~H

(I)

ω;~k, ~B

(D)

ω;~k=

µD︷︸︸︷µ

1 + βka~H

(D)

ω;~k. (2.69)


La isotropıa del medio resulta evidente cuando observamos que los elementos de la ba-se cumplen ecuaciones constitutivas notablemente sencillas, de la misma forma que lasecuaciones generales del medio aquiral, pero con parametros constitutivos µI , µD, εI y εIexclusivos de cada modo de polarizacion circular.

Las expresiones obtenidas ponen en evidencia la estructura espacial de los elementosde la base I-D del espacio de campos electromagneticos en el medio quiral sin fuentes.Solo dos tipos de campos ~Fω;~k son admisibles, los que corresponden a ondas planas cir-cularmente polarizadas I y D. Las expresiones (2.64) y (2.66) muestran que los campos~Hω;~k rotan siguiendo la rotacion de ~Eω;~k, pero desfasados en ±π/2, es decir que siempre

son perpendiculares a ~Eω;~k. A partir de las ecs. (2.67) concluimos que lo mismo sucede

con ~Bω;~k, es decir, que ~Bω;~k y ~Hω;~k rotan pero son siempre paralelos entre sı, tal comoes de esperar para un medio isotropo. Analogamente, las ecs. (2.68) ponen en evidencia

que ~Dω;~k y ~Eω;~k rotan pero son siempre paralelos a entre sı.

2.5.9. Vector de Poynting

El promedio temporal del vector de Poynting asociado con los elementos izquierdo yderecho de la base (ω; ~k) se calcula usando las ecs. (2.64) y (2.66) y tomando partereal en (1.106). En el caso ideal en que el medio quiral no tiene perdidas (parametros

constitutivos BDF ε, µ y β reales) y suponiendo que todas las componentes de ~k sonreales

< ~S(I)

ω;~k>=

c

4πkI

√ε

µ|CI |2 ~kI , < ~S

(D)

ω;~k>=

c

4πkD

√ε2µ2

|CD|2 ~kD . (2.70)

Los resultados previos muestran que a lo largo de una direccion fija en el medio quiralse pueden propagar dos ondas circularmente polarizadas en sentidos de giro opuestos. Esinteresante demostrar que el promedio temporal del vector de Poynting correspondientea esta superposicion es la suma de las contribuciones I y D en (2.70). Ası resulta que nohay terminos de interferencia I-D y que la energıa de cualquier elemento del espacio delos campos electromagneticos permitidos en un medio quiral es la suma de las energıasde las proyecciones en la base I-D, tal como es de esperar para cualquier base ortogonal.

En todos los materiales quirales naturales conocidos se satisface |kaβ| 1 para todaslas frecuencias. Luego, los denominadores en las expresiones (2.50)-(2.51) son siemprepositivos y entonces son positivas las soluciones que tienen signo + en (2.50)-(2.51), unpunto que asumimos cuando mencionamos el caracter progresivo o regresivo de cada solu-cion. Sin embargo, las expresiones en (2.70) muestran que el flujo de potencia promedio en

cada modo circular resulta paralelo o antiparalelo a ~k, dependiendo de que las solucioneskI y kD sean positivas (fase y flujo de potencia en la misma direccion) o negativas (fasey flujo de potencia viajan en direcciones opuestas). Este detalle habıa pasado desaper-cibido, pero cobro importancia cuando se comprobo experimentalmente la posibilidadde obtener refraccion negativa empleando metamateriales con permeabilidad magnetica

2.6. MEDIO HOMOGENEO ELECTRICAMENTE ANISOTROPO 65

y permitividad electrica simultaneamente negativas. Estos metamateriales requieren dosresonancias separadas en el material refractante, una para µ y otra para ε. En cambio,la introduccion de una unica resonancia quiral conduce a la refraccion negativa de unade las dos polarizaciones circulares y esto resulta en disenos mejorados y simplificadosde metamateriales que refractan negativamente y la apertura de vıas de investigacionpreviamente desconocidas en un area actual de rapido crecimiento [7, 8].

Si ~k no es real, por ejemplo si los parametros constitutivos son complejos, entonces (acompletar).

2.5.10. Densidad de energıa electromagnetica

Calculemos el valor medio temporal de la densidad de energıa electromagnetica porunidad de volumen asociado con los elementos I y D de la base (2.53)

〈uω;~k〉 =1

16πRe ( ~Eω;~k · ~D

∗ω;~k

+ ~Bω;~k · ~H∗ω;~k

) . (2.71)

Cuando el medio quiral no tiene perdidas (parametros constitutivos BDF ε, µ y β reales)

y todas las componentes de ~k son reales, usando las ecs. (2.68) y (2.69) se obtiene

〈u(I)

ω;~k〉= 1

16π(εI | ~E(I)

ω;~k|2 + µI | ~H(I)

ω;~k|2), 〈u(D)

ω;~k〉= 1

16π(εD| ~E(D)

ω;~k|2 + µD | ~H(D)

ω;~k|2), (2.72)

y usando (2.64) y (2.66)

〈u(I)

ω;~k〉 =

1

8π(εI +

ε

µµI )|CI |2 , 〈u(D)

ω;~k〉 =

1

8π(εD +

ε

µµD) |CD|2 . (2.73)

Reemplazando en estas expresiones las definiciones de εI , εD, µI y µD finalmente se obtiene

〈u(I)

ω;~k〉 =

1

4π|CI |2

ε

1− βka〈u(D)

ω;~k〉 =

1

4π|CD|2

ε

1 + βka. (2.74)

Si se repite el analisis de transporte conservativo unidimensional para la energıa queya se se hizo en 2.4.5, se puede demostrar que la velocidad de propagacion de la energıacorrespondiente a cada polarizacion circular de la base de ondas planas viene dada porexpresiones analogas a (2.37). Y usando (2.56), (2.70) y (2.74) queda

v(I)e =

< ~S(I)

ω;~k>

〈u(I)

ω;~k〉

=c

nI, v(D)

e =< ~S

(D)

ω;~k>

〈u(D)

ω;~k〉

=c

nD. (2.75)

2.6. Medio homogeneo electricamente anisotropo

El comportamiento isotropo o anisotropo de un material depende de las simetrıas in-ternas de su estructura. Por lo general, todas las sustancias cristalinas manifiestan algun


tipo de anisotropıa. En el espacio tridimensional existen 230 simetrıas diferentes posiblesque pueden ser agrupadas en siete clases o sistemas. Estos sistemas permiten clasificara los cristales en siete grupos que, de menor a mayor simetrıa son: triclınico, trigonal,monoclınico, hexagonal, ortorrombico, tetragonal y cubico.

Consideremos el caso de los cristales transparentes en el rango optico. Estos tiene eltensor permeabilidad proporcional a la identidad y un tensor permitividad que por sersimetrico es diagonalizable. De esta manera, el cristal queda caracterizado electricamentepor los tres autovalores ε1, ε2 y ε3 del tensor permitividad. Los cristales mas simples,con simetrıa cubica, como el ClNa, tienen ε1 = ε2 = ε3 y son electricamente isotropos,completamente equivalentes a un solido amorfo con simetrıa de rotacion alrededor decualquier eje. En cambio, cuando la estructura tiene simetrıa de rotacion alrededor de unsolo eje (sistemas trigonal, hexagonal y tetragonal, como calcita o cuarzo) ε1 = ε2 6= ε3 yel cristal se llama uniaxial (positivo o negativo dependiendo que el autovalor repetido searespectivamente menor o mayor que el autovalor no repetido). Finalmente, cuando los tresautovalores son distintos se habla de un cristal biaxial (ejemplo, mica). Las ecuacionesconstitutivas son

~Dω = ε · ~Eω, (2.76)

~Bω = µ ~Hω , (2.77)

donde tanto los autovalres ε1, ε2, ε3 como µ son funciones de ω,

2.6.1. Ecuaciones con divergencia y transversalidad

Observamos que ~Dω(~x), ~Bω(~x), y ~Hω(~x) tienen divergencia cero, por lo tanto las am-plitudes complejas de estos campos en la base de ondas planas introducida por las ecs.(2.15), (2.14) y (2.16) tienen que ser vectores transversales al vector ~k que etiqueta ladependencia espacial de los elementos de la base de ondas planas. No sucede necesaria-mente lo mismo con la amplitud compleja ~Eω(~x) del campo electrico, que segun (2.76) es

una rotacion del vector transversal ~Dω(~x) .

2.6.2. Ecuacion maestra D ~Eω = 0

Para hallar la ecuacion de ondas para ~Eω(~x) , tomamos rotor en la ley de Faraday enel dominio temporal y usando la ecuacion constitutiva obtenemos

~∇× (~∇× ~Eω)− ω2

c2µ ε · ~Eω = 0 , (2.78)

que tiene la forma de la ec. (2.2)

D ~Eω = 0


con

D = ~∇× ~∇×−ω2

c2µε

un operador diferencial de segundo orden que actua sobre las coordenadas espaciales yque se reduce al operador de Helmholtz cuando ε es proporcional a la identidad. Notarque la ecuacion de ondas para el vector transversal ~Dω(~x), tiene la forma de la ec. (2.2),pero con otro operador de segundo orden, que no es mas sencillo que el operador obtenidopara el vector no transversal ~Eω(~x).

2.6.3. Proyeccion de D ~Eω = 0 en la base de ondas planas

Como en el procedimiento usado en las ecs. (2.15), (2.14) y (2.16), escribimos la de-

pendencia espacial de los campos ~Fω(~x) en terminos de las tres variables conjugadas

representadas por el vector ~k = (kx, ky, kz). Cuando realizamos sobre las representaciones

integrales de ~Fω(~x) las operaciones indicadas por las ecuaciones de Maxwell, obtenemosque en una region del cristal sin fuentes libres debe cumplirse que

−ωc~Dω;~k = ~k × ~Hω;~k , (2.79)

ω

cµ ~Hω;~k = ~k × ~Eω;~k , (2.80)

~Bω;~k · ~k = 0 , (2.81)

~Dω;~k · ~k = 0 , (2.82)

que ponen en evidencia que ~Eω;~k ⊥ ~Hω;~k y que el vector de Poynting asociado al elemento

de la base etiquetado por (ω; ~k), ~Sω;~k ∼ ~Eω;~k × ~Hω;~k, no esta en la direccion de ~k.

Cuando se introduce el operador diferencial D en la representacion integral de ~Eω(~x),se impone que el resultado sea nulo en todo el espacio y se proyecta el resultado enla base (2.15) de ondas planas, obtenemos, como en los casos previos, que la ecuaciondiferencial (2.2) se convierte en un sistema de ecuaciones algebraicas para las componentes

cartesianas de la amplitud compleja ~Eω;~k

~k × (~k × ~Eω;~k) +ω2

c2µε · ~Eω;~k = 0 . (2.83)

Usando la identidad vectorial ~A× ( ~B × ~C) = ~B( ~A · ~C)− ~C( ~A · ~B), este sistema se puedereescribir como

~k(~k · ~Eω;~k)− ~Eω;~k(~k · ~k) +

ω2

c2µε · ~Eω;~k = 0 . (2.84)

Si bien la ec. (2.82) permitirıa escribir una de las tres componentes cartesianas de la

amplitud compleja ~Eω;~k en funcion de las dos restantes, el procedimiento no trae aparejadaninguna ventaja y, a diferencia de los ejemplos anteriores, se sigue trabajando con elsistema de tres ecuaciones homogeneas para las tres componentes del vector ~Eω;~k.



Como siempre, la relacion de dispersion queda impuesta por los autovalores del ope-rador D mientras que las polarizaciones permitidas vienen dadas por sus autovectores.Al proyectar ecuaciones del tipo de la ec. (2.2) en la base de ondas planas se pasa a unproblema algebraico, y entonces los autovalores se obtienen con la condicion de que seacero el determinante del sistema de ecuaciones homogeneas, en este caso el sistema (2.84).Observamos que los coeficientes de este sistema dependen en general de la direccion de~k. Luego, las soluciones k(ω) de la ecuacion de dispersion, y por lo tanto la velocidad

de fase, tambien dependeran en general de la direccion de ~k. Esta caracterıstica del casoanisotropico no se manifestaba en las relaciones de dispersion de los medios estudiados en2.2.5 y 2.5 (ecs. (2.19) y (2.49)) ya que en los medios isotropos ninguna propiedad puede

depender de la direccion. Por este motivo, los vectores ~k permitidos en los casos tratadosanteriormente siempre estaban en esferas del espacio recıproco. En el caso anisotropicoesperamos entonces que las superficies que describen los vectores ~k permitidos cuando sevarıa la direccion a una frecuencia fija por lo general no sean esferas, sino superficies quereflejen las simetrıas internas del medio anisotropico en cuestion.

Los autovectores o polarizaciones permitidas asociadas con cada autovalor no puedenelejirse arbitrariamente como en el caso de medio aquiral, sino que quedan determinadospor el sistema de ecuaciones (2.84). Observando que en el caso ideal de medio sin perdidaseste sistema tiene coeficientes reales, se deduce que los autovectores tienen polarizacionlineal (pero no arbitraria, se puede probar que las dos polarizaciones lineales de ~Dω;~k sonortogonales). En cambio, los coeficientes del sistema de ecuaciones algebraicas obtenidopara el medio quiral sin perdidas, (2.47) o (2.48), eran reales o imaginarios puros y es asıque las componentes de los autovectores quedan desfasadas entre sı, (2.52), dando lugara dos autovectores circularmente polarizados (ortogonales para todo campo).

Fijando la direccion de ~k = kk, k = u1e1 + u2e2 + u3e3, con u21 + u2

2 + u23 = 1 y

proyectando en la componente i (i = 1, 2, 3) tenemos∑j

[ k2uiuj +ω2

c2µεij − k2δij︸︷︷︸

Wij(~k)

]E(j)

ω;~k= 0 . (2.85)

Para que este sistema homogeneo tenga solucion no trivial, el determinante de Wij(~k)debe ser cero.

2.6.5. Sistema para los ejes principales del tensor ε

Es conveniente escribir la matriz Wij en el sistema de coordenadas donde ε es diagonal

W =

k2(u21 − 1) + µk2

0ε1 k2u1u2 k2u1u3

k2u1u2 k2(u22 − 1) + µk2

0ε2 k2u2u3

k2u1u3 k2u2u3 k2(u23 − 1) + µk2

0ε3

. (2.86)


El determinante de esta matriz es(−1 + u2

1 + u22 + u2

3

)k6 +

µ(−k2

0ε1u23 + k2

0ε1 + k20ε3 − k2

0ε2u23 + k2

0ε2 − k20ε1u

22 − u2

1k20ε3 − u2

1k20ε2 − u2

2k20ε3)k4 +

µ2(k4

0ε1u22ε3 − k4

0ε1ε2 − k40ε1ε3 + k4

0ε1ε2u23 − k4

0ε2ε3 + u21k

40ε2ε3

)k2 +

µ3k60ε1ε2ε3 , (2.87)

el termino en k6 se anula y el determinante de W resulta proporcional a

µ(−ε1u2

3 + ε1 + ε3 − ε2u23 + ε2 − ε1u2

2 − u21ε3 − u2

1ε2 − u22ε3)k4 +

µ2(k2

0ε1u22ε3 − k2

0ε1ε2 − k20ε1ε3 + k2

0ε1ε2u23 − k2

0ε2ε3 + k20u

21ε2ε3

)k2 +

µ3ε1ε2ε3k40 , (2.88)

y definiendo el ındice de refraccion n

n =k

k0

, (2.89)

la ecuacion de dispersion queda

µ[(ε1 + ε2 + ε3)− (ε2 + ε3)u2

1 − (ε1 + ε3)u22 − (ε1 + ε2)u2

3

]n4 +

µ2[u2

1ε2ε3 + u22ε1ε3 + u2

3ε1ε2 − (ε1ε2 + ε1ε3 + ε2ε3)]n2 +

µ3ε1ε2ε3 = 0 , (2.90)

que es una ecuacion bicuadratica para el ındice de refraccion n, de la forma An4 +Bn2 +C = 0, cuyas soluciones tienen la forma

n = ±

√−B ±

√B2 − 4AC

2A. (2.91)

El primer ± indica que las direcciones ±~k tienen la misma velocidad de fase. Dejando delado este primer ±, vemos que esencialmente hay dos soluciones, n+ y n−, que se corres-ponden con el segundo ± en 2.91. Al igual que en un medio quiral, hay dos velocidades defase para una misma direccion de propagacion, pero existe una diferencia muy importantey es que en general, estos valores de la velocidad de fase dependen de la direccion (en elmedio quiral las raıces de la ecuacion de dispersion eran independientes de la direccionde propagacion). En el espacio de los vectores ~k, estas soluciones definen una superficiede dos hojas entrecruzadas y el cruce corresponde a la condicion B2−4AC = 0 en (2.91).Las direcciones en que n+ = n− se llaman ejes opticos y se puede probar que en el casoen que los tres autovalores ε1, ε2 y ε3 del tensor permitividad son distintos hay dos ejesopticos (cristales biaxiales) mientras que si el tensor permitividad tiene dos autovaloresiguales y uno distinto, hay solamente un eje optico (cristales uniaxiales).

El estudio analıtico de la estructura del espacio recıproco excede el alcance de estecurso. Por eso aca elegimos el camino facil de resolver numericamente la ecuacion 2.91.


Figura 2.1: secciones principales de las soluciones n+ y n− de la superficie de ındices dada por laecuacion (2.91) para el caso µ = 1, ε1 = 2, ε2 = 3 y ε3 = 4. Arriba: plano 2-3 (u1 = 0). Centro: plano 1-3(u2 = 0). Abajo: plano 1-2 (u3 = 0). Los ejes opticos estan en la seccion u2 = 0 asociada al autovalorintermedio del tensor permitividad.

2.7. PULSOS Y HACES LIMITADOS 71

En la figura 2.1 se muestran las secciones principales de las soluciones de la ecuacion(2.91) para el caso de un cristal hipotetico, con µ = 1, ε1 = 2, ε2 = 3 y ε3 = 4 (cristalbiaxial). Observar que los ejes opticos estan en el plano u2 = 0, es decir en el plano delautovalor intermedio del tensor permitividad.

Si bien los vectores y tensores que aparecen en la descripcion electromagnetica demedios con ecuaciones constitutivas tensoriales siempre se pueden escribir explıcitamenteen un sistema de coordenadas particular, como el sistema de ejes propios del tensor queusamos para escribir (2.86), este paso complica la parte matematica y por lo generalenmascara la fısica del problema. Comparemos por ejemplo la compacta simplicidad dela ecuacion (2.83), escrita en terminos de objetos que, como la direccion de propagaciono los campos, no cambian de un sistema de coordenadas a otro (solamente cambiansus componentes, como queda claro si se piensa que la flechita de un vector siemprees la misma), con la mas molesta notacion con sumatorias y subındices de la ecuacion(2.85) o (2.86). Una descripcion mas avanzada que facilita las soluciones y proporcionaresultados de una mayor generalidad se independiza de cualquier sistema particular decoordenadas [9,10], pero el precio que hay que pagar es utilizar una representacion diadicade los tensores y familiarizarse con la manipulacion directa de vectores, dıadas y susinvariantes.

2.7. Pulsos y haces limitados

Los campos electromagneticos representados por una onda plana monocromatica notienen una duracion, es decir que no se prenden ni se apagan nunca. Tampoco estanlocalizados espacialmente en ninguna direccion: en la direccion de propagacion no em-piezan ni terminan nunca y en todo plano perpendicular a la direccion de propagaciontoman siempre el mismo valor. Estas son claras indicaciones de que las ondas planasmonocromaticas son una idealizacion a la que no siempre es posible aproximarse en lavida real. Por ejemplo, los campos en el haz emitido por un puntero laser (fuente laser deonda continua) tienen una direccion de propagacion observable, pero, a diferencia de loscampos de una onda plana, estan localizados (tienen un ancho caracterıstico) en el planoperpendicular a la direccion de propagacion. Otro ejemplo son las fuentes laser pulsadasutilizadas para quitar material de la superficie de un solido (ablacion), o las que se em-plean en oftalmologıa y dermatologıa. Estas fuentes generan campos que, a diferencia delos de una onda plana, tienen una duracion. Y con esta duracion, que puede variar entreunos milisegundos y unos femtosegundos, se controla la cantidad de energıa absorbidapor el material irradiado y ası tambien se controla la cantidad de material que se puedeeliminar.

En esta seccion veremos ciertas restricciones que deben satisfacer las amplitudes com-plejas ~Fω;~k para que la superposicion (2.15), sintetizada a partir de la base de ondasplanas monocromaticas, represente dependencias espacio-temporales realistas, que apro-ximen mejor los campos observados en los experimentos.


2.7.1. Paquete plano 1D

Por simplicidad consideremos un fenomeno unidimensional (con x la coordenada es-pacial relevante) y solo una componente cartesiana F (x, t). Investiguemos cual es el re-sultado de sintetizar un paquete con muchas ondas planas de distintas frecuencias, perocon igual direccion de propagacion ~k = kx. Si bien (2.15) es un desarrollo general, nocumple necesariamente las condiciones electrodinamicas. Para que las cumpla se tienenque satisfacer las relaciones de dispersion, ω(~k) o ~k(ω), y ası aparezcen en el integrandofunciones delta de Dirac, como en (2.21) para un medio aquiral, o como en los terminosde (2.54) para un medio quiral. Si en (2.15) se hace primero la integracion en k, entoncesFω; k(ω) es solamente una funcion de ω y queda una integral en la variable ω del tipo

F (x, t) =

∫ ∞−∞

A(ω−ω0)︷︸︸︷Fω; k(ω) e

i[k(ω)x−ωt] dω . (2.92)

En cambio, si en (2.15) se hace primero la integracion en ω, entonces Fω(k); k es solamenteuna funcion de k y queda una integral en la variable k del tipo

F (x, t) =

∫ ∞−∞

B(k−k0)︷︸︸︷Fω(k); k e

i[kx−ω(k)t] dk , (2.93)

con k0 = k(ω0) Ambas expresiones representan una perturbacion plana, en el sentidode que no esta localizada espacialmente en las direcciones perpendiculares a la direccionde propagacion. Sin embargo, a diferencia de lo que sucede con una unica componentemonocromatica, veremos que a t fijo aparece una localizacion espacial en la direccion depropagacion y que a x fijo aparece una localizacion temporal (una duracion, un principioy un fin). Para que sea mas evidente que Fω; k(ω) = A(ω − ω0) en (2.92) es una funcionsolamente de ω, o que Fω(k); k = B(k−k0) en (2.93) es una funcion solamente de k, se handefinido funciones A y B (los espectros de la superposicion) con ω y k como argumentos(y no como etiquetas) y se ha preparado la notacion para dar a entender que en la practicasuelen interesar funciones A y B de soporte compacto y con un maximo bien definido,que por comodidad suponemos que ocurre para argumento cero. Es decir, A y B sonfunciones “no muy desparramadas” y con un ancho caracterıstico, como por ejemplo lafuncion gaussiana

B(ζ) = a exp[− 1

2

( ζσ

)2]. (2.94)

Como se trata de dos formulaciones equivalentes (siempre se puede pasar de una a laotra) podemos trabajar tanto con el paquete dado por la ecuacion (2.92) como con eldado por la ecuacion (2.93). Eligiendo la segunda opcion, podemos ver que, en el instanteinicial, la superposicion sintetizada a partir de la base de ondas planas monocromaticasvale

F (x, 0) =

∫ ∞−∞B(k − k0) eikx dk = eik0x

∫ ∞−∞B(k − k0) ei(k−k0)x dk , (2.95)


que muestra que B(ζ) es la transformada de Fourier de F (x, 0)e−ik0x con respecto a lavariable conjugada ζ

B(ζ)=1

2π

∫ ∞−∞F (x, 0) e−ik0x e−iζx dx =⇒ B(k − k0)=

1

2π

∫ ∞−∞F (x, 0) e−ikx dx , (2.96)

o, equivalentemente, que B(k− k0) es la transformada de Fourier de F (x, 0) con respectoa la variable conjugada k. El punto mas relevante de este analisis es que, por estarrelacionadas mediante transformadas de Fourier, en un paquete sintetizado con ondasplanas de distinta frecuencia, las funciones B(k − k0) y F (x, 0) tienen localizacionesopuestas, en el sentido de que cuanto mas localizada esta B(k − k0), menos localizadaesta F (x, 0) y viceversa. Por ejemplo, para una unica onda plana, B(ζ) = δ(ζ), B(k −k0) = δ(k − k0), que es una distribucion completamente localizada en el espacio de lavariable k, le corresponde una distribucion espacial inicial F (x, 0) = eik0x completamentedeslocalizada. Otro ejemplo de interes es el paquete gaussiano, con B(ζ) dado por (2.94),cuya transformada de Fourier es tambien una funcion gaussiana espacial, con desviacionestandar inversamente proporcional a la desviacion σ de la distribucion espectral.

Ademas de resultar de interes en numerosas aplicaciones, es natural preguntarnos si elcampo representado por el paquete (2.93) mantiene su forma a medida que se propaga. Esclaro que la forma de la relacion de dispersion k(ω) es crıtica para la evolucion temporalde la perturbacion. Si la relacion entre k y ω es lineal ω = kvf , todas las ondas planasviajan con la misma velocidad de fase y entonces la evolucion de la superposicion parat > 0 queda

F (x, t) =

∫ ∞−∞B(k − k0) eik(x−vf t) dk (2.97)

que tiene la misma forma que (2.95), con x reemplazado por x− vf t. Luego,

F (x, t) = F (x− vf t, 0) , (2.98)

que indica que la forma inicial viaja con la velocidad de fase vf sin deformacion, tal comosucede con las ondas electromagneticas en el vacıo, con vf = c.

En medios materiales, debido a que los parametros constitutivos dependen de la fre-cuencia, la velocidad de fase vf no es constante, la relacion entre k y ω deja de ser lineal,las ondas planas de la superposicion no viajan con la misma velocidad y entonces por logeneral es de esperar que el paquete cambie su forma respecto a F (x, 0) a medida que pa-sa el tiempo. Cuando los espectros tienen buena localizacion, es decir, cuando la funcionB(ζ) tiene un pico bien definido y angosto, el intervalo de integracion en (2.93) se reducepracticamente a una pequena region alrededor de k0 = k(ω0). Entonces, para relacionesde dispersion ω(k) suaves, fuera de zonas anomalas como las zonas asociadas a resonan-cias (ver 1.8.1), ω(k) se puede aproximar por los primeros terminos de su desarrollo enserie de Taylor

ω(k) ≈ ω0 +(∂ω∂k

)ω0︸︷︷︸

≡vg

(k − k0) + . . . , (2.99)


y

F (x, t) ≈∫ ∞−∞B(k − k0) eikx−[ω0+vg(k−k0)]t dk =

ei(k0x−ω0t)

∫ ∞−∞B(k − k0) ei(k−k0)(x−vgt) dk =

F (x− vgt, 0) ei(k0x−ω0t) . (2.100)

Esta expresion representa una onda monocromatica plana ei(k0x−ω0t) de frecuencia ω0

(senal portadora) modulada por un factor que depende solo de u = x−vgt y que mantienela dependencia espacial inicial, aunque desplazada rıgidamente una distancia vgt, unacaracterıstica que indica que la senal moduladora que viaja con velocidad vg

vg ≡(∂ω∂k

)ω0

, (2.101)

llamada velocidad de grupo. Segun la primera igualdad en (2.95)) la senal moduladora esla transformada de Fourier con respecto a la variable u = x− vgt de la funcion espectralA(ζ), caracterıstica que indica que la localizacion espacial de la senal moduladora esinversamente proporcional a la localizacion espectral de las amplitudes complejas B(k −k0), fijada a su vez por la localizacion espectral de las etiquetas ω en la superposicion(2.15). Se deja como ejercicio obtener a partir de (2.92) un resultado analogo a (2.100),pero que involucre, en vez de la forma inicial del paquete, la dependencia temporal delpaquete en un punto fijo, por ejemplo x = 0.

Recapitulando, un paquete de ondas 1D se propaga sin deformarse si la relacion dedispersion de las ondas monocromaticas planas en la zona frecuencial de interes se puedeaproximar por una relacion lineal. En el vacıo la relacion de dispersion es lineal y resultavg = c, pero en medios materiales la velocidad de fase vf de las ondas monocromaticasplanas depende de la frecuencia y en general sera vg 6= vf . Cuando la relacion de dispersionno se puede aproximar por una funcion lineal, como sucede en las zonas de dispersionanomala, puede ocurrir que el paquete se deforme mucho, perdiendo incluso su identidad.En estos casos, el concepto de velocidad de grupo pierde sentido y el valor dado por(2.101) puede llegar a ser incluso mayor que la velocidad de la luz.

2.7.2. Haz monocromatico localizado espacialmente

Los paquetes de onda construıdos con ondas planas de distintas frecuencias pero lamisma direccion de propagacion no tienen localizacion espacial en las direcciones trans-versales. En el siguiente ejemplo veremos que la localizacion transversal se puede sin-tetizar mediante superposicion de ondas planas que viajan en direcciones ligeramentedistintas. Para separar los efectos de localizacion transversal y longitudinal vamos a usarla expresion (2.15) para sintetizar una componente de campo a partir de ondas planasestrictamente monocromaticas (de acuerdo con lo discutido en 2.7.1 esperamos que no


haya localizacion longitudinal) y que viajan en distintas direcciones. Para simplificar,supongamos que las direcciones estan todas en el mismo plano, por ejemplo el plano(x, y).

Con estas suposiciones, la superposicion (2.15) dara un campo monocromatico bidi-

mensional, F (x, y, t), independiente de la coordenada z. Escribimos ~k = αx + βy, conβ una funcion de α y de ω, determinada por la relacion de dispersion (si bien β estamultivaluada por venir de una ecuacion bicuadratica, fısicamente es claro que la multi-valuacion se tiene que resolver mediante la condicion de que la sıntesis resultante tengauna direccion de propagacion bien definida e informacion adicional sobre los modos delmedio). Para fijar ideas podrıamos pensar que la superposicion se hace en un medio aqui-ral ordinario y entonces las componentes de la superposicion estan asociadas a vectoresdel mismo modulo que cambian su direccion segun el valor de α y si se desea sintentizaralgo progresivo en y, entonces se deben excluir soluciones con el signo menos en las raıcescuadradas de la ecuacion (2.23). La parte espacial de este campo Fω(x, y) viene dada porla segunda integral en (2.15) y por lo discutido en la oracion anterior la etiqueta k en elintegrando de Fω(x, y) se reduce a la etiqueta α

Fω(x, y) =

∫ ∞−∞

Aω(α−α0)︷︸︸︷Fω;α ei[αx+β(α)y)] dα . (2.102)

Como se hizo en 2.7.1, la etiqueta que coincide con la variable de integracion se escribecomo argumento. La manera de construir esta superposicion depende del problema fısico.Supongamos que se trata de un haz muy direccional que se propaga en la direccion~k0 = α0x + β0y y que el haz se aleja del plano y = 0 en la direccion de y → ∞. Lasegunda condicion muestra que para un medio aquiral isotropo se debe elegir β = +

√. . .

(ver (2.23)). Y si es posible definir una direccion de propagacion, entonces la funcionAω(α) debe tener un pico mas o menos angosto cerca de α = α0. En este caso las mayorescontribuciones a la integral en (2.102) provienen de la zona α ≈ α0 y entonces es lıcitoaproximar β(α) a primer orden en α

β(α) ≈ β0 +(∂β∂α

)α0︸︷︷︸

−α0/β0

(α− α0) + . . . . (2.103)

Cuando se introduce este desarrollo en (2.102) queda

Fω(x, y) ≈∫ ∞−∞Aω(α− α0) e

i[αx+β0y−α0β0

(α−α0)y]dα =[ ∫ ∞

−∞Aω(α− α0) e

i(α−α0)(x−α0β0y)

dα

]ei(α0x+β0y) =[ ∫ ∞

−∞Aω(α′) e

iα′(x−α0β0y)

dα′]

︸︷︷︸T (x−α0

β0y)

ei~k0·~x , (2.104)


que representa una onda plana monocromatica ei~k0·~x que se propaga en la direccion

“media”~k0, modulada por la amplitud variable T

T (x− α0

β0

y) =

∫ ∞−∞Aω(α′) e

iα′(x−α0β0y)

dα′ . (2.105)

Esta amplitud variable T depende solamente de la combinacion u = x − α0

β0y. Como la

direccion ~η = x − α0

β0y es perpendicular a ~k0, la coordenada u = ~η · ~x no varıa en la

direccion de ~k0 y entonces (2.105) representa una modulacion transversal a la direccionde propagacion del haz. El tamano transversal del haz (su ancho) es inversamente propor-cional a la dispersion angular de las ondas planas monocromaticas constituyentes. Estoes ası porque segun (2.105) T (η) es la transformada de Fourier de Aω(ζ) = Aω(α − α0)y entonces a mayor localizacion angular, menor localizacion transversal. El haz emitidopor un laser tiene esta forma, con una distribucion gausiana para Aω(ζ) que correspondea una distribucion tambien gausiana en las coordenadas transversales. En este caso el ta-mano de la mancha que produce el haz es una medida del σ asociado con la distribucionespacial transversal T (η). Notar que si bien se trata de situaciones fısicas muy distintas,existe una completa dualidad entre las descripciones del haz monocromatico (2.104) y delpaquete de ondas plano (2.100), consecuencia natural de que ambas descripciones estanbasadas en la misma herramienta matematica, el analisis de Fourier.

Si se abandona la simplificacion de la pagina 75 y en la sıntesis (2.15) se permiten ondas

planas con direcciones de propagacion ~k cercanas a la direccion ~k0, pero no necesariamenterestringidas al plano (x, y), la superposicion (2.15) dara un campo monocromatico tridi-mensional, F (x, y, z, t). Bajo condiciones similares a las del caso simplificado, esperamos

que F (x, y, z, t) represente un haz con direccion de propagacion ~k0, ahora modulado por

una funcion T (u, v) que varıa en las dos direcciones del plano perpendicular a ~k0 (en el

ejemplo simplificado variaba solamente en aquella direccion perpendicular a ~k0 que estabacontenida en el plano determinado por todos los vectores ~k usados en la sıntesis). Ahora

escribimos ~k = αx + βy + γz, con β funcion de α, γ y ω determinada por la relacionde dispersion. Haciendo consideraciones similares sobre la multivaluacion de β, la parteespacial Fω(x, y, z) viene dada por la segunda integral en (2.15). y por lo discutido en la

oracion anterior la etiqueta ~k en el integrando de Fω(x, y) ahora se reduce a dos etiquetas:α y γ,

Fω(x, y) =

∫ ∞−∞

Aω(α−α0,γ−γ0)︷︸︸︷Fω;α; γ ei[αx+β(α,γ)y+γz)] dα dγ . (2.106)

Las dos etiquetas que coinciden con las variables de integracion se escriben como argu-mentos de una funcion de dos variables con un maximo bien definido cerca de α0, γ0 yen esta zona β(α, γ) se aproxima a primer orden

β(α) ≈ β0 +(∂β∂α

)α0;γ0︸︷︷︸

−α0/β0

(α− α0) +(∂β∂γ

)α0;γ0︸︷︷︸

−α0/γ0

(γ − γ0) + . . . . (2.107)


Ası se obtiene una expresion analoga a (2.104)

Fω(x, y, z) ≈∫ ∞−∞Aω(α− α0, γ − γ0) e

i[αx+β0y−α0β0

(α−α0)y− γ0β0

(γ−γ0)y+γz]dα dγ =[ ∫ ∞

−∞Aω(α− α0, γ − γ0) e

i[(α−α0)(x−α0β0y)+(γ−γ0)(z− γ0

β0y)]

dα

]ei(α0x+β0y+γ0z) =[ ∫ ∞

−∞Aω(α′) e

i[α′(x−α0β0y)+γ′(z− γ0

β0y)]

dα′ dγ′]

︸︷︷︸T (x−α0

β0y,z− γ0

β0y)

ei~k0·~x , (2.108)

que representa una onda plana monocromatica ei~k0·~x que se propaga en la direccion

“media”~k0, modulada por la amplitud variable T

T (x− α0

β0

y, z − γ0

β0

y) =

∫ ∞−∞Aω(α′, γ′) e

i[α′(x−α0β0y)+γ′(z− γ0

β0y)]

dα′ dγ′, (2.109)

que depende solamente de las combinaciones u = x − α0 y/β0 y v = z − γ0 y/β0, ambas

invariantes en la direccion de ~k0. Luego, (2.109) representa una modulacion que varıa en lasdos direcciones u y v transversales a la direccion de propagacion del haz. Observamos queel tamano caracterıstico del haz segun cada coordenada resulta inversamente proporcionala la dispersion angular, en direcciones asociadas a dichas coordenadas, de las ondas planasmonocromaticas constituyentes, una caracterıstica que es consecuencia de que, segun(2.109), T (u, v) es la transformada de Fourier de Aω(α− α0, γ − γ0).

Bibliografıa

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[10] “Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach” (McGraw Hill,1983)

78

Capıtulo 3

Problemas de frontera

Una vez familizarizados con las propiedades fundamentales de los campos electro-magneticos en medios materiales ilimitados sin fuentes libres, y siguiendo la ruta pro-puesta de partir de problemas sencillos para ir aumentando gradualmente el nivel dedificultad y ası incorporar nuevas herramientas y nuevos conceptos, en esta parte deja-remos de lado la hipotesis de medios ilimitados. Y prestaremos atencion a lo que sucedecuando un medio material esta limitado, es decir, cuando empieza o termina en ciertoscontornos a partir de los cuales hay otros medios o vacıo.

Mantendremos la hipotesis de ausencia de fuentes libres en todas las regiones, es de-cir que seguiremos trabajando con las ecuaciones de Maxwell homogeneas. Esto implicaque para medios lineales el comportamiento de los campos en cada region sigue estandodeterminado por ecuaciones como (2.2), en terminos del operador D asociado a cada me-dio. Si bien cuando no hay contornos sabemos como resolver el operador diferencial en elinterior de cada region, cuando aparecen discontinuidades es necesario usar las relaciones(1.25)-(1.28) para especificar como se “pegan” los campos y sus derivadas (porque D esun operador de segundo orden) cuando se pasa de una region a otra. Este tipo de pro-blemas son bien conocidos en matematicas en el campo de las ecuaciones diferenciales yse llaman roblemas de condicion de frontera, problemas de frontera, de condicion (o devalor) de borde o contorno, etc. Aparecen en todos los campos de la fısica formuladosmediante ecuaciones diferenciales y muchos tienen la forma de los llamados problemas deSturm-Liouville. Los problemas de Sturm-Liouville aparecen cuando se hace separacionde variables de operadores diferenciales, como los operadores D del capıtulo anterior, ensistemas de coordenadas especialmente adaptados para describir un contorno mediantela condicion una coordenada igual a constante y la teorıa de Sturm-Liouville [1] permitedeterminar que valores de las constantes de separacion (llamados autovalores) aseguranla existencia de un conjunto completo de soluciones no triviales (llamadas funciones pro-pias) que ademas de ser solucion del operador D, tambien satisfagan las condiciones defrontera.

79

80 CAPITULO 3. PROBLEMAS DE FRONTERA

3.1. Preexistentes inductores vs adicionales inducidos

Consideremos una solucion ~Fpe(~x, t) de las ecuaciones de Maxwell en un medio sin fuen-

tes libres ni contornos. Que ~Fpe(~x, t) sea solucion que existe en el medio por sı misma, esdecir, que si fue generada fısicamente de alguna manera, seguira existiendo como solucionen el medio, sin necesidad de que intervengan otras soluciones distintas. En cambio, siahora se introduce una discontinuidad en el medio, serıa mucha casualidad que la solucion~Fpe(~x, t) cumpliera las condiciones de contorno electromagneticas en la discontinuidad,especialmente porque jamas le fueron impuestas (como queda claro observando que en elcapıtulo anterior nada hace referencia a condiciones de contorno). Luego, si la solucion~Fpe(~x, t) realmente existe cerca de la discontinuidad entre dos medios, entonces no puedeestar sola, debe estar acompanada por dos tipos de soluciones adicionales a cada lado dela discontinuidad: las de un tipo seran combinacion de la base de soluciones asociada conel medio material a un lado de la discontinuidad y las del otro tipo seran combinacionde la base de soluciones asociada con el medio material al otro lado de la discontinuidad.Y de manera tal que la combinacion de soluciones adicionales y solucion preexistente~Fpe(~x, t) satisfaga las condiciones en el contorno.

Para fijar ideas e ilustrar el proceso discutido en el paragrafo anterior, podrıamospensar en el caso en que ~Fpe(~x, t) representa el campo electrico generado en un mediohomogeneo por un capacitor de caras paralelas, con las placas, muy alejadas entre sı.Si en este escenario se introduce una discontinuidad, por ejempo una esfera de oro amitad de camino entre las placas del capacitor, el campo preexistente ~Fpe(~x, t), generadopor cargas y corrientes en las placas del capacitor, deja de ser solucion del problemaelectrodinamico y aparecen soluciones adicionales. ¿Por que aparecen estas solucionesadicionales? Un matematico dirıa que las soluciones adicionales tienen que aparecer paraque se cumplan las condiciones de contorno, que los campos preexistentes por si solos nocumplen. Y un fısico dirıa que las soluciones adicionales que aparecen a uno y otro ladode la discontinuidad son generadas por las nuevas fuentes inducidas creadas por el campopreexistente dentro de la esfera de oro. Es claro que las dos explicaciones son equivalentesy a la vez complementarias (explicacion proviene etimologicamente de desplegar, mostrarlo que estaba doblado, plegado, oculto en un interior no visible o perceptible a la razon),tanto la explicacion matematica como la fısica hacen comprensible lo que en un primermomento no lo serıa.

En ciertos problemas de contorno la solucion preexistente representa campos inciden-tes sobre una discontinuidad, mientras que las soluciones adicionales representa camposreflejados y transmitidos, o difractados para un lado y para el otro, o dispersados . . . uotras interpretaciones alternativas que dependeran de cada problema particular. El puntoprincipal es que si se tiene una solucion en un medio sin fuentes libres y en ausencia decontornos, cuando existen contornos deben aparecer necesariamente nuevas soluciones.Y como no hay fuentes libres, estas nuevas soluciones tienen que haber sido creadas porfuentes inducidas asociadas a la presencia de contornos (las fuentes inducidas no nospreocupan, porque las estamos manejando con las relaciones constitutivas).

3.2. CONSERVACION DE LA FRECUENCIA 81

3.2. Conservacion de la frecuencia

Consideremos los campos a cada lado de una superficie de separacion entre dos medioslineales homogeneos 1 y 2. Siguiendo el planteo de 2.1, cualquier componente del campo~F (j)(~x, t) se escribe en terminos de su transformada de Fourier ~F

(j)ω (~x), ver (1.35). El

supraındice j (j = 1, 2) indica el medio y ~F(j)ω (~x) es una combinacion de autofunciones

del operador D(j) en cada medio. Sin perdida de generalidad supongamos que la superficiede separacion en el sistema de coordenadas usado viene especificada por el vector ~xS

La condicion de contorno (1.27) tiene la forma

n× ~E(1)( ~xS, t) = n× ~E(2)( ~xS, t) (3.1)

con n el versor normal que varıa con ~xS y que apunta del medio 1 al medio 2 (en elejemplo del ultimo paragrafo de la seccion anterior ~xS esta sobre una esfera y n = r es elversor radial). Esta condicion de contorno debe cumplirse en todo instante (para todo t)yen todo punto de la superficie (para todo ~xS). En el dominio frecuencial, (3.1) se escribe

n×∫ ∞−∞

~E(1)ω ( ~xS) e−i ωtdω = n×

∫ ∞−∞

~E(2)ω ( ~xS) e−i ωtdω . (3.2)

Al igual que en el espacio ordinario de vectores geometricos, donde una igualdad entre dosvectores se puede proyectar en una base espacial y ası llegar a tres sistemas de ecuacionesque relacionan las componentes de ambos vectores, una igualdad en el espacio de Hilbertde funciones del tiempo como (3.2) tambien se puede proyectar en una base del espacio, eneste caso la base de funciones temporales armonicas e−i ωt, etiquetadas por el parametroreal continuo ω. En este espacio el producto escalar entre dos funciones del tiempo es iguala la integral temporal del producto entre una funcion y el complejo conjugado de la otra.Para proyectar la igualdad (3.2) en la base e−i ωt hay que hacer el producto escalar entre(3.2) y un elemento generico de la base, por ejemplo el que tiene etiqueta ω′. Con este finprimero multiplicamos miembro a miembro la igualdad (3.2) por ei ω

′t y luego, como elresultado vale para todo t, integramos la igualdad resultante en el intervalo −∞ < t <∞∫ ∞

−∞

[n×∫ ∞−∞

~E(1)ω ( ~xS) e−i (ω−ω

′)tdω]dt =

∫ ∞−∞

[n×∫ ∞−∞

~E(2)ω ( ~xS) e−i (ω−ω

′)tdω]dt . (3.3)

Para una superficie estacionaria, ni ~xS ni n dependen del tiempo e intercambiando elorden de integracion∫ ∞

−∞

[n× ~E(1)

ω ( ~xS)

∫ ∞−∞

e−i (ω−ω′)t dt

]dω =

∫ ∞−∞

[n× ~E(2)

ω ( ~xS)

∫ ∞−∞

e−i (ω−ω′)t dt

]dω , (3.4)

y como los elementos de la base son ortogonales (el producto escalar entre una exponencialcon etiqueta ω y otra exponencial con etiqueta ω′ es proporcional a una delta de Dirac)∫ ∞

−∞e−i (ω−ω

′)tdt = 2π δ(ω − ω′) , (3.5)


luego de integrar en ω se obtiene que la proyeccion de la condicion de contorno (3.2) enla base de funciones temporales armonicas se escribe

n× ~E(1)ω′ ( ~xS) = n× ~E

(2)ω′ ( ~xS), (3.6)

(ω′ es una etiqueta comodın, se puede reemplazar por ω) y ası llegamos a que la condicionde contorno (1.27) se cumple frecuencia a frecuencia, es decir para cada componentearmonica temporal.

La condicion de contorno (1.28) tambien tiene la forma de (3.1), excepto cuando hay

corriente superficial, En este caso aparece un termino adicional 4πc~K, pero igual podemos

repetir el procedimiento desarrollado para (3.1), ahora pasando al dominio frecuencialtanto los campos como la corriente superficial K. Luego proyectamos la igualdad validapara todo t en la base de funciones temporales armonicas y si la superficie es estacionariade nuevo llegamos a la conclucion de que la condicion (1.28) se cumple frecuencia afrecuencia, es decir que cada componente de frecuencia de los campos de un lado de ladiscontinuidad no se mezcla con otras componentes de frecuencia de los campos del otrolado ni con otras componentes de frecuencia de la corriente superficial

n×(~H(2)ω ( ~xS)− ~H(1)

ω ( ~xS))

=4π

c~Kω( ~xS), (3.7)

Es facil convencerse de que en toda superficie estacionaria las condiciones de contornorestantes, (1.25) y (1.26) , tambien se cumplen frecuencia a frecuencia

n ·(~D(2)ω ( ~xS)− ~D(1)

ω ( ~xS))

= 4πσω( ~xS), (3.8)

n · ~B(1)ω ( ~xS) = n · ~B(2)

ω ( ~xS). (3.9)

Queda claro que el contenido frecuencial de los campos adicionales que aparecen debidoa una discontinuidad entre dos medios siempre queda determinado por el contenido fre-cuencial de los campos preexistentes. Para medios lineales, y teniendo en cuenta que lascondiciones de contorno se cumplen frecuencia a frecuencia, se deduce que si los campospreexistentes son monocromaticos, los campos adicionales que aparecen a ambos lados dela superficie tambien lo son. En conclusion: en todo problema de interaccion entre radia-cion y objetos estacionarios con medios lineales, la frecuencia de la radiacion se conserva.En cambio, en interacciones entre radiacion y objetos estacionarios con medios no-lineales,debido a que las ecuaciones constitutivas mezclan distintas frecuencias, la frecuencia dela radiacion no se conserva (ver (1.13) y recordar el fenomeno de generacion de segundaarmonica).

Problemas no estacionarios, en elaboracion

3.3. CONTORNOS CON SIMETRIA CILINDRICA 83

3.3. Contornos con simetrıa cilındrica

Hemos visto que para manejar el cumplimiento de las condiciones de contorno en todoinstante resulta conveniente proyectar estas condiciones en la base de Fourier temporal(base del espacio de Hilbert de funciones temporales). Analogamente, resulta naturalque para manejar el cumplimiento de las condiciones de contorno en todo punto ~xSde la superficie de discontinuidad, proyectemos estas condiciones en una base adecuadadel espacio de Hilbert de funciones, ahora de dos variables espaciales, definidas en lasuperficie. Para encontrar esta base sera util la separacion de variables y los resultados dela teorıa de Sturm-Liuville [1]. Si la superficie de discontinuidad es el plano y = 0, parecemuy adecuado elegir como variables espaciales a las coordenadas x y z y con esta eleccionla base adecuada resulta ser la base de Fourier bidimensional con etiquetas kx, kz. Encambio, si la superficie de discontinuidad es la esfera r = R, las dos variables espacialesadecuadas son evidentemente las coordenadas esfericas θ y φ y esta eleccion llevara a unabase de funciones angulares adecuada, porque claramente la base de ondas planas no estabien adaptada para describir lo que pasa en la superficie de una esfera.

Otra dificultad teorica que hay que enfrentar esta relacionada con el caracter vectorial(geometrico) de las condiciones de contorno, que se manifiesta con la presencia explıcitadel versor normal n y que indica que serıa muy conveniente expresar las componentes delos campos en una base cuyas direcciones se ajusten localmente a la forma de la superficie(tres versores, por ejemplo los versores ρ, θ y φ de coordenadas esfericas para un contornoesferico). Dicho de otra manera, hay que encontrar una manera lo menos complicadaposible para que la descripcion de la polarizacion de los campos no entorpezca demasiadola descripcion de las componentes normales y tangenciales a la superficie de separacionque son las que estan involucradas en las condiciones de contorno (3.6) - (3.9).

Vemos entonces que la geometrıa del contorno influye fuertemente tanto en el primerproblema, de encontrar la base del espacio de Hilbert de funciones definidas en la superficiede discontinuidad, adecuada para satisfacer las condiciones de contorno en todo ~xS de lasuperficie, como en el segundo problema, de descomponer los campos vectoriales en unabase que se ajuste localmente a la forma de la superficie. A continuacion veremos comomanejar ambos problemas cuando el contorno tiene simetrıa de traslacion a lo largo deuna direccion fija en el espacio (direccion z). Se trata de un caso muy interesante desde elpunto de vista teorico, porque conduce a un formalismo donde el problema de contornopara los campos vectoriales se reduce a dos problemas de contorno, en general acoplados,para dos funciones escalares. Tambien es un caso muy importante desde el punto de vistaaplicado, pues incluye muchos dispositivos, en particular las fibras opticas que a nivelmundial transportan el 95 % de las conexiones de internet y que continuamente planteanuna fuerte demanda para que la investigacion basica siga produciendo mejoras cada vezmas importantes.

Para no perdernos con complicaciones adicionales supondremos que el contorno separados medios homogeneos isotropos y no quirales, caracterizados por parametros constituti-vos εj, µj, j = 1, 2., aunque la teorıa se puede generalizar facilmente para incluir medios


con otras ecuaciones constitutivas Los contornos con simetrıa de traslacion incluyen si-tuaciones con superficies rugosas acanaladas, descriptas por y = g(x) (como una chapa detecho corrugada, o una red de difraccion si g(x) es periodica) y superficies planas (cuandog(x) = 0, una situacion tan importante para la optica clasica). En el caso de fibras opticasel contorno esta descripto por una curva cerrada, por ejemplo el contorno x2 + y2 = R2

para fibras de seccion circular, y un medio, el exterior, es infinito y el interior puede seruna region simplemente conexa (como en un cano hueco), o multiplemente conexa (comoen un cable coaxil).

3.3.1. Separacion de variables parcial

Segun (2.13), para medios aquirales homogeneos, la parte espacial de los campos a lafrecuencia ω satisfacen la ecuacion de Helmholtz[

∇2 +ω2

c2ε µ]~Fω(~x) = 0 , (3.10)

donde por el momento dejamos de lado los subındices de ε y µ que hacen referencia aladentro y al afuera, o al arriba y abajo con respecto al contorno. El sistema de coorde-nadas mas adecuado para resolver esta ecuacion diferencial dependera de la forma delcontorno, pero debido a la simetrıa de traslacion podemos asegurar que siempre incluiraa z como coordenada. Ası, el operador ∇2 tendra siempre dos partes, una que opera enlas coordenadas transversales a z y otra que opera solamente sobre z

∇2 = ∇2t +

∂2

∂z2.

El subındice t hace referencia a transversal a la direccion z. El siguiente paso consisteen proponer una separacion de variables parcial para cada componente cartesiana de losvectores incognita ~Fω(~x), en la forma

Fω(~x) = Fω(~xt)Z(z) ,

con ~x = ~xt + zz y con algunos abusos de notacion (Fω(~xt) deberıa tener otro nombre,en principio hay un Z(z) para cada componente cartesiana de los campos . . . ). Como entodo problema de separacion de variables operamos y luego de dividir por la funcion seobtiene

1

Fω(~xt)∇2tFω(~xt) +

ω2

c2ε µ +

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2︸︷︷︸−k2

z

= 0 , (3.11)

con −k2z la constante de separacion. Ası resulta que en las componentes cartesianas de la

parte espacial de todos los vectores campo se puede factorizar una exponencial e±ikzz yentonces la parte espacial de todos los vectores campo se puede escribir en la forma

~Fω(~x) = ~Fω(~xt) e± i kzz , (3.12)


donde ~Fω(~xt) satisface la ecuacion de Helmholtz bidimensional[∇2t +

( ω2

c2εµ− k2

z︸︷︷︸γ2

)]~Fω(~xt) = 0 , (3.13)

donde se definio

γ2 =ω2

c2εµ− k2

z . (3.14)

Debido a la separacion de variables parcial en la coordenada z, el problema en cadamedio se redujo a encontrar las autofunciones ~Fω; γλ(~xt) y los autovalores γλ del operadorbidimensional asociado con la constante de separacion kz. Bajo condiciones propicias,estas autofunciones formaran una base de soluciones para ~Fω(~xt) en cada medio. Loselementos de la base en cada medio quedan etiquetados por el ındice bidimensional λ que,dependiendo de cada problema, resulta un ındice continuo o discreto. Mediante (3.25),los autovalores γλ determinan la relacion de dispersion kλz (ω) para cada elemento de labase en cada uno de los medios separados por la superficie con simetrıa de translacion

k(λ)z (ω) = ±

√ω2

c2εµ− γ2

λ. (3.15)

La forma mas general de la funcion original ~Fω(~x) resulta combinacion lineal (suma ointegral) de las autofunciones etiquetadas por el ındice doble λ

~Fω(~x) =∑λ

~Fω;λ(~xt) e i k(λ)z (ω)z , (3.16)

donde se sobreentiende que la combinacion lineal tiene dos contribuciones, asociadas a labivaluacion de la raız cuadrada en kλz (ω).

3.3.2. Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) como potenciales

Se ha explotado la simetrıa de traslacion de los contornos para reducir el problema de3D a 2D, pero seguimos tratando un problema con muchos vectores 3D. A continuacionveremos que la simetrıa de traslacion de los contornos permite reducir el problema vecto-rial para los campos ~Eω(~xt) y ~Hω(~xt) (seis incognitas) a dos problemas de contorno paralas componentes segun z de estos campos (dos incognitas). Con este fin es convenienteexplicitar las componentes de los campos en las direcciones paralela y transversal a z

~Eω(~x) = ~Eω; t(~x) + Eω; z(~x) z~Hω(~x) = ~Hω; t(~x) +Hω; z(~x) z

. (3.17)


Para ello partimos de la ley de Faraday

~∇× ~Eω = (~∇t + z∂

∂z)× ( ~Eω; t + Eω; z z)

= ~∇t × ~Eω; t + ~∇t × (Eω; z z) + z × ∂Eω; t

∂z+ z × ∂Eω; z z

∂z

= ~∇t × ~Eω; t − z × ~∇tEω; z + z × ∂Eω; t

∂z

= iµω

c( ~Hω; t +Hω; z z) .

Proyectando esta ecuacion en componentes transversales y longitudinales se obtiene

iµω

c~Hω; t = z × ∂ ~Eω; t

∂z− z × ~∇tEω; z , (3.18)

iµω

cHω; z z = ~∇t × ~Eω; t . (3.19)

Escritas en terminos de ~Eω y de ~Hω, la ley de Ampere-Maxwell se puede obtener a partirde la ley de Faraday haciendo los reemplazos

~Eω ←→ ~Hω , y iω

cµ←→ −iω

cε . (3.20)

Con estos reemplazos, se obtiene a partir de (3.18) y (3.19) la ley de Ampere-Maxwellproyectada en componentes transversales y longitudinales

−iωcεµ ~Eω; t = z × ∂ ~Hω; t

∂z− z × ~∇tHω; z , (3.21)

−iωcεµEω; z z = ~∇t × ~Hω; t . (3.22)

Despejando ~Eω; t de (3.21) y reemplazando en (3.18) se obtiene

~Hω; t =1

γ2

[~∇t∂Hω; z

∂z+ iε

ω

cz × ~∇tEω; z

]. (3.23)

Analogamente, despejando ~Hω; t de (3.18) y reemplazando en (3.21) se obtiene

~Eω; t =1

γ2

[~∇t∂Eω; z

∂z− iµω

cz × ~∇tHω; z

]. (3.24)

Las ecuaciones (3.23) y (3.24) muestran que las componentes transversales de los camposquedan determinadas completamente a partir de las componentes longitudinales Eω; z yBω; z, que actuan como potenciales para todos los campos electromagneticos. Resulta en-tonces innecesario resolver las ecuaciones de Helmhotz (3.10), 3D y vectoriales: solamentehay que resolver ecuaciones de Helmhotz 2D[

∇2t + γ2

]Eω; z(~xt)Hω; z(~xt)

= 0 . (3.25)

para Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt), la parte espacial de las componentes longitudinales que nodepende de z. La dependencia en z se reconstruye usando (3.12), multiplicando los “po-tenciales” por exponenciales ei kzz.


3.3.3. Condiciones de contorno para Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt)

Figura 3.1: y = g(x) representa la forma de un contorno con simetrıa de translacion en el eje z. Ladireccion tangencial a este contorno tiene dos componentes, una en z y otra en T = n× z.

Si bien las ecuaciones diferenciales (3.25) estan desacopladas, el problema sigue siendovectorial, porque las condiciones de contorno (3.6)-(3.9) no estan impuestas sobre lascomponentes longitudinales Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt), sino sobre las componentes de los camposparalelas (en (3.6) y (3.7)) y perpendiculares (en (3.8) y (3.9)) a los contornos. Paraencontrar que condiciones de contorno tienen que cumplir los potenciales

Eω; z(~x) = Eω; z(~xt) ei kzz y Hω; z(~x) = Eω; z(~xt) ei kzz

que aparecen en (3.23) y (3.24), calculamos primero las componentes de los camposparalelas (tangenciales) a la superficie. De la primera ecuacion en (3.17) resulta que lacomponente tangencial del campo electrico

n× ~Eω(~x) = n× ~Eω; t(~x) + Eω; z(~x) n× z︸︷︷︸T

(3.26)

como todo vector tangencial a una superficie con simetrıa de translacion en z, se escribecomo suma de una parte en z, perpendicular a n y a la direccion transversal a z, yotra parte que, por ser perpendicular a z esta en la seccion transversal, y que por serperpendicular a la normal n tiene que estar en la direccion T tangencial a la superficie

T = n× z (3.27)

(no confundir con el subındice t que se refiere a transversal). Las direcciones involucradasse esquematizan en la figura 3.1 para el caso en que la superficie esta dada explıcitamentepor la relacion y = g(x). Si g(x) denota la derivada de g(x), resulta que

T =x+ g y√

1 + g2, n =

−g x+ y√1 + g2

, (3.28)


Para expresar n × ~Eω; t(~x) en terminos de las componentes longitudinales usamos lasecuaciones (3.23) y (3.24). Debido a la separacion de variables parcial

∂Eω; z(~x)

∂z= i kzEω; z(~x) = i kzEω; z(~xt) ei kzz,

y entonces

n× ~Eω; t =1

γ2

[ikzn× ~∇tEω; z − iµ

ω

cn× z × ~∇tHω; z

]. (3.29)

Si se desarrolla el triple producto vectorial y se tienen en cuenta las derivadas direccionales

n · ~∇tHω; z =∂Hω; z

∂n,

z×T︷︸︸︷n × ~∇tEω; z = −∂Eω; z

∂Tz (3.30)

resulta

n× ~Eω = − i

γ2

[kz∂Eω; z

∂T+ µ

ω

c

∂Hω; z

∂n

]z + Eω; zT . (3.31)

Repitiendo un procedimiento similar, ahora para n× ~Hω; t(~x), o simplemente usando losreemplazos (3.20), obtenemos

n× ~Hω = − i

γ2

[kz∂Hω; z

∂T− εω

c

∂Eω; z

∂n

]z +Hω; zT . (3.32)

Las expresiones (3.31) y (3.32) valen tanto para Fω; z(~x) como para Fω; z(~xt) (que sola-mente difieren en el factor exponencial ei kzz).

Modificando levemente las cuentas efectuadas a partir de (3.26), reemplazando produc-

to vectorial por producto escalar y ~Eω(~x) por ~Dω(~x), resulta

n · ~Dω(~x) = n · ~Dω; t(~x) +Dω; z(~x):0

n · z (3.33)

n · ~Dω; t =1

γ2

[ikzεn · ~∇tEω; z − iεµ

ω

c

z×T︷︸︸︷n · (z × ~∇tHω; z)

],

n · ~Dω; t = iε

γ2

[kz∂Eω; z

∂n+ µ

ω

c

∂Hω; z

∂T

], (3.34)

y repitiendo un procedimiento similar para n · ~Bω; t(~x) queda

n · ~Bω; t = iµ

γ2

[kz∂Hω; z

∂n− εω

c

∂Eω; z

∂T

]. (3.35)

Las expresiones (3.31), (3.32), (3.34) y (3.35) son muy convenientes porque permitenescribir las condiciones de contorno (3.6)-(3.9) solamente en terminos de las componenteslongitudinales Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt).


Dos medios isotropos

Por ejemplo, en la discontinuidad entre dos medios isotropos aquirales no hay cargas nicorrientes superficiales. Entonces, la continuidad de la componente tangencial del campoelectrico y la continuidad de la componente tangencial del campo magnetico exigen, segun(3.31) y (3.32), que las siguientes cantidades

Eω; z, Hω; z,1

γ2

[kz∂Eω; z

∂T+ µ

ω

c

∂Hω; z

∂n

]y

1

γ2

[kz∂Hω; z

∂z− εω

c

∂Eω; z

∂n

](3.36)

tomen el mismo valor cuando son evaluadas a uno u otro lado o de la superficie. Notar quea uno y otro lado cambian los valores de ε y µ (y en consecuencia de γ), pero los valoresde kz no cambian. Esto es ası porque las condiciones de contorno se deben cumplir paratodo valor de la coordenada z. Y entonces la situacion es completamente analoga a lavista en 3.2 para condiciones que tienen que valer para todo instante: los elementos de labase exponencial ei kzz que surge de la separacion de variables son ortogonales y satisfacenuna condicion como la expresada en la ecuacion (3.5) (reemplazando la etiqueta ω por laetiqueta kz).

A partir de (3.34) y (3.35) se puede probar que las condiciones de contorno (3.8) y

(3.9), en este caso continuidad de las componentes normales n · ~Dω; t y n · ~Bω; t, se cumplenautomaticamente si se verifica la continuidad de las cuatro cantidades (3.36).

Las dos primeras cantidades en (3.36) solamente involucran a cada componente lon-gitudinal por separado. En cambio, las dos ultimas cantidades en (3.36) mezclan a lascomponentes longitudinales y muestran que si bien las ecuaciones diferenciales (3.25)estan desacopladas, en el caso general las condiciones de contorno exigen que los dosproblemas se resuelvan simultaneamente. Dicho de otra manera, la base de soluciones delproblema de contornos no es la union de las soluciones de dos problemas desacoplados,uno solo para Eω; z(~xt), con Hω; z ≡ 0 (modo TM en la nomenclatura de guıas de on-da) y otro solo para Hω; z(~xt), con Eω; z ≡ 0 (modo TE en la nomenclatura de guıas deonda): existen tambien otros elementos en la base, llamados modos hıbridos, que tienenHω; z 6= 0 y Eω; z 6= 0 simultaneamente. Esta situacion se observa en las fibras opticas,donde aparecen modos hıbridos en los que ni el campo electrico ni el magnetico son pu-ramente transversales a la direccion de simetrıa de la fibra (en este caso, la direccion depropagacion).

A primera vista puede parecer extrano que en un problema de contorno con simetrıade translacion, las soluciones para los campos exhiban dependencia con la direccion desimetrıa. Si los contornos no dependen de la direccion z, podrıa esperarse que los campostampoco. La aparente contradiccion se resuelve cuando pensamos que hasta el momentono hemos dicho nada sobre la simetrıa de los campos preexistentes, que podrıan, porejemplo, variar en la direccion z. Solamente cuando los campos preexistentes tengan lamisma simetrıa que el contorno, podremos entonces esperar que los campos inducidos seanindependientes de la coordenada z. En otras palabras, cuando se dan ambas condiciones,necesariamente debe ser kz = 0, un caso que incluye al llamado Problema de Fresnel para


la reflexion de una onda plana que veremos mas adelante (3.4).

Si kz = 0, las dos ultimas cantidades en (3.36) dejan de mezclar a las componenteslongitudinales, la tercera solamente involucra a Hω; z mientras que la cuarta solamenteinvolucra a Eω; z. Vemos ası que en el caso kz = 0 la base de soluciones del problema decontornos es la union de las soluciones de dos problemas desacoplados: uno solo para paraEω; z(~xt) (TM), donde deben ser continuas las cantidades

Eω; z, y1

µ

∂Eω; z

∂n(3.37)

y otro solo para Hω; z(~xt) (TE), donde deben ser continuas las cantidades

Hω; z, y1

ε

∂Hω; z

∂n. (3.38)

Luego, cuando no hay mezcla de modos TE y TM, las dos condiciones de contorno encada problema desacoplado tienen la misma forma y se pueden resumir en la continuidadde las cantidades

F y1

η

∂F

∂n, (3.39)

donde F es Eω; z (Hω; z) y η es µ (ε) para el modo TM (respectivamente TE).

Contorno conductor perfecto

Otro caso donde la base de soluciones del problema de contornos resulta ser la unionde las soluciones de dos problemas desacoplados, aun cuando kz 6= 0, es cuando uno delos medios involucrados es un conductor perfecto (el otro medio sigue siendo un medioisotropo aquiral). Una mitad del problema queda resuelta automaticamente, porque loscampos son nulos dentro del conductor perfecto. Y como en la superficie de un conductorperfecto hay cargas y corrientes, las condiciones (3.7) y (3.8) se pueden aplicar solamentea posteriori, en caso de estar interesados en obtener la densidad de corriente y de cargasuperficiales (antes, en cambio, la condicion (3.7) se uso explıcitamente, ver (3.32) y(3.36)). Luego, en este caso hay que pedir que en todo punto ~xs de la superficie secumplan las siguientes condiciones de contorno

n× ~Eω(~xs) = 0 , (3.40)

n · ~Bω(~xs) = 0 . (3.41)

Veremos a continuacion que estas condiciones son equivalentes a

Eω; z(~xs) = 0 , y∂Hω; z(~xs)

∂n= 0 . (3.42)

De la condicion (3.40) junto con (3.31) se obtiene

Eω; z(~xs) = 0 , (3.43)


kz∂Eω; z(~xs)

∂T+ µ

ω

c

∂Hω; z(~xs)

∂n= 0 . (3.44)

Si se cumple 3.43, Eω; z(~xs) no varıa a lo largo de la superficie, la derivada tangencial en(3.44) es cero y entonces

∂Hω; z(~xs)

∂n= 0. (3.45)

Ası queda demostrado que la condicion de contorno 3.40 se satisface si se satisfacensimultaneamente las dos condiciones (3.43) y (3.45). Analogamente, la condicion (3.41)junto con (3.35) exigen que

kz∂Hω; z(~xs)

∂n− ε ω

c

∂Eω; z(~xs)

∂T= 0. (3.46)

Si se cumple (3.43), se anula la derivada tangencial de ∂Eω; z(~xs) en (3.46) (aunque nonecesariamente se anule la derivada normal de ∂Eω; z(~xs)). Entonces debe ser cero laderivada normal de ∂Hω; z(~xs) en (3.46) y ası queda demostrado que la condicion decontorno (3.41) tambien se satisface si se satisfacen simultaneamente las dos condiciones(3.43) y (3.45).

Estos resultados son relevantes en particular en la teorıa de cavidades y guıas deonda metalicas, con muchas aplicaciones que van desde los hornos microondas a siste-mas de telecomunicaciones en la zona de microondas, con frecuencias en el rango entre0.3GHz < ω/2π < 300GHz. En esta zona algunos metales como el cobre tienen tan altaconductividad que pueden ser considerados perfectamente conductores.

Como consecuencia de que en la superficie entre un conductor perfecto y un medioisotropo aquiral las condiciones de contorno (3.42) para las componentes longitudinalesestan desacopladas, la base de soluciones del problema de contornos se obtiene comounion de soluciones de dos problemas desacoplados. En uno de los problemas, los cam-pos, llamados modos TM, tienen Hω; z(~xt) ≡ 0 y Eω; z(~xt) se obtiene como solucion dela ecuacion de Helmholtz 2D (3.13) con condicion de contorno de Dirichlet, (3.43). Encambio, en el otro problema, los campos, llamados modos TE, tienen Eω; z(~xt) ≡ 0 yHω; z(~xt) tambien se obtiene como solucion de la ecuacion de Helmholtz 2D (3.13), peroahora con la condicion de contorno de Neumann, (3.45). La situacion es muy parecida a loque ocurre en la frontera con simetrıa de translacion entre dos medios isotropos aquiralesen el caso kz = 0, con la diferencia de que en ese caso las condiciones de contorno paracada modo son dos, en vez de una como para conductor perfecto, y no tienen la formasencilla de funcion o derivada igual a cero.

Modos TEM

En problemas de contorno con simetrıa de translacion entre dos medios isotropos aqui-rales ¿pueden existir modos TEM?, es decir, ¿pueden existir elementos de la base para


cada medio con Eω; z(~xt) y Hω; z(~xt) simultaneamente nulos? Sin proponernos un estudioexhaustivo de esta cuestion, a partir de las ecuaciones (3.23) y (3.24) observamos quepara que esto suceda es necesario que

γ2 = 0 . (3.47)

Esta condicion, junto con la ecuacion (3.25), muestran que si existen campos TEM ~Fω(~xt),por definicion totalmente transversales a z, deben ser soluciones de la ecuacion de La-place. La condicion (3.47) tambien impone la siguiente condicion sobre la constante deseparacion k2

z

k2z =

ω2

c2εµ , (3.48)

es decir, que los modos TEM, si existen, tienen la misma relacion de dispersion que lasondas planas que se propagan en el medio dielectrico sin lımites.

Para estos modos no solo la relacion entre kz y ω es la misma que para ondas planas,tambien los vectores transversales ~Eω(~xt) y ~Hω(~xt) de los modos TEM guardan la mismarelacion que en una onda plana, tal como puede verse a partir de la ley de Faraday

~∇× ~ETEM

ω = (~∇t + z∂

∂z)× ~ETEM

ω = ~∇t × ~ETEM

ω︸︷︷︸‖ z

+ z × ∂ ~ETEMω (~xt)

∂z︸︷︷︸⊥ z

= i µω

c~HTEM

ω (~xt)︸︷︷︸⊥ z

.

Igualando componentes paralelas y perpendiculares a z se obtiene

i µω

c~HTEM

ω (~xt) = z × ∂ ~ETEMω (~xt)

∂z, (3.49)

~∇t × ~ETEM

ω (~xt) = 0 , (3.50)

y si se reescribe (3.49) como

~HTEM

ω (~xt) =

√ε

µz × ~ETEM

ω (~xt) , (3.51)

se obtiene una relacion que coincide con la relacion (2.31) obtenida para una onda planaque se propaga segun el eje z.

A continuacion veamos que el problema vectorial de los modos TEM se puede reducirtambien a un problema escalar. Para demostrarlo primero observamos que segun 3.50,~ETEMω (~xt) deriva de un potencial Φ

~ETEM

ω (~xt) = ~∇Φ , (3.52)

y como estamos suponiendo que en los medios que rodean al contorno no hay cargas libres

~∇ · ~ETEM

ω (~xt) = ~∇t · ~ETEM

ω (~xt) = 0 . (3.53)


El potencial Φ es entonces solucion de la ecuacion de Laplace bidimensional en el interiordel cilindro

∇2t Φ = 0 . (3.54)

Suponiendo que en la superficie de separacion no hay cargas (y entonces tampococorrientes) superficiales, las condiciones de contorno para Φ se obtienen a partir de la

continuidad de n× ~ETEMω y de n× ~HTEM

ω .

Figura 3.2: Problema de contornos en una region delimitada por dos superficies S1 y S2 con simetrıade translacion. Tanto el medio interior a S1 como el medio exterior de S2 son perfectamente conductoresy la region delimitada S1 y S2 contiene un medio isotropo aquiral caracterizado por los parametrosconstitutivos ε y µ .

Consideremos el caso mas sencillo de un contorno perfectamente conductor. En estecaso, si existen campos TEM, de acuerdo con (3.40) debe ser n× ~∇Φ(~xt) = 0, es decir queΦ no puede variar sobre la superficie. Teniendo en cuenta que: i) la ecuacion de Laplacecon condiciones tipo Dirichlet en un recinto cerrado tiene solucion unica y que ii) Φ = Φ0,con Φ0 un valor constante, satisface la ecuacion diferencial y la condicion de contorno, sedesprende que Φ = Φ0 es la solucion para modos TEM. Y ası llegamos a la conclusion deque los campos TEM son nulos, es decir que en una region simplemente conexa que con-tenga un medio isotropo y que este delimitada por un contorno perfectamente conductorcon simetrıa de translacion no existen los modos TEM.

Es interesante observar que el razonamiento anterior falla cuando la region que contie-ne al medio isotropo es multiplemente conexa, es decir, esta delimitada por dos o mascontornos perfectamente conductores con simetrıa de translacion distintos. En este caso,sigue siendo cierto que Φ no puede variar sobre cada superficie. pero en cada contornopuede tomar un valor distinto. Y sigue siendo cierto que la solucion de la ecuacion deLaplace con condiciones de Dirichlet en un recinto cerrado tiene solucion unica. Pero la


solucion no puede ser una funcion constante, porque no podrıa satisfacer simultaneamen-te ambas condiciones de contorno. Vemos ası que la base de soluciones de los camposen regiones multiplemente conexas delimitadas por conductores perfectos puede incluirsoluciones TEM.

Ejemplos de recintos multiplemente conexos que soportan la existencia de modos TEMson la guıa de ondas coaxial (la region anular delimitada por dos canos metalicos huecos,generalmente concentricos), o la guıa de ondas plana de caras paralelas.

3.4. Problema de Fresnel

Una superficie plana tiene simetrıa de traslacion a lo largo de cualquier direccion con-tenida en el plano. En este sentido, la superficie plana es un caso particular de contornocon simetrıa cilındrica, pero a diferencia de los contornos vistos en 3.3, la direccion z sepuede elegir arbitrariamente y T , perpendicular a la normal n, queda determinada por(3.27). En el esquema de la figura 3.1, una superficie plana corresponderıa a la ecuaciong(x) = y0 y por simplicidad ahora elegiremos y0 = 0.

Es claro que por ser un caso particular de contorno con simetrıa de translacion, elproblema de contornos electromagnetico (y vectorial) se puede manejar mediante las doscomponentes longitudinales de los campos Eω; z(~x) y Eω; z(~x). Tambien es claro que lascoordenadas adecuadas para resolver la ecuacion de Helmholtz 2D (3.13) son las coordena-das cartesianas. Luego, la base adecuada para describir a las componentes longitudinalesFω; z(~x) es la base de ondas planas (2.14) y la representacion mas general de las doscomponentes longitudinales en un medio isotropo aquiral adopta entonces la forma vistaen (2.24): una suma de dos terminos, con un termino asociado con campos progresivosrespecto a la direccion +y y el otro termino asociado con campos regresivos respecto a ladireccion +y.

3.4.1. Campos incidentes, reflejados y transmitidos

De acuerdo con la discusion previa, las componentes longitudinales de los campos pre-existentes se pueden representar mediante desarrollos de la forma mostrada en (2.24). Sisuponemos que el unico campo preexistente fue creado por una fuente localizada en elentorno de una region con y → +∞, la representacion integral del campo preexistente enla region 1 (region y > 0, o region de incidencia) solamente puede tener el termino aso-ciado a un flujo de potencia regresivo segun el eje y, que, para medios ordinarios (µ > 0),corresponde al segundo termino del lado derecho de (2.24). Luego, las componentes lon-gitudinales de los campos preexistentes, tambien llamados campos incidentes, se escribenen la forma

F inc

ω; z(~x)=

∫ ∞−∞F inc

ω; z,kx,kzei[kxx+kzz−k(1)

y y] dkxdkz , (3.55)

3.4. PROBLEMA DE FRESNEL 95

donde F incω; z,kx,kz

, funcion de ω, kx y kz, representa la amplitud de cada onda plana regresiva

con frecuencia ω y vector de onda ~k en el desarrollo del campo preexistente en la base de

ondas planas, con ~k = kxx− k(1)y y + +kz z, y k

(1)y =

√ω2

c2ε(1)µ(1) − k2

x − k2z .

Las componentes longitudinales de los campos inducidos debido a la existencia dela discontinuidad tambien adoptan la forma (2.24). Los campos inducidos en la regionde incidencia, tambien llamados campos reflejados, solamente pueden tener el terminoasociado con campos progresivos respecto a la direccion +y, porque los unicos camposregresivos en la region y > 0 son los incidentes, es decir, los de las fuentes. Por otro lado,los unicos campos progresivos que podrıa haber en la region y < 0 serıan los producidospor fuentes en la region y → −∞. Y si suponemos que las unicas fuentes son las de laregion y > 0, es decir, las fuentes que crearon F inc

ω; z(~x), llegamos a la conclusion de que loscampos inducidos en la zona y < 0, tambien llamados campos transmitidos, solamentepueden tener el termino de (2.24) asociado con campos regresivos respecto a la direccion+y. Con estas consideraciones podemos escribir las siguientes representaciones para loscampos reflejados y transmitidos

F ref

ω; z(~x)=

∫ ∞−∞F ref

ω; z,kx,kzei[kxx+kzz+k

(1)y y] dkxdkz , (3.56)

F tra

ω; z(~x)=

∫ ∞−∞F tra

ω; z,kx,kzei[kxx+kzz−k(2)

y y] dkxdkz , (3.57)

con k(2)y =

√ω2

c2ε(2)µ(2) − k2

x − k2z .

3.4.2. Condiciones de contorno para representaciones integrales

De acuerdo con (3.36), las componentes longitudinales de los campos a uno y otro ladoo de la superficie deben ser continuas en y = 0, para todo valor de x e y. En terminos delos campos incidentes, reflejados y transmitidos esta condicion de contorno se escribe∫ ∞

−∞F inc

ω; z,kx,kz ei[kxx+kzz] dkxdkz +

∫ ∞−∞F ref

ω; z,kx,kz ei[kxx+kzz] dkxdkz =∫ ∞−∞F tra

ω; z,kx,kz ei[kxx+kzz] dkxdkz . (3.58)

Vemos que la situacion es completamente analoga a la vista en (3.2) para condiciones quetienen que valer para todo instante. Y esta completamente relacionada con la proyeccionde condiciones de contorno, como la ecuacion (3.4.2), en la base de funciones adecuada alcontorno, en este caso la base de exponenciales 2D ei[kxx+kzz]. Para proyectar la igualdad(3.4.2) en la base ei[kxx+kzz], primero multiplicamos miembro a miembro la igualdad porel conjugado de un elemento generico de la base, por ejemplo el que tiene etiquetask′x, k

′z. Y como la nueva igualdad sigue valiendo para todo valor de x e y, integramos


miembro a miembro en todo el plano y = 0, es decir, en −∞ < x < ∞, −∞ < z <∞. Intercambiando el orden de integracion, la integrales espaciales son proporcionalesa funciones delta de Dirac, como en la relacion (3.5), pero con las etiquetas kx y kz enreemplazo de la etiqueta ω. De esta manera vemos que las condiciones de contorno, quevalen para las integrales en kz, se tienen que cumplir para cada kz, tal como ya se menciono(y se uso) en el parrafo posterior a la ecuacion (3.36). En el caso del plano, lo mismo pasapara las integrales en kx: las condiciones de contorno que valen para las integrales en kx, setienen que cumplir para cada kx. En definitiva, todo se reduce a igualar los integrandosde la ecuacion . Una vez entendido este punto, es muy facil ver que lo mismo sucedecon las igualdades entre expresiones integrales que resultan de aplicar la continuidad delas dos ultimas cantidades en (3.36): debido a la ortogonalidad de las funciones de baseadecuadas al contorno plano, las igualdades valen integrando a integrando. Vemos ası quelas condiciones de contorno conservan la variable de Fourier conjugada a las direccionesdonde hay simetrıa de translacion. En el caso de superficies translacionalmente invariantesa lo largo de z, se conservaba kz (ver parrafo posterior a la ecuacion (3.36)) y en el casoparticular de superficie plana se conserva tanto kx como kz.

Si en vez de un plano hubieramos considerado una discontinuidad ondulada definidapor y = g(x) (por ejemplo, g(x) de la figura 3.1 una superficie periodica, como una red dedifraccion) al repetir los pasos que llevaron a (3.4.2), es facil ver que los integrandos de

las nuevas igualdades exhiben nuevos factores, como ei−k(2)y g(x) o e±ik

(1)y g(x). Y al proyectar

las igualdades resultantes en la base ei[kxx+kzz], procedimiento que supone una integracionen el intervalo −∞ < x <∞, los nuevos factores impediran que las integrales espacialessean, como antes, proporcionales a funciones delta de Dirac. Se obtienen entonces nuevasrelaciones que no se reducen a igualar los integrandos de las representaciones integrales,como ocurrıa en el caso y = 0 (o cualquier otro valor independiente de x y de z) y no seconserva la variable conjugada kx (por eso en una red de difraccion, ademas de una ondareflejada y una transmitida aparecen ordenes, este es el origen de la difraccion).

3.4.3. Matrices de reflexion y de transmision

Decir que en un plano infinito que separa dos medios isotropos aquirales, las represen-taciones integrales de los campos preexistentes e inducidos en la base de ondas planassatisfacen condiciones de contorno que valen integrando a integrando, es equivalente a de-cir que la onda plana del campo preexistente con vector de onda ~k inc = kxx−k(1)

y y++kz z,se mezcla solamente con dos tipos de ondas planas inducidas o secundarias (ausentes si noestuviera la discontinuidad): i) un tipo de onda plana en el medio de incidencia (llamada

onda reflejada), con vector de onda ~k ref = kxx + k(1)y y + +kz z y ii) otro tipo de onda

plana en el semiespacio opuesto al medio de incidencia (llamada onda transmitida), con

vector de onda ~k tra = kxx− k(2)y y+ +kz z. Notar que la polarizacion de cada una de estas

ondas viene dada por las amplitudes complejas de las componentes longitudinales de loscampos. Es decir, la polarizacion de la onda incidente esta especificada por E inc

ω; z,kx,kzy

H incω; z,kx,kz

y la polarizacion resultante de las ondas secundarias queda determinada por


E refω; z,kx,kz

y H refω; z,kx,kz

, para la onda reflejada, y por E traω; z,kx,kz

y H traω; z,kx,kz

, para la ondatransmitida. La notacion empleada hasta este momento enfatiza que las condiciones decontorno se imponen sobre campos sintetizados a partir de los elementos de una base, eneste caso una de Fourier temporal etiquetada con ω y una de Fourier espacial etiquetadacon (kx, kz). Pero en contornos estacionarios las etiquetas ω no se mezclan, ver 3.2, y encontornos planos no se mezclan las etiquetas (kx, kz), ver 3.4.2. Entonces, para contornosplanos estacionarios podemos simplificar la notacion y eliminar los subındices ω, kx ykz, que llegado el caso volveran a tomar protagonismo cuando sea necesario sintetizarlos campos secundarios a partir de campos con distintas etiquetas ω, kx y kz. Con estealigeramiento de la notacion, los campos preexistentes, reflejados y transmitidos quedancompletamente especificados, en polarizacion y energıa, por E inc

z y H incz , E ref

z y H refz y E tra

z

y H traz , respectivamente.

Como las condiciones de contorno son lineales en los campos, al imponer la continuidadde las cuatro cantidades en (3.36) resulta un sistema de cuatro ecuaciones lineales inho-mogeneo con las cuatro amplitudes complejas de los campos secundarios como incognitasy con las dos amplitudes complejas de los campos preexistentes en la inhomogeneidaddel sistema. A partir de este sistema se puede depejar cada incognita en terminos de lasamplitudes complejas E inc

z y H incz del campo preexistente(

E refz

H refz

)=

(rTM→TM rTM→TE

rTE→TM rTE→TE

) (E incz

H incz

), (3.59)

y (E traz

H traz

)=

(tTM→TM tTM→TE

tTE→TM tTE→TE

) (E incz

H incz

). (3.60)

Las matrices que aparecen en (3.59) y (3.60) son las matrices de reflexion y de transmi-sion y la notacion de sus elementos refleja que cuando E inc

z 6= 0 y H incz = 0, el campo

incidente es TM, en cambio cuando E incz = 0 y H inc

z 6= 0, el campo incidente es TE (verpagina 89). En general, estas matrices no son diagonales, porque las cantidades (3.36)mezclan componentes z del campo electrico y del campo magetico. Sin embargo, veremosa continuacion que para una superficie plana entre dos medios isotropos aquirales estasmatrices son diagonales solamente cuando se elige el eje z en la direccion perpendicularal plano determinado por el vector ~k inc y el vector n normal a la discontinuidad.

Encontrar las amplitudes complejas de los campos inducidos como funcion de las am-plitudes complejas del campo incidente (y de la direccion incidente, dada por kx y kz, yde la frecuencia ω, que determina los valores de los parametros constitutivos) se conocecomo problema de Fresnel 1. Se trata de un problema de enorme importancia, ya que susolucion describe la dinamica de la reflexion y de la transmision en una superficie planay tambien en otras superficies que sin ser planas tienen tamanos tıpicos muchısimo masgrandes que la longitud de onda de los campos.

1Augustin-Jean Fresnel, fue el primero en reconocer en 1821 que la luz es un fenomeno ondulatoriotransversal, aunque en ese momento nadie imaginaba que las vibraciones transversales correspondıan acampos electricos y magneticos.


3.4.4. Consecuencias cinematicas (geometricas)

Hemos visto que en la interaccion de una onda plana con una superficie plana seconserva la componente tangencial de todos los vectores de onda, es decir

~k inc × n = ~k ref × n = ~k tra × n (3.61)

La conservacion de la componente tangencial de todos los vectores de onda involucrados esvalida para toda interfase plana entre medios lineales, no solamente para medios isotroposaquirales, pues solamente es una consecuencia de la existencia de condiciones de contornoen un plano y de la ortogonalidad de la base de Fourier para las funciones definidas endicho plano. En medios con relaciones de dispersion para ondas planas mas complicadasque las del medio isotropo aquiral, debido a la existencia de modos de polarizacion queviajan con distinta velocidad de fase, la interaccion de una onda plana con una superficieplana puede dar lugar a dos ondas reflejadas o a dos ondas transmitidas (birrefringencia).

Las ecuaciones (3.61) son las las leyes generales de reflexion y refraccion de ondas pla-nas en la interfase entre dos medios isotropos aquirales y condensan todas las leyes dela descripcion geometrica de los fenomenos ondulatorios, tambien conocida como OpticaGeometrica. En particular, de (3.61) se desprende que todos los vectores de onda estan

contenidos en el mismo plano, que es el plano que contiene a los vectores ~k inc y n, llamadoplano de incidencia. Si el sistema de coordenadas se elige para que el plano de incidenciacoincida con un plano principal, la descripcion matematica del problema se simplificarıa.No hay perdida de generalidad en esta eleccion siempre y cuando los medios adyacentestengan ecuaciones constitutivas (o de manera equivalente, estructuras microscopicas) in-variantes frente a rotaciones alrededor de la direccion n. Como este es el caso para mediosisotropos aquirales, a partir de ahora elegimos el plano z = 0 como plano de incidenciay entonces todos los vectores de onda tienen kz = 0. En terminos de los angulos de inci-dencia θi, reflexion θr y transmision θt, usados historicamente en Optica y mostrados enla figura 3.3, resulta

~k inc = kxx− k(1)y y =

ω

c

√ε(1)µ(1)(sin θi x− cos θi y) (3.62)

~k ref = kxx+ k(1)y y =

ω

c

√ε(1)µ(1)(sin θr x+ cos θr y) (3.63)

~k tra = kxx− k(2)y y =

ω

c

√ε(2)µ(2)(sin θt x− cos θt y). (3.64)

Como todos los vectores de onda tienen la misma componente tangencial de kx, estasecuaciones equivalen a las leyes de la Optica Geometrica, a saber, θi = θr (angulo dereflexion igual al angulo de incidencia) y n(1) sin θi = n(2) sin θt, la ley de Ibn Sahl (o de

Snell) [2], con n(j) =√ε(j)µ(j), j = 1, 2 el ındice de refraccion de cada medio.

(En elaboracion)


Figura 3.3: Ilustracion de (3.61) en el espacio recıproco de vectores de onda. Todos los vectores soncoplanares y tienen la misma componente kx y el esquema corresponde al caso en que el ındice derefraccion del medio de incidencia es menor que el del medio de transmision.

3.4.5. Amplitudes reflejadas y transmitidas

Si se elige el eje z en la direccion perpendicular al plano determinado por el vector ~k inc

y el vector n, es decir, perpendicular al plano de incidencia (que el plano de la figura3.3), entonces resulta kz = 0. Y como se discutio en la pagina 90, cuando kz = 0 i) labase de soluciones del problema de contornos se obtiene como union de las solucionesde dos problemas desacoplados, y ii) las dos condiciones de contorno en cada problemadesacoplado tienen la misma forma, resumida en la continuidad de las cantidades queaparecen en (3.39). Con esta eleccion, y para resolver los dos problemas a la vez, escribimosla funcion F en cada medio. En la zona y ≥ 0 F es la suma del campo preexistente y delreflejado, mientras que en la zona y ≤ 0 F es igual al campo transmitido

F (x, y) = F inc ei[kxx−k(1)y y] + F inc ei[kxx+k

(1)y y] (3.65)

F (x, y) = F tra ei[kxx−k(2)y y]. (3.66)

Con estas expresiones, y luego de simplificar el factor exponencial, las condiciones (3.39)se escriben como

F inc + F ref = F tra (3.67)

−k(1)y

η(1)F inc +

k(1)y

η(1)F ref =

k(2)y

η(2)F tra (3.68)

que se puede reescribir como un sistema de ecuaciones lineales inhomogeneo, con las dosamplitudes complejas de los campos secundarios como incognitas y la amplitud compleja


del campo preexistente en la inhomogeneidad

F ref − F tra = −F inc (3.69)

k(1)y

η(1)F ref +

k(2)y

η(2)F tra =

k(1)y

η(1)F inc. (3.70)

Resolviendo el sistema se obtienen los coeficientes de reflexion r12 = F ref/F inc y de trans-mision t12 = F tra/F inc para las amplitudes

r12 =

β1

η(1) − β2

η(2)

β1

η(2) + β2

η(2)

. (3.71)

t12 =

2β1

η(1)

β1

η(2) + β2

η(2)

. (3.72)

Estos coeficientes dan modulo y fase de la amplitud de los campos secundarios, relativosa la amplitud de una onda plana incidente que desde el medio 1 se encuentra con unadiscontinuidad plana que separa medio 1 y medio 2. Y aunque hemos dejado las etiquetasde lado en la notacion, conviene recordar que todas las ondas involucradas tienen lasmismas etiquetas ω, kx y kz = 0. Esto quiere decir que aunque resulte evidente de (3.71)que r12 = −r21, la relacion es valida cuando se mantiene el mismo valor de kx (y kz = 0),es decir, cuando la onda incidente que desde el medio 2 se encuentra con el medio 1 formacon la normal un angulo θt (y se transmite al medio 1 con un angulo θi).

Las expresiones (3.71) y (3.72) resuelven los dos problemas desacoplados. El problemapara Ez, con Hz ≡ 0 y η = µ se llama modo TM (transverso-magnetico) en la nomen-clatura de guıas de onda y el problema para Hz, con Ez ≡ 0 y η = ε se llama modo TE(transverso-electrico) en la nomenclatura de guıas de onda. Y en esta nomenclatura se dapor supuesto que el caracter de transverso esta referido al eje z de simetrıa. En cambio,en la nomenclatura optica, donde se elige como referencia al plano de incidencia, resultamas natural que el caracter de transverso este referido a dicho plano. Y entonces hay unproblema, porque lo que es transversal al eje z resulta paralelo al plano de incidencia.Y viceversa: lo que es paralelo al eje z resulta transversal al plano de incidencia. Poreste motivo, el problema para Ez con Hz ≡ 0, que en el campo de las fibras y guıas deonda serıa modo TM, en optica se conoce como modo TE, o transverso-electrico, porqueel campo electrico de la onda incidente (y de las ondas secundarias) es perpendicular alplano de incidencia. Y el problema para Hz con Ez ≡ 0, que en el campo de las fibras yguıas de onda serıa modo TE, en optica se conoce como modo TM, o transverso-magneti-co, porque ahora el campo magnetico de la onda incidente (y de las ondas secundarias)es perpendicular al plano de incidencia (y el campo electrico paralelo al plano de inciden-cia). Para evitar confusiones, muchos prefieren hablar en el primer caso de polarizacin s,por “senkrecht”, la palabra alemana para “perpendicular” y de polarizacin p, por “para-llel”, (ingles y aleman), o sea campo electrico parallelo al plano de incidencia. De manera


Figura 3.4: Modos de polarizacion en la nomenclatura optica para una superficie plana entre dosmedios isotropos aquirales. Izquierda, modo TE o s, el campo electrico de la onda incidente (y de lasondas secundarias) es perpendicular al plano de incidencia. Derecha, modo TM o p, el campo electricode la onda incidente (y de las ondas secundarias) es paralelo al plano de incidencia.

explıcita, los coeficientes de de reflexion y de transmision para cada modo son

rs12 =

β1

µ(1) − β2

µ(2)

β1

µ(1) + β2

µ(2)

rp12 =β1

ε(1) − β2

ε(2)

β1

ε(2) + β2

ε(2)

(3.73)

ts12 =

2β1

µ(1)

β1

µ(1) + β2

µ(2)

tp12 =2β1

ε(1)

β1

ε(2) + β2

ε(2)

(3.74)

Los modos no se mezclan, por eso se obtienen dos sistemas de 2x2, uno para cadamodo y ambos representados por (3.70). Ası vemos que son nulos los elementos cruzadosrTM→TE y rTE→TM de la matriz de reflexion definida en (3.59). De acuerdo a lo discutidosobre notacion de modos, el elemento rTM→TM en (3.59) corresponde a rs12 mientras que elelemento rTE→TE en (3.59) corresponde a rp12. Tambien son nulos los elementos cruzadosde la matriz de reflexion definida en (3.60), el elemento tTM→TM en (3.60) corresponde ats12 y el elemento tTE→TE en (3.59) corresponde a tp12.

3.4.6. Incidencia normal

En incidencia normal no esta definido el plano de incidencia y en este caso no puedehaber distincion entre modos s y p. Entonces, para θi → 0 (kx = 0) deberıan ser iguales


las dos cantidades rs12 y rp12 en (3.73). Aparentemente no es ası, porque cuando kx = 0resulta

rs12(kx = 0) =

√ε1µ1−√

ε2µ2√

ε1µ1

+√

ε2µ2

y rp12(kx = 0) =

√µ1

ε1−√

µ2

ε2√µ1

ε1+√

µ2

ε2

= −rs12(kx = 0) .

Un analisis mas detallado de la forma de los campos muestra que la diferencia de signose debe a que la eleccion de todos los campos electricos segun z en el modo s, equivalea suponer todos los campos electricos en fase con el campo incidente, mientras que laeleccion de todos los campos magneticos segun z en el modo p, equivale a suponer loscampos electricos en contrafase en incidencia normal (ver figura (3.4)). El hecho fısico esque en incidencia normal las dos cantidades rs12 y rp12 predicen lo mismo: si ε1/µ1 < ε2µ2

entonces el campo electrico reflejado en incidencia normal tiene signo opuesto al campoelectrico incidente, mientras que cuando ε1/µ1 > ε2µ2, el campo electrico reflejado tieneel mismo signo que el campo electrico incidente.

Los materiales transparentes mas usados en el espectro visible tienen µ = 1. En estecaso el ındice de refraccion resulta n =

√ε y entonces el resultado obtenido para incidencia

normal esta de acuerdo con las observaciones de interferencia en laminas delgadas, de lascuales se infiere que cuando la reflexion ocurre desde un medio opticamente mas denso(mayor ındice de refraccion) hacia un medio opticamente menos denso (menor ındice derefraccion), la onda reflejada tiene un desfasaje de π con respecto a la incidente. En elcaso optico tambien resulta que

|rp12(kx = 0)| = |rs12(kx = 0)| =∣∣∣n2 − n1

n2 + n1

∣∣∣ . (3.75)

Para una ventana de vidrio en aire en el visible, n2 = 1.5, n1 = 1, resulta que la amplitudde la onda reflejada es 0.2 veces menor (y con una intensidad 0.04 veces menor) que lade la onda incidente.

3.4.7. Comportamiento general de los coeficientes de Fresnel

Materiales no magneticos

En la figura 3.5 se muestran las curvas de |rp12(θi)| y |rs12(θi)| de los modulos de loscoeficientes de reflexion en funcion del angulo de incidencia para una superficie planaaire vidrio con µ1=µ2=1, ε1=1, ε2=2.25. Ambas curvas coinciden en incidencia normal,donde toman el valor dado por (3.75) y en incidencia rasante donde valen 1. Este es elcomportamiento usual en optica. La diferencia mas importante entre ambas curvas es querp12 se anula para un angulo de incidencia (el conocido angulo de Brewster), mientras quers12 no se anula. Segun (3.73) la condicion para que se anule rp12 es

β1

ε1=β2

ε2.


Figura 3.5: curvas de |rp12(θi)| y |rs12(θi)| en funcion del angulo de incidencia para una superficie planaaire vidrio con µ1=µ2=1, ε1=1, ε2=2.25.

Para materiales no magneticos, µ = 1, n =√ε y es facil demostrar que el angulo de

Brewster θB viene dado por

tan θB =

√ε2ε1

=n2

n1

. (3.76)

Materiales magneticos

Cuando µ1 6= µ2 las curvas de |rp12(θi)| y |rs12(θi)| pueden ser cualitativamente muydistintas de las conocidas en el rango optico. Por ejemplo, cuando

√ε1µ1 =

√ε2µ2 , adaptacion de ındices, (3.77)

los dos medios, a pesar de ser distintos, tienen el mismo ındice de refraccion. En estecaso la onda refractada se propaga en la misma direccion que la onda incidente, pero lareflectividad de la superficie no es cero (como ocurrirıa si los dos medios fueran identicos).Mas curioso aun es que ambos coeficientes de Fresnel resultan

rs12 =

√ε1µ1−√

ε2µ2√

ε1µ1

+√

ε2µ2

, y rs12 =

√µ1

ε1−√

µ2

ε2√µ1

ε1+√

µ2

ε2

,

que son independientes del angulo de incidencia y tienen el mismo modulo, como puedeverse a partir de la condicion (3.77).


Otra situacion que puede darse en medios magneticos, tambien cualitativamente muydistinta a la que ocurre en el rango optico es cuando se cumple la condicion

ε1µ1

=ε2µ2

, adaptacion de impedancias. (3.78)

Ahora los coeficientes de Fresnel dependen del angulo de incidencia pero siguen teniendoel mismo modulo. Notar que en incidencia normal la reflectividad es cero para ambaspolarizaciones. Se deja como ejercicio demostrar que, dependiendo de los valores relativosde las permitividades y permeabilidades de ambos medios, es posible tener angulo deBrewster para polarizacion s.

3.4.8. Reflexion total

En el ejemplo de la figura 3.5 se muestra un caso en el cual√ε1µ1 <

√ε2µ2, es decir,

el ındice de refraccion n1 del primer medio es menor que el ındice de refraccion n2 delsegundo medio. En este caso

sin θt =n1

n2

sin θi < sin θi ,

la onda transmitida se acerca a la normal. En cambio, si n1 > n2, sin θt > sin θi y entoncesexiste un angulo de incidencia crıtico θc para el cual la onda refractada se propaga endireccion paralela a la superficie

sin θc =n2

n1

. (3.79)

En funcion de θc, la ley de Snell se escribe

sin θt =sin θisin θc

, (3.80)

que muestra que

θi ≤ θc ⇒ sin θt ≤ 1 ⇒ cos θt =√

1− ( sin θisin θc

)2 (θt ∈ R) ,

θi > θc ⇒ sin θt > 1 ⇒ cos θt = i√

( sin θisin θc

)2 − 1 (θt 6∈ R) .(3.81)

¿Un angulo de transmision complejo? Seguro que no era esto en lo que estabamos pensan-do cuando escribimos las componentes del vector de onda transmitido en funcion de θt. Laconclusion es que para angulos de incidencia mayores que el crıtico tenemos que revisarla interpretacion de θt como angulo de refraccion. Para eso investiguemos la estructurade la onda refractada en el medio 2 (y < 0)

~Et(~x, t) = ~E0t ei [ωcn2 (x sin θt−y cos θt)−ωt]

= ~E0t e(ωcn2

√(

sin θisin θc

)2−1) y ei[(ωcn2 sin θt)x−ωt] . (3.82)


Esta expresion, valida para y ≤ 0, representa una onda que se propaga a lo largo dela superficie sin atenuarse y cuya amplitud decae exponencialmente hacia el interior delmedio 2. A una onda de este tipo se la llama onda evanescente. La onda transmitidatiene una distancia de decaimiento δ

1

δ=ω

cn2

√(sin θisin θc

)2 − 1 ,

es decir

δ =λ1

2π

1√sin2 θi − sin2 θc

, (3.83)

donde λ1 es la longitud de onda en el medio 1. Este decaimiento no esta asociado aninguna perdida, sino a un comportamiento reactivo del medio 2 para θi > θc. El nombrede reflexion total proviene de que en estas condiciones no hay flujo neto del vector dePoynting hacia el interior del medio 2, tal como se puede comprobar calculando⟨

~S⟩· y =

c

8π<~Et × ~H∗t

· y

=c

8π

√ε2µ2

1

k2

<~Et × (~k∗t × ~E∗t )

· y

=c

8π

√ε2µ2

1

k2

<~k∗t | ~Et|2 − (~k∗t · ~Et)

· y

=c

8π

√ε2µ2

1

k2

| ~Et|2<~k∗t · y

= 0 ,

pues ~k∗t · y, segun (3.81), es un numero imaginario puro. Notemos que

Si bien en promedio el flujo de potencia hacia el medio 2 es nulo, existe un flujoinstantaneo oscilante en la direccion y.

La direccion del flujo de potencia promedio asociado con la onda transmitida estaen la direccion x, es decir que es paralelo a la superficie;

cos θt imaginario equivale a k(2)y imaginario, ası los coeficientes de Fresnel rs12 y

rp12 se escriben como el cociente entre un numero complejo y su conjugado. Enconsecuencia tienen modulo unitario

Rss = ei φs , Rpp = ei φp . (3.84)

Vemos que en reflexion total la onda reflejada tiene la misma amplitud que la ondaincidente, pero esta desfasada. El desfasaje depende de la polarizacion y entoncesuna onda incidente linealmente polarizada a 45 con el plano de incidencia se reflejacon polarizacion en general elıptica. Las caracterısticas de la elipse vienen dadaspor la diferencia de fase φ = φs − φp. Para medios dielectricos comunes en el rangooptico φ < π/2 (por ejemplo, para una superficie vidrio-aire, con ındice relativo1.51, φ < 45.6). Este efecto se ha utilizado para convertir polarizacion lineal encircular, empleando dos reflexiones totales sucesivas (rombo de Fresnel).


Como estamos analizando la incidencia de una onda plana, todo el analisis reali-zado hasta el momento se aplica al estado estacionario para una superficie infinitay frentes de onda tambien infinitos. Entonces no deberıa sorprendernos que esteanalisis no explique como entro la energıa al medio 2. En un experimento real, laonda estara confinada espacialmente (como en (2.102)) y temporalmente (como en(2.93)) y al comienzo del proceso, parte de la energıa incidente da lugar a los camposen el medio 2, en distancias del orden de δ (ecuacion (3.83)). Esto produce que laonda reflejada tenga un retardo y un desplazamiento lateral con respecto a la ondaincidente. Estos efectos se pueden utilizar convenientemente para manipular pulsosy haces limitados. Para un calculo riguroso del desplazamiento lateral ∆ se debepartir de una onda incidente como (2.102) y sintetizar la onda reflejada como super-posicion de las ondas reflejadas producidas por cada componente de onda plana dela onda incidente. Una aproximacion muy elemental puede obtenerse considerandola construccion geometrica de la figura, de donde resulta

∆ ≈ 2δ sin θi =λ1

π

sin θi√sin2 θi − sin2 θc

. (3.85)

Figura 3.6:

3.4.9. Balance de potencia

Veamos como se expresa el balance de energıa en terminos de los coeficientes de Fresnel.Usaremos el Teorema de Poynting y para hacer intervenir los coeficientes de reflexion ytransmision consideramos un recinto delimitado por dos planos paralelos a la superficie


de separacion, uno en y = 0+ (medio 1) y otro en y = 0− (medio 2). En estas condiciones

debe anularse la integral de superficie del vector de Poynting ~S, porque no hay corrientesy porque la contribucion de la densidad de energıa tiende a cero con el volumen. Entonces2

< ~S1 · y >=< ~S2 · y > , (3.86)

donde los subındices 1 y 2 se refieren a cada medio. Para el medio 1

< ~S1 > =c

8π<~E1 × ~H∗1

=

c

8π<

( ~Ei + ~Er)× ( ~H∗i + ~H∗i )

= < ~Si > + < ~Sr > +c

8π<~Er × ~H∗i + ~Ei × ~H∗r

, (3.87)

donde < ~Si > y < ~Sr > son los vectores de Poynting asociados con la onda incidente yreflejada respectivamente. La expresion (3.87) muestra que el vector de Poynting en elmedio 1 es la suma de los vectores de Poynting de la onda incidente y de la onda reflejadamas un termino de interferencia. Se puede probar (hacerlo) que para campos incidentesgenerales como los de la ecuacion (??), este termino de interferencia no tiene componenteen la direccion normal a la superficie, es decir que

<~Er × ~H∗i + ~Ei × ~H∗r

· y = 0 .

Usando este resultado y que ~S2 = ~St, el balance (3.86) queda

< ~Sr · y > − < ~St · y >= − < ~Si · y > . (3.88)

Finalmente, recordando que para una onda plana

< ~S >=c

8πk

√ε

µ<~k, (3.89)

tenemos √ε1µ1

|E0r|2 cos θi︸︷︷︸∝Pr

+

√ε2µ2

|E0t|2<

cos θt

︸︷︷︸

∝Pt

=

√ε1µ1

|E0i|2 cos θi︸︷︷︸∝Pi

. (3.90)

A menos de un factor comun, los terminos en (3.90) son proporcionales a flujos de potenciaa traves del plano y = 0, el primero y el segundo del lado izquierdo de la igualdadcorresponden a las potencias reflejada (Pr) y transmitida (Pt) respectivamente y el dellado derecho (Pi) a la incidente. Es decir que (3.90) dice que la potencia incidente esigual a la reflejada mas la transmitida. Dividiendo miembro a miembro por la potenciaincidente se obtiene

|E0r|2

|E0i|2+

√ε2µ1

ε1µ2

|E0t|2

|E0i|2<cos θt

cos θi

= 1 . (3.91)

2en elaboracion, ojo que falta adaptar con la notacion anterior


Esta relacion vale para cualquier polarizacion incidente. En particular para incidencias so p tiene que ser

|Rss|2 +

√ε2µ1

ε1µ2

|Tss|2<cos θt

cos θi

= 1 , (3.92)

|Rpp|2 +

√ε2µ1

ε1µ2

|Tpp|2<cos θt

cos θi

= 1 . (3.93)

Bibliografıa

[1] “Sturm-Liouville Theory and its Applications”, M.A. Al-Gwaiz, Springer Under-graduate Mathematics Series, Springer-Verlag 2008

[2] “A Pioneer in Anaclastics: Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses”, Roshdi Ras-hed, Isis 81, 1990, 464–491

109

Capıtulo 4

Problemas con fuentes

(En elaboracion)

4.1. Potenciales

Cuando las cargas y corrientes no dependen del tiempo es usual introducir potenciales~A y φ. Estos potenciales, si bien no aparecen en las ecuaciones de Maxwell, aseguranel cumplimiento automatico de la irrotacionalidad del campo electrico ~E = −~∇φ y dela nulidad de la divergencia del campo magnetico ~B = ~∇ × ~A. Los potenciales tambienjuegan un papel importante en la parte dinamica donde se los introduce con el dobleproposito de satisfacer automaticamente las ecuaciones sin fuentes, igual que en estatica,pero tambien para tratar de simplificar las ecuaciones con fuentes.

La ecuacion ~∇· ~B = 0 se satisface automaticamente si ~B se elige como el rotor de algo:~B = ~∇ × ~A y este algo se llama potencial vector ~A(~x, t). Con esta definicion, la ley deFaraday

~∇× ( ~E +1

c

∂ ~A

∂ t) = 0,

se satisface automaticamente siempre que la cantidad entre parentesis sea el gradiente deuna funcion escalar φ(~x, t)

~E +1

c

∂ ~A

∂ t= −~∇φ .

En terminos del potencial vector ~A(~x, t) y el potencial escalar φ(~x, t), los campos seescriben

~B = ~∇× ~A, (4.1)

~E = −~∇φ− 1

c

∂ ~A

∂ t. (4.2)

110

4.2. TRANSFORMACIONES DE MEDIDA 111

Estos potenciales dependen de las fuentes y para explicitar la relacion potenciales–fuentesse introducen las ecs. (4.1) y (4.2) en las ecs. (1.11) y (1.13). Por simplicidad, a partirde este punto restringimos el tratamiento a fuentes en el vacıo. Usando la identidad~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A, se llega al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales,acopladas y de segundo orden

∇2φ+1

c

∂(~∇ · ~A)

∂ t= −4πρ , (4.3)

∇2 ~A− 1

c2

∂2 ~A

∂ t2− ~∇(~∇ · ~A+

1

c

∂φ

∂ t) = −4π

c~J , (4.4)

que no parece haber simplificado demasiado el sistema original.

4.2. Transformaciones de medida

Segun el teorema de Helmholtz todo campo vectorial queda determinado, a menos deuna constante, por su rotor y su divergencia. Entonces ~A no esta bien definido, porquela definicion (4.1) fija solamente el rotor, pero queda la libertad de elegir su divergencia.

Como ~∇× ~A = ~∇× ( ~A+ ~∇Λ) para cualquier escalar Λ, elegir ~∇· ~A equivale a elegir ∇2Λ.

Supongamos que los campos electromagneticos ( ~E, ~B) provienen de potenciales ( ~A, φ).

Debido a la arbitrariedad en la eleccion de la divergencia de ~A , podrıamos haber usadocualquier otro potencial ~A′, siempre que ~A′ = ~A+ ~∇Λ. Con este nuevo ~A′ queremos seguirteniendo el mismo campo ~E, luego la ecuacion 4.2 dice que en vez de φ tenemos que usarun nuevo potencial φ′ = φ− 1

c∂Λ∂ t

. La transformacion ( ~A, φ) −→ ( ~A′, φ′)

~A′ = ~A+ ~∇Λ , (4.5)

φ′ = φ− 1

c

∂Λ

∂ t, (4.6)

se llama transformacion de medida. Es evidente que, frente a cambios de medida, loscampos electromagneticos son invariantes, por construccion. El proceso de fijar ~∇ · ~A,equivalente a elegir ∇2Λ, se llama fijar la medida y no es otra cosa que un procedimientomatematico para encarar grados de libertad redundantes en las ecuaciones que rigen elcomportamiento de un sistema. De todas las elecciones posibles, prestaremos atencion ados medidas muy usadas que simplifican las ecuaciones acopladas con fuentes (4.3)-(4.4).

Una es la medida de Coulomb, que corresponde a elegir ~∇ · ~A = 0 y en este caso la ec.(4.3) se reduce, al igual que en electrostatica, a la ecuacion de Poisson para el potencialescalar

∇2φ(~x, t) = −4πρ(~x, t) . (4.7)

Y la otra es la medida de Lorenz (1867, por el fısico danes Ludvig Valentin Lorenz), quecorresponde a elegir

~∇ · ~A+1

c

∂φ

∂ t= 0, (4.8)

112 CAPITULO 4. PROBLEMAS CON FUENTES

llamada condicion de Lorenz (una condicion que es invariante frente a las transformacionesde Lorentz de la relatividad especial, encontradas en 1900 por el fısico holandes HendrikAntoon Lorentz).

4.2.1. Medida de Lorenz

Cuando se cumple (4.8) no solo se desacoplan las ecs. (4.3)-(4.4), sino que ademasambos potenciales satisfacen ecuaciones con la forma de la ecuacion de ondas clasicainhomogenea

∇2φL −1

c2

∂2φL∂ t2

= −4πρ , (4.9)

∇2 ~AL −1

c2

∂2 ~AL∂ t2

= −4π

c~J . (4.10)

Si ( ~A, φ) satisfacen las ecuaciones acopladas (4.3)–(4.4), el escalar Λ(~x, t) para pa-

sar a nuevos potenciales ( ~A′, φ′) que cumplan la condicion (4.8) (y satisfagan entoncesecuaciones desacopladas) debe ser solucion de la siguiente ecuacion diferencial

∇2Λ− 1

c2

∂2Λ

∂ t2= −(~∇ · ~A+

1

c

∂φ

∂ t) . (4.11)

La conclusion es que siempre podemos elegir potenciales ~A y φ en la medida de Lorenz.Notar que cualquier transformacion de medida generada por Λ(~x, t) tal que

∇2Λ− 1

c2

∂2Λ

∂ t2= 0 ,

preserva la medida de Lorenz, de donde concluimos que aun dentro de la medida deLorenz los potenciales no estan unıvocamente definidos.

4.2.2. Medida de Coulomb

En la medida de Coulomb ~∇ · ~AC = 0 y las ecs. (4.3)-(4.4) toman la forma

∇2φC = −4πρ , (4.12)

∇2 ~AC −1

c2

∂2 ~AC∂ t2

= −4π

c~J +

1

c~∇(∂φC∂ t

) . (4.13)

El potencial escalar satisface la ecuacion de Poisson, cuya solucion para distribucioneslocalizadas es la familiar integral de la electrostatica

φC(~x, t) =

∫ρ(~x ′, t)

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.14)

4.2. TRANSFORMACIONES DE MEDIDA 113

Vemos que el campo electrico coulombiano instantaneo creado por la distribucion decargas es una parte (no todo, como en electrostatica) del campo electrico total y estorepresenta una ventaja en areas como fısica atomica, molecular, materia condensada,etc., donde se usa la medida de Coulomb.

Aunque no es obvio y las cuentas son largas [1], se puede demostrar que para fuenteslocalizadas el potencial vector en la medida de Coulomb tambien se escribe como unaintegral que solamente involucra a la densidad de corriente. Una estrategia poco elegantepodrıa ser trabajar en la medida de Lorenz y luego volver a la medida de Coulomb conel Λ′ adecuado. Otra estrategia sin salir de la medida es reescribir el segundo terminodel lado derecho de (4.13), hacer primero la derivada temporal de (4.14), usar luego laecuacion de continuidad (1.9) y tomar finalmente el gradiente del resultado. Ası queda

1

c~∇(∂φC∂ t

) = −~∇c

∫ ~∇ ′ · ~J(~x ′, t)

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.15)

El gradiente actua sobre una integral de Poisson donde la fuente es una divergencia.Esto es reminiscente del teorema de Helmholtz mencionado en la seccion 4.2, que permiteencontrar un campo vectorial a partir de su rotor y de su divergencia con la siguienteexpresion

~J(~x, t) = − 1

4π~∇∫ ~∇ ′ · ~J(~x ′, t)

|~x− ~x ′|d3x′ +

1

4π~∇×

∫ ~∇ ′ × ~J(~x ′, t)

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.16)

El primer termino se llama componente longitudinal ~J‖ y cumple ~∇× ~J‖ = 0, ~∇ · ~J‖ 6= 0.

En cambio el segundo termino, llamado componente transversal ~J⊥ y cumple ~∇× ~J⊥ 6= 0,~∇ · ~J⊥ = 0. Vemos entonces que el segundo termino del lado derecho de (4.13) resulta

1

c~∇(∂φC∂ t

) =4π

c~J‖

y entonces la ecuacion inhomogenea (4.13) para ~AC queda

∇2 ~AC −1

c2

∂2 ~AC∂ t2

= −4π

c~J⊥ , (4.17)

nuevamente una ecuacion de ondas clasica que muestra que la fuente del potencial vectoren la medida de Coulomb es la corriente transversal ~J⊥. Los nombres longitudinal ytransversal se refieren al comportamiento de las transformadas de Fourier espaciales de~J‖ y ~J⊥, que segun lo notado en la pagina 53, en el parrafo anterior a las ecs. (2.26)-(2.29),

satisfacen ~k × ~J‖∣∣ω;~k

= 0 y ~k · ~J⊥|ω;~k = 0.

Como puede verse de la ley de Biot-Savart

~B(~x) =1

c

∫ ~J(~x ′)× (~x− ~x ′)|~x− ~x ′|3

d3x′ =1

c

∫~J(~x ′)× ~∇ ′ 1

|~x− ~x ′|d3x′ , (4.18)


una corriente estacionaria, irrotacional y localizada no genera campo magnetico. Unamanera de verlo es escribir el integrando como un rotor menos algo, usar el teorema deGauss para transformar la integral de rotor en una integral de superficie y reconocer quepara corrientes localizadas la integral de superficie se anula. Con este procedimiento elcampo magnetico queda

~B(~x) =1

c

∫ ~∇ ′ × ~J(~x ′)

|~x− ~x ′|d3x′ , (4.19)

que muestra que el campo magnetico de una corriente estacionaria localizada con rotornulo (∇× ~J=0) vale ~B(~x) = 0. Es instructivo ver que la ec. (4.17) generaliza este resultado

para corrientes dependientes del tiempo. Porque si ∇× ~J = 0, entonces ∇× ~J⊥ = 0. Ycomo ~∇ · ~J⊥ = 0 por definicion, entonces ~J⊥ = 0, por el teorema de Helmholtz y por elhecho de que toda corriente localizada en infinito ~J → 0. Luego, debe ser cero el campomagnetico solucion de la ec. (4.19) con condiciones iniciales nulas (se demostrara masadelante, por ahora parece creıble si se piensa en la analogıa con el movimiento no forzadodel gas en una cavidad con condiciones iniciales igual a cero). Y entonces una corrienteirrotacional y localizada, sea estacionaria o no, no genera campo magnetico.

El escalar Λ(~x, t) que permite pasar de potenciales arbitrarios ( ~A, φ) a nuevos poten-

ciales ( ~AC , φC) en la medida de Coulomb debe satisfacer

∇2Λ = −~∇ · ~A . (4.20)

Sabemos que la solucion de esta ecuacion de Poisson no es unica a menos que se pidancondiciones de contorno para Λ(~x, t). Luego, concluimos que aun quedan grados de liber-tad para los potenciales en la medida de Coulomb. Si se pide que Λ→ 0 cuando |~x| → ∞,

es decir que ~∇ · ~A tienda a cero mas rapido que 1/|~x|, entonces

Λ(~x, t) = − 1

4π

∫ ~∇ ′ · ~A(~x ′, t)

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.21)

4.3. Ecuaciones de onda con fuente para los campos

Hemos visto que los potenciales y sus fuentes estan conectados a traves de ecuacionesde onda inhomogeneas. Es facil demostrar que lo mismo ocurre entre los campos ~E(~x, t)

y ~B(~x, t) y sus fuentes

∇2 ~E − 1

c2

∂2 ~E

∂ t2= 4π~∇ρ+

4π

c2

∂ ~J

∂ t, (4.22)

∇2 ~B − 1

c2

∂2 ~E

∂ t2= −4π

c~∇× ~J . (4.23)

Los terminos con fuentes en estas ecuaciones de onda no son tan sencillos como los de lasecs. (4.9), (4.10) y (4.17). Ademas, las ecuaciones de onda para ~E(~x, t) y ~B(~x, t) son mas

4.4. POTENCIALES VECTORIALES DE HERTZ 115

difciles de resolver que sus contrapartidas homogeneas (2.1) y no esta asegurado que todasolucion de estas ecuaciones sea solucion de las ecuaciones de Maxwell. Justamente sonestas mismas consideraciones las que nos llevaron en la seccion 4.1 a definir los potencialesy es por estos motivos que los potenciales en la medida de Lorenz son los mas difundidoscuando se trata de encontrar los campos producidos por distribuciones conocidas de cargay de corriente libres. En cambio, cuando se trata de encontrar campos producidos porsustancias polarizadas o magnetizadas dinamicamente, es mas conveniente emplear otrospotenciales, llamados potenciales vectoriales de Hertz.

4.4. Potenciales vectoriales de Hertz

Los potenciales vectoriales de Hertz se introducen porque satisfacen ecuaciones de ondano homogeneas sencillas y relacionadas directamente con la densidad de polarizacion~P (~x, t) y con la densidad de magnetizacion, y ~M(~x, t). Segun lo visto en la seccion 1.12,

un sistema con ~P (~x, t) y y ~M(~x, t) se comporta de manera identica a otro sistema concargas y corrientes equivalentes dadas por las ecs. de onda (1.73)–(1.74)

ρ = −~∇ · ~P , ~J = c ~∇× ~M +∂ ~P

∂t. (4.24)

Aunque puede parecer una complicacion innecesaria, introducimos estas expresiones paralas cargas y corrientes equivalentes en las ecs. (4.9) y (4.10) para los potenciales φL y ~ALen la medida de Lorenz. La condicion de Lorenz (4.8) se satisface automaticamente si seeligen

φL = −~∇ · ~Πe , ~AL = ~∇× ~Πm +1

c

∂~Πe

∂t, (4.25)

donde ~Πe(~x, t) y ~Πm(~x, t) son el vector electrico y el vector magnetico de Hertz res-pectivamente. La similitud entre las ecuaciones en (4.24) y las ecuaciones en (4.25) esuna consecuencia de la similitud entre la ecuacion de continuidad (1.9) y la condicion deLorenz (4.8).

Para explicitar la dependencia de los potenciales ~Πe(~x, t) y ~Πm(~x, t) con las fuentesse introducen las definiciones (4.25) en las ecs. (4.9) y (4.10). Se deja como ejercicio

demostrar que las ecs. de onda para φL y ~AL se satisfacen si los vectores de Hertz sonsoluciones de las siguientes ecuaciones de onda

∇2~Πe −1

c2

∂2~Πe

∂ t2= −4π ~P , (4.26)

∇2~Πm −1

c2

∂2~Πm

∂ t2= −4π

c~M , (4.27)

y obtener las expresiones para ~E y ~B en funcion de ~Πe y ~Πm .


En ciertos problemas es muy ventajoso que la densidad de polarizacion ~P (~x, t) y la

densidad de magnetizacion ~M(~x, t) aparezcan tan clara y directamente como inhomoge-neidades de las ecuaciones de onda (4.26) y (4.27). Por ejemplo, cuando decimos que losproblemas de valores de frontera vistos en el capıtulo 3 son problemas sin fuentes, nosreferimos a que no tienen fuentes libres. Sin embargo, sı que hay fuentes, pero no sonlibres, son inducidas. Aunque nunca hizo falta explicitar estas fuentes, ni para escribirlas bases para los campos, ni para aplicar condiciones de contorno ni para obtener comose reparte la potencia incidente entre los campos reflejados y transmitidos, es muy ins-tructivo y teoricamente gratificante exhibir estas fuentes inducidas y calcular, a partir delas ecuaciones de onda (4.26) y (4.27), que campos producen. Seguir este procedimien-to provee un ejemplo del llamado Teorema de extincion de Ewald-Oseen que en el casodel problema de Fresnel para interfase plana dice que i) las densidades de polarizaciony de magnetizacion inducidas por la onda incidente actuan como fuentes y dan origena campos en todo el espacio; ii) que los campos creados en el medio de incidencia sonjustamente los campos reflejados; y iii) que los campos creados en el medio de transmisioncancelan la onda incidente y generan la onda transmitida. Para probar rigurosamente queesto es realmente ası, primero necesitamos estudiar como resolver una ecuacion de ondasinhomogenea.

4.5. Potenciales retardados

A continuacion discutimos de una manera muy intuitiva como resolver la ecuacionde onda (4.9). El procedimiento tambien es valido para otras ecuaciones de onda inho-mogeneas que se han cruzado en nuestro camino, como (4.10), (4.17), (4.22), (4.23), (4.26)y (4.27).

El primer punto a tener en cuenta es que la solucion mas general en presencia defuentes es la suma de una integral particular mas soluciones del sistema homogeneo (sinfuentes). Para hallar la solucion particular y dada la linealidad de la ecuacion, usamossuperposicion, es decir: i) dividimos la distribucion total de cargas ρ en elementos devolumen etiquetados por ~x ′; ii) calculamos el potencial creado en ~x por el diferencial decarga dentro del elemento de volumen situado en ~x ′; iii) sumamos sobre ~x ′ (integramosen todos los elementos de volumen donde ρ 6= 0. La densidad de carga ρ que correspondeal diferencial de carga dq(t) en el elemento de volumen situado en ~x ′ es dq(t) δ(~r), conr = |~x− ~x ′|. La ecuacion (4.9) queda

∇2φ− 1

c2

∂2φ

∂ t2= −4πdq(t) δ(~r) . (4.28)

Si la carga en ~x ′ fuera la unica existente, generarıa un potencial con simetrıa central(esferica) y el laplaciano no tendrıa derivadas con respecto a las coordenadas angularesdel vector ~r. Fuera de la fuente, para todo ~r 6= 0, la ec. (4.28) queda

1

r2

∂

∂ r(r2 ∂φ

∂ r)− 1

c2

∂2φ

∂ t2=

1

r

∂2

∂ r2(rφ)− 1

c2

∂2φ

∂ t2= 0 .

4.5. POTENCIALES RETARDADOS 117

Haciendo la sustitucion φ(r, t) = ψ(r, t)/r, se obtiene que ψ(r, t) satisface la ecuacion deondas unidimensional

∂2ψ

∂ r2− 1

c2

∂2ψ

∂ t2= 0.

La solucion general de esta ecuacion tiene la forma ψ(r, t) = f1(t − r/c) + f2(t + r/c).Como solamente buscamos una solucion particular, parece mas comodo tomar f2 = 0 ,reprimir cualquier manifestacion aparentemente no causal y retener solamente la solucionretardada, que corresponde a la funcion progresiva f1. De esta manera, la solucion parti-cular para el potencial creado por la carga diferencial en todo punto excepto en el origenqueda

φ(r, t) =f1(t− r/c)

r.

Falta ver lo que pasa en el origen. Si se elige f1 (hasta ahora una funcion artibraria noespecificada) de manera tal que cuando r → 0 se cumpla la ecuacion (4.28) con la deltade Dirac como inhomogeneidad, el problema queda solucionado para todo r. Como φcontiene a 1/r, sus derivadas espaciales en el lımite de r → 0 seran mucho mas grandesque sus derivadas temporales. Y entonces, en este lımite, la ecuacion (4.28) toma la forma

∇2φ = −4πdq(t) δ(~r) . (4.29)

Esta ecuacion es identica a la ecuacion de Poisson para el potencial electrostatico de unacarga puntual dq(t) ubicada en el origen ~r = 0. Luego, en el lımite de r → 0 la integralparticular de (4.29) es φ = dq(t)/r.

Recapitulando, hasta el momento tenemos dos representaciones para φ. Una, acercando-nos al origen e incluyendo la fuente

φ(r → 0, t) =dq(t)

r,

y otra, acercandonos al origen pero excluyendo la fuente

φ(r → 0 , t) =f1(t)

r.

La comparacion entre ambas representaciones muestra que la eleccion correcta de lafuncion f1(·) es la funcion q(·). Y como f1 no depende de r y t por separado, sino de lacombinacion t−r/c, concluimos que la solucion elemental particular para todo r debe ser

φ(r, t) =dq(t− r/c)

r.

Si esta solucion particular es el potencial elemental en ~x generado por la carga elementaldq(t) ubicada en ~x ′

dq(t) = ρ(~x ′, t) d3x′ ,


la solucion particular del potencial total generado por toda la distribucion se obtienesumando sobre ~x ′ de la siguiente manera

φ(~x, t) =

∫ρ(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)

|~x− ~x ′|d3x′ , (4.30)

y la solucion mas general para φ(~x, t) es

φ(~x, t) =

∫ρ(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)

|~x− ~x ′|d3x′ + φ0(~x, t) , (4.31)

donde φ0(~x, t) representa una combinacion de soluciones de la ecuacion de ondas ho-mogenea. Repitiendo para la ecuacion (4.10) el mismo procedimiento aplicado a la ecua-cion (4.9) llegamos a

~A(~x, t) =1

c

∫ ~J(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)|~x− ~x ′|

d3x′ + ~A0 . (4.32)

Las integrales en (4.31) y (4.32) son en todo el espacio. Estos potenciales se llamanpotenciales retardados, debido a que ponen en evidencia que el efecto observado en elpunto ~x en el instante t esta asociado con el valor de las fuentes ubicadas en ~x ′ al tiemporetardado t′ = t− |~x− ~x ′|/c. El retardo |~x− ~x ′|/c es justamente el tiempo que tarda laperturbacion de la fuente en propagarse de ~x a ~x ′. Las soluciones de la ecuacion de ondashomogenea φ0 y ~A0 se determinan de acuerdo con las condiciones de cada problema yrepresentan distribuciones de fuentes que se hallan fuera del recinto donde se calculan lospotenciales. En ausencia de contornos φ0 = 0 y ~A0 = 0.

4.6. Fuentes armonicas

Primero notemos que para fuentes con dependencia temporal armonica

~J(~x, t) = ~Jω(~x) e−i ω t ,

ρ(~x, t) = ρω(~x) e−i ω t ,

la ecuacion de continuidad 1.9 queda

~∇ · ~Jω = i ω ρω , (4.33)

estableciendo ası una sencilla relacion entre ρω y ~Jω.

Segun 4.32, el vector potencial ~A producido por estas fuentes en ausencia de contornoses

~A(~x, t) =1

c

∫ ~Jω(~x ′) e−i ω (t−|~x−~x ′|/c)

|~x− ~x ′|d3x′

=e−i ω t

c

∫ ~Jω(~x ′) eik|~x−~x′|

|~x− ~x ′|d3x′ = ~Aω(~x) e−i ω t , (4.34)

4.6. FUENTES ARMONICAS 119

donde el parametro k, llamado numero de onda, se ha definido como

k =ω

c. (4.35)

La parte espacial del potencial vector es

~Aω(~x) =1

c

∫ ~Jω(~x ′) eik|~x−~x′|

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.36)

Para calcular el campo magnetico usamos 4.1

~Bω(~x) = ~∇× ~Aω(~x) . (4.37)

Para calcular el campo electrico tendrıamos que calcular el potencial escalar φ y luegousar 4.2. Sin embargo esto no es necesario, pues para dependencias armonicas, la ley deAmpere-Maxwell

~∇× ~Bω = −ik ~Eω +4π

c~Jω , (4.38)

permite obtener ~Eω a partir de ~Bω y ~Jω. Procederemos entonces segun el siguiente esquema

fuente −→ ~Jω4.36−→ ~Aω

4.37−→ ~Bω4.38−→ ~Eω , (4.39)

que muestra que el nudo matematico de este problema fısico reside en la evaluacion dela integral 4.36. Los metodos para evaluar esta integral sin especificar la forma de ~Jω(~x)surgen de considerar que hay tres longitudes caracterısticas y que entonces los valoresde sus cocientes indicaran cual es la manera mas conveniente de representar el integrando.Consideremos fuentes localizadas y tomemos el origen de coordenadas en algun puntode la fuente. La primera longitud caracterıstica que aparece es el tamano de la fuente,llamemoslo a, que determina el rango de variacion de |~x ′|. En segundo lugar tenemos |~x|, ladistancia fuente-campo. Al estudiar los desarrollos multipolares para casos estaticos hemosvisto que el cociente entre estos dos parametros juega un papel fundamental para predecircon bastante precision el comportamiento de los campos externos de una distribucion.Pero a diferencia del caso estatico, aquı aparece una tercera longitud caracterıstica: lalongitud de onda λ = 2π/k, que a traves de la exponencial imaginaria en 4.36 debera ser

comparada con |~x − ~x ′|. En sıntesis: las posibles aproximaciones para ~Aω surgen de lasaproximaciones que se hagan para desarrollar el factor

eik|~x−~x′|

|~x− ~x ′|, (4.40)

y estas dependen fuertemente de los valores que tomen los cocientes entre las tres longi-tudes caracterısticas a, |~x| y λ.


4.7. Aproximaciones para campos fuera de las fuen-

tes

Si estamos interesados en los campos exteriores parece razonable desarrollar el factor4.40 en serie de potencias de |~x ′|/|~x|. Hay dos maneras de encarar este desarrollo en serie.La primera y mas sistematica generaliza el desarrollo ?? para 1/|~x − ~x ′| e involucrapolinomios de Legendre y funciones de Bessel esfericas. Conduce a lo que se conocecomo potenciales de Debye y permite manejar las propiedades de polarizacion de loscampos de una manera compacta, aunque requiere introducir detalles matematicos queno tendremos tiempo de desarrollar en este curso. Una segunda manera, menos sistematicapero matematicamente mas simple, de encontrar desarrollos en serie para el factor 4.40cuando el punto campo esta fuera de la fuente, consiste en escribir

|~x− ~x ′| = r

√1 +

r′2

r2− 2

r′

rcos γ , (4.41)

con r = |~x|, r′ = |~x ′| y γ el angulo formado por los vectores ~x y ~x ′, y desarrollar estaexpresion en serie de potencias de r/r′ en la exponencial y en el denominador. Veremosque este tratamiento tiene la ventaja de que permite encontrar los primeros terminos deldesarrollo con relativa facilidad, aunque despues se torna practicamente inmanejable. Elfactor 4.40 queda

eikr√

1+ r′2r2−2 r

′r

cos γ

r√

1 + r′2

r2 − 2 r′

rcos γ

, (4.42)

donde se puede apreciar que para proceder con los desarrollos en serie no solo es relevanteel valor del cociente r/r′ sino tambien el del cociente r/λ, que aparece en la exponenciala traves del producto kr. Recordando que estamos en el caso r′ < r, el desarrollo de laraız cuadrada es

|~x− ~x ′| ≈ r[1 +

1

2

(r′2r2− 2

r′

rcos γ

)− 1

8

(r′2r2− 2

r′

rcos γ

)2

+ . . .]. (4.43)

Quedandonos solamente con el primer termino

k|~x− ~x ′| ≈ k r +k r′

2

r′

r− k r′ cos γ , (4.44)

la exponencial se escribe como

eik|~x−~x′| ≈ eik r ei

k r′2

r′r e−ik r

′ cos γ . (4.45)

4.7.1. Aproximacion cuasi-estacionaria

Una aproximacion muy util surge para aquellos casos en que kr 1 (y como r′ < rentonces tambien kr′ 1). Esto quiere decir que tanto el tamano de la fuente como la

4.7. APROXIMACIONES PARA CAMPOS FUERA DE LAS FUENTES 121

distancia de observacion son muchısimo menores que la longitud de onda. Teniendo encuenta 4.45 vemos que en este caso puede ser adecuado aproximar

eik|~x−~x′| ≈ 1 , (4.46)

y entonces la parte espacial del potencial vector resulta

~Aω(~x) ≈ 1

c

∫ ~Jω(~x ′)

|~x− ~x ′|d3x′ . (4.47)

Esta es formalmente la misma expresion que se obtuvo para el potencial vector ~A en el casomagnetostatico, donde la corriente en cada punto es estacionaria, es decir, independientedel tiempo. Debido a esta correspondencia formal, esta aproximacion se conoce con elnombre de cuasi-estacionaria. La diferencia fundamental con el caso estatico es queahora ~A = ~Aω e

−i ω t depende del tiempo.

Repasando los pasos seguidos para obtener 4.34 o 4.36 nos damos cuenta que la presen-cia de la exponencial eik|~x−~x

′| se debe a que el integrando en los potenciales retardados esevaluado en el tiempo t′ = t− |~x− ~x ′|/c y que entonces la aproximacion 4.46 equivale adespreciar completamente los efectos del retardo (o sea, la diferencia entre t y t′). Segunlo visto en la clase 9 esto equivale a despreciar la corriente de desplazamiento frente a lacorriente de conduccion. Esta aproximacion tiene su rango de validez para circuitos debaja frecuencia. Por ejemplo, para una frecuencia de 50s−1, λ = 6 105 m y la aproximacionresulta excelente para casi todas las aplicaciones practicas.

4.7.2. Aproximacion multipolar o de onda larga

Otra aproximacion muy util surge cuando el tamano de la fuente es mucho menor quela longitud de onda pero no estamos tan cerca de la fuente como para que se pueda hacerla aproximacion 4.46. Sin embargo, si r′/r es lo suficientemente chico, puede ser adecuadohacer las siguientes aproximaciones en 4.45

eik r′2

r′r ≈ 1 , e−ik r

′ cos γ ≈ 1 − ik r′ cos γ + . . . , (4.48)

y en este caso

eik|~x−~x′| ≈ eik r

(1 − ik r′ cos γ + . . .

). (4.49)

Bajo las mismas condiciones, el denominador en 4.40 se puede aproximar por

1

|~x− ~x ′|≈ 1

r

(1 +

r′

rcos γ + . . .

), (4.50)

y entonces

eik|~x−~x′|

|~x− ~x ′|≈ eik r

r

(1 − ik r′ cos γ + . . .

)(1 +

r′

rcos γ + . . .

)=

eik r

r

[1−

(ik − 1

r

)r′ cos γ + . . .

]. (4.51)


El potencial vector resulta

~Aω(~x) =eik r

cr

∫V

~Jω(~x ′) d3x′ −(ik − 1

r

)∫V

~Jω(~x ′)r′ cos γ d3x′ + . . .

. (4.52)

El desarrollo obtenido en esta aproximacion (que se conoce como aproximacion multipolaro de onda larga) tiene un gran paralelismo con los desarrollos multipolares obtenidos encasos estaticos. Veremos que los terminos mostrados en 4.52 1 corresponden a oscilacionesde dipolo electrico, dipolo magnetico y cuadripolo electrico.

Consideremos la integral volumetrica del primer termino. Usando que

∂

∂x′i

[J ′ix

′j

]= J ′j + x′j

(~∇ ′ · ~J ′︸︷︷︸i ω ρ′ω

), (4.53)

integrando por partes, usando la ecuacion de continuidad y el hecho que la corriente eslocalizada, es facil ver que∫

V

~Jω(~x ′)d3x′ = −i ω∫V

~x ′ρω(~x ′)d3x′ = −i ω ~pω , (4.54)

donde ~p = ~pω e−i ω t, ya usado en ??, es el momento dipolar que corresponde a la densidad

de cargas ρω(~x)e−i ω t de la fuente armonica. El potencial vector asociado a este terminodipolar electrico es

~Ade = −i k ~pωei(kr−ω t)

r. (4.55)

Se debe notar que las tres componentes de ~pω pueden tener distintas fases, lo cual puededar lugar a polarizaciones de los campos que no tienen la simplicidad que parece indicarla ecuacion 4.55. Para un dipolo orientado segun el eje z, se puede demostrar que

Erde = 2 pω k

3[ 1

k3r3− i

k2r2

]cos θ ei(kr−ω t) ,

Eθde = pω k

3[ 1

k3r3− i

k2r2− 1

kr

]sin θ ei(kr−ω t) , (4.56)

Bφde = −i pω k3

[ 1

k2r2− i

kr

]sin θ ei(kr−ω t) ,

con Eφde = Br

de = Bθde = 0.

Si estamos observando muy cerca de la fuente, kr 1, el termino dominante en loscorchetes cuadrados es el que va como 1/(kr)3, eikr ≈ 1 y entonces los campos se puedenaproximar por

Erde ≈

2 pω cos θ

r3e−i ω t ,

Eθde ≈

pω sin θ

r3e−i ω t , (4.57)

Bφde ≈ −i k

pω sin θ

r2e−i ω t .

1. . . los terminos ”faciles”de obtener . . .


La dependencia espacial de las componentes del campo electrico cercano es la que co-rresponde a un dipolo electrico estatico pω, mientras que la dependencia espacial delcampo magnetico es la que se obtendrıa de la ley de Biot-Savart para un elemento ∆zde corriente Iω, con −i ω pω =

∫I ′ωdz

′ ≈ Iω∆z. Como puede verse, estos resultados sonlos que se obtendrıan con la aproximacion cuasi-estacionaria, cosa que no debe sorpren-dernos porque a la condicion ka 1 le hemos agregado la condicion de campo cercanokr 1 y ambas condiciones son justamente las condiciones de validez de la aproximacioncuasi-estacionaria. En el otro extremo, observando a distancias grandes comparadas conla longitud de onda, kr 1 y los terminos dominantes en el campo lejano son

Erde ≈ −i2 pω k cos θ

ei(kr−ω t)

r2,

Eθde ≈ −k2pω sin θ

ei(kr−ω t)

r. (4.58)

Bφde ≈ −k2pω sin θ

ei(kr−ω t)

r.

Vemos que la componente radial del campo dipolar electrico lejano es (kr)−1 veces menorque las otras componentes de los campos. Despreciando esta pequena componente radialpodemos decir que los campos electromagneticos lejanos de tipo dipolar electrico tienenesencialmente la misma estructura que una onda plana, es decir, | ~Ede| = | ~Bde| y ~Ede, ~Bde

y la direccion de observacion en terna directa. Pero quizas el detalle mas importante delas expresiones obtenidas para los campos lejanos (y con mas consecuencias practicasen nuestra vida cotidiana) sea la dependencia espacial inversamente proporcional a r. Esjustamente esta dependencia la que posibilita que una fuente (en este caso el dipolo) emitaenergıa en forma de campos y que esta energıa viaje hacia otras regiones, no importa cuanalejadas esten. Dicho de otra manera, los campos con esta dependencia espacial tienen unflujo no nulo del vector de Poynting en el infinito. Se los llama campos de radiacion.

Hasta aca vimos las contribuciones del primer termino en el desarrollo multipolar 4.52valido en la aproximacion de onda larga. Con cada uno de los terminos restantes se puedehacer un analisis completamente similar al realizado para el termino dipolar electrico,obteniendose sucesivas contribuciones que estan relacionadas con momentos multipola-res de ordenes mayores. Aparece ası el termino dipolar magnetico, luego el cuadrupolarelectrico, . . . y luego las cosas se tornan cada vez mas inmanejables, debiendose recurriral desarrollo multipolar sistematico mencionado anteriormente. En este punto cabe laalternativa de continuar el estudio de la aproximacion de onda larga limitandolo al casode campos de radiacion. Esperamos ası poder simplificar un poco las cuentas, de algunamanera tanto como las expresiones para los campos 4.56 se reducen a las 4.58.

Debe quedar clara una diferencia importante entre los desarrollos multipolares que ve-remos a continuacion y los encontrados en electrostatica (ec. ??) y en magnetostatica (ec.??):• en los casos estaticos el parametro importante es a/r y los campos asociados a lossucesivos terminos de los desarrollos disminuyen con las sucesivas potencias de a/r;• en el desarrollo que veremos a continuacion encontraremos que los campos asocia-


dos con todos los sucesivos terminos disminuyen como 1/r en la zona de radiacion, y elparametro que define el peso relativo de los sucesivos terminos es ka.

4.7.3. Aproximacion de onda larga para campos de radiacion

Volvamos a la expresion 4.34 para el potencial ~A de fuentes armonicas localizadas.Fuera de las fuentes valen los siguientes desarrollos en forma exacta

|~x− ~x ′| = r

√1− 2

~x · ~x ′r2

+r′2

r2= r − n · ~x ′ + r′2 − (~x · ~x ′)2

2r+ . . . , (4.59)

1

|~x− ~x ′|=

1

r

[1 + n · ~x ′ −

(r′2 − 3(~x · ~x ′)2

2r2

)+ . . .

], (4.60)

~A =ei(kr−ω t)

rc

∫~J ′ω e

i k

[−n·~x ′− r

′2−3(~x·~x ′)22r

+...

][1 + n · ~x ′ − r′2 − 3(~x · ~x ′)2

2r2+ . . .

]d3x′ , (4.61)

donde n = ~x/|~x| es un versor que apunta desde el origen de coordenadas (en la fuente)hasta el punto campo. Si solo estamos interesados en campos de radiacion, debemosquedarnos con −n · ~x ′ en la exponencial y con el corchete cuadrado igual a 1

~A(~x, t) =ei(kr−ω t)

rc

∫V

~Jω(~x ′) e−i kn·~x′d3x′ . (4.62)

Hasta aca no se hizo ninguna suposicion sobre el tamano de la fuente. En la aproximacionde onda larga, ka < 1, el siguiente desarrollo sigue siendo exacto para los campos deradiacion

~A(~x, t) =ei(kr−ω t)

rc

∫V

~Jω(~x ′)∞∑n=0

(−i kn · ~x ′

)nn!

d3x′ . (4.63)

Intercambiando sumatoria con integral obtenemos un desarrollo en serie adecuado paralos campos de radiacion. Cuanto mejor se cumpla la aproximacion de onda larga, ka 1,mejor estaran descriptos los campos por los primeros terminos no nulos de esta serie.Notar los siguientes puntos:

i) el peso relativo del termino n-esimo de esta serie es (ka)n;

ii) si bien todos los terminos tienen en comun la misma dependencia espacial con lacoordenada radial del punto campo, de la forma ei(kr−ω t)/r, los campos asociadosdifieren en su dependencia con las coordenadas angulares;


para calcular los campos electromagneticos usaremos el esquema 4.39, que requireaplicar dos veces el operador ~∇ a la expresion 4.63. Como

~∇e ikr = e ikr i k~∇r = e ikr i k n , (4.64)

~∇1

r=−nr2

, (4.65)

la derivacion de 1/r no contribuye a los campos de radiacion y entonces operar con~∇ sobre el factor e ikr/r equivale, para campos de radiacion, a hacer el reemplazo

~∇ −→ i k n . (4.66)

A continuacion veremos en detalle los tres primeros terminos del desarrollo 4.63.

n=0 −→ dipolo electrico

Para el termino con n = 0 usamos 4.54 y se obtiene que el potencial ~A esta dado porla ecuacion 4.55. Para los campos usamos 4.66, obteniendo

~Bde = k2 ei(kr−ω t)

r(n× ~pω) , (4.67)

~Ede = −k2 ei(kr−ω t)

r[n× (n× ~pω)] . (4.68)

Para un dipolo orientado segun el eje z se recupera el resultado obtenido en 4.58

| ~Ede| = | ~Bde| = k2 |~pω| sin θei(kr−ω t)

r. (4.69)

Consideremos un punto campo arbitrario y en este punto campo un elemento de area talque visto desde la fuente subtiende un angulo solido dΩ. La potencia que pasa por esteelemento de area es dP =< ~S > ·nr2dΩ y entonces la distribucion angular de potenciapor unidad de angulo solido resulta

dP

dΩ=

c

8πk4 |~pω|2 sin2 θ . (4.70)

Es usual representar distribuciones angulares de potencia en diagramas polares como seve en la figura, donde se ha graficado dP/dΩ para los campos de un dipolo en el eje z.Se puede observar que no hay emision de potencia en la direccion del dipolo y que lapotencia emitida es maxima en la direccion perpendicular al dipolo. La potencia totalirradiada es

P =

∫4π

dP

dΩdΩ =

c

8πk4 |~pω|2

∫ π

0

sin2 θ 2π sin θdθ =c

3k4 |~pω|2 . (4.71)


4.8. Aspectos matematicos de la ecuacion de ondas

Aunque los fısicos nunca nos paralizamos por los detalles matematicamente cuestiona-bles, hay que reconocer que el procedimiento usado para encontrar los potenciales retar-dados (4.31) y (4.32) los tiene, como por ejemplo el paso al lımite en el que se obtuvo laecuacion 4.29. En esta seccion pondremos el problema en un marco matematico rigurosoy veremos los aspectos matematicos mas relevantes que determinan los comportamientosfısicos mas relevantes de las soluciones de la ecuacion de ondas inhomogenea.

4.8.1. Problema fundamental

El problema fundamental de la ecuacion de ondas consiste en, dada la funcion fuentef(~x, t), encontrar una funcion de ondas φ(~x, t) que satisfaga la ecuacion

∇2φ− 1

c2

∂2φ

∂ t2= −4πf(~x, t) , (4.72)

sujeta a las condiciones iniciales

φ(~x, 0) = F (~x) , (4.73)

∂φ(~x, t)

∂t

∣∣∣t=0

= D(~x) , (4.74)

(F , por “funcion”, D, por “derivada”). Las funciones involucradas pueden ser complejasy el problema se denomina fundamental porque ası planteado tiene solucion unica.

Hay dos casos particulares muy importantes. Uno, ya encarado en la seccion 4.5, es elproblema con fuente. En este problema hay que resolver la ecuacion

∇2φf −1

c2

∂2φf∂ t2

= −4πf(~x, t) , (4.75)

y encontrar φf (~x, t) “proporcional” a f , en el sentido de que cuando f se multiplicapor un factor constante, entonces φf (~x, t) tambien. Otro caso particular importante es elproblema de condiciones iniciales o problema de Cauchy, donde la incognita es la funcionφC(~x, t) que satisface la ecuacion homogenea

∇2φC −1

c2

∂2φC∂ t2

= 0 , (4.76)

y las condiciones iniciales

φC(~x, 0) = F1(~x) , (4.77)

∂φC(~x, t)

∂t

∣∣∣t=0

= D1(~x) . (4.78)

4.8. ASPECTOS MATEMATICOS DE LA ECUACION DE ONDAS 127

Es facil ver que la solucion del problema fundamental es siempre suma de las solucionesde estos dos casos particulares

φ(~x, t) = φf (~x, t) + φC(~x, t)

con

F1(~x) = F (~x)− φf (~x, 0) , (4.79)

D1(~x) = D(~x)− ∂φf (~x, t)

∂t

∣∣∣t=0

, (4.80)

es decir, que si se conoce una solucion del problema con fuente (solucion particular), la so-lucion del problema fundamental lleva a resolver un problema de Cauchy con condicionesiniciales dadas por (4.79) y (4.80).

En realidad no hace falta encarar la solucion φC del problema de Cauchy mas generalplanteado por las ecs. (4.77) y (4.78), porque es claro que el problema queda resueltomediante la suma

φC = φCA + φCB,

donde en un problema la derivada temporal de φCA a t = 0 es nula y en el otro problemaφCB es nula a t = 0. Finalmente, como la derivada temporal conmuta con el operadordalambertiano, la solucion del problema A se puede construir a partir de la derivadatemporal de la solucion de un problema B.(a completar)Por este motivo, para resolver el problema fundamental solamente es necesario desarrollarmetodos para el problema con fuente y para un caso especial del problema de Cauchy.

4.8.2. Causalidad en ondas 1D

Si pensamos que φ(x, t) es una respuesta (o efecto), las causas que producen este efectoelectromagnetico provienen de fuentes, pero tambien provienen de ciertas condicionesiniciales. Esto es muy claro en el caso de fenomenos mecanicos, como deformaciones en unasoga o en una membrana elastica, donde seguramente todos han visto experimentos dondeel sistema evoluciona tanto por efecto de una fuerza impulsora como por efecto haberimpartido en el sistema ciertos apartamientos y velocidades iniciales a las partes moviles.Uno de los objetivos de esta seccion es poner en evidencia ciertos aspectos matematicosque subyacen detras del concepto fısico de causalidad, que por ahora aparecio en lasexpresiones de los potenciales retardados (problema con fuente), pero no en el problema decondiciones iniciales. Para exhibir la causalidad en los dos casos particulares del problemafundamental, familiaricemonos primero con la situacion 1D y luego pasemos al caso 3D.


Problema de valores iniciales en 1D

En una dimension, el problema de valores inciales para φ(x, t) se escribe

∂2φ

∂ x2− 1

c2

∂2φ

∂ t2= 0 , (4.81)

φ(x, 0) = F (x) , (4.82)

∂φ(x, t)

∂t

∣∣∣t=0

= D(x) . (4.83)

Problema con fuente en 1D

4.8.3. Problema de valores iniciales en 3D

4.8.4. Problema con fuente en 3D

(a completar)

4.8.5. Funcion de Green para la ecuacion de ondas 3D

(a completar)

4.9. Funciones de Green

(En elaboracion)

4.9.1.

(En elaboracion)

Bibliografıa

[1] J. D. Jackson, From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations,American Journal of Physics 70,917 (2002).

[2]

129

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